专题：立体几何三视图
(完整版)五年级立体几何拓展----三视图专属奥数讲义
学科教师辅导讲义班级：年 级： 五年级 辅导科目：小学思维学科教师：上课时间授课主题 立体几何拓展----三视图一．三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是知识图谱错题回顾三视图知识精讲相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积． 二．正方体的展开图我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图．三．长方体的展开图观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面=下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高． 四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积．上 后 前右左下 展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等．高宽长右面左面 后面下面 前面 上面三点剖析题模精选题模一：展开图与对立面例1.1.1 一个正方体的六个面上分别写着A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________【答案】 B 与D 相对，E 与A 相对，C 与F 相对 【解析】 由于正方体的6个面上写了6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对．第一步，先看前2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母B 出现了2次，那么由第一种摆放可知，B 不与A 相对，也不与F 相对；由第二种摆放可知，B 不与C 相对，也不与E 相对．那么在所有的字母中，B 只能与D 相对．第二步，再看后2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母E 出现了2次，那么由第二种摆放可知，E 不与B 相对，也不与C 相对；由第三种摆放可知，E 不与D 相对，也不与F 相对．那么在所有的字母中，E 只能与A 相对．正方体有三个对面，因B 与D 相对，E 与A 相对，那么第三组对面上一定是C 与F 相对．例1.1.2 图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A 、B 、C 的对面分别标的是哪个字母？【答案】 A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E【解析】 由已知条件，标有C ，D 的两个面不能相对，那么或A 的对面标有D ，或B 的对面标有D ．如果标有D ，A 的两个面相对，那么“标有C ，D 的两个面不能相对”，“标有E ，A 的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足．注意到当D 在朝右的面，E 在朝上的面时，F 在朝前的面上，那么只能是标有E ，C 的两个面相对，而标有F ，B 的两个面相对．经检验，这种情况满足题目要求．如果标有D ，B 的两个面相对，那么由于标有E ，A 的两个面也不能相对，于是标有A 的对面就是标有F 的面，而标有C 的对面就是标有E 的面．此时D 在朝后的面上，E 在朝左的面上，F 在朝下的面上．我们把六面体旋转，把D 转到朝右的面，并把E 转到朝上的面，BFA EBC FED A BCD CCEAEF D此时朝前的面上标的是A ，而朝后的面上标的是F ，与题意不符．综上所述，满足题意的答案只有一个：A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E ．例1.1.3 如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF 六个字母．其中A 与D 相对，B 与E 相对，C 与F 相对．现在将木块标有字母A 的那个面朝上，标有字母D 的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？【答案】 字母A【解析】 发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致．那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况，即木块向任意方向连滚4格，它的各个面上标的字母不变． 所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第1格时的情况完全一致．再向下滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第21格，每次都是朝同一方向滚4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格，第21格木块向上的面上总是写的字母A ．例1.1.4 如图，在一个正方体的表面上写着1~6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？【答案】 A【解析】 对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面．如图1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1，A ，B 的三个面两两相邻；再观察图2的虚线圈住的部分，发现写有A ，B ，C 的三个面也两两相邻．此时，写有1的面与A 面，B 面都相邻，C 面也与A 面，B 面都相邻，因此写有1的面与C 面相对，即C 面上写的是4．1 AB C 2D 3 121A B C 2D1A B C 2D1与C 相对，C 面上写的是421 5920 19观察图3中的虚线圈住的部分，容易看出写有2的面与B 面相对，因此B 面上写的是5．则立方体展开图就如图4所示．还剩下A 面与D 面上的数字没有确定，这两个面上分别写有3和6．由于写有1的面，写有5的面与A 面两两相邻，把这三个面还原到立方体中．在图2所示的立方体中，5与2相对，在立方体朝左的侧面上；1在朝前的侧面上．在展开图中以写有1的面为朝前的侧面，A 面为下底面，则写有5的面恰好在朝左的侧面上．此时写有1的面，写有5的面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此A 面上就是6．例1.1.5 下图是正方体，四边形APQC 是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来．【答案】 见解析【解析】 截线在展开图中如图所示：例1.1.6 右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形．现在将其沿实线．．．折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于_________． 图3 1A B 4 2D2与B 相对， B 面上写的是5图41 A 54 2DBPEAD CB GHQFAEDCB HGFA ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 【答案】B【解析】 根据实线还原，体积为4． 题模二：三视图求表面积例1.2.1 下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（ ）．A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图【答案】C【解析】 5个在原图均已看到，易知C 符合要求．例1.2.2 右图是由18个棱长为1cm 的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（ ）平方厘米．A ． 44B ． 46C ． 48D ． 50【答案】C【解析】 从正面、左面、上面分别可看见8、7、9块，故表面积为()21879248cm ⨯++⨯=．例1.2.3 右图中的一些积木是由16块棱长为2cm 的正方体堆成的，它的表面积是________2cm ．【答案】 200D ．B ．C ．A ．【解析】 从前到后的3面依次有2块、5块、7块，因此还剩162572---=块，为可看见的1块与其下方的1块．由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到7块、9块、8块，此外离我们最近的2块有两个面从6个方向均无法看到，综上共可看到()7982250++⨯+=个面，表面积为22250200cm ⨯=．例 1.2.4 图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少【答案】 37；三视图如下图所示；102【解析】 将此图分为从左到右的5层，分别有16、9、5、6、1块，故共有16956137++++=块．三视图见答案，分别可看见17、15、16块，其中左视图有3块“被遮挡”，因此表面积为()17151632102+++⨯=⎡⎤⎣⎦．例1.2.5 图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．【答案】34【解析】 按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积． 题模三：已知三视图反推个数例1.3.1 这个图形最少是由（ ）个正方体整齐堆放而成的．正视图 俯视图 左视图A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】从上面看下去，最少需要：122412113++++++=．例1.3.2此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为1的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．【答案】6【解析】根据正视图，理论上最少需要6块．而6块可以构造出来，例如，其俯视图如下图所示．因此，体积最小为3166⨯=．