17.3复数的几何意义和三角形式学习资料

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复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算宇文皓月一、主要内容:复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.二、学习要求:1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.三、重点:复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.四、学习建议:1．复数的三角形式是完全解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有需要的.前面已经学习过了复数的另两种暗示.一是代数暗示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何暗示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)暗示，也可以用复平面上的向量来暗示.现在需要学习复数的三角暗示.既用复数Z 的模和辐角来暗示，设其模为r ，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).既然这三种方式都可以暗示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.代数形式r=三角形式Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角，纷歧定是辐角主值.五、基础知识1）复数的三角形式①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）暗示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。

即z=r （cos θ+ i sin θ）其中z r =θ为复数z 的辐角。

②非零复数z 辐角θ的多值性。

以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）③辐角主值暗示法；用arg z 暗示复数z 的辐角主值。

高一数学复数的三角形式与指数形式

高一数学复数的三角形式与指数形式复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成，常用形式有三角形式与指数形式。

本文将介绍高一数学中复数的三角形式与指数形式，并分析它们在数学运算中的应用。

一、复数的三角形式复数的三角形式是指复数表示为幅角和模长的形式。

假设有一个复数z，可以表示为z = a + bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

通过对z的实部与虚部的操作，可以将复数表示为模长和幅角的形式。

令z的模长为r，幅角为θ，那么z可以表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r = √(a² + b²)为复数的模长，θ为复数的幅角。

复数的三角形式可以帮助我们更好地理解复数的几何意义。

在复平面上，复数z的实部对应x轴坐标，虚部对应y轴坐标。

而模长r可以表示复数z到原点的距离，幅角θ则表示复数与x轴的夹角。

二、复数的指数形式复数的指数形式是指复数表示为e的幂次方形式。

通过欧拉公式，可以将复数表示为指数形式。

假设有一个复数z，可以表示为z = a + bi。

根据欧拉公式，我们有e^(ix) = cosx + isinx，其中e为自然对数的底数。

将复数z表示为指数形式，有z = re^(iθ)，其中r为复数的模长，θ为复数的幅角。

复数的指数形式为我们进行复数的运算提供了便利。

复数的乘法可以简化为模长相乘、幅角相加，复数的除法可以简化为模长相除、幅角相减。

三、三角形式与指数形式的相互转化在数学运算中，我们常常需要将复数在三角形式和指数形式之间进行转换。

下面介绍如何将复数从三角形式转化为指数形式，以及从指数形式转化为三角形式。

1. 从三角形式转化为指数形式已知复数z = r(cosθ + isinθ)，要将其转化为指数形式，可以使用欧拉公式。

根据欧拉公式，有e^(iθ) = cosθ + isinθ。

将这个公式代入z中，可以得到z = re^(iθ)。

通过这个转化，我们可以将复数的乘法和除法转化为简单的指数运算。

复数的几何意义

复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。

2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。

复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义减法的几何意义22b a + Z( )xoZ 1Z 2ZZ 2Z1yy oxz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

复数复数的三角形式及其运算

05
复数三角形式与实数运算的对比与联系
与实数运算的异同点
相同点
复数和实数都可以进行加、减、乘、除等基本运算。
不同点
复数的乘法和除法运算与实数不同，需要引入虚数单位i，且结果的实部和虚部分别与参与运算的两个复数的实部和虚部相关。
与实数运算的联系与区别
联系
复数和实数都可以进行加、减、乘、除等基本运算，它们之间可以互相转化。
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区别
复数的乘法和除法运算需要引入虚数单位i，且结果的实部和虚部分别与参与运算的两个复数的实部和虚部相关；而实数的乘法和除法运算只需要简单的乘或除以一个实数。
复数三角形式在实际问题中的应用与价值
应用
在交流电、振动分析、信号处理等领域，常常需要用到复数的三角形式，如幅度和相位表示法。
式，我们可以更方便地描述和分析一些物理现象，如简谐振动、交流电的相位差等。同时，它也是工程技术和科学实验中常用的数学工具之一。
复数的四则运算及其几何意义
• 加法运算：两个复数 z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1)，z2 = r2(cosθ2 + i sinθ2) 的和 z = (r1 + r2)(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2))。
复数的四则运算及其几何意义
减法运算
乘法运算
两个复数的减法可以通过加法的逆运算得到。
两个复数的乘法可以通过将指数相加来完成。例如，(r1 cosθ1 + i r1 sinθ1) × (r2 cosθ2 + i r2 sinθ2) = r1r2(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2))。

复数的三角形式及几何意义

复数的三角形式及几何意义本节介绍复数的几何形式与三角形式，它们展示了复数的复平面的几何意义.通过复数的三角形式及运算，我们可以看到复数相乘（除）所对应的便是几何旋转.同时，复数的三角形式还可以有效地链接三角恒等变换，解决一些三角恒等式的计算，因此，本节内容也是强基或联赛中重点考察的对象.一．基础理论1.三角形式.复数bi a z +=（R b a ∈,）与复平面上的点),(b a Z 是一一对应的，点),(b a Z 和向量→OZ 于是一一对应的.向量→OZ 的模长称为复数bi a z +=的模||z ，即满足：22||b a z +=.进一步，复数yi x z +=在复平面内对应的点为),(y x Z .我们把向量OZ 与x 轴正方向形成的角叫做复数yi x z +=的辐角，记为Argz .取值在)2,0[π的辐角称为辐角主值，用z arg 来表示.对于非零复数，它的辐角主值是唯一的（复数0的辐角是任意的）.显然，若z arg =θ，则22sin yx y +=θ，22cos yx x +=θ，于是就可进一步得到复数的三角形式：设||OZ r =，θ为辐角，那么点P 点的坐标就可以记为)sin ,cos (θθr r ，)sin (cos θθi r z +=.2.幅角的性质.显然，若记22y x r +=则复数yi x z +=的主幅角可以表示为反三角函数的形式：xy r x r y z arctan arccos arcsinarg ====θ3.指数形式.由欧拉公式：θθθsin cos i ei +=可得到复数的指数形式：θθθi re i r z =+=)sin (cos .4.三角形式的基本运算.对于复数代数形式的加减乘除运算，属于高考数学的内容之一，这部分相对简单，此处就不再列举.我们这里重点需要强调的是复数的三角形式及运算.)sin (cos 1111θθi r z +=)sin (cos 2222θθi r z +=（1）乘法)]sin()[cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθθθθθ+++=++=i r r i i r r z z .进一步可得：||||||2121z z z z ⋅=，2121arg arg arg z z z z +=或π2arg arg arg 2121-+=z z z z .几何意义：模翻倍，角度逆时针旋转.（可以看到，复数乘法从几何意义上讲便是旋转，这是复数的一个重要价值.）进一步，可得乘方的运算公式：设)sin (cos θθi r z +=，则)sin (cos θθn i n r z nn+=（棣莫弗定理）（2）除法)]sin()[cos(21212121θθθθ-+-=i r r z z .几何意义：模折倍，角度顺时针旋转（实则为夹角，可正可负），即||||||2121z z z z =，2121arg arg arg z z z z -=或π2arg arg arg 2121+-=z z z z.（3）开方设)sin (cos θθi r z +=，则2sin 2(cosnk i n k r z n n πθπθ+++=（1,,2,1,0-=n k ）.例如，222sin 222cos 2sin 2cos ππππππk i k i i +++=+=.可以看到，复数的n 次方根是n 个复数，它们的模都等于这个复数的模的n 次算术根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与π2的1,,1,0-⋅⋅⋅n 倍的和的n 分之一.5.复数的几何曲线（1）满足||||21z z z z -=-的复数z 所对应的点的轨迹为线段21Z Z 的中垂线；（2）满足r z z =-||1的复数z 所对应的点的轨迹为以1Z 为圆心，半径为r 的圆；（3）满足)2|(|,2||||2121a Z Z a z z z z <=-+-的复数z 所对应的点的轨迹为以21,Z Z 为椭圆，长轴长为a 2的椭圆.二．典例分析例1.计算下列各式的值.（1）312⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）312⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.解析：利用复数的三角形式可得：（1）33122cos sin cos2sin212233i i ππππ⎛⎫⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）33144cos sin cos4sin41233i ππππ⎛⎫⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点评：上述两个值是三次方程的两个单位根，其有重要的应用.例2．已知复数z 满足2240z z ++=，且arg ,2z ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则z 的三角形式为__________．解析：由2240z z ++=可得，()213z +=-，所以11z z +=⇒=-，又arg ,2z ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1z =-．因为2z ==，所以122z ⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．故答案为：222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．例3.设11z i =+，22z i =+，33z i =+，则123arg()z z z -等于A．6πB．3πC．23πD．56π解析：由于()()()12312310z z z ii i i =+++=，∴()123arg z z z -()5arg 106i π=-=.选D.例4.（2020清华强基计划）求=++)31arcsin 103arccos1sin(arctan __________.解析：令i z i z i z +=+=+=2,3,1321，由于)arg(arg arg arg 321321z z z z z z =++，且根据复数的定义：=++31arcsin 103arccos1arctan 321arg arg arg z z z ++.另一方面：i z z z 10321=，故2)arg(321π=z z z ，则2)arg(arg arg arg 321321π==++z z z z z z ，综上，131arcsin 103arccos1sin(arctan =++.练习1．化简12arcsin 23-=______.解析：令11z =，22i z =，则有()2121211arg arg arg22z z z z +=()()1arg 42i 2⎡⎤=-+⎣⎦()13πarg 18i 24=-=.从而，12πarcsin234-=.下面我们再看复数的几何意义相关问题.例5.（2019上海竞赛）设复数z 满足4|3||3|=++-z z ，则||i z +的最大值为______.解析：显然，复数yi x z +=所对应的点的轨迹为方程为13422=+y x ，故求||i z +的最大值等价于求22)1(++y x 的最大值.利用椭圆的参数方程可求最大值为334.例6.（2020清华强基）设复数z 满足3|73|=-i z ，则iz z z +-+-1222的（）A.最大值为38 B.最大值为37 C.最小值为34 D.最小值为32解析：由3|73|=-i z 可得：1|37|=-i z ,则z 是以)37,0(i 为圆心，1为半径的圆.另一方面，|1|1222i z iz z z --=+-+-，根据几何意义可知：]38,32[|1|∈--i z .练习2.（2019中科大自主招生）若复数z 满足11+-z z 是纯虚数，则|3|2++z z 的最小值为__.答案：333.练习3.若复数z 满足1||=z ，则|))((|i z i z +-的最大值为______.答案：2练习4.若复数z 满足4|3||3|=++-z z ，则||i z +的最大值为______.答案：334练习5．（2020高联A 卷）设z 为复数．若2z z i--为实数（i 为虚数单位），则|3|z +的最小值为______．解析：设(,)z a bi a b =+∈R ，由条件知22222(2)i (2)(1)22Im Im 0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z a b a b a b ⎛⎫--+---++-⎛⎫==== ⎪ -+-+-+-⎝⎭⎝⎭，故22a b +=．从而|3||(3)2|5z a b +=≥++=，即|3|z +≥．当2,2a b =-=时，|3|z +练习6.（2016山东预赛）=+++651arcsin 501arcsin 261arcsin 101arcsin_______.答案：4π.。

