三角形数学思想方法
八年级数学几何图形第02讲 三角形中的数学思想方法与热点题型(学生版)
第02讲三角形中的数学思想与热点题型（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一方程思想典例1在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠A的3倍与∠B的2倍相等，∠B的5倍与∠C的6倍相等，求∠A：∠B：∠C：∠D．典例2（江阴市期中）如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝132°，∠BGC ＝118°，则∠A的度数为（）A．65°B．66°C．70°D．78°针对训练11．（2018秋•安庆期末）已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（）本*号资料皆来源于微信公众号：数学第六感A．85°B．95°C．100°D．110°3．（2020春•江都区期中）如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是．4．（2021•柳南区校级模拟）一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是．2．（2021春•锡山区期中）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE ＝10°，∠B＝60°，求∠A的度数．类型二分类讨论思想典例3（永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）* 本号@资料皆*来源于微信公众号：数学第六感①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．典例4（平泉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．针对训练25．（2017春•景德镇期中）已知一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为6cm，那么这个等腰三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．以上都不对6．将长为24的木棒截成互不相等的且长都为整数的三段，使这三段能构成一个三角形的三条边，则不同的截法有种．。
三角形面积公式及其蕴含的思想方法
三角形面积公式及其蕴含的思想方法三角形面积公式：
1、边长公式：三角形面积S等于三条边a,b,c之积的二分之一：
S=a*b*c/2。
2、海伦公式：三角形面积S等于两边a,b之积乘以正弦C角度：
S=a*b*sinC/2。
3、高斯计算公式：设三边长a,b,c满足a+b>c。
将三角形的面积公式化为：S=(a+b+c)*T，T=(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)的负平方根的四分之一。
4、三角函数公式：如果知道三角形角A,B,C的大小，可用下公式求三
角形面积： S=1/2*a*b*sinC。
思想方法：
1、图形和数学结合：三角形是一个简单的图形，但其内部具有许多复
杂的几何关系，研究三角形面积的本质，我们需要结合图形和数学，
一般用直角三角形的定义、定理及它的图形进行推理。
2、抽象类比：通过把多边形的一般概念表示为抽象的曲线，不断研究
抽象曲线的几何特征，以此发现或证明许多定理，如由抽象几何发展
而出，可以为许多具体几何问题提供有效的解决方案。
3、函数分析思想：利用一元三次函数、函数图形关系、三角函数关系，分析函数有关三角形表达式并加以求解，提出和证明几何定理，从中
发现精确的表达式。
4、动态可视化：将数学分析和计算中直观可视的方式结合起来，可利
用动态可视化系统演示三角形面积的推理，从而构建有用的数学经验
和规律，研究及提出精确的表达式。
总之，从三角形面积公式及其蕴含的思想方法中，可以看出，充分利
用原理和定理的物理和数学结合，能够深入探究三角形面积的本质，
从而构建有用的数学经验和规律，研究及提出精确的表达式。
《三角形》中数学思想方法简介
《三角形》中数学思想方法简介三角形是几何学中重要的概念，也是我们日常生活中经常遇到的形状。
它具有独特的数学思想方法，通过对其性质和关系的研究，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将简要介绍三角形的数学思想方法。
一、三角形的定义和性质三角形是由三条线段组成的平面图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。
根据三边的长度关系，三角形可分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形等不同类型。
三角形具有丰富的性质，如角的性质、边的性质和面积的性质等。
