分数指数幂的概念及其运算
2.1.2 分数指数幂学案
2.1.2 分数指数幂的概念及其运算律【学习目标】１.能举例说出分数指数幂的意义；２.能熟练地进行分数指数幂与根式的互化； ３.能类比整数指数幂的运算性质写出有理指数幂的运算性质并能用其进行具体计算．【学习重点】分数指数幂与根式的互化及幂的运算．【难点提示】分数指数幂的理解、有理数指数幂性质的灵活应用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材5054P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备1.上节课我们学习了n 次根式的概念及相关性质，请填空：如果nx a =，那么x 叫做a 的 ，其中1n >，且n N ∈，叫做 ，这里n 叫做 ，a 叫做 ．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个 ．这时，a 的n 次方根用符号 表示．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为 ．这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 ．0的任何次方根是 ；负数 偶次方根，n = ,= ，在初中学习的整数指数幂的运算性质是 、 、 .2.预备练习 计算2322⨯= ；()322= ；()323⨯= ；21()2-= ．3.思考：我们已经知道12，21()2，31()2，…是正整数指数幂，它们的值分别为12，14，18…，那么121()2，157301()2，600057301()22332a a ⋅呢？ 这正是我们本节课要学习的知识．二、探究新知 1.分数指数幂的概念●观察思考()10250a aa ==>()12340a aa ===>观察以上两个式子思考：被开方数的指数与根指数和幂指数之间有何关系？ ●归纳归纳概括类比上面得出的规律，把正数的分数指数幂写成根式的形式为：m na = (*0,,a m n N >∈且1n >)；m na-= (*0,,a m n N >∈且1n >)；0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． 快乐体验（1）用根式的形式表示下列各式32135324(0):,,,.a a a aa-->====（2）= ， = ()0,0,0a b c >>>(((0)m n m n p =>=>=>●体验反思 上面的根式或分数指数幂有什么共同的点？为什么没有负数的分数指数幂呢？能把你的想法告诉大家吗? 上面的题有易错点吗？2.分数指数幂的运算性质算一算 A 组 2322⨯ 12244⨯ 23(3) 133(2) 112294⨯ 2253⨯B 组 52 524 63 1332⨯ 12(94)⨯ 2(53)⨯观察思考请观察上面两组运算的结果并思考（1）上述计算结果有哪些相等关系？ （2）这些相等关系是必然还是偶然？你再举一些例子试试，若是必然关系请将你的成果与大家分享！●归纳概括 根据以上观察，一般地，对于有理数指数幂有如下的运算性质()0,0,,a b r s Q >>∈（1）r s a a = ；（2）()sra = ；（3）()rab = ．快乐体验 1.下列运算中，正确的是（ ） A.236;a a a ⋅= B.()()3223a a -=-； C.()010a -=； D.()326a a -=-.2.求值：35214321168,25,,.281---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0a >）32,,.a a === 挖掘与思考：1.有理数指数幂的运算性质在什么条件下运用？ 2.有理指数幂与整数指数幂之间有何关系？还可以拓展吗？（链接1） 三、典例赏析例1（教材52p 例4和例5，请同学们先做，再看教材）计算下列各式：83184(1);m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 211511336622(2)263;a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2(3)0).a > 解：●解后反思 你是怎样求解的？教材又是怎样解答与书写的？各自用的什么方法？ ●变式练习 化简下列各式（1= ；（2）111824a a a -= ；例2.已知13a a-+=，求下列各式的值：（1）1122a a --；（2）3322a a --思路启迪：本题已知13a a -+=，求解目标是求1122a a--和3322aa--的．要是能把1122aa--和3322a a--用1a a -+表示出来，问题便能解决，如何建立它们间的关系，你想想能发现吗，然后试试．解:●解后反思 解答本例主要运用什么知识与方法，入手点、易错点在哪里？ ●变式练习 11221122.x y x y-+已知x+y=12,xy=9且x<y,求的值解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？ 如：分数指数幂的定义、幂指数的运算性质、运用幂指数的运算来解决问题时应注意什么条件等．2.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？五、学习评价1.计算下列各式0x y a b （、、、均大于）311824a a a-= ；1336827a b --⎛⎫= ⎪⎝⎭；126449-⎛⎫ ⎪⎝⎭= ； 2312527-⎛⎫⎪⎝⎭= ；1211133442436x x y x y --⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，= .2.已知21xa =，求33x xx xa a a a--++的值．1321113333113.111x x x xx x x x -+-+-+++-化简：4.解方程32142568x x +-=⨯．5.2x = 已知：求 x 的值6（选作）计算：（1◆承前启后 我们学习了指数与指数幂的运算，在运算中底数与指数都是常数，如果指数是变量x ，那么xx a 与有怎样的对应关系呢？即：若,,x R y R +∈∈:(01)x f x y a a a →=>≠且该对应关系能是函数吗？若能构成函数，又有那些性质呢？六、学习链接链接1：有理指数幂是整数指数幂推广的，有理指数幂还可以推广到无理指数幂 （请见教材5253p -）。
数学教案-指数
数学教案－指数教学目标教学建议教材分析（1）本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质．教学难点是根式的概念和分数指数幂的概念．（2）由于分数指数幂的概念是借助次方根给出的，而次根式，次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．（3）学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．教法建议（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的，不妨在设计时可以考虑以下几点：②当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备．③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出即谁的四次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再把指数换成，写成即谁的次方等于，在语言描述的同时，也把数学的符号语言自然的给出．（2）在次方根的定义中并没有将次方根符号化原因是结论的多样性，不能乱表示，所以需要先研究规律，再把它符号化．按这样的研究思路学生对次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．教学设计示例课题根式教学目标：1．理解次方根和次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算．3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．教学重点难点：重点是次方根的概念及其取值规律．难点是次方根的概念及其运算根据的研究．教学用具：投影仪教学方法：启发探索式．一. 复习引入今天我们将学习新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展．下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗以为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数，称为幂．教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义．．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出及，同时追问这里的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念2．5指数(板书)1. 关于整数指数幂的复习(1) 概念既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出：(2) 运算性质：;;．复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．2. 根式(板书)如如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即，求问题也就是：谁的平方是16，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4有个名字叫16的平方根．再如知3和8，问题就是谁的立方是8这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．(根据情况教师可再适当举几个例子，如，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)在以上几个式子会解释的基础上，提出即一个数的次方等于，求这个数，即开次方，那么这个数叫做的次方根．(1)次方根的定义：如果一个数的次方等于(，那么这个数叫做的次方根．(板书)对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．由学生翻译为：若(，则叫做的次方根．(把它补在定义的后面)翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的的次方根就没有用符号表示，原因是什么(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对的次方根的取值规律的研究．(2)的次方根的取值规律：(板书)先让学生看到的次方根的个数是由的奇偶性决定的，所以应对分奇偶情况讨论当为奇数时，再问学生的次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按的正负分为三种情况．Ⅰ当为奇数时，的次方根为一个正数;，的次方根为一个负数;，的次方根为零．(板书)当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明为偶数时的结论，再由学生总结归纳Ⅱ当为偶数时，的次方根为两个互为相反数的数;，的次方根不存在;，的次方根为零．对于这个规律的总结，还可以先看的正负，再分的奇偶，换个角度加深理解．有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述次方根了．(3) 的次方根的符号表示(板书)可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当为奇数时，由于无论为何值，次方根都只有一个值，可用统一的符号表示，此时要求学生解释符号的含义：为正数，则为一个确定的正数，为负数，则为一个确定的负数，为零，则为零．当为偶数时，为正数时，有两个值，而只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成，其含义为为偶数时，正数的次方根有两个分别为和．为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题：一定表示一个正数吗中的一定是正数或非负数吗让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结．对于符号，当为偶数是，它有意义的条件是;当为奇数时，它有意义的条件时．把称为根式，其中为根指数，叫做被开方数．(板书)(4) 根式运算的依据(板书)由于是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．如应该得什么有学生讲出理由，根据次方根的定义，可得Ⅰ=．(板书)再问：应该得什么也得吗若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如吗吗让学生能发现结果与有关，从而得到Ⅱ=．(板书)为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．三．巩固练习例1.求值(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(要求学生口答，并说出简要步骤．四．小结1．次方根与次根式的概念2．二者的区别3．运算依据五．作业略六．板书设计2．5指数(2)取值规律(4)运算依据1. 复习2. 根式(3)符号表示例1(1)定义。
