2016届上海市徐汇区高三一模数学(理科)试题及答案
2016年高考上海卷理数试题及答案
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π， 11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
上海市徐汇区高三数学一模试题 理(含解析)
上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=__________．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为__________．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=__________．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=__________．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为__________．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=__________．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为__________．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=__________．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为__________．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=__________．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是__________．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为__________．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值．解答：解：∵，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=4，∴y=∴x2+4y2=x2+≥2=16，当且仅当x2=，即x=±2时取等号，故答案为：16点评：本题考查基本不等式，属基础题．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数的模得答案．解答：解：由（2+i）•z=5，得，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=（x＞﹣2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．故答案为：（x＞﹣2）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，即可得到结果．解答：解：∵双曲线的标准形式为：，∴c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=2，可得p=4．故答案为：x=﹣2点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．解答：解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n，化为a n+1=3a n．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{a n}为等比数列，∴．∴{a n}的通项公式为a n=．故答案为：a n=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=[﹣1，0]．考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即＞﹣1，求得A，可得∁U A．解答：解：由不等式，可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即 1+＞0，即＞﹣1，∴x＞0，或 x＜﹣1，故A=（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴∁U A=[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．点评：本题主要考查行列式的运算，解分式不等式，集合的补集，体现了转化的数学思想，属于基础题．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定直线l的方程，求出圆心C到直线的距离，再加上半径，即为C上各点到l的距离的最大值．解答：解：由题意，方向向量的直线l过点P（0，4），方程为x﹣y+4=0 圆心C到直线的距离为d==2∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半径为∴C上各点到l的距离的最大值为2+=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，得到DE是△BDC的中线，利用中线的性质可得．解答：解：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，则E是BC的中点，，所以﹣2，所以=．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+2φ+），设g（x）的对称轴x=x0，由条件求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，从而求得φ 的值．解答：解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，设g（x）的对称轴x=x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即=1，求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，∴φ=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=﹣3．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n （x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据“奇点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=﹣x+4，x＞0关于原点对称的图象，利用对称图象在x＜0上两个图象的交点个数，即为“奇点对”的个数．解答：解：由题意知函数f（x）=sin x，x＜0关于原点对称的图象为﹣y=﹣sin x，即y=sin x，x＞0在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有3个，∴函数f（x）的“奇点对”有3组，故答案为：3．点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．考点：集合的表示法；元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合；排列组合．分析：由排列组合的知识知，集合A中共有310个元素，其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；从而求得．解答：解：集合A中共有310个元素；其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；故满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．故答案为：310﹣210﹣1．点评：本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．解答：解：∵a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C点评：本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；考点：命题的真假判断与应用；曲线与方程．专题：作图题；简易逻辑．分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四类讨论，作出的图象，再分别对选项（1）（2）（3）判断即可．解答：解：∵，∴当x＞0，y＞0时，⇒+=1，解得y==1+；同理可得，当x＜0，y＞0时，⇒﹣+=1，整理得：y=1﹣；当x＜0，y＜0时，⇒﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0时，⇒﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出图象如下：由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=﹣x对称，故（2）错误；由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；综上所述，（1）（3）正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查曲线与方程的理解与应用，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的概念，f（x）+f（﹣x）=0，解答即可；（2）先讨论K的取值范围，再求取值范围解答：解：（1）f（x）+f（﹣x）=（k+1）（2x+2﹣x）=0对一切的x∈R成立，所以k=﹣1．（2）若k≤0，则函数f（x）在（﹣∞，2]单调递增（舍），当k＞0时，令t=2x∈（0，4]，则函数在（0，4]上单调递减，所以，即k≥16．点评：本题主要考查奇函数的性质，单调性的定义．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离．解答：解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即’得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在△POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据A与B坐标化简已知等式，确定出P坐标，由P在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可；（2）设Q（x，y），利用平面向量数量积运算法则表示出•，配方后求出•的最大值与最小值，即可确定出•的范围；（3）根据题意，利用斜率公式得到=﹣，两边平方，整理得到x12+x22=a2，表示出三角形OMN的面积，整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值．解答：解：（1）∵点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点，∴=m+n=（ma﹣na，m+n），即P（ma﹣na，m+n），把P坐标代入椭圆方程得：（m﹣n）2+（m+n）2=1，即m2+n2=；（2）设Q（x，y），则•=（3a﹣x，﹣y）•（﹣a﹣x，﹣y）=（x﹣3a）（x+a）+y2=（x﹣3a）（x+a）+1﹣=x2﹣2ax+1﹣3a2=（x﹣）2﹣（﹣a≤x≤a），由a＞1，得＞a，∴当x=﹣a时，•的最大值为0；当x=a时，•的最小值为﹣4a2，则•的范围为[﹣4a2，0]；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，由条件得：=﹣，平方得：x12x22=a4y12y22=（a2﹣x12）（a2﹣x22），即x12+x22=a2，∴S△OMN=|x1y2﹣x2y1|====，则△OMN的面积为定值．点评：此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由新定义当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）由题意可得b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，可得序数列为2，3，1，4，…，n，进而可得2＜＜，解不等式可得；（3）由{d2n﹣1}的序数列单调递减可得d2n﹣d2n﹣1==，同理可得d2n+1﹣d2n=﹣=，进而可得d n+1﹣d n=，可得d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•，既得答案．解答：解：（1）由题意，当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）∵，∴b n+1﹣b n=，当n=1时，易得b2＞b1，当n≥2时，易得b n+1＜b n，又∵b1=，b3=3•（）3，b4=4•（）4，b4＜b1＜b3，即b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，故数列{b n}的序数列为2，3，1，4，…，n，∴对于数列{c n}有2＜＜，解得4＜t＜5；（3）∵{d2n﹣1}的序数列单调递减，∴数列{d2n﹣1}单调递增，∴d2n+1﹣d2n﹣1＞0，∴（d2n+1﹣d2n）+（d2n﹣d2n﹣1）＞0，而，∴|d2n+1﹣d2n|＜|d2n﹣d2n﹣1|，∴d2n﹣d2n﹣1＞0，∴d2n﹣d2n﹣1==，①∵{d2n}的序数列单调递增，∴数列{d2n}单调递减，同理可得d2n+1﹣d2n＜0，∴d2n+1﹣d2n=﹣=，②由①②可得d n+1﹣d n=，∴d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•即数列{d n}的通项公式为d n=+•点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题．。
高三数学理科答案2016年1月
2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科（理科）参考答案及评分标准2016.1一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．x y 82= ２．2x = 3．12 4．12- 5．()4x y x R -=-∈ 6．04a << 7．16 8．0 9．28 10．23π 11．9 12．1413．2- 14二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．A 16．Ｄ 17．A 18．Ｃ 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）解：因为,SA AB SA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=,所以SA ⊥平面ABC ,所以SA BC ⊥.又AC BC ⊥.所以BC ⊥平面SAC .故SC BC ⊥.--------6分在ABC ∆中，090,2,ACB AC BC ∠===所以AB =.----8分又在SAB ∆中，,SA AB AB SB ⊥==所以SA =.---10分又因为SA ⊥平面ABC ,所以112323S ABC V -⎛=⨯⨯⨯=⎝.----------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设213x u -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则上式化为291010u u -+≤，119u ≤≤，即211193x -⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，24x ≤≤---------------------------------------------------------------------6分（2）因为()()222()log log 1log 222x f x x x =⋅=-- 2222231log 3log 2log 24x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，---------------------------10分当23log 2x =，即x =min 14y =---------------------------------------------------12分 当2log 1x =或2log 2x =，即2x =或4x =时，max 0y =．---------------------------14分SABC21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由已知得1521515tan cos y x x=⨯+-， 即2sin 1515cos x y x -=+⨯（其中04x π≤≤）-----------------------------------------------6分（2）记2sin cos xp x -=，则sin cos 2x p x +=1≤，解得p ≥p ≤分由于0y >，所以，当6x π=，即点O 在CD 中垂线上离点P 距离为(15 6.34-≈km 处,y 取得最小值1540.98+≈（km ）．-----------------14分22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分） 解：（1）1232,3, 6.d d d ===---------------------------------------------------------------3分 （2）①当1n =时，11(1)1,a a λλ-=-+所以11a =---------------------------------4分 当2n ≥时，21(1),33n n S a n λλ-=-++1121(1),33n n S a n λλ---=-+- 两式相减得12,3n n a a λ-=+所以12223(1)33(1)n n n b a a λλλ-=+=++-- 112,3(1)n n a b λλλ--⎡⎤=+=⎢⎥-⎣⎦又1123103(1)3(1)b a λλλ-=+=≠-- 所以，数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项、λ为公比的等比数列。
2016年上海市徐汇区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是．2．（4分）方程的解是．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．4．（4分）函数y＝cos2x+sin x cos x的最小值为．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝．6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为．9．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．11．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．12．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．13．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝．14．（4分）已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m＝．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S．﹣ABC20．（14分）已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）＝log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．21．（14分）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30km，BC＝15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO＝x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．22．（16分）给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i＝max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．23．（18分）已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y＝x+a和l2：y＝x+b将单位圆W：x2+y2＝1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2＝4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是y2＝8x．【解答】解：由题意可知：＝2，∴p＝4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2＝2px将p代入可得y2＝8x．故答案为：y2＝8x．2．（4分）方程的解是x＝2．【解答】解：由方程可得3x﹣5＝4，即3x＝32，解得x＝2，故答案为x＝2．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．【解答】解：∵＝，∴＝，则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列∴＝所以数列的各项和S＝＝故答案为4．（4分）函数y＝cos2x+sin x cos x的最小值为﹣．【解答】解：函数y＝cos2x+sin x cos x＝+sin2x＝+sin（2x+），故当2x+＝2kπ﹣，k∈z时，函数y取得最小值为﹣1＝﹣，故答案为：﹣．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝y＝﹣4﹣x．【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y＝0的对称点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象由题意知，解得x'＝﹣y，y'＝﹣x又∵点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象∴﹣x＝log4（﹣y）∴﹣y＝4﹣x∴y＝﹣4﹣x故答案为：y＝﹣4﹣x6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）．【解答】解：∵函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y＝a和函数y＝|4x ﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a＜4，故答案为（0，4）．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为16．【解答】解：∵＝1，x、y∈R+，∴x+y＝（x+y）•（）＝＝10+≥10+2＝16（当且仅当，x＝4，y＝12时取“＝”）．故答案为：16．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为0．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3＝0，得a＝2．行列式＝2+4﹣3﹣6+4﹣1＝0．故答案为：0．9．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28．【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x＝1，则展开式中各项系数的和为：（13+2×1+1）（3×12+4）＝28．故答案为：28．