例 1.3.3一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由__________块小立方体组成．【答案】23【解析】按由上到下逐层分析，各层的小立方体数目分别不超过1个、4个、8个、10个，所以该立体图形最多由23个小立方体组成．例 1.3.4有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1，从前往后看是图3-2，从左往右看是图3-3，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？1412212从正面看从左面看【答案】16，13【解析】43416+⨯=块，424113+⨯+=块．这堆木块最多有16块，最少有13块．例1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如图3所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？【答案】10个；42平方厘米【解析】采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子．首先从俯视图很容易看出，有3个格子里是没有小立方体的，而其他6个格子里至少有一个小立方体．如下图，将所得信息填入俯视图中．结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．同样的，结合俯视图和左视图，又可以知道有一格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．图1 图2 图3从前面看1001我们来继续考虑，左视图中最左边一排有2块小立方体，所以俯视图左上角处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．同理，主视图最右边一排有2块小立方体，所以俯视图最右边中间处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．不难看出，俯视图中最后剩下的那块有3个小立方体，所以俯视图中每格的小立方体数如下：于是这一堆立方体一共有21321110+++++=个． 接着很容易得到这个立体图形的样子，如下图．上下各能看到6个面，前后各能看到6个面，左右各能看到6个面，同时注意到立体图形的中间共有6个会互相遮挡的面，所以表面积是()2666642⨯+++=平方厘米．从左边看1 0 0 012 1 0 0 012 1 0 0 2 0 112 1 03 0 2 011随练1.1将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）．A．A图B．B图C．C图D．D图【答案】B【解析】竖向只剪了1刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上，排除A、D．易知上、下两面不在一条线上，排除C，故选B．随练1.2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________．【答案】后面、上面、左面【解析】易知你、程相对，前、锦相对，祝、似相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面．随练1.3小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排（如图），那么这五颗骰子底面上的点数之和是__________．【答案】16【解析】根据已知推出(4,5)(1,3)(2,6)互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是6152216++++=．随练1.4右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图随堂练习形是__________．序号）【答案】 ②【解析】 从正面看到图②，从上面看到图①，从右面看到图③．所以正确答案是图②．随练1.5 由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，共有__________个正方体，它的表面积是__________．【答案】 10；34【解析】 第一层有8个，第二层有2个，共10个．其三视图分别能看到4、5、8个，故表面积为()11458234⨯⨯++⨯=．随练1.6 如图，有9个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个立体图形．该立体图形的表面积等于__________平方米．【答案】 38【解析】 利用三视图．从前面、右面、上面看依次如图所示．所以该立体图形的表面积是()26672138++⨯⨯=平方米．随练1.7 如图6，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是__________．① ② ③ ④【答案】90【解析】根据三视图，大的几何体的表面积等于正视图面积+俯视图面积+右视图面积的2倍，所以是()2++⨯⨯=．1415162190随练 1.8用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是__________平方厘米．【答案】46平方厘米【解析】如图1，从立体图形上方和下方看去，看到的都是9块小正方形．面积是9平方厘米．图1图2从四个侧面看去，看到的是图2形式的7块小正方形，面积是7平方厘米．所以立体图形的表面积为927446⨯+⨯=平方厘米．随练1.9把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要__________个这样的小正方体，最少需要__________个这样的小正方体．【答案】9；7【解析】由从上方看到的结果可知第一层必有5个，且第二层至多5个；由从前面看到的结果可知共有2层，且第二层至少2个．再结合两个视图可知第二层至多4个．综上，最多9个，最少7个．作业1一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下．现在每方格内都填上相应的数字．已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是_____________．【答案】3，1，2【解析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定隔着一个正方形，所以在此正方体上与“A”相对的面上的数是“0”．与“B”相对的面上的数是“2”．与“C”相对的面上的数是“1”．所以A、B、C内的三个数字依次是3，1，2．作业2把1至6各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且1与4相对，2与5相对，3与6相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度看到的三个面如图（b）所示，那么图（b）中的“？”代表的数字是___________．A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】如图，4对面是1，所以在图a中把4翻到底面，顶部变成了1，如图b，而5C 2B 0A 1自我总结课后作业对面是2,所以当6转到正面时，5在左侧，右侧自然是2了，故答案是2．．作业3下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有__________条棱．【答案】20【解析】此立体图形，示意图如上：共20条棱．作业4用若干个棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于___________2cm．【答案】60【解析】根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面，左面与右面，上面与下面的表面积分别相等．所以我们只要知道前面有11个正方形，右面有8个正方形，上面有11个面，就可求出它露在外面的面共计()11811260++⨯=个正方形，所以它的表面积是2260160cm⨯=．作业5如图，把19个边长为1厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是______平方厘米．【答案】54【解析】从上下左右前后六个方向看，分别可以看到9、9、8、8、10、10个小正方形面，所以总的表面积为54平方厘米．作业6图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】30；三视图如下图所示；76【解析】将此图分为从左到右的4层，分别有11、7、5、7块，故共有1175730+++=块．三视图见答案，分别可看见13、12、11块，其中左视图有2块“被遮挡”，因此表面积为()1312112276+++⨯=⎡⎤⎣⎦．作业7由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块．A．4B．5C．6D．8【答案】A【解析】按如图方式摆放即可．正视图俯视图左视图作业8由若干个棱长为1的正方体堆成的立体图形，其正视图、俯视图和左视图如下所示，请问这个立体图形体积是________．正视图俯视图左视图【答案】5【解析】由正视图和左视图可知共两层，且顶层只有1块，由俯视图可知底层有4块，故共有5块，体积为5．作业9一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆真方体货箱共有______________个．【答案】9【解析】俯视图确定基座，分析每块上的高度．。
03 三视图
左
正四棱锥
棱台的三视图
俯
左
正四棱台
圆台的三视图
俯
左
圆台
由三视图想象几何体 下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
正视图
侧视图
俯视图
四棱柱
由三视图想象几何体 下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
正视图
左视图
圆锥 俯视图
由三视图想象几何体 一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
§3 三视图
前面 上面
侧面
汽车设计图纸
在立体几何中，一般从三个方向研究物体.
