高考数学大一轮复习 14.1几何证明选讲 理 苏教版
高考(新课标)数学(理)大一轮复习配套课件选4-1几何证明选讲-1
2 解析：∵CD∥EF，OD＝ DF， 3 2 ∴OC＝3CE， 又∵AB∥CD，AO＝OD， ∴O为BC中点， ∴BO＝OC， 2 2 ∴OB＝ BE＝ ×14＝4 cm.故选D. 7 7
答案：D
3.
[课本改编]如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的
AD 点，DE∥BC，且 ＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比 DB 是________．
(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 相似比
考点4
直角三角形的射影定理
定理：直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影 的比例中项；两直角边分别是在△ABC中，∠AED＝∠B，DE＝6， )
AB＝10，AE＝8，则BC的长为(
[思维启迪]
观察图形结构特征，可取BE的中点构造中位
线，从而得到成比例线段，求得结论．
[ 解]
取BE的中点G，连接DG，
在△BCE中，D、G分别为BC、BE的中点，
1 ∴DG∥EC，且DG＝ EC. 2 又∵AE＝2CE，DG∥EC， AF EF AE AE ∴FD＝FG＝DG＝1 ＝4， EC 2 又BG＝GE， BF BG＋GF ∴EF＝ EF
GE＋GF 2GF＋EF ＝ EF ＝ EF 1 ＝2× ＋1 4 3 ＝ . 2
平行线分线段成比例定理的应用 对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载 体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题．解题 时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的 中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．
AD AD 2 解析：∵ ＝2，∴ ＝ . DB AB 3 S△ADE 4 S△ADE 4 故 ＝ ，∴ ＝ . S△ABC 9 S四边形DBCE 5
(湖南专用)2014届高考数学一轮复习选考部分选修4-1《几何证明》选讲学案理
选考部分选修4—1 几何证明选讲考纲要求1．理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．2．会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理．1．平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段____，那么在其他直线上截得的线段也____．推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必__________．推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线__________．2．平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的________成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的________成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义______相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比 (或相似系数)．预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理 1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的______对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理 2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应______，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应______且夹角相等，两三角形相似．引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段________，那么这条直线平行于三角形的第三边．判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应______，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应______，两三角形相似．(2)两个直角三角形相似的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应____，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应______，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应______，那么这两个直角三角形相似．(3)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于______；②相似三角形周长的比等于______；③相似三角形面积的比等于________________；④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于______________．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的______；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的________．5．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____．(2)圆心角定理圆心角的度数等于______________．推论1 同弧或等弧所对的圆周角____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也____． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是____；90°的圆周角所对的弦是____． 6．圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1 圆的内接四边形的对角____．性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的____．判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点____．推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点____． 7．圆的切线的性质及判定定理性质定理 圆的切线垂直于经过切点的____．推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过____． 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过____．判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的____． 8.与圆有关的其他性质定理(1)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的____相等．(2)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的________．1．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为__________．2．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为__________．3．如图，已知圆O 的两弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝4，PC ＝14PD ，且∠APC ＝π3，则圆O 的半径为__________．(第3题图) (第4题图)4．如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点．已知PA ＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为__________．5．(2012陕西高考)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝__________.一、平行线分线段成比例定理的应用【例1】如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，E 在CA 上且AE ＝2CE ，AD ，BE 相交于点F ，则AF FD ＝__________，BFFE＝__________.方法提炼1．在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定理去证明．2．作平行线的方法：(1)利用中点作出中位线可得平行关系；(2)利用已知线段的比例关系，作相关线段的平行线．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果．注意：对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决． 请做演练巩固提升3 二、射影定理的应用【例2】 如图，圆O 的直径AB ＝10，弦DE ⊥AB ，垂足为点H ，且AH ＜BH ，DH ＝4，则(1)AH ＝__________；(2)延长ED 至点P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若PC ＝25，则PD ＝__________. 方法提炼1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．通过作垂线构造直角三角形是解答与直角三角形有关问题的常用方法． 请做演练巩固提升1三、相似三角形的性质与判定定理的应用【例3】如图，⊙O 过点C ，⊙C 交⊙O 于点A ，延长⊙O 的直径AB 交⊙C 于点D ，若AB ＝4，BD ＝1，则⊙C 的半径AC 等于__________．方法提炼证明三角形相似时，应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考顺序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就需证明三边对应成比例．一般地，证明等积式成立时，可先将其化成比例式，再考虑利用平行线分线段成比例定理证明或相似三角形的性质证明其成立．要特别注意，三角形相似具有传递性．请做演练巩固提升4四、圆周角、弦切角和圆的切线问题【例4】如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ，C ，∠APC 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E .(1)∠ADE __________∠AED (填“＞”“＜”或“＝”)；(2)若AC ＝AP ，则PC PA＝__________.方法提炼1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，进而可求得线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．请做演练巩固提升6五、相交弦定理、切割线定理的应用【例5】如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA ＝3，AB ＝4，PO ＝5，则⊙O 的半径为__________．方法提炼1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住以下几个关键内容：线段成比例与相似三角形的性质、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理．请做演练巩固提升2 六、四点共圆的判定【例6】 如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°.以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ，则O ，B ，D ，E ______四点共圆．(填“能”或“不能”)方法提炼1．证明四点共圆的方法：(1)若一个四边形的对角互补，则四点共圆；(2)证明多点共圆时，若它们在一条线段的同侧，可证明它们对此线段的张角相等，也可证明它们与某一定点的距离相等．2．圆内接四边形的重要结论有：(1)内接于圆的平行四边形是矩形；(2)内接于圆的菱形是正方形；(3)内接于圆的梯形是等腰梯形．请做演练巩固提升5“四定理”(相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理)的应用【典例】 (2012湖南高考)如图，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点，若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于__________．解析：过P 作圆的切线PC 切圆于C 点，连接OC .∵PC 2＝PA ·PB ＝1×3＝3，∴PC ＝ 3.在Rt△POC 中，OC ＝PO 2－PC 2＝ 6. 答案： 6答题指导：(1)由于“四定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；②和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．(3)已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．1．一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，则它们在斜边上射影的比是__________． 2．如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A ，B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝__________.3．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过D 与BC 平行的直线交AB 于点E ，∠ACE ＝∠ABC ，则AB ·CE ________AC ·DE .(填“＞”“＜”或“＝”)(第3题图) (第4题图)4．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BC AD的值为__________．5．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK ，则C ，D ，K ，M __________四点共圆．(填“能”或“不能”)(第5题图) (第6题图)6．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 切⊙O 于点A ，若∠BAC ＝60°，则∠ADB ＝_____.参考答案基础梳理自测知识梳理1．相等 相等 平分第三边 平分另一腰 2．对应线段 对应线段3．(1)对应角 两个角 成比例 成比例 成比例 成比例 成比例 (2)①相等 ②成比例 ③成比例 (3)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方 ④相似比的平方4．比例中项 比例中项5．(1)一半 (2)它所对弧的度数 相等 相等 直角 直径 6．互补 内角的对角 共圆 共圆 7．半径 切点 圆心 切线 8．(1)积 (2)比例中项 基础自测1．1∶2 解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案．2．4 解析：在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AB ·AD .设AD ＝x ，则AB ＝x ＋5，又AC ＝6，∴62＝x (x ＋5)，即x 2＋5x －36＝0. 解得x ＝4(舍去负值)，∴AD ＝4.3．27 解析：如图所示，取CD 中点E ，连接AO ，OP ，OE ，由相交弦定理可得AP ×PB＝CP ×PD ＝4CP 2，可得CP ＝2，PD ＝8，则PE ＝3.又由∠APC ＝π3，可得∠OPE ＝π6.则OP ＝23，OA ＝OP 2＋PA 2＝27.4．6 解析：由切割线定理，得PT 2＝PA ·PB ， 所以PB ＝8.故AB ＝6.5．5 解析：由三角形相似可得DE 2＝DF ·DB ，连接AD ，则DE 2＝AE ·EB ＝1×5＝5， 所以DF ·DB ＝5. 考点探究突破【例1】 4 32解析：过点D 作DG ∥AC 且交BE 于点G ，因为点D 为BC 的中点， 所以EC ＝2DG . 因为AE ＝2CE ，所以AE DG ＝41.从而AF FD ＝AE DG ＝41，所以GF FE ＝14.因为BG ＝GE ，所以BF FE ＝32.【例2】 (1)2 (2)2 解析：(1)由于AB 为圆O 的直径，DE ⊥AB ，DH ＝4，故由射影定理DH 2＝AH ·BH ＝(AB －AH )·AH ，即16＝(10－AH )·AH ，∴AH 2－10AH ＋16＝0. ∴AH ＝2或AH ＝8. ∵AH ＜BH ，∴AH ＝2.(2)PC 切圆O 于点C ，PC 2＝PD ·PE ，(25)2＝PD ·(PD ＋8)，解得PD ＝2.【例3】 10 解析：延长AC 交⊙C 于点E ，连接BC ，DE ，则有∠ACB ＝∠ADE ＝90°，而∠A 是公共角，所以△ACB ∽△ADE ，所以AC AD ＝AB AE，即2AC 2＝AB ·AD ＝4×(4＋1)＝20，所以AC ＝10.【例4】 (1)＝ (2) 3 解析：(1)∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP ＝∠C .又∵∠APD ＝∠CPE ，∴∠BAP ＋∠APD ＝∠C ＋∠CPE .∵∠ADE ＝∠BAP ＋∠APD ，∠AED ＝∠C ＋∠CPE ，∴∠ADE ＝∠AED . (2)由(1)知∠BAP ＝∠C ， 又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△APC ∽△BPA .∴PC PA ＝CA AB.∵AC ＝AP ，∴∠APC ＝∠C . ∴∠APC ＝∠C ＝∠BAP .由三角形内角和定理可知，∠APC ＋∠C ＋∠CAP ＝180°， ∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC ＝90°.∴∠APC ＋∠C ＋∠BAP ＝180°－90°＝90°.∴∠C ＝∠APC ＝∠BAP ＝13×90°＝30°.在Rt△ABC 中，1tan C ＝CA AB ，即1tan 30°＝CAAB，∴CA AB ＝3.∴PC PA ＝CAAB＝ 3. 【例5】 2 解析：设圆O 的半径为R ，由PA ·PB ＝PC ·PD ，得3×(3＋4)＝(5－R )(5＋R )，解得R ＝2. 【例6】 能 解析：连接BE ，则BE ⊥EC .又D 是BC 的中点， ∴DE ＝BD .又∵OE ＝OB ，OD ＝OD ， ∴△ODE ≌△ODB .∴∠OBD ＝∠OED ＝90°. ∴O ，B ，D ，E 四点共圆． 演练巩固提升1．1∶9 解析：如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ∶AC ＝1∶3，作CD ⊥AB 于D ，由射影定理得BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB ， 则BC 2AC 2＝BD AD ＝19， 故它们在斜边上的射影的比是1∶9.2．15 解析：由相交弦定理，得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理，得PT 2＝PB ·PA ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )． 又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15. 3．＝ 解析：∵AB ∥CD ，DE ∥BC ，∴四边形BEDC 是平行四边形． ∴DE ＝BC .∵∠ACE ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠BAC ， ∴△ACE ∽△ABC .∴BC CE ＝AB AC . ∴AB AC ＝DECE，即AB ·CE ＝AC ·DE . 4.66解析：因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠DAB ＝∠PCB ，∠CDA ＝∠PCB . 又因为∠P 为公共角，所以△PBC ∽△PDA ，所以PB PD ＝PC PA ＝BCAD. 设PB ＝x ，PC ＝y ，则有x 3y ＝y 2x x ＝6y 2，所以BC AD ＝x 3y ＝66.5．能 解析：在四边形ABMK 中， ∵∠DAM ＝∠CBK ，∴A ，B ，M ，K 四点共圆． 连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK ，∵∠DAB ＋∠ADC ＝180°， ∴∠CMK ＋∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆．6．120° 解析：在圆周上任取一点E ，连接AE ，BE ，由弦切角定理，得∠AEB ＝∠BAC ＝60°.因为ADBE 是圆内接四边形，所以∠E ＋∠ADB ＝180°，所以∠ADB ＝120°.。