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA＝OB＝OC＝OD＝1，再由AB＝，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB＝＝﹣，则∠AOB＝，则弧AB＝•1＝．故答案为：．11．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9个．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣1∴f（0）＝﹣1，f（±1）＝0，f（±）＝1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况故答案为：912．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n＝4×4＝16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m，n，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p＝．故答案为：．13．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝﹣2．【解答】解：设x1＝s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2＝s﹣ti．则x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∵＝＝+i是实数，∴3s2t﹣t3＝0，∴3s2＝t2．∴x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∴4s2＝＝+2x1x2＝x1x2，∴+1＝0，取＝ω，则ω2+ω+1＝0，∴ω3＝1．则S＝1+＝1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32＝0+ω+ω2+ω+ω2＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（4分）已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m＝．【解答】解：设外接圆的半径为R，∵，∴（﹣）+（﹣）＝2m，∵∠AOB＝2∠C，∠AOC＝2∠B，∴（﹣）•+（﹣）•＝2m•，即•R2•（cos2C﹣1）+•R2•（cos2B﹣1）＝﹣2mR2，即﹣2sin C cos B+（﹣2sin B cos C）＝﹣2m，故sin C cos B+sin B cos C＝m，故sin（B+C）＝m，故m＝sin A＝，故答案为：．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行【解答】解：设的夹角为θ，则0＜θ＜π，∵（）•（）＝＝0，∴（）⊥（），故A正确；D错误．∵（）•＝﹣＝﹣cosθ≠0，∴与不垂直；故B错误；∵＝＝+cosθ≠0，∴与不垂直，故C错误；故选：A．16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选：D．17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x＝2y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选：A．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062【解答】解：∵f（x）＝x+sinπx﹣3，∴当x＝1时，f（1）＝1+sinπ﹣3＝﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2＝2时，恒有f（x1）+f（x2）＝﹣4，∴＝2015[f（）+f（）]+f（）＝2015×（﹣4）﹣2＝﹣8062．故选：C．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S．﹣ABC【解答】解：（1）∵SA⊥ABSA⊥ACAB∩AC＝A∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝，∴AB＝＝，∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB＝，∴SA＝＝2，∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，＝××AC×BC×SA＝×2××＝．∴V S﹣ABC20．（14分）已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）＝log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．【解答】解：（1）∵（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0，∴81（）2x﹣10（）x+≤0，∴≤9（）x≤1，∴0≤x﹣2≤2，故实数x的取值范围为[2，4]；（2）f（x）＝log2＝（log2x﹣1）（log2x﹣2）＝（log2x﹣）2﹣，∵x∈[2，4]，∴log2x∈[1，2]，∴﹣≤（log2x﹣）2﹣≤0，∴当x＝2时，f（x）有最小值﹣，当x＝2或4时，f（x）有最大值0．21．（14分）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30km，BC＝15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO＝x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．【解答】解：（1）由已知得，即（其中）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）记，则sin x+p cos x＝2，则有，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由于y＞0，所以，当，即点O在CD中垂线上离点P距离为km处，y取得最小值（km）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（16分）给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i＝max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵给定数列{a n}，A i＝max{a1，a2，…，a i}，B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）对于数列：3，4，7，1，A1＝3，B1＝1，d1＝3﹣1＝2，A2＝4，B2＝1，d2＝4﹣1＝3，A3＝7，B3＝1，d3＝7﹣1＝6，∴d1＝2，d2＝3，d3＝6．（3分）证明：（2）①当n＝1时，（1﹣λ）a1＝﹣λa1+1，∴a1＝1，（4分）当n≥2时，，，两式相减得，∴＝，又，∴数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．（9分）解：②由①知：；又d i＝max{a1，a2，…，a i}﹣min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i+1＝max{a1，a2，…，a i+1}﹣min{a i+2，a i+3，…，a n}由于min{a i+1，a i+2，…，a n}≤min{a i+2，a i+3，…，a n}，∴由d i+1＞d i推得max{a1，a2，…，a i}＜max{a1，a2，…，a i+1}．∴max{a1，a2，…，a i+1}＝a i+1对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立．（13分）∵d i＝a i﹣a i+1，d i+1＝a i+1﹣a i+2，∴．（14分）由d i﹣d i+1＜0，得，但λ＞0且λ≠1，∴，解得，∴．（16分）23．（18分）已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y＝x+a和l2：y＝x+b将单位圆W：x2+y2＝1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2＝4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．【解答】解：（1）由于直线l1：y＝x+a和l2：y＝x+b将单位圆W：x2+y2＝（1分）成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角△OAB中，圆心O（0，0）到直线l1：y＝x+a的距离为，同理|b|＝1，∴a2+b2＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由题知，直线l1，l2关于原点对称，因为圆W：x2+y2＝4的圆心为原点O，所以，故四边形ABCD为平行四边形．易知，O点在对角线AC，BD上．联立解得，由得＝，所以，于是，因为，所以四边形ABCD为正方形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为A，B，C，D．当直线AB的斜率不存在时，设直线AB、CD的方程为x＝m，x＝n，因为A，B，C，D在椭圆上，所以，由四边形ABCD为正方形，易知，，直线AB、CD的方程为，正方形ABCD的面积．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当直线AB的斜率存在时，设直线AB、CD的方程分别为l AB：y＝kx+m，l CD：y ＝kx+n（k≠0，m≠0），显然m≠n．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，所以代人，得，同理可得，因为ABCD为正方形，所以|AB|2＝|CD|2解得m2＝n2因为m≠n，所以m＝﹣n，因此，直线AB与直线CD关于原点O对称，所以原点O为正方形的中心（由m＝﹣n知，四边形ABCD为平行四边形）由ABCD为正方形知，即代人得，解得（注：此时四边形ABCD为菱形）由ABCD为正方形知|AB|＝|AD|，因为直线AB与直线CD的距离为，故但，由得4k4+5k2+1＝4k4+4k2+1，∴k2＝0即k＝0，与k≠0矛盾．所以|AD|2≠|AB|2，这与|AD|＝|AB|矛盾．即当直线AB的斜率k≠0存在时，椭圆内不存在正方形．综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．﹣﹣（18分）。
高三数学月考试题及答案-上海市徐汇区七校2016届高三上学期12月联合调研考试(理)
七校2016届高三上学期12月联合调研考试数学试卷（理）一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．函数)()(1≥1-=2x x x f 的反函数是._____________)(=1-x f2、已知a b a ,,1=2=和b 的夹角为3π，则.___________=⋅b a 3、幂函数)(x f y =的图象过点),(214，则._________)(=41f 4、方程)(log )(log x x -5=3-42的解为 .5、若直线1l 的一个法向量),(11=n ，若直线2l 的一个方向向量),(2-1=d ，则1l 与2l 的夹角θ= .(用反三角函数表示).6、直线0=2-3+y x l :交圆2=+22y x 于A 、B 两点，则._______=AB7、已知(),,πα0∈且71=4+)tan(πα，则=αcos . 8、无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3=6=63S S ,，则._______lim =∞→n n S 9、已知1--=x kx x f )(有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 . 10、已知c b a 、、是ABC ∆中C B ∠∠∠、、A 的对边， 若 60=7=A a ,，ABC ∆的面积为310，则ABC ∆的周长为 .11、奇函数)(x f 的定义域为R ，若)(2+x f 为偶函数，且1=1)(f ，则.__________)()(=101+100f f 12、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若324S S S ,,成等差数列，且18-=++432a a a ，若2016≥n S ，则n 的取值范围为 .13、设,R m ∈过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线0=3+--m y mx 交于点P ，则PB PA ⋅的最大值是 .14、设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]2-=21-3=.,π.给出下列命题： ①对任意的实数x ，都有[]x x x ≤<1-； ②对任意的实数y x ,，都有[][][]y x y x +≥+；③[][][][][]4940=2015+2014++3+2+1lg lg lg lg lg ；④若函数[][]x x x f =)(，当[))(,*N n n x ∈0∈时，令)(x f 的值域为A ，记集合A 中元素个数为n a ，则na n 49+的最小值为219.其中所有真命题的序号为 .二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15、数列{}n a 的前n 项和为2=n S n ，则8a 的值为 （ ） A 、15 B 、16 C 、49 D 、6416、3=a 是直线0=3+2+a y ax 和7-=1-+3a y a x )(平行且不重合的 （ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 17、将x x f 2=si n )(的图象右移)(2<<0πϕϕ个单位后得到)(x g 的图象.若满足2=-21)()(x g x f 的21x x ,，有21-x x 的最小值为3π，则ϕ的值为 （ ） A 、12πB 、6π C 、4π D 、3π 18、已知函数1++=x x e me xf )(，若对任意R x x x ∈321、、，总有)()()(32x f x f x f 、、1为某一个三角形的边长，则实数m 的取值范围是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡121,B 、[]10,C 、[]21, D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡221,三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19．（本题共2小题，满分12 分。
上海市徐汇区2015 -2016学年度第一学期期末试卷高三理科数学分析
上海市徐汇区2015 -2016学年度第一学期期末试卷高三理科数学分析一、综述、易错点和难点分析这套试卷无论是试题结构或试题形式，还是解决方法上都是延续以往的特点。
首先是依托教材，部分题型较新，保持了能力立意；二是二期课改的教材的新增内容也占一定比例，紧扣“标准”；三是比较注重“双基”的考查。
主要体现在：1.突出基本知识，基本技能的考查；2. 对于指点交叉考查的比较多；3. 注重对知识的灵活应用能力；4. 常考的知识点并没有什么变化；5. 对于新增部分的知识点考查比较多。
注重基础，考查课本中的基本知识和基本技能。
教材的新增内容占相当一部分比例，并且与其它知识点相结合。
考查学生逻辑思维能力，培养学生利用数学思想和方法解决问题的能力。
填空题、选择题考查了抛物线、函数、等比数列、三角函数、不等式、行列式、立体几何等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．同时，在函数、行列式等题目上进行了一些微创新，这些题目的设计回归教材和中学教学实际．知识点考查全面，覆盖了考纲中要求的所有知识点。
教材的新增内容占相当比例，但难度有所增加，并且与其它知识点相结合。
突出能力考查，重视思想方法。
试卷总体上体现了能力立意。
一是试卷前面比较注重双基考查，布局上基础知识考查居多题目比较简单顺手。
后面对于数学思维的考查要求比较高，部分题目还体现发散和探索的要求。
这些年高考数学题型和数量已成定势，一般来说，能力立意保持依旧。
能力立意一直是上海高考数学卷的特色之一。
这套试题依然设计试题考查自主学习和探究问题的能力。
比如，填空题中关于矩阵对角线元素之和的题目，要求考生具有一定的观察、分析能力以及归纳发现能力；14题在分类讨论、思维的严密性等方面具有一定要求。
这种题目考的就是学生是不是具有细心与耐心的品质，做出这种题目要么就是有超人一等能直接洞察题目本质的能力，要么就是勤勤恳恳一个一个给他举出来。
在提供问题解决路径的同时也适度降低了试题的难度。
上海市徐汇区高三上学期学习能力诊断(一模)数学试题含答案.doc
2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2016. 12一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7 题至笫12题每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填対得 4分（或5分），否则一律得0分.2.已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在轴上，若C 经过点M （l,3）,则其焦点 到准线的距离为 ______________ .4.若复数满足：二內+ i （是虚数单位），贝ijz 7 ,5•在（x + —）6的二项展开式中第四项的系数是 _________ •（结果用数值表示）x6. ________________ 在长方体ABCD — ABCQ 屮，若AB = BC = 1,AA ]=42,则异而直线与CC ；所成 角的大小为 .7.若函数/（x ） = \2 \ _________________________________ 的值域为（-00,1],则实数加的取值范围是 ______________________________________________ . -x 2 + m. x> 0&如图： 在 MBC 中， 若 AB = AC = 3,cos ZBAC = -.DC = 2BD , 则 2AD BC= ______________ ・9.定义在R 上的偶函数y = f （x ）,当兀二0时,/（x ） = lg （x 2-3x+3），则于（兀）在R 上的 零点个数为 __________ 个.10.将辆不同的小汽车和辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某个内，其中辆卡车必须 停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 _____________ 种？（结果用数值表示） 1. lim MT8 2H -5 n + l3•若线性方程组的增广矩阵为| J解为胃彳 [y=[第8题图 第10題團£11•已知数列｛匕｝是首项为，公差为2加的等差数列，前项和为S”.设n- 2n若数列｛仇｝是递减数列，则实数"2的取值范围是___________ ・12.若使集合A = ｛x| (fct-P -6)(x-4) > 0,%e z］中的元素个数最少，则实数的取值范围是二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分.13. a x = k7V + -伙wZ)” 是“tanx = l” 成立的( )4(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件14.若1-5/办(是虚数单位)是关于的实系数方程X+bx + c = 0的一个复数根，则( )(A) /? = 2,c = 3 (B) b = 2.c = -\(C) b = -2,c = -1 (D) b = -2,c = 315.已知函数/&)为/?上的单调函数，广©)是它的反函数，点A(-1,3)和点3(1,1)均在函数/&)的图像上，则不等式|广吃)|v 1的解集为( )(A) (-1,1) (B) (1,3) (C) (0,log23) (D) (l,log23)2 2 2 216.如图，两个椭圆二+丄=1,丄+丄二1内部重叠区域的边界记为曲线C, P是曲线C25 9 25 9上的任意一点，给出下列三个判断：①P 到片(—4,0)、笃(4,0)、厶(0,—4)、E2(0,4)0点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y =兀、y =—兀均对-称；③曲线C所围区域面积必小于36.上述判断中正确命题的个数为( )(A)个(B)个(C)个(D) 3个三.解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，已知PA丄平面ABC , AC丄AB, AP=BC = 2, ZCBA = 30° , D 是AB 的中点. （1）求PD与平面P4C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求\PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留龙）.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 宀、A/3 COS2 x -sinx己知函数/（x） =COSX 17T（1）当xw 0,—时，求/（x）的值域；（2）已知MBC的内角的对边分别为a,b,c,若/（△） = J3,Q =4』+C =5, 求AABC的面积.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1）, B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）.（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润/（力、g（x）表示为投资额的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产殆能获得最大利润，最大利润为多少？20•（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6 分，第3小题满分6分.兀2如图：双曲线「：一—尸=1的左、右焦点分别为片,耳,过笃作直线交y轴于点Q・（1）当直线平行于「的一条渐近线时，求点耳到直线的距离；（2）当直线的斜率为时，在「的石支占是否存在点P,满足F\PF\Q = 0 ?若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线与「交于不同两点A、B,且「上存在一点M,满足鬲+丽+ 4丽=0（其中O为坐标原点），求直线的方程.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6 分，第3小题满分8分.正数数列｛色｝、［b n ］满足：a x >b^且对一切k>2,keN*f 兔是％［与乞一的等差中项,Q 是％1与俵.］的等比中项.（1） 若a 2 = 2,/?2 = 1,求。
2016年高考上海理科数学试题与答案(word解析版)
与底面所成角的大小为
2
arctan，则该正四棱柱的高等于．
3
【答案】22
DD2DD2
【解析】由题意得11
tanDBDDD22
11
BD3323
．
【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成
32
x
x
n
（8）【2016年上海，理8，4分】在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于．
【答案】112
n，由题意得2256
n
【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为2
，所以n8，二项式的通项
为
84
2
r
r38rrrr33
TC(x)()(2)Cx
r188
x
，求常数项则令
84
【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．
（12）【2016年上海，理12，4分】在平面直角坐标系中，已知A1,0，B0,1，P是曲线