指数运算知识解读-高一数学(人教A版2019必修一)
专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
【知识点梳理】知识点1：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：n n a aaa aaa =个，其中，n N *∈2、正整数指数幂的运算法则： ①m n m n a a a +⋅=（,m n N *∈）②m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n >，,m n N *∈）③()m n mna a=（,m n N *∈）④()mm mab a b =（m N *∈）⑤()mm m a a b b=（0b ≠m N *∈）知识点2：根式1、n 次根式定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且n N *∈.特别的：①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.这时，a 的n 次②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方表示，叫做a 的n 次算术根；负的n 次方根用符号表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >). ③负数没有偶次方根；④0的任何次方根都是00= 2、根式：n 叫做根指数，a 叫做被开方数．中，注意：①1n >，n N *∈②当n 为奇数时，n a 对任意a R ∈都有意义 ③当n 为偶数时，n a 只有当0a ≥时才有意义. 3、()n n a 与n n a 的区别：①当n 为奇数时，()n n a a =（a R ∈） ②当n 为偶数时，()n n a a =（0a ≥） ③当n 为奇数时，且1n >，n n a a = ④n 为偶数时，且1n >，,0||,0nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩知识点3：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是mnm n a a=（0a >，,m n N *∈，1n >）于是，在条件0a >，,m n N *∈，1n >下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，11mnm nmna a a-==（0a >，,m n N *∈，1n >）.3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.知识点4：有理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s Q ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s Q ∈）③()r r rab a b =（0a >，0b >r Q ∈）知识点5：无理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s R ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s R ∈） ③()rr rab a b =（0a >，0b >r R ∈）【典例分析】【考点1根式的概念及意义求参】【典例1】（2022·全国·高一课时练习）已知481x =，那么x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．3-或3D ．不存在【变式1】（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知75x =，则x 的值为（ ）A B C ．D ．【典例2】（1）（2021·a 的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．11[,]22-D ．R（2）（2021·全国高一专题练习）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为（ ） A ．1(,]2-∞B ．1(,)2-∞C ．11(,)22-D ．11[,]22-【变式2-1】（多选）（2021·全国高一课时练习）若n N ∈，a R ∈，则下列四个式子中有意义的是（ ）A BC D【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：②________.(只填式子的序号即可)【考点2 根式的形式化简】【典例2】（2021·2，结果是（ ） A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．4【变式2-1】（2021·的结果是________．【变式2-2】（2022·青海西宁·高一期末）若a ，b =，则a b +等于（ ） A ．10-B ．10C ．2-D ．2【变式2-3】（2021·上海高一专题练习）求下列各式的值.（1（2（3（4【考点3 根式与分数指数幂的互化】【典例3】（2021·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【变式3-1】（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）化简2531433(2)(3)(4)a b a b a b -----⋅-÷(,0)a b >得A ．232b -B ．232bC ．7332b -D ．7332b【变式3-2】（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：(1)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【考点4 分数指数幂的运算性质化简求值】【典例4】（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1（2）12133113344x y z x y z ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）214⎛⎫⎪⎝⎭＋13-0(1.03)×⎛ ⎝⎭. 【变式4-1】（2021·全国）计算112313824527-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________；若0x >，则13131142422223234x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________． 【变式4-2】（2021·全国高一课时练习（理））(05934.-⎛⎫--=⎪⎝⎭________.【变式4-3】（2022·江苏·10.7525316(4)---÷+． .【考点5 整体代换法求分数指数幂】【典例5】（2022·江苏·3=，求下列各式的值： （1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）11122a a a a--+-.【变式5-1】（2021·全国）若3x xa a-+=，则3322x xxxa a a a --+=+________． 【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知11x x --=，其中0x >，求122121x x x x x x x---+-的值．【变式5-3】（2021·江西高安中学高一月考）计算：（141210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；（2）已知：11223x x-+=，求22123x x x x --+-+-的值．专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
n次方根与分数指数幂的说课课件
n次方根与分数指数幂的说课课件一、引言首先，让我们回顾一下分数指数幂这一基本概念。
分数指数幂是既具有数学历史感又具有现实实用性的概念，它的产生基于实数指数幂的推广，具有广泛的现实应用背景。
本节课将深入探讨n次方根和分数指数幂的关系及其应用。
二、n次方根1.定义：n次方根是指一个数的n次方根，用符号“√”表示，如2√表示2的n次方根。
2.性质：n次方根具有非负性，即被开方数必须大于或等于零。
3.应用：n次方根在科学计算、工程设计等领域有广泛应用。
三、分数指数幂1.定义：分数指数幂是指以正分数为底数的指数幂，通常称为分母指数幂。
2.性质：分母指数幂具有倒数性质，即倒数等于分子指数幂的倒数。
3.运算规则：分母指数幂可以与整数、正数、负数相乘，而分子指数幂不能与负数相乘。
4.应用：分数指数幂广泛应用于数学、物理、化学等领域。
四、分数指数幂与n次方根的关系我们将讨论分数指数幂与n次方根的关系。
根据运算法则，我们首先讨论当n为正整数时的情况。
对于分母指数幂大于等于1的数，可以通过分子分母同乘或除以同一个正整数n来得到n次方根。
反之，对于分子分母同乘或除以同一个正整数n的数，其n次方根可以表示为分数指数幂的形式。
因此，我们可以得出结论：当分母指数幂大于等于1时，分数指数幂与n次方根之间存在一一对应关系。
五、教学重点与难点本节课的重点是理解分数指数幂和n次方根的概念及其关系，掌握分数指数幂的运算规则及其应用。
难点则是如何引导学生将数学知识与实际问题相结合，理解分数指数幂在实际问题中的应用价值。
为了帮助学生克服难点，我们将通过实例讲解、小组讨论等方式，引导学生将数学知识与实际问题相结合，深入理解分数指数幂的应用价值。
六、总结通过本节课的学习，学生将掌握n次方根和分数指数幂的概念及其关系，了解它们在实际问题中的应用价值。
同时，我们将通过实例讲解、小组讨论等方式，帮助学生深入理解数学知识，提高他们的数学素养和应用能力。
理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质掌握指数函数.
因此A点坐标为(1,2)．
答案：(1,2)
加法和减法是一级运算，乘法和除法是二级运算，当引进分数指数幂后，乘方 和开方也可看作同一级运算．利用指数的运算性质，可将根式与指数幂进行互 化运算，同时指数运算也是研究指数函数图象和性质的基础．
【例1】 计算下列各式：
学习指数函数的图象与性质是为研究其它函数图象与性质提供了典型范例，
复合，因此其单调性的判断类似于函数y＝
2．作为选择题，本题的关键是判断函数y＝ 利用单调性，必要时还可考虑求函数的值域等．
＝1＋
的奇偶性和单调性，主要是
3．学习函数的性质和图象，关键在于对具体函数的性质和图象进行系统的研究 和把握，建议可借助于几何画板等手段作出常见的整式函数如 y＝x3＋x，y＝ x3－x；分式函数如：
A．0 B．1 C．2 D．3
)
解析：A＝{x∈Z|1≤2－x<3}＝{0,1}，B＝{x∈R|log2x>1，或log2x<－1} ＝(0， )∪(2，＋∞) ，2]，∴A∩(∁RB)＝{0,1}．
∴∁RB＝(－∞，0]∪[ 答案：C
4．方程3x－1＝
的解是________．
解析：3x－1＝3－2，∴x－1＝－2，解得x＝－1. 答案：－1 5．(2010·高三调研)如图，过原点O的直 线与函数y＝2x的图象交于A、B两点， 过B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C.若AC 平行于y轴，则点A的坐标是________． 解析： 设 A点坐标是 (x,2x)，则 C(x,4x)， B(x0,4x)，由 B点在函数 y＝ 2x的图象上， 则 ＝4x，则x0＝2x，又O，A，B在一条直线上 ，解得x＝1，
>0时，方程①有解．解得－1<y<1.
人教版高一数学必修1第16课时分数指数幂与幂的运算(含解析)
即x －x ＝± ，
∴x－x－1＝(x －x )(x ＋x )＝±3 .
(2)将x＋x－1＝7两边平方，得x2＋x－2＋2＝49，
∴x2＋x－2＝47，
∴ ＝ ＝4.
能力提升
12．(5分)
的值等于()
A．1－ B．2－
C. － D.
答案：B
答案：1
解析：设ax＝by＝cz＝k，则k>0，a＝k ，b＝k ，c＝k ，因此abc＝k k k ＝k ＝k0＝1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)计算：
(1) 0.5－0.752＋6－2× ；
(2)(0.25) － 2×[(－2)3] ＋10(2－ )－1－10×30.5；
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．用分数指数幂表示： ＝________.
答案：x y
解析： ＝ ＝x y ＝x y
8．若10x＝3 ，10y＝ ，则102x－y＝________.
答案：
解析：102x－y＝(10x)10y＝(3 )2÷ ＝3 ÷3 ＝ .
9．若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz， ＋ ＋ ＝0，则abc＝________.
解析：设4x＝6y＝1442＝t，则4＝t ，6＝t ，144＝t ，∴36＝t .又144＝4×36，∴t ＝t ·t ，即 ＝ ＋ ，选D.