苏教版高中数学高考总复习(理科)知识讲解_几何证明选讲、参数方程与极坐标
高考总复习：几何证明选讲、参数方程与极坐标【考纲要求】1、相似三角形的判定及有关性质（1）了解平行线分线段成比例定理。
（2）会证明并应用直角三角形射影定理。
2、直线与圆的位置关系（1）会证明并应用圆周定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
（2）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
3、极坐标（1）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。
能进行极坐标和直角坐标的互化；（2）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。
4、参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义；（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
【知识网络】【考点梳理】考点一、相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
（2）推论：①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
如右图：l 1∥l 2∥l 3，则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===2．平行线分线段成比例定理及推论（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3．相似三角形的判定及性质 （1）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
（2）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如图，若EF//BC ，则⊿AEF ∽⊿ABC 。
②判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。
③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
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确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
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几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
【三维设计】届高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清 热点命题悟通)第十三章 几何证明选讲 理 苏教版
第十三章 几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 3．相似三角形的判定与性质 (1)1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误． [试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8.答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD 的长为________． 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝ACCD，∴CD ＝AC2BC ＝8216＝4.答案：41．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD2AB2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：452．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC2＝BD·AB，则∠ACB ＝______. 解析：在△ABC 与△CBD 中，由BC2＝BD·AB， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD.则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90° 对应学生用书P172平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD 等于________．解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25.答案：252.(2014·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________. 解析：由DE ∥BC 得 DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6， ∴BC ＝10.又因为DF ∥AC ， 所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝ACAC＝1. 答案：1[备课札记] [类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件相似三角形的判定及性质[典例] (2013·陕西高考)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED.在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEPA，于是PE2＝PA·PD＝3×2＝6，所以PE ＝ 6.[答案] 6[备课札记][类题通法] 1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边． 2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2014·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AEAC ，解得AE ＝2，故BE ＝AB2－AE2＝4 2. 答案：4 2射影定理的应用[典例] 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AEEC .[证明] 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ， ①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ， ②在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB2＝BD·BC，即BD AB ＝ABBC . ③由①③得：DF AF ＝ABBC ， ④由②④得：DF AF ＝AEEC.[备课札记] [类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”． 2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD2＝AD·BD， 又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x(x>0)． ∴CD2＝9x2， ∴CD ＝3x.Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.答案：13对应学生用书P172[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn (m ，n>0)，取CF 的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E.则BEEC＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋nn .两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn .答案：m ＋nn3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm2，则△ABC 的面积为________ cm2. 解析：令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6.由题意知EB ＝2a. DF ＝3b.∴S △ABC ＝12·AB·DE＝12×3a×4b＝12×12ab ＝12×6＝72.答案：724．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，则S △CDE ＝________. 解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED.∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3. 答案： 35．(2013·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，所以∠BCA ＝30°，∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt △BCE 中，CE ＝BC·cos∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos∠ECD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋ 3 2－2×332×3×12＝212. 答案：212[课下提升考能]1.如图，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点，证明：AF·AD＝AG·BF. 证明：因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC.所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA. 所以△ABF ∽△GDA. 从而有AF AG ＝BF AD，即AF·AD＝AG·BF.2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，点D 在BC 上且CD ＝1，若∠CAD ＝∠B ，求BD 的长． 解：作出图形(如图)，依题意，有tan ∠CAD ＝tan ∠B ， 即12＝21＋BD. 故BD ＝3.3.已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP.证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ， CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB. 又∵∠CPF ＝∠BPE ，∴△CPF ∽△BPE.(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BPCP.又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP.4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE.连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H.如果AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB .∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2. ∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC .∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4， ∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ， 所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，所以S △BEF S △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF ， 又S △DMC S △BDM ＝23， 即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ， 因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F.若AE AD ＝14，求AFAC 的值．解：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G. ∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ， ∴AG BC ＝16. ∵△AGF ∽△CBF ， ∴AF FC ＝AG BC ＝16， ∴AF AC ＝17.7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF. ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S △DEF S △ABF ＝(DEAB)2. 又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE. ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB·AC＝BC·AD； (2)AD3＝BC·CF·BE.证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB·AC＝12BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得 BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC. 又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.第二节直线与圆的位置关系对应学生用书P1731．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误． [试一试]1.如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，PA ＝AB ＝5，CD ＝3，则PC 等于________． 解析：设PC ＝x ，由割线定理知 PA·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)． 故PC ＝2. 答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD 等于________． 解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形， 因此有∠ECB ＝180°－∠E2＝67°，因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°. 而由A ，B ，C ，D 四点共圆， 得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法 (1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线． 2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用． [练一练]1．(2014·荆州模拟)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA2＝MB·MC，又MA ＝MP ，故MP2＝MB·MC，即MB MP ＝MPMC ，又∠BMP ＝∠PMC.故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2014·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为圆O 的切线可得，∠PAB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35， 即AB ＝35.答案：35对应学生用书P1741.(2013·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦，且BD ∥AC. 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA2＝EB·ED，即36＝EB·(EB＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC.