2016届上海市徐汇区高三一模数学(理科)试题及答案

2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

数学学科（理科）参考答案及评分标准

2016.1 一．填空题：(本题满分56分，每小题4分)

１．x y 82

= ２．2x = 3．

12 4．1

2

- 5．()4x y x R -=-∈ 6．04a << 7．16 8．0 9．28 10．

23π 11．9 12．1

4

13．2- 145二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．A 16．Ｄ 17．A 18．Ｃ 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）

解：因为,SA AB SA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=,所以SA ⊥平面ABC ,所以

SA BC ⊥.又AC BC ⊥.所以BC ⊥平面SAC .故SC BC ⊥.--------6分

在ABC ∆中，0

90,2,13ACB AC BC ∠===所以17AB =分

又在SAB ∆中，,17,29SA AB AB SB ⊥==,所以23SA =.---10分

又因为SA ⊥平面ABC ,所以1123921323323S ABC V -⎛=

⨯⨯⨯=

⎝.----------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

解：（1）设2

13x u -⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，则上式化为291010u u -+≤，1

19

u ≤≤，

即2

11193x -⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭

，24x ≤≤---------------------------------------------------------------------6分

（2）因为()()2

222

()log log 1log 22

2

x x

f x x x =⋅=-- 2

222231log 3log 2log 24

x x x ⎛

⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，---------------------------10分

当23log 2x =

，即22x =min 1

4

y =---------------------------------------------------12分 当2log 1x =或2log 2x =，即2x =或4x =时，max 0y =．---------------------------14分 21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由已知得15

21515tan cos y x x

=⨯+-， 即2sin 1515cos x y x -=+⨯（其中04

x π

≤≤）-----------------------------------------------6分

（2）记2sin cos x

p x -=

，则sin cos 2x p x +=2

211p

≤+， S

A

B

C

解得3p ≥或3p ≤分

由于0y >，所以，当6

x π

=

，即点O 在CD 中垂线上离点P 距离为15315⎛ ⎝⎭

km 处, y 取得最小值1515340.98+≈（km ）．-------------------------------------------------14分

22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分） 解：（1）1232,3, 6.d d d ===---------------------------------------------------------------3分 （2）①当1n =时，11(1)1,a a λλ-=-+所以11a =---------------------------------4分 当2n ≥时，21(1),33n n S a n λλ-=-++1121

(1),33

n n S a n λλ---=-+- 两式相减得12

,3

n n a a λ-=+

所以12223(1)33(1)n n n b a a λλλ-=+

=++-- 112,3(1)n n a b λλλ--⎡⎤

=+=⎢⎥-⎣⎦

又1123103(1)3(1)b a λλλ-=+=≠-- 所以，数列{}n b 是以

31

3(1)

λλ--为首项、λ为公比的等比数列.--------------------------9分

②由①知：1312

3(1)3(1)

n n a λλλλ--=

--- ；

又{}{}1212max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++=-，

{}{}

112123max ,,

,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++++=- 由于{}{}1223min ,,

,min ,,

,,

i i n i i n a a a a a a ++++≤

所以由1i i d d +>推得{}{}12121max ,,,max ,,,.

i i a a a a a a +<

所以{}1211max ,,

,i i a a a a ++=对任意的正整数1,2,3,,2i n =-恒成立.-----------13分

因为1112,,i i i i i i d a a d a a ++++=-=-所以

121

212131312(12)(1).3(1)3(1)

i i i i i i i d d a a a λλλλλλλλλ--+++---=+-=

+-=---------14分

由10i i d d +-<，得

1

231(1)03(1)

i λλλλ---<-，