(高清打印版)2015年重点高中自主招生数学模拟试题(含答案)

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2015年高三自主招生模拟试卷及答案(北约)

2015年自主招生模拟试卷（北约）1．已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为．解答：如图5-1所示，图5-1 图5-2（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,s i n s i n s i n s i n P R A RQ RB RA A P RB B Q R==.又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABCBC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最大值为14. （2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5-2所示，设1,(01),(0)2B C C R x x B R Q παα==≤≤∠=<<,则90.CPRPRC BRQ α∠=-∠=∠= AB P H在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+，因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+. 这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.2. 若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合A中的元素个数为．解答：由已知得20162015(21)25n n m ++=，因为,21n n m ++一奇一偶，所以,21n n m ++两者之一为偶数，即为2016201620162201620152,25,25,,25共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合A 共有4032个元素. 3．若数列{}n a 的前n 项和nS =32n n -，*n N ∈，则20151182i i a i =+-∑= ．答案：20156048.解答：1211352,n n n i ii i a a an n -===-=-+∑∑又10a =，故2*352()n a n n n N =-+∈,20152015201511111111()823(1)31i i i i a i i i i i =====-=+-++∑∑∑20156048. 4．若22sin cos 161610xx+=，则cos 4x = .答案：12-.解答:设2sin 16,116xt t =≤≤，则22cos 1sin 161616x x t-==，代入方程得16102,t t t +=⇒=或8t =，即21sin 4x =或34，所以cos 4x =12-。

2015年上海中学自招数学试卷及答案解析

2015年上海中学自招数学试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________【答案】24【解析】原式最大值=12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=71166225533447-+-+-+-+-+-+-=654321324++++++=2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 【答案】19 【解析】Q 5374a b <<，得5743b a a b <⎧⎨<⎩，∴201521a b a <<，当1b =时，a 无解；当2b =时，a 无解；……当11b =时，8a =，此时b 最小，且81119a b +=+=3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________ 【答案】133【解析】Q 53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩∴()53x y z xy x y z +=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴2535x y z xy z z+=-⎧⎨=-+⎩∴x 与y 是方程()225530m z m z z +-+-+=的两根，∴()()2254530z z z ∆=---+≥解得1313z -≤≤ 4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 【答案】2【解析】Q 25370x x --=∴24441x x x -+=+，()2241x x -=+ ∴221338x x x -+=+∴()21338x x -=+∴()()()()()()2221212212x x x x x x ---=-+----⎡⎤⎣⎦∴()()141338212x x x x=+++---∴()()12239x x x--=+原式=4133812239x xx+++-=+5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n个人，原有m个人(17)m<，增加34份礼物，则m=____________【答案】8【解析】根据题意有()()()1341m m m n m n-+=++-，()2134n m n∴+-=，∴12134nm n=⎧⎨+-=⎩或22117nm n=⎧⎨+-=⎩或17212nm n=⎧⎨+-=⎩或34211nm n=⎧⎨+-=⎩解得：117nn=⎧⎨=⎩（舍）或28nn=⎧⎨=⎩或177nn=⎧⎨=-⎩（舍）或3416nn=⎧⎨=-⎩（舍）8m∴=6、正ABCV的内切圆半径为1，P为圆上一点，则12BP CP+的最小值为_________ 【答案】212【解析】如图，联结CO,PO,在CO上取点D，使得1122DO r==，联结PD,由计算可得2CO=，在PODV与COPV中，12POD COPOD OPOP OC∠=∠⎧⎪⎨==⎪⎩∴PODV:COPV,∴12PD PC=∴12122BP CP BP PD BD+=+≥=二. 解答题 7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 【答案】（1）1320；（2）92 【解析】（1）原式()()123102341910=⨯++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⨯1320=（2）设任意偶数个元素乘积之和为S ，任意奇数个元素乘积之和为H ，则()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()922S H S H S ++-==8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）联结BE ，AF ，有22BDF BDE CDE CDE S S AB S S CD ==⨯V V V V ；22ACE ACF CDF CDF S S AB S S CD ==⨯V V V V ∴BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V 得证；（2）Q BDF CDF ACE CDE S S S S +=+V V V V 且BDF CDF ACE CDES S S S ⨯=⨯V V V V ∴BDF ACE CDF CDE S S S S =⎧⎨=⎩V V V V （舍）或BDF CDE CDF ACES S S S =⎧⎨=⎩V V V V ∴21AB CD = ∴1:2AB CD = 附：无答案试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n 个人，原有m 个人(17)m <，增加34 份礼物，则m =____________6、正ABC V 的内切圆半径为1，P 为圆上一点，则12BP CP +的最小值为_________二. 解答题7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.。

2015年淮南市重点高中自主招生数学真题有答案版

2015年淮南市重点高中自主招生数学真题有答案版2015年淮南市重点高中自主招生数学真题一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分）1.已知a,b为非零实数,且ab,则下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.2．如图，直线（）A.B.C.D.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时()A．10海里B．5海里C．5海里D．10海里4.在△MNK中，中线MD＝1，NK＝2,MN＋MK＝，则△MNK的面积为（）A．B．C．1D．二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）5.设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的条件是n ＝________.6.找规律：一列数0.3,0.33,0.333,0.3333，…，则第n 个数是_________.7.设abc0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是下列图形中的________(填序号)．8.设a-b=1+，b-c=1-，则________.四、解答题（共4题，满分48分）9.（10分）如图，与地面垂直的两根电线杆间的距离为x米，它们与地面的交点分别为B、D，分别在距地面高为5米的A处和高为10米的C处用钢索将两根电线杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点P离地面的高度PH.10.（12分）已知关于x的不等式，a可以取任意实数，b为大于2的任意实数.（1)解此不等式；（2）如果此不等式对一切x0恒成立，试确定a的取值范围.11.（12分）如图，圆O的两条弦AC、BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E.求证：OE＝CD.12.(14分)已知抛物线.(1)求抛物线顶点P的坐标；(2)设Q是（1）中所求出的抛物线上的一个动点，点Q的横坐标为t，当Q点在第四象限时，将△QAC的面积表示成t的函数；(3)对于（1）中抛物线对应的二次函数，试求当,函数的最小值.淮南一中2015年自主招生数学试卷一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分）1.已知a,b为非零实数,且ab,则下列不等式一定成立的是()CA.B.C.D.2．如图，直线（）BA.B.C.D.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时()AA．10海里B．5海里C．5海里D．10海里解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时)．4.在△MNK中，中线MD＝1，NK＝2,MN＋MK＝，则△MNK的面积为（）BA．B．C．1D．二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）5.设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的条件是n＝________.3或46.找规律：一列数0.3,0.33,0.333,0.3333，…，则第n个数是_________.7.设abc0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是下列图形中的________(填序号)．④8.设a-b=1+，b-c=1-，则________.6四、解答题（共4题，满分48分）9.（10分）如图，与地面垂直的两根电线杆间的距离为x米，它们与地面的交点分别为B、D，分别在距地面高为5米的A处和高为10米的C处用钢索将两根电线杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点P离地面的高度PH.解：设PH=y米，BH=m米，DH=n米由△BPH∽△BCD，△DPH∽△DAB得;---------5分又x=m+n,所以答：钢索AD与钢索BC 的交点P离地面的高度PH为。

2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题(一)(历年真题汇总)