6．已知0<x<1，x2－3x＋1＝0，则x －x 的值为()
A．1 B．－1
C．1或－1 D．－
答案：B
解析：∵x2－3x＋1＝0，∴x2＋1＝3x，∵0<x<1，∴两边除以x，得x＋x－1＝3，∴(x －x )2＝x＋x－1－2＝3－2＝1.又0<x<1，∴x －x ＝ － ＝ <0，∴x －x ＝－1.故选B.
指数、对数、幂函数的总结归纳
指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1n na a =()m n m m n na a a ==-1m nm naa=3．运算法则当a ＞0,b ＞0时有： （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm m b a ab =.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.要点二、根式的概念和运算法则1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y .n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，()nnaa =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ②如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了。
沪教版数学七年级下册12.4《分数指数幂》教学设计
沪教版数学七年级下册12.4《分数指数幂》教学设计一. 教材分析《分数指数幂》是沪教版数学七年级下册第12.4节的内容，主要介绍了分数指数幂的定义、性质和运算方法。
这一节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行学习的，是指数幂知识的重要组成部分，也是进一步学习对数等知识的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但对于分数指数幂这一概念可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
同时，学生可能对于指数幂的运算规则还不够熟悉，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.理解分数指数幂的概念和性质。
2.掌握分数指数幂的运算方法。
3.能够运用分数指数幂解决实际问题。
四. 教学重难点1.分数指数幂的概念和性质。
2.分数指数幂的运算方法。
3.运用分数指数幂解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析和练习，使学生理解和掌握分数指数幂的定义和运算方法；通过小组合作学习，培养学生的团队合作能力和交流沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.小组合作学习的任务单。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾实数、有理数、无理数等相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用PPT呈现分数指数幂的定义、性质和运算方法，通过实例和动画演示，使学生直观地理解和掌握。
3.操练（10分钟）学生独立完成相关的练习题，教师巡回指导，及时发现和纠正学生的错误。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结分数指数幂的运算规律，教师点评并总结。
5.拓展（10分钟）学生运用分数指数幂解决实际问题，如计算化学反应的速率常数等，教师引导学生思考和探索。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，巩固所学知识。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，要求学生独立完成，巩固所学知识。
高一数学分数指数幂数学教案
高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。
2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。
3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。
二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。
难点：分数指数幂的计算及实际应用。
三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。
（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。
板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。
板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。
例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。
四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。
在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。
在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
幂函数,指数函数知识点总结归纳
幂函数、指数函数知识点整理（1）幂函数的定义： 一般地，函数y=x a叫做幂函数，其中x 为自变量，a 是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在（0，∞）都有定义，并且图象都通过点（1，1）．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当pqa =（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．一、根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥． ③根式的性质：()n na a =；当n 为奇数时，n na a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mm nn naa m n N aa-+==>∈且1)n >． 0的负分数指数幂没有意义。
分数指数幂定义
分数指数幂定义
分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式。
负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点。
分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。
分数指数幂是根式的另一种表示形式，
即n次根号(a的m次幂)可以写成a的m/n次幂。
幂是指数值，如8的1/3次幂=2
一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方
重点:
1、分数指数幂的含义的理解。
2、根式与分数指数幂的互化。
3、有理指数幂的运算性质。
难点:
1、分数指数幂概念的理解。
2、有理指数幂的运算和化简。
(完整版)指数函数知识点总结
指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果x a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N ．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 00。
当n 是奇数时，n a n a ，当n 是偶数时，n a n |a |2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：n *a (a 0)a (a 0)am nna m (a 0,m ,n N *,n 1)m na1ar m n1na m(a 0,m ,n N *,n 1)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）a ·a a r r s(a 0,r,s R )；r srs (a )a （2）(a 0,r,s R )；rr s(ab)a a （3）(a0,r,s R )．x （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y a (a 0,且a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10<a<111定义域 R 值域y＞0在R 上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）定义域 R 值域y＞0在R 上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，f(x)a (a 0且a 1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]（2）若x 0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当x R ；（3）对于指数函数f(x)a (a0且a 1)，总有f(1)a ；指数函数·例题解析x x【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝312-x(2)y ＝2x +2-1(3)y ＝3-3x -1解(1)定义域为x∈R 且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴值域是0≤y ＜3．（1）y =2练习：【例2】指数函数y＝a x ，y＝b x ，y＝c x ，y＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x 轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．练习：指数函数①( ).②满足不等式,则它们的图象是1x -4|x |；（2）y =()；（3）y =4+223x x +1+1；【例3】比较大小：(1)2、32、54、88、916的大小关系是：(2)0.6-4513-2()2．(3)4.54.1________3.73.61213253849解(1)∵2=2，32=2，54=2，88=2，916=2，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，13241又＜＜＜＜，∴32＜88＜54＜916＜2．3859213-2解 (2)∵0.6＞1，1＞()，2413--∴0.65＞()2．2-45解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴ 4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．练习：（1）1.72.5与 1.7( 2 )0.83-0.1与0.8-0.2( 3 ) 1.70.3与0.93.1（４）3.52.1和2.72.0【例4】比较大小n-1a n与n a n+1(a＞0且a≠1，n＞1)．n-1解a nn+1n a=a1n(n-1)当0＜a＜1，∵n＞1，1＞0，n(n-1)＜1，∴n-1a n＜n a n+11当a＞1时，∵n＞1，＞0，n(n-1)∴a∴a1n(n-1)1n(n-1)＞1，n-1a n＞n a n+1【例5】作出下列函数的图像：1(1)y＝()x+12(2)y＝2x－2，(3)y＝2|x-1|(4)y＝|1－3x|11解 (1)y＝()x+1的图像(如图2．6－4)，过点(0，)及(－1，1)．221x是把函数y＝()的图像向左平移1个单位得到的．2解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x 的图像向上平移1个单位，保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到．(如图2．6－7)a x -1【例8】已知f(x)＝x (a ＞1)(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)a +1证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R ．a -x -1a x -1f(－x)＝-x =-x ＝－f(x)，a +1a +1∴函数f(x)为奇函数．a x -1-1-y y +1(2)函数y ＝x ，∵y ≠1，∴有a x ＝=＞0⇒－1＜y ＜1，y -11-y a +1即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)a x l -1a x 2-12(a x l -a x 2)＝x +1-x +1＝x ，∵a ＞1，x 1＜x 2，a x 1＜a x 2，(a x 1＋1)x a l a 2(a l +1)(a 2+1)(a x 2＋1)＞0，∴f(x 1)＜f(x 2)，故f(x)在R 上为增函数．单元测试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）11111--⎫⎛-⎫⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫⎛1、化简 1+232⎪1+216⎪1+28⎪1+24⎪1+22⎪，结果是（）⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝1-⎫1⎛A、 1-232⎪2⎝⎭-1111---⎛⎫⎛⎫1B、 1-232⎪ C、1-232 D、 1-232⎪2⎝⎝⎭⎭-1⎛36a 9⎫⎛63a 9⎫等于（）2、 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A、a 1644B、a 8C、a 4D、a 23、若a >1,b <0,且a +a A、6b -b =22,则a b -a -b 的值等于（）B、±2C、-2D、24、函数f (x )=a -1在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A、a >1B、a <2C、a <5、下列函数式中，满足f (x +1)=A、(2)x2 D、1<a <21f (x )的是( )211(x +1) B、x + C、2x D、2-x24x 2-x 6、下列f (x )=(1+a )a 是（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数111137、已知a >b ,ab ≠0，下列不等式（1）a >b ；(2)2>2；(3)<；(4)a >b 3；a b22a b ⎛1⎫⎛1⎫(5) ⎪< ⎪中恒成立的有（）⎝3⎭⎝3⎭A、1个B、2个C、3个D、4个a b2x -18、函数y =x 是（）2+1A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数9、函数y =1的值域是（）2x -1A、(-∞,1)B、(-∞,0)(0,+∞) C、(-1,+∞) D、(-∞,-1)(0,+∞)x 10、已知0<a <1,b <-1,则函数y =a +b 的图像必定不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限11、F (x )= 1+⎛⎝2⎫⎪⋅f (x )(x ≠0)是偶函数，且f (x )不恒等于零，则f (x )( )x 2-1⎭A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为（）A、na (1-b %) B、a (1-nb %) C、a [1-(b %)] D、a (1-b %)二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）x -y =。
教案 高教版《数学》(基础模块)——4.1有理数指数幂(1)
4.1有理数指数幂(1)——分数指数幂【教学目标】知识目标：1、复习整数指数幂的知识；2、 了解n 次根式的概念；3、理解分数指数幂的定义。
能力目标：1、掌握根式与分数指数幂之间的转化；2、会利用计算器求根式和分数指数幂的值；3、培养学生观察、分析问题的能力；培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。
【教学重点】分数指数幂的定义及运算性质，运用有理数指数幂性质 进行化简、求值。
【教学难点】对分数指数幂概念的理解，根式和分数指数幂的互化。
【教学设计】1、通过复习二次根式而拓展到n 次根式，为分数指数幂的介绍做好知识铺垫；2、复习整数指数幂知识以做好衔接；3、利用课件介绍分数指数幂的概念，字母动感闪耀强化位置关系；4、加大学生动手计算的练习，巩固知识；5、小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能。
【课时安排】2课时。
(90分钟)【教学过程】一、根式1、在初中时，我们已经把指数幂推广到了零指数和负整数指数幂，大家来回忆一下： a 0= (a ≠0),a -n= (a ≠0,n ∈N) 并且满足如下运算法则：(1) ),,0(Z n Z m a a a a n m n m ∈∈≠=⋅+ (2) ()()Z n Z m a a a mn nm ∈∈≠=,,0(3) ()()Z n b a b a ab n n n∈≠≠=,0,0例如：（师生共同完成）（1） 10001.011.011.022===- （2） a 3a -2=a 3-2=a （3）（2a -2）-3=2-3a（-2）（-3）=681a2．我们学习了n 次根式，知道当n a 有意义时，有下列性质：（1）a a nn =)(（2）⎩⎨⎧=)(|,|)(,为偶数；为奇数n a n a a n n利用这个运算性质，引导学生得出下列各式： （1）362=332)2(=22=362， （2）5103=552)3(=32=5103，（3）32a =3332)(a =32a由此，可得出式子：362=362，5103=5103，32a =32a 。
分数指数幂的概念及其运算
9 . 8
2 3
3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中 a 0 ）
a a
3
7 2 , a 2 3
a
2
a
a
,
a
.
