专题六一元一次方程总复习
一元一次方程知识点总结
一、等式与方程 ．等式：
（1）定义：含有等号的式子叫做等式．
（2）性质： ①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变． 若那么 ②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的
值不变． 若那么有或（）
③对称性：若，则． ④传递性：若，则．
（3）拓展： ①等式两边取相反数，结果仍相等． 如果，那么 ②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等． 如果，那么 ③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的 性质．
（5）列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点： ①“审” 要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意．即弄清已知
量、未知量及其相互关系． ②“设” 设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项
式加单位括号． ③“列” 根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方
程两边的代数式的单位统一，用题目中的原数；题中条件应充 分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用，重复用一个条件 会得到恒等式，解不出来． ④“解” 解出方程，一定在草纸上一步步认真计算，先化简往往 会简化计算． ⑤“验” 检验两方面，一是解得是否正确，用代入法；二是是 否符合实际情况．
根据是等式的性质①． Ⅲ移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边
对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解．
（4）解一元一次方程的一般步骤及根据： ①去分母——等式的性质② ②去括号——分配律 ③移项——等式的性质① ④合并——合并同类项法则 ⑤系数化为1——等式的性质② ⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否
路程=时间×速度，时间=，速度=．
（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度
一元一次方程总复习
1 3x + 5 = 7 (D) x + x = 2 (E) 2 (F)3x+3＞ (F)3x+3＞1 其中是一元一次方程的有 A、E (填 序号） 序号）
题组二： 题组二：
（2）如果关于 x 的方程 2 x + 1 = 0 ） a= １。 是一元一次方程， 是一元一次方程，那么 （3）写一个根为 x = −2 的一元 ） 一次方程是 。 （4）已知方程 ax = 3− 2x 的解 ） 是 x = −2 ,则 a = -3.5 。 则
例题2 一水池装有两个水管,甲管进水用 甲管进水用2h 例题 一水池装有两个水管 甲管进水用 将池注满,乙管放水用 将池水放尽.现将空 乙管放水用3h将池水放尽 将池注满 乙管放水用 将池水放尽 现将空 池进水1h后 再开放水 何时将池注满? 再开放水.何时将池注满 池进水 后,再开放水 何时将池注满 进水量-放水量 放水量=1 解:设将池注满还需 设将池注满还需 进水量 放水量 x小时 水量=进 放 小时 进(放)水量 进(放) 放 水量 水速度× 列方程得 水速度×时间 解这个方程得 x=3 1 1 1 x + − x =1 答:将空池进水 小时后 再 将空池进水1小时后 将空池进水 小时后,
合并 (ax=b)
系 数 化 成 1 计算要仔细，分子分母不要颠倒 计算要仔细，
解方程: 解方程:
(1)
3x+1 -2 = 3x-2 - 2x+3 5 2 10
想一想
注意什么问题? 去分母时要 注意什么问题
(1)方程两边每一项都要乘以各分母的最小 方程两边每一项都要乘以各分母的最小 方程两边每一项都要乘以各分母的 公倍数 (2)去分母后如分子中含有两项 应将该分子 去分母后如分子中含有两项,应将该分子 去分母后如分子中含有两项 添上括号
《一元一次方程》全章复习与巩固(提高)知识讲解
乐博思
《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；
2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；
3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的解的合理性．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．。
一元一次方程专题复习
一元一次方程--专题复习1、定义：2、一般形式：3、解一元一次方程的步骤：去分母--去括号--移项--合并同类项--化系数为1①合并同类项--- 依据是 注意：（1）系数合并时要连同前面的＋、－号；（2）合并同类项的实质是系数的合并，字母和指数都不变；（3）系数的合并实际上是有理数的加法运算②移项---注意：（1）移项时，所移的项一定要变号，而且必须是从方程的一边移到另一边；（2）通常将未知数移到等号的左边；常数项移到等号的右边； ③系数化为1注意：最终结果应化简或约分【基础演练】1、小明在解方程为未知数）x x a (135=-时，误将-x 看成+x ，得出的解是x=-2,则原方程的解是 。
2、若关于x 的一元一次方程12332=---k x k x 的解是x=-1，则k 的值是3、下列方程中解为1=x 的是（ ）A.23+=x xB.121=-xC.121=+xD.22131=--+x x 4、关于x 的方程23=-x m 与方程2x-1=3d 的解相同，则m= 。
知识梳理1、一元一次方程看“两数”【例1】若方程0253=+-m x 是关于x 的一元一次方程，则m= .【例2】若关于x 的方程（m-1)x+5=3m 是一元一次方程，则m .【例3】已知关于x 的方程k k xk 351)2(=+--是关于x 的一元一次方程，则k = . 2、开放性问题【例1】把若干糖果分给若干小朋友，若每人3块，则多12块，若每人5块，则缺10块，就以上情景，请你提出一个问题并列一元一次方程解答。
【巩固练习】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，设该电器的成本价位x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A.()2080%80%301=⨯+xB.2080%80%30=∙∙xC.x =⨯⨯%80%302080D.%802080%30⨯=∙x3、应用合并同类项解方程【例1】解方程：1641321161814121=------x x x x x x x题型分析4、变形题聚焦【例1】天平盘内分别盛有盐，B 盘中有盐45g ，若从A 盘中拿出3g 放入B 盘，这时天平正好平衡，问A 盘中德盐有多少？【变式1】有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果使甲工程队的人数是乙工程队的两倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？【变式2】甲乙两人分别存书128本和54本，现要让甲给乙一部分书，使甲有的书占乙有的书的20%，问甲给了乙多少本书？5、解方程（1）103.02.017.07.0=--x x （2）32532+=-x x（3）)24(7)816(5)12(3-=---x x x （4）3)562(25)623(32=---x x6、建立一元一次方程模型，解决问题(1). x 的12减去3等于－1，则=x _______________ （2）若式子12－3（9－y ）与式子5（y －4）的值相等，则y= _________． (3) 34+x 与56互为倒数，则=x _______________________ （4）. 若23234+x a 与43152+x a 是同类项，则x= . （5）．若()022=-+-y y x ，则y x += _________________(6)．方程12-x =54+x 的解是___________________________7、实际应用投资收益问题：投资问题中投资收益=%100⨯实际投资额投资收益. 【例1】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开放商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可以在以下两种方案中作出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得租金为商铺标价的10%。