A
B
C
D
５．已知两圆的半径分别为6和1，当它们外切时，圆心距为 A．5 B．6 C．7 D．8 ６．如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U变化的图像是
1
2
7．下列事件是必然事件的是 A．直线 y 3 x b 经过第一象限； B．方程
D O B C
A
第９题 11． 2009 的相反数是 12．分解因式:2 m 2 2 = ．．
第１０题
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分．请将答案填在答题卡的相应位置上）
2
3 13．生物学家发现目前备受关注的甲H1N1病毒的长度约为0.000056毫米，用科学记数法表示为毫米． 14．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB= ． 15．海峡两岸血浓于水，“两岸三通”有了新发展，最近大陆与台湾的包机航班改为定期航班，受到两岸人民的欢迎．如图是我国政区图，根据图上信息，台北与北京的实际距离< 直线距离>约是千米（精确到千米）．
F
H
H(D)
F(C)
H(D)
A
B
C
D
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4 ，BD为⊙O的直径，则BD等于 A.4 B.6 C.8 D.12 10．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 n1 2 n 1 1 A． cm B． cm2 C． cm2 D． ( ) n cm2 4 4 4 4
3
4 （3）若这次竞赛成绩高于80分为优秀，
学生数
已知该校有900名学生参加了这次竞赛活动，请估计该校获得优秀成绩的学生人数约为多少名？ A F E C D B

重点高中自主招生数学(含答案)

重点高中自主招生数学试题答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1、已知实数a 满足，则等于（B ）|2|2a a -+=a （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）32、名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳人和人的两种帐篷，则有效搭建方案5032共有A ）（A ）8种（B ）9种（C ）种3、反比例函数与一次函数 1k y x -=y =B ）．是的平分线，∆70,=︒120,BPC ∠=︒BD ABP ∠CE( C )BFC =（（D ） 95︒100︒5、如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部ABCD A 30︒AB C D '''分的面积为（ A ）（A ）（B1（C ）（D ）112D C (A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)6、四条直线围成正方形。

现掷一个均匀且各面上6,6,6,6+=-=+-=--=x y x y x y x y ABCD 标有1、2、3、4、5、6的立方体，每个面朝上的机会是均等的。

连掷两次，以面朝上的数为点P 的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点落在正方形面上（含边界）P 的概率是（ D ）（A ）（B ）（C ）（D ）214397125二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）7、若，则的值为 0 .1,x =-43221x x x ++- 10、如图，双曲线与矩形OABC 的边CB ，BA 分别交于点E ，F 且AF ＝BF ，连2(0)y x x=>接EF ，则△OEF 的面积为 .2311、如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点 P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是_____14/3_______cm .12、对于正数x ，规定，例如。

上海市2015年重点中学自主招生数学模拟试题(含答案)

2016年重点中学自主招生数学模抵试題参考答案与并分标程一、选择题（共5小题，每題6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A, B, C,D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号壊入题后的括号内.不壊、多填或错填均不得分）1、如果关于x的方程x2-ax + a2-3 = Q至少有一个正根.则实数a的取值范围是（C ）A、-2<a<2B、>/3<a<2C、-75<a<2D、-V5<a<22、如图，己知：点£、F分别是正方形ABCD的边刀8、8C的中点，BD、QF分别交CE于点G、H .若正方形的面枳是240,则四边形8FHG的面积等于（B ）A、26B、28C、24 D. 303、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：归3一4 +仏％・4 = 缶二-伝二.则代数式x + y + z ^^xyz的值是............... （A ）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图.四边形8DCE内接于以BC为直径的QA.巳知：8C = 10,cosZBCD = |, ZBCE = 30°.则线段DE 的长是............. （D ）A、789B、7 73C、4+3 V3D、3+4 右5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个〃排的等腰梯形阵，且这〃排学生数按每排都比前一拝多一人的规律排列，则当〃取到最大值时.排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是............... （B ）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。

不设中间分）6、己知：实常数a、b、c、d同时満足下列两个等式：⑴asin0 + 8cosQ-c = O：（2）acosQ-Z）sin0 + d = O （其中。

为任意锐角），则。

、如c、d之间的关系式是:_a2 +b2 =c2 +d2_o7、函数J，= |x-1| + 2|x-2| + 3|x-3| + 4|x-4|的最小值是8 ________ .8、己知一个三角形的周长和面积分别是84、210. 一个单位圆在它的内部沿着三边勾速无摩擦地滾动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84-^9、己知：x=疽则可用含x的V5 + V2有理系数三次多项式来表示为：41 =1 3 11---- X ------ X。

2015高中阶段招生统一模拟考试数学试题3

2015年高中阶段招生统一模拟考试数学试卷本试卷共10页，分为A 卷（120分）、B 卷（30分），全卷150分，考试时间120分钟。

A 卷又分为第Ι卷和第II 卷。

A 卷（共120分）第I 卷（选择题共48分）一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确的字母填涂在答题卡上相应的位置。

1． 43-的倒数是 A ． 43 B ． 34- C ． 34 D ． 43-2．下列各数：3π，sin 30°，3-，4，其中无理数的个数是 A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 3．三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是A ．中线B ．角平分线C ．高D ．中位线 4A ．B ．C ．D ．5．下列实验中，概率最大的是A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面；B ．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别刻有数字1到6），掷出的点数为奇数；C ．在一副洗匀的扑克（背面朝上）中任取一张，恰好为方块；D ．三张同样的纸片，分别写有数字2，3，4，和匀后背面朝上，任取一张恰好为偶数 6．已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d 的范围是A ． 0<d <2B ． 1<d <2C ． 0<d <3D ． 0≤d <2 7．如图，点P 是等边△ABC 的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A 开始沿AB 边运动到B ，再沿BC 边运动到C 为止，设运动时间为t ，△ACP 的面积为S ，则S 与的大致图象是8．对于二次函数)3)(1(2-+=x x y ，下列说法正确的是 A ．图象的开口向下B ．当x >1时，y 随x的增大而减小 C ．当x <1时，y随x 的增大而减小 D ．图象的对称轴是直线1-=x 9．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是A ．两组对边分别平行B ．一组对边平行，另一组对边相等C ．一组对边平行且相等D ．两组对边分别相等 10．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍。

全国重点高中黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题3(附答案)

2015 重点高中自主招生数学模拟试题
一．选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A． 2 3 2 8 B． 3
2 3 C． 4 3
（ D ）
2 2 2 2 侧（左）视图俯视图
2
D． 2
3 3
正（主）视图
2.已知 A（ x1 ， y1 ），B（ x 2 ， y 2 ）是反比例函数 y
1 在平面直角坐标系 xOy 的第一象限 x
7 5 上图象的两点，满足 y1 y 2 ， x 2 x1 . 则 S AOB （ B ） 2 3
A． 2
10 11
B. 2
11 12
C. 2
12 13
4.有编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中取出 4 个，则取出的球的编号互不相 ( D ) 同的概率为 A. 5 . 21 B.
2 . 7
C.
1 3
D.
8 21
4 210 种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以 4、解从 10 个球中取出 4 个，不同的取法有 C10
4 7 8 4
+
+
7 1
+ 1
5
+
5 2
+
2 6
+
6 3
+
3 8
=32.
2014 10. 记 x 表示不超过实数 x 的最大整数， a k = (k=1,2, , 100, 则在这 100 个整数中， k 69 不同的整数的个数为
11.设非负实数 x,y,z 满足 x+y+z=1,则 t= 9 x 2 + 4 y 2 + 1 z 2 的最小值为

2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题(十一)(历年真题汇总)