又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形， 所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ， 所以CA CB ＝CF CA ，CF ＝CA2CB ＝166＝83. 答案：832．(2013·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.解析：连结OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC.∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD2＝ED·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：2 33.(2014·岳阳模拟)如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，则∠ACB＝________.解析：如图所示，连结OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB.故∠AOB ＝110°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°. 答案：55°[备课札记][类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)圆内接四边形的性质及判定[典例] (2014·郑州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H.(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连结DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE·GF＝GC·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH2＝GC·GD ⇒GH2＝GE·GF， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.[备课札记][类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PD BD； (2)若AC ＝4，求AP·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝AC AD，所以AP·AD＝AC2＝16. 与圆有关的比例线段[典例] (2014·锦州模拟)如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC.(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连结DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ，所以BE BA ＝DE CA， 而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE.又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD.(2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t(0<t<2)，根据割线定理得，BD·BA＝BE·BC，即(AB －AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)， 所以(2－t)×2＝2t(2t ＋2)，即2t2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [备课札记][类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE.求证：(1)AG·EF＝CE·GD；(2)GF AG ＝EF2CE2. 证明：(1)连结AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF.∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD，∴AG·EF＝CE·GD. (2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG2＝AG·GF.由(1)知EF2CE2＝GD2AG2，∴GF AG ＝EF2CE2. 对应学生用书P175[课堂练通考点]1．(2014·惠州模拟)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．解析：∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7. 答案：72．(2014·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.解析：连结AC.因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2. 答案： 23．(2014·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，所以P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知PA·PB＝PC2，即PC2＝8，故PC ＝2 2.答案：2 24．(2013·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D.(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．解：(1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G.由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE.而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE.又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC.(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能]1．(2013·辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE.证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB.由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB.故∠FEB ＝∠CEB.(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF.类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF.又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.2．(2013·江苏高考)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC.求证：AC ＝2AD.证明：连结OD.因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB.所以BC OD ＝AC AD. 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD.3．(2014·哈师大模拟)如图，圆O 的半径OC 垂直于直径AB ，弦CD 交半径OA 于E ，过D 的切线与BA 的延长线交于M.(1)求证：MD ＝ME ；(2)设圆O 的半径为1，MD ＝3，求MA 及CE 的长．解：(1)证明：连结OD ，∵∠CEO ＋∠ECO ＝90°，∠MDE ＋∠EDO ＝90°，又∠EDO ＝∠ECO ， ∴∠CEO ＝∠MDE ＝∠MED ，∴MD ＝ME.(2)∵MD2＝MA·MB，∴3＝MA·(MA＋2)，∴MA ＝1.∵在Rt △MDO 中，MO ＝2，MD ＝3，∴∠MOD ＝60°，∴∠COD ＝150°，∴∠ECO ＝15°，CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2.4．(2014·洛阳模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 分别交于点C ，D.求证：(1)CE ＝DE ；(2)CA CE ＝PE PB .证明：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP.∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE.又∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED.(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE.又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD. 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE .又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PE PB. 5．如图所示，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F(不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC.求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC2＝AE·AF.证明：(1)连结BC ，因为AB 是直径，所以∠ACB ＝90°，所以∠ACB ＝∠AGC＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，所以∠GCA ＝∠ABC ，所以∠BAC ＝∠CAG.(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，所以∠ACE ＝∠AFC.又∠BAC ＝∠CAG ，所以△ACF ∽△AEC ，所以AC AE ＝AF AC，所以AC2＝AE·AF.6．(2013·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE.由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.。
2021-2022年高考数学大一轮复习 14.1几何证明选讲试题 理 苏教版
2021-2022年高考数学大一轮复习 14.1几何证明选讲试题理苏教版1．如图，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，求AD∶DF.解如图，过D作DG∥AC交FC于G(还可过B作EC的平行线)．∵DGBC＝EDEB＝23，∴DG＝23 BC.∵BC＝13AC，∴DG＝29AC.∴DFAF＝DGAC＝29，∴DF＝29AF，从而AD＝79AF，故AD∶DF＝7∶2.2. 如图，圆O1与O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．证明如图，连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD、CE.∵圆O1与圆O2内切于点A，∴点O2在AD上，故AD、AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝90°.∴BD∥CE，于是ABAC＝ADAE＝2r12r2＝r1r2，∴AB∶AC为定值．3. 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.求证：FD2＝FB·FC.证明∵E是Rt△ACD斜边AC的中点，∴DE＝EA，∴∠A＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A.∵∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD.又∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴FBFD＝FDFC，∴FD2＝FB·FC.4. 如图，在△ABC中，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N.若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM .证明 连结MN .因为CM 是∠ACB 的平分线， 所以∠ACM ＝∠NCM ，所以AM ＝MN . 因为∠B ＝∠B ，∠BMN ＝∠A ，所以△BMN ∽△BCA ，所以BN MN ＝ABAC ＝2，即BN ＝2MN ＝2AM .5. 如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E . (1)求证：AB 2＝DE ·BC ；(2)若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长． (1)证明 ∵AD ∥BC ，∴AB ︵＝CD ︵.∴AB ＝CD ， ∠EDC ＝∠BCD .又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC .∴△CDE ∽△BCD .∴DC BC ＝DE DC. ∴CD 2＝DE ·BC ，即AB 2＝DE ·BC .(2)解 由(1)知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ，∴PDPB＝DEBC＝49.又∵PB－PD＝9，∴PD＝365，PB＝815.∴PC2＝PD·PB＝365·815＝54252.∴PC＝545.6．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．解 (1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE·AC，即ADAC＝AEAB.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE～△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝12×(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.7. 如图，圆O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交圆O于点E，H为△ABC的垂心．求证：DH＝DE.证明连结CE，CH.因为H为△ABC的垂心，所以∠ECD＝∠BAD＝90°－∠ABC，∠HCD＝90°－∠ABC，所以∠ECD＝∠HCD.又因为CD⊥HE，CD为公共边，所以△HDC≌△EDC，所以DH＝DE.8. 已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB＝FC；(2)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝33，求AD的长．(1)证明∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(2)解∵AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°.∵∠EAC＝120°，∠DAC＝12∠EAC＝60°，∠D＝30°.在Rt△ACB中，∵BC＝33，∠BAC＝60°，∴AC＝3，又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6.9. 如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆．证明∵PA、PB为圆O的两条切线，∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，在圆O中，AM·BM＝CM·DM，∴OM·MP＝CM·DM，又弦CD不过圆心O，∴O、C、P、D四点共圆.10. 如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．(1)证明连结ON.因为PN切⊙O于N，所以∠ONP＝90°.所以∠ONB＋∠BNP＝90°.因为OB＝ON，所以∠OBN＝∠ONB.因为BO⊥AC于O，所以∠OBN＋∠BMO＝90°.所以∠BNP＝∠BMO＝∠PMN.所以PM＝PN.所以PM2＝PN2＝PA·PC.(2)解OM＝2，BO＝23，BM＝4.因为BM·MN＝CM·MA＝(23＋2)(23－2)＝8，所以MN＝2.11. 如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD的中点；(2)求证：CG是⊙O的切线；(3)若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．(1)证明∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF.∴EHBF＝AEAF＝CEFD.∵HE＝EC，∴BF＝FD.即点F是BD的中点．(2)证明连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵F是BD的中点，∴∠CBF＝∠FCB.∵∠CBF＝∠BAC，∠BAC＝∠ACO，∴∠FCB＝∠ACO.∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠BCF＋∠OCB＝90°.∴∠OCF＝90°.∴CG是⊙O的切线．(3)解由FC＝FB＝FE，得∠FCE＝∠FEC.∵∠G＋∠GCH＝90°，∠FAG＋∠FEC＝90°，∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG，∵FB⊥AG，∴AB＝BG.由切割线定理，得(2＋FG)2＝BG·AG＝2BG2.①在Rt△BGF中，由勾股定理，得BG2＝FG2－BF2.②由①②，得FG2－4FG－12＝0.解得FG＝6或FG＝－2(舍去)．∴AB＝BG＝4 2.∴⊙O的半径为2 2.12．如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB 交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．证明连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2与AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝π2.所以BD∥CE，于是ABAC＝ADAE＝2r12r2＝r1r2.∴AB∶AC为定值．21153 52A1 务 34017 84E1 蓡B32593 7F51 网7'36611 8F03 較38482 9652 陒E30445 76ED 盭t p。
高考数学一轮复习 几何证明选讲课件 文(选修4-1)
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4.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项 ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边 的 比例中项 .