挖掘与思考：
1.有理数指数幂的运算性质在什么条件下运用？
2.有理指数幂与整数指数幂之间有何关系？还可以拓展吗？（链接 1）
我太喜欢了！ 我要像爱棒棒糖那样爱数学！
一、学习准备
1.上节课我们学习了 n 次根式的概念及相关性质，请填空： 如果 x a ， 那么 x 叫做 a 的 n次方根， 其中 n 1 ， 且nN ， 式子 n a 叫做
n
根式 ，
这里 n 叫做根指数 ， a 叫做 被开放数． 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个 正数 ，负数的 n 次方根是一个 负数．这时，
4.解方程 4
3x2
256 8
1 x
．
解： 43 x 2 256 81 x , 26 x +4 2113 x , 7 6 x +4 11 3x, x 9
5. 已知： 2x 2 2 2
2 , 求 x的值
2n 1
5.解：先假设 2 2 2
2 1
n n
；( )
1 2
2
4
．
3.思考：我们已经知道
1 1 1 1 1 ， ( ) 2 ， ( )3 ，„是正整数指数幂，它们的值分别为 ， ， 2 2 2 2 4
2 1 6000 3 1 1 1 1 1 5 10 8 „， 那么 ( ) 2 ， ( ) 5730 ， ( ) 5730 的意义是什么呢？如何运算 a a 和a 3 a 2 呢？ 8 2 2 2
指数函数——分数指数幂
指数函数——分数指数幂三维目标一、知识与技能1．了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性；2．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义；3．理解n次方根与n次根式的概念，会进行根式与分数指数幂的相互转化；4．掌握有理指数幂的运算性质，灵活运用乘法公式进行有理指数幂的运算与化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化．二、过程与方法1．通过师生、同学之间的互相交流，使学生进一步体会共同学习的乐趣．2．通过n次方根概念的探索与活动，明确数学概念的严谨性和科学性，学会做具备严谨科学态度的人．3．通过对问题的探究过程，培养学生的观察能力和理性思维能力．三、情感、态度与价值观1．通过n次方根概念的学习，体会类比的数学思想方法在数学学习中的作用，感受数学概念的整体性、严密性，学会怎样不断完善概念，培养严谨的科学精神．2．在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对n次方根的性质的理解，增强学生的交流能力，不断培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．二．教学重点分数指数幂的概念及其运算性质的应用．三．教学难点1．对根式意义的理解；2．化简、求值问题中的指数运算技巧、整体代换思想的运用．四．教学过程第一课时问题情境细菌的繁殖在理想状态下约每20min一代，就是每20min由1个分裂成2个．问题1 你能写出一个细菌分裂后的个数y与细菌分裂次数x之间的函数关系式吗？y＝2x，x∈N．问题2 如果一个小朋友早上8点半离开家去幼儿园之前洗了手，而且在幼儿园里直到11点半午饭前才由老师领着去洗手．那么在这3个小时里，这位小朋友手上一个细菌会繁殖成多少个？y＝29＝512．复习回顾整数指数幂的运算性质：当a≠0，b≠0，s、t∈Z时，①a s·a t＝a s＋t，a s÷a t＝a s－t；②(a s)t＝a st；③(ab)t＝a t b t，(ab)t＝a tb t．特别注意：x0＝1(x≠0)．数学理论、数学运用1．根式在初中已经接触过平方根、立方根的概念：如果x2＝a，那么称x为a的平方根，一个正数的平方根有2个，且互为相反数；如果x3＝a，那么称x为a的立方根，一个实数的立方根只有一个；如此类推，如果一个实数x满足x n＝a（n＞1，n∈N*），那么称x为a的n次实数方根．当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次实数方根只有一个，用记为x ＝n a 表示．例如：3273=，2325-=-，236a a =．当n 为偶数时，正数a 的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号na -表示，可以合并写成±na （a ＞0）例如：2164=，2164-=-，16的4次方根可以写成2164±=±．负数没有偶次方根．而0的n 次实数方根为0，记作00=n ．我们把n a 叫n 次根式，n 是根指数，a 是被开方数．思考：=n n a )( ，=n na ．根据n 次实数方根的定义，可得a a n n =)(．例如5)5(2=，2)2(33-=-． 必需注意的是：nna 不一定等于a ． 当n 是奇数时，a ann=，例如：2)2(33-=-，255=a．当n 是偶数时，因为n n a 表示正的n 次方根或者0，所以如果a 是非负数，那么a ann=，例如：3344=，00=nn；如果a 是负数，那么a a a n n -==||，例如：3|3|)3(2=-=-． 综上我们有： 当n 为奇数时，a ann=；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==).0(),0(||a a a a a an n例1 求下列各式的值：（书第46页例1改编）（1）2)3(；（2）33)8(-；（3）44)2(-；（4）2)3(π-；（5）)()(2b a b a <-． 解：（1）2)3(＝3．（2）33)8(-＝－8． （3）44)2(-＝|－2|＝2． （4）2)3(π-＝|3－π|＝π－3．（5）2)(b a -＝|a －b |＝b －a ．点评：对于式子nna ，要特别注意n 的奇偶性，当n 为奇数时a a nn =；当n 为偶数时，||a ann=，否则容易导致错误的产生．Ⅱ．分数指数幂学生活动，总结运算规律．225＝5，3－8＝－2，3212＝24＝16（＝2123），5215＝23＝8（＝2155）．5102510aa a==)0(>a ，3124312aa a ==)0(>a ．问题3 你能从上面的一组计算过程中，得到什么规律？当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式．问题4 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能不能也写成分数指数幂的形式？当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：3232a a=)0(>a ，21b b =)0(>b ，4545c c =)0(>c ．事实上，如果幂的运算性质②kn n k a a =)(对分数指数幂也适用． 这时设0>a ，1(>=n nm k ，且∈n N *），那么mnnmnnmnk a aa a ===⋅)()(．这样，由n 次根式的定义，就可以把n ma 看成m a 的n 次方根．因此我们规定：a m n ＝n a m ．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定： a －mn ＝1a m na ＞0，m 、n ∈N *）其中m 为被开方数的指数，n 为根指数．*注意：①分数指数幂只是根式的一种新的表示形式；②分析底数为正的意义．这是因为如果我们不做这样的规定，将会出现矛盾，例如：若规定46)2(-46)2(-=464=22=，而由4623=可得2346)2()2(-=-，而这时23)2(-却没有意义．显然：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数． 问题5 推广后原来的整数指数幂的运算性质是还因此而发生的变化呢？推广后指数运算性质保持不变：① a s ·a t ＝a s ＋t ；② (a s )t ＝a st ；③ (ab )t ＝a t b t，( a b )t ＝ a t bt （a ＞0，b ＞0，s 、t ∈Q ）．例2 求值：（书第47页例2）（1）10021； （2）832； （3）923-； （4）(811)43-解 （1）10021＝(102)21＝10)21(2⨯＝10．（2）832＝(23)32＝2323⨯＝22＝4．（3）923-＝(32)23-＝3)23(2-⨯＝3－3＝271．（4）(811)43-＝(3－4)43-＝33＝27．说明 本例的目的是帮助学生熟练掌握分数指数幂的运算性质．例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（a ＞0）:（1）a 2a ； （2）a a ． （书第47页例3）解 （1）a2a ＝a 2a 21＝212+a＝a 25．（2）a a ＝21)(a a ＝2121)(aa ＝2123)(a ＝43a ．说明 用分数指数表示根式目的在于将根式运算转化为指数运算，因此我们必须演练掌握根式与分数指数幂的互化． 例4 计算：a2a ·3a 2．解a2a ·3a 232212a a a⋅===+32212a a672a a672-=a65a =．说明 （1）式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应该把根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算性质运算．（2）对于计算结果，并不强求用统一的形式来表示，如果没有特别的要求，一般用分数指数幂的形式表示．但结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．课堂练习书第47页练习第2题，第3（3）题，第4题．知识拓展问题6 通过这节课的学习我们将指数幂扩展到了分数指数幂，那么能否进一步扩展到有理数指数幂，实数指数幂？