2
y1x上一个
动点，则BPBA的取值范围是．
【答案】0,12
2
【解析】由题意得知
y1x表示以原点为圆心，半径为1的上半圆．设Pcos,sin，0,，BA1,1，
fxhx、gxhx均为增函数，则fx、gx、hx中至少有一个增函数；②若fxgx、
fxhx、gxhx均是以T为周期的函数，则fx、gx、hx均是以T为周期的函数，下列判
断正确的是（）
（A）①和②均为真命题（B）①和②均为假命题
上海市徐汇区届高考数学一模试卷理(含解析)
2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是．2．方程的解是．3．设，则数列{a n}的各项和为．4．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为．5．若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）= ．6．函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是．7．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．8．若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为．9．（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于．10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是．11．已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．12．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．13．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+= ．14．已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m= ．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行16．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件17．（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．18．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031 B．4031 C．﹣8062 D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．20．已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）=log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．21．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．22．给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i ﹣B i（i=1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．23．已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆W：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2=4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是y2=8x ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．【解答】解：由题意可知： =2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=2px将p代入可得y2=8x．故答案为：y2=8x．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．2．方程的解是x=2 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由方程可得 3x﹣5=4，即3x=32，由此求得方程的解．【解答】解：由方程可得 3x﹣5=4，即3x=32，解得x=2，故答案为 x=2．【点评】本题主要考查对数方程的解法，对数的运算性质应用，属于基础题．3．设，则数列{a n}的各项和为．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由已知可知=，从而可得数列{a n}为公比的等比数列，要求等比数列的各项和，即求前n项和的极限，由求和公式先求前n项和，然后代入求解极限即可【解答】解：∵ =，∴=，则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列∴=所以数列的各项和S==故答案为【点评】本题所涉及的知识：等比数列定义在判断等比数列中的应用，等比数列的求和公式，等比数列的各项和与前n项和是不同的概念，要注意区别4．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为﹣．【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式为y=+sin（2x+），由此求得函数y的最小值．【解答】解：函数y=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x+），故当2x+=2kπ﹣，k∈z 时，函数y取得最小值为﹣1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的最值，属于中档题．5．若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）= y=﹣4﹣x．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】计算题；数形结合．【分析】先设f（x）上一点（x，y），求这个点关于x+y=0的对称点，则根据题意该对称点在函数y=log4x的图象上，满足函数y=log4x的解析式，从而可求出点（x，y）的轨迹方程【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y=0的对称点（x'，y'）在对数函数y=log4x的图象由题意知，解得x'=﹣y，y'=﹣x又∵点（x'，y'）在对数函数y=log4x的图象∴﹣x=log4（﹣y）∴﹣y=4﹣x∴y=﹣4﹣x故答案为：y=﹣4﹣x【点评】本题考查函数的图象与性质，求函数的解析式．解题的关键是会求点个关于直线的对称点．属简单题6．函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点，数形结合求得a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a＜4，故答案为（0，4）．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．7．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵ =1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．8．若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为0 ．【考点】三阶矩阵；两条直线的交点坐标．【专题】直线与圆．【分析】先求x+y+2=0和2x﹣y+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3=0，得a=2．行列式=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0．故答案为：0．【点评】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．9．（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】对应思想；转化法；二项式定理．【分析】根据题意，令x=1，代入多项式即可求出展开式中各项系数的和．【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x=1，则展开式中各项系数的和为：（13+2×1+1）（3×12+4）=28．故答案为：28．【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题，解题时应利用x=1进行计算，是基础题．10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；方程思想；综合法；球．【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA=OB=OC=OD，进而在△A0B中，利用余弦定理求得cos∠AOB的值，则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA=OB=OC=OD=1，再由AB=，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB==﹣，则∠AOB=，则弧AB=•1=．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．11．已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题；综合题．【分析】根据值域中的几个函数值，结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域D的各种情况．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1， }，{0，﹣1，﹣ }，{0，﹣1， }，{0，1，﹣ }，{0，﹣1，1， }，{0，﹣1，1，﹣ }，{0，1，，﹣ }，{0，﹣1，，﹣ }，{0，﹣1，1，，﹣ }共9种情况故答案为：9【点评】本题给出二次函数的一个值域，要我们求函数的定义域最多有几个，着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识，属于基础题．12．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】称求出基本事件总数n=4×4=16，再由列举法求出露在外面的6个数字之和恰好是9包含的基本事件个数，由此能求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n=4×4=16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m，n，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．13．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+= ﹣2 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．利用是实数，可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2． +1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数，∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，∴+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32=0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m=．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．【分析】设外接圆的半径为R，从而化简可得（﹣）•+（﹣）•=2m•，从而可得﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）=﹣2m，从而解得．【解答】解：设外接圆的半径为R，∵，∴（﹣）+（﹣）=2m，∵∠AOB=2∠C，∠AOC=2∠B，∴（﹣）•+（﹣）•=2m•，即•R2•（cos2C﹣1）+•R2•（cos2B﹣1）=﹣2mR2，即﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）=﹣2m，故sinCcosB+sinBcosC=m，故sin（B+C）=m，故m=sinA=，故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理的应用，同时考查了平面向量数量积的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；分析法；平面向量及应用．【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为0得出向量是否垂直．【解答】解：设的夹角为θ，则0＜θ＜π，∵（）•（）==0，∴（）⊥（），故A正确；D错误．∵（）•=﹣=﹣cosθ≠0，∴与不垂直；故B错误；∵==+cosθ≠0，∴与不垂直，故C错误；故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系，属于基础题．16．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab ＜1”的真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案．【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选D．【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，是解答本题的关键．17．（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，可得，利用线性规划的知识可得可行域即可．【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x=2y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选：A．【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域，属于中档题．18．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031 B．4031 C．﹣8062 D．8062【考点】函数的值；抽象函数及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数对称中心的性质得到当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，能此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=x+sinπx﹣3，∴当x=1时，f（1）=1+sinπ﹣3=﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，∴=2015[f（）+f（）]+f（）=2015×（﹣4）﹣2=﹣8062．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】（1）因为SA⊥面ABC，AC为SC在面ABC内的射影，由三垂线定理可直接得证．（2）由题意可直接找出侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．【解答】解：（1）∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=，∴AB==，∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB=，∴SA==2，∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，∴V S﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××=．【点评】本题考查了三垂线定理的应用，考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力，计算能力；三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理，是证明异面直线垂直的常用方法．20．已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）=log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；整体思想；函数的性质及应用．【分析】（1）化简可得81（）2x﹣10（）x+≤0，从而解得≤9（）x≤1，从而求得；（2）化简f（x）=（log2x﹣1）（log2x﹣2）=（log2x﹣）2﹣，从而求最值．【解答】解：（1）∵（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0，∴81（）2x﹣10（）x+≤0，∴≤9（）x≤1，∴0≤x﹣2≤2，故实数x的取值范围为[2，4]；（2）f（x）=log2=（log2x﹣1）（log2x﹣2）=（log2x﹣）2﹣，∵x∈[2，4]，∴log2x∈[1，2]，∴﹣≤（log2x﹣）2﹣≤0，∴当x=2时，f（x）有最小值﹣，当x=2或4时，f（x）有最大值0．【点评】本题考查了幂运算的应用及对数运算的应用，同时考查了整体思想的应用及配方法的应用．21．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；（2）记，则sinx+pcosx=2，求出p的范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得，即（其中）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）记，则sinx+pcosx=2，则有，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由于y＞0，所以，当，即点O在CD中垂线上离点P距离为km处，y取得最小值（km）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力．解决这类问题的关键在于把文字语言转换为数学符号，用数学知识解题．22．给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i ﹣B i（i=1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由A i=max{a1，a2，…，a i}，B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i=A i﹣B i，对于数列：3，4，7，1，能求出d1，d2，d3．（2）①推导出a1=1，，由此能证明数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．②由，得max{a1，a2，…，a i+1}=a i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵给定数列{a n}，A i=max{a1，a2，…，a i}，B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，n﹣1）对于数列：3，4，7，1，A1=3，B1=1，d1=3﹣1=2，A2=4，B2=1，d2=4﹣1=3，A3=7，B3=1，d3=7﹣1=6，∴d1=2，d2=3，d3=6．证明：（2）①当n=1时，（1﹣λ）a1=﹣λa1+1，∴a1=1，当n≥2时，，，两式相减得，∴=，又，∴数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．解：②由①知：；又d i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i+1=max{a1，a2，…，a i+1}﹣min{a i+2，a i+3，…，a n}由于min{a i+1，a i+2，…，a n}≤min{a i+2，a i+3，…，a n}，∴由d i+1＞d i推得max{a1，a2，…，a i}＜max{a1，a2，…，a i+1}．∴max{a1，a2，…，a i+1}=a i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立．∵d i=a i﹣a i+1，d i+1=a i+1﹣a i+2，∴．由d i﹣d i+1＜0，得，但λ＞0且λ≠1，∴，解得，∴．【点评】本题考查等比数列的证明，考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．23．已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆W：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2=4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据直线分圆分成长度相等的四段弧，得到，利用点到直线的距离公式进行求解即可．（2）根据直线与圆相交的位置关系，利用消元法转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行证明即可，（3）根据椭圆内接正方形的关系，转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行证明即可，【解答】解：（1）由于直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆W：x2+y2=成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角△OAB中，圆心O（0，0）到直线l1：y=x+a的距离为，同理|b|=1，∴a2+b2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由题知，直线l1，l2关于原点对称，因为圆W：x2+y2=4的圆心为原点O，所以，故四边形ABCD为平行四边形．易知，O点在对角线AC，BD上．联立解得，由得=，所以，于是，因为，所以四边形ABCD为正方形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为A，B，C，D．当直线AB的斜率不存在时，设直线AB、CD的方程为x=m，x=n，因为A，B，C，D在椭圆上，所以，由四边形ABCD为正方形，易知，，直线AB、CD的方程为，正方形ABCD的面积．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线AB的斜率存在时，设直线AB、CD的方程分别为l AB：y=kx+m，l CD：y=kx+n（k≠0，m≠0），显然m≠n．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，所以代人，得，同理可得，因为ABCD为正方形，所以|AB|2=|CD|2解得m2=n2因为m≠n，所以m=﹣n，因此，直线AB与直线CD关于原点O对称，所以原点O为正方形的中心（由m=﹣n知，四边形ABCD为平行四边形）由ABCD为正方形知，即代人得，解得（注：此时四边形ABCD为菱形）由ABCD为正方形知|AB|=|AD|，因为直线AB与直线CD的距离为，故但，由得4k4+5k2+1=4k4+4k2+1，∴k2=0即k=0，与k≠0矛盾．所以|AD|2≠|AB|2，这与|AD|=|AB|矛盾．即当直线AB的斜率k≠0存在时，椭圆内不存在正方形．综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．﹣﹣【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，将直线方程代入椭圆方程，利用消元法转化为一元二次方程形式，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
