分数指数幂的概念及其运算
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3 2 2 3
a, a
3 4
4
a ,a
5
3
3 5
(2)、 a a ，b b ，c c
3 2 2 3
1 2 4
2 1 1 3 5 ,a 3 a a
5 4
(m n) m n (m n), (m n) m n (m n),
9 . 8
2 3
3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中 a 0 ）
a a
3
7 2 , a 2 3
a
2
a
a
,
a
.
挖掘与思考：
1.有理数指数幂的运算性质在什么条件下运用？
2.有理指数幂与整数指数幂之间有何关系？还可以拓展吗？（链接 1）
我太喜欢了！ 我要像爱棒棒糖那样爱数学！
；( )
1 2
2
4
．
3.思考：我们已经知道
1 1 1 1 1 ， ( ) 2 ， ( )3 ，„是正整数指数幂，它们的值分别为 ， ， 2 2 2 2 4
2 1 6000 3 1 1 1 1 1 5 10 8 „， 那么 ( ) 2 ， ( ) 5730 ， ( ) 5730 的意义是什么呢？如何运算 a a 和a 3 a 2 呢？ 8 2 2 2
你
好 吗！
１.能举例说出分数指数幂的意义；
２.能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；
３.能类比整数指数幂的运算性质写出有理指数幂的运算性质 并能用其进行具体计算．
重点：
分数指数幂与根式的互化及幂的运算．
难点提示：
分数指数幂的理解、有理数指数幂性质的灵活应用.
1.请同学们课前将学案与教材 P50 54 结合进行自 主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、 观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读 与思考、小结等都要仔细阅读） 、小组讨论， 积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课 堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“九字学习法”即： “读” 、 “挖” 、 “举” 、 “联” 、 “用” 、 “悟” 、 “总” 、 “研” 、 “会” ，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于 讲解与表达.
这正是我们本节课要学习的知识．
1.分数指数幂的概念
●观察思考
5
a
10
5
a
2 5
a a
2
10 5
a 0 ；
4
a
12
4
a
3 4
a a
3
12 4
a 0
观察以上两个式子思考：被开方数的指数与根指数和幂指数之间有何关系？ ●归纳归纳概括 类比上面得出的规律，把正数的分数指数幂写成根式的形式为：
4 2
p q p q ( p 0)
6 5 3
5 2
●体验反思 上面的根式或分数指数幂有什么共同的点？为什么没有负数的分数指数幂呢？ 能把你的想法告诉大家吗? 上面的题有易错点吗？
算一算 A组 B组
2 2 =32 4 4 = 32 (3 ) = 216 (2 ) = 2
2 3 2 2 3
3 2 3 1 2
,a
4
3 4
,a
5
3 5
,a
2 3
.
， b
， c
a 0, b 0, c 0
( p 0)
( m n) 2
(m n), (m n) 4
1 2
(m n), p 6 q 5
3 2
解：（ 1 ）、 (a 0) : a
2 3
B. a 2
1 2
D
3
）
2 0 3
a 3 ； C. a 1 0 ； D. a 2 a 6 .
5 3 4
2.求值： 8
4
a
, 25
1 1 16 , 32 , 5 2 81
8 a3 3 ,
a 的 n 次方根用符号
次方根用符号
n
n
a
表示．
当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个， 这两个数互为相反数．这时，正数 a 的正的 n
a 表示，负的 n 次方根用符号 n a 表示．正的 n 次方根与负的 n 次方
a
． 偶次方根， ( n a )
n
根可以合并写成 0 的任何次方根是
一、学习准备
1.上节课我们学习了 n 次根式的概念及相关性质，请填空： 如果 x a ， 那么 x 叫做 a 的 n次方根， 其中 n 1 ， 且nN ， 式子 n a 叫做
n
根式 ，
这里 n 叫做根指数 ， a 叫做 被开放数． 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个 正数 ，负数的 n 次方根是一个 负数．这时，
0 ；负数 无
a
,
n
an
在初中学习的整数指数幂的运算性质是 ab n a nb m、
an . m nm 、 a n a m a n a am
a, n为奇数 ， a , n为偶数
2.预备练习
3 2 3 32 计算 2 2 ； 2 64； 2 3 216 2 3
● 归纳概括
,
根据以上观察，一般地，对于有理数指数幂有如下的运算性质
a 0, b 0, r , s Q （1） a r a s a
（3） ab
r
rs
； （2） a r
s
a rs
；
a r br ．
快乐体验
1.下列运算中，正确的是（ A. a 2 a 3 a 6 ;
m n m n
a
n
a ( a 0, m, n N * 且 n 1 )； a
m
Fra Baidu bibliotek
m
1 a
n
( a 0, m, n N * 且 n 1 )；
0 的正分数指数幂等于
0
，0 的负分数指数幂
不存在 ．
快乐体验 （1）用根式的形式表示下列各式 (a 0) : a （2） 用分数指数幂表示下列各式： a
1 2
1 3 3
9 4 =6 (9 4) = 6
1 2
1 2
1 2
52 32 = 225 (5 3)2 225 =
2 = 32
5
4 = 32
5 2
3 =216 2
6
1 3 3
=2
观察思考 请观察上面两组运算的结果并思考（1）上述计算结果有哪些相等关系？ （2）这些相等关系是必然还是偶然？你再举一些例子试试，若是必然关系请 将你的成果与大家分享！
例 1（教材 p52 例 4 和例 5，请同学们先做，再看教材）计算下列各式：
a, a
3 4
4
a ,a
5
3
3 5
(2)、 a a ，b b ，c c
3 2 2 3
1 2 4
2 1 1 3 5 ,a 3 a a
5 4
(m n) m n (m n), (m n) m n (m n),
9 . 8
2 3
3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中 a 0 ）
a a
3
7 2 , a 2 3
a
2
a
a
,
a
.
