二次曲面和复习(课后较大修改版)
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。
2. 掌握空间解析几何的基本知识。
3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。
教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。
2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。
3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。
教学准备：1. 教案和教材。
2. 多媒体教学设备。
教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。
2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成教材中的练习题。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。
教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。
2. 理解线性变换和矩阵运算。
3. 学会运用向量空间解决实际问题。
教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。
2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。
二次曲面及复习(课后较大修改版)
x = x, 再作平移变换 y = y+1,
z = z,
则上式化为 x2 = 2y.
可见原方程表示一个抛物柱面.
注1：在例16中将两个一次项之和化为一 个一次项时，用了一个正交变换，如何 看出它是一个旋转变换呢？
即(y+1)2 + 2z2 = 1.
z
x = x,
再作平移变换 y = y1,
O y
z = z,
x
则上式化为 y2 + 2z2 = 1.
可见原方程表示一个椭圆柱面.
第六章 二次型与二次曲面
例16. x2 + y + z 2 = 0.
§6.3 二次曲面
x 1 0 0 x 该变换是对 令 y = 0 2/2 2/2 y , 坐标轴作了
0
Λ=
1
,
4 那么在变换 x=Qy的作用下，二次型变为
f = y22 + 4y32.
注意对应
P240第8题(2)：最后要写出可逆线性变 换 x = P z . 切记 x 写在左边.
建议：正交矩阵的记号用Q, Q1, Q2, …
P240第10题(3): QTAQ=Λ => A=Q ΛQT => A=QΛ1/2 Λ1/2 QT => A=QΛ1/2 QTQΛ1/2QT =>可取U=Q Λ QT
事实上，对于一个正交变换x=Qy, 如果 |Q|=1，则称该变换是第一类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个旋转。 如 果|Q|= - 1，称该变换是第二类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个“镜像变 换”(可以先做一个旋转)。(了解即可)
28.8.5二次曲面(二)及习题课.
23
例1
选择题:曲线
5x2
3y2
3z2
12
y 3
在xOz面上的投影曲线分别绕 x 轴和z
轴旋转一周所成的曲面是
(A) 单叶双曲面、二次锥面． (B) 单叶双曲面、双叶双曲面． (C) 圆柱面、椭球面． (D)马鞍面、单叶双曲面．
24
解题方法 消去一个变量可得投影柱面的方程,即 可求出投影曲线的方程,再旋转即可.
解 消去 y 得平行 y 轴的投影柱面方程为
3z2 5x2 15 即 z2 x2 1
53
z2 x2
投影曲线为
5
3
1
y 0
25
则绕 x 轴旋转得单叶旋转双曲面为: y2 z2 x2 1 53
绕 z 轴旋转得双叶旋转双曲面 z2 x2 y2 1 53
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
X
x2
,
amn
xn
34
a11 a12
a1n x1
AX
a21
a22
am1 am2
a11x1 a12 x2
a21x1
a22
x2
a2n x2
d
3
பைடு நூலகம்
12 22 22
故圆的半径 r R2 d2 259 4.
27
例3
判断
A
1
1
1，B
解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 22000000 而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y t x x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x§ 4.2锥面2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(下册)二次曲面 9.2 课后习题详解【圣才出品】
即得
因而是 YOZ 平面上的共轭双曲线． 共轭双曲面
在 ZOX 平面上的交线，为
即可得
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因而是 ZOX 平面上的共轭双曲线．
第 2 节 直纹面
1．已知柱面的准线方程为 解：此柱面的准线方程
证
．
证：设 Pi 的坐标为
，这里 ri＞0，则有
由于 i≠j 时，
垂直，于是可得
即得
，i＝1，2，3．试
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是正交矩阵，所以有 又 Pi 在 S 上，故可得 即 将上面三式相加，即可完成证明． 5．证明方程 (λ为参数)表示经过曲线
因此它们垂直当且仅当 又 P0∈S，故有 于是 P0 的轨迹满足：
当 a≠b 时，为双曲线．当 a＝b 时，为二相交直线： 和
6．试证单叶双曲面，双曲抛物面的母线有下列性质： 1）同族的两条母线不共面； 2）异族的两条母线共面； 3）经过单叶双曲面的一条母线的平面也经过另一族的一条母线； 4）经过对双曲抛物面的不平行对称轴的一条母线的平面也经过另一族的一条母线．
将（2，1，3）分别代入．则得μ＝Aλ，μ′＝0，于是过点 M(2，1，3)的两条直母线为 ，
5．求双曲抛物面
上互相垂直的直母线的交点的轨迹．
解：由抛物面 S 的方程可写为
于是其两族直母线为 于是过
， 的两条直母线，为
于是可得它们的方向数：
