苏教版数学高一-1.3素材 理解三角函数的周期性
三角函数周期性
三角函数周期性三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们具有周期性的特点。
周期性是指当变量取特定值时，函数的值会重复出现。
三角函数的周期性可以通过一些简单的关系式来描述。
最常见的三角函数是正弦函数和余弦函数。
它们的周期都是2π，也就是当自变量增加2π时，函数的值会再次回到原来的值。
这就是正弦函数和余弦函数的周期性。
对于其他的三角函数，比如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数，它们的周期性是π，也就是当自变量增加π时，函数的值会再次回到原来的值。
不同的三角函数具有不同的周期，这是它们之间的一个重要区别。
三角函数的周期性在数学和物理学中都有广泛的应用。
在数学中，周期性可以帮助我们解决一些复杂的问题。
比如在三角恒等式的证明中，周期性可以帮助我们化简问题，将复杂的计算转化为简单的计算。
在物理学中，周期性是描述波动和振动的重要概念。
波动和振动都是以一定的周期性发生的。
比如声波、光波和电磁波都是具有周期性的波动。
三角函数的周期性可以帮助我们描述这些波动的特征。
例如，正弦函数和余弦函数可以用来描述声波的振动模式，正切函数和余切函数可以用来描述光波的传播方向。
除了周期性，三角函数还具有许多其他的特点。
例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，它们对称于y轴。
正切函数和余切函数是奇函数，它们对称于原点。
这些特点在解决问题时也非常有用，可以帮助我们简化计算和推导过程。
三角函数的周期性在数学和物理学中都有重要的应用。
它们能够帮助我们解决一些复杂的问题，描述波动和振动的特征。
了解三角函数的周期性，可以帮助我们更好地理解这些函数的性质，提高数学和物理学的建模能力。
总之，三角函数的周期性是它们最重要的特征之一。
周期性可以帮助我们解决问题，描述波动和振动的特征。
了解三角函数的周期性，对于学习和应用数学和物理学都非常重要。
苏教版高中数学高一1.3.1三角函数的周期性
解析 根据周期函数的定义容易知道A，C均是错误的，同时D是正确的； 对于B，我们只能得出2π是函数y＝tan x的一个周期，但不是最小正周期.
1234
2.函数 y＝ 2cosπ4－2x的最小正周期为__π___. 解析 T＝|2ωπ|＝π.
知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
1.正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最 小正周期都是2π. 2.正切函数的周期 正切函数是周期函数，最小正周期是π. 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0， ω>0)的周期T＝ 2π .
第1章 §1.3 三角函数的图象和性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期. 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
3 达标检测
PART THREE
1.下列说法中，正确的是 A.因为sin(π－x)＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期 B.因为tan(2π＋x)＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的最小正周期 C.因为当 x＝π4时，等式 sinπ2＋x＝sin x 成立，所以π2是函数 y＝sin x 的一个周期
3.当 x＝74π 时，cosx＋π2＝cos x，所以π2是 cos x 的一个周期.( × )
高一数学三角函数的像与周期性
高一数学三角函数的像与周期性三角函数是数学中的重要概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们在解决三角学问题、波动现象和周期性问题中有广泛的应用。
本文将重点讨论三角函数的像与周期性。
一、正弦函数的像与周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，用y = sin(x)表示。
它的图像是一条连续的曲线，具有以下特点：1. 像的取值范围：正弦函数的像的取值范围是[-1, 1]，即它的值始终在-1和1之间。
2. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期为2π。
也就是说，当x增加2π时，y的值将重复。
图1展示了正弦函数的图像。
[图1：正弦函数图像]二、余弦函数的像与周期性余弦函数是另一个重要的三角函数，用y = cos(x)表示。
它与正弦函数非常相似，但有一些区别：1. 像的取值范围：余弦函数的像的取值范围也是[-1, 1]，与正弦函数相同。
2. 周期性：余弦函数也是周期性函数，其周期同样为2π。
图2展示了余弦函数的图像。
[图2：余弦函数图像]三、正切函数的像与周期性正切函数是另一个常见的三角函数，用y = tan(x)表示。
它的图像有着特殊的性质：1. 像的取值范围：正切函数的像的取值范围是全体实数。
2. 周期性：正切函数是周期性函数，其周期为π。
当x增加π时，y 的值将重复。
图3展示了正切函数的图像。
[图3：正切函数图像]综上所述，三角函数的像与周期性是数学中重要的概念。