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问题探究2：射影定理的应用条件是什么？ 提示：必须在直角三角形内.
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5.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的 一半 . (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 它所对弧的度数 . 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等 . 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角 所对的弦是 直径 .
答案：A
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2．如图所示，已知圆 O 的直径 AB＝ 6，C 为圆 O 上一点， 且 BC＝ 2，过点 B 的圆 O 的切线交 AC 延长线于点 D，则 DA 等于( )
A．1 B．2 C. 6 D．3
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解析：∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，又 AB＝ 6，BC＝ 2， 得 AC＝2.BD 是圆 O 的切线，则 AB⊥BD，由射影定理得 BC2＝ AC·CD.故 CD＝1，所以 AD＝2＋1＝3.故选 D.
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(2)相似三角形的性质 性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于 相似比 ； ②相似三角形周长的比等于 相似比 ； ③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 ； ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似 比，外接圆(或内切圆)的面积比等于 相似比的平方 .
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7.圆的切线的性质及判定定理
(1)性质 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 . 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 . 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过 圆心 .
江苏省高三一轮数学复习专题材料专题12_几何证明选讲
专题12几何证明选讲（加试内容选修4-1）昆山震川高级中学蒋国强【课标要求】1．课程目标本专题的内容包括：相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识、圆锥截线．通过本专题的教学，使学生能证明一些反映圆与直线关系的重要定理，有助于培养学生的逻辑推理能力；使学生不仅理解逻辑演绎的程序，而且体验大量的观察、探索、发现的创造性过程；通过对圆锥曲线性质的进一步探索，使学生提高空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力．2．复习要求（1）相似三角形的进一步认识：了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．教学中，可以使用如下定理作为推理的依据：①平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．②三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．③经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰．④梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．⑤若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．⑥斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．（2）圆的进一步认识：理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形性质定理与判定定理．教学中，可以使用如下定理作为推理的依据：①从圆外一点引圆的两条切线长相等．②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆．特别的，对定线段张角为直角的点共圆．（3）圆锥截线（本节内容不作要求，可以选择部分内容教学）：了解平行投影的含义；了解平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）．了解平面截圆锥面的定理（简称圆锥截线定理）．3．课标教学建议（1）本专题的部分内容，学生在初中已经初步了解其内容，并且在学习中侧重于观察、实验和操作，而本专题不仅是初中所学知识的深化，而且侧重于逻辑推理与抽象思维．教学中应使学生逐步适应这一思维层次的提升．（2）本专题的教学，应按照从简到繁、从具体到抽象、从实验到论证的过程进行，· PEO D C BAFBCEDA要使学生在学习具体的平面几何内容中体会数学的思想方法，从而进一步培养创新思维的意识和能力．（3）几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过程中，相似三角形（或全等三角形）的使用不宜超过2次，添置的辅助线不超过3条．（4）圆锥截线定理的证明，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力．对这部分内容可以选择开设相关讲座或指导学生阅读．【典型例题】例1 如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点BAC E ∠,的平分线 与BC 交于点D ．求证： EC EB ED ⋅=2证明：如图，∵A E 是圆的切线， ∴ABC C AE ∠=∠, 又∵A D 是B A C ∠的平分线， ∴ B A D C A D ∠=∠ 从而 ABC BAD C AE C AD ∠+∠=∠+∠ ∵ A D E A B C B A D ∠=∠+∠, D AE C AD C AE ∠=∠+∠∴ AD E D AE ∠=∠,故EA ED =． ∵ E A 是圆的切线，由切割线定理知,2E A E C E B =⋅, 而EA ED =,∴EC EB ED ⋅=2例2 如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，BC AD ,相交于E 点，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2.(1)求证：∠=P ∠EDF ；(2)求证：EP EF EB CE ⋅=⋅；(3)若2:3:=BE CE ，6=DE ，4=EF ，求PA 的长.解 （1）∵EC EF DE ⋅=2，ED EF CE DE ::=∴ ∵∠DEF 是公共角， ∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF =∠C∵CD ∥AP ， ∴∠C =∠P ．∴∠P =∠EDF ．（2）∵∠P =∠EDF ， ∠DEF =∠PEA ，∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE :PE =EF :EA ．即⋅EF EP =⋅DE EA∵弦BC AD ,相交于E 点，∴EB CE EA DE ⋅=⋅∴EP EF EB CE ⋅=⋅．（3）∵EC EF DE ⋅=2，6=DE ，4=EF ， ∴EC =9∵2:3:=BE CE ， ∴BE =6． ∵EP EF EB CE ⋅=⋅，∴9×6=4×EP解得：EP =227． ∴215=-=BE PE PB ，245=+=EC PE PC由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2， ∴2152=PA ×245．∴3215=PA ．例3．如图，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙1O 经过点D B ,，交AB 于另一点E ，⊙2O 经过点D C ,，交AC 于另一点F ，⊙1O 与⊙2O 交于点G ． (1)求证：∠EAG =∠EFG ；(2)若⊙2O 的半径为5，圆心2O 到直线AC 的距离为3，AC AG 切⊙2O 于G ，求线段AG 的长．解：（1）连接GD ，∵四边形CDGF BDGE ,分别内接于圆O 圆2O ，∴CDG AFG BDG AEG ∠=∠∠=∠,， 又O=∠+∠180CDG BDG ，∴O =∠+∠180AFG AEG即F G E A ,,,四点共圆，∴EFG EAG ∠=∠．（2）∵圆2O 的半径为5，圆心2O 到直线AC 的距离为3，∴由垂径定理知835222=-=FC ，又10=AC，∵AG 切圆2O 于G ，∴220,AG AF AC AG =⋅=∴=例4．如图，A B C ∆中，,E F 将B C 三等分，BM 是A C 边上的中线，与,AE AF 分别交于,G H ，求::BG G H H M 的值 ．解．如图，过点M 作MR ∥BC 交AE 于R ，交AF 于S ，则BF FC SM 4121==．MH GFECBAH M G F E C B A S R 41=∴BFSM ． 41,//==∴BFSM BHHM BC RM 设k BH k HM 4,==则，121,ECG M RMBG G M G H H M BGBE BE===∴==+，4,.B G G H k B G G H k +=⎧∴⎨=+⎩ 解得5,23.2BG k G H k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故2:3:5::=HM GH BG【专题训练】1．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA =2．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于 点B ，PB =1，则圆O 的半径R = ________．2．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上， C D AB ⊥于点D ，且4AD D B =，设C O D θ∠=，则cos 2θ＝ ．3．如图，在四边形ABCD 中，EF //BC ，FG //AD ，则=+ADFG BCEF ．4．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =27，AB =求BD 以及AC 的长．5．如图，若C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点E D ,为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G ．（Ⅰ）求证：F 是BD 的中点； （Ⅱ）求证：CG 是⊙O 的切线．BACD O．PEF6．从⊙O 外一点P 向圆引两条切线P A 、P B （A 、B 为切点）和割线PC D (与⊙O 交于C 、D 两点),从A 点作弦A E 平行于C D ， 连结B E 交C D 于F ,连结O P O A O B O F 、、、, 求证：(Ⅰ)P O B P F B ∠=∠；(Ⅱ)C F D F =．7．已知：如图，⊙O 与⊙P 相交于B A ,两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于 点CP B ,及其延长线交⊙P 于E D ,两点，过点E 作CE EF ⊥交CB 延长线于点F ．若22,2==CB CD ，求EF 的长．8．如图，⊙O 1与⊙O 2交于N M ,两点，直线AE 与 这两个圆及MN 依次交于E D C B A ,,,,． 求证：DE BC CD AB ⋅=⋅9．如图，在△ABC 中，AC AB A >=∠,60，点O 是外心，两条高 CF BE ,交于H 点，点N M ,分别在线段FH BH ,上，且满足CN BM = 求OHNHMH +的值．