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的椭球面族，并求此族曲面的中心的轨迹方程． 证：设
解析几何第四版吕林根期末复习课后习题重点详解
解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解第一章 矢量与坐标§1.3 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B、D 三点共线．证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , CN 可 以构成一个三角形.证明： )(21AC AB AL += )(21BM +=)(21CB CA CN +=)(21=+++++=++∴BM7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA += MB OM OB += +=)(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴从而三中线矢量,,构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB +OC +＝4.[证明]：因为＝21(OA +OC ), ＝21(OB +OD ), 所以 2OM ＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB +OC +＝4. 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ．→→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1 [证明]：如图1-7，因为图1-5＝OP －, ＝－OP ,所以 OP －＝λ (－OP ), (1+λ)OP ＝+λ,从而 OP ＝λλ++1OB. 4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合;（2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将AT 分解为21,e e 的线性组合解：（1）()12123131,e e e e -==-=-= ，2111231323131e e e e e +=-+=+=，同理123132e e +=（2）因为 ||||TC ||11e 且 BT 与方向相同，所以 BT ||21e e . 由上题结论有AT||||1||212211e e e e e +||||21e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。
二次型(课后修改版)
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例3. 用配方法化f =4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形, 用配方法化f +3x +3x +2x 为标准形,
并求所用的可逆线性变换. 并求所用的可逆线性变换.
例4. 用配方法化f =x12−3x22−2x1x2−6x2x3+2x1x3 用配方法化f 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 例5. 用配方法化f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形. 用配方法化f =2x +2x 为标准形. 并求所用的变换矩阵. 并求所用的变换矩阵.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
把它们单位化可得正交矩阵 1 2 0 1 2 Q= 0 , 1 0 1 2 0 −1 2 令x = Qy, 得该二次型的标准形为 Qy, f = xTAx = (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y (Qy) Qy) AQ) = yT 0 1 0
0 0 2 0 0 0
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形. 用配方法化f =2x +2x 为标准形. 并求所用的变换矩阵. 并求所用的变换矩阵. 分析: 分析: 若用前面正交变换的方法化 f 为标准形, 为标准形, 求变换矩阵非常麻烦. 求变换矩阵非常麻烦. 因为 0 1 1 f(x1, x2, x3)的矩阵A = 1 0 −3 , 的矩阵A 1 −3 0 |λE–A| = (λ–3)[λ+1 (3+ 17 )][λ+ 1 (3− 17 )]. (3− 2 2 但由此可见 f 可化为 f = 3y12 − 1 (3+ 17 )y22+ 1 ( 17 − 3)y32. 3y )y 3)y 2 2
九年级数学上册 19《二次函数和反比例函数》二次函数与一元二次方程(二)课后练习 北京课改版(20
九年级数学上册19《二次函数和反比例函数》二次函数与一元二次方程（二）课后练习（新版）北京课改版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册19《二次函数和反比例函数》二次函数与一元二次方程（二）课后练习（新版）北京课改版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二次函数与一元二次方程（二)课后作业1。
已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ )A。
抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴C。
当x=3时，y＜0 D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根2.根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（）x 2 2。
23 2。
24 2。
25 ax2+bx+c -0.05 —0.02 0。
03 0。
07A。
2＜x＜2。
23 B. 2。
23＜x＜2.24 C。
2.24＜x＜2。
25 D. 2.24＜x≤2.253。
根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0,a、b、c为常数)的自变量x与函数y的对应值,判断ax2+b x+c=0的一个解x的取值范围为（）x 1.43 1.44 1。