其中，角的性质包括内角和外角之和等于180度，且内角可以根据边的关系分为锐角、直角和钝角。
边的性质包括边长之间的关系和角边关系，如直角三角形中的勾股定理。
三角形的面积可以通过底边长度和高的乘积除以2来计算，也可以通过海伦-秦九韶定理等公式计算。
二、三角形的基本构造在解决与三角形相关的问题时，我们常常需要进行三角形的基本构造。
其中，根据已知条件构造三角形的方法包括重心法和相似三角形法。
重心法是通过三角形的三个顶点的重心（三条中线的交点）来构造三角形。
具体操作是，将三角形中任意一边的中点连接到它所对的顶点，然后将这条线段与其他两个顶点所在的边连接，最终得到一个新的三角形。
相似三角形法是通过已知三角形的一些性质，判断和应用相似三角形的关系来构造三角形。
相似三角形具有相同的内角和边比例，根据这个性质，我们可以通过已知三角形的一些边的长度和角的大小，推导出其他角和边的长度。
三、三角形的应用三角形作为数学的基础概念，广泛应用于各个领域。
以下是三角形在几何学、物理学和工程学等方面的应用举例：1. 几何学：三角形的性质可以帮助我们解决平面几何中的角度关系和长度关系问题，如证明两个三角形相似、计算三角形的面积等。
2. 物理学：三角形的三边和内角的关系可以帮助我们解决物理学中的力的合成问题，如分解一个力为两个力的合力。
3. 工程学：三角形可以用于测量不可直接测量的物体的高度或距离，如三角仪的使用。
三角形的数学思想
三角形的数学思想三角形是数学中一个重要的几何图形，其数学思想在几何学、代数学和应用数学等多个领域起着重要的作用。
本文将从不同角度探讨三角形的数学思想。
一、三角形的组成和性质三角形是由三条边和三个角组成的闭合图形，其性质主要包括角度和边长。
首先，三角形的三个内角之和为180度，这是三角形的重要性质之一。
其次，三角形的内角可以分为锐角、直角和钝角三种情况，具有不同的特征和性质。
另外，三角形的边长满足两边之和大于第三边的三角不等式。
二、三角形的分类和关系根据三边的长度和角的大小，可以将三角形进行分类。
其中，按边长可分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形；按角度可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
不同类型的三角形具有独特的性质和特点，如等边三角形的三条边相等，直角三角形的一个角为90度等。
三、三角形的重要定理和公式在三角形的研究中，存在一些重要的定理和公式。
欧拉定理是其中一个重要的定理，它指出三角形的顶点、重心、外心和内心四个特殊点共线。
勾股定理则是三角形中最为著名和常用的定理，它描述了直角三角形两条直角边长度关系。
此外，海伦公式可以用来计算三角形面积，它利用三角形的三条边长度来求解。
四、三角形在几何学中的应用三角形的数学思想在几何学中有广泛的应用。
首先，三角形是其他几何图形组成的基础，通过分解和组合三角形，可以得到其他多边形的面积和周长。
其次，三角形的相似性质可以用来解决高度和距离的测量问题。
例如，通过测量角度和边长，可以利用三角函数计算建筑物的高度或者遥感影像中目标的距离等。
五、三角形在代数学中的应用三角形的数学思想也在代数学中发挥重要的作用。
三角函数是代数学中的一个重要概念，通过角度和三角比值之间的关系，可以描述各种周期现象。
三角函数在物理、工程和计算机图形学等领域中广泛应用，如描述振动、电磁波和图形旋转等。
六、三角形在应用数学中的应用除了几何学和代数学，三角形的数学思想在应用数学中也有许多应用。
解直角三角形中涉及的主要数学思想
解直角三角形中涉及的主要数学思想作者：刘长征来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第05期解直角三角形是初中数学的重要内容之一，利用解直角三角形的方法解答一些实际问题，是同学们学习中的难点之一，也是近几年中考的热点问题.在解答与之相关的问题时，除必须掌握直角三角形的边角关系及有关概念（如仰角、俯角、方向角、坡角等）外，还要灵活运用一些重要的数学思想.本文从2013年各地的中考题中选择几例进行分析说明.1数形结合的思想解直角三角形时要用到三边之间的数量关系，边角之间的关系等，所有解直角三角形的应用题，都是首先在对图形进行直观分析的基础上，找出直角三角形中边、角之间的关系，然后根据给定的条件，选择有关的关系式解决的.在这个过程中自然就把数和形结合在了一起，直接体现着数形结合的思想.所谓数形结合思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案.例1（天津市）天塔是天津市的标志性建筑之一.某校数学兴趣小组要测量天塔的高度.如图1，他们在点A处测得天塔的最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m.根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈073，结果保留整数）.