上海市徐汇、金山、嘉定区2016届高三数学下学期学习能力诊断试卷 理(含解析)
2015学年第二学期徐汇、金山、松江区学习能力诊断卷高三数学 理科试卷一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.2．若集合{}{}310,12A x x B x x =+>=-<，则A B =_______________． 3．若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________． 4．求值：23=________________弧度．5．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项________________．6．若函数4y =a ，最大值为b ，则2l i m 34n nn nn a b a b→∞--＝_________． 7．在极坐标系中，点(3,)2π关于直线6πθ=的对称点的坐标为________________．8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=_______________．（结果用最简分数表示）9．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB|=,|BC|=，|CA|=，则AB BC BC CA CA AB++ 的值等于_______________．10．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于,k 另一个数小于k （其中)k A ∈的概率是2,5则k =__________________． 11．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c已知045,a B ==______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．12．在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．13．定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．14．对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a 满足22121n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++ 的最大值为__________________．二． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的----------（ ）（A ） 充分非必要条件（B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件（D ） 既非充分也非必要条件16．函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是------------------------------------------------------------------（ ）（A）,020x x y x ⎧≥⎪=<（B）,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（C）2,00x x y x ≥⎧⎪=< （D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩17．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于-----------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C（D ）18．设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆()()22111x y -++=的位置关系是----------------------------------------( )（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）随m 的变化而变化 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知函数()2.f x x a a =-+（1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值范围．1A 1B 1CABC22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3O x y +=的两条切线，切点分别为,(,M N M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22113m n +为定值； （3）若12,P P 是椭圆222223:1x y C a b+=上不同的两点，12PP ⊥x 轴，圆E 过12,,P P 且椭圆 2C 上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆2C 是否存在过左焦点1F 的内切圆？若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++<②存在实数,a b 使n a a b ≤≤对任意正整数n 都成立．（1） 现在给出只有5项的有限数列{}{},,n n a b 其中123452,6,8,9,12a a a a a =====；2log (1,2,3,4,5).k b k k ==试判断数列{}{},n n a b 是否为集合W 的元素；（2）数列{}n c 的前n 项和为1,1,n S c =且对任意正整数,n 点1(,)n n c S +在直线220x y +-=上，证明：数列{},n S W ∈并写出实数,a b 的取值范围；（3）设数列{},n d W ∈且对满足条件②中的实数b 的最小值0,b 都有*0().n d b n N ≠∈求证：数列{}n d 一定是单调递增数列．2016年松江区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质. 【参考答案】(1,0)【试题分析】抛物线22y px =的焦点坐标为(,0)2p，抛物线24y x =中2p =，所以焦点为(1,0)，故答案为(1,0).2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集. 【参考答案】1(,3)3-【试题分析】解|1|<2x -得13x -<<，所以1{|310}(,)3A x x =+>=-+∞，{||1|2}=(1,3)B x x =-<-，所以1(,3)3A B =- ,故答案为1(,3)3A B =- .3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算. 【参考答案】1i - 【试题分析】因为1i i z -=-，所以21i i(1i)1+i i iz --===--，所以1i z =-，故答案为1i -. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】2π3【试题分析】π2arcsin2ππ2π3232π3633arctan36==⨯-⨯=,故答案为2π3. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理. 【参考答案】35x【试题分析】71x x ⎛⎫-⎪ ⎭⎝展开式的第r 项为7721771C ()(1)C r r r r r rr T x x x --+=⋅-=-，其系数为7(1)C (07)r rr -≤≤，当其最大时，取4r =，所以系数最大的项为415735=C T x x-=，故答案为35x.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质; 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】12【试题分析】因为22023(1)44x x x -++=--+≤≤，所以244y =≤，所以2,4a b ==，2223lim =lim 343243nnnnn n n n n n a b a b →∞→∞--⋅=-⋅-⋅2()213lim 223()43n n n →∞-=⋅-. 7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标;图形与几何/平面直线的方程/两条直线的平行关系与垂直关系. 【参考答案】π(3,)6- 【试题分析】直线π=6θ化为普通方程为3y x =，点π(3,)2对应直角坐标系中的点为(0,3),设点(0,3)关于直线y x =的对称的点为(,)a b，则31,322b a a b ⎧-=-⎪⎪+=，解得32a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点的坐标为3)2-，化为极坐标系中的点为π(3,)6-. 8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】47【试题分析】根据题意，ξ的取值为0,1,2，2527C 10(=0)=C 21P ξ=,115227C C 10(=1)==C 21P ξ，2227C 1(=2)==C 21P ξ，所以10141221217E ξ=⨯+⨯=，故答案为47.9.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积; 函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】8-【试题分析】因为AB BC CA ===所以222cos 2AB BC CA B AB BC+-∠=⋅0==,cos 0AB BC AB BC B ⋅=-∠= ,同理，可求得cos C ∠=,5BC CA ⋅=-,cos A ∠=,3CA AB ⋅=-,所以8AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=- ，故答案为8-.(或28AB BC BC CA CA AB AB BC AC ⋅+⋅+⋅=⋅=- -)10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率. 【参考答案】4或7【试题分析】从集合A 中任取两个数的取法有210C 45=种，因为取到的两个数中一个数大于k ,另一个数小于k 的概率是25，所以事件的可能有545=182⨯种，即(1)(10)18k k --=，解得4k =或7，故答案为4或7.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【参考答案】c =【试题分析】由B =45°，A =60°，得C =75°，由s i n s i n abA B =得,，所以b =所以sin =sin 2a c c A =，若填入“b =sin sin 2a BA b==得A =60°或120°，故只能填入2c =2c =.12.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列. 【参考答案】200【试题分析】等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x ++∈N …，遗漏的项为*+,x n a n ∈N 且9,n 1≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+9(322)2185x n =+--=，化简得4494352x n =+≤≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯,故答案为200. 13.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质； 函数与分析/指数函数和对数函数/指数方程和对数方程.【参考答案】12a-【试题分析】函数()()F x f x a =-有零点，则函数()f x 的图像与直线y a =有交点，它们的图像如图所示，当[0,1x ∈）时，图像无交点，当10x -≤≤时，[0,1]x -∈，所以12()log (1)f x x -=-+，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--12log (1)x =--+，令12()log (1)f x x a =--+=，得12a x =-，当[1,)x ∈+∞时，由()f x a =得1|3|x a --=，|3|=1x a --，126x x +=，同理，可得当(,1)x ∈-∞-时，346x x +=-，所以函数()F x 的所有零点之和为612612a a -+-+=-，故答案为12a-.第13题图apto214.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列; 方程与代数/不等式/一元二次不等式(组)的解法.【参考答案】(22n +【试题分析】因为数列{}n a 是等差数列，所以214122431=2n n n n n a a a a a +++++=+=…，所以31(21)n S n a +=+，又因为22221213131(3)()n n n a a a nd a nd R ++++=-+-≤,即213128n n a da ++- 22100n d R +-≥,关于d 的二次方程22231110820n n n d da a R ++-+-≥有解，则222311=(8)40(2)0n n a n a R ++∆--≥-，化简得22231(6480)40n n a n R +-≥-,所以231n a +≤222401325()8064280642n R R R n n =+--≤,31n a +,所以S.二、选择题15.【测量目标】逻辑思维能力/能从数学的角度有条理地思考问题. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质； 图形与几何/平面向量的坐标表示/向量平行与垂直的坐标关系； 方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件. 【正确选项】C【试题分析】函数2222()()2f x ax b a x a bx b =+=+⋅+ ，若函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，所以0a b ⋅= ，a b ⊥ ，充分性成立；反之由a b ⊥可得函数()f x 是偶函数，必要性也成立，所以“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的充要条件，故答案为C. 16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数和对数函数/反函数. 【正确选项】B【试题分析】当0x ≥时，20,2y y x x ==≥，所以1(),02x f x x -=≥；当0x <时，20,y x x =-<=1()0f x x -=<，故答案为B.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【正确选项】D【试题分析】设圆锥底面半径为r ，则根据题意有2222211221ππ()π()33333hr h r h r h h⋅-⋅⋅=，化简得3221927h h h =，所以2h =，故答案为D.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/简单的幂函数、二次函数的性质； 图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和一般方程; 图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离. 【正确选项】C【试题分析】因为方程22=0x mx m m ++-有两个不相等的实数根12,x x ，所以211x mx +=2m m -，且224()0m m m ∆=-->，解得403m <<，因为12x x ≠，所以直线AB 的斜率为22121212=x x x x m x x -=+--，所以直线AB 的方程为211()y x m x x -=--，则圆22(1)(1)1x y -++=的圆心(1,1)-到直线的距离d ==2+1,t m =2519t <<，4()=+4f t t t -，易知其在(1,2]上单调递减，在25(2,)9上单调递增，且25(1)1,(2)0,()19f f f ==<，所以()1f t <0≤，1d <0≤，又圆的半径为1，所以直线AB 与圆相交，故答案为C.三、解答题 19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形. （2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质. （2）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质.【参考答案】（1）π())14f x x =++， --------------3分由πππ2π22π()242k x k k -++∈Z ≤≤,得)(x f 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z . --6分（2）由已知，π()214g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， -------------9分由1)(=x gπ204x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ28k x ∴=+，k ∈Z . -----------------------12分20.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. （2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】（1）如图建立空间直角坐标系，XHLD1第20题图则由题意得，()()10,0,,1,0,0A a B ，()()111,0,,0,1,B a C a ， 所以()()1111,0,,1,1,0A B a BC =-=- .------------3分 设向量111,AB BC 所成角为θ，则060θ=，或0120θ=， 由于cos 0θ=<，所以0120θ=，得1c o s 2θ=-，解得 1.a =--------------6分（2）连接C B 1，1,AC 则三棱锥BC A B 11-的体积等于三棱锥B B A C 11-的体积，1111,B A BC C A B B V V --=11A B B △的面积21=S ，1A BC △的面积242S '==，………11分 又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面C B A 11，所以611213111=⨯⨯=-B B A C V ，所以6111=-BC A B V . ………14分21．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. （2）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.【知识内容】（1）方程与代数/不等式/含有绝对值不等式的解法. （2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. 【参考答案】（1）()26,f x x a a =-+<即26.x a a -<-60,626,a a x a a ->⎧∴⎨-+<-<-⎩即6,33,a a x <⎧⎨-<<⎩-----------------------------------------3分6,31, 2.33,a a a <⎧⎪∴-=-=⎨⎪=⎩即----------------------------------------------------------------------6分（2）2a =时，()22 2.f x x =-+若存在0,x ∈R 使00()(),f x t f x --≤即00()(),t f x f x +-≥---------------------8分 则[]min ()().t f x f x +-≥-----------------------------------------------------------------10分()()22224f x f x x x +-=-+++ (22)(22)48,x x --++=≥当[]1,1x ∈-时等号成立8,t ∴≥即[)8,.t ∈+∞----------------------------------------14分22．（本题满分16分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质、圆的标准方程和几何性质.【参考答案】（1）由题意得， 1.c =所以221,a b =+ 又点3(1,)2P 在椭圆C 上，所以22191,4a b +=解得224,3,a b == 所以椭圆C 的标准方程为221.43x y +=----------------------------------------------3分 （2）由（1）知，2213:1,44x y C +=设点112233(,),(,),(,),Q x y M x y N x y 则直线QM 的方程为224,3x x y y += ① 直线QN 的方程为334,3x x y y += ② 把点Q 的坐标代入①②得2121313143,43x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以直线MN 的方程为114,3x x y y +=令0,y =得14,3m x =令0,x =得14,3n y = 所以1144,,33x y m n==又点Q 在椭圆1C 上， 所以2244()3()4,33m n +=即22113,34m n +=为定值．-------------------------------9分（3）由椭圆的对称性，不妨设12(,),(,),P m n P m n -由题意知，点E 在x 轴上， 设点(,0),E t 则圆E 的方程为2222()().x t y m t n -+=-+----------------------11分 由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点E 的距离的最小值是1,PE 设点(,)M x y 是椭圆2C 上任意一点，则222223()21,4ME x t y x tx t =-+=-++ 当x m =时，2ME 最小，所以24.332t t m -=-= ① 假设椭圆2C 存在过左焦点F的内切圆，则222()().t m t n =-+ ②又点1P 在椭圆2C 上，所以221.4m n =- ③------------------------------------14分由①②③得2t =-或t =当t =时，42,3t m ==<-不合题意，舍去，且经验证，t =. 综上，椭圆2C 存在过左焦点F 的内切圆，圆心E的坐标是(---------16分 23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/数学归纳法.【参考答案】（1）对于数列{},n a 35410,2a a a +=>不满足集合W 的条件①，∴数列{}n a 不是集合W 中的元素.对于数列{},nb 13222log log 22b b b +=<=，24223log log 3,2b b b +=<=35224log log 4,2b b b +=<=而且，当{}1,2,3,4,5n ∈时有22log 1log 5,n b ≤≤显然满足集合W 的条件①②，故数列{}n b 是集合W 中的元素. -------------------4分（2）因为点1(,)n n c S +在直线220x y +-=上，所以1220n n c S ++-= ①， 当2n ≥时，有 1220n n c S -+-= ②，①-②，得1220(2),n n n c c c n +-+=≥所以，当2n ≥时，有11.2n n c c +=又2111220,1,c S S c +-===所以2111.22c c == 因此，对任意正整数,n 都有11,2n n c c +=所以，数列{}n c 是公比为12的等比数列，故()1111,2.22n n n n c S n *--==-∈N 对任意正整数,n 都有21211122,2222nn n n n n S S S ++++=--<-=且12,n S <≤故{},n S W ∈实数a 的取值范围是(],1,-∞实数b 的取值范围是[)2,.+∞-------------------10分（3）假设数列{}n d 不是单递增数列，则一定存在正整数0,k 使001.k k d d +≥------12分 此时，我们用数学归纳法证明：对于任意的正整数,n 当0n k ≥时都有1n n d d +≥成立. ①0n k =时，显然有1n n d d +≥成立；②假设0()n m m k =≥时，1,m m d d +≥则当1n m =+时，由212m m m d d d +++<可得212,m m m d d d ++<-从而有1211(2)m m m m m d d d d d ++++->--10,m m d d +=-≥所以12.m m d d ++> 由①②知，对任意的0,n k ≥都有1.n n d d +≥-----------------------------------------16分显然012,,,k d d d 这0k 个值中一定有一个最大的，不妨记为0.n d 于是0*(),n n d d n ∈N ≥从而00,n d b =与已知条件*0()n d b n ≠∈N 相矛盾.所以假设不成立，故命题得证．------------------------------------------18分。