高中数学《复数的三角表示》复习教案与课后作业

《7.3 复数的三角表示》复习教案7.3.1 复数的三角表示式【基础知识拓展】1．在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加2k π或k ·360°(k ∈Z )．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成主值．2．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－1＝cosπ＋isinπ.( ) (2)2i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2.( ) (3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做(1)将复数z 1＝－1＋3i 表示成三角形式为________． (2)已知|z |＝23，arg z ＝5π3，求复数z ＝________. (3)若a <0，则a 的三角形式是________．答案 (1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3 (2)3－3i (3)－a (cosπ＋isinπ)【核心素养形成】题型一复数的代数形式化为三角形式例1 把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ；(2)1－i. [解] (1)r ＝3＋1＝2，∵3＋i 对应的点在第一象限， ∴tan θ＝13＝33，即θ＝π6，∴3＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝1＋1＝ 2.∵1－i 对应的点在第四象限，且tan θ＝－11＝－1，∴θ＝7π4， ∴1－i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4. 【解题技巧】复数代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角(一般取其主值)． (4)求出复数三角形式．【跟踪训练】把下列复数表示成三角形式． (1)－2＋2i ；(2)2⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4＋icos 3π4. 解 (1)原式＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22i ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4. (2)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4. 题型二判断复数三角形式的条件例2 判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式．(1)12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4；(2)－12⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3；⎝⎭55(4)sinπ5＋icos π5. [解] 根据复数的三角形式的结构，z ＝r (cos θ＋isin θ)，可依次作出判断． (1)不是.12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos7π4＋isin 7π4. (2)不是．－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝12⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3.(3)不是.2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π5＋isin π5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos4π5＋isin 4π5. (4)不是．sin π5＋icos π5＝cos 3π10＋isin 3π10.【解题技巧】判断复数的三角形式的条件 (1)r ≥0； (2)加号连接；(3)cos 在前，sin 在后； (4)θ前后一致，可任意值．即“模非负，角相同，余正弦，加号连”．【跟踪训练】求复数z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－icos π3的辐角主值．解 ∵z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6， ∴辐角主值arg z ＝11π6. 题型三复数三角形式化为代数形式例3 把下列复数表示成代数形式．⎝⎭33(2)6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6. [解] 根据a ＋b i ＝r (cos θ＋isin θ)，可得a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，故可解．(1)4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝4×12＋4×32i ＝2＋23i.(2)6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6＝6×32＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12i ＝33－3i. 【解题技巧】将复数的三角形式化为代数形式：由z ＝r (cos θ＋isin θ)＝r cos θ＋i r sin θ，可得a ＝r cos θ，b ＝r sin θ. 【跟踪训练】将下列复数的三角形式化成代数形式． (1)z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6；(2)z 2＝6(cos60°＋isin60°)．解 (1)z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝3＋i.(2)z 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＝3＋33i.【课堂达标训练】1．－6的辐角主值为( ) A ．0 B.π2 C ．π D．－π2答案 C解析－6＝6(－1＋0·i)＝6(cosπ＋isinπ)，辐角主值θ＝π.故选C. 2．下列说法正确的是( )A ．已知复数z ＝cos7π5＋isin 7π5，则z 的辐角主值为3π5B ．复数z ＝2i ＋3的虚部为2iC ．(3＋i)6＝－64D ．复数z ＝2i 的三角形式为z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2 答案 C解析 A 项，z 的辐角主值arg z ＝7π5，错误；B 项，虚部为实数2，错误；C 项，(3＋i)6＝[(3＋i)2]3＝(2＋23i)3＝8＋3×2×(23i)2＋3×22×(23i)＋(23i)3＝－64，正确；D 项，z ＝2(0＋i)＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2，错误．故C正确．3．复数12－32i 的三角形式是________．答案 cos 5π3＋isin 5π3解析 12－32i ＝cos 5π3＋isin 5π3，故复数12－32i 的三角形式是cos 5π3＋isin 5π3.4．设复数z ，z ＋2的辐角主值为π3，z －2的辐角主值为5π6，则z ＝________.答案－1＋3i解析设z ＋2＝r 1⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝r 12＋3r 12i ，z －2＝r 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6＝－3r 22＋r 22i.∴r 12－2＋3r 12i ＝2－3r 22＋r 22i ，易得⎩⎪⎨⎪⎧r 12－2＝2－3r 22， ①3r 12＝r 22， ②∴r 2＝3r 1，代入①得r 1＝2，∴z ＝1＋3i －2＝－1＋3i.5．设复数z 满足z －3z －的辐角主值为5π4，z ＋1的模为10，求复数z .解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．由|z ＋1|＝10，得|(x ＋1)＋y i|＝10， ∴(x ＋1)2＋y 2＝10.①又z －3z －＝(x ＋y i)－3(x －y i)＝－2x ＋4y i ，所以 arg(z －3z －)＝5π4⇔⎩⎨⎧－2x <0，4y <0，－2x ＝4y ，②解①②，可得x ＝2，y ＝－1. 所以z ＝2－i.《7.3 复数的三角表示》课后作业7.3.1 复数的三角表示式基础巩固训练一、选择题1．如果非零复数有一个辐角为－7π4，那么该复数的( ) A ．辐角唯一 B ．辐角主值唯一 C ．辐角主值为－7π4D ．辐角主值为7π4答案 B解析 ∵辐角主值范围是[0,2π]，任何一个非零复数都有唯一的辐角主值，∴有一辐角为－7π4，则该复数有唯一的一个辐角主值，为π4.故选B.2．复数z ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π3－icos 4π3的辐角主值是( ) A.4π3 B.5π3 C.11π6 D.π6答案 C解析 z ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3＋icos π3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－icos π3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6，∴arg z ＝11π6. 3．复数z ＝11＋i的辐角主值是( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4答案 D解析 z ＝11＋i ＝12－12i ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4，所以辐角主值是7π4，故选D.4．复数1＋3i 的三角形式是( ) A ．cos π3＋isin π3 B ．2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3C ．cosπ6＋isin π6 D ．2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6答案 B解析 1＋3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3.故选B.5．已知复数z ＝－1＋3i ，则它的共轭复数z －的三角形式为( ) A ．z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3－isin 4π3 B ．z ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 C ．z ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3D ．z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π3＋isin 5π3 答案 C解析 ∵z －＝－1－3i ，∴|z －|＝2，z －＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3. 6．著名数学家欧拉发现了复数的三角形式：e i x ＝cos x ＋isin x (其中i 为虚数单位，i 2＝－1)，根据这个公式，e 3i 表示的复数在复平面中所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵e i x ＝cos x ＋isin x ，e 3i ＝cos3＋isin3,3弧度的角终边在第二象限．选B.二、填空题7．复数－2i 的实部是________，虚部是________，三角形式是________．答案 0 －2 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2 解析复数－2i ＝0－2i ，所以实部是0，虚部是－2，三角形式为2⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2.8．复数1＋i 的模是________，辐角主值是________，三角形式是________．答案2 π42⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4解析复数1＋i 的模是12＋12＝2，∵1＋i 对应的点在第一象限，且辐角的正切tan θ＝1，∴arg(1＋i)＝π4. ∴三角形式为2⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4.9．复数2＋i 和－3－i 的辐角主值分别为α，β，则tan(α＋β)等于________．答案 1解析 ∵复数2＋i 和－3－i 的辐角主值分别为α，β. ∴tan α＝12，tan β＝13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1.三、解答题10．已知复数z ＝12＋32i ，w ＝22＋22i ，求复数zw ＋zw 3的模及辐角主值．解 ∵zw ＋zw 3＝zw (1＋w 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22i (1＋i)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6. ∴复数zw ＋zw 3的模为2，辐角主值为5π6. 能力提升训练1．已知复数z ＝1－sin θ＋icos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，求z 的共轭复数z －的辐角主值．解 z ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝2cos 2π2＋θ2＋2isin π2＋θ2cos π2＋θ2＝2cos π2＋θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋θ2＋isinπ2＋θ2，当π2<θ<π时，π4<3π4－θ2<π2，π2<π4＋θ2<3π4， ∴z －＝－2cos π2＋θ2⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋θ2＋isin π2＋θ2＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ2， ∴辐角主值为3π4－θ2. 2．已知复数z ＝1＋i ，求复数z 2－3z ＋6z ＋1的模和辐角主值．解 z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋61＋i ＋1＝3－i 2＋i＝1－i ，|1－i|＝12＋(－1)2＝2，因为1－i 对应的点在第四象限且辐角的正切tan θ＝－1，所以辐角的主值θ＝7π4.《7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》复习教案【基础知识拓展】1．复数三角形式的乘法公式推广z 1z 2z 3…z n ＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)·…·r n (cos θn ＋isin θn )＝r 1r 2…r n [cos(θ1＋θ2＋…＋θn )＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn )]．2．复数的乘方运算(棣莫佛定理)[r (cos θ＋isin θ)]n ＝r n (cos nθ＋isin nθ)．即复数的n (n ∈N *)次幂的模等于模的n 次幂，辐角等于这个复数的辐角的n 倍，这个定理称为棣莫佛定理．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复数范围内，1的立方根是1.( ) (2)z z －＝|z |2.( )(3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3·3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝6i.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)把z ＝2－i 对应的向量OZ →，按顺时针方向旋转π2，所得向量对应的复数的代数形式为________．(2)(1＋3i)2019＝________.(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝________.答案 (1)－1－2i (2)－22019 (3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6【核心素养形成】题型一复数三角形式的乘法运算例1 计算下列各式：(1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋isin π12·3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5π6＋isin 5π6； (2)3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋isin π6·7⎝ ⎛⎭⎪⎫cos3π4＋isin 3π4； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3－4.[解] (1)原式＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋5π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋5π6 ＝6⎝⎛⎭⎪⎫cos 11π12＋isin 11π12. (2)原式＝21⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4 ＝21⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π12＋isin 11π12. (3)原式＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π34＝116⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3＝116⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝－12＋32i 16＝－132＋332i.【解题技巧】(1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和． (2)复数三角形式乘法运算注意向量旋转的方向．(3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式．【跟踪训练】(1)如果向量OZ →对应复数4i ，OZ →逆时针旋转45°后再把模变为原来的2倍，得到向量OZ 1→，那么与OZ 1→对应的复数是________；(2)计算(1＋3i)6.答案 (1)－4＋4i (2)见解析解析 (1)OZ →＝4i ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2，OZ 1→＝42⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝42⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22i ＝－4＋4i.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π36＝26⎝ ⎛⎭⎪⎫cos6π3＋isin 6π3＝26. 题型二复数三角形式的除法运算例2 计算(1＋i)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4. [解] 因为1＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4，所以原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π43⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝63(0－i) ＝－63i.【解题技巧】(1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角．(2)结果一般保留代数形式．(3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差．实际上，arg z 1z 2与arg z 1，arg z 2的关系是：arg z 1z 2＝arg z 1－arg z 2＋2k π(k ∈Z )．【跟踪训练】计算：(1)[6(cos70°＋isin70°)]÷[3(cos40°＋isin40°)]； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6. 解 (1)原式＝2()cos30°＋isin30°＝3＋i. (2)原式＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2＝4i. 题型三复数乘、除运算几何意义的应用例 3 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝π4.[证明] 如图，建立平面直角坐标系(复平面)．∠1＝arg(3＋i)， ∠2＝arg(5＋i)， ∠3＝arg(7＋i)， ∠4＝arg(8＋i)．所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘积(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)的辐角．而(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)＝650(1＋i)，所以arg[(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)]＝π4，又因为∠1，∠2，∠3，∠4均为锐角，于是0<∠1＋∠2＋∠3＋∠4<2π，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝π4. 【解题技巧】复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件．【跟踪训练】设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，O 为坐标原点，且z 1＝－1＋3i ，若把OZ 1→绕原点逆时针旋转4π3，把OZ 2→绕原点顺时针旋转3π4，所得两向量恰好重合，求复数z 2.解依题意(－1＋3i)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3 ＝z 2cos 3π4＋isin3π4.∴z 2＝(－1＋3i)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋4π3＋3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋4π3＋3π4 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 11π4＋isin 11π4＝－2＋2i.【课堂达标训练】1.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π410＝( )A ．iB ．－i C.22＋22i D.22－22i 答案 A解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π410＝cos 10π4＋isin 10π4＝cos 5π2＋isin 5π2＝cosπ2＋isin π2＝i.故选A.2．若复数z ＝i1＋i ，则它的三角形式为( )A.12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4B.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4C.22⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4D.22⎝⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4答案 C解析 ∵z ＝i 1＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝22，复数z 对应的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，位于第一象限，所以arg z ＝π4.故选C.3.⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1答案 A解析原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝cos π2＋isin π2＝i.4．计算2÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝________. 答案2－2i解析解法一：原式＝222＋22i ＝2·(1－i )22(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2＝2－2i.解法二：原式＝2(cos0＋isin0)⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2×22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22i＝2－2i.5．求复数z ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋i 27的模．解因为32＋i 2＝cos π6＋isin π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋i 27＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π67＝cos 7π6＋isin 7π6＝－32－12i ，故z ＝1－32－12i ， |z |＝⎝⎛⎭⎪⎫1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 2－3＝4－232＝ (3－1)22＝3－12＝6－22.《7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》课后作业基础巩固训练一、选择题1．复数sin40°－icos40°的辐角主值是( ) A ．40° B ．140° C ．220° D ．310°答案 D解析 ∵sin40°＝cos310°，－cos40°＝sin310°，∴sin40°－icos40°＝cos310°＋isin310°.故复数的辐角主值为310°.选D.2.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4(1＋i)的值是( ) A ．－2i B.2i C ．2i D ．－2i 答案 B解析解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22i (1＋i)＝22(1＋i)2＝22×(2i)＝2i.解法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4·2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2＝2i.故选B.3．计算icos120°＋isin120°的辐角主值为( )A.5π6 B.7π6 C.11π6D.5π3 答案 C解析解法一：原式＝i －12＋32i ＝32－12i ＝cos 11π6＋isin 11π6.故选C. 解法二：原式＝cos90°＋isin90°cos120°＋isin120°＝cos(－30°)＋isin(－30°)＝cos330°＋isin330°，因为330°＝11π6.故选C.4．计算()cos36°＋isin36°－5的结果为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D.12答案 A 解析原式＝1(cos36°＋isin36°)5＝1cos180°＋isin180°＝－1.选A.5．复数z ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－isin π5(i 是虚数单位)的三角形式是( )A ．3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5B ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋isin π5C ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π5＋isin 4π5D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 6π5－isin 6π5答案 C解析 z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π5＋isin π5＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos4π5＋isin 4π5.故选C. 6．计算(1＋3i)2020＝( ) A ．22019＋220193i B ．－22019＋220193i C ．22019－220193i D ．－22019－220193i答案 D解析原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π32020＝22020⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2020π3＋isin 2020π3＝22020⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3＝22020⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝－22019－220193i.选D. 二、填空题7．若复数z ＝(a ＋i)2的辐角是3π2，则实数a 的值是________．答案－1解析 z ＝a 2－1＋2a i ，辐角为3π2，则a 2－1＝0且2a <0，故可得a ＝－1满足题意．8．在复平面内，点A 对应的复数为1，点B 对应的复数为3＋i ，将向量A B →绕A 按逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，得向量A C →，则C 点对应的复数为________．答案－1＋4i解析 AB →对应的复数为3＋i －1＝2＋i ，逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，即可得A C →对应的复数为(2＋i)×2(cos90°＋isin90°)＝(2＋i)×2i＝－2＋4i.设C 点对应的复数为z ，则z －1＝－2＋4i ，故z ＝－1＋4i.9．8(cos240°＋isin240°)×[2(cos150°－isin150°)]＝________. 答案 16i解析原式＝16(cos240°＋isin240°)×(cos210°＋isin210°) ＝16(cos90°＋isin90°)＝16i. 三、解答题10．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的三角形式是r (cos θ＋isin θ)，试写出下列各复数的三角形式．(1)z 1＝－a ＋b i ；(2)z 2＝－a －b i ；(3)z 3＝a －b i.解 (1)z 1＝r (－cos θ＋isin θ)＝r [cos(π－θ)＋isin(π－θ)]． (2)z 2＝r (－cos θ－isin θ)＝r [cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]． (3)z 3＝r (cos θ－isin θ)＝r [cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]．能力提升训练1．已知|z |＝1，z 5＋z ＝1，求复数z .解由|z |＝1，可设z ＝cos θ＋isin θ且0≤θ<2π.代入方程z 5＋z ＝1，得(cos θ＋isin θ)5＋(cos θ＋isin θ)＝1，即(cos5θ＋cos θ－1)＋(sin5θ＋sin θ)i ＝0，所以⎩⎨⎧cos5θ＋cos θ－1＝0，sin5θ＋sin θ＝0，即⎩⎨⎧cos5θ＝1－cos θ， ①sin5θ＝－sin θ， ②两式平方后，相加得(1－cos θ)2＋(－sin θ)2＝1. 解得cos θ＝12，从而sin θ＝±32.经验证知，z ＝12±32i 都是原方程的解．故z ＝12＋32i 或z ＝12－32i.2．设z ＝r (cos θ＋isin θ)，求证1z m ＝1rm ()cos mθ－isin mθ(m ∈N *)．证明 1zm＝1r m(cos θ＋isin θ)m ＝1r m ·1cos mθ＋isin mθ＝1rm ·cos mθ－isin mθ(cos mθ＋isin mθ)(cos mθ－isin mθ)＝1rm (cos mθ－isin mθ)．得证．。