分析仔细分析图形1，发现本题涉及两个直角三角形，Rt△ADC和Rt△BDC，考虑Rt△ADC，则有AD=CD，考虑Rt△BDC，则有tan∠BCD=BD1CD.图1解如图1，根据题意，有∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112.因为在Rt△ADC中，∠ACD=∠CAD=45°，所以AD=CD.又AD=AB+BD，所以BD=AD-AB=CD-112.因为在Rt△BDC中，∠BCD=90°-∠CBD=90°-54°=36°，tan∠BCD=BD1CD，即tan 36°=BD1CD，得BD=CD·tan 36°.由此可得，CD·tan 36°=CD-112.所以CD=11211-tan 36°≈11211-0.73≈415.答：天塔的高度CD约为415米.点评从最广泛的意义上来理解数学的话，它就是研究两个问题：数和形.数与形是数学大厦最深处的两块奠基石，全部数学都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的.两者在内容上互相交叉，在方法上相互渗透、补充、并在一定条件下互相转化，这两种形式的转化，数学中叫做数形结合.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.本题虽然是道计算题，但从解答的过程看，一刻也离不开图形的“直观辅助”作用，可以说没有这种直观形象的辅助作用，计算起来比较困难.事实上，解直角三角形的问题都体现了数形结合的思想.2转化的思想转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思路都是转化思想的体现.数学解题的过程实际上就是转化的过程，换言之，解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解答.利用解直角三角形解决有关的数学问题时，经常遇到非直角三角形的问题，这时往往需要添加辅助线，把非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题.例2（云南省八地市）如图2，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向.请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？分析观察发现，图2是一个斜三角形，我们会解答的问题都属于直角三角形的问题.为此需要添加一条辅助线，设法把要求距离放在一个直角三角形中.不难发现，过点A作AD⊥BC，交BC于点D.图2解过点作AD⊥BC于D，根据题意得∠ABC=30°，∠ACD=60°，所以∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°，所以CA=CB，因为CB=50×2=100（海里），所以CA=100（海里），在直角△ADC中，∠ACD=60°，所以CD=112AC=112×100=50（海里）.故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近.点评原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答“解题意味着什么？”时说“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题.”可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的.常见的转化方式有：一般向特殊转化，等价转化，复杂向简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等.本题目所给出的背景不是直角三角形，那么必须将它转化为直角三角形来解决.通过添垂线将原三角形转化为熟悉的两个直角三角形的问题来解决.因此“化斜为直”是解直角三角形的基本方法之一.3方程的思想方程的思想就是从分析问题的数量关系着手，适当设定未知数，运用定义、公式、定理和已知条件，把所研究的数学问题中已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，方程的思想体现了已知与未知的统一.在解直角三角形应用题中，当找不到可解的直角三角形时，要仔细分析已知条件和未知元素之间的关系，利用设未知数列出方程求解.例3 （四川省乐山市）如图3，山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC，在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60°和45°，求山的高度BC（结果保留根号）.分析设BC的长为x，则DC=x，在Rt△ACD中，利用∠ADC和DC求出AC，再利用AC=AB+BC=20+x建立方程.解设BC的长为x，在Rt△BCD中，因为∠BDC=45°，所以∠DBC=45°，则DC=BC=x.在Rt△ACD中，因为tan∠ADC=AC1CD，所以AC=CD·tan 60°=3x.