运动学部分例题分析

2 t 2
2
at tan | | 0.25 an
arctan 0.25 142 '
例5 列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度均匀增 加，行驶 s=1km 后，速度增加到 v2=54km/h ，若铁轨曲线形 状如图 1-17所示。在 M1 、 M2 点的曲率半径分别为 ρ1=600m, ρ2=800m 。求列车从M1到M2所需的时间和经过M1和M2处的 加速度。
x r cos wt l 1 2 sin 2 wt )
x r cos wt l 1 2 sin 2 wt )
将右边最后一项展开：
1 2 2 1 4 4 1 sin wt 1 sin wt sin wt 2 8 2 x l (1 ) r (cos wt cos 2wt ) 4 4
列车经过M1时的全加速度为：
a1
2 2 a2 an 0.108 cm / s 1
a tan 1 | | 2.38 an1
1 arctan 2.38 67.4
列车经过M2时的加速度为：
a2 a a
2
2 n2
0.293cm / s
2
a tan 2 | | 0.355 an 2
vy
v x
y 4Rw 2 cos2wt 4w 2 y ay v
故M点的加速度大小为
且有
a a a 4 Rw
2 x 2 y
2
a 4w 2 xi 4w 2 yj 4w 2 ( xi yj) 4w 2r
运动学
例1 下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为r ， 自水平位置开始以匀角速度 w 转动，即j =wt，滑槽K-K与导杆 B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄 带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加 x 速度。 B 解：取M点的直线轨迹为 x 轴，曲 柄的转动中心O为坐标圆点。M点 的坐标为：x OM OA sin j r sin j B K M A K
将j =wt带入上式，得M点的运动方程：
x r sin wt
w
将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：
O
j
x
dx v rw cos wt dt dv d 2 x a 2 rw 2 sin wt dt dt
例2 曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构。当曲柄 OA绕O轴转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直线作往复运动。 设曲柄OA长为r，以角速度w 绕O轴转动，即j＝wt，连杆AB长 为l。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。 解：取滑块B的直线轨迹为x轴， 曲柄的转动中心O为坐标原点。 w A l 在经过 t 秒后，此时B点的坐 B 标为： x j O x OB OC CB C x r cos j l cos 整理可得B的运动方程：
V1 M1 an1 ar1
a1
a2 an2 M2 ar2 V1
解：
v v a
2
Fra Baidu bibliotek
2
2
1
2s
0.1m / s 2
t
v2 v
a
1
100 s
求列车经过M1和M2时的法向加速度为：
an1
v
2 1
1
0.042m / s 2
an 2 v 2 0.281m / s 2
2
2
解：
dS v 4t dt
M0 R O
M
当t=4 s时速度为： v＝4×4＝16 cm/s 此时M点的切向加速度为：
M'
dv at 4 cm/s 2 dt
A
y A0
M点的法向加速度为：
v2 2 an 16cm / s R
M点的全加速度为：
a a an 16.5 cm/s
2 arctan 0.355 19.5
例6 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小 护环M 运动，已知φ＝wt (w为常数)。求小环M 的运动方程、速 度和加速度。
解：建立如图所示的直角坐标系。则
y
2j
x R sin 2j y R cos 2j x R sin 2wt y R cos2wt
h1 xM h2 xM x2
h1 x2 xM h1 h2
上式对t求一阶导数，得 M 点 的速度为:
h1 h2
M
x
h1 . h1 v xM x2 v1 h1 h2 h1 h2
.
x2 xm
例3 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面 的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。
2 2
由此可得滑块B的速度和加速度：
dx v rw (sin wt sin 2wt ) dt 2 dv a rw 2 (cos wt cos 2w ) dt
例3 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面 的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。
解: 取坐标系x如图所示，由几何关系得:
即为小环M 的运动方程。
B M
Oj A
x
2Rw cos2wt vx x 2Rw sin 2wt vy y
故M点的速度大小为
2 2 v vx vy 2 Rw
y
a 2j
Oj A
M
其方向余弦为
B vx
vx cos(v , i ) cos 2j v vy cos(v , j ) sin 2j v x 4Rw 2 sin 2wt 4w 2 x ax v
解: 取坐标系x如图所示，由几何关系得:
h1 xM h2 xM x2
h1 x2 xM h1 h2
上式对t求一阶导数，得 M 点 的速度为:
h1 h2
M
x
h1 . h1 v xM x2 v1 h1 h2 h1 h2
.
x2 xm
例4 下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴 O 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提 升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在 t＝4s时的速度和加速度。