(完整版)17.3复数的几何意义和三角形式

情感目标：培养学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想。
教学重点
用复平面上的点、向量和三角形式表示复数；复数的模和辐角、辐角主值的概念.
教学难点
复数几何表示法的理解；复数几种表示形式的互化；复数辐角的求法.
教学资源
课本，教学参考书,学习指导书，网络
教法与学法
教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。
解：(1） =1，辐角主值
=
(3) ，由和点在第四象限，得
,
所以 =
想一想：怎样把复数表示成三角形式？
复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤是：
①求复数的模： ;②由及点所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
南京商业学校教案
授课日期
2015年月日第周
时数
课型
新课
课题
§17。3复数的几何意义和三角形式
教学
目标
知识目标:了解复平面的概念；掌握复数的几何表示和向量表示；理解复数的模、辐角及辐角主值的概念；掌握复数的三角形式及其特征。
能力目标：会在复平面内描出表示复数的点及向量；会求复数的模和辐角、和辐角主值（特殊角）;会进行复数的三角形式与代数形式的互化。
2．复数的几何表示
有序实数对（与直角坐标系内的点一一对应的，由复数代数形式可以知道,任何一个复数，都可以有一个有序的实数对（）唯一确定,即复数图1
与有序实数对（ )之间一一对应.由此可知,复数与复平面内的点之间是一一对应的（如图1所示)，即任何复数都可以用复平面内的点来表示。我们把这种表示形式叫做复数的几何表示.
学情分析
（含更新、补充、删节内容）

§17.3.3复数的几何意义及三角形式

复数0的三角形式怎样？非0实数呢？纯虚数呢？
将下列复数的代数形式化成三角形式： 1 3 (3) z4 2i; (4) z5 i. 2 2
将下列复数的三角形式化成代数形式： (1) z1 2(cos i sin ); (2) z2 6(cos 60 i sin 60 ). 6 6 解： (1) z1 2(cos i sin ) 6 6 3 1 2( i) 3 2i. 2 2 (2) z2 6(cos 60 i sin 60 ) 1 3 6( i) 3 3 3i. 2 2
将下列复数的三角形式化成代数形式：

(3) z4 3(cos 0 isin0); (4) z5 3[cos( ) isin( )]. 3 3

共轭复数模和辐角有什么关系？
y a＋bi
Z r (cos i sin )
x

O
|z|
Z r[cos( ) i sin( )]
复数的三角形式条件：
Z= r （ cos θ + i sinθ ）
“模非负，角相同，余正弦，加号连”
①r≥0； ②加号连接； ③cos在前，sin在后； ④θ前后一致，可任意值（一般取辐角主值）
指出下列复数的模和辐角： (1) cos

6 6 辐角为 . 解：(1)复数的模为1， 6 (2)复数的模为 2，辐角为75 .
y 所以： z＝a＋bi
z=a+bi Z( a , b )
a b
r cos ir sin r (cos i sin )

o
一般地，我们把z r (cos i sin ) 称复数的三角形式. x 其中r= z 0, .

复数的三角形式及计算公式

复数的三角形式及计算公式复数是数学中一个重要的概念，它可以表示为实部和虚部的和，通常用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位。

复数在数学和物理中有着广泛的应用，而复数的三角形式是表示复数的另一种形式，它可以更直观地展示复数的性质和特点。

本文将介绍复数的三角形式及其计算公式。

一、复数的三角形式。

复数的三角形式是指将复数表示为模长和幅角的形式，通常用r(cosθ + i sinθ)表示，其中r为模长，θ为幅角。

这种表示方法可以更直观地展示复数在平面直角坐标系中的位置和方向。

下面我们来看一下复数的三角形式的具体表达方式。

1.1 模长和幅角。

复数z=a+bi的模长r和幅角θ可以通过以下公式计算得出：r = |z| = √(a² + b²)。

θ = arg(z) = arctan(b/a)。

其中，|z|表示复数z的模长，arg(z)表示复数z的幅角。

1.2 复数的三角形式。

有了模长和幅角，我们就可以将复数表示为三角形式了：z = r(cosθ + i sinθ)。

这个表示方法将复数看作是一个向量，其模长r表示向量的长度，而幅角θ表示向量与实轴的夹角。

这种表示方法更直观地展示了复数在平面直角坐标系中的位置和方向。

二、复数的三角形式的计算。

下面我们来看一下如何通过复数的实部和虚部计算出其三角形式。

2.1 计算模长。

复数z=a+bi的模长可以通过以下公式计算得出：r = |z| = √(a² + b²)。

这个公式表示复数z的模长等于实部a和虚部b的平方和的平方根。

通过这个公式，我们可以很容易地计算出复数的模长。

2.2 计算幅角。

复数z=a+bi的幅角可以通过以下公式计算得出：θ = arg(z) = arctan(b/a)。

这个公式表示复数z的幅角等于虚部b与实部a的反正切值。

通过这个公式，我们可以计算出复数的幅角。

2.3 计算三角形式。

有了模长和幅角，我们就可以计算出复数的三角形式了：z = r(cosθ + i sinθ)。

复数的三角表示

三. 复数乘除法的几何意义的应用
例5 已知复数z1＝-2+i对应的点为P1，z2＝-3+4i对应的点为P2，
把向量
uuuur P1P2
绕P1点按顺时针方向旋转
2
后，得到向量
uuur P1P
，求向
量
uuur P1P
和点P对应的复数分别是什么？
uuuur
解：由题意知向量 P1P2 对应的复数是
z2-z1＝（-3+4i）-（-2+i）＝-1+3i.
【名师点拨】将复数的三角形式r（cos θ+isin θ）化为代数形式a+bi（a，b∈R）时，其中a＝rcos θ， b＝rsin θ. 【注意】复数z＝a+bi（a，b∈R）与复平面内的点（a，b）是一一对应的.
二. 利用复数的三角形式进行复数的乘、除运算
<1>复数的乘法运算
例3.
5
3.复数代数形式和三角形式的转化
a+bi＝rcos θ+irsin θ＝r（cos θ+isin θ），
a
b
其中 r＝ a2 b2 ， cos θ＝ r , sin θ＝ r .
(1)复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一. (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.
cos
6

isin
6

·
2

cos
4

isin
4

＝
.
【解析】
5

cos

6
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复数除法的三角表示的几何意义

复数除法的三角表示的几何意义复数除法的三角表示在复分析中有着重要的应用。

它的几何意义和直观理解，使得复数运算变得更加形象和易于理解。

这篇文章将详细探讨复数除法的三角表示及其背后的几何含义。

我们需要了解复数的基本概念。

复数是实数扩展到二维平面上的一种数学结构，通常用形如a+bi（其中a和b是实数，i为虚数单位，满足i²=-1）的形式来表示。

每个复数可以看作是一个平面上的点，其横坐标为a，纵坐标为b。

我们引入复数的三角表示。

一个复数z=a+bi可以写成r(cosθ+isinθ)的形式，其中r=√(a²+b²)是复数的模，θ=arctan(b/a)是复数的幅角。

这种形式被称为复数的极坐标表示或三角表示，它把复数与平面上的点和向量联系起来。

我们将讨论复数除法的三角表示。

设我们要计算两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1)和z2=r2(cosθ2+isinθ2)的商。

根据复数除法法则，我们可以得到：z1/z2 = (r1/r2)[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]这个公式告诉我们，两个复数相除的结果等于它们的模长之比乘以一个旋转了两者的幅角之差的新复数。