45 1。
46 y=ax2+bx+c -0.095 —0.046 0。
0030.052A。
1。
40＜x＜1.43 B. 1。
43＜x＜1.44C。
1.44＜x＜1。
45 D。
1。
45＜x＜1。
464。
根据下列表格对应值：x 3。
24 3。
25 3。
(仅供参考)几何与代数第2章习题答案
t ，那么 x1 x，y1 y，z1 z t ，代
入方程得
x2 y2 x y
z z t
t2
0
1
，消去参数
t
得柱面方程：
2x2
2
y2
2xy
1。
（3）准线方程为
x2
y2
25
，母线方向为 5，3，2
；
z 0
【解】设
M1 x1，y1，z1
是准线上的点，那么过
M1
的母线为
x x1 5
y2
z
y
2
y1
x1 2
z
y12
z1
z1 2
0
。由于 M1 x1， y1， z1 在母线上，所以
x1 1
y1 2 2
z1 2 2
。则
x1
z1
2
2
，y1
z1
2 x y z 1
5
，代入消元，旋转曲面方程为
x2 y2 z2 9 4 x y z 12 2 x y z 1 1。
x 0
0
，旋转轴为
y
轴
x 0
y 1
z 0
，如果
M1 0，y1，z1 为
母线
上的任意点，那么过
M1
的纬圆为
y y1 0
x
2
y2
z2
y12
z12
，且有
F
y1，z1
0
，从三式中消去参
数 y1，z1 得所求旋转曲面方程为 F y， x2 z2 0 。
1． pqr 为直角三角形， p 60 ，求 pq 绕 pr 旋转所成曲面方程。
x 0
y 0
二次曲面
z
与平面 y = y1 的交线为 （2’） ）
2 y 其轴 轴 x = 2 p z − 其轴//z 抛物线 2q y12 顶点 0, y1 , y = y 1 2q
2 1
x
y
与曲面相截， （3）用坐标面 yoz ( x = 0)，x = x1 与曲面相截，均得抛物线 ）
z
L
α
M(0, y, z)
y
两边平方
x
2
z =a (x + y )
2 2 2
11
x2 z2 eg2:求坐标面 xoz 上的双曲线 2 − 2 = 1 分别绕 x a c
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 + z2 − =1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 + y2 z2 − 2 =1 2 a c
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面 旋转双曲面. 旋转双曲面
12
三、椭球面
x y z + 2 + 2 = 1 (1)范围： x ≤ a, a2 b c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 2 + 2 =1 , b a z = 0
2
2
2
y ≤ b,
16
四、抛物面 1. 椭圆抛物面
x y + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
a ) p > 0, q > 0 z
b) p < 0, q < 0
2
2
z o x y
x
o
y
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北师大版高中数学一轮复习第二章2.4二次函数word版下载
课时作业7 二次函数一、选择题1．已知某二次函数的图像与函数y ＝2x 2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )．A ．y ＝2(x －1)2＋3B ．y ＝2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－2(x －1)2＋3D ．y ＝－2(x ＋1)2＋32．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )．A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)3．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为( )．A ．2 B.34 C.23D ．0 4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )．A ．－b 2aB ．－b aC ．c D.4ac －b 24a5．(2013届安徽示范校第一次联考)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减少的，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ＜－3D ．a ＞－36．已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋c )x ＋1(a ≠0)是偶函数，其定义域为[a －c ，b ]，则点(a ，b )的轨迹是( )．A ．线段B ．直线的一部分C ．点D ．圆锥曲线7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题8．函数f (x )＝2x 2－6x ＋1在区间[－1,1]上的最小值是__________，最大值是__________．9．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为__________．10．(2012江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．三、解答题11．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a 4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值． 12．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1，x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0＞－1.参考答案一、选择题1．D 解析：设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.2．