正弦函数和余弦函数的像取值范围均为[-1, 1]，而正切函数的像取值范围是全体实数。
它们都是周期性函数，其中正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
三角函数在解决各种实际问题中有着广泛的应用。
比如，可以用正弦函数模拟海浪的波动，用余弦函数描述天体运动的周期性，用正切函数分析电路中的变化等等。
了解三角函数的像与周期性对于理解这些现象和解决相关问题至关重要。
总之，高一数学中三角函数的像与周期性是一个重要的内容。
通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的分析，我们可以理解它们在图像上的特点以及周期性的规律。
苏教版高中数学必修：三角函数的周期性
1.3.1 三角函数的周期性一、课题：三角函数的周期性二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。
三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。
四、教学过程：（一）引入：1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2正弦函数()sin f x x =性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
（二）新课讲解：1．周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。
【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+ ） 2．最小正周期的定义对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。
高中数学第1章三角函数13三角函数的图象和性质131三角函数的周期性课件苏教版必修4
解析：(1)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以 60° 不是正弦函数 y＝sin x 的一个周期． (2)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确． (3)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确．
2．下列函数中，最小正周期为 4π 的是( )
A．y＝sin x
B．y＝cos x
1.求下列三角函数的最小正周期 T： (1)f(x)＝sinx＋π3； (2)f(x)＝cos 2x； (3)f(x)＝3sinx2＋π3.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
解：(1)令 z＝x＋π3， 因为 sin(2π＋z)＝sin z， 所以 f(2π＋z)＝f(z)， f（x＋2π）＋π3＝fx＋π3， 所以 T＝2π.
4．函数 y＝tsainn xx的最小正周期是________．
解析：y＝tsainn
xx＝
sin sin
xx＝cos
x，所以最小正周期为
2π.
cos x
答案：2π
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结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
根据周期函数定义求周期 已知 f(x＋1)＝－f(x)，求证：f(x)是周期函数，并求出 它的一个周期． 【解】 因为 f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，所以 f(x) 是周期函数，且 2 是它的一个周期．
(1)若函数 y＝f(x)(x∈R)的图象关于 x＝a，x＝b(b＞a)都对称， 则 f(x)是周期函数且 2(b－a)是它的一个周期． (2)已知 f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，由定义可证得 f(x)为周期函数， 2a 是它的一个周期． (3)若 f(x＋a)＝－f（1x）(a＞0)，则 f(x)为周期函数，2a 是它的 一个周期．
苏教版数学高一苏教版必修4学案1.3.1三角函数的周期性
课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π). 思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时， 令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π＜T ＜2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21 C.23- D.23 解析：由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x ∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x ∈［-3,-2］时，-x ∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x ∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x ∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则x ∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案：x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.