这表明，复数除法实际上是在保持模长比例的同时，对原复数进行了一次旋转操作。

从几何角度看，复数除法的三角表示揭示了复数运算的一种直观图像。

我们知道，复数可以看作平面上的点或者向量，而复数除法则是通过改变向量的方向和长度来进行的。

具体来说，当我们将一个复数除以另一个复数时，实际上就是将原向量按比例缩小，并绕着零点逆时针旋转一个角度。

这个角度就是被除复数的幅角。

举个例子，如果我们要计算复数z=1+i/(-1-i)，那么可以先将其转化为三角表示：z=1+i=√2(cosπ/4+isinπ/4)，(-1-i)=√2(cos3π/4+isin3π/4)。

于是有：z/(-1-i) = (1/√2)(cos(-π/2)+isin(-π/2)) = -i这个结果意味着，将向量1+i按照模长缩小为原来的1/√2，并逆时针旋转π/2，就得到了向量-i。

复数的几何意义

复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

复数的几何意义用

复数的几何意义用复数是由实部和虚部组成的数学对象，在几何上可以用来表示和描述平面上的点和向量。

在以下内容中，我将详细介绍复数的几何意义以及其在几何应用中的重要性。

首先，让我们回顾一下复数的表示形式。

一个复数可以用以下形式表示：z = a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1、实部和虚部分别是复数在实轴和虚轴上的投影。

实际上，复数可以理解为平面上的一个点，其中实部表示点在x轴上的坐标，虚部表示点在y轴上的坐标。

将复数z = a + bi绘制在笛卡尔坐标系中，可以将其视为一个有序对(a, b)在平面上的位置。

复数的几何意义之一是表征平面上的向量。

对于一个复数z = a + bi，可以将其看作从原点(0,0)到点(a,b)的一个向量。

向量的长度可以通过计算复数的模来获得，模定义为 z 的绝对值模（，z，）如下所示：，z，= √(a^2 + b^2)。

因此，从几何意义上来说，复数的模表示该向量的长度。

此外，复数还可以通过角度表示。

复数z = a + bi可以与极坐标形式r*(cosθ + sinθ) 相互转换，其中 r 是模长，θ 是与x轴正向的夹角。

根据三角函数的性质，a = r*cosθ，b = r*sinθ。

这样，复数就可以用长度和角度来表示，而不仅仅是实部和虚部。

利用复数的角度表示，可以进行复数的乘法和除法运算。

复数的乘法相当于向量的旋转变换，而复数的除法则相当于向量的缩放和旋转变换。

这种特性在几何应用中非常有用，例如在图形的旋转、缩放和平移中。

此外，几何上的旋转可以使用复数乘法非常方便地表示出来。

给定一个复数z = a + bi，可以通过乘以一个单位复数e^iθ（其中θ是旋转角度）来将点(a, b)绕原点旋转。

这种使用复数进行旋转的方法，简化了复杂的旋转变换为简单的乘法操作，极大地提高了计算的效率。

在复数的几何应用中，除了表示点和向量的位置和变换，复数还可以用来描述直线和曲线。

复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算一、主要内容:复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.二、学习要求:1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.三、重点:复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.四、学习建议:1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.代数形式r=三角形式Z=a+bi(a,b∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值.例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:(1) Z1=-2(cosθ+isinθ)(2) Z2=cosθ-isinθ(3) Z3=-sinθ+icosθ(4) Z4=-sinθ-icosθ(5) Z5=cos60°+isin30°分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(-cosθ-isinθ)复平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]（2）由“加号连”知，不是三角形式复平面上点Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.∴Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.（3）由“余弦前”知，不是三角形式复平面上点Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式“+θ”将θ变换到第二象限.∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ)同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ)（5）Z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos+isin)=(cos+isin)小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i.sin cos=2cos(cos+isin) (1)∵π<θ<2π∴<<π,∴cos<0∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)]∴r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)∵<<π∴π<π+<2π，∴argZ=π+.小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或ArgZ=错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ，Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.例3．将Z=(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值.分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.解:====cos2θ+isin2θ∵π<θ<3π, ∴<2θ<6π,∴π<2θ-4π<2π，∴argZ=2θ-4π小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围内的辐角称辐角主值，记为argZ.要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.解:法一，数形结合由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π)法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,∴|Z|=≤=,∵(x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,∴1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.例5．复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠xOA=π,而|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3, ∴所求最小值=3.法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA，且过点（-3，0）的射线BM，∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3,∴所求最小值=3.小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.解：∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(Z-4i)最大值为π.3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形，平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算.例7．若与分别表示复数Z1=1+2i, Z2=7+i, 求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.解:欲求∠Z2OZ1，可计算====∴∠Z2OZ1=且=，由余弦定理，设|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos=3k2∴|Z1Z2|=k,而k2+(k)2=(2k)2，∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形.小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.解:如图，建立复平面x0y，设向量、对应复数分别为x1+y1i, x2+y2i.由对称性，|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8,∴x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i∴设抛物线方程为y2=2px(p>0)则有y12=2px1, y22=2px2,∴x1=, y12=p2, 又|OA'|=1，∴()2+p2=1,∴p=或-（舍）∴抛物线方程为y2=x，直线方程为:y=x.小结:对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效.五、易错点1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定.2．注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值.3．复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式.4．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.六、练习1．写出下列复数的三角形式(1) ai(a∈R)(2) tgθ+i(<θ<π）(3) -（sinθ-icosθ)2．设Z=(-3+3i)n, n∈N，当Z∈R时，n为何值？3．在复平面上A，B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α，判断ΔAOB形状，并证明SΔAOB=|d|2. 参考答案:1．（1）ai=（2）tgθ+i(<θ<π）=-[cos(π-θ)+is in(π-θ)]（3）-(sinθ-icosθ)=[cos(+θ)+isin(+θ)]2．n为4的正整数倍3．法一:∵α≠0，β=（1+i)α∴=1+i=(cos+isin), ∴∠AOB=,∵分别表示复数α，β-α，由β-α=αi，得=i=cos+isin，∴∠OAB=90°,∴ΔAOB为等腰直角三角形.法二:∵||=|α|, ||=|β-α|=|αi|=|α|,∴||=||又||=|β|=|(1+i)α|=|α|,||2+||2=|α|2+|α|2=2|α|2=||2∴ΔAOB为等腰直角三角形，∴SΔAOB=||·||=|α|2.在线测试选择题1．若复数z=(a+i)2的辐角是，则实数a的值是（）A、1B、-1C、-D、-2．已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a， b满足|a-b|=3，则p的值是（）A、-2B、-C、D、13．设π<θ<，则复数的辐角主值为（）A、2π-3θB、3θ-2πC、3θD、3θ-π4．复数cos+isin经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于（）A、3B、12C、6k-1(k∈Z)D、6k+1(k∈Z)5．z为复数，()|z-3|=()|z+3|()-1的图形是（）A、直线B、半实轴长为1的双曲线C、焦点在x轴，半实轴长为的双曲线右支D、不能确定答案与解析答案：1、B 2、C 3、B 4、C 5、C解析：1．∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai， argz=，∴，∴a=-1，本题选B.2．求根a，b=（Δ=1-4p<0）∵|a-b|=||=3，∴ 4p-1=9， p=，故本题应选C.3．==cos3θ+isin3θ.∵π<θ<，∴3π<3θ<，∴π<3θ-2π<，故本题应选B.4．由题意，得(cos+isin)n=cos+isin=cos-isin由复数相等的定义，得解得=2kπ-，(k∈Z)，∴n=6k-1.故本题应选C.5．依题意，有 |z-3|=|z+3|-1，∴ |z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义，此方程表示焦点(±3，0)，2a=1， a=的双曲线右支，故本题应选C.复数三角形式的运算·疑难问题解析1．复数的模与辐角：(1)复数模的性质：｜z1·z2｜=｜z1｜·｜z2｜(2)辐角的性质：积的辐角等于各因数辐角的和．商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．一个复数n次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的n倍．注意：(1)辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点．如下面两个问题：若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求α+β的值．(α+β∈(3π，4π))若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求arg[(2-i)(3-i)]的值．(2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和，商的辐角主值不一定等于辐角主值的差.2．关于数的开方(1)复数的开方法则：r(cosθ+isinθ)的n次方根是几何意义：设对应于复平面上的点，则有：所以，复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点．(2)复数平方根的求法．求-3-4i的平方根．解法一利用复数代数形式．设-3-4i的平方根为x+yi(x，y∈R)，则有(x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由复数相等条件，得∴-3-4i的平方根是±(1-2i)．法二利用复数的三角形式．3．复数集中的方程．关于实系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c∈R，x1，x2为它的两个根)(1)当△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根当△=b2-4ac＜0时，方程有一对共轭虚根(4)二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)关于复系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c∈C，且至少有一个虚数，x1x2为它的两个根)(4)二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然适用．关于二项方程的解法形如a n x n+a0=0(a0，a n∈C且a n≠0)的方程叫做二项方程，任何一个二项方程都可以化成x n=b(b∈C)的形式，因此都可以通过复数开方来求根．可以充分利用复数z的整体性质，复数z的三种表示方法及其转换来解方程．已知方程x2-4x+p=0两虚数根为α、β，且|α-β|=2求实数p的值．解法1∵实系数一元二次方程虚根共轭设α=a+bi，β=a-bi，(a，b∈R)∴α+β=2a=4，∴a=2又∵|α-β|=2, ∴|2bi|=2得b=±1即两根为2+i，2-i由韦达定理得：p=(2+i)(2-i)=5法2由韦达定理可得：α+β=4，αβ=p于是|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|42-4p|=4，即|4-p|=1又∵△=42-4p＜0p＞4，∴p-4=1，得p=5说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别．一等式成立．若有两个虚根则上述等式不成立．因为｜α-β｜2≠(α-β)2．因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要避免出现混淆与干扰．已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根，求实数a的值．分析已知方程有模为1的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数a要注意分域讨论．解(1)若所给方程有实根则△=(3a)2-4×2(a2-a)=a2+8a＞0，即a＜-8或a＞0由条件得根必为1或-1，①将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解．(2)若所给方程有虚根则△=a2+8＜0，即-8＜a＜0即a2-a-2=0，∴a=-1或a=2(舍)已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有实数根，求实数m．分析求实数m的范围，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数．利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等，解方程组来求实数m均可以．现仅介绍一种方法．解∵x，m∈R，方程变形可得，(x2+x+3m)-(2x+1)i=0复数例题讲解与分析例1．已知x, y互为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y.[思路1]：确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设z=a+bi或三角形式，化虚为实。