D 解析：由f (1＋x )＝f (－x )可知，函数的对称轴为x ＝12，即－b 2＝12， ∴b ＝－1，则f (x )＝x 2－x ＋c ，结合函数图像可知f (0)＜f (2)＜f (－2)，故选D.3．B 解析：2x ＋3y 2＝2(1－2y )＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，∵x ＝1－2y ≥0，y ≥0，∴y 的取值范围为0≤y ≤12. 设f (y )＝3y 2－4y ＋2＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. ∴y ＝12时，f (y )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝34， 即当y ＝12且x ＝0时，2x ＋3y 2有最小值34. 4．C 解析：由已知f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图像关于x ＝－b 2a对称， ∴x 1＋x 2＝－b a， ∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b ·b a＋c ＝c .选C. 5．A 解析：由题意知，对称轴x ＝1－a ≥4，∴a ≤－3.6．B 解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，∴⎩⎨⎧ b ＋c ＝0，a －c ＋b ＝0，b >0.∴a ＝－2b (b ＞0)，即点(a ，b )的轨迹是直线的一部分．7．A 解析：∵f (－x )＝f (x )，∴(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴(－x ＋a )2＝(x ＋a )2，即4ax ＝0，∴a ＝0.二、填空题8．－3 9 解析：f (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－72. 当x ＝1时，f (x )min ＝－3；当x ＝－1时，f (x )max ＝9.9.38或－3 解析：f (x )的对称轴为x ＝－1. 当a ＞0时，f (2)＝4a ＋4a ＋1＝8a ＋1，f (－3)＝3a ＋1.∴f (2)＞f (－3)，即f (x )max ＝f (2)＝8a ＋1＝4.∴a ＝38. 当a ＜0时，f (x )max ＝f (－1)＝a －2a ＋1＝－a ＋1＝4，∴a ＝－3.综上所述，a ＝38或a ＝－3. 10．9 解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝a 2－4b ＝0.①又∵f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，即x 2＋ax ＋b －c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是对应方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋(m ＋6)＝－a ，m (m ＋6)＝b －c ， ②③由②得，a 2＝4m 2＋24m ＋36，④由③得，4b －4c ＝4m 2＋24m ，⑤由①④⑤可得，4m 2＋24m ＋36＝4m 2＋24m ＋4c ，解得c ＝9.三、解答题11．解：f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 4＋a 24. ①当a 2∈[0,1]，即0≤a ≤2时， f (x )max ＝12－a 4＋a 24＝2， 则a ＝3或a ＝－2，不合题意．②当a 2＞1，即a ＞2时，f (x )max ＝f (1)＝2⇒a ＝103. ③当a 2＜0，即a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝2⇒a ＝－6. f (x )在区间[0,1]上最大值为2时，a ＝103或a ＝－6. 12．(1)解：当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ＞0)，方程f (x )＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.由韦达定理可知，x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a. 代入上式可得4a 2＋4a －1＝0，解得a ＝－1＋22或a ＝－1－22(舍去)． (2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a ＞0)的两根满足x 1＜2＜x 2＜4，设g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<0，g (4)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2(b －1)＋1<016a ＋4(b －1)＋1>0⇒⎩⎨⎧ 2a >14，b <14.∴2a －b ＞0.又∵函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b 2a ＞－1.。
3.4, 二次曲面
h2 a a 2 1, c
h2 b b 2 1. c
平面 y=m 截此曲面的截口为
x2 z2 m2 2 2 2 1, c b a y m.
这是平面 y=m上实轴平行于z轴，虚轴平行于x 轴上的双曲线。
平面 x=n 截此曲面的截口为
2 y2 z2 n 2 2 2 1, c a b x n.
这是平面 x=n上实轴平行于z轴，虚轴平行于y 轴上的双曲线。
3，锥面
x2 a
2
y2 b
2
z2 c
2
0
2 2 2 x y z 称为单叶双曲面 和双叶双曲面 1 2 2 2 a b c
x y z 2 2 1 的渐近锥面. 2 a b c
用平面 z h ( | h | c ) 同时去截上面三个曲面得三 个截口,它们都是平面 z=h 上的椭圆。
h2 a a 1 2 , c h2 b b 1 2 . c
当 | h | 增大时，其长、短半轴也增大。当 h=0 时，
其长、短半轴最小，此时，交线称为单叶双曲面 的腰椭圆。
平面 y=m 截此曲面的截口为
x2 z2 m2 2 2 1 2 , c b a y m.
x y 2h q p z h.
它是平面 z=h 上的一个椭圆或一个点. 用平面 y m去截此曲面得到的截口为：
x2 m2 2z , q p y m.
它是平面 y=m 上的一条抛物线。