（第4题图）DCBFEAEA2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题（十一）一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1.下列计算正确的是（） A 、22a ·632a a = B 、6329)3(a a = C 、326a a a =÷ D 、（632)--=a a 2．抛物线2)8(2+--=a y 的顶点坐标是（） A 、（2，8） B 、（8，2） C 、（—8，2） D 、（—8，—2） 3．已知圆锥的底面半径为9㎝，母线长为30㎝，则圆锥的侧面积为（） A 、270π2cm B 、360π2cm C 、450π2cm D 、540π2cm 4．如图，已知AB ∥CD ，AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有（） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 5．现有2008年奥运会福娃卡片20张，其中贝贝6张，京京5张，欢欢4张，迎迎3张，妮妮2张，每张卡片大小、质地均匀相同，将画有福娃的一面朝下反扣在桌子上，从中随机抽取一张，抽到京京的概率是（）A 、101B 、103C 、41 D 、516．如果一个定值电阻R 两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I 随它的两端电压U 变化的图像是（）7．如图是5×5的正方形网络，以点D 、E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出（） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个a ac丙︒72︒50　乙︒50甲a︒507250︒︒︒58c ba CB A（第9题图）B(第11题图） HGFED CBA8.如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（）A 、甲乙B 、甲丙C 、乙丙D 、乙 9．如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙0切BC 于点C ，若将⊙O 在 CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（）A 、2πB 、4πC 、32D 、4 10．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用X 、Y 表示直角三角形的两直角边（X ＞Y ），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A 、X 2＋Y 2＝49 B 、X －Y ＝2 C 、2XY ＋4＝49 D 、X ＋Y ＝13 11．如图，正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH 的面积为Y ，AE为X ，则Y 关于X 的函数图象大致是（）12．先作半径为22的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（）A 、（6)22 B 、（7)22 C 、（6)2 D 、7)2( 二、填空题（第小题4分，共24分） 13．我们知道，1纳米=10—9米，一种花粉直径为35000纳米，那么这种花粉的直径用科学记（第14题图）X数法可记米。

全国重点高中华中师大一附中2015年高中自主招生考试数学模拟试题(附答案)

确定一点 D,使得
的值最大，则 D 点的坐标为__________.
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 72 分）
13、（13 分）已知关于 x 的方程 (m2 1)x 2 3(3m 1)x 18 0 有两个正整数根（m
是整数）. △ABC 的三边 a、b、c 满足 c 2 3 ， m2 a 2m 8a 0 ， m2 b2m 8b 0 . 求：⑴ m 的值；⑵ △ABC 的面积.
O
C
如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的
横坐标为
6 5
，那么
EF=2GO
是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理
由；
（3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ
与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐
标；若不存在，请说明理由.
16、（13 分）已知点 P 是抛物线 y x2 上一点，过点 M（0，2）作半径为 2 的⊙M，
华师一附中 2015 年高中自主招生考试
参考答案
14、(15 分)如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，A（8，0），C（0，6），点 M 是 OA 的中点，P、Q 两点同时从点 M 出发，点 P 沿 x 轴向右运动；
点 Q 沿 x 轴先向左运动至原点 O 后，再向右运动到点 M 停止，点 P 随之停止运动．P、Q 两点运动的速度均为每秒 1 个单位．以 PQ 为一边向上作正方形 PRLQ．设点 P 的运动时间为 t（秒），正方形 PRLQ 与矩形 OABC 重叠部分（阴影部分）的面积为 S（平方单位）．（1）用含 t 的代数式表示点 P 的坐标；（2）分别求当 t=1，t=5 时，线段 PQ 的长；（3）求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）连接 AC．当正方形 PRLQ 与△ABC 的重叠部分为三角形时，直接写出 t 的取值范围．

北京市2015年高级中等学校招生考试数学试题(附答案) (1)