证明：（1）因为y=x 3在x ∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因此y=x 3不是周期函数.（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x ∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f （x)=1(x ∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.。
(教师参考)高中数学 1.3.1 三角函数的周期性课件1 苏教版必修4
10
要点阐释
• 2.诱导公式
• 一.设α为任意角，终边相同的角
的同一三角函数的值相等：
• sin（2kπ+α）=sinα k∈z
• •
cos（2kπ+α）=cosα tan（2kπ+α）=tanα
kk∈∈zz
• cot（2kπ+α）=cotα k∈z
精选ppt
11
要点阐释
• 二. 设α为任意角，π+α的三
角函数值与α的三角函数值之
间的关系：
• sin（π+α）=-sinα
• cos（π+α）=-cosα
•
tan（π精+选αppt）=tanα
12
要点阐释
• 三. 任意角α与-α的三角函
数值之间的关系：
• sin（－α）=－sinα
• cos（－α）=cosα
• tan（－α）=－tanα
•
cot（－精选αpp）t =－cotα
S|2k,k Z
不一定
一定
• 2.终边相同的无数角 • 3.相等的角，终边 • 4.终边相同的有精选ppt
相等360.°的整数倍. 相同. 多个，它
4
自学导引
特
殊
0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2
角
的 sinα 0 1 2 3 1 0 -1
三
222
角 函
cosα 1 3 2 1
2 22
13
典例剖析 题型一 终边相同的角的定义和表示方法
与角
c
解：与−π6终边相同的角为 2kπ−π6，k∈z，当 k=-1时，
此角等于11π6， 故选：C．
三角函数的周期性
三角函数的周期性三角函数是数学中重要的函数之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们在数学、物理、工程和其他许多领域中都有广泛的应用。
而这些三角函数都具有周期性，这是它们的重要特征之一。
1. 正弦函数的周期性正弦函数是三角函数中最为基本的函数之一，用sin(x)表示。
它的图像是一条连续的波形，呈现上下起伏的特点。
正弦函数的周期是2π（或360°），即在每个周期内，函数的图像会重复出现。
以y = sin(x)为例，当x从0增加到2π时，函数的图像将从0达到最大值1，然后再回到0，接着下降到最小值-1，最后又回到0。
这个过程会一直循环下去，因此可以说正弦函数的周期是2π。
2. 余弦函数的周期性余弦函数是与正弦函数关系密切的三角函数，用cos(x)表示。
它的图像也呈现上下起伏的特点，但与正弦函数的波形相位不同。
余弦函数的周期同样也是2π（或360°）。
以y = cos(x)为例，当x从0增加到2π时，函数的图像将从1下降到最小值-1，然后再回到1，接着上升到最大值1，最后又回到1。
这个过程也会一直循环下去，因此可以说余弦函数的周期同样是2π。
3. 正切函数的周期性正切函数是三角函数中另一个重要的函数，用tan(x)表示。
它的图像呈现出一条连续的曲线，有着特殊的周期性。
正切函数的周期是π（或180°），即在每个周期内，函数的图像会重复出现。
以y = tan(x)为例，当x从0增加到π/2（或0°增加到90°）时，函数的图像会从0增加到无穷大。
随着x继续增加，函数的图像会在每个周期内不断重复这个过程。
因此，正切函数的周期是π。
总结：三角函数的周期性是它们的重要性质之一。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π（或360°），而正切函数的周期则是π（或180°）。
这种周期性使得三角函数在循环变化或振动问题的描述中具有重要的应用。
在实际问题中，我们可以通过理解和利用三角函数的周期性来分析和解决各种与周期变化有关的数学和物理问题。
苏教版数学高一苏教版必修4课前引导1.3.1三角函数的周期性
高中数学-打印版
最新版高中数学 1.3 三角函数的图象和性质
1.3.1 三角函数的周期性
课前导引
问题导入
在日常生活中我们知道，如果今天是星期一，那么过7天后的那一天是星期一，再过7天后的那一天仍然是星期一，如此这般，一遍一遍地循环变化，周而复始.这就是人们常谈的周期性.然而在数学上也能反映出美丽的规律曲线，如下图A 、B 、C.
请问：这些图象都呈现出怎样的变化规律?
解析：图象呈现这样的变化规律：当x 取值变化时，y 呈有规律的周期变化，这种变化是本节要学的周期性.
知识预览
1.周期函数：对于函数f(x)如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
2.最小正周期：对于周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)(其中A 、ω、φ为常数，且A≠0,ω＞0)的周期T=ωπ2.。
高中数学 1_3_1 三角函数的周期性教案 苏教版
2．练习.