1
2 3
从正前方研究物体的正投影图—— 主视图
从正左方研究物体的正投影图—— 左视图 从正上方研究物体的正投影图—— 俯视图 几何体的主视图、左视图、俯视图合称为
几何体的三视图.
平行投影 斜投影
中心投影
A
B C
D
正投影
•主视图：从前•俯视图：从上往下的投影图
1、三视图 •左视图：从左往右的投影图
左视 主视
俯视图
•主视图：从前往后的投影图
三视图的形成
主视图 左视图1、三视图
高
•左视图：从左往右的投影图 •俯视图：从上往下的投影图
2、三视图位置： 宽
主视图 俯视图 左视图
3、三个视图的大小关系： 长
回忆初中已经学过的正方体、长方体、圆 柱、圆锥、球的三视图．
正方体的三视图
俯
左
长方体的三视图
俯
左
长方体
圆柱的三视图
俯
左
圆柱
圆锥的三视图
俯
左
圆锥
高中数学立体几何三视图的画法与性质分析
高中数学立体几何三视图的画法与性质分析在高中数学的学习中，立体几何是一个重要的内容，其中三视图的画法与性质更是需要我们掌握的知识点。
三视图是指一个立体物体从不同方向观察时所得到的正投影图，包括主视图、俯视图和左视图。
本文将介绍三视图的画法和性质，并通过具体例子来说明此题的考点，以帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识。
一、三视图的画法三视图的画法主要包括以下几个步骤：1.确定主视图：主视图是指从正面观察立体物体时所得到的投影图。
我们可以选择一个适当的位置和角度来观察立体物体，然后将其投影到一个平面上，得到主视图。
2.确定俯视图：俯视图是指从上方向下观察立体物体时所得到的投影图。
我们可以选择一个适当的位置和角度来观察立体物体，然后将其投影到一个平面上，得到俯视图。
3.确定左视图：左视图是指从左侧观察立体物体时所得到的投影图。
我们可以选择一个适当的位置和角度来观察立体物体，然后将其投影到一个平面上，得到左视图。
需要注意的是，在确定三视图时，我们要保证各个视图之间的相对位置和比例关系是一致的，以便更好地体现立体物体的形状和结构。
二、三视图的性质三视图具有以下几个性质：1.各视图之间的关系：主视图、俯视图和左视图是相互关联的，它们共同构成了一个完整的立体物体的图像。
通过观察三视图，我们可以了解立体物体的各个面的形状和大小。
2.投影关系：三视图是立体物体在不同方向上的投影，它们之间存在一定的投影关系。
例如，在主视图中，立体物体的前面对应俯视图的上方，左面对应左视图的右方。
3.边与面的关系：通过观察三视图，我们可以确定立体物体的各个边和面的位置和形状。
例如，在主视图中，我们可以看到立体物体的前面、后面、左面、右面等。
三、举例说明为了更好地理解和掌握三视图的画法和性质，我们以一个简单的立方体为例进行说明。
首先，我们确定立方体的主视图。
假设我们选择立方体的一个面作为主视图，将其投影到平面上得到主视图。
接下来，我们确定立方体的俯视图。
立体几何三视图3.16
立 体 几 何 专 题三视图知识小结： 三视图为三个三角形则对应的是三棱锥三视图为两个三角形一个四边形则对应的是四棱锥 三视图为两个三角形一个圆则对应的是圆锥三视图为一个三角形两个四边形则对应的是三棱柱 三视图为两个四边形一个圆则对应的是圆柱底面面积=俯视图面积 几何体的高=正视图的高13V sh =锥 V s h=柱 343V r π=球 24S r π=球 【典型例题讲练】例一：如果一个几何体的三视图是如图1所示(单位长度:)cm 则此几何体的表面积是（ ）A.3)2616(cm +B.223cm C.()32612cm + D.()33218cm + 例二：某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm例三：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9π B.10π C.11π D.12π例四： 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C. 23π+D. 43π+俯视图正(主)视图 侧(左)视图练习：1．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是______。
2. 如果一个几何体的三视图如图所示：（单位长度：cm ）， 则此几何体的体积是（ ）A ．396cmB ．380cmC．(380cm + D ．3224cm 33.一个体积为 则这个三棱柱的左视图的面积为（ ） A． B ．8C．D ．124. 一个几何体的三视图如图所示，那么 此几何体的侧面积（单位：2cm ）为（ ）A ． 80B ．60C ． 40D ．205.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为（ ）（A）2π （B ）83π（C）2π+（D）4π 6.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位:cm )，可得这个几何体的体积是 A π B π34 C π35D 2π正视图俯视图左视图2 22侧（左）视图222正（主）视图俯视图7.如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）A．．．46题图8.上图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为（ ） A ．30π B ．18π C ．22π D ．33π9.一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积等于（ ） (A) 12 (B) 4 （C ）563 （D11.一个几何体的三视图如图所示， 则此几何体的体积是（ ） （A ）112 （B ）80 （C ）72 （D ）6412.一个几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的表面积为___________.正视图侧视图正（主）视图ABCA1B 1C 1侧（左）视图正（主）视图俯视图侧视图13一个几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均为上底为2，下底为4，腰为5 的等腰梯形，俯视图为一圆环，则该几何体的体积为 ．14（课本改编题，新增内容）右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 15图是一个空间几何体的三视图，其主视图、左视图均为正三角形，俯视图为圆，则该几何体的侧面积为 .16(2011·福建宁德模拟)上图是一个多面体的三视图，则其全面积为( )A.3B.32＋6 C.3＋6D.3＋417一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为( )A ．7＋2，3B ．8＋2，3C ．7＋2，32D ．8＋2，3218如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 （ ）主视图左视图俯视图2 2 10题）主视图左视图俯视图（第7题A ．6B ．9C ．12D ．1819某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是（ ）20已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π21某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81πA 图1B C D侧视图正视图俯视图。
立体几何篇(球、三视图)
