二次曲面和复习(课后较大修改版)
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本班答疑
本周五上午1-4节课，在教八400； 下周三下午2:00-4:30, 晚上6:30-9:00, 在图 书馆北楼五楼数学系525室
教材改错
P221最后一行: 根号里的y2 应替换为z2 . P222第6行: “球” 应为“球面” .
第6章 二次型与二次曲面
第3节 二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：
3. 本ppt还增加了几个结论和例题：
注：一个实矩阵A与对角阵Λ合同，则A
一定是对称阵.
例.若矩阵
1 2
a 2
b
,
0
0 1
合同，则参数
a , b 满足条件
。
例.对于非零n(n>1)维列向量, 计算A= T 的特征值和特征向量.
集体答疑通知
时间：1月14号9:00 - 16:30 地点：教八400(西侧楼梯口附件)
再作平移变换 y = y+1, z = z,
则上式化为 x2 = 2y.
该变换是对 坐标轴作了 一个旋转.
可见原方程表示一个抛物柱面.
注1：在例16中将两个一次项之和化为一 个一次项时，用了一个正交变换，如何 看出它是一个旋转变换呢？
事实上，对于一个正交变换x=Qy, 如果 |Q|=1，则称该变换是第一类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个旋转。 如 果|Q|= - 1，称该变换是第二类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个“镜像变 换”(可以先做一个旋转)。(了解即可)
§6.3 二次曲面
一般方程 a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + b1x + b2y + b3z + c = 0 xTAx + BTx + c = 0
a11 a12 a13
A = a12 a22 a23
a13 a23 a33
x x= y
时，曲面为双叶双曲面.
5.当有两个特征值大于零，一个特征值等于零
时，曲面为椭圆柱面.
6.当有两个特征值小于零，一个特征值等于零
时，曲面为虚椭圆柱面.
7.当有一个特征值大于零，一个特征值小于零
时，一个特征值等于零，曲面为双曲柱面.
7.当有两个Байду номын сангаас征值等于零，一个特征值大于零
时，曲面为一对平行的平面.
z
§6.3 二次曲面
二次型
b1 B = b2
b3
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
xTAx + BTx + c = 0 正交变换x = Qy y = (x, y, z)T
1x2 + 2y2 + 3z2 + b1x + b2y + b3z + c = 0
平移或旋转变换(见后面例题)
标准方程 (共17种,见教材231-233页)
注2：如进果一一步个, 如方果程一的个形方式程为的形式为 xx0,22 ++ adyx++abyz ++bcz=+0c, =
其中a, b 不同时为零，那么它一定 (表联示系一：个P2抛39物填柱空面第. 10题)
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例17. z = xy. 0 1/2 0 x
O y x
则上式化为 y2 + 2z2 = 1.
可见原方程表示一个椭圆柱面.
第六章 二次型与二次曲面
例16. x2 + y + z 2 = 0.
§6.3 二次曲面
x 1 0 0 x 令 y = 0 2/2 2/2 y ,
z 0 2/2 2/2 z
则原方程化为 x2 + 2( y 1) = 0. x = x,
，
x x= y
z
，
方程即为
xTAx = 1.
不难求出实对称阵A的特征值1, 2, 3 (从而
知道A的正负惯性指数), 然后对曲面分类.
1.当三个特征值均大于零时，曲面为椭球面.
2.当三个特征值均小于零时，曲面为虚椭球面.
3.当有两个特征值大于零，一个特征值小于零
时，曲面为单叶双曲面.
4.当有两个特征值小于零，一个特征值大于零
应修正为：
例题.设B为一个 n 阶对称阵，A是n 阶 正定矩阵，则AB或BA的正负特征值的 个数分别等于B 的正负惯性指数.
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学： 2. 除了已经通知你们的集体答疑，我还安排 3. 了本班答疑，如下：
本班答疑
本周五上午1-4节课，在教八400； 下周三下午2:00-4:30, 晚上6:30-9:00, 在图 书馆北楼五楼数学系525室
解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 y , 0 00z
A
1 2 1 2 0
先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 ,
0 01
0 1/2 0
1/2 0 0
使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 .
0 00
0 00
第六章 二次型与二次曲面
x 1 2 1 2 0 x
令 y = 1 2 1 2 0 y ,
即(y+1)2 + 2z2 = 1.
第六章 二次型与二次曲面
例15. x2 + y2 + z2 2xz + 2y = 0.
§6.3 二次曲面
x
x
令 y = Q y ,
z
z
则原方程化为 y2 + 2z2 + 2y = 0.
即(y+1)2 + 2z2 = 1.
z
x = x,
再作平移变换 y = y1, z = z,
几何与代数
主讲: 王小六
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：
1. 有一个例题(写了两次)是错误的. 原 题如下 : 例题. 设B为一个 n 阶方阵，左乘或右乘 一个正定矩阵 A 不会变 B 的正负惯性指 数.
例题. 设B为一个 n 阶对称阵，左乘或右 乘一个正定矩阵 A 不会改变 B 的正负惯 性指数。
z
0
0 1 z
则原方程化为 x2 y2 = 2z,
可见原方程表示一个双曲抛物面.
§6.3 二次曲面
特别地，假设二次曲面方程为如下形式，
a11x2 + a22y2 + a33z2
+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz = 1 记
a11 a12 a13
A = a12 a22 a23
a13 a23 a33
第六章 二次型与二次曲面
例15. x2 + y2 + z2 2xz + 2y = 0.
§6.3 二次曲面
1 0 1
1 2 0 1 2
A= 0 1 0 , Q= 0 1 0 ,
1 0 1
12 0 12
0
x
x
QTAQ = 1 , 令 y = Q y ,
2
z
z
则原方程化为 y2 + 2z2 + 2y = 0.