（1）第25页练习1，判断说法正误；
（2）第26页练习2，求函数的周期性；
（3）第26页练习3，三角函数周期性的简单应用；
（4）设 是定义在R 上，以2为周期的函数，当 时， .
①求 时， 的表达式；
②求 及 的值．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．周期函数的概念，最小正周期；
课题
1.3.1三角函数的周期性
课型
新授
教学目标：
1.从实例感知周期现象，理解周期函数的概念；
2.能熟练求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用；
3.使学生对周期现象有一个初 步认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心.
教学重 点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法 ．
教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单应用.
教学 过程
备课札记
一、问题情境
1．情境：取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象.
2.问题：我们已经知道，三角函数是刻画周期现象的数学模学生活动
3．最小正周期的概念，三角函数 的最小正周期；
4．函数 及 ( 为常数，且 )的周期（掌握公式）.
5．2π是正弦函数的最小正周期的简单证明介绍．
四、数 学运用
1．例题.
例1若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图 所示：
( 1)求该函数的周期；
(2)求t＝10s 时钟摆的高度．
例2求下列函数的周期:
2．三角函数的周期公式.
教学反思：
1．在图形上让 学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式 又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.
苏教版三角函数的周期性
苏教版三角函数的周期性在我们学习苏教版数学的旅程中，三角函数是一个重要且有趣的部分。
而其中，三角函数的周期性更是其独特而关键的特性之一。
首先，咱们来聊聊什么是周期。
简单来说，周期就是指一个函数在经过一定的区间后，会重复出现相同的函数值。
就好像四季的更替，春夏秋冬不断循环，这就是一种周期现象。
对于三角函数而言，周期性是它们的固有属性。
以正弦函数y ＝sin(x) 为例。
它的图像是一条波浪线，从原点开始，先上升到最高点 1，然后下降到最低点－1，再上升回到原点，完成一个完整的周期。
这个周期的长度是2π。
也就是说，当 x 增加2π 时，sin(x) 的值会重复出现。
余弦函数 y ＝ cos(x) 也具有类似的周期性，其周期同样是2π。
不同的是，余弦函数的图像是从最高点 1 开始，先下降，再上升回到 1 完成一个周期。
那为什么三角函数会有周期性呢？这其实与它们的定义和几何意义有关。
从单位圆的角度来看，正弦函数和余弦函数分别表示了单位圆上点的纵坐标和横坐标。
当角的大小增加2π 时，点在单位圆上的位置会重复，从而导致函数值的重复，也就形成了周期性。
了解了三角函数的周期性，它有什么用呢？这可大有用处！在物理学中，比如交流电的电压和电流变化、机械振动等都可以用三角函数的周期性来描述。
在数学中，利用周期性可以简化很多计算和问题的解决。
比如说，要求解 sin(2x ＋π/3) 的周期。
根据周期的性质，对于正弦函数 sin(ax ＋ b)，其周期 T ＝2π ／｜a| 。
所以在这个例子中，a ＝ 2，那么周期 T ＝2π ／ 2 ＝π 。
再来看一个稍微复杂点的例子，f(x) ＝2sin(3x π/6) ＋ 1 。
它的周期同样是 2π ／ 3 。
而且由于函数进行了上下平移和伸缩变换，其最大值不再是 1，而是 2 ＋ 1 ＝ 3 ，最小值是－2 ＋ 1 ＝－1 。
三角函数的周期性还能帮助我们更好地理解函数的性质。
比如奇偶性，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
苏教版数学高一苏教版必修4素材 温故知新 1.3.1三角函数的周期性
高中数学-打印版
精心校对 1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1 三角函数的周期性
温故知新
新知预习
1.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做_____________.非零常数T 叫做这个函数的_____________.
2.对于一个周期函数f(x)，如果存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做它的_____________.
3.正弦函数y=sinx 的最小正周期为_____________.
余弦函数y=cosx 的最小正周期为_____________.
正切函数y=tanx 的最小正周期为_____________.