一元一次方程解法复习
等式性质2
运算规则
在解一元一次方程时，需要遵循等式 的性质和运算规则，对方程进行变形 和化简，从而求出未知数的值。
等式两边同时乘（或除以）同一个不 为零的数，等式仍然成立。
02 求解一元一次方程方法
合并同类项法
识别同类项
将方程中的同类项识别出来，即 具有相同字母和相同字母的指数
项。
合并同类项
将识别出的同类项进行合并，简化 方程。
利润率计算
利润率是利润与成本的比值，根据已知的利润或成本计算利润率。
打折销售问题
考虑商品打折后的售价和利润，结合折扣率和成本建立方程求解。
05 错误类型及纠正策略
常见计算错误类型
符号错误
在解方程过程中，未注意负号或 正号，导致计算错误。
括号处理不当
在处理含有括号的方程时，未按 照运算顺序正确去掉括号。
02
方程中未知数的最高次数为1。
是整式方程
03
方程是整式方程，即等号两边都是整式。
方程解与根的概念
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的 值叫做方程的解。
方程的根
方程的根和解实际上是同一个概 念，都是指使方程成立的未知数 的值。
等式性质及运算规则
等式性质1
等式两边同时加上（或减去）同一个 数或整式，等式仍然成立。
及时总结和反思
在解题后，要及时总结和反思 自己的错误类型和原因，避免
再次犯同样的错误。
06 复习总结与提高建议
关键知识点回顾
1 2 3
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的 整式方程。
等式的性质
等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍 然成立；等式两边同时乘以（或除以）同一个不 为零的数，等式仍然成立。
一元一次方程小结与复习
一元一次方程小结与复习
1. 移项法：通过移动方程中的项来使方程简化。
首先，我们可以通
过将常数项移到等式的另一侧来消去b的影响，得到ax = -b。
然后，通
过除以系数a来解出x。
2. 合并同类项法：对于形如ax + b = cx + d的方程，我们可以通
过合并同类项来简化方程。
具体而言，我们可以将所有的x项放在一起，
并将所有的常数项放在另一起，得到ax - cx = d - b，进而通过化简来
解出x。
3. 交叉相乘法：对于形如ax + b = cx + d的方程，我们可以通过
交叉相乘的方法求解。
即，将方程左右两侧的项相乘，得到a(cx + d) = c(ax + b)，进而通过化简来解出x。
4.两边同除法：当方程中的系数不为零时，我们可以通过将方程左右
两侧同除以系数a来解出x。
在解决一元一次方程的过程中，我们需要注意以下问题：
1. 零的概念：当方程的系数为零时，解的个数或者形式会有所不同。
如果a等于零，那么方程变为bx = -c，这个方程只有一个解。
如果b等
于零，那么方程变为ax = -c，解的形式会有所不同。
2.无解与无数解：在一些情况下，一元一次方程可能没有解或者有无
数个解。
当方程左右两侧的项合并后，出现矛盾，即形成了一个恒等式，
那么方程就没有解。
当方程左右两侧的项合并后，结果为零，且方程没有
其他约束条件时，方程就有无数个解。
3.变量的含义：在解决实际问题时，方程中的变量通常代表一些实际量的值。
在求解方程时，我们需要根据实际问题将变量代入，进而得到解的含义。
一元一次方程的复习
一元一次方程复习资料【知识整理】（一）方程的概念1. 方程：含的等式叫做方程。
2. 方程的解：使方程的等号左右两边相等的，就是方程的解。
3.解方程：求的过程叫做解方程。
4. 一元一次方程：只含有一个（元），未知数的最高次数是并且方程叫做一元一次方程。
（二）方程变形——解方程的重要依据1、等式的性质1：等式的两边同时加（或减）（），结果仍相等。
即：如果a=b，那么a±c=b ；2、等式的性质2：等式的两边同时乘，或除以数，结果仍相等。
即：如果a=b，那么；或如果a=b，那么；回顾解一元一次方程的步骤，做法及依据（四）列方程解应用题：1、解应用题的基本步骤：__________、___________、____________、____________。
2、行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）行程问题基本类型相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度（注意变形）3、工程问题：（1）工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间=工作总量工作效率工作时间=工作总量工作时间工作效率（2）经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．4、商品销售问题：售价＝标价*折扣率 利润＝进价*利润率＝售价－进价【过关练习】1、判断下列式子是不是方程，是方程打“√”，不是方程打“⨯”．是一元一次方程打“○” (1) x=3 ( ) (2) 5+6=2+9 ( ) (3) 1+2x =4 ( ) (4) x +y =2 ( ) (5) x +1-3 ( ) (6) 2x -1=0 ( )2、下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）。
A ．0127=+yB.082=+y x C ．03=z D.0232=-+x x 3、关于x 的方程(2k -1)x 2-(2k + 1)x + 3 = 0是一元一次方程, 则k 值为4、方程 是一元一次方程，则a 和m 分别为（ ） A 2和4 ，B －2 和 4 ， C 2 和 －4 ， D －2 和－4 。
一元一次方程的应用专题六(航行问题)
问题3:汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙 地逆水开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度 18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙 地之间的距离？
分析：本题是行程问题，但涉及水流速度，必须要 掌握：顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速－水速
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月27日星期日2022/2/272022/2/272022/2/27 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/272022/2/272022/2/272/27/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/272022/2/27February 27, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/272022/2/272022/2/272022/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
答:甲、乙两地距离为120千米。
问题4 一艘船从甲码头到乙码头
顺流行驶，用了2小时；从乙码头 返回甲码头逆流行驶，用了2.5小 时。已知水流的速度是3千米/时， 求船在静水中的速度。
分析：题中的等量关系为
这艘船往返的路程相等，即：
顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间
学习小结
1、说说你在本节课中的收获和体会。 2、说说在航行问题中的基本关系有哪些？
航行问题常用的等量关系是：
一元一次方程知识点总结
一元一次方程知识点总结一、一元一次方程的概念1. 定义- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
- 一元一次方程的一般形式是ax + b=0(a≠0)，其中x是未知数，a是未知数的系数，b是常数项。
例如2x + 3 = 0就是一个一元一次方程，这里a = 2，b=3。