同样，用平面 x n 去截此曲面得到的截口为：
y2 n2 2z p. q xn 它是平面 x=n 上的一条抛物线（见图3.18或活动 图3.3）.
解析几何版第四章《柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面》课后习题答案
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。
x c z y x ==,解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去，得到：x 25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎩⎨⎧==c z yx ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000而在准线上，所以0M ⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去后得到：t 02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
⎩⎨⎧=+=zx z y x 222解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1-任取准线上一点，过的母线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y tx x tz z y y t x x 2200000而在准线上，所以：0M ⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去，得到：t 010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线的圆柱面方程。
211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为0=++z y x ，这三点所定的在平面上的圆的圆心为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--0=++z y x ，圆的方程为：1513,1511,152(0--M ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++075981513(1511(152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
《二次函数的图象与性质复习2》 精选 同步练习
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因为下次再搜索到我的机会不多哦！22.1 二次函数的图象与性质一、填空题:1.已知函数y=(k+2)24k k x +-是关于x 的二次函数,则k=________.2.已知正方形的周长是acm,面积为Scm 2,则S 与a 之间的函数关系式为_____.3.填表: c 2 62116s c =1 4 4.在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y 与x 间的函数关系式为_________5.用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.二、选择题:6.下列结论正确的是( )A.二次函数中两个变量的值是非零实数;B.二次函数中变量x 的值是所有实数;C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零7.下列函数中,不是二次函数的是( )A.y=1-2x 2B.y=2(x-1)2+4;C.y=12(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 2 8.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )A.y=πx 2-4B.y=π(2-x)2;C.y=-(x 2+4)D.y=-πx 2+16π9.若y=(2-m)22m x -是二次函数,则m 等于( )A.±2B.2C.-2D.不能确定三、解答题10.分别说出下列函数的名称：(1)y=2x-1 (2)y=-3x 2, (3)y= x 2(4)y=3x-x 2 (5)y=x11、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)d=21n 2-23n , (2)y=1-x 2, (3)y=-x(x-3)12、 二次函数y=ax 2+c 中，当x=3时，y=26 ;当x=2时，y=11 ;则当x=5时，y= ＿＿ .13、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm 。
线性代数二次型与二次曲面4
若二次曲面的方程不是标准方程，要通过 正交变换和平移变换把一般二次方程化为 标准方程，从而知道其图形。
第六章 二次型与二次曲面
一般三元二次方程的化简
§6.4 二次曲面
a1114x
244a224y
2
4
4a343
z43 422a412
z2 c2
=
1
z = 0,
x2 a2
+
y2 b2
=
1
双曲线 椭圆
b x aO y
z = h,
x2 a2
+
y2 b2 =
1+
h2 c2
第六章 二次型与二次曲面
双叶双曲面
§6.4 二次曲面
x2 a2
+
y2 b2
z2 c2
= 1 (a>0, b>0, c>0)
z
x = 0,
y2 b2
z2 c2
21 0 解: f(x, y, z)的矩阵A = 1 1 k/2 ,
0 k/2 1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
上述方程表示一个椭球面A正定,
而P1 = 2 > 0,
P2 =
2 1
1 1
=
1
>
0,
P3 = |A| = 1k2/2.
由此可得, 2 < k < 2 时, 原方程表示一
个椭球面.
二次型
x4y4
24a143
x4z
4
24a2343yz
2021九年级数学上册20.4 2次函数的性质课后零失误训练+北京课改版