如果能，那么其运算性质是否与分数指数幂相同？请学生课后阅读教材第47页的阅读内容，思考上述问题．课堂回顾这节课的我们学习了：（1）根式的概念：若x n ＝a （n ＞1，n ∈N *），那么称x 为a 的n 次实数方根．当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，记为x ＝n a ． 当n 为偶数时，正数a 的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为±na （a ＞0）． 负数没有偶次方根．而0的n 次实数方根为0，记作00=n．我们把n a 叫n 次根式，n 是根指数，a 是被开方数． （2）当n 为奇数时，a ann=；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==).0(),0(||a a a a a an n（3）分数指数幂的意义：规定： a m n ＝n a m．根式与分数指数幂之间可以互相转化．（4）分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质相同．课后思考计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)．第二课时（分数指数幂习题课）复习回顾上节课我们们了哪些主要内容？（1）根式的概念：若x n ＝a （n ＞1，n ∈N *），那么称x 为a 的n 次实数方根．当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，记为x ＝n a ． 当n 为偶数时，正数a 的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为±na （a ＞0）． 负数没有偶次方根．而0的n 次实数方根为0，记作00=n ．我们把n a 叫n 次根式，n 是根指数，a 是被开方数． （2）当n 为奇数时，a ann=；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==).0(),0(||a a a a a an n（3）分数指数幂的意义：规定： a mn ＝na m．根式与分数指数幂之间可以互相转化．（4）分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质相同．巩固练习1．求值：63125.132⨯⨯（P 48／练习3）．解 63125.132⨯⨯6123121)23()23(32⨯⨯⨯⨯=6131213121132+++-⨯=32⨯=6=．说明 在化简求值的综合运算中应注意将小数化分数，根式化成分数指数幂；指数运算是建立在同底的基础上因此，在运算中注意将底数转化为相同的底数． 2．若64a 2－4a ＋1＝31－2a ，则实数a 的取值范围为( )．A ．a ∈RB ．a ＝12C ．a ∈[12，＋∞)D ．a ∈(－∞，12]选D ．3．求值：328，21100-，3)41(-，43)8116(-．解：422)2(8232332332====⨯；典型例题例1 计算 (0.0081)－14－[3×(78)0]·[81－0.25＋(338)－13]12．解 原式21313414414}])23[()3{()13()3.0(---+⋅⨯-=21111])23(3[33.0---+-=21)3231(3310+-=3310-=31=．例2 解方程：（书第48页练习5（1）（3））（1）1642=⨯x； （3）151243=-x ． 解 （1）84=x ，3222=x ，所以32=x ，23=x ．（2）16243=x ，即843=x ，33412)(=x ，所以241=x ，44412)(=x ，即16=x ．例3 计算a 43－8a 13 4b 23＋23ab ＋a 23÷(1－23b a)·3a ． 解 原式=3131313132313132312)2(2)8(a a b a b b a a b a a ⋅-÷++-3131313132313132312)2(2)8(a b a a b b a a b a a ⋅-⋅++-=}])2[()2()){(2()8(23131312313131b b a a b a b a a ++--=331331)2()()8(b a b a a --=ba b a a 8)8(--=＝a ．说明 将指数合理拆分，进而利用平方差，立方和，立方差等公式因式分解是本题的关键，因此请同学们课后及时的复习相关的乘法公式．例4 （1）已知8x ＝2，8y ＝3，8z ＝5，求83x －2y ＋z 的值．（2）已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值．解 （1）因为8x ＝2，8y ＝3，8z＝5，所以83x －2y ＋z z y x 88823⋅⋅=-zyx 8)8(1)8(23⋅⋅=531223⋅⋅=940=．（2）∵32121=+-xx ，∴9)(22121=+-xx ，即921=++-xx ，∴71=+-x x ，∴4722=+-x x ． ∵32121=+-xx，∴27)(32121=+-xx ，即27))((3)()(322121212212323=+++---xx xx xx ， ∴27)(321212323=+++--xx xx ，182323=+-xx ，∴x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3347218++=52=． 说明 本例着重体现“整体代换”在数学的的运用．例5 计算：（1）3＋25＋123＋22；（2）(a 12－b 12)(a 12＋b 12)(a ＋b )；（3）(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)；（4）(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14＋2－1２)．解 （1）原式2)12(12523+++=)12(12523+++=2121723++=2)322(23++=)322(23++=249+=2)122(+=122+=．（2）原式))((b a b a +-=22b a -=．（3）原式)12)(12)(12)(12)(12)(12(16842+++++-= )12)(12)(12)(12)(12(168422++++-= )12)(12)(12)(12(16844+++-= )12)(12)(12(1688++-= )12)(12(1616+-= 1232-=． （4）原式32121418116132132121)21)(21)(21)(21)(21)(21(--------+++++-=32121418116116121)21)(21)(21)(21)(21(-------++++-=3212141818121)21)(21)(21)(21(------+++-=32121414121)21)(21)(21(-----++-=321212121)21)(21(----+-=32112121----=1223231-=．说明 （1）对于重根式，如属a a 类型，则应化为分数指数幂，再利用运算性质处理；如属a k a +类型，则应设法利用性质：当n 为奇数时，a a nn =；当n 为偶数时，||a ann=处理，如本例的第（1）题．（2）对于乘法公式必需熟练掌握，在本例的（2）（3）（4）中，都需要使用到乘法公式．指数函数三维目标一、知识与技能（1）掌握指数函数的概念，会借助计算机画指数函数的图象；（2）由指数函数的图象归纳并理解指数函数的性质；（3）学会用指数函数的单调性，比较两个指数式的大小；（4）学会求与指数函数有关的函数的定义域、值域；（5）能利用函数图象的平移与对称变换，解决有关的函数图象问题；（6）通过指数函数在实际生活中的应用，加深对指数函数的认识，理解．二、过程与方法师生之间共同学习，同学之间相互交流，不断培养学生学会共同学习．通过探讨指数函数的底数a＞0，且a≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，进一步培养学生严谨的科学态度和人生观．三、情感、态度与价值观通过实例引入指数函数及指数函数的应用，激发学生学习指数函数的兴趣，使学生体会到指数函数是一类重要的模型，在实际生活中有着广泛的用途．不断培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，帮助学生提高运用现代科学技术手段发现知识规律能力，体会到现代技术是认识世界的有效手段．教学重点和难点1．重点：指数函数的概念、图象和性质，左右平移变换中，方向的确定，及指数函数在日常生活中的应用．2．难点：底数对于指数函数变化的影响．三、教学过程1．问题情境材料一一根1米长的绳子，第一次剪掉绳长的一半，第二次剪掉剩余绳子的一半，…，剪了x次后剩余绳子的长度为y米，试写出y和x的函数关系．结论：y＝(12)x．材料二A先生从今天开始，每天给你10万元，而你应承担如下任务：第一天给A先生1元，第二天给A先生2元，第三天给A先生4元，第四天给A先生8元，依次下去，…，A先生要和你签订15天的合同，你同意吗？又A先生要和你签订30天的合同，你能签这个合同吗？为什么？结论：若设x天后，A先生给你的钱是y1，你给A先生的钱是y2，则y1＝100000x，y2＝2x，当x＝15时，y1＝1500000元，y2＝32768元．当x＝30时，y1＝3000000元，y2＝1073741824元．15天的合同能签，但30天的合同不能签．学生活动问题1 你能将材料二中的问题数学化吗？问题2 你能从上面的两个函数的解析式中抽象出一个更一般性的函数吗？［备选材料］：1．找一（胆大敢说的）学生，问将一张纸对折，可折几次？学生一般手边有练习册大小的纸或是A4大小的纸，让学生亲手试一试．老师事先准备一张报纸（如《新华日报》），问学生可折几次？