复数的三角形式2018

3、辐角主值：复数的辐角是不唯一的，我们把复数z在(- π，π]内的辐角叫做辐角主值，记作argz .我们所说的辐角一般指的是它的主值.即-π < argz≤π 规定：复数0的辐角是任意值.
每一个不等于零的复数有唯一的模和辐角主值，并且可由模与辐角主值唯一确定。
思考：如何求取和确定辐角
新知学习
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4
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练习巩固
教材第74、75页第一题、第二题(1)、(2)
总结回顾
作业布置
教材第75页第三题
今日寒窗苦读，必定有我明朝独占鳌头，舍我其谁
新知学习
复数的三角形式
例3：把下列复数的代数形式化为三角形式。
(1)z1 1 3 i (2) z2 4 i
解：
步骤：①求出模②确定辐角主值③写出其三角形式。
．
新知学习
复数的三角形式
例4：把下列复数的三角形式化为代数形式。
(1) 2(cos i sin )
3
3
解：
(2) 2[cos( 3) i sin( 3)]
复数的三角形式
若复数z的模为r,辐角为，则 z r(cos i sin )
一般地，我们把 z r(cos i sin ) 叫复数的三角形式.
要点：复数的三角形式须满足
“模非负，角相同，余正弦，加号连” 例1 指出下列复数的模和辐角
(1)2(cos i sin )
3
3
(2) 2[cos( 3) i sin( 3)]
17.3.3 复数的三角形式
复习导入
复数的模与辐角
1、复数的模：一般地，复平面内表示复数z=a+bi
（a,b∈R）的点Z(a,b）到原点的距离叫做复数的模,