北京市2015年高级中等学校招生考试数学（本试卷满分120分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米．将140000用科学记数法表示应为（）A．14×104B．1.4×105C．14×106D．0.14×106答案：B 【解析】本题考查科学记数法，难度较小．科学记数法是将一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．用科学记数法表示一个数的关键是确定a和n的值．①确定a:a是只有一位整数的数，即1≤a＜10；②确定n：当原数≥10时，n等于原数的整数位数减去1（或等于原数变为a时，小数点移动的位数）；当0＜|原数|＜1时，n是负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零）（或n的绝对值等于原数变为a时，小数点移动的位数）．140000＝1.4×105，故选B．2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．d答案：A 【解析】本题考查有理数绝对值大小的比较，难度较小．数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，所以a的绝对值最大，故选A．3．一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）A．B．C．D．答案：B 【解析】本题考查概率的计算，难度较小．从3个红球，2个黄球，1个绿球中随机摸出一个小球是黄球的概率是，故选B．4．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A B C D答案：D 【解析】本题考查轴对称图形的判断，难度较小．轴对称图形为沿某条直线折叠直线两侧的部分能重合的图形，四个选项中只有D选项可以沿一条直线折叠，且折叠后直线两侧的部分能够重合，故选D．5．如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则∠3的度数为（）A．26°B．36°C．46°D．56°答案：B 【解析】本题考查平行线性质的应用，难度中等．因为l1∥l4，所以∠1＝∠3＋∠4＝124°，因为∠2＝∠4＝88°，所以∠3＝124°－∠4＝124°－88°＝36°，故选B．6．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5 km B．0.6 kmC．0.9 km D．1.2 km答案：D 【解析】本题考查直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，难度中等．由题意及图形知，故选D．7．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．21，21B．21，21.5C．21，22D．22，22答案：C 【解析】本题考查众数、中位数的计算，解题的关键在于根据条形图观察出隐含信息，然后作答，难度中等．观察条形图可知6月份气温是20℃的天数有4天，气温是21℃的天数有10天，气温是22℃的天数有8天，气温是23℃的天数有6天，气温是24℃的天数有2天，共30天，第15，16两个数均处于22℃，所以中位数为22℃，从条形图可以看出众数为21℃，故选C．8．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，则表示下列宫殿的坐标正确的是（）A．景仁宫(4，2)B．养心殿(－2，3)C．保和殿(1，0)D．武英殿(－3.5，－4)答案：B 【解析】本题考查根据实际已知点的坐标建立平面直角坐标系，判断相应点的坐标，难度中等．根据太和门及九龙壁的坐标建立平面直角坐标系，其中，中和殿的坐标为(0，0)，则景仁宫的坐标为(2，4)，养心殿的坐标为(－2，3)，保和殿的坐标为(0，1)，武英殿的坐标为(－3.5，－3)，故选B．【易错分析】原点的位置找错或是观察图形时在确定点的坐标过程出现错误．9．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50＋25×20＝550元．若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡答案：C 【解析】本题考查多种消费方式的费用比较，解题的关键在于根据题意建立费用关系式，难度较大．由于题目所给的条件是一个范围（45～55次），根据特殊与一般的关系，为使计算方便选择次数为50进行计算，购买A类会员年卡游泳50次的费用为50＋25×50＝1300元；购买B类会员年卡游泳50次的费用为200＋20×50＝1200元；购买C 类会员年卡游泳50次的费用为400＋15×50＝1150元，不购买会员卡需要的费用为30×50＝1500元，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡，故选C．【易错分析】不能根据范围进行特殊化处理解题．10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O答案：C 【解析】本题考查根据实际问题确定函数的图象，难度较大．从各选项出发，探究y与x的函数关系大致图象：A→O→B的路线与到M点的距离先减小，再增大的过程，函数图象没有对称关系，不符合图2，故错误；B→A→C的路线与到M点的距离先减小，再增大，达到最大值后再减小，减小到最小值后再增大，且在图象中两个最小值点靠近外侧图象成对称关系，不符合图2，故错误；B→O→C的路线，作ME⊥OB于点E，MF⊥OC 于点F，从B出发，到M点的距离越来越小，当到点E时达到最小值，后y变得越来越大，当到达点O时达到一较大值，然后又逐渐减小，到点F时达到最小值，后又逐渐增大，到点C时达到最大，符合图2，故正确；C→B→O的路线由C到B的过程中y的值可以等于0，而图象中没有这种情况，故错误，故选C．【易错分析】不能将运动路径上的x与y建立关系，从而无法解决问题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）11．分解因式：5x3－10x2＋5x＝________．答案：5x(x－1)2【解析】本题考查分解因式，难度较小．原式＝5x(x2－2x＋1)＝5x(x －1)2．12．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝________．答案：360°【解析】本题考查多边形外角和的计算，难度较小．凸多边形的外角和等于360°，所以这5个角的和为360°．【易错分析】不能将问题转化为求多边形的外角和从而不能快速解决问题．13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为________．答案：【解析】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，难度中等．依题意得5x＋2y＝10；2x＋5y＝8，所以此方程组为14．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________．答案：a＝1，b＝1（答案不唯一，满足a＝b2(a≠0)即可）【解析】本题考查一元二次方程根的情况的讨论，难度中等．由题意得Δ＝b2－4ac＝b2－a＝0，所以a＝b2．写出满足此条件的一对未知数的值即可，如a＝1，b＝1或－1等．15．北京市2009—2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约________万人次，你的预估理由是________ ________________________．答案：1000 增长趋势变缓【解析】本题考查对统计图的意义的理解，难度中等．预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据．从折线图分析2013年比2012年增加了210万人，2014年比2013年增加了50万人，由于2014年的比2013年的增速变缓，所以2015年北京市轨道交通日均客运量约1000万人次，预估理由是轨道交通日均客运量增长趋势变缓．【易错分析】不理解题意或是对结果的预计不够合理．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：求作：线段AB的垂直平分线．小芸的作法如下：B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是__________________________________________________．答案：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线【解析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图，难度中等．依据线段垂直平分线的逆定理和直线公理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线，从而做出线段AB的垂直平分线．三、解答题（本大题共13小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分5分）计算：．答案：（本小题满分5分）本题考查实数的相关计算，难度中等．解：．18．（本小题满分5分）已知2a2＋3a－6＝0，求代数式3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．答案：（本小题满分5分）本题考查代数式的化简求值，解题关键在于运用整式乘法法则化简代数式，然后利用整体代入法求代数式的值，难度中等．解：原式＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1＝(2a2＋3a－6)＋7＝7．19．（本小题满分5分）解不等式组并写出它的所有非负整数解．答案：（本小题满分5分）本题考查不等式组的解法，分别解两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在不等式组的解集中确定它所有的非负整数解，难度中等．解：原不等式组为解不等式①得x≥－2，解不等式②得，∴原不等式组的解集为，∴原不等式组的所有非负整数解为0，1，2，3．20．（本小题满分5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．答案：（本小题满分5分）本题考查等腰三角形三线合一的性质、同角的余角相等的性质，难度中等．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠CBE＝90°－∠C，∠CAD＝90°－∠C，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠BAD．21．（本小题满分5分）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？答案：（本小题满分5分）本题考查分式方程的应用，难度中等．解题关键在于根据题意列出分式方程求解，最后要对方程的解进行检验．解：设预计到2015年底，全市将有租赁点x个．由题意得，解得x＝1000，经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意．答：预计到2015年底，全市将有租赁点1000个．