20.4 二次函数的性质零失误训练基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆二次函数的性质1.(·兰州)在同一坐标平面内,下列4个函数： ①y=2(x+1)2；②y=2x 2+3；③y=－2x －1；④1212-=x y 的图象不可能由函数y=2x 2+1的图象通过平移变换,轴对称变换得到的函数是_______.(填序号)2.结合函数y=(x －2)2－1的图象,确定当时,y=0；当______时,y>0；当____时,y<0.3.已知二次函数y=x 2－6x+m 的最小值为1,则m=_______. 4.抛物线23212-+=x x y 的最低点坐标是______；当______时,y 随x 的增大而增大. 5.若抛物线y=－x 2+bx+c 的最高点为(－1,－3),则b=_____,c=_____.6.若二次函数y=mx m2+1的图象有最高点,则m 的值为______. 7.已知函数206212++=x x y . (1)当自变量x 在什么范围内取值时,y 随x 的增大而增大?x 在什么范围内取值时,y 随x 的增大而减小?(2)这个二次函数有最大值或最小值吗?如果有,当x 为何值时,函数取得最大值或最小值?求出最大值或最小值.8.若二次函数y=(1－2m)x 2的图象经过点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2),当x l <x 2<0时,y 1>y 2,求m 的取值范围.9.(·南京)已知二次函数y=x 2+bx+c 中,函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：(1)求该二次函数的解析式；(2)当x 为何值时,y 有最小值,最小值是多少?(3)若A(m,y 1)、B(m+1,y 2)两点都在该函数图象上,试比较y 1与y 2的大小. 综合创新训练★登高望远 课外拓展 ◆创新应用10.二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C(0,3),若△ABC 的面积为9,求此二次函数的最小值.11.已知矩形的周长是20,对角线长x.(1)试把矩形的面积S 用关于x 的代数式表示； (2)确定对角线x 的取值范围； (3)当x 何值时,矩形的面积最大? ◆开放探索12.心理学家发现,学生对概念的接受能力随提出概念所用的时间变化而变化.讲课开始时,学生的注意力逐步增加；中问一段时间学生的注意力保持较为理想的状态；随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式:⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=).4020(3807),2010(240),100(100242t t t t t t y(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较,何时学生的注意力更集中? (2)讲课开始后什么时刻学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了使学生的理解效果好,要求学生的注意力最低达到180,那么老师能否经过适当安排,在学生注意力达到所需状态下讲解完这道题目?参考答案1答案：④2答案：x=1或x=3 x>3或x<1 1<x<3 3答案：10 解析：由题意知：1143614=⨯-⨯⨯m ，解得m=10.4答案：(－1，－2) x>－1 解析：求最低点坐标实质上是求顶点坐标. 5答案：－2 －4 解析：利用顶点坐标公式代人分别求解.6答案：－1 解析：由已知条件得，m 2+1=2，故m=±1.又抛物线有最高点，∴m<0，故m 的值为－1.7答案：解析：(1)因为21=a ，b=6，c=20，所以 621262-=⨯-=-a b ,2242146202144422==⨯-⨯⨯=-a b ac ,则图象的顶点坐标为(－6，2).因为抛物线开口向上，所以，当x>－6时，y 随x 的增大而增大；当x<－6时，y 随x 的增大而减小.(2)因为抛物线开口向上，顶点坐标为(－6，2)，所以当x=－6时，这个二次函数有最小值2.8答案：解析：显然，该抛物线的对称轴是y 轴，即x=0，由题意知，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，说明抛物线开口向上，即1－2m>0，解得m<21. 9答案：解析：(1)二次函数的解析式为y=ax 2－4x+5. (2)当x=2时，y 有最小值为1.(3)y 2－y 1=(m+1)2－4(m+1)+5－(m 2－4m+5)=2m －3，当2m －3<0，即m<23时，y 1>y 2；当2m －3=0，即m=23时，y 1=y 2；当2m －3>0，即m>23时，y 1<y 2. 10答案：解析：设A(x 1，0)、B(x 2，0)，则x 1、x 2是方程x 2+bx+c=0的两根.因为y=x 2+bx+c 过点C(0，3)，所以c=3，S △ABC =93||21||||21=•=•AB OC AB ,∴6||=AB ，∴|x 1－x 2|=6，即(x 1+x 2)2－4x 1x 2=36，而⎩⎨⎧==•-=+,3,2121c x x b x x∴b 2－12=36.∴b=±34.则9)32(33422-±=+±=x x x y ，∴所求最小值为－9.11答案：解析：(1)设矩形两邻边长分别为a 、b,则a+b=10，a 2+b 2=x 2，∵(a+b)2=a 2+b 2+2ab ， ∴100=x 2+2S ，∴S=221x -+50. (2)∵x 2=a 2+b 2=a 2+(10－a)2=2a 2－20a+100 ∴当a=5时，x 最小，最小值为25.又由三角形三边关系，得10=+<b a x ,∴对角线x 的取值范围是1025<≤x . (3)由(1)(2)知，当25=x 时，矩形的面积最大，最大面积为25.12答案：解析：(1)当x=5时，y=195；当x=25时，y=205.∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中.(2)当0<t ≤10时，y=－t 2+24t+100=－(t －12)2+244，该图象的对称轴为t=12，在对称轴左侧，y 随t 的增大而增大，∴当t=10时,y 有最大值240.当20<t ≤40时,y=－7t+380.y 随t 的增大而减小, ∴当t=20时,y 有最大值240.∴讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟.(3)当0<t ≤10时，令y=－t 2+24t+100=180 ∴t=4；当20<t ≤40时,令y=－7t+380=180, ∴t ≈28.57.∴学生注意力在180以上的时间可持续为28.57－4=24.57(分钟).∴老师可以经过适当安排,在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.英语不规则动词归类记忆表三、ABC型四、ABB型不规则单词测试卷（1）微信添加“小魔方站”或“fifteen1617”免费获得更多中考资料与模拟试题不规则单词测试卷（2）不规则单词测试卷（3）不规则单词测试卷（4）。