《复数的三角表示》考点讲解复习与同步训练

《7.3 复数的三角表示》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一复数的三角表示【例1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3；（2.【例1-2】．把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）4cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）553cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【一隅三反】1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）12+；（2）1i -.2．将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）sin )i ππ+；（2）11116cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）44cossin 33i ππ⎫+⎪⎭；（4）338cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3．（将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）2i ；（2）-2i ；（3）1；（4）.考法二复数的辅角【例2】复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为（） A ．518π B ．169π C ．29π D ．79π【一隅三反】1.复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（）A ．6π B ．3πC ．23π D ．43π2．若复数1z =--（i 为虚数单位），则arg z 为（） A ．120︒-B ．120°C ．240°D ．210°3．把复数z 1与z 2对应的向量OA OB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（）A ．，34πB ．3,4πC ．,4πD ．,4π考法三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】计算下列各式：（122cos sincos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭；（2）()112cos15sin1522i ︒︒⎛⎫+⨯-+⎪⎝⎭；（3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭；（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭.【一隅三反】 1． cosisin3cos isin 2266ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．32 B ．32 C ．32-+ D ．32-2． ()()9cos3isin33cos2isin 2ππππ+÷+=（）A ．3B ．3-CD ．3．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（）A ．22i + B ．22-C ．22-+ D ．22-- 4．算下列各式，并作出几何解释：（122cossin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭（3）()334cos300sin300cossin 44i i ππ︒︒⎤⎫+÷+⎪⎥⎭⎦（4）12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.《7.3 复数的三角表示》考点讲解答案解析考法一复数的三角表示【例1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3；（2.【答案】（1）11113cosisin 66ππ+⎫=⎪⎭（2）77cos isin244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭【解析】（1）r ==因为与3对应的点在第四象限，所以()11arg 36π=，所以11113cos isin 66ππ+⎫=⎪⎭.（2）2r ==.对应的点在第四象限，所以)7arg 4π=，77cosisin 244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭. 【例1-2】．把下列复数的三角形式化成代数形式. （1）4cosisin33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）553cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）2+（2）i 22-- 【解析】（1）4cosisin4cos 4sin i 3333ππππ⎛⎫⎛⎫+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭144i 222⎛=⨯+⨯=+ ⎝⎭. （2）55553cos isin3cos 3sin i 33i 44442222ππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+⨯-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【一隅三反】1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）12+；（2）1i -.【答案】（1）作图见解析;1cos sin 233i ππ+=+（2）作图见解析;771cos sin44i i ππ⎫-=+⎪⎭【解析】（1）复数122i +对应的向量如图所示，则11,cos 2r θ===.因为与12+对应的点在第一象限，所以1arg 23π⎛⎫+=⎪⎝⎭.于是1cos sin 233i ππ+=+.（2）复数1i -对应的向量如图所示，则2r θ====. 因为与1i -对应的点在第四象限，所以7arg(1)4i π-=.于是771cos sin 44i i ππ⎫-=+⎪⎭.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角θ不一定取主值.例如cos sin 44i ππ⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦也是1i -的三角形式.2．将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）sin )i ππ+；（2）11116cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）44cossin 33i ππ⎫+⎪⎭；（4）338cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）-（2）3i （3）22--（4）8i -【解析】（1）sin )10)i i ππ+=-+⋅=-（2）111116cos sin 636622i i i ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）441cossin 332222i ππ⎫⎫+=--=--⎪⎪⎭⎭. （4）338cossin 8(0)822i i i ππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 3．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）2i ；（2）-2i ；（3）1；（4）. 【答案】（1）11114cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）332cos sin 22i ππ⎛⎫+⎪⎝⎭；（3）552cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4sin )i ππ+【解析】（1）∵4r ==，cos 2θ=，1sin 2θ=-，又[0,2)θπ∈，∴116πθ=，∴111124cos sin 66i i ππ⎛⎫-=+⎪⎝⎭. （2）∵2r，cos 0θ=，sin 1θ=-，又[0,2)θπ∈，∴32πθ=， ∴3322cos sin 22i i ππ⎛⎫-=+⎪⎝⎭.（3）∵2r ==，1cos 2θ=，sin θ= 又[0,2)θπ∈，∴53πθ=，∴5512cos sin 33i ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.（4）∵r =cos 1θ=-，sin 0θ=，又[0,2)θπ∈，∴θπ=.∴sin )i ππ=+.考法二复数的辅角【例2】复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为（） A ．518π B ．169π C ．29π D ．79π 【答案】D 【解析】5577sin cos cos sin 181899z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为79π.故选：D【一隅三反】1.复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（）A ．6π B ．3πC ．23π D ．43π 【答案】C【解析】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cossin )332Z i O OZ ππ=+=+2111()2222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ= 23πθ∴=故选：C2．若复数1z =--（i 为虚数单位），则arg z 为（） A ．120︒- B ．120°C ．240°D ．210°【答案】C【解析】由1z =--，得复数z 对应的点在第三象限，且1cos 2θ=-，所以arg 240z ︒=.故选：C.3．把复数z 1与z 2对应的向量OA OB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（）A．，34πB．3,4π C ．22,4i π--D ．22,4i π-+【答案】B【解析】由题可知1255cossincos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11122222z ⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， )()()1111122i z i i i ---∴====++-，可知1z 对应的坐标为(，则它的辐角主值为34π.故选：B.考法三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】计算下列各式：（122cos sin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭；（2）()112cos15sin1522i ︒︒⎛⎫+⨯-+ ⎪⎝⎭；（3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭；（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭.【答案】（1）6-；（2）22i -+；（3）1122i -+；（4）44--【解析】（122cossincos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭226cos isin 6(cos sin )63333i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. （2）()112cos15sin1522i i ︒︒⎛⎫+⨯-+ ⎪⎝⎭332cos sin cos sin 1212244i i ππππ⎛⎫⎫=+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33cos isin 124124ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦551cos sin6622i i ππ⎛⎫⎫=+=-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭22=-+.（3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭55332cos sincos sin 3344i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦5353cos sin3434i ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦1111cos sin1212i ππ⎫=+⎪⎭cos sin 1212i ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭44⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1122i =-+.（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭ 55cos sincos sin 3333i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦55cos isin3333ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦44cos sin 233i ππ⎫=+⎪⎝⎭1222⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭44i =--. 【一隅三反】 1． cosisin3cos isin 2266ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．32 B ．32 C ．32-+ D ．32-【答案】C 【解析】cosisin3cos isin 3cos isin 22662626ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2233cos isin3322ππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭.故选：C 2． ()()9cos3isin33cos2isin 2ππππ+÷+=（）A ．3B ．3-CD ．【答案】B【解析】()()9cos3isin33cos2isin 2933ππππ+÷+=-÷=-.故选：B 3．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（）A ．22i + B ．22i - C ．22-+ D ．22i -- 【答案】C 【解析】()()1cos30sin 302cos60sin 602i i ︒+︒⨯︒+︒⨯()3cos45sin 45i ︒+︒ ()()123cos 306045sin 3060452i =⨯⨯︒+︒+︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦ ()3cos135sin135i =︒+︒322i ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭22=-+. 故选：C.4．计算下列各式，并作出几何解释：（122cossin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭（3）()334cos300sin300cossin 44i i ππ︒︒⎤⎫+÷+⎪⎥⎭⎦（4）12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.【答案】（1）-4，几何解释见解析（22i +，几何解释见解析（3）1)1)i -++-，几何解释见解析（4）14+，几何解释见解析【解析】（1）原式(cos sin )4(10)4i ππ=+=⨯-+=-.几何解释：设1222cos sin,cos sin 3333z i z i ππππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎭⎭，作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转3π，再将其长度伸长为原来的4,辐角为π的向量OZ ，则OZ 即为积124z z ⋅=-所对应的向量.（2）原式()2cos 75sin 75222i ︒︒⎫=+⨯-⎪⎪⎝⎭())2cos 75sin 75cos315sin 3152︒︒︒︒=+⨯+)1cos390sin 3902i i ︒︒⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭.几何解释：设())12112cos 75sin 75,cos315sin 31522z i z i ︒︒︒︒=+=-=+，作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短、辐角为6π 的向量OZ ，则OZ 即为积1222z z ⋅=+所对应的向量.（3）原式55334cossin cos sin 3344i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦1111cos sincos sin 12121212i i ππππ⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭1)1)i ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭. 几何解释：设()1554cos300sin 3004cos sin 33z i i ππ︒︒⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，233cos sin44z i ππ⎫=+⎪⎭作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点0按顺时针方向旋转34π，再将其长度，得到一个长度为1112π的向量OZ ，则OZ即为121)1)z i z =-+所对应的向量. （4）原式22cossin 2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111cos sin 23322244i i ππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.几何解释：设1122cos sin ,2cos sin 223333z i z i ππππ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ绕原点0按顺时针方向旋转3π，再将其长度缩短为原来的12，得到一个长度为12，辐角为3π的向量OZ ，则OZ即为1214z z =+所对应的向量.《7.3 复数的三角表示（精练）》同步练习【题组一复数的三角表示】 1．将复数4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成代数形式，正确的是（）A ．4B ．-4C ．4iD ．4i -2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）6；（2）1+i ；（3）1；（4）12i ；3．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（3）155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4）77cossin 55i ππ+；（5）2cos sin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4．把下列复数表示成代数形式：（1）cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭；（2）11118cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）9(cos sin )i ππ+ （4）446cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.5．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）22i -；（2）20；（3）33i --.6．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）-5i ；（2）-10；（3）1-+；（4i -.7．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：（1）4；（2）i -；（3）2i ；（4）12--.【题组二复数的辅角】1．下列各角不是复数3i -的辐角的是（） A ．6π-B ．116πC ．4πD ．356π2．复数sin 45icos45︒︒-的辐角主值是（） A ．45︒ B ．135︒C ．225︒D ．315︒3．复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是（）A ．34π B ．4π C ．34π-D ．4π-4．复数z =，则arg z =_______ .【题组三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】 1． cos sincos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．1B ．-1C ．iD ．i -2． ()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒=（）A ．6iB ．6iC ．6i -D ．6i -3． ()4cos sin 2cos sin33i i ππππ⎛⎫+÷+= ⎪⎝⎭（）A ．1+B ．1C ．1-+D ．1--4．()22cos60isin60÷︒+︒=（）A ．122+ B ．122- C ．122i + D ．122i - 5．计算：（1）3cossin3cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++⎪⎪⎭⎭；（3）2210cos sin 5cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（4）3312cos sin 6cos sin 2266i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6．计算：（1）8cossin2cos sin 6644i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 602i ︒︒︒︒+⨯+；（4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+.7．计算：（1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2))cos150sin150cos225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦；（3）2cossin44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭；（4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦.【题组四综合运用】1．（多选）任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数2． 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式ix e cos isin x x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①i πe 10+=；②20191122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；③i i 2cos e e x x x -=+；④i i 2sin e e x x x -=-.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．②④C ．①②D ．①③3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数i z e i π=-，则||z =（）.A B ．1C D ．4．把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.5．