17.3复数的几何意义和三角形式学习资料

南京商业学校教案

授课日期2015年月日第周时数课型新课课题§17.3复数的几何意义和三角形式

教学目标知识目标：了解复平面的概念；掌握复数的几何表示和向量表示；

理解复数的模、辐角及辐角主值的概念；掌握复数的

三角形式及其特征。

能力目标：会在复平面内描出表示复数的点及向量；会求复数的模和辐角、和辐角主值（特殊角）；会进行复数的三

角形式与代数形式的互化。

情感目标：培养学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想。

教学重点用复平面上的点、向量和三角形式表示复数；复数的模和辐角、辐角主值的概念。

教学难点复数几何表示法的理解；复数几种表示形式的互化；复数辐角的求法。

教学资源课本，教学参考书，学习指导书，网络

教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。

学情分析（含更新、补充、删节内容）

复数的几何表示和向量表示是复数的两种常见形式，复数的向量表示学生不易理解的，教学时要充分揭示复数与向量之间的关系，并借助向量进一步加强学生对复数的理解。

板书设计 17.3复数的几何意义和三角形式

1. 复平面例1 例3

2. 复数的几何表示

3．复数的向量表示例2

4．复数的三角形式

教后记

教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）

师生活动

一、引入新课

根据复数的定义，复数表示为）（R b ,a bi a z ∈+=的形式，我

们把这种形式叫做复数的代数形式，复数还有其他表现形式吗？这些表示形式之间有什么关系？ 二、讲授新课

1．复平面

在平面上建立直角坐标系xOy ，横轴、纵轴上的坐标分别表示复数的实部和虚部，这样的平面叫做复平面，其中横轴叫做实轴，纵轴叫做虚轴。

2．复数的几何表示 有序实数对（)b ,a 与直角坐标系内的点一一对应的，由复数代数形式bi a z +=可以知道，任何一个复数）（R b ,a bi a z ∈+=，都可以有一个有序的实数对（b ,a ）唯一确定，即复数

图1 bi a z +=与有序实数对（b ,a ）之间一一对应。由此可知，复数bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的（如图1所示），即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。我们把这种表示形式叫做复数的几何表示。 想一想：实数、纯虚数、虚数表示的点分别在复平面的什么位置？ （复平面内，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚

轴上，表示非纯虚数的点分别在四个象限内．） 3. 复数的向量表示

直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。

r

学生思考并回答

图2 y

Z(b ,a ) O x

b a

把复数bi a z +=表示为向量）（b ,a OZ =，那么把向量OZ 的

模（长度）叫做复数bi a z +=的模，记作z

由图2容易得到，2

2b a bi a +=+，特别地，

0=b 时，bi a +是实数，它的模就等于a

。

复数的模有以下性质：①复数的模是一个非负实数，即z 0≥；②互为共轭复数的两个复数的模相等，即z z

=。

必须注意，两个不全是实数的复数不能比较大小，但是它们的模可以比较大小。

以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线为终边的角称为复数bi a +的辐角，它表示向量OZ 的方向，复数0的辐角是任意的。

一个不等于零的复数bi a +的辐角不唯一，这些值相差π2的整数倍，即若θ是复数z 的一个辐角，那么）（Z k k ∈+θπ2也是复数z 的辐角，我们把复数在[)π20,内的辐角叫做辐角的主值，记作z arg 。

想一想：实数、纯虚数的三角形式分别是什么？

由图2可知，复数）（0≠+=a bi a z 的辐角主值z arg =θ所在

的象限与复数bi a z +=相对应的点()b ,a Z 所在的象限相同，并且

a b tan =

θ。

例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3 解：（1）

2

11122=+=+i

又

a b

tan =

θ=1，点（1,1）在第一象限。所以

41π

θ=+=）（i arg

（2）

2

1332

2=-+=-）（）（i

有

31

-

=θtan ，点（

13-，）在第四象限，所以

学生思考并回答

师生共同完成

学生讨论并回答

611623ππ

πθ=

-

=-=）（i arg

想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?

4.复数的三角形式

如图2所示，设复数bi a +的模为r ，辐角为θ，则

⎩⎨

⎧==θθ

sin r b cos r a

于是bi a +=）（θθθθsin i cos r sin ir cos r +=+ 我们把复数的表示形式）（θθsin i cos r z +=称为复数的三角形式，这种表示形式是用复数的模和辐角来表示复数，复数0=z 的三角形式仍然是0=z

想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？

（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos

（3）

）（6655π

πsin i cos

+

复数的代数形式和三角形式之间可以相互转化，把复数的代数形式转化为三角形式时，通常取θ为复数的辐角主值。 例2 把下列复数转化为代数形式 （1）

）（65654π

πsin i cos

+

（2）

[]

）（）（0

045452-+-sin i cos 解：（1）

）（65654π

πsin i cos

+=i i 23221234+-=+-⨯

）（

（2）[]）（）（0

45452-+-sin i cos

i i -=-⨯=122

222）（

例3 把下列复数转化为三角形式

（1）-1；（2）i 2； （3） i -3

学生讨论并回答

复数的三角形式有三个特征：①模r 0≥;②括号内的实部是余弦，虚部是正弦，且是同一个辐角值θ的正弦和余弦③ 三个特征中只要有一个不满足，则表达式就不是复数的三角形式。

师生共同完成例2和例3