知识回顾
1.同角三角函数的基本关系式
sin 2α+cos 2α=1，tanα=α
αcos sin . 2.诱导公式
cos(α+k·2π)=cosα(k ∈Z )；sin(α+k·2π)=sinα(k ∈Z )；tan(α+k·2π)=tanα(k ∈Z )；cos(-α)=cosα；sin(-α)=-sinα；tan(-α)=-tanα；cos ［α+(2k+1)π］=-cosα(k ∈Z )；sin ［α+（2k π+π)］=-sinα(k ∈Z )； tan ［α+（2k+1）π］=tanα(k ∈Z ).。
三角函数的周期性、奇偶性、对称性-高考数学复习
π
直线 x ＝ 对称，则函数 g ( x )＝
6
sin x ＋ a cos x 的图象(
C )
(1)因为函数 f ( x )＝ a sin x ＋ cos x ( a 为常数， x ∈R)的图象关于直线 x
π
π
＝ 对称，所以 f (0)＝ f
6
3
＝ sin x ＋
3
2 3
cos x ＝
sin
3
3
，所以1＝
π
＝ k π， k ∈Z，即φ＝ k π－ ， k ∈Z.
4
π
＋＋
4
π
为奇函数，所以φ＋
4
因此，选项D正确.
3.
π
(2024·河北衡水模拟)已知 x 0＝ 是函数 f ( x )＝
6
cos
π
2
− 3 cos φ＋
cos 3 x sin φ的一个极小值点，则 f ( x )的一个单调递增区间是(
＋
则f
π
−
4
＝－ 2 sin 2 −
π
4
＝ 2 cos 2 x ，为偶函数，A正确.
π
π
令2 x ＝ ＋ k π， k ∈Z，则 x ＝ ＋ π， k ∈Z，
2
4
2
π
即 f ( x )的对称轴为 x ＝ ＋ π， k ∈Z，B错误.
4
2
因为 x ∈
π
π
，
3
2
，所以2 x ∈
所以 f ( x )单调递增，C正确.
(1)(2024·江苏苏州模拟)已知函数 f ( x )＝ cos (π－ x )－ cos
C. π
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.1 三角函数的周期性教案 苏教版
高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的图象和性质1.3.1 三角函数的周期性教案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的图象和性质1.3.1 三角函数的周期性教案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．3。
1 三角函数的周期性错误!教学分析三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景,因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题．周期函数的定义是教学中的一个难点．在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现"“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等,逐步抽象出函数周期性的定义．教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期以及周期函数．因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论．三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数．对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π的结论,可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接"中的内容了解其证明过程．不论是周期，还是最小正周期，都是对自变量x而言的，是自变量x的改变量．这一点正是解决例2的根据．教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数y＝Asin(ωx ＋φ）的周期为错误!这一结论．三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础．重点难点教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．教学难点：周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安,糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2。
苏教版高一数学三角函数的周期性
苏教版高一数学三角函数的周期性课题：三角函数的周期性教学目标:1．使学生理解函数周期性的概念。
2．并使学生掌控直观三角函数的周期的带发修行．3．培育学生根据定义展开推理小说的逻辑思维能力。
教学重点：函数周期性的概念．教学难点：周期函数与最轻正周期的意义。
课时精心安排：一课时讲课类型：崭新讲课教学过程与设计：一、问题情境：1、引入：通过前面三角函数线的学习，我们知道每当角增加或减少2k?时，所得角的终边与原来角的终边相同，因而两角的正弦函数值也相同，正弦函数的这种性质叫做周期性．不但正弦函数具备这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具备这样的性质，这就是今天研究的课题：函数的周期性．2、问题：那么如何用数学语言来刻画函数的周期性呢？二、建构数学（一）、周期函数定义1、我们先看函数周期性的定义．定义对于函数f(x)，如果存有一个不为零的常数t，使当x挑定义域内的每一个值时，f(x?t)?f(x)都设立，那么就把函数f(x)叫作周期函数，不为零的常数t叫作这个函数的周期．2、需要注意的几点：①t是非零常数。