立体几何篇（空间球专题）空间球：三个重要的模型三个重要的技巧三个重要的模型1、正方体模型2、正四面体模型3、长方体模型1、正方体模型正方体的常用结论（假设边长为a ）（1）外接球a r 231=，棱切球a r 222=，内切球a r 213= （2）最大投影面积为23a ，最小投影面积为2a2、正四面体正四面体的常用结论（假设边长为b ）（1）任何一个正四面体都对应一个正方体且a b 2=（2）外接球即为正方体的外接球b a r 46231==；棱切球即为正方体的内切球b a r 42222==； 内切球半径为外接球半径的31，b r r 1263113== 等体积331431r S h S V ••=•= h r h r 434113=•= 3113=r r b h 36= （3）正四面体的高等于b 36，且正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值（正四面体的高） （4）正四面体对棱互相垂直，对棱之间的距离为b 22； （5）最大投影面积为221b ，最小投影面积为242b例1、正三棱锥ABC S -的侧棱与底面边长相等，如果F E ,分别为AB SC ,的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于_______________________例2、已知ABC S -是一体积为72的正四面体，连接两个面的垂心F E ,，则线段EF 的长是_______________________3、长方体模型长方体的常用结论（c b a ,,为长方体的长、宽、高）（1）三边两两垂直或三面两两垂直，即称“墙角”可补成对应长方体，体对角线即为直径，即有22224R c b a =++；（2）具有公共斜边的直角三角形，斜边即为球的直径。
例3、（辽宁高考）已知点D C B A P ,,,,是球O 表面上的点，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 的边长为32正方形，若62=PA ，则OAB ∆的面积为___________例4、（浙江高考）如图，已知球O 点面上四点D C B A ,,,，⊥DA 平面ABC ，BC AB ⊥，3===BC AB DA ，则球O 的体积等于_______________4、空间球的三个重要的准则1、外接球的球心在底面三角形的外心向上作的垂线；2、常用垂径勾股定理；3、内切球常用等体积；4、复杂的可以建系求解。
高中数学 专题1.立体几何(立体图形的三视图、表面积、体积及外接球)
专题五 立 体 几 何1．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD 1＝1，AB ＝BC ＝AA 1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是( )2：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥11P A B A -的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．一只蚂蚁从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 1处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(3)(4)1.已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A ．三棱锥 B ．三棱柱C ．四棱锥 D ．四棱柱3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以（ ）二、根据三视图还原几何体的直观图一、根据几何体的结构特征确认其三视图A．B．C．D．1.如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）A．B．C．D．2．(2018·南宁一模)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能是( )①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．A．①②B．①④C．②③D．③④3.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则俯视图不可以为（）A．B．C．D．4．中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为()A．18 6 B．18 3 C．18 2 D.27221.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．5π18+B．6π18+C．8π6+D．10π6+2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．8＋3π B．8＋4πC．8＋5π D．8＋6π3.(2017·全国卷Ⅰ，7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A．10B．12C．14D．164.．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20πB．24πC．28πD．32π三、已知几何体的三视图中某两个视图，确定另外一种视图四、根据几何体的三视图计算表面积五、根据几何体的三视图计算体积1．(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是_______2.(2017·山东卷，13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为。
《高一立体几何三视图》课件
三视图在日常生活中的应用
产品描述
在购买产品时，三视图常用于展 示产品的外观和结构，帮助消费
者更好地了解产品的特点。
建筑设计
在建筑设计领域，三视图用于展 示建筑物的外观、内部布局和结构 设计，为建筑师与客户之间的沟通 提供便利。
模型制作
在制作各种模型时，如玩具、家具 或机器部件，三视图是制作精确模 型的关键工具。
建筑学
用于设计和建造建筑物，理解空间关 系和结构。
工程学
在机械、航空等领域，需要利用立体 几何知识进行设计和分析。
学习立体几何的未来发展
• 计算机图形学：在游戏开发、动画制作等领域，立体几何是构建三维场景的基础。
学习立体几何的未来发展
未来趋势
随着科技的发展，立体几何将在虚拟现实、增强现实等领域发挥更大的作用。
俯视图
从物体的上面方向观察，投影 到垂直于投影面的平面上所得 到的视图。
三视图之间的关系
相互依赖
方位关系
正视图、侧视图和俯视图之间是相互 依赖的，任何一个视图的变化都会影 响到其他两个视图。
通过三视图可以判断物体的左右、前 后、上下方位关系。
投影关系
正视图和侧视图之间、侧视图和俯视 图之间、正视图和俯视图之间都存在 投影关系，即“长对正、高平齐、宽 相等”。
《高一立体几何三视图》ppt 课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 三视图基础知识 • 立体几何图形的三视图 • 三视图的运用 • 练习与巩固 • 总结与展望
01
引言
课程简介
课程目标
帮助学生掌握三视图的基本概念和绘制技巧，培养 空间想象力和几何思维能力。
适用对象
高一学生，具备初步的几何知识和空间感知能力。
几何三视图的概念
几何三视图的概念几何三视图是描述物体外观的一种方法，通常用于工程设计、制造和绘图等领域。
它将物体从不同的角度和方向观察，并在平面上投影出三个相互垂直的视图，即正视图、俯视图和侧视图。
这样能够全面、准确地表达物体的形状、尺寸和比例关系，为制造和组装提供了可靠的依据。
正视图是把物体的正面投影到一个平面上形成的视图。