本周五上午1-4节课，在教八400； 下周三下午2:00-4:30, 晚上6:30-9:00, 在图 书馆北楼五楼数学系525室
教材改错
P221最后一行: 根号里的y2 应替换为z2 . P222第6行: “球” 应为“球面” .
第6章 二次型与二次曲面
第3节 二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：
3. 本ppt还增加了几个结论和例题：
注：一个实矩阵A与对角阵Λ合同，则A
一定是对称阵.
例.若矩阵
1 2
a 2
b
,
0
0 1
合同，则参数
a , b 满足条件
。
例.对于非零n(n>1)维列向量, 计算A= T 的特征值和特征向量.
集体答疑通知
时间：1月14号9:00 - 16:30 地点：教八400(西侧楼梯口附件)
再作平移变换 y = y+1, z = z,
则上式化为 x2 = 2y.
该变换是对 坐标轴作了 一个旋转.
可见原方程表示一个抛物柱面.
注1：在例16中将两个一次项之和化为一 个一次项时，用了一个正交变换，如何 看出它是一个旋转变换呢？
事实上，对于一个正交变换x=Qy, 如果 |Q|=1，则称该变换是第一类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个旋转。 如 果|Q|= - 1，称该变换是第二类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个“镜像变 换”(可以先做一个旋转)。(了解即可)
§6.3 二次曲面
一般方程 a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + b1x + b2y + b3z + c = 0 xTAx + BTx + c = 0
a11 a12 a13
A = a12 a22 a23
a13 a23 a33
x x= y
时，曲面为双叶双曲面.
5.当有两个特征值大于零，一个特征值等于零
时，曲面为椭圆柱面.
6.当有两个特征值小于零，一个特征值等于零
时，曲面为虚椭圆柱面.
7.当有一个特征值大于零，一个特征值小于零
时，一个特征值等于零，曲面为双曲柱面.
7.当有两个Байду номын сангаас征值等于零，一个特征值大于零
时，曲面为一对平行的平面.
z
§6.3 二次曲面
二次型
b1 B = b2
b3
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
xTAx + BTx + c = 0 正交变换x = Qy y = (x, y, z)T
1x2 + 2y2 + 3z2 + b1x + b2y + b3z + c = 0
平移或旋转变换(见后面例题)
标准方程 (共17种,见教材231-233页)
注2：如进果一一步个, 如方果程一的个形方式程为的形式为 xx0,22 ++ adyx++abyz ++bcz=+0c, =
其中a, b 不同时为零，那么它一定 (表联示系一：个P2抛39物填柱空面第. 10题)
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例17. z = xy. 0 1/2 0 x
O y x
则上式化为 y2 + 2z2 = 1.
可见原方程表示一个椭圆柱面.
第六章 二次型与二次曲面
例16. x2 + y + z 2 = 0.
§6.3 二次曲面
x 1 0 0 x 令 y = 0 2/2 2/2 y ,
z 0 2/2 2/2 z
则原方程化为 x2 + 2( y 1) = 0. x = x,
，
x x= y
z
，
方程即为
xTAx = 1.
不难求出实对称阵A的特征值1, 2, 3 (从而
知道A的正负惯性指数), 然后对曲面分类.
1.当三个特征值均大于零时，曲面为椭球面.
2.当三个特征值均小于零时，曲面为虚椭球面.
3.当有两个特征值大于零，一个特征值小于零
时，曲面为单叶双曲面.
4.当有两个特征值小于零，一个特征值大于零
应修正为：
例题.设B为一个 n 阶对称阵，A是n 阶 正定矩阵，则AB或BA的正负特征值的 个数分别等于B 的正负惯性指数.
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学： 2. 除了已经通知你们的集体答疑，我还安排 3. 了本班答疑，如下：
本班答疑
本周五上午1-4节课，在教八400； 下周三下午2:00-4:30, 晚上6:30-9:00, 在图 书馆北楼五楼数学系525室
解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 y , 0 00z
A
1 2 1 2 0
先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 ,
0 01
0 1/2 0
1/2 0 0
使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 .
0 00
0 00
第六章 二次型与二次曲面
x 1 2 1 2 0 x
令 y = 1 2 1 2 0 y ,
即(y+1)2 + 2z2 = 1.
第六章 二次型与二次曲面
例15. x2 + y2 + z2 2xz + 2y = 0.
§6.3 二次曲面
x
x
令 y = Q y ,
z
z
则原方程化为 y2 + 2z2 + 2y = 0.
即(y+1)2 + 2z2 = 1.
z
x = x,
再作平移变换 y = y1, z = z,
几何与代数
主讲: 王小六
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：
1. 有一个例题(写了两次)是错误的. 原 题如下 : 例题. 设B为一个 n 阶方阵，左乘或右乘 一个正定矩阵 A 不会变 B 的正负惯性指 数.
例题. 设B为一个 n 阶对称阵，左乘或右 乘一个正定矩阵 A 不会改变 B 的正负惯 性指数。
z
0
0 1 z
则原方程化为 x2 y2 = 2z,
可见原方程表示一个双曲抛物面.
§6.3 二次曲面
特别地，假设二次曲面方程为如下形式，
a11x2 + a22y2 + a33z2
+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz = 1 记
a11 a12 a13
A = a12 a22 a23
a13 a23 a33
第六章 二次型与二次曲面
例15. x2 + y2 + z2 2xz + 2y = 0.
§6.3 二次曲面
1 0 1
1 2 0 1 2
A= 0 1 0 , Q= 0 1 0 ,
1 0 1
12 0 12
0
x
x
QTAQ = 1 , 令 y = Q y ,
2
z
z
则原方程化为 y2 + 2z2 + 2y = 0.