几何证明选讲专项训练参考答案答案：1．3 2．257- 3．14．由切割线定理得:2DB DA DC ⋅=，2()D B D B BA D C +=， 23280DB DB +-=，4D B =．分 A B C D ∠=∠ ，∴ D B C ∆∽D C A ∆， ∴B C D B C AD C= ，得2BC D C AC D B⋅==5． 证明:（Ⅰ）∵AB DB AB CH ⊥⊥,，∴△AEH ∽△AFB ，△ACE ∽△ADF∴FDCE AFAE BFEH ==，∵EC HE =，∴FD BF = ∴ F 是BD 中点．（Ⅱ）∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°∴∠BCF =∠CBF =90°－∠CBA = ∠CAB =∠AOC ∴∠OCF =90°，∴CG 是⊙O 的切线． 6．证明：(Ⅰ)∵P A 、P B 与⊙O 分别切于点A 、B ，∴,,,OA OB OP OP PA PB === ∴O A P O B P ∆≅∆, ∴AO P BO P ∠=∠， ∵2AEB AO B ∠=∠，∴A E B P O B ∠=∠， 又∵A E ∥C D ， ∴AEB PFB ∠=∠， ∴P O B P F B ∠=∠，(Ⅱ) 由(Ⅰ)知∴O F B P 、、、四点共圆； ∴O FP O BP ∠=∠∵O B B P ⊥即90OBP ∠= ，∴90OFP ∠=，即O F C D ⊥，∵O D O C =，∴C F D F =7．证明：连BC PB ,切⊙P 于点22,2,,==⊥CB CD BC PB B ，由切割线定理得：CE CD CB⋅=21,2,4===BP DE CE ，又∵CE EF ⊥ ∴△C P B ∽△C F E ，得：EF C E PBC B=，2=EF8．证明：∵N D M A ,,,四点共圆，∴AC C D M C C N ⋅=⋅．同理，有BC C E M C C N ⋅=⋅．∴AC C D BC C E ⋅=⋅， 即()()AB BC CD BC CD CE +⋅=⋅+，∴ DE BC CD AB ⋅=⋅．9．如图在BE 上取CH BK =，连结OK OC OB ,,由三角形的外心的性质可知： 1202=∠=∠A BOC ， 由三角形的垂心性质可知： 120180=∠-=∠A BHC∴BHC BOC ∠=∠，∴O H C B ,,,四点共圆，OCH OBH ∠=∠， 又∵CH BK OC OB ==,，∴△BOK ≌△COH ， ∵∠BOK ＝∠COH ，OH OK =，∴ 30,120=∠=∠=∠=∠OHK OKH BOC KOH ， 观察△OHK ，有：30sin 120sin OH KH =，则OH KH 3=，又∵CH BK CN BM ==,，∴NH KM =， ∴OH KH KM MH NH MH 3==+=+，故3=+OHNHMH ．。
高考数学一轮复习教学案：选修4-1几何证明选讲
2． 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线，所得的 ________成比例．
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 )所得的 ________成比例．
3． 相似三角形的判定及性质
(1)相似三角形的判定 定义 ______ 相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
相似三角形对应边的
比值叫做相似比 (或相似系数 )． 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边
(或两边的延长线 )相交，所构成的三角
形与原三角形相似． 判定定理 1 对于任意两个三角形， 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 ______
对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理 2 对于任意两个三角形， 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应
(1)B， C， D， E 四点共圆； (2)AB·AD＝ AC·AE.
一、平行线分线段成比例定理的应用
【例 1】 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 中点， E 在 CA 上且 AE ＝2CE， AD ， BE 相交
于点
F
，求
AF FD
，
BF FE.
方法提炼 1．在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定 理去证明． 2．作平行线的方法： (1) 利用中点作出中位线可得平行关系； (2)利用已知线段的比例关 系，作相关线段的平行线．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功 倍的效果． 提醒： 对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决． 请做演练巩固提升 3 二、射影定理的应用 【例 2】 如图，圆 O 的直径 AB＝ 10，弦 DE ⊥ AB，垂足为点 H ，且 AH＜ BH ，DH ＝ 4.
高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质课件 理(选修41)
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定 比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析 由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一 平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.
高考数学(全国通用)一轮总复习(文理科)配套课件：选修4-1 几何证明选讲 第一节
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
选修4-1
第一节 相似三角形的判定及有关性质
主主干干知知识识回回顾顾
名师考点精讲
-5-
2.相似三角形的判定与性质
(1)相似三角形的判定定理
定理 内容
预备定 理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
-14-
平行线分线段成比例定理的应用及解法 (1)直接计算或证明:先观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段以及比例式,注意合分比性质的应 用; (2)需要添加辅助线的计算或证明:辅助线一般是作平行线,要结合条件构造平行线组,再利用平行线分线段 成比例定理以及推论转化为比例式.
选修4-1
第一节 相似三角形的判定及有关性质
判定定 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为: 理 3 三边 对应成比例,两三角形相似.
(2)直角三角形相似的判定定理
定理
内容
判定定理 1
如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似.
判定定理 2 判定定理 3
如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.
=
������������ ������������
=
������������������������,
∴������������
������������
+
������������������������=1,
∴12������������1×������������
+
1
12������������������������
学习总结报告-苏教版选修4-1几何证明选讲教案
学习总结报告-苏教版选修4-1 几何证明选讲教案一、教学目标本节课的教学目标有：1.理解几何证明的方法和步骤2.掌握几何证明中需要使用的基本公理和定理3.学会运用几何证明方法解决实际问题通过本节课的学习，学生能够掌握准确、严谨的证明方法，以及更深入地理解和应用几何知识。
二、教学重难点本节课的教学重点和难点是：1.理解几何证明的过程和方法，掌握其中的细节和要点2.学习如何使用基本公理和定理进行推导3.解决部分难题，培养学生的思维能力和逻辑推理能力三、教学方法本节课的教学方法主要是以讲授为主、以问题为导向，注重启发式教学，引导学生探究和思考。
四、教学步骤4.1 导入通过概括和回顾上节课的内容，简要介绍本节课要讲解的内容和教学重点。
4.2 讲解首先，讲解几何证明的基本概念、方法和步骤，以及需要使用的基本公理和定理。
然后，以典型的几何问题为例，详细讲解证明的具体过程和注意事项，引导学生理解和掌握几何证明的方法和技巧。
4.3 实例演练通过实例演练，让学生亲自操作和尝试，巩固所学知识，提高解题能力。
教师可以设计多种不同难度和形式的实例，让学生逐步领悟证明的相关技巧和方法。
4.4 拓展练习通过一些挑战性的练习题，帮助学生深入掌握证明的过程和方法，并进一步提高思维能力和逻辑推理能力。
同时，积极鼓励学生自主思考和交流，从中发现和解决自己的问题，提高自学能力和团队协作能力。
4.5 总结回顾通过总结回顾本节课的整个教学过程，强化对所学知识的理解和掌握，加深印象，并帮助学生发现不足和问题，为下次课的学习和提高做好准备。
五、教学体会在教学实践过程中，我们发现通过严谨的证明方法和引导式教学，学生的学习效果显著提高，思维能力和逻辑推理能力也有大幅度的提升。
同时，我们也需要注意不同学生的学习需要和进度，及时进行差异化教学，以提高教学效果。
六、参考文献•高数几何证明方法，鲍嘉隆，清华大学出版社，2015年•初中数学教材，苏教版，人民教育出版社，2014年。
(江苏专用)版高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14.1 几何证明选讲 第2课时 圆的进一步认识课件 理
2.圆的切线的性质及判定定理 (1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 . (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 . 推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点 . 推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过 圆心 . 3.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 . 4.弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的 度数的一半 .
证明
(2)求∠OAM＋∠APM的大小.
解答
由(1)得，A，P，O，M四点共圆， 所以∠OAM＝∠OPM， 由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， 所以∠OAM＋∠APM＝90°.
思维升华
(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆. (2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. (3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶 点共圆.
解答
题型分类 深度剖析
题型一 圆周角、弦切角和圆的切线问题
例1 (2016·全国乙卷)如图，△OAB是等腰三角形， ∠AOB＝120°.以O为圆心，12 OA为半径作圆. (1)证明：直线AB与⊙O相切； 证明
设E是AB的中点，
连结OE.
因为OA＝OB，∠AOB＝120°，
所以OE⊥AB，∠AOE＝60°， 在Rt△AOE中，OE＝12 AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径， 所以直线AB与⊙O相切.
3.(2017·扬州质检)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交 AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的长.
解答
∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB， ∴△AEF∽△ACB，∴AACE＝BECF， ∴2＝BECF，∴EF＝3.