一般学生可能会猜10次或更多次，事实上一张《新华日报》大小的纸我们也就能折7次，勉强能折8次，根本折不到学生想象的次数，问为什么？将一张厚度为0.1mm 的薄纸连续对折10次以后，大概有多厚呢？2．传说在古时的印度有一位国王非常喜欢国际象棋，下棋的水平也很高，国际象棋的理论造诣很深，朝中无人能敌．有一天，他请来一位国际象棋高手来与他对弈．来人说要与国王赌一注．国王问，如果要赌的话，你拿什么来作赌注呢？来人说，国王你有丰厚的财产可以作赌注，而我什么财产也没有，我只有我的生命属于我自己，因此我就用我的生命作赌注，假若我输了，你就砍下我的人头．那么假若你输了，你用什么作赌注呢？国王说，你说你需要我用什么作赌注呢？我的国家的所有财宝任你挑一件．来人说，假若我赢了，我不要什么珍宝，我只恳请国王陛下将我们下棋用的棋盘的每一个格子了分别放上1粒米，2粒米，4粒米，……，依次类推，下一个格子里的米粒是上一个格子里的米粒的2倍就行了．国王说，这好办，我的国库里有的是米，这点小小的要求我怎么能不答应你呢？意义建构问题3 你能发现y ＝(12)x 和y ＝2x 有什么相同的地方吗？结论：在关系式：y ＝(12)x 和y ＝2x 中，没给一个x 的值都有惟一的一个y 值和它对应，因此关系式y ＝(12)x 和y ＝2x 都是y 关于x 的函数，且函数：y ＝(12)x 和y ＝2x 的形式上是相同的，解析式右边都是指数式，自变量都在指数位置上．问题4 你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？结论：函数y ＝(12)x 和y ＝2x 都是函数y ＝a x的具体形式．函数y ＝a x是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决很多生活中的实际问题，这就是我们所要研究的一类重要的函数模型－指数函数．数学理论指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数．合作探究问题5 在指数函数的解析式y ＝a x 中，为什么要规定a >0，a ≠1？规定底数a ＞0，且a ≠1的理由：如果0=a ，⎪⎩⎪⎨⎧≤>.,0;0,0无意义时当恒等于时当xxa x a x如果0<a ，比如xy )2(-=，这时对于41=x ，21=x ，等等，在实数范围内函数值不存在．如果1=a ，11==xy ，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．问题6 那么指数函数的定义域是什么？在作了a >0，a ≠1的规定后，对于任何x ∈R ，a x 都有意义，因此指数函数的定义域为R ．指数函数概念的辨析问题7 函数y ＝2x 和函数y ＝x 2有什么区别？函数y ＝2x 是指数函数，而函数y ＝x 2是二次函数，也是我们后面将要学习的幂函数．问题8 函数y ＝2·3x 和y ＝23x 是不是指数函数？函数y ＝2·3x 不是指数函数，y ＝23x ＝8x 是指数函数．指数函数的图像和性质指数函数在生产实践中有广泛的应用性，因此，我们必须对指数函数的性质作深入的研究和总结．合作探究：已知函数y ＝(12)x ，y ＝2x ，y ＝10x．① 从解析式中你能得出它们有哪些性质？② 能否确定它们各自在平面直角坐标系中所处的区域？ ③ 它们各自在平面直角坐标系中的具体图像是怎样的？ ④ 归纳总结它们的共同特点和不同点． ⑤ 能否将这些共同点和不同点加以推广？x a ＜1这两种情况下的图象和性质如下注：借助几何画板展示底数a 对图象的影响．合作探究：如何快速画出指数函数的简图？① 注意指数的图象只能位于x 轴上方； ② 函数图象均过定点（0，1）；③ 函数图象向下逐渐接近x 轴，但不能和x 轴相交； ④ 图象经过（1，a ）点，可帮助确定函数的单调性；数学运用例1 求下列函数定义域：（1）y ＝1212-x ；（2）y ＝1－(12)x ．解 （1）因为2x －1≠0，所以x ≠12，原函数的定义域为｛x | x ≠12｝；（2）因为1－(12)x ≥0，所以(12)x ≤1＝(12)0，又因为函数y = (12)x在定义域上单调递减，所以x ≥0，故原函数的定义域为[0，＋∞)．说明 虽然指数函数x a y =的定义域R ，但是在求与指数函数的关的复合函数的定义域时，必须注意以前我们求函数定义域时的一些限制条件：（1）分式的分母为能为0；（2）偶次根式的被开方数大于或等于0；（3）0的0次幂没有意义；（4）在实际问题中必须使实际问题有意义．例2 试比较下列各题中两个值的大小．（1）1.52.5, 1.53.2； （2）0.51.2, 0.51.5； （3）1.50.3, 0.81.2．解 （1）考察指数函数f (x ) = 1.5x ，由于1.7 > 1，所以f (x ) = 1.5x 在R 上是增函数．因为2.5 < 3.2，所以1.52.5 < 1.53.2．（2）考察指数函数g (x ) = 0.5x ，由于0 < 0.5 < 1，所以g (x ) = 0.5x 在R 上是减函数．因为1.2 > 1.5，所以0.51.2 < 0.51.5．（3）由指数函数的性质知1.50.3 > 1.50 = 1，而0.81.2 < 0.80 = 1，所以1.50.3 > 0.81.2．问题9 通过解决这些问题，你有什么心得体会吗？结论：在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如（1）（2）．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或1±等，根据实际问题也可能是其它数值．课堂总结指数函数的定义：函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数．指数函数的图象和性质：指数函数的定义域和值域均为R ，图象恒过点（0，1），当0＜a ＜1时，指数函数在R 上递减；当a ＞1时，指数函数在R 上递增．利用指数函数的性质进行大小比较．课后思考求下列函数定义域： （1）131-=xy ；（2）y ＝13－3x ；（3）13211-=x y ）－（．指数函数第二课时教学内容（1）指数函数性质的运用；（2）与指数函数有关的图象变换的问题．例1 （1）已知3x ≥30.5，求实数x 的取值范围；（2）已知0.2x＜25，求实数x 的取值范围．（书第51页例2）解 （1）因为3＞1，所以指数函数f (x )＝3x在R 上是增函数．因为3x ≥30.5，，所以x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)．（2）因为0＜0.2＜1，所以指数函数f (x )＝0.2xI在R 上是减函数．因为25＝(51)-2＝0.2-2，所以0.2x ＜0.2-2，所以x ＞－2，即x 的取值范围是（－2，＋∞）．说明 本例是指数函数单调性质的应用．例2 函数132)(+-=x x a x f ，522)(-+=x x ax g (0>a 且1≠a )，若)()(x g x f >，求x 的取值范围.解 由)()(x g x f >， 得>+-132x x a 522-+x x a.（1）当1>a 时，521322-+>+-x x x x ， 即 065<-x ，解得56<x ，所以x 的取值范围是｛x |56<x ｝；（2）当10<<a 时，521322-+<+-x x x x ， 即065>-x ，56>x ，所以x 的取值范围是｛x |56>x ｝.综上有：若1>a ，x 的取值范围为｛x |56<x ｝；若10<<a 时, x 的取值范围为｛x |56>x ｝．说明 （1）由于底数a 是不确定的，指数函数y ＝a x 的单调性也不确定，因此必须对底数分情况讨论；（2）由于a 所在范围不同，x 的取值范围不同，a 确定后，x 的取值范围确定，因此不能将1>a 和10<<a 情况下，x 的取值范围合并．例3 （1）说明函数1)31(－－x y =的图象与函数y ＝3x 图象的关系，并画出其示意图．（2）作出函数22-=x y的图象，并由图象指出：① 函数的单调区间；②x 取何值时，函数有最值． 解：（1）113)31(+=x x y ＝－－，作出函数xy3=的图象后，向左平移1个单位，得1)31(－－x y =的图象．（2）① 函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥==---)2()21()2(22222x x y x x x作出函数xy 2=(0≥x )的图象后，向右平移2个单位，得22-=x y (2≥x )的图象；作出函数x y )21(=(0<x )的图象后，向右平移2个单位，得2)21(-=x y (2<x )的图象．② 当0=x 时，4=y ；当2=x 时，1=y ．从图象可知，函数22-=x y 在]2,(-∞上单调递减，在),2[+∞上单调递增，当2=x 时有最小值1，函数无最大值．例4 指数函数y ＝3x 的图象经过怎样的变换，可以得到函数y ＝3x ＋1＋1的图象，并画出它的图象．解 把函数y ＝3x 的图象向右平移一个单位得到函数y ＝3x ＋1的图象，再把函数y ＝3x ＋1的图象向上平移1个单位就得到函数y ＝3x ＋1＋1的图象，如右图．变式 已知函数y ＝3x 的图象，怎样变换得到函数y ＝)31(x ＋1＋2的图象？解 y ＝)31(x ＋1＋2＝3－（x ＋1）＋2．作函数y ＝3x的图象关于y 轴对称图形，得到函数y ＝3－x的图象，再向左平移一个单位得到y ＝3－（x ＋1）的图象，最后再向上平移两个单位就得到函数y ＝)31(x ＋1＋2的图象，如右图．说明 （1）为弄清楚图象变换的规律，应先对函数的解析式进行应当的变形，弄清已知函数和要作出图象的函数的解析式之间的关系．还应当很好地掌握好图象变换的一般规律．（2）如函数的图象有渐近线，平移函数的图象时，应把渐近线和图象一起平移．