上海市徐汇、金山、嘉定区2016届高三第二学期学习能力诊断数学理(含)介绍
2015 学年第二学期徐汇、金山、松江区学习能力诊疗卷高三数学理科试卷2016.4一．填空题： (此题满分 56 分，每题4 分)1．抛物线y24x的焦点坐标是 _____________.2．若会合A x 3x 1 0 , B x x 1 2，则 A B =_______________．1ii , 此中i为虚数单位，则z ________________．3．若复数z知足zarcsin32 24．求值：________________ 弧度．3=arctan3315．试写出xx 7睁开式中系数最大的项________________ ．n n6．若函数y 4x22x 3 的最小值为 a ，最大值为b，则lim an2b n＝ _________．n3a4b7．在极坐标系中，点(3,) 对于直线的对称点的坐标为 ________________ ．268．某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为志愿者，若用随机量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学希望E_______________．（结果用最简分数表示）9．已知平面上三点A、B、C 知足 | AB |=3,|BC|= 5 ，|CA |= 2 2 ，则 ABBC BCCA CAAB的值等于 _______________．10．从会合A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中任取两个数，欲使取到的一个数大于k, 另一个数小于 k（此中 k A) 的概率是2, 则 k __________________．511．有一个解三角形的题因纸张损坏有一个条件不清，详细以下：“在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知 a3, B 450 , ______________，求角 A ．”经推测损坏处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A600 , 试将条件增补完好．12．在等差数列a n 中，首项 a 1 3,公差 d2, 若某学生对此中连续10 项进行乞降，在遗遗漏一项的状况下，求得余下9 项的和为185，则此连续 10 项的和为 __________________ ．log 1 ( x 1), x0,1 ,13．定义在 R 上的奇函数 f ( x), 当 x0 时， f (x)21 x 3 , x 1, ,则对于 x 的函数 F ( x)f ( x) a(0a 1) 的全部零点之和为 ________________（结果用 a 表示）．na , a , a ,2a 2R14．对于给定的正整数 和正数 R ，若等差数列 a2n 1 ，则123知足 1Sa2 n 1a 2n 2a2 n3a 4n 1 的最大值为 __________________ ．二．选择题：（此题满分 20 分，每题 5 分）15．已知非零向量 a 、 b ，“函数f ( x) (ax b)2 为偶函数”是“ a b ”的 ---------- （）（ A ） 充足非必需条件 （ B ） 必需非充足条件（ C ） 充要条件（ D ） 既非充足也非必需条件2x, x 0,（）16．函数 y=x 2 , x 的反函数是 ------------------------------------------------------------------（ A ） yx, x 0（ B ） yx, x 0（ C ） y2x, x（D ） y2x, x22x , x 0 x, x 0x , x 0x, x 017．如图，圆锥形容器的高为h, 圆锥内水面的高为 h 1 , 且 h 11h 2 , 则 h 2h, 若将圆锥倒置，水面高为3等于 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（ A ） 2h（ B ）19h （C ） 36h（ D ） 319 h3 27 3 318． 设 x 1 、 x 2 是对于 x 的方程 x 2mx m 2 m 0 的两个不相等的实数根，那么过两点A(x 1, x 12 ) 、2y 1 2B( x 2 , x 22 ) 的直线与圆 x 11 的地点关系是 ----------------------------------------( )（A ）相离（B ）相切 （C ）订交（ D ）随 m 的变化而变化三．解答题：（本大题共 5 题，满分 74 分）19．（此题满分12 分；第（ 1）小题６分，第（2）小题 6 分）已知函数 f ( x) 2 sin x cosx 2 cos2 x ．（ 1）求函数 f (x) 的单一递加区间；（ 2）将函数y f (x)图像向右平移个单位后，获得函数y g (x) 的图像，求方程 g(x)1的解.420．（此题满分 14 分；第（ 1）小题６分，第（ 2）小题８分）在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AC 1， BAC900，且异面直线A1B 与 B1 C1所成的角等于 600，设AA1 a .（ 1）求a的值；A1（ 2）求三棱锥B1A1 BC 的体积．C1B1ACB21．（此题满分14 分；第（ 1）小题６分，第（2）小题８分）已知函数 f (x) 2x a a.（ 1）若不等式f (x) 6的解集为1,3 ，求 a 的值；（ 2）在（ 1）的条件下，若存在x0R, 使 f (x0 ) t f ( x0 ) ，求 t 的取值范围．22．（此题满分16 分；第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 7 分）已知椭圆x2y2的右焦点为F1,03C :a2b21(a b 0)，且点 P(1, ) 在椭圆 C 上．2（ 1）求椭圆C的标准方程；（ 2）过椭圆x2y2上异于其极点的随意一点Q作圆 O : x2y24C1:a2251的两条切线，切点b33分别为 M , N (M , N 不在座标轴上），若直线 MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m, n, 证明：113m2n2为定值；（ 3）若P1, P2x23y2PP xE 过P1, P2 ,是椭圆C2: 221上不一样的两点，轴，圆且椭圆a b 1 2C2上随意一点都不在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆C2能否存在过左焦点F1的内切圆？若存在，求出圆心 E 的坐标；若不存在，请说明原因．23．（此题满分 18 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 8 分）设会合 W 由知足以下两个条件的数列a na n a n 2a n 1 ; ②存在实数a,b 使 a a n b 组成：①2对随意正整数 n 都成立．（ 1）此刻给出只有 5 项的有限数列a, b, 此中 a12,a26, a3 8,a4 9,a512；n nb k log 2 k (k1,2,3,4,5). 试判断数列 a n, b n能否为会合 W 的元素；（ 2）数列cn 的前n项和为 S , c1, 且对随意正整数n,点 (cn 1, S ) 在直线 2x y20 上，证n 1n明：数列 S n W , 并写出实数 a,b 的取值范围；（ 3）设数列d n W , 且对知足条件②中的实数 b 的最小值b0,都有d n b0( n N * ). 求证：数列d n必定是单一递加数列．2016 年松江区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关图形与几何的基本知识 .【知识内容】图形与几何 /曲线与方程 /抛物线的标准方程和几何性质 .【参照答案】(1,0)【试题剖析】抛物线 y2 2 px 的焦点坐标为(p,0)，抛物线 y24x 中p 2 ，所2以焦点为 (1,0)，故答案为 (1,0) .2.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/理解或掌握初等数学中相关方程与代数的基本知识 .【知识内容】方程与代数/会合与命题 /交集，并集，补集 .【参照答案】 ( 1 ,3)3【试题剖析】解 |x - 1| <2 得 1x3，所以 A { x | 3x 10}(1, )，3B { x || x 1| 2}=( - 1,3) ，所以 A B1,故答案为A B(1 ( ,3),3) . 333.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/理解或掌握初等数学中相关数与运算的基本知识 .【知识内容】数与运算/复数初步 /复数的四则运算 .【参照答案】 1 i1i 1 i i(1i)1+i z 1 i【试题剖析】因为i ，所以 z i i2，所以，故答案为z1 i .5.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关方程与代数的基本知识 .【知识内容】方程与代数/矩阵与队列式初步 /二阶、三阶队列式 .2π3arcsin 3 2π2π 2π,故答案为 2π.2 3π【试题剖析】3 2 arctan3 3 π 336 3 3635.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /能依据必定的规则和步骤进行计算、绘图和推理 .【知识内容】整理与概率统计 /摆列、组合、二项式定理 /二项式定理 .【参照答案】 35xx17C r 7 x 7 r ( 1) r【试题剖析】睁开式的第 r 项为 T r 1( 1)r C 7r x 7 2 r ，其系xxrr≤(0r ≤ ，7) 当 其最 大 时 ， 取 r 4，所以系数最大的项为数为( 1) 7C T 5 =C 74 x 135 ，故答案为 35 .xx6.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/理解或掌握初等数学中相关方程与代数的基本知识 .【知识内容】函数与剖析 /函数及其基天性质 /函数的基天性质 ;方程与代数 /数列与数学归纳法 /数列的极限 .12【试题剖析】因为 0≤ x 22x 3( x 1)2 4≤4 ，所以 2≤y4x 2 2x 3≤4 ，n nnn( 2)n 21 .所以 a2, b 4 ， lim an2b n = lim2 n2 3 nlim 3 nn3a4bn3 24 3n223 ( )437.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/能依据必定的规则和步骤进行计算、绘图和推理 .【知识内容】图形与几何 /参数方程和极坐标 /极坐标 ;图形与几何 /平面直线的方程 /两条直线的平行关系与垂直关系 .【参照答案】 (3,π)6【试题剖析】直线π3x ，点 (3, π对应直角坐标系中 =化为一般方程为 y)63 2b3 31,,设点 (0,3) 对于直线 y3a 3的点为 (0,3)，x 的对称的点为 (a, b) ，则3 a b 333 22a3 3 ,3 33π 解得2 ，所以点的坐标为(,) ，化为极坐标系中的点为(3,) .b322628.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关数据整理与概率统计的基本知识 .【知识内容】数据整理与概率统计 /概率与统计 /随机变量的散布及数字特点 .【参照答案】 4721 110 ，【试题剖析】依据题意， 的取值为 0,1,2，P(=0)=C2510, P( =1)=C 5C2 2 =C 7 21C 72121，所以E1 104，故答案为 4.P( =2)=C22=21C 7 212121779.【丈量目标】运算能力 /能经过运算，对问题进行推理和研究 .【知识内容】图形与几何 /平面向量的坐标表示 /平面向量的数目积 ; 函数与剖析 /三角比 /正弦定理和余弦定理 . 【参照答案】8222【试题剖析】因为 AB3, BC5, CA2 2 ,所以 cos ABBC CABAB BC22 3 5 8 0,AB BCAB BC cos B0 ,同理，可求得 cos C10 ,3 54BC CA5 , cos A6,CA AB3,所以 AB BCBC CA CA AB8 ，故答案42为 8 .(或 AB BC BC CACA AB8 )AB BC- AC10.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关数据整理与概率统计的基本知识 .【知识内容】数据整理与概率统计 /概率与统计初步 /等可能事件的概率 .【参照答案】 4 或 7【试题剖析】从会合 A 中任取两个数的取法有 C 102 45 种，因为取到的两个数中一个数大于 k,另一个数小于 k 的概率是 2，所以事件的可能有 45 5 =185 2种，即 (k 1)(10 k) 18 ，解得 k 4或 7，故答案为 4 或 7.11.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关函数与剖析的基本知识 .【知识内容】函数与剖析 /三角比 /正弦定理和余弦定理 .6+ 2 【参照答案】 c2【试题剖析】由 B=45 °，A=60 °，得 C=75 °，由a b得,即 3= b sin Asin B3 222 所以 b2 ，所以 c a sin c = 6+ 2，若填入 “b 2 ”，由 sin Aa sin B3sin A2b2A=60°或 120°，故只好填入 c6+ 2，故答案为 c6+ 2 .22，得12.【丈量目标】逻辑思想能力 /拥有对数学识题进行察看、剖析、综合、比较、抽象、归纳、判断和论证的能力.【知识内容】方程与代数 /数列与数学归纳法 /等差数列 .【参照答案】 200【试题剖析】等差数列 { a n } 中的连续 10 项为 a x , a x +1 ,a x 2 , ,a x 9 ,( x N * ) ，遗漏的项为 a x+n , n N * 且 1≤ n ≤9, 则 ( a x a x 9) 10 a x n (a x a x 2 18) 10 (a x 2n)29(3 2x 2)2n185 ，化简得 44≤9x 43 n ≤52 ，所以 x5， a 5 11 ，则连续10 项的和为(1111+18) 10=200 ,故答案为 200.213.【丈量目标】剖析问题与解决问题的能力 /能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适合的解题策略，解决相关数学识题.【知识内容】函数与剖析 /函数及其基天性质 /函数的基天性质；函数与剖析 /指数函数和对数函数 /指数方程和对数方程 .【参照答案】 1 2a【试题剖析】 函数 F ( x) f ( x) a 有零点，则函数 f (x) 的图像与直线 y a 有交点，它们的图像以下图，当 时，图像无交点，当 1≤ x ≤0 时，，x[0,1）x [0,1]所以 f ( x)log 1 ( x 1)，因为函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，所以2f ( x)f ( x)log 1 ( x 1)，令 f (x) log ( 1 x1)a ，得 x 1 2a ，当 x [1, )22时，由 f (x) a 得1 | x 3| a ，|x 3|=1 - a ， x 1 x 2 6 ，同理，可适合 x (, 1)时， x 3 x 46 ，所以函数 F ( x) 的全部零点之和为6 1 2a6 1 2a ，故答案为 1 2a .第 13 题图 apto214.【丈量目标】剖析问题与解决问题的能力 /能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适合的解题策略，解决相关数学识题.【知识内容】方程与代数 /数列与数学归纳法 /等差数列 ;方程与代数 /不等式 /一元二次不等式 (组)的解法 .【参照答案】 (2n 1) 10R2【试题剖析】因为数列 { a n } 是等差数列，所以 a 2n 1 a4 n 1a2 n 2a4n=2a 3 n 1 ，所以S (2 n 1)a 3n 1 ，又因为 a 12 a 22 n 1( a3 n 13nd) 2 (a 3 n 1 nd )2≤R ,即 2a n 2 1 8da 3n 110n 2 d 2 R ≥0, 关 于 d 的 二 次 方 程 10n 2d 2 8da 3 n 1 2a n 2 1 R ≥0 有解，则=( - 8a 3n 1 )2 40n 2 (2a n 2 1 R)≥0 ，化简得 (64 80n 2 )a 32n 1≥ - 40n 2R ,所以 a 32n 1≤40n 2R1 32≤ 5R , 10R ≤≤10R , 所以 ≤ (2n1) 10R ，故答2R(264 )22a 3n 12S280 n 64280 n案为 (2 n1) 10R .2二、选择题15.【丈量目标】逻辑思想能力 /能从数学的角度有条理地思虑问题 . 【知识内容】函数与剖析 /函数及其基天性质 /函数的基天性质；图形与几何 /平面向量的坐标表示 /向量平行与垂直的坐标关系；方程与代数 /会合与命题 /充足条件，必需条件，充足必需条件 .【正确选项】 C【试题剖析】函数 f (x)(ax22a bx2b)2 a x2 b ，若函数f (x)为偶函数，则f ( x) f ( x) ，所以a b0 ，a b ，充足性成立；反之由 a b 可得函数f ( x)是偶函数，必需性也成立，所以“函数 f (x) (ax b)2为偶函数”是“a b”的充要条件，故答案为 C.16.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/理解或掌握初等数学中相关函数与剖析的基本知识 .【知识内容】函数与剖析/指数函数和对数函数 /反函数 .【正确选项】 B【试题剖析】当 x≥0 时， y2x≥0, x y，所以 f 1 ( x)x, x≥ 0 ；当 x 0 时，22y x20, x y ，所以 f1 ( x)x , x0 ，故答案为B.17.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/理解或掌握初等数学中相关图形与几何的基本知识 .【知识内容】图形与几何 /简单几何体的研究 /锥体 .【正确选项】 D【试题分析】设圆锥底面半径为 r，则依据题意有1 π2h 1π (2)221π(h2r)2h2，化简得h23193 19r3r h3 h h2h ，所以 h2h ，故答案333273为 D.18.【丈量目标】剖析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适合的解题策略，解决相关数学识题.【知识内容】函数与剖析 /函数及其基天性质 /简单的幂函数、二次函数的性质；图形与几何 /曲线与方程 /圆的标准方程和一般方程 ;图形与几何 /平面直线的方程 /点到直线的距离 . 【正确选项】 C【试题剖析】因为方程 x 2mx m 2m=0 有两个不相等的实数根 x 1 , x 2 ，所以x 12 mx 1m m 2，且m24(m2m) 0 ，解得 0 m4，因为 x 1≠ x 2 ，所以直线 AB 的3斜率为x 12x 22 x 1 x 2 = - m ，所以直线 AB 的方程为 y x 12m( x x 1) ，则圆x 1x 2( x 1)2 ( y 1)2m(1 x 1 ) x 12 1m 211 的圆心 (1, 1) 到直线的距离 dm 21m 21=m 4 1 2m 224 225 ， f (t)= t+ 4，易知其m 2 +1= (m 1)m 2 4 ，令 t m +1, 1 t941t在 (1,2] 上单一递减，在 (2,25) 上单一递加，且 f (1) 1, f (2)0, f (25) 1 ，所以990≤ f (t ) 1， 0≤ d 1，又圆的半径为1，所以直线 AB 与圆订交，故答案为 C.三、解答题19．（此题满分 12 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 6 分）【丈量目标 】（1）运算能力 /能依据法例正确地进行运算、变形 . （2）运算能力 /能经过运算，对问题进行推理和研究 .【知识内容 】（1）函数与剖析 /三角函数 /函数 y A sin( x ) 的图像和性质 . （2）函数与剖析 /三角函数 /函数 y A sin( x) 的图像和性质 . 【参照答案 】（ 1） f ( x)2 sin(2 xπ 分) 1 ， --------------3πππ4由2k π ≤2x≤2k π( k Z ) ,得242f ( x) 的单一递加区间是k π3π π分, k π(k Z ) . --688（2）由已知， g( x)2 sin π1 ， -------------9分2x4 由g(x)，得2 sin 2xπ 0 ，14xk π π， k Z . ----------------------- 12 分2820.（此题满分 14 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分）【丈量目标 】（1）空间想象能力 /能正确地剖析图形中的基本元素和互相关系 .（ 2）空间想象能力 /能正确地剖析图形中的基本元素和互相关系 . 【知识内容 】（ 1）图形与几何 /空间向量及其应用 /距离和角 .（ 2）图形与几何 /简单几何体的研究 /锥体 .【参照答案 】（ 1）如图成立空间直角坐标系，XHLD1第20题图则由题意得， A 1 0,0, a , B 1,0,0 ， B 1 1,0, a , C 1 0,1, a ，1 1 11,1,0 .------------3 分 所以 A B 1,0, a , BC设向量 AB 1 , BC 1 1 所成角为 ，则 600 ，或120 0 ，因为 cos 120 ，所以1200，得 cos1，解得 a 1. --------------61 a 22分（2）连结 B 1C ， AC 1 ,则三棱锥 B 1 A 1 BC 的体积等于三棱锥 C A 1 B 1B 的体积， V B A BCV C ABB ,111 1△A 1B 1B 的面积 S 1 ， △A 1BC 的面积 S 3 ( 2)23，11分242又 CA A 1A,CA AB, CA 平面 A 1B 1C ，所以 V C A 1B 1 B 1 1 1 1，所以 V B 1 A 1BC 1 .14 分3 2 6621．（此题满分 14 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分）【丈量目标】（1）数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关方程与代数的基本知识 .（2）逻辑思想能力 /会进行演绎、归纳和类比推理，能符合逻辑地、正确地论述自己的思想和看法 .【知识内容】（1）方程与代数 /不等式 /含有绝对值不等式的解法 .（2）函数与剖析 /函数及其基天性质 /函数的基天性质 .