高考数学一轮复习 14.1 几何证明选讲 理 苏教版
14.1 几何证明选讲解答题1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D ，求AP ·AD 的值.解析：∵∠APC ＋∠ABC ＝180°，∠ACD ＋∠ACB ＝180°，又AB ＝AC ＝3，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠APC ＝∠ACD .又∠CAP ＝∠DAC ，∴△APC ∽△ACD .∴AP AC ＝AC AD，AP ·AD ＝AC 2＝9. 2．自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°，求∠MPB 的大小．证明 因为MA 为圆O 的切线，所以MA 2＝MB ·MC .又M 为PA 的中点，所以MP 2＝MB ·MC .因为∠BMP ＝∠PMC ，所△BMP ∽△PMC .于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.3．如图，⊙O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，OE ⊥AB ，垂足为点E ，求证：OE ＝12CD .证明 作直径AF ，连接BF ，CF ，则∠ABF ＝∠ACF ＝90°.又OE ⊥AB ，O 为AF 的中点，则OE ＝12BF .因为AC ⊥BD ， 所以∠DBC ＋∠ACB ＝90°.又因为AF 为直径，所以∠BAF ＋∠BFA ＝90°.因为∠AFB ＝∠ACB ，所以∠DBC ＝∠BAF ，即有CD ＝BF .从而得OE ＝12CD . 4．如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝4 3，求∠EFD 的度数．解析：由切割线定理得PD 2＝PE ·PF ⇒PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4⇒EF ＝8，OD ＝4. ∵OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，∴∠P ＝30°. ∵∠POD ＝60°，∠EFD ＝30°.5．如图，过圆O 外一点M 作圆的切线，切点为A ，过点A 作AP ⊥OM 于点P .(1)求证：OM ·OP ＝OA 2；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于点B ，过点B 的切线交直线ON 于点K ，求证：∠OKM ＝90°.证明 (1)因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM .又AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中，由射影定理，得OA 2＝OM ·OP .(2)因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，同(1)，有OB 2＝ON ·OK .又OB ＝OA ，所以OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OM OK ，又∠NOP ＝∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ， 故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.6．如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，过线段AB 上一点C 作圆O 的割线CED (点E 在点C 、D 之间)，若∠ABE ＝∠BDE ，求证：C 为线段AB 的中点．证明 在△BCE 和△DCB 中，因为∠BCE ＝∠DCB ，∠CBE ＝∠CDB ，所以△BCE ∽△DCB .所以BC DC ＝EC BC ，即BC 2＝EC ·DC .因为直线AB 、直线CED 分别为⊙O 的切线和割线，所以由切割线定理可知，CA 2＝CE ·CD .所以BC 2＝CA 2.所以BC ＝CA ，即C 为线段AB 的中点．7．如图，已知圆上的弧A C ＝B D ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE ·CD .证明 (1)因为A C ＝B D ，所以∠BCD ＝∠ABC .又因为EC 与圆切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ，所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ，所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CD BC，即BC 2＝BE ·CD . 8．过圆O 外一点A 作圆O 的两条切线AT 、AS ，切点分别为T 、S ，过点A 作圆O 的割线APN ，证明：AT 2AN 2＝PT ·PS NT ·NS .证明 AT 是圆O 的切线，∠ATP ＝∠ANT ，又∠TAP ＝∠NAT ，所以△ATP ∽△ANT .所以AT AN ＝PT TN .同理AS AN ＝PS NS . 两式相乘AT ·AS AN 2＝PT ·PS NT ·NS.因为AT ＝AS ，所以AT 2AN 2＝PT ·PS NT ·NS.。
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14.1 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的进
第1课时相似三角形的进一步认识1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．2．平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．1．(2016·某某模拟)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A，B，C，D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，因此∠DBA ＝∠CDB ，所以AB ∥CD .2．如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，求EC 的长度．解 在Rt△ADB 中，DB ＝AB 2－AD 2＝7，依题意得，△ADB ∽△ACE ， ∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD＝27. 3．(2016·某某模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BF FC的值．解 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.题型一 平行截割定理的应用例1 如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于点E ，F ，与CD 的延长线交于点K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明 延长CK ，BA ，设它们交于点H ，因为KO ∥HB ， 所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DKDH .因此KO HB ＝KE HA，即KO KE ＝HB HA. 因为KF ∥HB ，同理可得KF KO ＝HBHA .故KO KE ＝KF KO， 即KO 2＝KE ·KF .思维升华 当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题．作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等．(1)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的长度．(2)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，求AB 的长． 解 (1)∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53，∴OB BD ＝58. ∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.(2)∵DE ∥BC ， ∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23，EC AC ＝13.又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝EC AC ＝13.∴AD ＝3.∴AB ＝32AD ＝92.题型二 相似三角形的判定与性质例2 (2016·某某)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD .证明 由BD ⊥AC ，可得∠BDC ＝90°， 由E 为BC 中点，可得DE ＝CE ＝12BC ，则∠EDC ＝∠C ，由∠BDC ＝90°，得∠C ＋∠DBC ＝90°， 又∠ABC ＝90°，则∠ABD ＋∠DBC ＝90°， ∴∠ABD ＝∠C ，又∵∠EDC ＝∠C ，∴∠EDC ＝∠ABD .思维升华 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等．(1)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，求PE 的长．(2)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延 长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，求四边形ABCD 的面积．解 (1)∵BC ∥PE ， ∴∠PED ＝∠C ＝∠A ， ∴△PDE ∽△PEA ，∴PE PA ＝PD PE，则PE 2＝PA ·PD ， 又∵PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝PA ·PD ＝ 6.(2)如图，过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt△DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt△DFB ∽Rt△ENB ， 知EN DF ＝BEBD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 题型三 射影定理的应用例3 (2016·某某调研)如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC 的长．解 在△ABC 中，设AC 为x ，∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC . 又FC ＝1，根据射影定理， 得AC 2＝FC ·BC ， 即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ， 即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DC AC， ∴DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x.在Rt△DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即(x 2－1x )2＋(12x 2)2＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.思维升华 (1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，求AC ∶BC .(2)已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD >BD )，若CD ＝6，求AD 的长．解 (1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2∶BC 2＝AD ∶BD ＝9∶4，∴AC ∶BC ＝3∶2.(2)如图，连结AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ， 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD >BD ，∴AD ＝9.1．(2016·某某一模)如图，△OAB 是等腰三角形，P 是底边AB 延长线上一点，且PO ＝3，PA ·PB ＝4，求腰长OA 的长度．解 如图，作OD ⊥AP ，垂足为D ，则PO 2－PD 2＝OB 2－BD 2， 所以PO 2－OB 2＝PD 2－BD 2，因为AD ＝BD ，所以PD 2－BD 2＝PD 2－AD 2＝(PD ＋AD )(PD －AD )＝PA ·PB ＝4， 所以PO 2－OB 2＝4，所以OB 2＝9－4＝5， 所以OB ＝5，所以OA ＝ 5.2．(2016·某某模拟)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，求AE 的长．解 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°， ∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝AE AC.又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6， ∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2. 3.如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，求AD ∶BC .解 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ，∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2，∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，求△ACD 与△CBD 的相似比． 解 如图所示，在Rt△ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵AD ∶BD ＝2∶3， 令AD ＝2x .则BD ＝3x (x >0)， ∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD . 易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD＝2x 6x＝63. 即相似比为6∶3.5．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AE EC.证明 ∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AF ＝BD AB，①AE EC ＝AB BC.② 在Rt△ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC.③由①③得DF AF ＝AB BC ，④ 由②④得DF AF ＝AE EC.6.如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，⊥AM ，垂足是N ，求证：AB ·BM ＝AM ·BN .证明 ∵CM 2＝MN ·AM ， 又∵M 是BC 的中点， ∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AM BM，∴AB ·BM ＝AM ·BN .7.如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． (1)证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD .∴∠ABF ＝∠CEB . ∴△ABF ∽△CEB .(2)解 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16.∴S 四边形ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.8.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .(1)求证：△ABF ∽△EAD .(2)若∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长． (1)证明 ∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED . 又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BFA ＝∠C ＋∠ADE ， ∴∠BFA ＝∠ADE .∴△ABF ∽△EAD . (2)解 ∵∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°， ∴AB AE ＝sin 60°＝32， 又△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE，∴BF ＝AB AE ·AD ＝332.9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .(1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM .(1)证明 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB . 又∵AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形． ∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM .(2)解 ∵△EDM ∽△FBM ，∴DM BM ＝DEBF. ∵F 是BC 的中点， ∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ， ∴BM ＝13DB ＝3.10．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ； (2)若AE EB ＝23，试判断EF 与BC ，AD 之间的关系，并说明理由； (3)请你探究一般结论，即若AE EB ＝m n，那么你可以得到什么结论？ (1)证明 过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H .因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13， 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH . 又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ，从而EF ＝13(BC －HC )＋AD ， 所以EF ＝13BC ＋23AD ， 即3EF ＝BC ＋2AD .(2)解 EF 与BC ，AD 的关系式为5EF ＝2BC ＋3AD ，理由和(1)类似．(3)解 因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m . 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝m m ＋nBH . 所以EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD＝mm ＋n (BC －AD )＋AD ，所以EF ＝m m ＋n BC ＋n m ＋n AD ， 即(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。
2016高考数学大一轮复习 14.1几何证明选讲课件 理 苏教版
解析
思维升华
∴∠CBE＝∠BEO， ∴BC∥OE. ∵∠C＝90°， ∴OE⊥AC， ∴ 直 线 AC 是 △BDE 的 外 接 圆的切线， 即直线AC与△BDE的外接 圆相切.