2. 方程的解- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如方程x+1 = 3，当x = 2时，方程左边=2 + 1=3，方程右边=3，所以x = 2就是方程x + 1=3的解。
二、一元一次方程的解法1. 移项- 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
例如在方程2x+3 = 5x - 1中，为了求解x，我们把5x移到左边变为-5x，把3移到右边变为-3，得到2x-5x=-1 - 3。
- 移项的依据是等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
2. 合并同类项- 在移项后，我们需要对同类项进行合并。
例如在2x-5x=-1 - 3中，2x-5x=-3x，-1-3 = -4，方程就变为-3x=-4。
3. 系数化为1- 方程两边同时除以未知数的系数，将未知数的系数化为1，从而得到方程的解。
在方程-3x=-4中，两边同时除以-3，得到x=(4)/(3)。
这一步的依据是等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立。
三、一元一次方程的应用1. 列方程解应用题的一般步骤- 审：审题，理解题意，找出题目中的已知量、未知量以及它们之间的关系。
- 设：设未知数，一般有直接设元和间接设元两种方法。
例如，若要求某个数，可直接设这个数为x；若通过某个数与其他数的关系来求解，可间接设与这个数有关的量为x。
- 列：根据题目中的等量关系列出方程。
- 解：解这个方程，求出未知数的值。
- 验：检验方程的解是否符合题意，包括是否满足方程本身以及实际问题中的条件。
一元一次方程章节复习
一元一次方程复习知识点专题一：等式的概念和等式的性质1.等式：表示的式子，叫做等式2.等式的性质：性质1.等式两边同时加（或减）（），结果仍相等。
数学语言：如果a=b, 那么。
性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个的数，结果仍相等数学语言：如果a=b,那么 ; 如果a=b(c≠0),那么。
专题二：方程的概念1.方程：含有的等式叫做方程2.方程的解：使方程左右两边的值相等的叫做方程的解，也叫做根。
只含有未知数，未知数的次数都是，等号两边都是，这样的方程叫做一元一次方程。
步骤：审，，列，解，检验结果是否符合。
一、填空题1．已知方程()121=--a x a 是关于x 的一元一次方程，则a ＝．2．三个连续偶数的和是66．若设中间一个偶数为x ，则另外两个偶数可表示为 ， ，根据题意可列出方程 .3．王亮参加了一场知识竞赛，共得了82分．这次竞赛一共50道题，答对一道记2分，答错一道或不答均扣1分．王亮答对了 道题．4．在有理数集合里定义一种新运算“*”，规定*a b a b =+，则4*(*3)1x =中x 的值为 .二、选择题5．下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A ．32x y -=B ．210x -=C ．23x = D ．32x= 6．根据等式的性质，下列变形正确的是（ ） A ．如果2x ＝3，那么23x a a= B ．如果x ＝y ，那么x ﹣5＝5﹣y C ．如果x ＝y ，那么﹣2x ＝﹣2yD ．如果12x ＝6，那么x ＝3 7．下列方程中，解是x=4的方程是（ ） A ．3x=-2-10B ．x+5=2x+1C ．3x-8=5xD ．3(x+2)=3x+28． 下列方程变形中，正确的是（ ）A ．方程1125x x --=，去分母得()51210x x --= C ．方程2332t =，系数化为1得1t = B ．方程()3251x x -=--，去括号得3251x x -=-- D ．方程3221x x -=+，移项得3212x x -=-+9．一项工程，甲独做3天完成，乙独做7天完成，两人共同合作，需x 天完成，可列方程（ ） A ．3x+7x=1 B ．37x x +=1 C ．(1137-)x=1 D ．x=(1137-)-1 三、计算题（1）10673x x +=+ （2）21341510x x +-+= 四、综合题11．随着5G 时代的来临，张老师换了新发布的5G 手机并且需要新办一种5G 套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每50元月租费，流量资费0.4/GB 元；第二种是没有月租费，但流量资费0.6/GB 元．设张老师每月使用流量xGB ．（1）张老师按第一种套餐每月需花费 元，按第二种套餐每月需花费 元；（用含x 的代数式表示）（2）若张老师这个月使用流量200GB ，通过计算说明哪种套餐比较合算： （3）张老师每月使用多少流量时，选择哪种套餐更合算?。
一元一次方程的应用专题六(航行问题)
在这个专题中，我们将探索一元一次方程在航行问题中的应用。从静水航行 到对航问题，了解如何建立和解决方程，以及具体的实际应用例子。
航行问题概述
什么是航行问题？
航行问题是指与船只或航空器的行驶相关的计算和应用。
航行问题的重要性
理解航行问题的解决方法可以帮助我们规划航程、估计时间和距离，以及优化航行速度。
实际应用例子
需要求解航行时间
假设我们知道船只的航速和行驶 距离，可以使用一元一次方程计 算航行时间。
需要求解航行距离
假设我们知道船只的航速和航行 时间，可以使用一元一次方程计 算航行距离。
需要求解航行速度
假设我们知道船只的航行距离和 航行时间，可以使用一元一次方 程计算航行速度。
总结
学习航行问题的一元一次方程应用可以帮助我们更好地理解船只或航空器的航行，规划航程，估计时间和距离， 并优化航行过程。
3 对航问题
指计算两个船只或航空器 在相对运动中的行驶距离 和相遇时间。
解决航行问题的一元一次方程
1
方未
方程的解法
2
知数和已知数，建立代表航行关系的一 元一次方程。
使用代数解方程的方法，如可逆运算和
消元法，求解航行方程，计算出未知数
的数值。
3
应用例子
通过具体应用例子，展示如何将一元一 次方程应用于航行问题的求解过程。
为什么要使用一元一次方程？
一元一次方程是解决航行问题的基础数学工具，可以帮助我们建立和解决关于航行的数学模 型。
常见的航行问题
1 静水航行问题
指在没有水流或风速影响 的情况下，计算船只或航 空器在静止的水面或空中 的行驶距离。
2 带水航行问题
专题06 一元一次方程(归纳与讲解)(解析版)
专题06 一元一次方程【专题目录】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【题型】一、一元一次方程概念【题型】二、一元一次方程的解法【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题【考纲要求】1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质．2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法．3、会列方程(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次方程【注意】一元一次方程的特征1.只含有一个未知数x2.未知数x的次数都是13.等式两边都是整式，分母中不含未知数。
2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为1. 【技巧归纳】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值1．已知方程(m －2)x |m|－1＋16＝0是关于x 的一元一次方程，求m 的值及方程的解． 2．已知方程(3a ＋2b)x 2＋ax ＋b ＝0是关于x 的一元一次方程，求方程的解．3．已知(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，求式子199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17的值．【类型】一、利用方程的解求字母系数的值 题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值4．关于x 的方程a(x －a)＋b(x ＋b)＝0有无穷多个解，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D .ab ＝05．关于x 的方程(2a ＋b)x －1＝0无解，则ab 是( )A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数6．