【参照答案】（ 1）f ( x)2x a a 6, 即 2x a 6 a.6a0,即a6,x-----------------------------------------3 分6a2x a 6 a,a33,a6,a31,即 a 2. ----------------------------------------------------------------------6 33,分（2）a 2 时，f ( x)2x2 2.若存在 x0R,使f (x0)≤t f (x0 ), 即 t≥f ( x0 )f ( x0 ), ---------------------8 分则 t≥ f (x) f ( x)min . -----------------------------------------------------------------10分f ( x) f (x) 2x22x 2 4 ≥ (2 x 2)(2 x 2) 48,当 x1,1时等号成立t≥8, 即t 8,.----------------------------------------14分22．（此题满分 16 分，第（ 1）小题 3分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题7分）【丈量目标】（1）数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关图形与几何的基本知识 .（2）逻辑思想能力 /会正确而简洁地表述推理过程，能合理地、切合逻辑地解说演绎推理的正确性 .（3）逻辑思想能力 /会进行演绎、归纳和类比推理，能符合逻辑地、正确地论述自己的思想和看法 .【知识内容】（1）图形与几何 /曲线与方程 /椭圆的标准方程和几何性质 .（2）图形与几何 /曲线与方程 /椭圆的标准方程和几何性质 .（ 3）图形与几何 /曲线与方程 /椭圆的标准方程和几何性质、 圆的标准方程和几何性质 .【参照答案 】（ 1）由题意得， c1.所以 a 2b 2 1,又点 P(1, 3) 在椭圆 C 上，所以 1292 1, 解得 a 2 4,b 2 3,2a4b所以椭圆 C 的标准方程为x 2y 2 1. ----------------------------------------------3分43（2）由（ 1）知， C 1 : x 2 3 y 2 1, 设点 Q(x 1, y 1 ), M ( x 2 , y 2 ), N ( x 3 , y 3 ),4 4则直线 QM 的方程为 x 2 xy 2 y4 ,①直线 QN 的方程为 x 3 x y 3 y 4 , ②33x 2 x 14y 2 y 1把点Q 的坐标代入①②得3 ,所以直线 MN 的方程为x 3x 14y 3 y 13x 1x y 1 y 4 ,3令 y 0, 得 m4, 令 x0, 得 n4 ,3x 13 y 1所以 x 14 , y 1 4,又点 Q 在椭圆 C 1上，3m 3n所以( 4)23(4) 24,即11 3 , 为定值． -------------------------------9 分3m3n3m 2n 24（3）由椭圆的对称性，不如设 P 1( m,n), P 2 (m, n), 由题意知，点 E 在 x 轴上， 设点 E(t,0), 则圆 E 的方程为 ( xt )2 y 2 (m t) 2n 2 . ----------------------11 分由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点 E 的距离的最小值是 PE ,1设点 M (x, y) 是椭圆 C 2 上随意一点，则 2( x t )2y23 x 2 2tx t 21,ME4当 x m 时， ME 2最小，所以 m2t4t ①3 .32假定椭圆 C 2 存在过左焦点 F 的内切圆，则 (3 t)2(m t) 2 n 2 .②又点 P1在椭圆 C2上，所以n21m2.③------------------------------------14分4由①②③得 t 3或 t3, 2当 t 3 时，m4t 4 32, 不合题意，舍去，且经考证， t 3切合题332意.综上，椭圆 C2存在过左焦点F的内切圆，圆心E的坐标是(3,0). ---------16 2分23．（此题满分 18 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题8分）【丈量目标】（1）剖析问题与解决问题的能力 /能自主地学习一些新的数学知识（看法、定理、性质和方法等），并能初步应用 .（2）剖析问题与解决问题的能力 /能综合运用基本知识、基本技术、数学思想方法和适合的解题策略，解决相关数学识题 .（3）数学研究与创新能力 /能运用相关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行研究，追求数学对象的规律和联系；能正确地表述研究过程和结果，并予以证明 .【知识内容】（1）方程与代数 /数列与数学归纳法 /数列的相关看法 .（2）方程与代数 /数列与数学归纳法 /数列的相关看法 .（3）方程与代数 /数列与数学归纳法 /数学归纳法 .【参照答案 】（1）对于数列 a n , a 3a 510 a 4 , 不知足会合 W 的条件①，2数列 a n 不是会合 W 中的元素 .对于数列 b n ,b 1 b 3log 2 3 log 22b 2 ，b 2 b 4 log 28log 2 3b 3,22b 3 b 5log 2 15 log 2 4 b 4 , 并且，当 n1,2,3,4,5 时有 log 2 1≤b n ≤ log 2 5, 明显满2足会合 W 的条件①②，故数列 b n 是会合 W 中的元素 . -------------------4 分 （2）因为点 (c n 1 , S n ) 在直线 2x y 2 0 上，所以 2c n 1 S n 2 0①，当 n ≥ 2 时，有 2cS2 0②，nn 1① ②，得 2c n 12cnc n0(n ≥2), 所以，当 n ≥ 2 时，有 c n 11c n .2又 2c 2 S 1 2 0,S 1 c 1 1, 所以 c 21 1c 1.2 2所以，对随意正整数 n, 都有cn11,所以，数列 c n是公比为 1的等比数列，c n22故 c n 112n 1 , Sn 2 2n 1 n N .对随意正整数 n, 都有 S nS n 221 12 1 S ,≤S W,22n2n 22n n 1且1 S n 2, 故 n实数 a 的取值范围是,1 , 实数 b 的取值范围是 2,. -------------------10 分（3）假定数列 d n 不是单递加数列，则必定存在正整数 k 0 , 使 d k 0≥ d k 1 .------12分此时，我们用数学归纳法证明： 对于随意的正整数n,当 n ≥ k 0 时都有 d n ≥d n 1 成立.① n k 0 时，明显有 d n ≥d n 1 成立；②假定 n m(m ≥ k 0 ) 时， d m ≥d m 1,则 当 n m 1 时 ， 由d mdm 2 d m 1 可 得 d m 22d m 1 d m , 从 而 有2d m 1dm 2d m 1 (2d m 1 d m ) d m d m 1≥0, 所以 d m 1 d m 2 .由①②知，对随意的 n ≥ k 0 , 都有 d n ≥d n 1.-----------------------------------------16 分显 然 d 1, d 2 , , d k 这 k 0 个值 中 一 定 有 一个 最 大 的 ， 不如 记 为 d n . 于 是dn 0≥dn(nN * ) ,进而 d n 0 b 0 , 与已知条件 d n b 0 (n N *) 相矛盾 .所以假定不可立，故命题得证． ------------------------------------------ 18 分。
上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）含答案解析
上海市2016年七校联考高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是．（用数字作答）4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．318．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n ∈N*都成立，求a的取值范围．2016年上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是x=0．【分析】由已知得（2x）2﹣2×2x+1=0，由此能求出原方程的解．【解答】解：∵4x=2x+1﹣1，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，解得2x=1，∴x=0．故答案为：x=0．【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为5．【分析】根据余子式的定义可知，M21=﹣，计算即可得解．【解答】解：由题意得：M21=﹣=5，故答案为：5．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15【点评】本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（ m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（ m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．【分析】由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换可得：y=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为8．【分析】利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解．【解答】解：∵双曲线，∴c==2，∴双曲线的两个焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），∵抛物线x2=py的焦点F（，0）与双曲线的上焦点重合，∴==2，∴p=8．故答案为：8．【点评】本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=5000．【分析】由已知条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算．【解答】解：a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=（0+2+4+...+98）+（2+4+ (100)=49×50+51×50=5000故答案为5000．【点评】本题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x ≤1，或x=2} ．【分析】结合函数的图象可得，若f[f（x）]=2，则f（x）=2 或 0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若 0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．由f[f（x）]=2 可得 f（x）=2 或 0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得 0≤x≤1，或 x=2．若 0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈∅．综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，故答案为{x|0≤x≤1，或x=2}．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，推断出k==1，A＞=3．答案可得．【解答】解：曲线y=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，k＞0）的周期为T==，被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得k==1，A＞=3．则A+k＞4，故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查了三角函数图象和性质，对y=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0），周期为T=，平衡位置为y=B，y max=A+B，y min=﹣A+B，属于中档题．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为18+12．【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最．大值【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴=﹣18cosθ+6sinθ+18=12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．【分析】从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望Eξ．【解答】解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）==，若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）==，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=，∴随机变量ξ的数学期望E（ξ）=1×+×=．故答案为：．【点评】本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n）=0+π+…+（n﹣1）π=﹣1∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．【分析】由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．【解答】解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=R，E为BO的中点，AE==R，AP==R，AP2=OP2+OA2﹣2OPOAcos∠AOP，∴（R）2=R2+R2﹣2RRcos∠AOP，∴cos∠AOP=，∠AOP=arccos，∴A、P两点间的球面距离为．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b=﹣1，a=1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．【解答】解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C【点评】本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）从而得到，通过累加得：m=+…+=﹣=2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，可得：a2017≥a2016≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．【解答】解：由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），，∴m=+…+=﹣═2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，∴a2017≥a2016≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．故答案选：B．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用定义，只要求出g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数h（x）=sin，x＞0，观察h（x）与g（x）=log2（x+1），x＞0的交点个数，即为中心对称点的组数．【解答】解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，则坐标系中分别作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log2（x+1），x＞0的图象如图，由图象可知，两个图象的交点个数有1个，所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为1组．故选：B【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f （α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．【分析】（1）连接C1B，因为C1B∥EF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等．（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离．【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）（1），，∴（6分）（2）设平面AEF的一个法向量为，∵，由得令a=1可得（10分）∵，∴（13分）∴点B1到平面AEF的距离为．（14分）【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，可得椭圆的标准方程为：；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0 ①，由（*）式，②，得y1+y2=k（x1+x2）+4k③，由①②③，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．．即，整理得20k2﹣4k﹣3＜0，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；（3）韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=（x+）﹣|x﹣|=．故y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f（x）=a（x+）﹣|x﹣|=，f′（x）=，当a≤1时，y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a＞1时，f（x）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2x3=1，x1x4=1，∴x1x2x3x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n ∈N*都成立，求a的取值范围．【分析】（1）由已知可得，即．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜想a n（2）由a n=2n可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求（3）因为，，若成立设，则只需即可利用g（n）的单调性可求其最大值，从而可求a的范围【解答】解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．令n=1，得，所以a1=2；令n=2，得，所以a2=4；令n=3，得，所以a3=6．由此猜想：a n=2n．（2）因为a n=2n（n∈N*），所以数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010（3）因为，故，所以．又，故对一切n∈N*都成立，就是对一切n∈N*都成立．设，则只需即可．由于=，所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a的取值范围是．【点评】本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查。
上海市徐汇区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案
2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2017．4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM=．若AN x AB y AC =+，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）（A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛 15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）816. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）B20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时F 1=1m F P ⋅.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==)．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、 选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、 解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分 所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=,--------4分 设,PC AB 的夹角为α，则cos 32PC AB PC ABα⋅===⋅分 所以，,PC AB的夹角为arccos3， 即异面直线PC 与AB 所成角的大小为arccos3.--------6分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点， 可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =，--------8分 又(0,2,0)BC =，(2,2,2)PC =-，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=，--------12分 所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PCBC C =，所以EF ⊥平面PBC .--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=， 即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分 故m =1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分 从而221312k k ≥+，----------------------------12分 因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. -------------------------------------------------------------------14分19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得s i n s i n 1C P B C B CC B P C P B ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，s i ns i n A B P C B P ∠=∠，--------------------------------------------6分 故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分C B A P(2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分 由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分 解得x19=， 即无人机到丙船的距离为CP =3x275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x =1，从而得A，(1,B .--------------2分 所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得2212a b ==. ---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得1F P =(x p +1,y p )，1F M =(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p Mp x mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M (m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分 因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=， 故21122221k k k T -=++++=-. ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==，由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n-个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n -k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分 因此21n S -=n ×1+(n -1)×2+…+ k ×2n -k +…+2×2n -2+1×2n -1 则2×21n S -=n ×2+(n -1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n ＝2n+1-n -2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n +2=2(121n S --+n +1)，即数列{21n S -+n +2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列, 所以21n S -+n +2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n -2. ------------------------------15分 S 2017=1021S -+S 994 -----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)=3986. ------------------------------------------------------------------------18分。