题型三 圆的切线的判定与性质 例3 如图，在 Rt△ABC中，∠C ＝ 90° ， BE 平 分 ∠ABC 交 AC 于 点 E ， 点 D 在 AB 上 ， DE⊥EB ， 且AD＝2 3 ，AE＝6. (1)判断直线AC与△BDE的外接 圆的位置关系；
解析
思维升华
(2)证明等积式的一般方法 是化为等积的比例式，若 题目中无平行线，需利用 相似三角形的性质证明.
解析
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
思维升华
式”转化为相似三角形中
的“比例式”.
(2) 证 题 时 ， 作 垂 线 构 造 直
角三角形是解直角三角形
常用的方法.
跟踪训练2 如图所示，在△ABC中，∠CAB ＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线， 交AD于F，求证： DF＝AE . AF EC
证明 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DAFF＝BADB，① 在△ABC 中，EACE＝BACB，②
解析
思维升华
整理得 x6＝4，∴x＝3 2， 即 AC＝3 2.
题型二 直角三角形的射影定理
例2 如图，在△ABC中，D、F分 别 在 AC 、 BC 上 ， 且 AB⊥AC ， AF⊥BC ， BD ＝ DC ＝ FC ＝ 1 ， 求 AC.
解析
思维升华
高三数学立体几何的综合证明 知识精讲 苏教版
高三数学立体几何的综合证明 知识精讲 苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何的综合证明二、本周教学目标：1、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化．2、掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化．3、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．4、通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法；⑸向量法．三、本周知识要点：（一）线线、线面、面面平行的判定及性质1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⇒Ø． 2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒Ø． 3、平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：a β⊂，b β⊂，a b P =，//a α，//b α//βα⇒． 4、平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：．5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒． 6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒二、线线、线面、面面垂直的判定及性质 1、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 2、直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 3、两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 推理模式：a αØ，a β⊥⇒αβ⊥．4、两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面． 推理模式：,,,l a a l αβαβα⊥=⊥Ø a β⇒⊥．5 向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直．补充：三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； （2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭【典型例题】例1、如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．证法一：分别过E 、F 作EM ⊥AB 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，连结MN ． ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ．∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1∴EM ∥FN ． 又B 1E =C 1F ，∴EM =FN ．故四边形MNFE 是平行四边形． ∴EF ∥MN 又MN 在平面ABCD 中， ∴EF ∥平面ABCD ．证法二：过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连结GF ，则A B E B 11=BB GB 11．∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴B C F C 11=BB GB 11． ∴FG ∥B 1C 1∥BC又∵EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD 而EF 在平面EFG 中， ∴EF ∥平面ABCD点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行．例2、已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8．（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角的正弦值．（1）证明：∵P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD 是正方形连结AN 并延长交BC 于点E ，连结PE ．∵AD ∥BC ，∴EN ∶AN =BN ∶ND ． 又∵BN ∶ND =PM ∶MA ， ∴EN ∶AN =PM ∶MA ． ∴MN ∥PE又∵PE 在平面PBC 内，∴MN ∥平面PBC（2）解：由（1）知MN ∥PE ，∴MN 与平面ABCD 所成的角就是PE 与平面ABCD 所成的角．设点P 在底面ABCD 上的射影为O ，连结OE ，则∠PEO 为PE 与平面ABCD 所成的角．由正棱锥的性质知PO =22OB PB =2213． 由（1）知，BE ∶AD =BN ∶ND =5∶8，∴BE =865．在△PEB 中，∠PBE =60°，PB =13，BE =865，根据余弦定理，得PE =891． 在Rt △POE 中，PO =2213，PE =891，∴sin ∠PEO =PEPO =724．点评：证线面平行，一般是转化为证线线平行．求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角本题若直接求MN 与平面ABCD 所成的角，计算困难，而平移转化为PE 与平面ABCD 所成的角则计算容易．可见平移是求线线角、线面角的重要方法．当然，也可以建立坐标系，用向量法求角，后面有专门的介绍．例3、如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，M ，N ，Q 分别是棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1，CB ，CC 1，CD 的中点．求证：平面EFG ∥平面MNQ ．分析：只要证明平面EFG 内的两条相交直线EF ，FG 分别与平面MNQ 内的两条直线QN 和MQ 平行即可．证法一：由已知EF ∥AB 1，AB 1∥DC 1，DC 1∥QN ， ⇒EF ∥QN ，同理FG ∥MQ 所以，面EFG ∥MNQ ．证法二：建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则E （0，0，1），F （1，0，2）， G （0，1，2），M （2，1，0）， N （2，2，1），Q （1，2，0） ∴=（1，0，1）， =（1，0，1）， ∴=（-1，1，0）， ∴=QN ，=EF ∥QN ，FG ∥MQ ，又EF ∩FG=F ，QN ∩MQ=Q ， 所以，平面EFG ∥平面MNQ例4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C．证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影．∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C点评：证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理．例5、如图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可．⊥，解：∵AB是圆O的直径，∴AC BC⊥，又∵PA垂直于圆O所在的平面，∴PA BC∴BC⊥平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC⊥平面PBC．点评：由于平面PAC与平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC⊥平面PBC，则在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC，这是寻找两个平面的垂线的常用方法．例6、已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，O、A为垂足．求证：a∥b．证明：以O 为原点直线a 为z 轴，建立空间直角坐标系，,,i j k 为坐标向量，直线a 、b 的向量分别为,a b ． 设b =（x ，y ，z ）， ∵b ⊥α，∴0b i ⋅=，0b j ⋅=， ∴b =（0，0，z ）=z k ．点评：因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运用．【模拟试题】1、设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是 A 、α⊥β且m ⊥β B 、α∩β=n 且m ∥n C 、m ∥n 且n ∥α D 、α∥β且m β2、设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④3、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A 、异面 B 、相交 C 、平行 D 、不能确定4、两条直线a 、b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是 A 、a ∥α B 、a 与α相交 C 、a 与α不相交 D 、a α5、△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为__________．6、在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）7、设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC =a ，AD =b ，DF =c ，则EG =_____________． 8、已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB ∥α，AB =26，AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角，则AB 到平面α的距离为_____________．9、如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE =36a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD ．10、在三棱锥S —ABC 中，N 是S 在底面ABC 上的射影，且N 在△ABC 的AB 边的高CD 上，点M ∈SC ，截面MAB 和底面ABC 所成的二面角M —AB —C 等于∠NSC ，求证：SC ⊥截面MAB ．11、如下图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =8，∠BAC =60°，PC ⊥平面ABC ，PC =4，M 为AB 边上的一个动点，求PM 的最小值．12、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD ．13、如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC ．【试题答案】1、D2、A3、解析：设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β， 过直线a 作与α、β都相交的平面γ， 记α∩γ=b ，β∩γ=c ， 则a ∥b 且a ∥c ， ∴b ∥c又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l ∴a ∥l 答案：C 4、C5、解析：如下图，设A 、B 、C 在平面α上的射影分别为A ′、B ′、C ′，△ABC 的重心为G ，连结CG 交AB 于中点E ，又设E 、G 在平面α上的射影分别为E ′、G ′，则E ′∈A ′B ′，G ′∈C ′E ′，EE ′=21（A ′A +B ′B ）=25，CC ′=4，CG ∶GE =2∶1，在直角梯形EE ′C ′C 中可求得GG ′=3答案：3 cm6、答案：A 1C 1⊥B 1D 1或四边形A 1B 1C 1D 1为菱形等7、解析：解法类同于上题 答案：bacab - 8、解：分别过A 、B 向平面α引垂线AA ′、BB ′，垂足分别为A ′、B ′设AA ′=BB ′=x ，则AC 2=（45sin x）2=2x 2，BC 2=（30sin x）2=4x 2又AC 2+BC 2=AB 2，∴6x 2=（26）2，x =2答案：29、解：在面PCD 内作EG ⊥PD 于G ，连结AG ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴CD ⊥PD ∴CD ∥EG又AB ∥CD ，∴EG ∥AB若有EF ∥平面P AD ，则EF ∥AG ，∴四边形AFEG 为平行四边形，得EG =AF ． ∵CE =22)36(a a -=33a ，△PBC 为直角三角形， ∴BC 2=CE ·CP ⇒CP =3a ，AB AF =CD EG =PCPE=aaa 3333-=32．