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的整数k ＝__________． 7．已知x ＝12是方程6(2x ＋m)＝3m ＋2的解，求关于y 的方程my ＋2＝m(1－2y)的解．8．当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx －53＝12⎝⎛⎭⎫x －43的解是正整数？ 题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值9．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解与关于x 的方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20的解相同，确定字母a 的值．题型3：利用方程的错解确定字母系数的值10．小马虎解方程2x －13＝x ＋a2－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x ＝2，试求a 的值，并正确解方程． 参考答案1．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|m|－1＝1，m －2≠0，所以m ＝－2.将m ＝－2代入原方程，得－4x ＋16＝0，解得x ＝4.2.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a≠0，所以3a ＝－2b ，即a ＝－23b.当3a ＋2b ＝0时，原方程可化为ax ＋b ＝0，则x ＝－ba .将a ＝－23b 代入方程的解中，得x ＝－b a ＝32.3．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m ＋1≠0，所以m ＝1.当m ＝1时，原方程可化为－2x ＋8＝0，解得x ＝4.当m ＝1，x ＝4时，199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17＝199×5×2＋9×1＋17＝2 016. 4．A 5.B 6.8，－8，10或267．解：将x ＝12代入方程6(2x ＋m)＝3m ＋2，得6⎝⎛⎭⎫2×12＋m ＝3m ＋2，解得m ＝－43. 将m ＝－43代入方程my ＋2＝m(1－2y)，得－43y ＋2＝－43(1－2y)，解得y ＝56.点拨：已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值，只需把未知数的值(方程的解)代入原方程，即可得出含另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于其他字母的计算．8．解：原方程可化为12mx －53＝12x －23，所以12(m －1)x ＝1，所以(m －1)x ＝2.因为x 必须为正整数且m 为整数，故m －1＝1或2.当m －1＝1，即m ＝2时，x ＝2； 当m －1＝2，即m ＝3时，x ＝1.所以当m ＝2或3时，方程的解为正整数． 9．解：x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)．去括号、移项、合并同类项，得5x ＝50.系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20， 得2a×10－(3a ＋5)＝5×10＋12a ＋20， 去括号、移项，得20a －3a －12a ＝5＋50＋20. 合并同类项，得5a ＝75，系数化为1，得a ＝15. 10．解：由题意得4x －2＝3x ＋3a －1，移项、合并同类项，得x ＝3a ＋1. 因为x ＝2，所以2＝3a ＋1，则a ＝13.当a ＝13时，原方程为2x －13＝x ＋132－1，解得x ＝－3.技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程 题型1：巧化分母为11．解方程：4x －1.60.5－3x －5.40.2＝1.8－x0.1.2．解方程：2x ＋10.25－x －20.5＝－10.题型2：巧化同分母3．解方程：x 0.6－0.16－0.5x0.06＝1.题型3：巧约分去分母4．解方程：4－6x 0.01－6.5＝0.02－2x0.02－7.5.【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程 题型1：巧用拆分法5．解方程：x －12－2x －36＝6－x3.6．解方程：x 2＋x 6＋x 12＋x20＝1.题型2：巧用对消法7．解方程：x 3＋x －25＝337－6－3x15.题型3：巧通分8．解方程：x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.【类型】三、含括号的一元一次方程 题型1：利用倒数关系去括号9．解方程：32⎣⎡⎦⎤23⎝⎛⎭⎫x 4－1－2－x ＝2. 题型2：整体合并去括号10．解方程：x －13⎣⎡⎦⎤x －13（x －9）＝19(x －9)． 题型3：整体合并去分母11．解方程：13(x －5)＝3－23(x －5)．题型4：不去括号反而添括号12．解方程：12⎣⎡⎦⎤x －12（x －1）＝23(x －1)． 题型5：由外向内去括号13．解方程：13⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫13x －1－6＋2＝0. 题型6：由内向外去括号14．解方程：2⎣⎡⎦⎤43x －⎝⎛⎭⎫23x －12＝34x. 参考答案1．解：去分母，得2(4x －1.6)－5(3x －5.4)＝10(1.8－x)．去括号、移项、合并同类项，得3x ＝－5.8. 系数化为1，得x ＝－2915.点拨：本题将各分数分母化为整数1，从而巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便 . 2．解：去分母、去括号，得8x ＋4－2x ＋4＝－10.移项、合并同类项，得6x ＝－18. 系数化为1，得x ＝－3.点拨：由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1. 3．解：化为同分母，得0.1x 0.06－0.16－0.5x 0.06＝0.060.06.去分母，得0.1x －0.16＋0.5x ＝0.06. 解得x ＝1130.4．解：原方程可化为4－6x 0.01＋1＝0.01－x0.01.去分母，得4－6x ＋0.01＝0.01－x. 解得x ＝45.点拨：本题将第二个分数通过约分处理后，使两个分数的分母相同，便于去分母．5．解：拆项，得x 2－12－x 3＋12＝2－x3.移项、合并同类项，得x2＝2.系数化为1，得x ＝4.点拨：方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化． 6．解：拆项，得⎝⎛⎭⎫x －x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 3＋⎝⎛⎭⎫x 3－x 4＋⎝⎛⎭⎫x 4－x5＝1. 整理得x －x 5＝1.解得x ＝54.点拨：因为x 2＝x －x 2，x 6＝x 2－x 3，x 12＝x 3－x 4，x 20＝x 4－x5，所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便 .7．解：原方程可化为x 3＋x －25＝247＋x －25，即x 3＝247.所以x ＝727. 点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现－6－3x 15＝x －25，两边消去这一项可避免去分母运算．8．解：方程两边分别通分后相加，得5（x ＋3）－7（x ＋2）35＝2（x ＋1）－3（x ＋4）12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012.解得x ＝－36211.点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便． 9．解：去括号，得x4－1－3－x ＝2.移项、合并同类项，得－34x ＝6.系数化为1，得x ＝－8.点拨：观察方程特点，由于32与23互为倒数，因此让32乘以括号内的每一项，则可先去中括号，同时又去小括号，非常简便．10．解：原方程可化为x －13x ＋19(x －9)－19(x －9)＝0.合并同类项，得23x ＝0.系数化为1，得x ＝0.11．解：移项，得13(x －5)＋23(x －5)＝3.合并同类项，得x －5＝3.