②任一x?d，都存有x?t?d，t?0，可知函数的定义域无界就是沦为周期函数的必要条件。
③任取x?d，就是取遍d中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。
理解定义时，要抓住每一个x都满足f(x?t)?f(x),成立才行周期也可以大力推进，若t就是y?f(x)的周期，那么2t也就是y?f(x)的周期.这是因为若t就是y?f(x)的周期，k?z且k?0,f(2t?x)?f[t?(t?x)]?f(t?x)?f(x)，则kt也是f(x)的周期.即2?是函数y?sinx和y?cosx的周期，那么2k?(k?z且k?0)也就是y?sinx和y?cosx的周期.如：sin(?43??3?)?sin(),sin(?)?sin(),?24424但sin(?6??2)?sin?,?不是y?sinx的周期.62?（二）、最轻正周期的概念.对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.比如函数y?sinx的周期中，2π，－2π，4π，－4π，…，存有最轻正数2π，那么，2π就是y?sinx的最轻正周期.函数y?cosx的最小正周期也是2π，今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期，不是每个周期函数都有最小正周期.基准1．谋以下函数的最轻正周期t.（1）f(x)?3sinx（2）f(x)?sin2x（3）f(x)?2sin(1?x?)24求解：（1）f(x)?3sinx?3sin(x?2?)?f(x?2?)t?2?（2）f(x)?sin2x?sin(2x?2?)?sin2(x??)?f(x??)∴函数的最轻正周期为π.（3）f(x)?2sin(1x??)?2sin(1x2?)?2sin[1(x?4?)??]?f(x?4?)242424∴函数的最小正周期为4π.总结通常规律：y?asin(?x??),y?acos(?x??)的最轻正周期就是2?|?|.令z??x??，由y?asinz,z?r的周期就是2?，则z?2x2x?因而自变量x只要并且至少必须减少至x2?2?2??，即t??。
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理解三角函数的周期性
问题的提出：
等式sin(2π)sin ()x k x k +=∈Z ，及cos(2π)cos ()x k x k +=∈Z 成立，sin y x x =∈R ，和cos y x x =∈R ，的图象每隔2π重复．
函数周期性定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
1． 理解定义时，要抓住定义域内任一个x 都满足()()f x T f x +=成立才行 如：πππsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5ππ5πsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，但πππsin sin 626⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭
， π2
∴不是sin y x =的周期． 周期并不惟一，若T 是()y f x =的周期，那么2T 也是()y f x =的周期． 这是因为(2)[()]()()f T x f T T x f T x f x +=++=+=；
若T 是()y f x =的周期，k ∈Z 且0k ≠，则kT 也是()f x 的周期． 2π是函数sin y x =和cos y x =的周期，那么2π(0)k k k ∈≠Z 且也是sin y x =和cos y x =的周期．
2． 最小正周期的概念
如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．
例如：函数sin y x =的周期2π2π4π4π--，，，，…中，存在最小正数2π，那么2π就是sin y x =的最小正周期．函数cos y x =的最小正周期也是2π． 例1 求下列函数的最小正周期T ．
（1）()3sin f x x =；
（2）()sin 2f x x =；
（3）1π()2sin 2
4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 解：（1）()3sin 3sin(2π)(2π)f x x x f x ==+=+，最小正周期2πT =．
（2）()sin 2sin(22π)sin 2(π)(π)f x x x x f x ==+=+=+，最小正周期πT =；
（3）1π1π()2sin 2sin 2π2424f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2sin (4π)(4π)2
4x f x ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 最小正周期4πT =．
总结一般规律：sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期是2πω；
tan()y A x ωϕ=+的最小正周期是πω．
例2 求证：1π2sin 2
3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π． 证明：1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π4π12
=，
根据函数的图象特征，可知函数的周期减半，故其周期为2π．注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．。