挖掘与思考：
1.有理数指数幂的运算性质在什么条件下运用？
2.有理指数幂与整数指数幂之间有何关系？还可以拓展吗？（链接 1）
我太喜欢了！ 我要像爱棒棒糖那样爱数学！
；( )
1 2
2
4
．
3.思考：我们已经知道
1 1 1 1 1 ， ( ) 2 ， ( )3 ，„是正整数指数幂，它们的值分别为 ， ， 2 2 2 2 4
2 1 6000 3 1 1 1 1 1 5 10 8 „， 那么 ( ) 2 ， ( ) 5730 ， ( ) 5730 的意义是什么呢？如何运算 a a 和a 3 a 2 呢？ 8 2 2 2
你
好 吗！
１.能举例说出分数指数幂的意义；
２.能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；
３.能类比整数指数幂的运算性质写出有理指数幂的运算性质 并能用其进行具体计算．
重点：
分数指数幂与根式的互化及幂的运算．
难点提示：
分数指数幂的理解、有理数指数幂性质的灵活应用.
1.请同学们课前将学案与教材 P50 54 结合进行自 主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、 观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读 与思考、小结等都要仔细阅读） 、小组讨论， 积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课 堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“九字学习法”即： “读” 、 “挖” 、 “举” 、 “联” 、 “用” 、 “悟” 、 “总” 、 “研” 、 “会” ，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于 讲解与表达.
这正是我们本节课要学习的知识．
1.分数指数幂的概念
●观察思考
5
a
10
5
a
2 5
a a
2
10 5
a 0 ；
4
a
12
4
a
3 4
a a
3
12 4
a 0
观察以上两个式子思考：被开方数的指数与根指数和幂指数之间有何关系？ ●归纳归纳概括 类比上面得出的规律，把正数的分数指数幂写成根式的形式为：
4 2
p q p q ( p 0)
6 5 3
5 2
●体验反思 上面的根式或分数指数幂有什么共同的点？为什么没有负数的分数指数幂呢？ 能把你的想法告诉大家吗? 上面的题有易错点吗？
算一算 A组 B组
2 2 =32 4 4 = 32 (3 ) = 216 (2 ) = 2
2 3 2 2 3
3 2 3 1 2
,a
4
3 4
,a
5
3 5
,a
2 3
.
， b
， c
a 0, b 0, c 0
( p 0)
( m n) 2
(m n), (m n) 4
1 2
(m n), p 6 q 5
3 2
解：（ 1 ）、 (a 0) : a
2 3
B. a 2
1 2
D
3
）
2 0 3
a 3 ； C. a 1 0 ； D. a 2 a 6 .
5 3 4
2.求值： 8
4
a
, 25
1 1 16 , 32 , 5 2 81
8 a3 3 ,
a 的 n 次方根用符号
次方根用符号
n
n
a
表示．
当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个， 这两个数互为相反数．这时，正数 a 的正的 n
a 表示，负的 n 次方根用符号 n a 表示．正的 n 次方根与负的 n 次方
a
． 偶次方根， ( n a )
n
根可以合并写成 0 的任何次方根是
一、学习准备
1.上节课我们学习了 n 次根式的概念及相关性质，请填空： 如果 x a ， 那么 x 叫做 a 的 n次方根， 其中 n 1 ， 且nN ， 式子 n a 叫做
n
根式 ，
这里 n 叫做根指数 ， a 叫做 被开放数． 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个 正数 ，负数的 n 次方根是一个 负数．这时，
0 ；负数 无
a
,
n
an
在初中学习的整数指数幂的运算性质是 ab n a nb m、
an . m nm 、 a n a m a n a am
a, n为奇数 ， a , n为偶数
2.预备练习
3 2 3 32 计算 2 2 ； 2 64； 2 3 216 2 3
● 归纳概括
,
根据以上观察，一般地，对于有理数指数幂有如下的运算性质
a 0, b 0, r , s Q （1） a r a s a
（3） ab
r
rs
； （2） a r
s
a rs
；
a r br ．
快乐体验
1.下列运算中，正确的是（ A. a 2 a 3 a 6 ;
m n m n
a
n
a ( a 0, m, n N * 且 n 1 )； a
m
Fra Baidu bibliotek
m
1 a
n
( a 0, m, n N * 且 n 1 )；
0 的正分数指数幂等于
0
，0 的负分数指数幂
不存在 ．
快乐体验 （1）用根式的形式表示下列各式 (a 0) : a （2） 用分数指数幂表示下列各式： a
1 2
1 3 3
9 4 =6 (9 4) = 6
1 2
1 2
1 2
52 32 = 225 (5 3)2 225 =
2 = 32
5
4 = 32
5 2
3 =216 2
6
1 3 3
=2
观察思考 请观察上面两组运算的结果并思考（1）上述计算结果有哪些相等关系？ （2）这些相等关系是必然还是偶然？你再举一些例子试试，若是必然关系请 将你的成果与大家分享！
例 1（教材 p52 例 4 和例 5，请同学们先做，再看教材）计算下列各式：