解得x ＝8.点拨：本题将x －5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便．12．解：原方程可化为12[(x －1)＋1－12(x －1)]＝23(x －1)．去中括号，得12(x －1)＋12－14(x －1)＝23(x －1)．移项、合并同类项，得－512(x －1)＝－12.解得x ＝115.13．解：去中括号，得112⎝⎛⎭⎫13x －1－2＋2＝0.[来源:学科网] 去小括号，得136x －112＝0.移项，得136x ＝112.系数化为1，得x ＝3.14．解：去小括号，得2[43x －23x ＋12]＝34x.去中括号，得43x ＋1＝34x.移项，合并同类项，得712x ＝－1.系数化为1，得x ＝－127.【题型讲解】【题型】一、一元一次方程概念例1、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ） A ．9 B ．8C ．5D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m=4的解为x=1， 可得：a -2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 故选：C ．【题型】二、一元一次方程的解法例2、解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（ ）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x +=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案． 【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ． 例3、解方程：221123x x x ---=-【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解． 【详解】解：221123x x x ---=-()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x 名工人生产螺钉，依题意列方程为（ ） A ．1200x ＝2000（22﹣x ） B ．1200x ＝2×2000（22﹣x ） C ．1200（22﹣x ）＝2000x D ．2×1200x ＝2000（22﹣x ）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母①可知螺母的个数是螺钉个数的2倍①从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000①22-x ），即2×1200x=2000①22-x①①故选D① 【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（ ）A ．180B ．170C ．160D ．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元， 由题意得：80%x ﹣120=20%×120， 解得：x =180．即该超市该品牌粽子的标价为180元． 故选：A ．【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（ ） A ．17道 B ．18道C ．19道D ．20道【答案】C【分析】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，根据题意列出方程进行求解. 【详解】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，依题意得4x -(25-x)=70，解得x=19 故选C.一元一次方程（达标训练）一、单选题1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①253-+=；①235=3x x x -+；①211x +=；①21=x；①23x +；①4x =．其中是一元一次方程的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可 【详解】解：①不含未知数，故错 ①未知数的最高次数为2，故错①含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对 ①左边不是整式，故错 ①不是等式，故错①含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键2．（2022·浙江温州·三模）解方程2233522x x x x x --+=--，以下去分母正确的是（ ）A ．22335x x x ---=B ．22335x x x --+=C ．()223352x x x x ---=-D ．()223352x x x x --+=-【答案】D【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘()2x - 即可．【详解】A ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． B ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． C ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． D ，()223352,x x x x +--=-故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，熟练掌握等式的性质是解此题的关键．3．（2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x 的方程25x a +=的解是2x =，则a 的值为（ ） A ．9- B ．9 C ．1- D ．1【答案】D【分析】把2x =代入方程计算即可求出a 的值． 【详解】解：把2x =代入方程得：45a +=， 解得1a =． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．（2022·河北石家庄·二模）1x =是下列哪个方程的解（ ） A ．65x =- B ．2233+=+x xC ．21133x x x x -=-- D ．2x x =【答案】D【分析】把x ＝1代入各选项进行验算即可得解． 【详解】解：A 、5−1＝4≠6，故本选项错误； B 、2124⨯+=，3136⨯+=，4≠6，故本选项错误； C 、当x =1时，x -1=0即分式的分母为0，故本选项错误；D 、211=，故本选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解． 5．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解． 【详解】解：设幻方正中间的数字为a ， 依题意得：124a m a ++=++， 解得：5m =． 故选A ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川达州·二模）方程2x -3=5的解为________. 【答案】x =4【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得． 【详解】解：2x -3=5， 移项得2x =8， 系数化为1得：x =4， 故答案为：x =4．【点睛】题目主要考查解一元一次方程，熟练掌握方法是解题关键．7．（2022·四川广元·二模）已知：A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且2(4)|12|0a b ++-=．若点C 点在数轴上且满足3AC BC =，则C 点对应的数为________． 【答案】8或20##20或8【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论，即可求解．【详解】解：①2(4)|12|0a b ++-= ①a ＋4＝0，b −12＝0 解得：a ＝−4，b ＝12①A 表示的数是−4，B 表示的数是12 设数轴上点C 表示的数为c ①AC ＝3BC ①|c ＋4|＝3|c −12| 当点C 在线段AB 上时 则c ＋4＝3（12−c ） 解得：c ＝8当点C 在AB 的延长线上时 则c ＋4＝3（c −12） 解得：c ＝20综上可知：C 对应的数为8或20．