工程力学第十章答案高斌

σα =
50
20 30° 30
（2）主应力和主平面
σ max =
ww
w.
σ2 σ1
Yc
30°
α ° = −31.72° σ 1 = 62.36ΜΡα σ 2 = 17.64ΜΡα
（4） τ max =
2.图示起重机的最大起重吊重量为 P=40 kN，横梁 AC 由两根 18 号槽钢组成，材料为 Q235，许用 应力[ σ ]=120Mpa ，试校核横梁的强度。 ，平 解： （1）外力分析：取 AC 为研究对象，受力如图，小车位于 AC 中点（此时梁的弯矩最大） 衡条件
w. c
σ1
om
31.72°
X C = N AB cos 30° = 34.64 kN
（2）内力分析：见轴力图，弯矩图。AC 梁为压，弯组合变形，危险截面位于 AC 中点。
M max = 20 × 1.75 （=YC ×3.5/2）
= 35 kN.m
N
X
(-)
3 4 .6 4 k N
M
35KN.M
工程力学习题答案
第十章 组合变形 1. 已知单元体应力状态如图示（应力单位为 ΜΡα ） ，试求： （1）指定斜截面上的正应力和剪应 力； （2）主应力的大小、主平面位置； （3）在单元体上画出平面位置和主应力方向； （4）最大剪应力. 解： （1） α = 30 斜截面上的应力：
°
30 + 50 30 − 50 + cos(2 × 30°) − (−20) sin(2 × 30°) 2 2 =52.3ΜΡα 30 − 50 τα = sin(2 × 30°) − 20 cos(2 × 30°) 2 = − 18.7ΜΡα
σ
m p A
30°
d
p
σ
da kh
σ1
m
解： （1）绕 A 点取单元体，应力为：
ww
网
σ=
20 ×103 P 20 ×103 = = = 63.66ΜΡα A π dδ π × 50 × 2
w.
σ3
a
（2） σ −60� =
后 答
σ σ + cos(−120� ) + τ sin(−120�σ )1 2 2
∑ M C (F ) = 0 :
N AB sin 30°× 3.5 − P ×1.75 = 0 N AB = P = 40 kN
∑ FY = 0 :
YC + N AB sin30° − P = 0 YC = P = 20 kN 2 ∑ FX = 0 :
1
Xc
课
后 答
(
30 − 50 2 ) + 202 = 22.36 Mpa 2
1140.5N.m
M
676.1N.m
3
X
om
X
4.图示的钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮 C 直径为 d c =300mm,其上作用着铅直切向力 P 1 =5 kN，齿
X
X
(3) 强度运算：
σ xd 4
M D2 + M n2 ≤ [σ ] = WZ
3
d≥
( 1140.52 + 7502 ×103 ) × 32 = 51.8 mm π × 100
A
5
�
3 2
课
σ −30�
Mn
a
D
σ 60� τ = −
2.5 × 103 × 103 π × 603 = −58.9 ΜΡα
�
（2） σ 30� = −τ sin 2 × 30
�
σ 30�
30°
= 58.9sin 60� = 51 ΜΡα
8．薄壁圆筒扭转一拉伸试验的示意图如图所示。若 P=20k N ,m=600N.m,且 d=50mm, δ = 2 mm, 试求： （1）A 点在指定斜截面上的应力； （2）A 点的主应力的大小及方向（用单元体表示） 。
P1
ww
w.
150
300
在 m 作用下轴发生扭转，在 P 1、 P 2 作用下轴发生弯曲变形，所以 AB 轴为弯曲组合变形。
MZ :
M C1 =
网
3 P 1 × 150 4
后 答
案
= 562.5 KN.mm
P1
1 M D 2 = × 562.5 3 = 187.5 KN.mm
m
Mn
w. c
B
150
P2
50 + 30 50 − 30 + cos 60° 2 2
20
30°
50 50
50
解析法求解：
(a)
σ 45° =
w.