正视图通常是按照物体的主要投影面来定义的，也就是物体前面最突出的面。
在正视图中，所有物体边缘在同一垂直线上，没有任何斜线或深浅变化。
正视图经常被用来表示物体的外部轮廓，显示物体的宽度和高度。
俯视图是把物体从上方向下看并投影到平面上形成的视图。
俯视图通常是从物体的顶部或上方来定义的，可以看到物体躺在平面上的轮廓。
俯视图显示物体的长度和宽度，通常是最具表达力的视图之一。
它可以帮助我们确定物体的平面图形、区分物体上下部分和表达物体的结构。
侧视图是把物体从侧面观察并投影到平面上形成的视图。
侧视图通常是从物体的左侧或右侧来定义的，显示物体的高度和厚度。
在侧视图中，我们可以看到物体的厚度、深度和结构，帮助我们更好地理解物体的三维形态。
通常情况下，正视图、俯视图和侧视图在同一张纸上呈现，按照一定的规则、比例和排列方式进行绘制。
这样三个视图之间的比例关系可以得到保持，在三个视图之间相互补充，使得物体的整体形态和尺寸在绘图中得以准确表达。
使用几何三视图可以对物体进行全面的表达和刻画，能够呈现物体的外观、形状和结构，帮助人们更好地理解和分析物体。
几何三视图在制造、工程设计、建筑、汽车、电子产品等领域都有广泛的应用。
通过几何三视图，人们可以进行工程量的测算、零部件的制造、组装过程的规划以及设计方案的讨论等，提高了工作效率和准确性。
几何三视图不仅是工程制图的基础，也是学习和掌握立体几何的重要途径。
综上所述，几何三视图是一种描述物体形状和尺寸的方法，通过正视图、俯视图和侧视图的组合，可以全面、准确地表达物体的外观和结构。
高中数学立体几何三视图
二视图一、体积公式1、柱体（棱柱、圆柱）：V=2、椎体（棱锥、圆锥）：V=3、台体（棱台、圆台）：V =4、球：V= ___________二、面积公式1、柱体侧面积：S=2、棱锥侧面积：S =3、圆锥侧面积：S=4、球的表面积：S =5、梯形面积：S =6、对角线垂直的四边形面积：S=、简单几何体1 .（2012全国）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（12 D . 1S2 . （2013陕西）某几何体的三视图如图所示 ，则其体积为3 .在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（4 . （2013辽宁）某几何体的三视图如图所示 ，则该几何体的体积是一个几何体的三视图如图所示 （单位：m ）,则该几何体的体积为6. （2013广东）某四棱台的三视图如图所 示，则该四棱台的体积是 （）C.5. （2012 天津）1侧视图俯视图3 2正视图曲视图16 37.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（A. 80B. 40)C. D.正（主）视图3俯视图8.已知四棱锥P-ABCD其三视图如图，则该四棱锥体积为、面积问题A. 28 6,5B. 30 6、、556 12、、5A. 7B.2C.3 D. 5、组合体9. （2012北京）某三棱锥的三视图如图所示 ,该三棱锥的表面积是（（单位:cm ）,则这个几何体的表面积2cm10.如图所示是一个几何体的三视图 如图所 () 示，则此几何体对应直观图中APAB 的面积是正视用 到视图俯现图D. 60 12、.512.一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）,则该几何体的体积为，表面积13.（2013全国1）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 16 8二B. 8 8 二C. 16 16二D. 8 16 二主视图恻视图四、切割体14. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15. （2013浙江）若某几何体的三视图 （单位:cm ）如下面左图所示，则此几何体的体积等于 cm 3.五、旋转体（角度问题）I I16.已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为体积为（）1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体的17.如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为 形的中线，则该四面体的体积为（ ）2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角2-3A4-38-32D4 - 4 —3-3 —*|俯视图18. （2013重庆）某几何体的三视图如图所示 ，则该几何体的体积为（ ）20.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形 ABCD 是边长为2的正方形，则这个四面体的主视图的面积为三视图课后作业560C. 200D. 24019. （2013湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为 1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能A. 1B. ,2,5+1 2帏也困第15题图A. B. C. 3 .某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）4 .三棱锥S- ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为（）2.某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ 5. （2017全国1卷）某多面体的三视图如图所示, 其中正视图和左视图都由 正方形和等腰直S-3AD.角三角形组成，正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A. 10B. 12C. 14D. 166 .某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是砺视图8 .某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为9 .一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（正观图他视图7. 一个体积为 12 J3的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（正视图E5B. 8C. 8D. 12偏视图A.俯视图12.多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm cm3iK —f»as13.某几何体的三视图如图所示, 则此几何体的体积等于（A. 30B. 12C. 24D. 4正视圉侧视图俯视俯视图14.某长方体的三视图如图，长度为J10的体对角线在正视图中的长度为娓,在侧视图中的长度为J5 ,则该长方体的全面积为^15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（D.。
高中数学知识点：空间几何体的三视图精选全文完整版
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高中数学知识点：空间几何体的三视图
1．三视图的概念
把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．
（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；