22．（本小题满分5分）在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．答案：（本小题满分5分）本题考查矩形的判定、平行线的性质及角平分线的判定，解题的关键在于根据勾股定理求得BC的长，难度中等．证明：（1）在□ABCD中，AB∥CD，∵DF＝BE，∴四边形BFDE为平行四边形．∠DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可得∠BFC＝90°．在Rt△BFC中，由勾股定理可得BC＝5，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA．∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，∴AF平分∠DAB．23．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b(k≠0)与双曲线的一个交点为P(2，m)，与x轴、y轴分别交于点A，B．（1）求m的值；（2）若PA＝2AB，求k的值．答案：（本小题满分5分）本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及相似三角形的判定及性质，解题的关键在于根据题意结合图形进行分类讨论，从而确定k的值，难度中等．解：（1）∵双曲线过点P(2，m)，∴m＝4．（2）由题意可知k＞0．当直线经过第一、二、三象限时，如图1．过点P作PH⊥x轴于点H，可得△PHA∽△BOA．∵PA＝2AB，∴，∴PH＝4，∴OB＝2．∴点B的坐标为(0，2)．由直线经过点P，B，可得k＝1．当直线经过第一、三、四象限时，如图2．同理，由PA＝2AB，可得点B的坐标为(0，－2)．由直线经过点P，B，可得k＝3．综上所述，k＝1或k＝3．24．（本小题满分5分）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．答案：（本小题满分5分）本题考查圆的相关性质、三角函数、勾股定理等知识，难度中等．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BM．∵CD∥BM，∴AB⊥CD，∴．∵，∴，∴AD＝AC＝DC，∴△ACD是等边三角形．（2）连接BD，如图．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝∠C＝60°，∴∠DBE＝30°．在Rt△BDE中，DE＝2，可得BE＝4，．在Rt△ABD中，可得．∴．在Rt△OBE中，由勾股定理可得．25．（本小题满分5分）阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动．虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次．其中，玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，比2013年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9万人次．根据以上材料解答下列问题：（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为________万人次；（2）选择统计表或统计图，将2013—2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．答案：（本小题满分5分）本题考查综合与实践，根据相关材料分析数据，再利用统计图表反映事物之间规律，解题的关键在于根据题意选择合适的统计图表展现此规律，难度中等．解：（1）40．（2）统计表如下：2013～2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量统计表（单位：万人次）26．（本小题满分5分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是________；（2）下表是y与x的几组对应值．求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是．结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：______________________________________．答案：（本小题满分5分）本题考查考生的归纳探究能力，解题关键在于根据题意进行操作与计算，然后通过观察图形确定相关的结论，难度中等．解：（1）x≠0．（2）当x＝3时，，∴．（3）该函数的图象如下图所示．（4）该函数的其他性质：①当x＜0时，y随x的增大而减小；当0＜x＜1时，y随x的增大而减小；当x≥1时，y随x的增大而增大．②函数的图象经过第一、二、三象限．③函数的图象与y轴无交点，图象由两部分组成．……（写出一条即可）27．（本小题满分7分）在平面直角坐标系xOy中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y＝ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．答案：（本小题满分7分）本题考查二次函数的相关知识，解题的关键在于根据题意画出图形，然后根据图形，通过数形结合、分类讨论进行分析得出结论，难度较大．解：（1）由题意可得点A的纵坐标为2，∴x－1＝2，解得x＝3，∴点A的坐标为(3，2)．∵点B与点A关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为(－1，2)．（2）∵抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B，∴解得∴抛物线C1的表达式为y＝x2－2x－1．∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，－2)．（3）由题意可知a＞0．当抛物线C2经过点B时，a＝2，此时抛物线C2与线段AB有两个公共点，不符合题意．当抛物线C2经过点A时，．结合函数的图象可知a的取值范围为．28．（本小题满分7分）在正方形ABCD中，BD是一条对角线．点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH．（1）若点P在线段CD上，如图1，①依题意补全图1；②判AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）答案：（本小题满分7分）本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质，难度中等．解题的关键在于根据题意画出图形，利用图形通过数形结合及相关知识求得结论．解：（1）①补全图形，如图1所示．②AH与PH的数量关系：AH＝PH，位置关系：AH⊥PH．证明：如图1．由平移可知PQ＝DC．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠BDQ＝45°，∴AD＝PQ．∵QH⊥BD，∴∠HQD＝∠HDQ＝45°，∴HD＝HQ，∠ADB＝∠DQH，∴△ADH≌△PQH，∴AH＝PH，∠AHD＝∠PHQ，∴∠AHD＋∠DHP＝∠PHQ＋∠DHP，即∠AHP＝∠DHQ＝90°，∴AH⊥PH．（2）求解思路如下：a．由∠AHQ＝152°画出图形，如图2所示．b．与②同理，可证△AHD≌△PHQ，可得AH＝PH；c．由∠AHP＝∠AHD－∠PHD＝∠PHQ－∠PHD＝90°，可得△AHP是等腰直角三角形；d．由∠AHQ＝152°，∠BHQ＝90°，可求∠BHA，∠DAH，∠PAD的度数；e．在Rt△ADP中，由∠PAD的度数和AD的长，可求DP的长．29．（本小题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P'，满足CP＋CP'＝2r，则称P'为点P关于⊙C的反称点．如图为点P及其关于⊙C的反称点P'的示意图．特别地，当点P'与圆心C重合时，规定CP'＝0．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断点M(2，1)，关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P'存在，且点P'不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P'在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．答案：（本小题满分8分）本题考查新定义，理解新定义，然后利用新定义的思想方法解决问题，解题的关键在于根据题意画出图形，然后根据图形进行分类讨论确定问题的结果，难度较大．解：（1）①点M关于⊙O的反称点不存在；点N关于⊙O的反称点存在，坐标为；点T关于⊙O的反称点存在，坐标为(0，0)．②如图1，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点E(2，0)，点F(0，2)．设点P的横坐标为x．（ⅰ）当点P在线段EF上，即0≤x≤2时，0＜OP≤2，∴在射线OP上一定存在一点P′，使得OP＋OP′＝2，∴点P关于⊙O的反称点存在，其中点P与点E或点F重合时，OP＝2，点P关于⊙O的反称点为O，不符合题意，∴0＜x＜2．（ⅱ）当点P不在线段EF上，即x＜0或x＞2时，OP＞2，∴对于射线OP上任意一点P′，总有OP＋OP′＞2，∴点P关于⊙O的反称点不存在．综上所述，点P的横坐标x的取值范围是0＜x＜2．（2）若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，则1＜CP ≤2．依题意可知点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为，∠BAO＝30°．设圆心C的坐标为(x，0)．①当x＜6时，过点C作CH⊥AB于点H，如图2，∴0＜CH≤CP≤2，∴0＜CA≤4，∴0＜6－x≤4，∴2≤x＜6，并且，当2≤x＜6时，CB＞2，CH≤2，∴在线段AB上一定存在点P，使得CP＝2，∴此时点P关于⊙C的反称点为C，且点C在⊙C的内部，∴2≤x＜6．②当x≥6时，如图3．∴0≤CA≤CP≤2，∴0≤x－6≤2，∴6≤x≤8．并且，当6≤x≤8时，CB＞2，CA≤2，∴在线段AB上一定存在一点P，使得CP＝2，∴此时点P关于⊙C的反称点为C，且点C在⊙C的内部，∴6≤x≤8．综上所述，圆心C的横坐标x的取值范围是2≤x≤8．综评：本试卷难度较小，题量较大，知识覆盖面广，覆盖数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践四大领域，能正确反映课程标准对学生“四基”“四能”的考查要求，多数题目为常规题，学生易于上手解决，从而让不同的学生都能获得比较满意的成绩，部分试题较灵活，能考查学生应用数学知识解决问题的能力，从而区分不同层次学生的学习能力，本卷中的特色题：反映函数与方程思想（第10，13，14，21题）；反映数形结合思想（第10，22，23，24，28，29题）；反映分类讨论思想（第27，19题），与实际生活紧密联系的试题（第8，9，15，25题）；阅读理解题（第8，9，13，15，16，25题）；综合与实践类题目（第8，25，26题）；创新类题目（第9，15，25，26，28题）．。