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.6．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 7.一般的，复数都可以表示为()cos sin z r i θθ=+的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，那么()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：cos sin cos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭______.（结果表示为a bi +，,a b ∈R 的形式）《7.3 复数的三角表示（精练）》同步练习答案解析【题组一复数的三角表示】1．将复数4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成代数形式，正确的是（）A ．4B ．-4C ．4iD ．4i -【答案】D 【解析】4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()401i =+-⎡⎤⎣⎦4i =-故选：D.2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）6；（2）1+i ；（3）1；（4）12i ；【答案】（1）6(cos0sin 0)i +,画向量见解析（2cossin44i ππ⎫+⎪⎭,画向量见解析（3）552cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,画向量见解析（4）55cos sin 66i ππ+,画向量见解析【解析】（1）6对应的向量如答图中1OZ ，6,cos 1,sin 0r θθ===，又[0,2)θπ∈，0,66(cos0sin 0)i θ∴=∴=+.（2）1i +对应的向量如答图中2OZ ，2,cos r θθ===又[0,2),4πθπθ∈∴=1cos sin 44i i ππ⎫∴+=+⎪⎭.（3）1-对应的向量如答图中3OZ112,cos ,sin 2r θθ=+===，又5[0,2),3πθπθ∈∴=，5512cos sin 33i ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.（4）12i +对应的向量如答图中4OZ ，11,cos 2r θθ===，又5[0,2),6πθπθ∈∴=，155cos sin2266i i ππ∴-+=+.3．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（3）155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4）77cossin 55i ππ+；（5）2cossin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【答案】（4）是三角形式；（1）（2）（3）（5）不是三角形式. （1）177cossin 244i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）144cos sin 233i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）1cos sin 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（5cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭. 【解析】（1）中间是“-“号，不是三角形式.1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=177cos sin 244i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）括号前面是负数，不是三角形式，1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=144cos sin 233i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1cos sin 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4）是三角形式．（5）括号内前后两个角不相等，不是三角形式，2cossin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭4．把下列复数表示成代数形式：（1）cossin44i ππ⎫+⎪⎭；（2）11118cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）9(cos sin )i ππ+ （4）446cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）33i +；（2）4i ；（3）9-；（4）3--.【解析】（1）原式33i ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭；（2）原式18422i i ⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭；（3）原式9(10)9i =⨯-+=-；（4）原式16322⎛⎫=⨯--=-- ⎪ ⎪⎝⎭.5．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）22i -；（2）20；（3）33i --.【答案】（1）77cossin 44i ππ⎫+⎪⎭；（2）20(cos0sin 0)i +；（3）55cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭【解析】解：（1）∵r ==cos θ=，sin θ=，又[0,2)θπ∈，∴74πθ=，∴7722cos sin 44i i ππ⎫-=+⎪⎭；（2）∵20r ==，cos 1θ=，sin 0θ=，又[0,2)θπ∈，∴0θ=， ∴2020(cos0sin0)i =+；（3）∵r ==cos θ=，sin θ=，又[0,2)θπ∈，∴54πθ=，∴5533cossin 44i i ππ⎫--=+⎪⎭． 6．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）-5i ；（2）-10；（3）1-+；（4i -.【答案】（1）335cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）10(cos sin )ππ+；（3）222cos sin 33i ππ⎛⎫+⎪⎝⎭；（4）11112cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵5r ==，cos 0,sin 1θθ==-，又[)0,2θ∈π，∴32πθ=，∴3355cos sin 22i i ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭；（2）∵10r ==，cos 1θ=-，sin 0θ=，又[)0,2θ∈π，∴θπ=，∴1010(cos sin )i ππ-=+；（3）∵2r ==，1cos 2θ=-，sin θ=又[)0,2θ∈π，∴23πθ=，∴2212cos sin 33i ππ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭；（4）∵2r ==，cos 2θ=，1sin 2θ=-，又[)0,2θ∈π，∴116πθ=11112cos sin 66i i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．7．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：（1）4；（2）i -；（3）2i ；（4）12--. 【答案】（1）44(cos0sin0)i =+；作图见解析（2）33cossin 22i i ππ-=+；作图见解析（3）24cos sin66i i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；作图见解析（4）144cos sin 2233i ππ--=+;作图见解析【解析】（1）44(cos0sin0)i =+；（2）33cossin 22i i ππ-=+；（3）24cos sin 66i i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（4）144cos sin233i ππ--=+.14,2,2i i --分别对应向量1234,,,OZ OZ OZ OZ ，如图所示.【题组二复数的辅角】1．下列各角不是复数3i -的辐角的是（） A ．6π-B ．116πC ．4πD ．356π【答案】C【解析】∵6r ==，cos θ=，1sin 2θ=-，∴辐角主值116πθ=，故可以作为复数3i 的辐角的是1126k ππ+，k ∈Z . ∴当1k =-时，11(2)66πππ+-=-；当0k =时，1111066ππ+=；当2k =时，1135466πππ+=；故选：C ．2．复数sin 45icos45︒︒-的辐角主值是（） A ．45︒ B ．135︒C ．225︒D ．315︒【答案】D【解析】∵1r ==，cos θ=，sin 2θ=-， ∴辐角主值315θ︒=，故选：D ． 3．复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是（）A ．34π B ．4π C ．34π-D ．4π-【答案】B【解析】由辐角主值的定义，知复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是4π.故选：B.4．复数z =arg z =_______ .【答案】2π【解析】z == 2= 413i =+ i = 复数z 在复平面内，对应点的坐标为()0,1，点()0,1在y 轴上，所以arg 2z π=，故答案为：2π.【题组三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】 1． cos sincos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．1 B ．-1C ．iD ．i -【答案】C【解析】cos sin cos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 6363i ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cossin22i ππ=+i =故选：C.2． ()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒=（）A ．6iB ．6iC ．6i -D ．6i --【答案】D【解析】()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒()()12cos 60150sin 60150i =︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()12cos210sin 210i =︒+︒1122i ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭6i =-故选：D.3． ()4cos sin 2cos sin33i i ππππ⎛⎫+÷+= ⎪⎝⎭（） A ．13i + B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】C【解析】4(cos sin )2cos sin 33i i ππππ⎛⎫+÷+ ⎪⎝⎭2cos sin 33i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222cos sin 33i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1=-+故选：C.4． ()22cos60isin60÷︒+︒=（）A ．12+ B ．122- C ．122i + D 12i 【答案】B【解析】()()22cos60sin602cos0sin0i i ÷︒+︒=︒+︒÷()2cos60sin60i ︒+︒()()cos 060sin 060i =︒-︒+︒-︒()()1sin 60cos 6022i i =-=︒-+-︒. 故选：B. 5．计算：（1）3cossin3cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++⎪⎪⎭⎭；（3）2210cossin 5cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（4）3312cossin 6cos sin 2266i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【答案】（1）9i ；（2）；（3）1+；（4）1--.【解析】（1）原式33cos sin 9cos sin 9363622i i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）原式cos sin 2424i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦33cos sin4422i i ππ⎫⎫=+=-+⎪⎪⎪⎭⎭=；（3）原式1022cos sin 2cos sin 5333333i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1212⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；（4）原式1233cos sin 62626i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4412cos sin213322i ππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6．计算：（1）8cossin2cos sin 6644i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 60i ︒︒︒︒++；（4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+.【答案】（1）i +（2）4i （3（4）30- 【解析】（1）8cossin2cos sin 6644i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5582cos sin 16cos sin 64641212i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦16i ⎫==+⎪⎪⎝⎭；（2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4545131324cos sin 8cos sin 363666i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18422i i ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 602i i ︒︒︒︒+⨯+()())cos 24060sin 24060cos300sin 30022i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+++=+⎣⎦12⎫=-=⎪⎝⎭；（4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i i i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+()()()32cos 1854sin 18545cos108sin108i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯+++⨯+⎣⎦()()6cos72sin725cos108sin108i i ︒︒︒︒=+⨯+()()()65cos 72108 sin 7210830cos180 sin 180i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯+++=+⎣⎦30(10)30i =-+⋅=-.另解（4）题还可以这样解：原式()()325cos 1854108sin 1854108i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯⨯+++++⎣⎦()30cos180sin180i ︒︒=+30(10)i =-+⋅30=-.7．计算：（1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2))cos150sin150cos225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦；（3）2cos sin 44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭；（4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦.【答案】（1）22--（2）3344-+-34）144i -+【解析】（1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦72722cos sin 4343i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13132cos sin2cos sin 12121212i i ππππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24422i ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭；（2))cos150sin150cos 225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦()()cos 150225sin 150225i ︒︒︒︒⎤=-+-⎦)cos75sin 75i ︒︒⎫=-=-=⎪⎭；（3）2cossin44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭2(cos 0sin 0)cos sin 44i i ππ⎛⎫=+÷+ ⎪⎝⎭2cos 0sin 044i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos sin 24422i ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦3322cos sin2cos sin 2233i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13232155cos sin cos sin 22323266i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111224i i ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 另解第（3）题还可以这样解：原式222⎛⎫=÷+⎪⎝⎭222⎛⎫- ⎪=⎝⎭⎝⎭=.第（4）题还可以这样解：原式12222i ⎡⎤⎛⎫=-÷⨯-+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=14i =+. 【题组四综合运用】1．（多选）任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数【答案】AC【解析】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z ri θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cossin332z i ππ=+=，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cossin 44nnn n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+，取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC.2． 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式ix e cos isin x x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①i πe 10+=；②20191122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；③i i 2cos e e x x x -=+；④i i 2sin e e x x x -=-.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．②④C ．①②D ．①③【答案】A【解析】因为i πcos in 1e s i ππ=+=-，故i πe 10+=，故①正确.()()i -i cos sin ,cos sin e e cos sin x x x i x x i x x i x =+=-+-=-，所以i i e e 2cos x x x -+=，i i e e 2sin x x i x --=，故③正确，④错误.而201920191cos isin 2233ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2019i 673i 3e e cos 673isin 6731ππππ⎛⎫===+=- ⎪⎝⎭.故②正确，故选：A ．3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数i z e i π=-，则||z =（）.A B ．1C D ．【答案】C【解析】由题意得，cos sin 1i z e i i i i πππ=-=+-=--，所以||z ==故选：C4．把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.【答案】+,34π【解析】由复数乘法的几何意义得1255cos sin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又24412cos sin 33z i ππ⎛⎫=--=+⎪⎝⎭144552cos sin cos sin 3333cos sin44i i z i ππππππ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+2cos 3sin 344i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1z 的辐角主值为34π 5．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.【解析】由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：11(1)cos sin 3322z i i ππ-+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭，.+. 6．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________.【答案】13+【解析】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：1. 7.一般的，复数都可以表示为()cos sin z r i θθ=+的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，那么()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：cos sin cos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭______.（结果表示为a bi +，,a b ∈R 的形式）【答案】+cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭33cos sin cos sin 242444i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫+++=+ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦22i ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：+．。