（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；
（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．
2．三视图的画法规则
画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．
正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：
（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；
（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．。
《立体几何三视图》ppt课件
左
圆柱
19
棱锥的三视图
俯
左
正三棱锥
2021/6/7
20
棱锥的三视图
俯
左
正四棱锥
2021/6/7
21
圆锥的三视图
俯
2021/6/7
左 圆锥
22
棱台的三视图
俯
左
正四棱台
2021/6/7
23
圆台的三视图
俯
左
2021/6/7
圆台
24
球的三视图
俯
左
球体
2021/6/7
25
练习2：画出下面几何体的三视图
②正视图、侧视图和俯视图的长方形的长宽高分 别为多少厘米？
③正视图和侧视图中有没有相同的线段？正
视图和俯视图呢？侧视图和俯视图呢？
2021/6/7
12
主 俯 长 3cm 对 正
俯 左 宽 4cm 相 等
2021/6/7
5cm 主左高平齐 4cm 3cm
正视图
5cm
侧视图
俯视图
3cm
13
5cm
4cm
2021/6/7
(1)
(2)
29
口答:一个几何体某一方向的视图是圆, 则它不可能是( D )
A球 C 圆柱
B 圆锥 D 长方体
2021/6/7
30
组合体的三视图 从上面看
俯视图
从左面看 左视图
从正面看 主视图
2021/6/7
31
练习.画出下面物体的三视图
主视图
2021/6/7
左视图
32
俯视图
知识结构
主视图
左视图
将空间图形向这三个平面作正投影，
数学知识点：空间几何体的三视图_知识点总结
数学知识点：空间几何体的三视图_知识点总结光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化。
平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。
在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
空间几何体的三视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，叫做几何体的侧视图；从几何体的上面向下面正投影，得到投影图,高考地理，叫做几何体的俯视图。
几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图。
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
平行投影与中心投影的区别和联系:①平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线是由同一个点发出的．如图所示，②平行投影是对物体投影后得到与物体等大小、等形状的投影；中心投影是对物体投影后得到比原物体大的、形状与原物体的正投影相似的投影．③中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．④画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时一般用平行投影法．画三视图的规则:①画三视图的规则是正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽．即正视图、侧视图一样高，正视图、俯视图一样长，俯视图、侧视图一样宽;②画三视图时应注意：被挡住的轮廓线画成虚线，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示，尺寸线用细实线标出；D表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计;③对于简单的几何体，如一块砖，向两个互相垂直的平面作正投影，就能真实地反映它的大小和形状．一般只画出它的正视图和俯视图（二视图）．对于复杂的几何体，三视图可能还不足以反映它的大小和形状，还需要更多的投射平面．。
立体几何和三视图
立体几何和三视图一、知识点回顾1、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
▲长对正，高平齐 ，宽相等2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rlS π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台二、专题讲解1、空间角问题（1）直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角：规定为 0。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为 0。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
高考数学立体几何专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积
专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积【考点点击】1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．3.几何体的三视图与表（侧）面积、体积计算结合；【重点知识】一、空间几何体1．柱体、锥体、台体、球的结构特征名称几何特征棱柱①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥①有一个面是多边形(底面)；②其余各面是有公共顶点的三角形．棱台①底面互相平行；②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)圆柱①有两个互相平行的圆面(底面)；②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直圆台①底面互相平行；②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的球①有一个曲面是球面；②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积表面积棱柱V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高)S棱柱＝2S底面＋S侧面棱锥V棱锥＝13Sh(S为底面积，h为高)S棱锥＝S底面＋S侧面棱台V棱台＝13h(S＋SS′＋S′)S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面圆柱V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高)S圆柱＝2πrl＋2πr2(r为底面半径，l为母线长)圆锥V圆锥＝13πr2h(r为底面半径，h为高)S圆锥＝πrl＋πr2(r为底面半径，l为母线长)圆台V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2球V球＝43πR3(R为球的半径)S球＝4πR2(R为球的半径)3.