2015年福州一中自主招生数学试卷及答案!!!

福州一中2015年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）学校姓名准考证号注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）1．实数a 、b 在数轴上的位置如下图所示，则化简b a -－a 的结果为（）A ．2a b -+B ．b -C ．b a --2D ．b2．打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y （升）与时间x （分钟）之间满足某种函数关系，其函数图像大致为（）x yO x yO x yOxyOA ．B ．C ．D ． 3．对福州市自行车协会某次野外训练的中学生的年龄进行统计，结果如下：A ．17，15.5B ．17，16C ．15，15.5D ．16，164．下图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A B C 、、均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）ACBA ．B ．C ．D ．5．如下图所示，矩形纸片ABCD 中，2AB =，6AD =，将其折叠，使点D 与点B 重合，得折痕EF ，则tan BFE ∠的值是（） A ．72B ．1C ．2D ．3CADFBC'ECB xAyO C 1C 2C 3B 3B 2B 1第5题图第6题图6．如上图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC ，边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形11OBBC ，再以对角线1OB 为边作第三个正方形122OB B C ，照此规律作下去，则点2015B 的坐标为（）A ．()10082,0 B ．()100710072,2-C ．()100910092,2D ．()100710072,2-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．对正实数a b ，作定义a b a *=，若26x *=，则x = ．8．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x 个白球和y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是14，则y 与x 之间的函数关系式为．9．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 均在函数()00ky k x x=>>，的图象上，⊙A 与x 轴相切， ⊙B 与y 轴相切．若点A 的坐标为()32，，且⊙A 的半径是⊙B 的半径的2倍，则点B 的坐标为．10．若关于x 的不等式组62324x x a x x +<+⎧⎪⎨+>⎪⎩，有且只有四个整数解，则实数a 的取值范围是．11．将一副三角板按下图1所示的位置摆放，使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合．已知8AB AC ==，将MED ∆绕点()A M 逆时针旋转60后（如图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积是．B CA(M)DE图1 图212．甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，已知甲赛了5场，乙赛了4场，丙赛了3场，丁赛了2场，戊赛了1场，则小强赛了场．三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分13分）如图，过圆O 直径的两端点M N 、各引一条切线，在圆O 上取一点P ，过O 、P 两点的直线交两切线于R Q 、．（1）求证：NPQ △∽PMR △；（2）如果圆O 4PMR PNQ S S ∆∆=，求NP 的长．P OR QNM如图1，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为8-．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方．．的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合）．过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作P E A B ⊥于点E ，设PDE ∆的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数．比如：10631…图1164…图2他们研究过图1中的13610，，，，… ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的14916，，，，… ，这样的数为正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；（2）试证明，当k 为正整数时，(1)(2)(3)1k k k k ++++必为正方形数；（3）记第n 个k 边形数为()(),3N n k k ≥，例如()()1,312,33N N ==，，()2,44N =．（ⅰ）试直接写出(),3N n ，(),4N n 的表达式；（ⅱ）通过进一步的研究发现()231,522N n n n =-，()2,62N n n n =-，… ，请你推测()(),3N n k k ≥的表达式，并由此计算()10,24N 的值．福州一中2015年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7． 328．()35y x x =+是非负整数说明：不写范围不扣分 9． (16)，10．1214a <≤11．48-12．3三、解答题（本大题共3小题，满分40分）13．（1）证法一：∵MR NQ 、为圆O 的切线，∴90OMR ONQ ∠=∠= ，∵MOR NOQ ∠=∠，∴R Q ∠=∠，———① ………………… 3分 ∵MN 为圆O 的直径，∴90MPN ∠=，即90PMN PNM ∠+∠=， ∵90PNM PNQ ONQ ∠+∠=∠=， ∴PMN PNQ ∠=∠，∵OM OP =，∴PMN MPR ∠=∠，∴MPR PNQ ∠=∠，———② …………………6分由①②得NPQ PMR △∽△． …………………7分证法二：∵OP ON =，∴ONP OPN ∠=∠，∴QPN PON ONP OMP OPM OPN OMP MPN ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠， ∵RMP OMP OMR ∠=∠+∠，且90OMR MPN ∠=∠=， ∴RMP QPN ∠=∠，———③ 由①③得NPQ PMR △∽△．证法三：由②③得NPQ PMR △∽△．（注：其他证法对应给分）P ORQNM解：（2）由（1）知NPQ PMR △∽△，∴2PMPN==， …………………………… 10分设PN x =，则2PM x =，∵90MPN ∠=， ∴222MN PM PN =+，即(2224x x =+，……………………………12分解得2x =，即2NP =． ……………………………13分14．解：（1）对于3342y x =-，当0y =时，2x =；当8x =-时，152y =-． ∴A 点坐标为(20)，，B 点坐标为15(8)2--，，…………………………………2分由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得120151682b c b c -++=⎧⎪⎨--+=-⎪⎩，解得3542b c =-=，． ∴2135442y x x =--+． …………………………………4分（2）设直线AB 与y 轴交于点M ，当0x =时，32y =-． ∴32OM =．∵A 点坐标为(20)，，∴2OA =，∴52AM ==． …………………………………6分∵::3:4:5OM OA AM =．由题意得，PDE OMA ∠=∠，90AOM PED ∠=∠=︒，∴AOM ∆∽PED ∆． …………………………………7分 ∴::3:4:5DE PE PD =． …………………………………8分 ∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点， ∴P D PD y y =-=221353313()()44424242x x x x x --+--=--+，……10分 ∴22121331848(4)542555l x x x x =--+=--+()82x -<<，……………11分 ∴23(3)155l x =-++，∴3x =-时15l =最大． …………………………………13分15．解：（1）36． …………………………………4分（2）∵(1)(2)(3)1k k k k ++++(3)(1)(2)1k k k k =++++ …………………………………6分 22(3)(32)1k k k k =++++ 222(3)2(3)1k k k k =++++ 22(31)k k =++∴(1)(2)(3)1k k k k ++++是完全平方数，即为正方形数．……………8分（3）（ⅰ）(,3)N n (1)2n n +=， …………………………………9分 2(,4)N n n =． …………………………………10分（ⅱ）观察(,3)N n 2(1)22n n n n ++==，2220(,4)2n n N n n +⋅==， 23(,5)2n n N n -=，242(,6)2n nN n -=，… ，由其变化规律，推测2(2)(4)(,)2k n k nN n k -+-=，…………13分∴(10,24)1000N =． (14)分。