九年级数学上册 19《二次函数和反比例函数》二次函数在几何图形中的应用课后练习 北京课改版(202
九年级数学上册19《二次函数和反比例函数》二次函数在几何图形中的应用课后练习(新版)北京课改版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（九年级数学上册19《二次函数和反比例函数》二次函数在几何图形中的应用课后练习（新版）北京课改版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二次函数在几何图形中的应用一、选择题1。
设等边三角形的边长为x(ｘ＞０),面积为ｙ，则ｙ与x的函数关系式是（）A. ｙ=＼f（1,2)x2ﻩB。
y=错误!x2ﻩC。
y＝错误!x2ﻩD．y=错误!x22. 长方形的周长为２４ｃm,其中一边为x(其中x＞0),面积为ｙcm2,则这样的长方形中ｙ与ｘ的关系可以写为（）A。
ｙ=x2ﻩﻩﻩB。
y＝(12-x２）Ｃ。
y=（12-x）•x D. y=２(12-x）3. 如图,在平面直角坐标系中,点Ａ是抛物线ｙ=a（ｘ-3)2＋k与ｙ轴的交点,点Ｂ是这条抛物线上的另一点,且AB∥ｘ轴,则以AB为边的等边三角形AＢC的周长为( ) A。
9ﻩB。
1２ﻩC．18ﻩD．2０yA BO xC*4. 在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y＝-ｘ2＋6x－＼f(27，4）的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（）A。
5 B。
６C。
７ﻩD。
8＊*5. 如图,在矩形ＡＢＣD中，ＡB＝a，ＢC=b,＼f(b，3)≤ａ≤３b,ＡE＝AＨ=CF=CG，则四边形ＥFGH的面积的最大值是( ）A。
九年级数学上册 19《二次函数和反比例函数》反比例函数与几何图形的综合性问题课后练习 北京课改版(
九年级数学上册1９《二次函数和反比例函数》反比例函数与几何图形的综合性问题课后练习(新版)北京课改版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(九年级数学上册1９《二次函数和反比例函数》反比例函数与几何图形的综合性问题课后练习（新版)北京课改版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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反比例函数与几何图形的综合性问题（答题时间:3０分钟)1. (江苏苏州)如图,菱形OABC的顶点C的坐标为(３,４)，顶点A在x轴的正半轴上.反比例(x>０）的图象经过顶点B，则k的值为（）函数ｙ=kxA. １2 ﻩB。
２0 ﻩC。
24 D. 322。
如图,在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与ｘ轴、y轴分别交于Ａ、B两点，以AＢ为边在第一象限作正方形ABＣＤ,点D在双曲线ky（k≠0）上。
将正方形沿x轴负方向平x移a个单位长度后,点C恰好落在该双曲线上，则a的值是( ）A．１B。
２C。
３ D. 43. （贵州省黔东南州)如图,直线y＝2x与双曲线y=2在第一象限的交点为A,过点A作AB⊥xx轴于B,将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′Ｂ′O,则点A′的坐标为( ）A 。
（1。
0)B 。
（1。
０)或(-1.０)C 。
（2.0）或（0,－2）D ． (-２。
1)或（２,－1）4。
如图,等边三角形OAB 的一边ＯＡ在x 轴上,双曲线ｙ＝3x在第一象限内的图象经过OＢ边的中点C ，则点B 的坐标是（ ）OxyB AC A 。
高等数学课后习题2 二次曲面
z2 z2
16 0
在
xoy
面上
及
zox
面上的投影曲线方程。
解 ：xoy 面 上 ,x2 2 y2 16 z0
zox 面 上 ,3x2 2z 2 16 y0
ห้องสมุดไป่ตู้
五 、 求 曲 线x2 2 y2 z 0 在 三 个 坐 标 面 上 的 z x 1
(1)
z
z
(2)
y
y
x
x
(3)
z 4
1
y
x
解 ： 代 入 得 ，(m2 1)z2 y2 1 当 m2 1 0 m 1 或 m 1时 ， 交 线 为 椭 圆 ； 当 m2 1 0 1 m 1时 ， 交 线 为 双 曲 线 。
七、指出下列方程组所表示的曲线：
y2 3z2 4x 8 0 (1)
(3)z 2.
y2 z 2 5
y
25 4 9
x 2
x
z
(2)椭圆
x2 9
z2 4
1
y 0
(3) 两 直 线
x2 9
y2 25
0
x 3
y 5
0
z 2
z 2
四、
求
曲
线2xx22
y2 y2
投影方程。
解 ：(1)xoy面 上，x2 2 y2 x 1 0
z0
(2) yoz面 上，(z 1)2 2 y2 z 0
x0
(3) zox面
上，z
y
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本周五上午1-4节课，在教八400； 下周三下午2:00-4:30, 晚上6:30-9:00, 在图 书馆北楼五楼数学系525室
教材改错
P221最后一行: 根号里的y2 应替换为z2 . P222第6行: “球” 应为“球面” .
第6章 二次型与二次曲面
第3节 二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：
3. 本ppt还增加了几个结论和例题：
注：一个实矩阵A与对角阵Λ合同，则A
一定是对称阵.
例.若矩阵
1 2
a 2
b
,
0
0 1
合同，则参数
a , b 满足条件
。
例.对于非零n(n>1)维列向量, 计算A= T 的特征值和特征向量.
集体答疑通知
时间：1月14号9:00 - 16:30 地点：教八400(西侧楼梯口附件)
再作平移变换 y = y+1, z = z,
则上式化为 x2 = 2y.
该变换是对 坐标轴作了 一个旋转.
可见原方程表示一个抛物柱面.