故得AF ∶FB =2∶1时，EF ∥平面P AD ．10、证明：∵CD 是SC 在底面ABC 上的射影，AB ⊥CD ，∴AB ⊥SC ．连结MD ．∵∠MDC =∠NSC ，∴DM ⊥SC ．∵AB ∩DM =D ，∴SC ⊥截面MAB ． 11、解：∵P 是定点，要使PM 的值最小，只需使PM ⊥AB 即可． 要使PM ⊥AB ，由于PC ⊥平面ABC ， ∴只需使CM ⊥AB 即可．∵∠BAC =60°，AB =8，∴AC =AB ·cos60°=4．∴CM =AC ·sin60°=4·23=23． ∴PM =22CM PC +=1216+=27．12、证明：连结MO ．∵DB ⊥A 1A ，DB ⊥AC ，A 1A ∩AC =A ，∴DB ⊥平面A 1ACC 1． 又A 1O ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1O ⊥DB ． 在矩形A 1ACC 1中，tan ∠AA 1O =22，tan ∠MOC =22， ∴∠AA 1O =∠MOC ，则∠A 1OA +∠MOC =90°．∴A 1O ⊥OM ． ∵OM ∩DB =O ，∴A 1O ⊥平面MBD ．13、分析：要证直线MN ∥平面PBC ，只需证明MN ∥平面PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面∥平面PBC ．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连结RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MB MBDC - ⇒NR =MB ．∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形．∴MN ∥RB ． 又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC ．证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连结QM ， ∵MB AM =NPDN =QP AQ，∴QM ∥PB 又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC ．∴直线MN ∥平面PBC ． 证法三：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连结RB ，依题意有AB BM =PD PN =DCNR， ∴NR =，=+MN + NR =MN ． ∴MN ∥RB 又∵RB 平面PBC ， ∴直线MN ∥平面PBC。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-1：几何证明选讲 1.1.2 相似三角形》
有趣的数学实验教学目标：1通过动手实验，研究几何图形中的变化规律；2通过思维实验，探索几何图形中的面积不变问题和相似问题； 3通过数学实验，培养动手操作能力，逻辑思维能力。
教学重点：寻找图形中的变化规律，得出一些正确结论。
教学难点：图形变化中的数量变化关系 教学方法：两种实验想结合 教学手段：多媒体 教学过程：有趣的数学实验BQ[做一做] 请同学们利用手中的矩形纸片，动手折一折，再想一想，你有什么发现？ [实验1]将矩形纸片ABCD 沿FG 折成如图形状， 若角1=110度，则角2为多少度？把四边形纸片DCGF 沿着FG 打开，展平，则角2=角3，依题意，角2角3=角1，又角1=110度,所以，角2=55度[实验2]如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线DB 折叠，请问图中有全等的三角形吗？若有，把它们找出来。
[实验3]如上图，若将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，其中，AD=8cm ，AB=4cm 。
（1）你还能获得哪些线段的长度？分别求出它们； （2）你能求出三角形BED 的面积吗？试试看。
[实验4]如图，将两张等宽的矩形纸条重叠放置，固定其中一条，转动其中另一条，则它们的重叠部分是什么图形？说明理由。
[实验5]o 点是边长为5cm 的正方形的中心，将一个半径任意长，圆心角为90度的扇形纸片的圆心放在o 点处，将纸板慢慢旋转，它们的阴影部分面积有什么变化规律？A BG CA DBD[实验6]o 点是边长为6cm 的等边三角形的中心，将一个半径任意长，圆心角为12021扇形纸片的圆心放在o 点处，将纸板慢慢旋转，它们的阴影部分的面积有什么变化规律？ [实验7]o 点是边长为4cm 的正五边形的中心，将一个 半径任意长，圆心角为72度的扇形纸片的圆心放在o 点 处，并将纸板慢慢旋转，则它们的阴影部分的面积有什么变化规律？ [实验8]在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=的速度移动；点Q 沿DA 边从D 点开始向A 点以1cm/的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t 表示移动的时间，（0≤≤6）,那么：（1） 当为何值时，三角形QAP 为等腰三角形？（2）当为何值时，以Q 、A 、P 为顶点的三角形与三角形ABC 相似？依题意,AP=2t,QA=6-t,2t=6-t,则t=2（1）当QA/AB=AP/BC 时，三角形QAP 相似于三角形ABC,则 6-t /12=2t/6,t=（2）当QA/BC=AP/AB 时，三角形PAQ 相似于三角形ABC,则 6-t /6=2t/12,t=3。
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3.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于 该直角边在斜边上的 射影与斜边的乘积 ，斜边上的高的平方等于 两条直角边 在斜边上的射影的乘积 . 4.圆中有关的定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的 一半 . (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 它所对弧 的度数.
(3)切线的判定与性质定理 ①切线的判定定理 过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线. ②切线的性质定理 圆的切线 垂直 于经过切点的半径. (4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长 相等 .
解析
思维升华
(1)三角形相似的证明方法 很多，解题时应根据条件， 结合图形选择恰当的方法. 一般的思考程序：先找两 对内角对应相等；若只有 一个角对应相等，再判定 这个角的两邻边是否对应 成比例；若无角对应相等， 就要证明三边对应成比例.
题型一 相似三角形的判定及性 质例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：△ABC∽△FCD；
解析
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(1)三角形相似的证明方法 很多，解题时应根据条件， 结合图形选择恰当的方法. 一般的思考程序：先找两 对内角对应相等；若只有 一个角对应相等，再判定 这个角的两邻边是否对应 成比例；若无角对应相等， 就要证明三边对应成比例.
(CADE )2＝9.
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题型一 相似三角形的判定及性 质例1 如图，已知在
△ABC中，点D是
BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相
交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：△ABC∽△FCD；
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题型一 相似三角形的判定及性 质例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：△ABC∽△FCD；
2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应 相等 的两个三角形 相似 ； ②两边对应成 比例 且夹角 相等 的两个三角形 相似 ； ③三边对应成 比例 的两个三角形 相似 .
(2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形的对应线段的比等于 相似比 . ②相似三角形周长的比等于 相似比 . ③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 .
(5)弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的 一半 . (6)相交弦定理 圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积 相等 . (7)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的 两条线段长的积 相等 .
(8)切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到 割线与圆的两个交点的线段长的 等比中项 . (9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理 (ⅰ)如果四边形的对角 互补 ，则此四边形内接于圆； (ⅱ)如果四边形的一个外角 等于 它的内角的对角，那么这 个四边形的四个顶点共圆.
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解得AM＝4， 又 DE∥AM，∴ADME＝BBMD，
∵DM＝12DC＝52，BM＝BD ＋DM＝5＋52＝125， ∴D4E＝155，解得 DE＝83.
2
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
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证明 ∵DE⊥BC，D是BC 边上的中点， ∴EB ＝ EC ， ∴∠B ＝ ∠ECD，又AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴△ABC∽△FCD.
题型一 相似三角形的判定及性 质例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：△ABC∽△FCD；
数学 苏（理）
第十四章 系列4选讲
§14.1 几何证明选讲
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组 平行线 在一条直线上截得的线段 相等 ，那么在 任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也 相等 . (2)平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对 应线段成 比例 .
解析
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∴SS△△FACBDC＝(CBDC)2＝4，
又∵S△FCD＝5， ∴S△ABC＝20， 又 S△ABC＝12×BC×AM ＝12×10×AM＝20，
Байду номын сангаас
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
②圆内接四边形性质定理 (ⅰ)圆内接四边形的对角 互补 ； (ⅱ)圆内接四边形的外角 等于 它的内角的对角.
题号
1 2 3 4
答案
9
a 2
4
6
解析
在平行四边形 ABCD 中，因为 EB＝2AE，所以AABE＝13 ＝CADE ，故CADE ＝3.
因为
AE∥CD，
所以△AEF∽△CDF，所以
S△CDF＝ S△AEF
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
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解 过点A作AM⊥BC，垂 足为点M， ∵△ABC∽△FCD，BC＝ 2CD，
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
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(2)证明等积式的一般方法 是化为等积的比例式，若 题目中无平行线，需利用 相似三角形的性质证明.
解析
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
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