空间几何体的三视图和直观图(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【考点分析】考点一空间几何体的结构【例1】已知正三棱锥PABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【答案】33【解析】正三棱锥PABC 可看作由正方体PADCBEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥PABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC.设正方体棱长为a ，则22,2,1232=====BC AC AB a a ，3223222221=⨯⨯⨯=∆ABC S ，由,PAC B ABC P V V --=得222213131⨯⨯⨯⨯=⋅∆ABC S h ，所以332=h 因此球心到平面ABC 得距离为33考点二三视图、直观图【例2】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【例3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A ．2＋5B ．4＋5C ．2＋25D ．5【答案】C【解析】该三棱锥的直观图如图所示：过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，ABCABD ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆+++=表5225221152115212221+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=考点三几何体的表面积【例4】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以222232114,4π14π.R S R =++===【例5】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π,则它的表面积是（）（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的81,设球的半径为R ,则32834873ππ=⨯=R V ,解得R 2=,所以它的表面积是87的球面面积和三个扇形面积之和πππ172413248722=⨯⨯+⨯⨯=S 故选A ．考点四几何体的体积【例6．】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π24V r h ⎛==⨯⨯= ⎝⎭，故选B.考点五与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.【例7】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．22B ．1C ．212+D ．2解：由题意可知，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==11EF AA DD ⊂ 面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =.【例8】正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【例9】在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是.解：如图，正三棱锥对棱相互垂直，即,AC SB ⊥又,,,.SB MN MN AC MN AM MN SAC ∴⊥⊥∴⊥∥又平面于是,,,SB SAC SB SA SB SC ⊥∴⊥⊥平面从而.SA SC ⊥此时正三棱锥S ABC -的三条侧棱互相垂直并且相等，故将正三棱锥补形为正方体.球的半径23,3,436.2R SA R S R ππ=∴=∴==【例10】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A ．12πB ．C ．3πD ．【答案】C【解析】把原来的几何体补成以DA DC DP 、、为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，2=R l ，=2R ，234434S R πππ==⨯=球.【例11】在三棱锥P －ABC 中，PA ＝,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．πB.3π C.4πD.43π解：如图所示，过P 点作底面ABC 的垂线，垂足为O ，设H 为外接球的球心，连接,,AH AO 因60,PAO PA ∠== 故2AO =,32PO =又△AHO 为直角三角形，222,,AH PH r AH AO OH ==∴=+22233344(),1,1.2233r r r V ππ∴=+-∴=∴=⨯=【例12】矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125 B.π9125C.π6125D.π3125解：由题意分析可知，四面体ABCD 的外接球的球心落在AC 的中点，此时满足,OA OD OB OC ===522AC R ∴==,343V R π=1256π=.【总结归纳】1个特征——三视图的长度特征“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽。
高中数学立体几何三视图课件
正 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 长 度
侧 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 宽 度
俯 视 图 反 映 了 物 体 的 长 度 和 宽 度
c（高） b（宽） a(长)
判断下列三视图的正误:
长未对正
宽不相等
高不平齐
例1: 圆柱的三视图
俯
正视图
侧视图
侧
俯视图
圆柱 正
例2: 圆锥的三视图
侧视图 四 棱 台
正视图
俯 视 图
正
不同的几何体可能有某一,两个视图相同.所以我们 只有通过全部三个视图才能全面准确的反映一个几 何体的特征。
三视图还原立体几何简单与否因人而 异,空间想象力强的人,一眼便能看出是什么 样的图形.我就觉得这种题目还是挺简单的, 哈哈. 首先我给你几个最常见的例子.1.三面都是 长方,就是长方体；2.上面看圆,两个侧面看 长方,就是圆柱；3.上面看圆,两侧面看三角, 就是圆锥；4.上面看多边形,两侧面看三角, 就是棱锥；5.上面看多边形,两侧看长方,就 是棱柱；6.上面看圆,两侧看梯形,就是圆台 ；7.三面都是圆,就是球.
①圆柱可以由 矩形 绕其一边所在直线旋转得到.
②圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 所在直线旋转得到. 直角腰 ③圆台可以由直角梯形绕 所在直线或等腰梯形绕上、下 底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截 圆锥得到. ④球可以由半圆或圆绕直径 所在直线旋转得到.
答案
2.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是 正投影 得到，这种投影下与投影面
•
其次要注意的是,三视图显示了图形的 长宽高,从上方看的图显示了长宽或者直 径之类的东西,从侧面看的图显示了长和 高,或者宽和高,或者直径和高之类的. 第三要是你空间想象力不强,那么就得 多练习.至于方法,我觉得多锻炼逆向思维 能力是最好的.你可以随便想象出一个立 体图形,然后自己给那个图形画三视图,然 后再只看你的三视图想象你刚才想的图形 ,反复练习,多总结,我想你会有启发、收获 的.