注1：在例16中将两个一次项之和化为一 个一次项时，用了一个正交变换，如何 看出它是一个旋转变换呢？
事实上，对于一个正交变换x=Qy, 如果 |Q|=1，则称该变换是第一类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个旋转。 如 果|Q|= - 1，称该变换是第二类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个“镜像变 换”(可以先做一个旋转)。(了解即可)
§6.3 二次曲面
一般方程 a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + b1x + b2y + b3z + c = 0 xTAx + BTx + c = 0
a11 a12 a13
A = a12 a22 a23
a13 a23 a33
x x= y
时，曲面为双叶双曲面.
5.当有两个特征值大于零，一个特征值等于零
时，曲面为椭圆柱面.
6.当有两个特征值小于零，一个特征值等于零
时，曲面为虚椭圆柱面.
7.当有一个特征值大于零，一个特征值小于零
时，一个特征值等于零，曲面为双曲柱面.
7.当有两个Байду номын сангаас征值等于零，一个特征值大于零
时，曲面为一对平行的平面.
z
§6.3 二次曲面
二次型
b1 B = b2
b3
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
xTAx + BTx + c = 0 正交变换x = Qy y = (x, y, z)T
1x2 + 2y2 + 3z2 + b1x + b2y + b3z + c = 0
平移或旋转变换(见后面例题)
标准方程 (共17种,见教材231-233页)
注2：如进果一一步个, 如方果程一的个形方式程为的形式为 xx0,22 ++ adyx++abyz ++bcz=+0c, =
其中a, b 不同时为零，那么它一定 (表联示系一：个P2抛39物填柱空面第. 10题)
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例17. z = xy. 0 1/2 0 x
O y x
则上式化为 y2 + 2z2 = 1.
可见原方程表示一个椭圆柱面.
第六章 二次型与二次曲面
例16. x2 + y + z 2 = 0.
§6.3 二次曲面
x 1 0 0 x 令 y = 0 2/2 2/2 y ,
z 0 2/2 2/2 z
则原方程化为 x2 + 2( y 1) = 0. x = x,
，
x x= y
z
，
方程即为
xTAx = 1.
不难求出实对称阵A的特征值1, 2, 3 (从而
知道A的正负惯性指数), 然后对曲面分类.
1.当三个特征值均大于零时，曲面为椭球面.
2.当三个特征值均小于零时，曲面为虚椭球面.
3.当有两个特征值大于零，一个特征值小于零
时，曲面为单叶双曲面.
4.当有两个特征值小于零，一个特征值大于零
应修正为：
例题.设B为一个 n 阶对称阵，A是n 阶 正定矩阵，则AB或BA的正负特征值的 个数分别等于B 的正负惯性指数.
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学： 2. 除了已经通知你们的集体答疑，我还安排 3. 了本班答疑，如下：
本班答疑
本周五上午1-4节课，在教八400； 下周三下午2:00-4:30, 晚上6:30-9:00, 在图 书馆北楼五楼数学系525室
解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 y , 0 00z
A
1 2 1 2 0
先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 ,
0 01
0 1/2 0
1/2 0 0
使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 .
0 00
0 00
第六章 二次型与二次曲面
x 1 2 1 2 0 x
令 y = 1 2 1 2 0 y ,
即(y+1)2 + 2z2 = 1.
第六章 二次型与二次曲面
例15. x2 + y2 + z2 2xz + 2y = 0.
§6.3 二次曲面
x
x
令 y = Q y ,
z
z
则原方程化为 y2 + 2z2 + 2y = 0.
即(y+1)2 + 2z2 = 1.
z
x = x,
再作平移变换 y = y1, z = z,
几何与代数
主讲: 王小六
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：
1. 有一个例题(写了两次)是错误的. 原 题如下 : 例题. 设B为一个 n 阶方阵，左乘或右乘 一个正定矩阵 A 不会变 B 的正负惯性指 数.
例题. 设B为一个 n 阶对称阵，左乘或右 乘一个正定矩阵 A 不会改变 B 的正负惯 性指数。
z
0
0 1 z
则原方程化为 x2 y2 = 2z,
可见原方程表示一个双曲抛物面.
§6.3 二次曲面
特别地，假设二次曲面方程为如下形式，
a11x2 + a22y2 + a33z2
+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz = 1 记
a11 a12 a13
A = a12 a22 a23
a13 a23 a33
第六章 二次型与二次曲面
例15. x2 + y2 + z2 2xz + 2y = 0.
§6.3 二次曲面
1 0 1
1 2 0 1 2
A= 0 1 0 , Q= 0 1 0 ,
1 0 1
12 0 12
0
x
x
QTAQ = 1 , 令 y = Q y ,
2
z
z
则原方程化为 y2 + 2z2 + 2y = 0.