2015年高校自主招生数学模拟试卷(2)

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形
(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|＝4，4z122z1z2＋z22＝0，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
(A)8(B)4(C)6(D)12
求：的最大值及取得最大值时椭圆C的率心率e的值．
2015年高校自主招生数学模拟试卷（2）
参考答案
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．对于每个自然数，抛物线与轴交于两点，以表示该两点间的距离，则的值是( )
(A) 2015(B) 2016(C) (D)
解：，∴ |AnBn|＝－，
于是＝，选C．
解：cos∠OZ1Z3＝＝－．即∠OZ1Z3＝＝120°，
(A)8(B)4(C)6(D)12
解：＝cos±isin．∴|z2|＝8，z1、z2的夹角＝60°．S＝·4·8·＝8．选A．
6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10＋x)＝f(10x)，f(20x)＝f(20＋x)，则f(x)是
(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数
解：因为，所以，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，接近2S，故选A．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b1)，且，都是方程logx＝logb(4x－4)的根，则△ABC( )
(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形
(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
(D)
3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记，则λ一定满足( )

【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2015年自主招生考试数学试题(含解析)

2015年湖南省长沙市长郡中学自主招生考试数学试卷（理实班）一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．1．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．9 D．123．若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF=：1 C．AF2=FH•FE D．FB：FC=HB：EC5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22 B．24 C．36 D．446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30 B．35 C．56 D．448二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．7．若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA= ．8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是．10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm．11．物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是．12．设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三、解答题：本题有4个小题，共60分．13．如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．14．已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0当比赛进行到12轮结束已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2015年湖南省长沙市长郡中学自主招生考试数学试卷（理实班）参考答案与试题解析一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．1．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个【考点】零指数幂．【专题】分类讨论．【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为﹣1，指数为偶数．【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x﹣1≠0时，解得x=﹣3；（2）当x2+x﹣1=1时，解得x=﹣2或1．（3）当x2+x﹣1=﹣1，x+3为偶数时，解得x=﹣1因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．故选B．【点评】本题考查了：a0=1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C，需特别注意．2．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．9 D．12【考点】等边三角形的性质．【专题】面积法．【分析】先设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，根据S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB，得出ah1+ ah2﹣ah3=，再根据h2+h3﹣h1=6，求得a=4即可得到等边△ABC的面积．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB，即ah1+ah2﹣ah3=，∴a（h2+h3﹣h1）=，∵h2+h3﹣h1=6，∴a=4，∴S△CAB==12，故选（D）．【点评】本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长之间的关系．根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键．3．若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大【考点】实数大小比较．【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．【解答】解：∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3=﹣0.000 000 001，=﹣0.1，=﹣1000，∴最小，a3最大，故选A．【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF=：1 C．AF2=FH•FE D．FB：FC=HB：EC【考点】旋转的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH•FE不正确．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22 B．24 C．36 D．44【考点】三角形的面积．【分析】可设S△ADF=m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．【解答】解：如图，连AF，设S△ADF=m，∵S△BDF：S△BCF=10：20=1：2=DF：CF，则有2m=S△AEF+S△EFC，S△AEF=2m﹣16，而S△BFC：S△EFC=20：16=5：4=BF：EF，又∵S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4，而S△ABF=m+S△BDF=m+10，∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4=（m+10）：（2m﹣16），解得m=20．S△AEF=2×20﹣16=24，S ADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30 B．35 C．56 D．448【考点】整数问题的综合运用．【专题】数字问题．【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152=105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3=每天3个班再用105除以3=35天．【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152=105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105÷（24÷8）=35（天）．故选：B．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．7．若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA= ．【考点】解一元二次方程﹣配方法；锐角三角函数的定义．【分析】先解一元二次方程，再根据锐角三角函数的定义得出即可．【解答】解：4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，（2sinA﹣cosA）2=0，2sinA﹣cosA=0，2sinA=cosA，tanA==，故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和解一元二次方程等知识点，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过 2 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC=3x，AC=12x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；∴122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2，解得：x=2或﹣2（舍去）．即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+．【考点】二次函数综合题．【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴二次函数解析式为：y=﹣x2﹣x+．故答案为：y=﹣x2﹣x+．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20 cm．【考点】相切两圆的性质．【分析】首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．【解答】解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，∴AB=25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=90°，过点B作BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴四边形ECDB是矩形，∴BE=CD，EC=BD=5cm，∴AE=AC﹣EC=15cm，在Rt△AEB中，BE===20（cm），∴CD=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．11．物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是（﹣，﹣2）．【考点】规律型：点的坐标．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A与物质B 的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×=，物质B行的路程为16×=，在BC边相遇；②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×=，物质B行的路程为16×2×=，在DE边相遇；③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×=16，物质B行的路程为16×3×=32，在A点相遇；④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4，物质A行的路程为16×4×=，物质B行的路程为16×4×=，在BC边相遇；⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5，物质A行的路程为16×5×=，物质B行的路程为16×5×=，在DE边相遇；…综上可得相遇三次一个循环，因为2015=3×671+2，即第2015次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第2015次相遇在边DE 上，点的坐标是（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大．12．设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（﹣1 ）k﹣1 a （k为正整数，用a表示，不必证明）【考点】相切两圆的性质；勾股定理；正方形的判定与性质．【专题】规律型．【分析】（1）连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，得到AC=2a﹣2r，根据正方形的性质和勾股定理得到AC=2r，推出方程2a﹣2r=2r，求出即可；（2）求出r=（﹣1）a，r3=（﹣1）r=a，r4=，得出圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a即可．【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，∴AC=2a﹣2r，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，由勾股定理得：AC=2r，∴2a﹣2r=2r，解得：r=（﹣1）a，故答案为：（﹣1）a．（2）解：由（1）得：r=（﹣1）a，同理圆C3的半径是r3=（﹣1）r=a，C4的半径是r4=，…圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a，故答案为：r k=（﹣1 ）k﹣1 a．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．三、解答题：本题有4个小题，共60分．13．如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据O为AD中点，OC∥AE，得到2OC=AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC=AD，从而得到AD=AE；（2）根据平行四边形的性质得到BC∥AD，再根据C为中点，得到AB=BE=4，从而求得BC=BE=4，然后连接BD，得到∠DBE=90°，进而得到BE=BC=CE=4，然后求面积即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC=AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC=AD，∴AD=AE．（2）由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又C为中点，∴AB=BE=4，∵AD=AE，∴BC=BE=4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE=90°，∴CE=BC=4，即BE=BC=CE=4，∴所求面积为4．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理．14．已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）先判断出△的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）∵△=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4，∴|AB|=2．又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b=﹣（p﹣1）2﹣1．当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=|AB||b|取最小值1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．15．某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0当比赛进行到12轮结束（2015•天心区校级自主招生）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x ﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y=x﹣1与C点不过y=x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，即可求得a 的取值范围；②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y=x﹣1下方．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；若C点过y=x﹣1；则2=（m+3）﹣1，m=﹣1与m＞0不合；∴C点不过y=x﹣1；若点D过y=x﹣1，则2=m﹣1，m=2，∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（，0），由于y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，∴，∴，∴y=ax2﹣7ax+10a（也可得：y=a（x﹣2）（x﹣5）=a（x2﹣7x+10）=ax2﹣7ax+10a）∴y=a（x﹣）2﹣a；∴抛物线顶点P（，﹣ a）∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，∴＜﹣a＜2，∴﹣＜a＜﹣．②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴AF=QF，CQ=BC=2，∴CF=n+2，DF=2﹣n；在Rt△DCF中，∵DF2+DC2=CF2；∴32+（2﹣n）2=（n+2）2，∴n=，∴F（2，）∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴﹣a=，∴a=﹣；∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣5，抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5），又直线y=x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；∴Q在直线y=x﹣1下方．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。

