经济数学基础线性代数讲义

经济数学线性代数学习讲义

合川电大兰冬生

1, 矩阵:

A =⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-012411210, 称为矩阵。认识矩阵第一步: 行与列, 横为行, 竖为列,

第一行依次0,1,2, 第二行1,1,4 第一列0,1,2

这是一个三行三列矩阵, 再给出一个三行四列矩阵

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

2222111211, 这个矩阵记作n m A ⨯, 表明这个矩阵有m

行, n

列, 注意行m 写在前面,列n 写在后面, 括号里面的称为元素, 记为ij a , i 是行, j 是列, 例如:

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----12614231213252是三行四列矩阵, 也说成43⨯矩阵, 注意行3在

前面, 列4在后面, 这里211=a ( 就是指的第一行第一列那个数) 123-=a ( 就是指的第二行第三列那个数) 2, 矩阵加法

矩阵加法, 满足行列相同的矩阵才能相加, 对应位置的数相加。

例如: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011101010

+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210=⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢

⎢⎣⎡-021512220 减法是对应位置的数相减。, 3, 矩阵的乘法

矩阵乘法参看以下法则: 注意字母对应

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡3332

31

232221131211

a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡3332

312322211312

11b b b b b b

b b b ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=33332332133132

332232123131

332132113133232322132132232222122131232122112133132312131132132212121131

1321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明:

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡3332

31

232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3332

312322211312

11b b b b b b

b b b =⎥⎥

⎦

⎢⎢⎢⎣⎡3332

31

232221

1211

c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b , 注意是对应元素相乘, 再求和。

乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a 22a 23a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b 。

依次类推, 结果元素ij c 等于第i 行乘以第j 列,

举例

矩阵 AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡--1412 第一行乘以第一列, )2(4)2(1061-=⨯-+⨯+⨯ 第一行乘以第二列, 11)2(2031=⨯-+⨯+⨯ 第二行乘以第一列, 4401)2(61=⨯+⨯-+⨯ 第二行乘以第二列, 1102)2(31-=⨯+⨯-+⨯

能够乘的条件: 第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须相同, 就是尾首必须相同, v w n m B A ⨯⨯能够乘必须是A 矩阵脚标的尾n 等于B 矩阵脚标的首w 相等, w n = 例如: 3332⨯⨯B A 可乘3432⨯⨯B A 不可乘,

只要尾首相同就可乘, v w n m B A ⨯⨯乘积为v m ⨯矩阵 例如: 3332⨯⨯B A 可乘, 乘积结果为32⨯C 矩阵

2334⨯⨯B A 可乘, 乘积结果为24⨯C 矩阵

矩阵的数乘, 一个数乘以一个矩阵, 等于这个矩阵的每个元素乘以这个数

例: A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201, 3A =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--063603.

矩阵的乘法能够看出, 矩阵的乘法不可交换, 一般情况下BA

AB≠4, 矩阵的转置

矩阵A转置矩阵记为T A,

转置就是把矩阵的行列元素对调, 也能够看成沿主对角线翻转! A

A则

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

T

A

从这里看出, 下面一个矩阵A是2×3矩阵( 2行3列) 则A T是3×2矩阵( 3行2列) ,

1月考题:

设A为3×4矩阵, B为5×2矩阵, 且乘积矩阵AC T B T有意义, 则C为( B ) 矩阵。

A. 4×2

B. 2×4

C. 3×5

D. 5×3

分析: 根据尾首相同法AC T B T可表示为( 3×4) ( ) ( 2×5) , 中间一个就是4×2, 注意是C T, 因此C就是2×4。

对称矩阵:

对称矩阵的元素依主对角线对称:

1．设

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

-

=

1

3

2

3

2

1

a

A, 当a=0时, A是对称矩阵．