y(1) (2)点评：要得到函数|f (x )－1|＝|2x －1|的图象，只需把函数y ＝2x －1位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，原来x 轴上方的部分不动，翻折时应连同渐近线一起翻折，以更好地反映图象的变化趋势．思考 你能说明函数y ＝2|x|和22-=x y 图象之间的关系吗？你能利用函数x y 2=的图象得到函数22-=x y 的图象吗？课堂练习选择下列函数的代号填空：①110-=xy；②110-=x y ；③xy10-=；④xy--=10；⑤xy)101(=；⑥xy-=)101(．（1）把函数x y 10=的图象向右平移一个单位，得到 的图象； （2）把函数xy 10=的图象向下平移1个单位，得到________的图象；（3）函数xy 10=的图象与 的图象关于x 轴对称； （4）函数xy 10=的图象与 的图象关于y 轴对称；（5）函数xy10=的图象与 的图象关于原点对称；（6）函数x y 10=的图象与 的图象相同． ② ① ③ ⑤ ④ ⑥ 说明 对称变换：函数y ＝a x 的图象与y ＝－a x 的图象关于x 轴对称；函数y ＝a x 的图象与y ＝a －x的图象关于y 轴对称；函数y ＝a x 的图象与y ＝－a －x的图象关于坐标原点对称．一般地，（1）函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称； （2）函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称；（3）函数y ＝f (x )的图象与到函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．例6 求下列函数的值域：（1）xy -=3；（2）1)21()41(2+-=xxy (]3,2[-∈x )．解 （1）原函数的定义域是R ，令x t -=，则0≤t ．因为ty 3=在(－∞，0]上是增函数， 所以10≤<y ． 即原函数的值域是]1,0(．（2）令xt )21(=，则12)(2+-==t t t f y ．因为2[-∈x ，]3，所以81[∈t ，]4，87)41(212)(22+-=+-==t t t t f y ． 所以，当t ＝41，即x ＝2时，y min ＝87；当t ＝4，即x ＝－2时，y max ＝29，即原函数的值域是]29,87[．注：通过换元将求复合函数的值域化归为求简单函数的值域．课堂小结今天我们主要解决与指数函数有关的图象变换问题．函数图象的变换，主要有左右平移，上下平移，关于坐标轴对称几种情况．平移变换若已知若已知y ＝a x 的图象，则把y ＝a x 的图象向左平移m 个单位，可得到y ＝a x ＋m 的图象；把y ＝a x 的图象向右平移m 个单位，可得到y ＝a x －m 的图象；把y ＝a x的图象向上平移n 个单位，可得到y ＝a x ＋n 的图象；把y ＝a x 的图象向下平移n 个单位，可得到y ＝a x－n 的图象．对称变换函数y ＝a x 的图象与y ＝－a x 的图象关于x 轴对称；函数y ＝a x 的图象与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称；函数y ＝a x 的图象与y ＝－a －x 的图象关于坐标原点对称．指数函数第3课时教学内容1．指数函数中参数讨论问题2．和指数函数有关的复合函数的单调性，奇偶性的问题．巩固练习1．若指数函数y =a x在[1，2]上的最大值减去最小值是a 2a=__________．解 当a ＞1时，x a y =在]2,1[上是增函数，当2=x 时，2max a y =，当1=x 时，a y =min ，由题有 a 2－a = a2，即0322=-a a ，解得23=a （0=a 舍）．当 0＜a ＜1时，xa y =在]2,1[上是减函数，当2=x 时，2min a y =，当1=x 时，a y =max ， 由题有 a －a 2= a 2，即022=-a a ，解得21=a （0=a 舍）．综上21=a 或23=a ．2．函数y =a x 和y =(a －1)x 2+1在同一坐标系下的图象可能是（ ）．解 选B ．典型例题例 1 函数xx x f 2221)(-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调增区间是_____________；单调减区间是______________．分析：令xx x f y 2221)(-⎪⎭⎫⎝⎛==．xx x f y 2221)(-⎪⎭⎫⎝⎛==可以看作t y )21(=，x x t 22-=的复合函数； 因为t y )21(=在(－∞，＋∞)上是减函数，1)1(222--=-=x x x t 在(-∞，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，所以函数xx x f 2221)(-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间是(-∞，1]；单调递减区间是[1，+∞)．注：（1）利用复合函数的方法确定函数单调性的关键是弄清已知函数是由哪几个基本函数的复合而成的．（2）复合函数单调性的判定的结论：同增异减．当然这一结论解决填空题或选择题时，直接使用，如果是解答题，必需使用函数单调性的定义进行证明． （3）本题可进一步研究：函数xx x f 2221)(-⎪⎭⎫⎝⎛=的值域如何求？由上面的结论可知：当x ＝1时，f(x)max ＝2，但必须注意这个函数的下限，xx x f 2221)(-⎪⎭⎫⎝⎛=＞0，因此，函数xx x f 2221)(-⎪⎭⎫⎝⎛=的值域为（0，2]．例2 判断f (x )=a x + a －x(a ＞0，a ≠1)的奇偶性，并证明．解 f (x )的定义域是R ，对定义域内任意x ，都有f (－x )= a －x + a x =f (x )，所以f (x )=a x + a －x 是偶函数．变式训练1：判断f (x )=a x －a －x(a ＞0，a ≠1)的奇偶性．（奇）变式训练2：判断f (x )= (1－3x )23x的奇偶性．（偶） 变式训练3：判断f (x )= a 2x +1ax a ＞0，且a ≠1）的奇偶性．（偶）例3 已知函数f (x )=3x －13x +1．（1）求函数的定义域； （2）写出函数的值域；（3）判断f (x )的奇偶性，并加以证明； （4）判断f (x )的单调性，并加以证明． 解：（1）因为3x +1≠0，f (x )的定义域是R ．(2) y = f (x )= 3x －13x +1 =1－23x +1设t =3x ，则t ＞0，y =1－2t+1（t ＞0），由函数图象得y ＞－1，所以f (x )的值域是（－1，+∞）．（安排此问题是为了让学生回顾 3x－13x+1 ，1－2x 这两个形式之间的转化，为下面两个函数的性质做铺垫）（3 对于任意x ∈R ，都有 f (－x )= 3－x +1 = 1+3x =－ 3x+1－f (x )， 所以f (x ) = 3x－1x 是奇函数．（41212f (x 1)－f (x 2)= (1－ 23x 1+1)－(1－23x 2+123x 2+1 － 23x 1+1= 2(3x 1－3x 2)( 3x 1+1)( 3x 2+1)， 因为x 1＜x 2，y =3x 是单调增函数，所以3x 1＜3x 2，所以03321<-x x ． 又因为3x 1+1＞0， 3x 2+1＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即 f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )= 3x －1x 是R 上的单调增函数．变式训练1：判断f (x )= x (1－ 2x )的奇偶性．变式训练2：判断函数f (x )= x －x 的单调性思维拓展：讨论f (x )= a x +1(a ＞0，a ≠1)的单调性．讨论f (x )= a x －a －xa x +a－x (a ＞0，a ≠1)的单调性．指 数 函 数（4）教学内容运用指数函数模型，解决实际问题．例1 截止到1999年底我国人口约13亿．如果今后能将人口平均增长北控制在1%，那么经过20年后，我国人口约为多少（精确到亿）？ 解 设经过x 年后，我国人口数为y (亿)．1999年底，我国人口约为13亿；经过1年，即2000年底，人口约为13＋13×1%=13(1＋1%)（亿）； 经过2年，即2001年底，人口约为13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%=13(1＋1%)2（亿）；经过3年，即2002年底，人口约为13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%=13(1＋1%)3（亿）；…所以，经过x 年，人口数为y ＝13(1＋1%)x ＝13×1.01x(亿)． 当x ＝20时 ，y ＝13×1.0120≈16(亿)． 答：经过20年后，我国人口数约为16亿． 点评 （1）在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型，设原有基数（如本例中的1999年底的人口数）为m ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后的数值y 要以用y ＝m (1＋p )x表示．我们把形如y ＝ka x (k ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．（2）对于实际应用问题还有两点必需注意：一是精确度的问题，同学们在解决问题时往往忽视题中的精确度；二是定义域，在实际问题中函数的定义域必需使实际问题有意义．练习2000－2002年，我国年国内生产总值年平均增长7.8%左右，按照这个速度，从2000年开始，x 年后我国年国内生产总值为y ，y 与x 的函数关系为_______________． 解 设2000年年初国内生产总值为，则x y %)8.71(1+⨯=x 078.1=（∈x N *）．例2 某医药研究所开发一种新药，据检测：如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为y (微克)与服药后的时间t (小时)之间近似满足如图曲线，其中OA 是线段，曲线ABC 是函数y =ka t 的图象．（1）据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效，若某病人第一次服药时间为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天的几点钟？（2）若按（1）中最迟时间服用第二次药，则第二次服药3个小时后，该病人每毫升血液中含药量为多少微克？（精确到0．1微克） 解：（1）由题，当0≤t ＜1时，y =8t ，当t ≥1时，把A ，B 两点的坐标代入y =ka t ，⎩⎨⎧==,1,87ka ka 解得⎪⎩⎪⎨⎧==,28,22k a所以y =⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯<≤,1,)22(28,10,8t t t t令82(22)t=2，解得t =5，因此第二次服药最迟应在第一次服药5小时后，即上午11时． 答：第二次服药最迟应该在当天的11点钟． （2）第二次服药3小时后，。