2015年全国高校自主招生数学模拟试卷2

但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此时M=log2．于是M的最小值≤log2．
∴所求值=log2．
三、（本题满分20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤－×2=．
∴cosxsinycosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos2x+cosxsin(y－z)≥cos2=．即最小值．
(A)x100a，S100=2ba(B)x100b，S1002ba
(C)x100b，S100=ba(D)x100a，S100ba
解：x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a，
又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2b－a．选A．
(由于≤x≤，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z=，x=时，cosxsinycosz=．
∵cosxsinycosz=cosz×[sin(x+y)－sin(x－y)]=cos2z－coszsin(x－y)．
三、（20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
四、(20分)
设双曲线xy1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
(2)设P(1，1)在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．
解：f(x)的对称轴为x=，
易得，0<α<<<β<<<γ<<<δ<．选B．

2015年高校自主招生数学模拟试卷(6)

2015年高校自主招生数学模拟试卷（6）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P−ABCD 中，∠APC ＝60°，则二面角A−PB−C 的平面角的余弦值为（）A. 71B. 71-C. 21D. 21-2. 若21sin cos =-x x ，则=-x x 33sin cos （） A.83 B.1611 C. 1611-D. 83-3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于（） A.8152B.8159 C.8160 D.8161 4. 设函数1cos 2sin 3)(++=x x x f ．若实数a 、b 、c 使得1)()(=-+c x bf x af 对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（） A. 21-B.21 C. −1 D. 15. 设b a ,是不共线的两个向量．已知k +=2，+=，32-=，若S Q P ,,三点共线，则k 的值为_______．A. 1-B. 3-C. 34-D. 53-6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集．若n ∈A 时总有B n ∈+22，则集合A ∪B 的元素个数最多为（） A. 62B. 66C. 68D. 74DP二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则PD PC PB PA +++的最小值为__________．8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________．9. 已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________．10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数．若a 1＝d ，b 1＝d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________．11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为________． 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）．三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 求证：3131211333<++++n．14. 已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：)0(1>+=x xx y 交于两个不同点M 和N ．求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹．15. 设函数)(x f 对所有的实数x 都满足)()2(x f x f =+π．求证：存在4个函数)4,3,2,1)((=i x f i 满足：（1）对4,3,2,1=i ，)(x f i 是偶函数，且对任意的实数x ，有)()(x f x f i i =+π；（2）对任意的实数x ，有x x f x x f x x f x f x f 2sin )(sin )(cos )()()(4321+++=．2015年高校自主招生数学模拟试卷（6）参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P−ABCD 中，∠APC ＝60°，则二面角A−PB−C 的平面角的余弦值为（ B ）A. 71B. 71-C. 21D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M ．连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A−PB−C 的平面角．不妨设AB ＝2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM ．在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC ．2.若21sin cos =-x x ，则=-x x 33sin cos （） A.83 B.1611 C. 1611-D. 83-解：因为21sin cos =-x x ，有832211sin cos 2=-=x x ， )sin cos sin )(cos sin (cos sin cos 2233x x x x x x x x ++-=-=+⨯=)831(211611．故选B ．3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式a −2b ＋10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92＝81个．由不等式a −2b ＋10>0得2b ＜a ＋10，于是，当b ＝1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、DPM9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5＝45种；当b ＝6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b ＝7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b ＝8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b ＝9时，a 只能取9，有1种．于是，所求事件的概率为816181135745=++++．4. 设函数1cos 2sin 3)(++=x x x f ．若实数a 、b 、c 使得1)()(=-+c x bf x af 对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（ C ） A. 21-B.21 C. −1 D. 1解：令c ＝π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )＋f (x−c )＝2，于是取21==b a ，c ＝π，则对任意的x ∈R ，af (x )＋bf (x−c )＝1，由此得1cos -=acb ．一般地，由题设可得1)sin(13)(++=ϕx x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ϕ，其中20π<<ϕ且32tan =ϕ，于是1)()(=-+c x bf x af 可化为 1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ϕϕ，即0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ϕϕϕ，所以 0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ϕϕ．由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+)3(01)2(0sin )1(0cos b a c b c b a ，若b ＝0，则由(1)知a ＝0，显然不满足(3)式，故b≠0．所以，由(2)知sin c ＝0，故c ＝2kπ＋π或c ＝2kπ(k ∈Z )．当c ＝2kπ时，cos c ＝1，则(1)、(3)两式矛盾．故c ＝2kπ＋π(k ∈Z )，cos c ＝−1．由(1)、(3)知21==b a ，所以1cos -=ac b ． 5. 设,是不共线的两个向量．已知k +=2，+=，32-=，若S Q P ,,三点共线，则k 的值为__C __．A. 1-B. 3-C. 34-D. 53-解：由b k a PQ +=2，又b a RS QR QS 23-=+=，又因为 S Q P ,,三点共线，所以Q ∥，所以 k 34-=，即34-=k ，故选C ． 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集．若n ∈A 时总有2n ＋2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ B ） A. 62B. 66C. 68D. 74解：先证|A ∪B |≤66，只须证|A |≤33，为此只须证若A 是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n ∈A ，使得2n ＋2∈B ．证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个．由于A 是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ，即存在n ∈A ，使得2n ＋2∈B ．如取A ＝{1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}， B ＝{2n ＋2|n ∈A }，则A 、B 满足题设且|A ∪B |≤66．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |的最小值为5223+ ．解：如图，设AC 与BD 交于F 点，则|PA |＋|PC |≥|AC |＝|FA |＋|FC |，|PB |＋|PD |≥|BD |＝|FB |＋|FD |，因此，当动点P 与F 点重合时，|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |取到最小值5223||||+=+BD AC ．8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于32．解：因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅BF AB AC BE AB AB ，即22=⋅+⋅+⋅+BF AC AB AC BE AB AB ．因为12=AB ，P FDCB1133236133133-=⨯⨯-+⨯⨯=⋅，-=，所以21)(1=--⋅+，即2=⋅BC BF ．设EF 与BC 的夹角为θ，则有2cos ||||=⋅⋅θ，即3cos θ＝2，所以32cos =θ． 9. 已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于635π．解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上．在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为332=AE ，AA 1＝1，则61πAE A =∠．同理6πBAF =∠，所以6πEAF =∠，故弧EF 的长为ππ936332=⋅，而这样的弧共有三条．在面BB 1C 1C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为33，2πFBG =∠，所以弧FG 的长为ππ63233=⋅．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为635633933πππ=⨯+⨯． 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数．若a 1＝d ，b 1＝d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于 21．解：因为22111212121321232221114)2()(qq q b q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1＋q ＋q 2为m 14，其中m 为正整数．令mq q 1412=++，则 mmm q 4356211144121-+-=-++-=．由于q 是小于1的正有理数，所以3141<<m，即5≤m ≤13且m m 4356-是某个有理数的平方，由此可知21=q ． 11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为554．解：实际上)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y ＝g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)＝g (x 1)．于是)(2)(2)(2)()(22212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f (x )在]45,43[上是减函数，所以554)45()(=≥f x f ，即f (x )在]45,41[上的最小值是554． 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 3960 种（用数字作答）．解：使2个a 既不同行也不同列的填法有C 42A 42＝72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C 42A 42＝72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有C 161A 92＝16×72种．所以，符合题设条件的填法共有722−72−16×72＝3960种．三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 求证：3131211333<++++n．证明1：111))1(1)1(1()1()1(113+-+⋅+--=+-<m m mm mm m m m m=（2111)1111-++⋅⋅+--m m mm m而m m m m m =-++<-++211211111113+--<m m m原式＜1＋111141213111+--++-+-n n ＝3111222<+--+n n证明2：)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n11)1(1121---=-+-<n n n n n n n nn n n n n nn 111)1(121--=---<原式〈323)1113121211(21<-=--++-+-+nnn14. 已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：)0(1>+=x xx y 交于两个不同点M 和N ．求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹．解：设点M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为l 1、l 2，其交点P 的坐标为(x p ，y p )．若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=11kx y xx y ，消去y ，得11+=+kx x x ，即(k −1)x 2＋x −1＝0．由题意知，该方程在(0，＋∞)上有两个相异的实根x 1、x 2，故k ≠1，且Δ＝1＋4(k −1)>0…(1)，01121>-=+k x x …(2)，01121>-=k x x …(3)，由此解得143<<k ．对xx y 1+=求导，得211x y'-=，则2111|1x y'x x -==，2211|2x y'x x -==，于是直线l 1的方程为))(11(1211x x x y y --=-，即))(11()1(12111x x x x x y --=+-，化简后得到直线l 1的方程为1212)11(x x x y +-=…(4)．同理可求得直线l 2的方程为2222)11(x x x y +-=…(5)．(4)−(5)得022)11(212122=-+-x x x x x p ，因为x 1≠x 2，故有21212x x x x x p +=…(6)．将(2)(3)两式代入(6)式得x p ＝2．(4)＋(5)得)11(2))11(2(2212221x x x x x y p p +++-=…(7)，其中111212121=+=+x x x x x x ，12)1(212)(2)(112122121222121221222122212221-=--=-+=-+=+=+k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x ，代入(7)式得2y p ＝(3−2k )x p ＋2，而x p ＝2，得y p ＝4−2k ．又由143<<k 得252<<p y ，即点P 的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）．15. 设函数)(x f 对所有的实数x 都满足)()2(x f x f =+π．求证：存在4个函数)4,3,2,1)((=i x f i 满足：（1）对4,3,2,1=i ，)(x f i 是偶函数，且对任意的实数x ，有)()(x f x f i i =+π；（2）对任意的实数x ，有x x f x x f x x f x f x f 2sin )(sin )(cos )()()(4321+++=．证明：记2)()()(x f x f x g -+=，2)()()(x f x f x h --=，则f (x )＝g (x )＋h (x )，且g (x )是偶函数，h (x )是奇函数，对任意的x ∈R ，g (x ＋2π)＝g (x )，h (x ＋2π)＝h (x )．令2)()()(1πx g x g x f ++=，⎪⎩⎪⎨⎧+=+≠+-=202cos 2)()()(2πk πx πk πx x πx g x g x f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=k πx k πx xπx h x h x f 0sin 2)()()(3，⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=2022sin 2)()()(4k πx k πx x πx h x h x f ，其中k 为任意整数．容易验证f i (x )，i ＝1，2，3，4是偶函数，且对任意的x ∈R ，f i (x ＋π)＝f i (x )，i ＝1，2，3，4．下证对任意的x ∈R ，有f 1(x )＋f 2(x )cos x ＝g (x )．当2πk πx +≠时，显然成立；当2πk πx +=时，高等院校自主招生数学模拟试卷戴又发编第11页因为2)()()(cos )()(121πx g x g x f x x f x f ++==+，而 )()2()2())1(223()23()(x g πk πg πk πg πk πk πg πk πg πx g =+=--=+-+=+=+，故对任意的x ∈R ，f 1(x )＋f 2(x )cos x ＝g (x )．下证对任意的x ∈R ，有f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ＝h (x )．当2k πx ≠时，显然成立；当x ＝kπ时，h (x )＝h (kπ)＝h (kπ−2kπ)＝h (−kπ)＝−h (kπ)，所以h (x )＝h (kπ)＝0，而此时f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ＝0，故h (x )＝f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ；当2πk πx +=时， )()2()2())1(223()23()(x h πk πh πk πh πk πk πh πk πh πx h -=+-=--=+-+=+=+，故)(2)()(s i n )(3x h πx h x h x x f =+-=，又f 4(x )sin2x ＝0，从而有h (x )＝f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ．于是，对任意的x ∈R ，有f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ＝h (x )．综上所述，结论得证．。

全国重点高中XXX2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(A卷)(附答案)

全国重点高中XXX2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(A卷)(附答案)XXX2015年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（A卷）时间：120分钟，满分：120分一、选择题（每小题5分，共30分）1.已知 $x-\frac{5x-2012}{x-2}$，则代数式的值是（）。

A。

2013.B。

2015.C。

2016.D。

20172.已知$S=\frac{1}{1980}+\frac{1}{1981}+\frac{1}{1982}+。

+\frac{1}{2012}$，则 $S$ 的整数部分是（）。

A。

59.B。

60.C。

61.D。

633.已知四边形 $ABCD$，下列条件：①$AB∥CD$；②$BC∥AD$；③$AB=CD$；④$BC=AD$；⑤$\angleA=\angle C$；⑥$\angle B=\angle D$。

任取其中两个，可以得出“四边形 $ABCD$ 是平行四边形”的概率是（）。

A。

$\frac{2}{3}$。

B。

$\frac{3}{4}$。

C。

$\frac{3}{5}$。

D。

$\frac{7}{15}$4.如图，矩形 $ABCD$ 的长为6，宽为3，点 $O_1$ 为矩形的中心，$⊙O_2$ 的半径为1，$O_1O_2⊥AB$于点 $P$，$O_1O_2=6$。

若 $⊙O_2$ 绕点 $P$ 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，$⊙O_2$ 与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）。

A。

3次。

B。

4次。

C。

5次。

D。

6次5.如图，$ABCD$ 是正方形场地，点 $E$ 在 $DC$ 的延长线上，$AE$ 与 $BC$ 相交于点 $F$。

有甲、乙、丙三名同学同时从点 $A$ 出发，甲沿着 $A-B-F-C$ 的路径行走至 $C$，乙沿着 $A-F-E-C-D$ 的路径行走至 $D$，丙沿着 $A-F-C-D$ 的路径行走至 $D$。

若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）。