高等数学(上册)第四章

1
(
1

1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴ 原式 =
1 2a


dx xa


dx xa


1 2a


d(x a) xa
d(xxaa)
1
2a
ln
xa
ln
xa
C
1 ln x a C 2a xa

1dx x

ln
x
C
x
x
第一节 不定积分的概念及性质
•不定积分的性质
1) f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
2) kf (x)dx k f (x)dx
例求
解 原式 = [(2e)x 5 2x )dx (2e)x dx 5 2x dx
第二节 换元积分法
例求 解

sin xdx cos x


dcos x cos x
类似

cos x dx sin x
1 sin 2 x cos2 x
1 cos 2x 2 cos2 x
csc2 x 1 cot 2 x
sin 2x 2sin x cos x
1 cos 2x 2sin 2 x
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2sin cos
F (x)称为 f (x)的原函数.
原函数的性质:1) F (x)是偶函数 f (x) 是奇函数
[F(x)] F(x) f (x), 而[F(x)] F(x) f (x)
2) F (x) 是奇函数 f (x) 是偶函数
[F(x)] F(x) f (x), 而[F(x)] F(x) f (x)
sec2xdx tan x C
cos xdx sin x C
csc2xdx cot x C
sec x tan xdx sec x C
xdx 1 x1 C
1
csc x cot xdx csc x C
1
axdx ax C ln a
例求
例求
解

1 a2
dx 解
1

(
x a
)
2
令u x ,则du 1 d x
a
a

1 a
1 duu
2
1 arctan u C a
dx
a
1

(
x a
)
2

d
(
x a
)
1

(
x a
)
2
第二节 换元积分法
例求
解

1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
x cos2 x 2 x cos2 x dx

1 cos2
dx x

dx sin2 x
tan x cot x C
例
求
x4 1 x2 dx.
解 原式 x4 11dx 1 x2

(x2 1)dx
1 1 x2dx

1 3
x3

x

arctan
x

C
第二节 换元积分法
3) F (x)是周期函数 f (x)是周期函数 F(x T ) F(x) f (x T) f (x)
第一节 不定积分的概念及性质
4) 设 F(x) f (x) , (x) f (x) 则 [F (x) (x)] f (x) f (x) 0 故 F (x) (x) C 即 F (x) (x) C
2
2
cos cos 2 cos cos
2
2
cos cos 2sin sin
2
2
第二节 换元积分法
求不定积分的方法 1.观察法（即凑微分法）：
f [(x)](x)dx f [(x)]d(x)
2.换元法
第四章 不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f (x)
互逆运算
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念及性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 有理函数的积分 积分表的使用
第一节 不定积分的概念及性质
•不定积分的概念
原函数： F'(x) f (x) x I

dx arcsin x C arccos x C 1 x2
exdx ex C
1

dx arctan x C arc cot x C 1 x2
第一节 不定积分的概念及性质
例
1 dx
1
1
x 2dx 2x2 C 2
x C
•不定积分: 设F(x) f (x) 则称F(x) C 为 f (x) 的不定积分:
记为 f (x)dx F(x) C
"" 是积分号 " x" 是积分变量
" f (x)dx" 是被积表达式
第一节 不定积分的概念及性质
•பைடு நூலகம்用基本积分公式:
sin xdx cos x C
x
7 x 3dx


3
4
x3
C
4
1 x2
dx


1 x

C
adx ax C
0dx C
x 0时，（ln x)

1
注:
f x dx f x C

f
(x)dx

F(x) C

f
(x)
x
x 0时，ln（ x) 1 1 1
1). 将有 a2 x2 , x2 a2 三角代换 : x a sin t, a tan t, a sec t 2). 分母中有x的幂, 令x 1
t
3). 有根式设根式 u,有ex设ex u
第二节 换元积分法
例
求
sin 2
dx x cos2
. x
解
原式
sin2 sin
(2e)x 5 2x ln(2e) ln 2
C

2x

ln
ex 2 1

5 ln 2


C
第二节 换元积分法
求不定积分
凑微分 恒等变形
dsin x cos xdx d cos x sin xdx d ln x 1 dx dx2 2xdx
x
sec2 x 1 tan 2 x