立体几何-三视图
三视图
为了使空间图形的直观图更准确地反映空间图形的大小和形状，往往需要把图形向几个不同的平面分别作正投影，然后把这些投影图放在同一个平面内，并有机地结合起来表示物体的形状和大小。
通常，总是选取三个两两互相垂直的平面作为投影面。
一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫作俯视图。
一个投影面放置在正前方，这个投影面叫作直立投影面，投影到这个平面内的图形叫作正视图。
和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫作侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右侧，投影到这个平面内的图形叫作左视图。
将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫作空间图形的三视图。
画三视图的规则：
1，首先确定正视、俯视、左视的方向。
同一几何体，相对我们的角度不同，其三视图也不同，应确立主视、俯视方向，从而确立左视方向，这样才能找到投射面并画出三个方向上的几何体外轮廓投影，即得三视图。
2，主视图、俯视图、左视图的联系是：“长对正，高平齐，宽相等”，保持固定位置有利于作图。
3，被挡住的轮廓线画出虚线，看到的轮廓线画成实线。
作图步骤：
1，确定视图方向；
2，布置视图；
3，先画出能反映物体真实形状的一个视图；
4，运用“长对正、高平齐、宽相等”的原则画出其他视图；
5，检查，加深，加粗。
简单组合体的三视图
组合体的生成方式：
由三视图还原成实物图（直观图）。
空间几何体的三视图
正视图
侧视图
俯视图
四棱柱
由三视图想象几何体
下面是一些立体图形的三视图，请根据 视图说出立体图形的名称:
正视图
左视图
圆锥 俯视图
由三视图想象几何体
一个几何体的三视图如下,你能说出它 是什么立体图形吗?四棱锥 Nhomakorabea小结
欣赏三视图
回忆学过的 几何体的三 视图
三视图的 有关概念 其他几何体的 三视图
由三视图想象几何体
光线自物体的前面向后投影所得的投影图 称为“正视图” ，自左向右投影所得的投影图 称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图 称为“俯视图”． 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结 构，这种图称之为“三视图”．即向三个互相 垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊 平在一个平面上，则就是三视图．
三视图的形成
空间几何体三视图
上一节学习的棱柱、棱锥、棱台 以及圆台的三视图是怎样的？
棱柱的三视图
俯
左
六棱柱
棱锥的三视图
俯
左
正三棱锥
棱锥的三视图
俯
左
正四棱锥
棱台的三视图
俯
左
正四棱台
圆台的三视图
俯
左
圆台
圆台的三视图
俯
左
圆台
由三视图想象几何体
下面是一些立体图形的三视图，请根据 视图说出立体图形的名称:
V
V正立投影面 H水平投影面 W侧立投影面
三视图的形成
W V
V正视图
H俯视图
W侧视图
H
三视图的形成
主 视 图
左视图 俯视图
三视图的特点
长对正
高平齐 宽相等
三视图表达的意义
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专题：空间几何体的结构及其三视图高考中对空间几何体的三视图，主要考查同学们识图、画图的能力、空间想象能力以及运算求解能力等基本能力。
因此，首先要熟练掌握三视图的概念和画图要求，其次要熟悉柱、锥、台、球各种基本几何体和它们组成的简单组合体，第三要熟练各种几何体的表面积、体积的计算公式和方法，最后要熟悉如下几种基本题型。
知识纵横1、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
2、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。
直观图与原图面积之比为1：3、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表（3）柱体、锥体、台体的体积公式： V Sh =柱 13V Sh =锥（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ考点剖析一．明确要求1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化. 二．命题方向1.三视图是新增加的内容，是高考的热点和重点，几乎年年考．2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点．3.以选择、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现.三．规律总结三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．考点突破热点一形状的判断1.(2012年高考福建卷理科4)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱2.(2012年高考湖南卷理科3)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）【方法总结】三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④解析：正方体三个视图都相同；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆；三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同；正四棱锥的正视图和侧视图是全等的等腰三角形，选D.4.(课本习题改编)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )．A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体热点二三视图和几何体的体积相结合1．（2012广东文）某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π2.(2012广东理)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（）A ．12π B.45π C.57π D.81π3.【2012高考辽宁文13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.【答案】12+π 【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为3411112ππ⨯⨯+⨯⨯=+4.(经典习题)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )． A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3热点三 三视图和几何体的表面积相结合1. (2009广州一模文数)一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图3所示，则该几何体的侧面积为 cm 2． 802．某几何体的三视图如图1所示,它的表面积为3．(2012广州一模文数)如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 A 43B ．3．8 D ．12 答案C4．(文)已知一空间几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )图1俯视图2正(主)视图2 22侧(左)视图2 22A ．4＋ 2B ．2＋ 2C ．3＋ 2D ．3[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形直角边长和棱柱的高都是1，故表面积S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1＋2×(1×1)＋2×1＝3＋ 2. 5.下图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸(单位：cm)，可知几何体的表面积是( )A ．18＋ 3B ．16＋2 3C ．17＋2 3D ．18＋2 3[答案] D[解析] 由三视图可得，该几何是一个底面边长为2高为3的正三棱柱，其表面积S ＝3×2×3＋2×34×22＝18＋23cm2. 练习：1.(2012届高三年级第二次综合练习文)如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为A ．61B ．23C ．3324+ D ．3322+2.(2012年云南省第一次检测)下图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1与3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于（A ）π63 （B ）π33 （C ）π334 （D ）π21 答案：A3.(湖北武汉2012适应性训练理)一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形， 侧视图是等腰三角形. 则该几何体的表面积为A ．88B ．98C ．108D ．1581114. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .5.(北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）理)若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为 ( )（A ）3 （B ）2（C ）23（D ）4【答案】A【解析】由题意可知三棱柱的地面边长为2 ，侧棱长为1 ， 所以0122sin 60132V =⨯⨯⨯⨯=6.（石家庄市高中教学质量检测）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为7.(中原六校2012年高三第一次联考文)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 A ．202π- B ． 2203π-C ．2403π-D ．4403π-8.(2012洛阳示范高中联考高三理)一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．正视图 侧视图 俯视图 （A ）624+（B ）64+（C ）224+ （D ）24+9.(北京市西城区2012届高三下学期二模试卷理)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．10.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为A ．π++36B ．π++326C ． π4318++D ．π++321811.某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是12.一个体积为312的正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧视图的面积为A 36B 8C 38D 1213.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为__________ .三、结合三视图与空间几何体综合考查。
（2007·广东文17）(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该儿何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V -ABCD ；(1) ()1864643V =⨯⨯⨯= (2) 该四棱锥有两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为 22184422h ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 另两个侧面V AB. VCD 也是全等的等腰三角形， AB 边上的高为 2226452h ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭因此 112(64285)4024222S =⨯⨯+⨯⨯=+ (2009·广东文17)（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH,下半部分是长方体ABCD －EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD ⊥平面PEG解析：(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --==221406040203200032000640003=⨯⨯+⨯=+= ()2cm （３）如图,连结EG ,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO.由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH , PO HF ∴⊥又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG又BD HF BD ∴⊥平面PEG ；【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。