最新徐汇区高三数学理科一模试卷(含答案)
精品文档2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 理科试卷 2016.1一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的标准方程是________________．2．方程()253log 2=-x的解是________________．3．设)N (3*∈=-n a n n ，则数列}{n a 的各项和为________________．4．函数2cos cos y x x x =+的最小值为________________．5．若函数)(x f 的图像与对数函数x y 4log =的图像关于直线0=+y x 对称，则)(x f 的解析式为=)(x f ________________．6．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为4，则实数a 的取值范围为________________． 7．若+∈R y x ,，且191x y+=，则x y +的最小值是________________． 8．若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a的值为________________．9．()()322134x x x +++展开后各项系数的和等于________________．10．已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD上，AB =2CD =，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________________．11．已知函数2()1f x x =-的定义域为D ，值域为{}1,0,1,-，则这样的集合D 最多有 _______．个12．正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为________________．13．设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=________________．精品文档14． 已知O 是锐角ABC ∆的外心，1tan 2A =．若cos cos 2,sin sin B C AB AC m AO C B⋅+⋅=⋅u u ur u u u r u u u r 则实数m =________________．二． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知向量a r 与b r 不平行，且0a b =≠r r，则下列结论中正确的是-----------------------（ ）A ． 向量a b +r r 与a b -r r 垂直B ． 向量a b -r r 与a r垂直 C ． 向量a b +r r 与a r 垂直 D ． 向量a b +r r 与a b -r r平行16．设,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的-----------------------------（ ） A ． 充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)i x y x y -+--的实部大于0，虚部不小于0，则复数z x yi ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的---------------------------------------（ ）18．设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数 3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 1234030403120162016201620162016f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为---------------（ ） A ．4031- B ．4031 C ．8062- D ． 8062精品文档三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）在三棱锥S ABC -中，,,SA AB SA AC AC BC ⊥⊥⊥且2,AC BC SB ===求证SC BC ⊥并求三棱锥的体积S ABC V -．20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）已知实数x 满足242111103339x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+≤ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且2()log 2x f x =⋅ （1）求实数x 的取值范围；（2）求()f x 的最大值和最小值，并求此时x 的值．21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处，30AB =km ，15BC =km ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A 、B 等距离的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO 、BO 、PO .设BAO x ∠=（弧度），排污管道的总长度为y km ．（1） 将y 表示为x 的函数； （2） 试确定O 点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km ）．ABD P C OSABC精品文档22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分） 给定数列{}n a ，记该数列前i 项12,,,i a a a L 中的最大项为i A ，即{}12max ,,,i i A a a a =L ； 该数列后n i -项12,,,i i n a a a ++L 中的最小项为i B ，即{}12min ,,,i i i n B a a a ++=L ；(1,2,3,,1)i i i d A B i n =-=-L（1）对于数列：3,4,7,1，求出相应的123,,;d d d（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意,n N *∈有21(1),33n n S a n λλ-=-++其中λ为实数，0λ>且1,13λλ≠≠．①设2,3(1)n n b a λ=+-证明数列{}n b 是等比数列；②若数列{}n a 对应的i d 满足1i i d d +>对任意的正整数1,2,3,,2i n =-L 恒成立，求实数λ的取值范围．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）已知直线1l 、2l 与曲线()22:10,0W mx ny m n +=>>分别相交于点A 、B 和C 、D ，我们将四边形ABCD 称为曲线W 的内接四边形．（1） 若直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1W x y +=分成长度相等的四段弧，求22a b +的值；（2）若直线12:2:2l y x l y x ==与圆22:4W x y +=分别交于点A 、B 和C 、D ，求证：四边形ABCD 为正方形；（3） 求证：椭圆22:12x W y +=的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．精品文档2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（理科）参考答案及评分标准2016.1三． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)１．x y 82= ２．2x = 3．12 4．12- 5．()4x y x R -=-∈ 6．04a << 7．16 8．0 9．28 10．23π11．9 12．1413．2- 14二．选择题：（本题满分20分，每小题5分） 15．A 16．Ｄ 17．A 18．Ｃ 四． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）解：因为,SA AB SA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=,所以SA ⊥平面ABC ,所以SA BC ⊥.又AC BC ⊥.所以BC ⊥平面SAC .故SC BC ⊥.--------6分 在ABC ∆中，090,2,ACB AC BC ∠===所以AB =.----8分 又在SAB ∆中，,SA AB AB SB ⊥==,所以SA =.---10分又因为SA ⊥平面ABC ,所以11232S ABC V -⎛=⨯⨯⨯=⎝.----------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设213x u -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则上式化为291010u u -+≤，119u ≤≤，即211193x -⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，24x ≤≤---------------------------------------------------------------------6分SABC精品文档（2）因为()()222()log log 1log 22x f x x x =⋅=-- 2222231log 3log 2log 24x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，---------------------------10分当23log 2x =，即x =min 14y =---------------------------------------------------12分当2log 1x =或2log 2x =，即2x =或4x =时，max 0y =．---------------------------14分21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由已知得1521515tan cos y x x=⨯+-， 即2sin 1515cos x y x -=+⨯（其中04x π≤≤）-----------------------------------------------6分（2）记2sin cos xp x -=，则sin cos 2x p x +=1≤， 解得p ≥或p ≤分由于0y >，所以，当6x π=，即点O 在CD 中垂线上离点P距离为153⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭km 处,精品文档y取得最小值1540.98+≈（km ）．-------------------------------------------------14分22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分）解：（1）1232,3, 6.d d d ===---------------------------------------------------------------3分（2）①当1n =时，11(1)1,a a λλ-=-+所以11a =---------------------------------4分当2n ≥时，21(1),33n n S a n λλ-=-++1121(1),33n n S a n λλ---=-+- 两式相减得12,3n n a a λ-=+所以12223(1)33(1)n n n b a a λλλ-=+=++-- 112,3(1)n n a b λλλ--⎡⎤=+=⎢⎥-⎣⎦又1123103(1)3(1)b a λλλ-=+=≠-- 所以，数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项、λ为公比的等比数列.--------------------------9分 ②由①知：13123(1)3(1)n n a λλλλ--=---g ； 又{}{}1212max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++=-L L ，{}{}112123max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++++=-L L由于{}{}1223min ,,,min ,,,,i i n i i n a a a a a a ++++≤L L所以由1i i d d +>推得{}{}12121max ,,,max ,,,.i i a a a a a a +<L L精品文档所以{}1211max ,,,i i a a a a ++=L 对任意的正整数1,2,3,,2i n =-L 恒成立.-----------13分因为1112,,i i i i i i d a a d a a ++++=-=-所以121212131312(12)(1).3(1)3(1)i i i i i i i d d a a a λλλλλλλλλ--+++---=+-=+-=---g g ------14分 由10i i d d +-<，得1231(1)03(1)i λλλλ---<-g ， 但0λ>且1λ≠，所以3103(1)λλ-<-解得113λ<<，所以1(,1)3λ∈--------------------16分23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）解：（1）由于直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1W x y +=分成长度相等的四段弧，所以AB CD ==OAB ∆中，圆心()0,0O 到直线1:l y x a=+的距离为12d a ===，同理1b =，∴222a b +=------------------------------------4分（2）由题知，直线12,l l 关于原点对称，因为圆22:4W x y +=的圆心为原点O ，所以AB DC =u u u r u u u r，故四边形ABCD 为平行四边形.易知，O 点在对角线,AC BD 上.联立2242x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2560x -+=，由1212655x x x x +==得(1212121222OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+-u u u r u u u r)121251061005x x x x =-++=-+=，所以OA OB ⊥u u u r u u u r ，精品文档于是AC BD ⊥u u u r u u u r ，因为4AC BD ==u u u r u u u r，所以四边形ABCD 为正方形.----------------9分（3） 证明：假设椭圆22:12x W y +=存在内接正方形，其四个顶点为,,,A B C D .当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 、CD 的方程为,x m x n ==，因为,,,A B C D 在椭圆上，所以,,,,,,A m B m C n D n ⎛⎛⎛⎛ ⎝⎝⎝⎝，由四边形ABCD 为正方形，易知，33m n ==-，直线AB 、CD的方程为33x x ==-，正方形ABCD的面积8333S =⋅=.---------------------12分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 、CD 的方程分别为():,:0,0AB CD l y kx m l y kx n k m =+=+≠≠，显然m n ≠.设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立2212x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124220k x kmx m +++-=，所以2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++精品文档代人()()222121214AB k x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦，得()()222222218112k m AB k k -+=+⋅+，同理可得()()222222218112k n CD k k -+=+⋅+，因为ABCD 为正方形，所以22AB CD =解得22m n =因为m n ≠，所以m n =-，因此，直线AB 与直线CD 关于原点O 对称，所以原点O 为正方形的中心（由m n =-知AB DC =u u u r u u u r，四边形ABCD 为平行四边形）由ABCD 为正方形知OA OB ⊥u u u r u u u r，即()()221212121210OA OB x x y y k x x km x x m ⋅=+=++++=u u u r u u u r代人得222322012m k k--=+，解得()22213k m +=（注：此时四边形ABCD 为菱形）由ABCD 为正方形知AB AD =，因为直线AB 与直线CD 的距离为AD m n ==-，故()22222214483113k m AD k k +⋅===++但()()()()()22222222221142188131212k k k m AB k k k ++-+=+⋅=⋅++，由()()()2222114112k k k ++=+得 424224514410k k k k k ++=++∴=即0k =，与0k ≠矛盾.所以22AD AB ≠，这与精品文档 精品文档 AD AB =矛盾.即当直线AB 的斜率0k ≠存在时，椭圆内不存在正方形. 综上所述，椭圆22:12x W y +=的内接正方形有且只有一个，且其面积为83S =.--18分。
上海市2016年徐汇数学试卷理科(2016年4月)汇编