【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键．三、解答题8．（2022·四川广元·一模）解方程：2(1)13x x x --=-． 【答案】12x =-【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案. 【详解】解：去括号，得2213x x x -+=-. 移项及合并同类项，得21x =-. 系数化为1，得12x =-.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键. 9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A ，B 两种不同款型，其中A 型口罩单价100元，B 型口罩单价80元．(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A ，B 两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A 型口罩和B 型口罩各多少盒？(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（328m-）盒．求该街道社区人口总数．【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒(2)该街道社区人口总数为50000人【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意可得3286040m m-=，从而得到m=12，即可求解．(1)解：设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，依题意得：100100809200x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：6040xy=⎧⎨=⎩．答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．(2)解：依题意得：328 6040m m-=，解得：m=12，①m+3m−28=20．①该街道社区人口总数=200020×500=50000（人）．答：该街道社区人口总数为50000人．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．一元一次方程（提升测评）一、单选题1．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x ，则可列方程（ ） A ．54573x x +=+ B ．54573x x -=-C ．45357x x +=+D ．45357x x-=+【答案】A【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．【详解】解：设合伙人数为x ，则可列方程为 54573x x +=+；故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 2．（2022·浙江温州·二模）若代数式()()2132x x +++的值为8，则代数式()()2231x x -+-的值为（ ） A ．0 B ．11 C ．7- D ．15-【答案】C【分析】由()()2132x x +++的值为8，求得x =0，再将x =0代入计算可得． 【详解】解：①()()2132x x +++的值为8， ①2x +2+3x +6=8， ①x =0，当x =0时，()()2231x x -+-=2×(-2)+3×(-1)=-7． 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知m n =，下列等式不成立的是（ ） A ．2m n m += B ．0-=m n C ．22m x n x -=- D ．235m n n -=【答案】D【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断． 【详解】由m n =，得2m n m m m +=+=，故A 成立； 0m n m m -=-=，故B 成立；根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，22m x n x -=-，故C 成立；2323m n n n n -=-=-，故D 不成立；故选D ．【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．4．（2022·河北保定·一模）已知分式：341()()32a a a a -+---■的某一项被污染，但化简的结果等于2a +，被污染的项应为（ ） A ．0 B ．1 C ．23a a -- D ．32a a -- 【答案】B【分析】设被污染的部分为p ，然后根据等式的性质解关于p 的方程，求出p 的表达式即可． 【详解】解：设被污染的部分为p ， 则341()()232a a p a a a -+-=+--， ①241()232a p a a a --=+--， ①()()()132222a p a a a a --=+⨯--+， ①3122a p a a -=+--， ①22a p a -=-， ①1p =． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则． 5．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（ ） ①关于x 、y 的方程24107x y +=存在整数解．①若两个不等实数a 、b 满足()()244222a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．①若2()4()()0a c a b b c ---=-，则2b a c =+． ①若222x yz y xz z xy ---==，则x y z ==． A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【答案】B【分析】将24x y +提公因式2得2(2)x y +，由x 、y 为整数，则2(3)x y +为偶数，因为107为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将442222()()a b a b +=+，整理得222()0a b -=，即得出22a b =，由于实数a 、b 不相等，即得出a 、b 互为相反数，故可判断①；2()4()()0a c a b b c ---=-整理得2(2)0a c b +-=，即得20a c b +-=，即2a c b +=，故可判断①；由222x yz y xz z xy ---==，得出2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩，即可变形为222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，可以得出x y z ==或0x y z ++=，故可判断①． 【详解】解：①262(3)x y x y +=+， ①如果x 、y 为整数，那么2(3)x y +为偶数， ①107为奇数，①24107x y +=不存在整数解，故①错误； 442222()()a b a b +=+444422222a b a b a b +++=442220a b a b +-=222()0a b -=①22a b =，①实数a 、b 不相等，①a 、b 互为相反数，故①正确； 2()4()()0a c a b b c ---=-222244440a ac c ab ac b bc -+-++-=()()22440a c b a c b +-++=2(2)0a c b +-=①20a c b +-=，即2a c b +=，故①正确； ①222x yz y xz z xy ---==①2222x xz y yzy xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩， ①2222222211441144x xz z y yz z y xy x z xz x ⎧++=++⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩，即222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，①11()2211()22x z y z y x z x ⎧+=±+⎪⎪⎨⎪+=±+⎪⎩，①x y z ==或0x y z ++=，故①不一定正确． 综上可知正确的有①①．