50
50 50 + cos 90° − 20sin 90° 2 2
50
kh
D1 (0,50)
（2）图解法：
后 答
��� � ⎧σ 1 = OA = 50ΜΡa ⎪ ��� � ⎨ σ = OB = −50ΜΡa ⎪ ⎩ 3
m
课
My:
3 M D1 = P2 × 150 4
Mz
562.5N.m
750N.m
= 1125 KN.mm
1 M C 2 = × 1125 3 = 375 KN.mm
MY
1125N.m
M: M C = 562.52 + 3752
= 676.1 KN.mm
M D = 11252 + 187.52
= 1140.5 KN.mm
（3）
应力分析
18 号槽钢 (P388)
A = 29.29 × 2cm 2
（4）强度分析：
为什么小车位于 AC 的中点时 AC 杆的弯矩最大： （1）由截面法可知：小车左侧剪力为 YC＞0，右侧为 YC-P＜0， 故小车 P 的作用点为弯矩图直线升、降区间的转折点，该截面 由∑MA=0，P×(L-x)-YC.L=0,得 YC=(L-x)P/L 即 x=L/2 时,弯矩 M 值最大.
ww
∆σ 121 − 120 = = 8.3 × 10−3 = 0.83% < 5% 满足要求（分母应为 [σ] ） ∆ 120 [ ]
w.
kh
(σ拉+α弯 max = N/A + Mmax /wz，二应力均为拉应力 )
da
′′ = 34.64 × 103 /(29.29 × 2 × 100) + 35 × 106 /(2 ×152.2 ×103 ) = 121ΜΡα σ max = σ ′ + σ max
ε 60� =
后 答
1 ⎡σ � − µσ −30� ⎤ ⎦ E ⎣ 60 σ 2.72 = σ [3 − µ ] = 4E 4E
案
网
σ σ 3 − cos120� = σ 2 2 4 σ σ 1 = − cos(−60� ) = σ 2 2 4
w.
l
l
kh
da
6.图示一钢质圆杆，直径 D=200mm,已知 A 点在与水平线 60 方向上的正应变 ε 60� = 4.1× 10 ， 试
5．已知应力状态如图所示（应力单位为：MPa） 。 （1）分别用图解法和解析法求（a） 、(b)中指定斜截面上的应力； （2）用图解法求（c） 、 （d） 、 （e ） 、 （f）上主应力的大小与方向 ，在单元体上画出主平面的位置， 求最大剪应力。 （1） （a）解析法解：
30
20
σα =
om
2a
20 40
主平面位置
σ1
σ3
40
课
（d）解：作应力图
��� � σ 1 = OA = 55 MPa ��� � σ 3 = OB = −35 MPa ���� � τ max = CD1 = 45 MPa 2α 0 = 27
�
45°
σ3
σ1
(d)
τ
35
55
（e）解：作应力图
a
40
D1(-30,20)
��� � σ 1 = OA = 45 MPa ��� � σ 3 = OB = −45 MPa ���� τ max = OD = 45 MPa
2
（
T = 200Q）
Mn
200Q
X
轴发生弯曲与扭转组合变形 （3）强度计算：
σ xd3 =
M 2 n + M 2 max WZ
（Mn
应为Байду номын сангаасT）
M
150Q
( 2002 + 1502 ) × Q = ≤ [σ ] 0.1× 303
Q≤
0.1× 303 × 80 150 + 200
2 2
X
= 860 N ∴ 最大起重载为 860N.