数学中的复数进阶复数的三角形式与指数形式

数学中的复数进阶复数的三角形式与指数形式数学中的复数进阶：复数的三角形式与指数形式复数是由实数和虚数构成的数学概念，在数学和物理学中有着广泛的应用。

在初级数学中，我们常常将复数表示为a+bi的形式，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。

然而，在进阶的数学学习中，我们将进一步学习到复数的三角形式和指数形式。

一、复数的三角形式复数的三角形式是将复数用长度和角度来表示的形式。

在平面直角坐标系中，假设复数z=a+bi的复数平面上的位置是(z.real, z.imag)，其模长（长度）为|z|，实部与虚部的关系可以表示为：a = |z| * cosθb = |z| * sinθ其中θ为复数z与正实轴之间的夹角，也是复数的辐角。

根据三角函数的性质，我们可以得到复数的三角形式表示：z = |z| * (cosθ+i * sinθ)复数的三角形式与笛卡尔形式（a+bi）之间可以通过共轭、模长和辐角之间的关系相互转换。

二、复数的指数形式复数的指数形式是将复数用指数的形式来表示，即z = re^(iθ)，其中r为模长，e为自然常数的底，i为虚数单位，θ为辐角。

利用欧拉公式（Euler's formula），我们可以得到复数的指数形式表示：z = |z| * e^(iθ)复数的指数形式在计算中具有方便的性质，特别是在计算复数的乘法、除法和乘方运算时更加简洁。

三、复数的应用复数在数学和物理学中有着广泛的应用。

在数学领域，复数可以用于解决多项式方程的根问题，如复数域的代数基本定理；在物理学领域，复数则可以用于描述交流电路中的电流和电压，以及电场和磁场等物理量的振动性质。

此外，复数还具有与实数相似的性质，可以进行加法、乘法和除法等运算。

复数的共轭、模长和辐角等运算特性，使得我们可以更加方便地进行复数的计算和推导。

结语通过学习复数的三角形式和指数形式，我们可以更深入地理解复数的概念和性质。

复数的三角形式和指数形式在数学和物理学的实际应用中具有重要的意义，为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。