故选B．【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键．二、填空题6．（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm 的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm，拼成的大正方形的面积是______cm2．【答案】 4.581【分析】设小正方形的边长为x cm，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．【详解】解：设小正方形的边长为x cm，则大正方形的边长为(6+7.5-x）cm或（x+3+1.5）cm，根据题意得：6+7.5-x=x+3+1.5，解得：x=4.5，则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-4.5=9(cm）,大正方形的面积为92=81(cm2),故答案为：4.5；81．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．7．（2022·上海静安·1=的解是________．【答案】x=1【分析】首先方程两边同时平方，把无理方程化为有理方程，再解方程即可求得【详解】解：方程两边同时平方，得3x-2=1，解得x=1，经检验，x=1是原方程的解，所以，原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意要检验．三、解答题8．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ，已知b是最小的正整数，且a 、c 满足2(6)20c a -++＝．(1)①直接写出数a 、c 的值 ， ； ①求代数式222a c ac +-的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，求与点B 重合的点表示的数； (3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则D 表示的数是 ． 【答案】(1)①-2，6；①64 (2)3 (3)4或0【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性即可求出a 和c ，①把a 和c 的值代入222a c ac +-求值即可；（2）根据题意，求出b 的值，然后求出线段AC 的中点，即可求出结论；（3）设点D 表示的数为x ，然后根据点D 的位置分类讨论，分别根据2AD BD =列出方程即可分别求出结论． （1） 解：①①()2620c a -++=， ①20a +=，60c -=， 解得2a =-，6c =． 故答案为：-2，6．①把2a =-，6c =代入222a c ac +-，2224362464a c ac +-=++=；（2）解：①b 是最小的正整数，①1b =，①线段AC 的中点为()2622-+÷=，设与点B 重合的点表示的数为n ，则(1+n )÷2=2， 解得：n =3．①与点B 重合的点表示的数是3． 故答案为：3． （3）解：因为a =-2，b =1，c =6，设点D 表示的数为x ，若2AD BD =，分三种情况讨论： ①若点D 在点A 的左侧，则x <-2且()221x x --=-， 解得4x =(不符合题意，舍去)；①若点D 在点A 、B 之间，则-2<x <1且()()221x x --=-， 解得0x =；①若点D 在点B 右侧，则x >1且x -(-2)=2(x -1)， 解得：x =4．综上所述，点D 表示的数是0或4． 故答案为：0或4．【点睛】此题考查了非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系．。
一元一次方程知识点总结归纳45444
一元一次方程知识点总结归纳45444于包含关系，方程是等式的一种特殊形式。
方程中含有未知数，需要通过解方程来求得未知数的值，使得方程成立。
解方程的过程就是求出未知数的值，使得方程两边相等。
解方程的方法有很多种，包括平移法、消元法、代入法等。
在解方程的过程中，需要注意等式的性质，如等式两边同时加减同一个数、同时乘除同一个数等。
同时也需要注意方程的根的范围，有时候方程可能没有实数根，只有复数根。
总之，掌握好方程的基本概念和解方程的方法，是数学研究中的重要基础，也是实际问题中解决未知数的值的关键。
等式不一定含有未知数，但是一定有不可逆性的关系。
一元一次方程的解是使方程中等号左右两边相等的未知数，这个未知数所代表的具体数值就是方程的解。
解方程是求解方程的解的过程，可以通过变形来实现。
要检验一个数是否是方程的解，只需要将这个数代入方程中，如果等式两边的值相等，那么这个数就是方程的解。
一个方程可能有无解、一个解或多个解。
等式的基本性质是解方程的依据，解方程是得到方程解的过程。
在应用题中，寻找等量关系是解题的关键，可以通过关键词、不同角度的表示、基本公式和不变量等方法来确定等量关系。
解一元一次方程可以通过将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程来实现。
一元一次方程是只含有一个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式的方程。
其标准形式为ax+b=0（a、b为已知数，a≠0）。
要夯实基础，需要掌握一元一次方程的定义、标准形式和解法等基本知识。
二．移项移项是解一元一次方程的基本方法之一，其定义为把等式一边的某项变号后移到另一边。
例如，解方程3x-2=2x+5时，我们可以在方程的两边先加2，再减去2x，得到3x-2+2-2x=2x+5+2-2x，即变形为x=7.在移项的过程中，我们需要注意以下几点：①移项的原理就是等式的性质1.②移项所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是方程的一边交换两个项的位置。
一元一次方程总复习
一元一次方程总复习一、【相关概念】1、方程：含的等式叫做方程.2、方程的解：使方程的，就是方程的解。
3、解方程：求的过程叫做解方程。
4、一元一次方程只含有未知数（元），未知数的次数是的方程叫做一元一次方程。
[1]由方程的定义可知，方程必须满足两个条件：一要是，二要含有。
[2]方程的解的个数随方程的不同而有多有少〖见基础练习2〗，但一个一元一次方程有且只有一个解。
[3]一元一次方程的一般形式：ax+b=0（a、b为常数，且a≠0，即末知数的系数）一元一次方程，一定是方程（也就是说：等号两边的式子都是整式）。
所以只要分母中含有未知数的方程一定不是整式方程（也就不可能是一元一次方程了）。
二、【方程变形——解方程的重要依据】1、▲等式的基本性质·等式的性质1：等式的两边同时加（或减）·等式的性质2：等式的两边同时乘，或除以数，结果仍相等。
2、△分数的基本的性质[4]分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如下面的方程：－=1.6将上方程化为下面的形式后，更可用习惯的方法解了。
注意：方程的右边没有变化，这要和“去分母”区别。
四、【一元一次方程的应用】[基础练习]1．选项中是方程的是（）A.3+2=5 B. a-1>2 C. a2＋b2－5 D. a2+2a-3=52、下列各数是方程a2+a+3=5的解的是（） A.2 B. -2 C.1 D.1和-23、下列方程是一元一次方程的是（）A.+1=5 B.3(m-1)-1=2 C.x-y=6 D.都不是4、若x=4是方程=4的解，则a等于（） A. 0 B. C.-3 D.-25．已知关于x的一元一次方程a x－b x=m有解，则有（）A. a≠b B.a>b C.a<b D.以上都对6、解下列方程(1) (2) (3)(4) (5) （6）4m＋3－3m=0（7）y－=3－（8）4q－3(20－q）=6q－7(9－q） (9)7、(1)若（2）若是同类项，则m= ，n= 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题五：一元一次方程总复习
（一元一次方程题型总结复习）
一、解方程：（5步骤）1、去分母
2、去括号
3、移项
4、合并同类项
5、系数化为1
1．x x -=+212 2．)12(43)]1(31[21+=--
x x x
3．
142312-+=-y y 4．17
.03.027.1-=-x x
5. －(x －5)＋
6. ()()210.413430.2
4
x x -+-=-
二、各类题型中的一元一次方程：