对分数指数幂概念的进一步分析
对分数指数幂概念的进一步分析作者：王思江来源：《中学教学参考·理科版》2012年第03期新课标高中数学必修一教材阐述了分数指数幂的概念，可是很多高中学生，甚至有些数学教师对其概念理解不是很透彻，因此对分数指数幂的概念有必要进一步分析首先我们来看教材上分数指数幂的概念.（1）规定正数的正分数指数幂的意义是（a＞0,m,n∈＞1)；（2）正数的负分数指数幂的意义是-（a＞0, m, n∈＞1)；（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义那么负数有没有分数指数幂呢？例如，①能比较(-与(-的大小吗？②求幂函数的定义域，自变量x能取负数吗？这些问题容易使人产生困惑.因此深入理解分数指数幂的概念是必要的1.所有的根式都可以写成分数指数幂的形式，即（ m, n∈＞也就是说分数指数幂是根式的另一种书写形式，只要根式有意义，不论a为何值，都可以写成分数指数幂的形式.但是要注意的是此时指数mn是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数.不能比较分数指数的大小，也不能进行约分、通分等运算例①中比较(-与(-的大小时，不能简单认为因为13=26，所以(--正确的做法是先还原成根式，再化简后比较大小解：∵(--1=-1，--，∴(-＜(-例②中：∵，∴函数的定义域为2.在分数指数幂或有理数指数幂运算时，我们要强调底数a必须大于0，否则就会出现错误例如化简［(-］（-1）（-1）-1 ，而这一结果显然是错误的，正确结果应为究其原因，分数指数mn只是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数，当然不能参与运算当底数a＜0时，对指数mn进行约分、通分等运算后的结果和把分数指数幂化成根式后进行运算的结果有很大的差异当底数a＞0时，对指数mn进行约分、通分等运算后的结果和把分数指数幂化成根式后进行运算的结果完全一致.此时指数mn与传统意义上的分数作用效果是相同的.这时把指数mn认为是普通分数是合理的所以有理数指数幂运算时，我们必须强调底数a大于(责任编辑金铃）。
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,
根据以上观察，一般地，对于有理数指数幂有如下的运算性质
a 0, b 0, r , s Q （1） a r a s a
（3） ab
r
rs
； （2） a r
s
a rs
；
a r br ．
快乐体验
1.下列运算中，正确的是（ A. a 2 a 3 a 6 ;
4 2
p q p q ( p 0)
6 5 3
5 2
●体验反思 上面的根式或分数指数幂有什么共同的点？为什么没有负数的分数指数幂呢？ 能把你的想法告诉大家吗? 上面的题有易错点吗？
算一算 A组 B组
2 2 =32 4 4 = 32 (3 ) = 216 (2 ) = 2
2 3 2 2 3
0 ；负数 无
a
,
n
an
在初中学习的整数指数幂的运算性质是 ab n a nb m、
an . m nm 、 a n a m a n a am
a, n为奇数 ， a , n为偶数
2.预备练习
3 2 3 32 计算 2 2 ； 2 64； 2 3 216 2 3
；( )
1 2
2
4
．
3.思考：我们已经知道
1 1 1 1 1 ， ( ) 2 ， ( )3 ，„是正整数指数幂，它们的值分别为 ， ， 2 2 2 2 4
2 1 6000 3 1 1 1 1 1 5 10 8 „， 那么 ( ) 2 ， ( ) 5730 ， ( ) 5730 的意义是什么呢？如何运算 a a 和a 3 a 2 呢？ 8 2 2 2
一、学习准备
1.上节课我们学习了 n 次根式的概念及相关性质，请填空： 如果 x a ， 那么 x 叫做 a 的 n次方根， 其中 n 1 ， 且nN ， 式子 n a 叫做
n
根式 ，
这里 n 叫做根指数 ， a 叫做 被开放数． 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个 正数 ，负数的 n 次方根是一个 负数．这时，
m n m n
a
n
a ( a 0, m, n N * 且 n 1 )； a
m
m
1 a
n
( a 0, m, n N * 且 n 1 )；
0 的正分数指数幂等于
0
，0 的负分数指数幂
不存在 ．
快乐体验 （1）用根式的形式表示下列各式 (a 0) : a （2） 用分数指数幂表示下列各式： a
这正是我们本节课要学习的知识．
1.分数指数幂的概念
●观察思考
5
a
10
5
a
2 5
a a
2
10 5
a 0 ；
4
a
12
4
a
3 4
a a
3
12 4
a 0
观察以上两个式子思考：被开方数的指数与根指数和幂指数之间有何关系？ ●归纳归纳概括 类比上面得出的规律，把正数的分数指数幂写成根式的形式为：
你
好 吗！
１.能举例说出分数指数幂的意义；
２.能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；
３.能类比整数指数幂的运算性质写出有理指数幂的运算性质 并能用其进行具体计算．
重点：
分数指数幂与根式的互化及幂的运算．
难点提示：
分数指数幂的理解、有理数指数幂性质的灵活应用.
1.请同学们课前将学案与教材 P50 54 结合进行自 主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、 观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读 与思考、小结等都要仔细阅读） 、小组讨论， 积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课 堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“九字学习法”即： “读” 、 “挖” 、 “举” 、 “联” 、 “用” 、 “悟” 、 “总” 、 “研” 、 “会” ，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于 讲解与表达.
3 2 3 1 2
,a
4
3 4
,a
5
3 5
,a
2 3
.
， b
， c
a 0, b 0, c 0 (Leabharlann p 0)( m n) 2
(m n), (m n) 4
1 2
(m n), p 6 q 5
3 2
解：（ 1 ）、 (a 0) : a
2 3
B. a 2
1 2
D
3
）
2 0 3
a 3 ； C. a 1 0 ； D. a 2 a 6 .
5 3 4
2.求值： 8
4
a
, 25
1 1 16 , 32 , 5 2 81
8 a3 3 ,
例 1（教材 p52 例 4 和例 5，请同学们先做，再看教材）计算下列各式：
3 2 2 3
a, a
3 4
4
a ,a
5
3
3 5
(2)、 a a ，b b ，c c
3 2 2 3
1 2 4
2 1 1 3 5 ,a 3 a a
5 4
(m n) m n (m n), (m n) m n (m n),
a 的 n 次方根用符号
次方根用符号
n
n
a
表示．
当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个， 这两个数互为相反数．这时，正数 a 的正的 n
a 表示，负的 n 次方根用符号 n a 表示．正的 n 次方根与负的 n 次方
a
． 偶次方根， ( n a )
n
根可以合并写成 0 的任何次方根是
1 2
1 3 3
9 4 =6 (9 4) = 6
1 2
1 2
1 2
52 32 = 225 (5 3)2 225 =
2 = 32
5
4 = 32
5 2
3 =216 2
6
1 3 3
=2
观察思考 请观察上面两组运算的结果并思考（1）上述计算结果有哪些相等关系？ （2）这些相等关系是必然还是偶然？你再举一些例子试试，若是必然关系请 将你的成果与大家分享！
9 . 8
2 3
3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中 a 0 ）
a a
3
7 2 , a 2 3
a
2
a
a
,
a
.
挖掘与思考：
1.有理数指数幂的运算性质在什么条件下运用？
2.有理指数幂与整数指数幂之间有何关系？还可以拓展吗？（链接 1）
我太喜欢了！ 我要像爱棒棒糖那样爱数学！