2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 理科试卷 2016.4一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.2．若集合{}{}310,12A x x B x x =+>=-<，则A B =_______________．3．若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________． 4．求值：arcsin22arctan3=________________弧度．5．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项________________．6．若函数4y =a ，最大值为b ，则2lim 34n nn n n a b a b→∞--＝_________． 7．在极坐标系中，点(3,)2π关于直线6πθ=的对称点的坐标为________________．8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=_______________．（结果用最简分数表示）9．已知平面上三点A 、B 、C 满足|ABBC|=|CA|=则A BB C B CC A C AA B ++的值等于_______________．10．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于,k 另一个数小于k （其中)k A ∈的概率是2,5则k =__________________． 11．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c已知045,a B ==______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．12．在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．13．定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）． 14．对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a 满足22121n a a R ++≤，则 21222341n n n n S a a a a ++++=++++的最大值为__________________．二． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的----------（ ）（A ） 充分非必要条件（B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件（D ） 既非充分也非必要条件16．函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是------------------------------------------------------------------（ ）（A）,020x x y x ⎧≥⎪=<（B）,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（C）2,00x x y x ≥⎧⎪=< （D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩17．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于-----------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C（D ）18．设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x 的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆()()22111x y -++=的位置关系是----------------------------------------( )（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）随m 的变化而变化三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知函数()2.f x x a a =-+（1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值范围．1A 1B 1CA BC22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3O x y +=的两条切线，切点分别为,(,M N M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22113m n +为定值；（3）若12,P P 是椭圆222223:1x y C a b+=上不同的两点，12PP ⊥x 轴，圆E 过12,,P P 且椭圆 2C 上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆2C 是否存在过左焦点1F 的内切圆？若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++<②存在实数,a b 使n a a b ≤≤对任意正整数n 都成立．（1） 现在给出只有5项的有限数列{}{},,n n a b 其中123452,6,8,9,12a a a a a =====；2log (1,2,3,4,5).k b k k ==试判断数列{}{},n n a b 是否为集合W 的元素；（2）数列{}n c 的前n 项和为1,1,n S c =且对任意正整数,n 点1(,)n n c S +在直线220x y +-=上，证明：数列{},n S W ∈并写出实数,a b 的取值范围；（3）设数列{},n d W ∈且对满足条件②中的实数b 的最小值0,b 都有*0().n d b n N ≠∈求证：数列{}n d 一定是单调递增数列．2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷（数学理科）答题卷 2016.4请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1． 2． 3．4． __ 5． _ 6．7． __ 8． _ 9．10． 11． 12．1３． 1４．二、选择题（本大题共4题，满分20分。
2016年上海市徐汇区一模数学理科
2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷(理科试卷)(考试时间：120分钟，满分150分) 2012.1一•填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分•1、函数y = log 2(x-m) • 1的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m = ________2、若全集 U ={x| x —1 <3,x E Z }, A={1,2,3},C u B ={—1,3}，则 AC B = ________________3、 从一堆苹果中任取 5只，称得它们的质量分别为(单位：克)125、124、2122、123、126，则该样本方差 S 2二 _____________—tan x 4、 已知tan(x ' )=2，贝y的值为 ___________________4tan 2x5、 根据右图所示的程序框图，输出结果 i 二 __________6、 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数z =(m - ni)(n -4mi) ( i 是虚数单位)为实数的概率为 _________________ (结果用最简分数表示)17、 若(x )n 的展开式中前三项的系数依次成等差数列， 则展开式中x 4项的2x系数为 ____________8、 已知函数f(x) =X 2 -1的定义域为D ，值域为〈-1,0,1,3?，试确定这样的集合 D 最多有 _______________ 个 9、已知△ ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是 a,b,c ，向量m =(a,b)，p=(b-2,a-2)，若m 丄p ，边长C=2，角C =—，则△ ABC 的面积是310、已知函数 f (x) = log a x x - b(a 0,a = 1)，当 2 ■■ a ■■ 3 - b ::数 f (x)的零点 x 0 • (n,n 1)(nN)，则 n =11、已知各项为正数的等比数列 {a n }满足:a 7 = a 6 - 2a 5,若存在两项13、设f (x)是定义在 R 上的偶函数，对任意 x • R ，都有f (x - 2) = f (x • 2),且当x • [ -2, 0]时，1f(x)=(2)x T .若函数g(x) =f (x) Toga(x • 2)(a1)在区间-2,6】恰有3个不同的零点，贝V a 的取12、如图所示：ABC 中，点O 是BC 中点.过点O 的直线分别交直线 AB 、m n得.a m a 7 =2,2a 1，则丄4的最小值为m nAC 于不同两点 M 、N 若AB =mAM , AC = nAN ，贝卩m • n 的值为 _____________值范围是14、如图所示：矩形A n B n P n Q n 的一边A .B n 在x 轴上，另两个顶2x点F n ，Q n 在函数f(X )2(x 0)的图像上(其中点B n 的坐1 +x标为n,0 (n_2,n ・N ))，矩形A n B n P n Q n 的面积记为 5 ,则lim S n =n _.二•选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分•1 15、设 a,b 为实数，则“ 0：；ab ：：：1 ”是“ b ”的()a(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分又不必要条件16、已知函数y 二Asin(「x •• m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为—，直线x=—是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是 ()(A ) y =4sin(4x )(B ) y = 2sin(4 x ) 2 6 617、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段D 1 上有两个动点 错误的是()(A ) AC _ BE(C )三棱锥A-BEF 的体积为定值a 12 a 13a 22 a 23中，每行中的三个数成等差数列，且a 1<Ha 1<ba 13、a 21 ' a 22 ' a 23、a 31 a 32 ' a 33成等比数列，下列四个判断正确的有 .................... ()①第2列印2, a 22, a 32必成等比数列 ②第1列a 11, a ?1,831不一定成等比数列③a 12 ' a 32- a 21-a 23 ④若9个数之和等于9，则a 22：：： 1(A ) 4 个(B ) 3 个(C ) 2 个(D ) 1 个y = 2sin(2 x 3) 2(D ) y = 2sin(4 xJI3E, F ，若EF ，则下列结论中2(B ) EF // 平面 ABCD(D )直线AE 与平面ABQ 1D 1所成角为定值18、由9个互不相等的正数组成的矩阵 a 21 ®1a32a33 J三•解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.佃.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.3已知复数Z1 a2-3i，z2 =2 (3a 1)i ( a，R，i是虚数单位).a 2(1)若复数乙_Z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数 a 的取值范围;4 / 11(2)若虚数w 是实系数一元二次方程 x 2 -6x • m = 0的根，求实数 m 的值.20. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.女口图，已知 PA_ 平面 ABC ， AC _ AB ， AP =BC =2 ， .CBA =30 , D , E 分别是BC , AP 的中点. (1) 求异面直线 AC 与ED 所成的角的大小；(2) 求 PDE 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积 . 21、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分， 第2小题满分6分.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工 产品.已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系式可近似的表示为：2y =x - 200x 40000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元.(1 )该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?(2)要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？22、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分, 第3小题满分6分.50中第一行第二列元素的余子式记为f(x)，且关于x 的不等式xf (x) ::: 0的解集为(-2,0).各项均为正数的数列的前n 项和为S n ，点列(a n ,S n ) ( n 壬N )在函数y = f (x)的图象上.(1) 求函数y 二f (x)的解析式；an2b —1(2) 若 b n 二k 〒(k 0)，求 lim n 1 的值；F b n +2fa n , n 为奇数J(3)令c 二 ，求数列：c/的前2012项中满足c m =6的所有项数之和.j C n , n 为偶数.223、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分， 第3小题满分7分.对定义在区间 D 上的函数f(x)，若存在闭区间！a,bD 和常数C ，使得对任意的l a,b l 都有f(x)二C ，且对任意的x 「Ta,b 1都有f(x)恒成立，则称函数 f (x)为区间D 上的“ U 型”函数.(1)求证：函数f (x) = x —1 + x —3是R 上的“ U 型”函数；设a • R,把三阶行列式21 + _x +a 42(2 )设f (x)是(1)中的“ U型”函数，若不等式t—［十|t—2兰f(x)对一切的X E R恒成立，求实数t的取值范围；(3)若函数g(x) = mx「x22x n是区间I -2,：；J ［上的“ u型”函数，求实数m和n的值.2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断(理科)答题卷2012.1、1.填空题(本大题共14题,每题4分，满分56分)4. 5. 6.7.8.9.10.11.12 .13.14._ 、选择题(本大题共4题，每题5分，满分20分) 本大题必须使用2B铅笔填涂15 . [A ][B ][C ][D]16.[A ][B ][C][D ]17 . [A ][B ][C ][D]18.[A ][B ][C][D ]三、解答题(本大题共5题，，满分74分)19.[解](1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科7学习能力诊断卷理科试卷参考答案及评分标准（2012.1 ）三、解答题：（3 \ 219、解：（1）由条件得，z^i -z 2 = I ---------- -2l+（a -3a-4）il a+2 丿3 2 0,a 22a -3a - 42（2 ）因为虚数 乙是实系数一元二次方程 x -6x ，m=0的根 所以乙+乙=6=6，即a = —1”，””，” 8分a+2，把 a - -1 代入，则 w =3 -2匕乙=3 • 2i ，”,，”，”， 10 分所以 m 二乙乙=13,,,,,,,,,,12 分A4-911一6、、4、B 3 :、 、 题9 择 7 选D2、 、 、 一一 5 8二 1因为乙-Z 2在复平面上对应点落在第一象限，故有2a 1 a 2 :::0,(a-4)(a 1)-2 :: a ,121O7E(0,0,1) , AC=(1,0,0),ED=(1，于，-1),,,2 分20、 (1)解法一：取AB 中点F 所以/EDF 就是异面直线 由已知， AC = EA = AD =1, AB =$3 , PB 二幻, AC _EF ,. DF _EF .,,,,,，连接 DF , EF ，贝U AC // DF ，AC 与PB 所成的角.,2分在 Rt ：EFD 中，DF = 1,ED = 一2 , 2cos_ EDF所以异面直线AC 与ED 所成的角为V2a rccos 4(arct a.r7).,,,,,,解法二：如图所示建立空间直角坐标系,1 』3屮0,。
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2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（理科）参考答案及评分标准2016.1 一．填空题：(本题满分56分，每小题4分)１．x y 82= ２．2x = 3．12 4．12- 5．()4x y x R -=-∈ 6．04a << 7．16 8．0 9．28 10．23π 11．9 12．1413．2- 145二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．A 16．Ｄ 17．A 18．Ｃ 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）解：因为,SA AB SA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=,所以SA ⊥平面ABC ,所以SA BC ⊥.又AC BC ⊥.所以BC ⊥平面SAC .故SC BC ⊥.--------6分在ABC ∆中，090,2,13ACB AC BC ∠===所以17AB =分又在SAB ∆中，,17,29SA AB AB SB ⊥==,所以23SA =.---10分又因为SA ⊥平面ABC ,所以1123921323323S ABC V -⎛=⨯⨯⨯=⎝.----------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设213x u -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则上式化为291010u u -+≤，119u ≤≤，即211193x -⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，24x ≤≤---------------------------------------------------------------------6分（2）因为()()2222()log log 1log 222x xf x x x =⋅=-- 2222231log 3log 2log 24x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，---------------------------10分当23log 2x =，即22x =min 14y =---------------------------------------------------12分 当2log 1x =或2log 2x =，即2x =或4x =时，max 0y =．---------------------------14分 21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由已知得1521515tan cos y x x=⨯+-， 即2sin 1515cos x y x -=+⨯（其中04x π≤≤）-----------------------------------------------6分（2）记2sin cos xp x -=，则sin cos 2x p x +=2211p≤+， SABC解得3p ≥或3p ≤分由于0y >，所以，当6x π=，即点O 在CD 中垂线上离点P 距离为15315⎛ ⎝⎭km 处, y 取得最小值1515340.98+≈（km ）．-------------------------------------------------14分22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分） 解：（1）1232,3, 6.d d d ===---------------------------------------------------------------3分 （2）①当1n =时，11(1)1,a a λλ-=-+所以11a =---------------------------------4分 当2n ≥时，21(1),33n n S a n λλ-=-++1121(1),33n n S a n λλ---=-+- 两式相减得12,3n n a a λ-=+所以12223(1)33(1)n n n b a a λλλ-=+=++-- 112,3(1)n n a b λλλ--⎡⎤=+=⎢⎥-⎣⎦又1123103(1)3(1)b a λλλ-=+=≠-- 所以，数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项、λ为公比的等比数列.--------------------------9分②由①知：13123(1)3(1)n n a λλλλ--=--- ；又{}{}1212max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++=-，{}{}112123max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++++=- 由于{}{}1223min ,,,min ,,,,i i n i i n a a a a a a ++++≤所以由1i i d d +>推得{}{}12121max ,,,max ,,,.i i a a a a a a +<所以{}1211max ,,,i i a a a a ++=对任意的正整数1,2,3,,2i n =-恒成立.-----------13分因为1112,,i i i i i i d a a d a a ++++=-=-所以121212131312(12)(1).3(1)3(1)i i i i i i i d d a a a λλλλλλλλλ--+++---=+-=+-=---------14分由10i i d d +-<，得1231(1)03(1)i λλλλ---<-，但0λ>且1λ≠，所以3103(1)λλ-<-解得113λ<<，所以1(,1)3λ∈--------------------16分23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）解：（1）由于直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1W x y +=分成长度相等的四段弧，所以2AB CD ==OAB ∆中，圆心()0,0O 到直线1:l y x a =+的距离为2122a d a ===，同理1b =，∴222a b +=------------------------------------4分 （2）由题知，直线12,l l 关于原点对称，因为圆22:4W x y +=的圆心为原点O ，所以AB DC =，故四边形ABCD 为平行四边形.易知，O 点在对角线,AC BD 上.联立224210x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得2541060x x -+=，由121241065x x x x +==得 (12121212210210OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+)121241052101062101005x x x x =-++=-+=，所以OA OB ⊥， 于是AC BD ⊥，因为4AC BD ==，所以四边形ABCD 为正方形.----------------9分（3） 证明：假设椭圆22:12x W y +=存在内接正方形，其四个顶点为,,,A B C D . 当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 、CD 的方程为,x m x n ==，因为,,,A B C D 在椭圆上，所以2222,1,1,,1,,12222m m n n A m B m C n D n ⎛⎛⎛⎛---- ⎝⎝⎝⎝，由四边形ABCD 为正方形，易知，6633m n ==-AB 、CD 的方程为6633x x ==-，正方形ABCD 的面积26268333S =⋅=.---------------------12分 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 、CD 的方程分别为():,:0,0AB CD l y kx m l y kx n k m =+=+≠≠，显然m n ≠.设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立2212x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124220k x kmx m +++-=，所以2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++代人()()222121214AB kx x x x ⎡⎤=++-⎣⎦，得()()222222218112k m AB k k -+=+⋅+，同理可得()()222222218112k n CD k k -+=+⋅+，因为ABCD 为正方形，所以22AB CD =解得22m n =因为m n ≠，所以m n =-，因此，直线AB 和直线CD 关于原点O 对称，所以原点O 为正方形的中心（由m n =-知AB DC =，四边形ABCD 为平行四边形） 由ABCD 为正方形知OA OB ⊥， 即()()221212121210OA OB x x y y kx xkm x x m ⋅=+=++++=代人得222322012m k k--=+，解得()22213k m +=（注：此时四边形ABCD 为菱形） 由ABCD 为正方形知AB AD =，因为直线AB 和直线CD 的距离为21m nAD m n k-==-+，故()22222214483113k m AD k k +⋅===++ 但()()()()()22222222221142188131212k k k m AB kk k ++-+=+⋅=⋅++，由()()()2222114112k k k ++=+得 424224514410k k k k k ++=++∴=即0k =，和0k ≠矛盾.所以22AD AB ≠，这和AD AB =矛盾.即当直线AB 的斜率0k ≠存在时，椭圆内不存在正方形.综上所述，椭圆22:12x W y +=的内接正方形有且只有一个，且其面积为83S =.--18分。