1.如果x3m＋9＋1=0是一元一次方程，则m=_________．
2.40a x＋1b14与9a2x－1b14是同类项，则x=_________．
3.关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的根，那么m＝_________
4.若m－n＝1，那么4－2m＋2n的值为___________
5.若x＝2是方程k（2x－1）＝kx＋7的解，那么k的值是
6.小李在解方程5a－x=13(x为未知数）时，误将－x看作＋x，得方程的解为x=－2，则原方程的解为
7.关于x的方程与方程4(3x－7)=19－35x有相同的解，求m的值．
三、列方程：（3步骤）1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（一）商品利润与利润率：
1.某商店对某种商品进行调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元，商品的原价是多少元?
7、一家商店将某种商品按成本价提高40%后标价，元旦期间，欲打八折销售，以答谢新老顾客对本商厦的光顾，售价为224元，这件商品的成本价是多少元？
2、某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出．商场是获利还是亏本？获利率或是亏本率为多少？
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（二）增长率问题：
3.某印刷厂第三季度印刷了科技书籍50万册，而第四季度印刷了58万册，求季度的增长率是多少？
5.某村去年种植的油菜籽亩产量达150千克，含油率为40﹪。
今年改种新选育的油菜籽后亩产量提高了30千克，含油率提高了10百分点。
今年与去年相比，油菜的种植面积减少了40亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高了20﹪。
求今年油菜的种植面积。
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（三）比赛积分问题：
3、在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，⑴如果二班代表队最后得分142分，那么二班代表队回答对了多少道题？⑵一班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（四）行程问题
一队学生去校外进行军事野营训练．他们以5千米/时的速度行进，走了18分的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去．通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
1、敌军在离我军8千米的驻地逃跑，时间是早晨4点，我军于5点出发以每小时10千米的速度追击，结果在7点追上．求敌军逃跑时的速度是多少？
8、甲乙两人从学校到1000米远的展览馆去参观，甲走了5分钟后乙才出发，甲的速度是80米/分，乙的速度是180米/分，问乙多长时间能追上甲？追上甲时离展览馆还有多远？
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。
行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
追击问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
环形跑道上的相遇和追击问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
（五）工程问题：
2、期中考查，信息技术课老师限时40分钟要求每位七年级学生打完一篇文章. 已知独立打完同样大小文章，小宝需要50分钟，小贝只需要30分钟. 为了完成任务，小宝打了30分钟后，请求小贝帮助合作，他能在要求的时间打完吗？
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
其基本数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
（六）行船问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
相对运动的合速度关系是：顺水速度＝静水中速度＋水流速度；逆水速度＝静水中速度－水流速度。
（七）年龄问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（八）调配问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（九）分配问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（十）配套问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。
（十一）银行储蓄问题：
3、某开发商按照分期付款的形式售房，小明家购买了一套现价为12万元的新房，购房时需首付（第一年）款3万元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和。
已知剩余款的年利率为0.4%，问第几年小明家需交房款5200元？
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
其数量关系是：利息＝本金×利率×存期；本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。
（十二）数字问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。
列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。
（十三）方案设计与成本分析：
5．张老师带领该校七年级“三好学生”去开展夏令营活动，甲旅行社说：“如果老师买全票一张，则学生可享受半价优惠。
”乙旅行社说：“包括老师在内按全票价的6折优惠。
”若全票价为240元，当学生从数为多少人时，两家旅行社的收费一样多？
4、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元，若制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；若制成奶片销售，每吨可获利润2000元.方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成；你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
3. 小明在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包的单价之和为452元，且随身听的单价是书包的单价的4倍少8元。
（1）求小明看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）若超市A所有商品八折销售，超市B全场购物每满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），小明只带了400元钱，如果他只在一个超市购买这两样物品，你能说明他能在哪一家超市购买吗？若两家都可以选择，在哪一家超市购买更省钱？
6．某校组织初一师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位．
（1）求参加春游的人数；
（2）已知租用45座的客车日租金为每辆车250元, 60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（十四）浓度问题： 1、设量 2、表达量 3、用量列等式 其基本数量关系是：溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数。
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系。
（十五）比例问题： 1、设量 2、表达量 3、用量列等式 2．某校一学生不幸得了白血病，全校学生踊跃捐款献爱心，经统计初一共有学生420人，平均每人捐了5元，初二共有学生400人，平均每人捐了6元，初三学生平均每人捐了8元，占全校学生捐款总额的94，则初三学生有多少人？ 6、学校准备拿出2000元资金给22名“希望杯”竞赛获奖学生买奖品，一等奖每人200元奖品，二等奖每人50元奖品，求得到一等奖和二等奖的学生分别是多少人？。