案
600 ×103 Mn τ= = = 70.63ΜΡα 2πγ 2δ 2 × π × 262 × 2
1 = × 63.66 + 70.63sin(−120� ) 4 = −45.5ΜΡα σ τ −60� = sin(−120� ) − 70.63cos(−120� ) 2 = 8.1ΜΡα
（3）
网
= 5 MPa 50 τ 45° = sin 90° + 20 cos 90° 2 = 25 MPa
ww
da
B
0
= 45 MPa 50 − 30 τα = sin 60° = 8.66 MPa 2
w. c
(b)
A(50,0)
45°
案
(c)
D2 (0,-50)
τ max = OD1 = 50 MPa
w. c
Yc Xc
WZ = 2 ×152.2cm3
om
X
N AB
30°
网
案
弯矩最大。求小车位于距 C 端为 x 截面上的弯矩：
p
1.75m
1.75m
3.手摇式提升机如图示，已知轴的直径 d=30mm,材料为 Q235 钢， [σ ] = 80Mpa ，试按第三强度 理论求最大起重载荷 Q。 解： （1）轴的外力
案
网
（3）图
kh
N AB p
1.75m 1.75m
σ min =
30+50 30-50 2 ) + 202 − ( 2 2 = 17.64ΜΡα 2 × (−20) tg2α ° = − = −2 30 − 50
da
30+50 30+50 2 + ( ) + 202 2 2 = 62.36ΜΡα
σ2
轮 D 的直径为 d D =150mm,其上作用着水平切向力 P2 =10kN。若[ σ ]=100Mpa，试用第四强度理论求轴 的直径。 解： （1）外力分析， 将P 1， P 2 向 AB 轴简化，如图
A C
da kh
D
P2
dc 300 m=P = 5× 1• 2 2
= 750 KN.mm
（2）内力分析：
x
20
55
B
0
C
2a0
A
D2(50,-20)
35
40
τ
D
D1(40,20)
4
(e)
2a
B 0 A
2α 0 = 27�
（f） σ 1 = OA = 5 MPa
��� �
��� � σ 3 = OB = −85 MPa σ 1 ��� � τ max = CD1 = 45 MPa 2α 0 = 27�
σ max = σ min =
σ 1 =109.3ΜΡα
课
63.66 63.66 2 σ σ + ( )2 + τ 2 = + ( ) + 70.632 = 109.3 ΜΡα 2 2 2 2
σ σ 63.66 63.66 2 − ( )2 + τ 2 = − ( ) + 70.632 = −45.6 ΜΡα 2 2 2 2 σ 3 =-45.6ΜΡα
2τ 2 × (−70.63) =− =2.22 σ 63.66
2α 0 = 65.74�
α 0 = 32.87�
课
后 答
案
网
ww
w.
7
kh
da
w. c
om
20
σ3
τ
σ3 σ1
80
σ3 σ3
σ1
a0
(0,20)
B
80
40
2a
0
A
20
C
a0
(f)
σ1 σ3
�
w. c
60°
om
σ
40
求载荷 P。已知 E = 210GN / m , µ = 0.28 。 解： （1）绕 A 点取一单元体， 应力状态如图：
2
ww
σ 60� = σ −30�
（2）由广义虎克定律得：
−4
A
p
σ 60�
60°
σ=
4 × 210 ×103 × 4.1×10 −4 2.72 = 126.6 ΜΡα
（3）载荷 P：
σ 60� 2 σ −30� π D 2 126.6 × π × 200 5 P = σ i A = 126.6 × = = 39.78 ×10 Ν 4 4 σ
7．扭矩 M n = 2.5 ×10 Ν ⋅ m 作用在直径 D=60mm 的钢轴上，若 E = 210GN / m , µ = 0.28 ，试 求圆轴表面上任一点在与母线成 α = 30 方向上的正应变。 解： （1）绕 A 点取一单元体， 应力状态如图：
Q 向轴简化为 Q—弯曲
力偶 M n = 200 Q = T —扭转 （2）内力—见图 危险截面位中点：
课
M n = 200 Q M max =
QL 4 Q × 600 = = 150Q （Nmm） 4
2
后 答
由 YC 对小车作用点之矩:M= YC•x=(L-x)P/L•x=-Px /L+Px，当 M’=-2Px/L+P=0 时,
6
w. c
τ
σ3
om
σ
σ1
0
σ −60� = −τ sin ⎡ ⎣ 2 × ( −60 ) ⎤ ⎦ = −51 ΜΡα 1 （3） ε 30� = [σ 30 − µσ −60 ] E 51 − 0.28 × (−51) = = 0.311× 10−3 3 210 ×10
σ −60�
tg 2α 0 = −