图3根据AC=AB+BC=20+x，可得20+x=3x，解得x=10（3+1）米.点评笛卡尔曾说过一句话“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题.因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解.”在我们的现实生活中存在着大量的等量关系，而方程（组）就是描述现实世界中的数量关系的重要语言，所以建立方程（组）就成为解决实际问题的常用方法，在建立方程的过程中自然涉及到方程的思想.此题是解直角三角形在现实生活中的应用，所求的BC虽然在Rt△BCD和Rt△ACD中，但由于这两个直角三角形都没有已知的边长，因此无法求解.设了BC=x后，DC和AC都可以用含x的代数式表示出来，则根据AC=AB+BC可列出方程，这是关键的一步.在解直角三角形的问题中，除了用到数形结合思想、转化思想和方程思想外，还用到数学建模的思想，事实上，以上三个例题都归结为建立直角三角形模型问题.建模思想是最重要的数学思想方法之一，其本质是培养学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.从本质上讲，数学就是一门建模与用模的科学.所谓建模，是指从众多的自然现象和现实生活与生产实际中通过观察、类比、抽象、概括等一系列思维活动提炼、总结出同类事物的共同特征，从而构建出概念、公式、定理、法则等一系列数学模型.数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁.对数学思想方法的学习和掌握已成为未来社会公民必须具备的数学素养中的核心内容.数学思想方法是随着学生对数学知识的学习、运用逐渐形成的.这就要求教师们加强对数学思想方法教学与研究，以便在教学中结合具体的内容适时地向学生渗透数学思想方法，不断提高学生的数学素养.。
相似三角形中的数学思想方法
当
蕊 时 ,梯形尸 材 召 与梯形即
积 与 梯形 的 相等 ,则 ,所 。 一 。 一 , ',把 奥 代人 ·、 切 ·· 一 一 ' 一 `面 一积 '` ” ” ·” `一` 二 一`一” ”以土 一 ' 、 一 `二 一 ` 一二 ” ' 一',
解之得 士 、厅 ,所 以 丫厅 。 所 以 ,存在 , 当 的面积相等 。
利 用 、 的代 数式 表
角形 比例关系解得
,从 而确 定相 似 比
示各个 线段 的长 , 从 而表示梯形尸 召 的面积 , 由题 意可 写 出关 于 、 的一
个 等式 , 结合 毛 , 可 求 得 的取 值 范 围
在
的基 础 上 , 利 用 梯 形
尸 材 刀 、 梯形咫 及 、 梯形即 的面积相 等 , 寻求 一个关 于 的等式 , 从 而消 去 , 解出 ,值得注意的是 求 出的 的值必须在 中求出的 的范围内 。
当 为何 值时 , ■ 召 刀 的面积 有最大值 , 最大值 为多少
分析 应用相似三角形 的性质 , 由对 应边成 比例 建立 函数关 系式
由面积公式建 立二次函数关 系式 , 再应用二次 函数 的性质求 面积 的最 大值 。
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三角形中的数学思想
教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华， 白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。
三角形中的数学思想学习数学知识,掌握蕴含在其中的数学思想方法是重中之重，现举例说明本部分知识中的数学思想，以期对同学们有所帮助.一、 方程思想例1 如图1，在△ABC 中，∠B=70°，∠BAC ：∠BCA=3：2，CD ⊥AD 于D ，且∠ACD=35°，求∠BAE 的度数.分析：因∠BAE 不是三角形的内角，但∠BAD 与其互为补角，为此欲求出∠BAE ，可先求出∠BAD ，即先求出∠BAC 和∠CAD ，∠BAC 是△BAC 的内角，且∠B=70°，∠BAC ：∠BCA=3：2，根据三角形的内角和为180°，可求出∠BAC ，而∠CAD 是△ACD 的内角，根据CD ⊥AD ，∠ACD=35°，由直角三角形的两个锐角互余可求∠CAD ，则问题可解.解：在△ABC 中，因为∠B=70°，∠BAC ：∠BCA=3：2所以可设∠BAC=3x°，则∠BCA=2x°因为∠B+∠BAC+∠BCA=180°所以70+3x+2x=180所以x=22所以∠BAC=3×22°=66°又因为CD ⊥AD ，A DC BE 图１所以∠D=90°所以∠CAD+∠ACD=90°所以∠CAD=90°-∠ACD=90°-35°=55°因为∠DAE是平角所以∠BAE=180°-∠BAC-∠CAD=180°-66°-55°=59°评注：运用代数列方程的方法解决几何问题，是解几何题的基本方法之一，要学会并熟练运用这一方法.二、分类讨论思想例2有四条线段，分别是x-3，x，x+1，x+2（x＞3），则以其中的三条为边，能不能组成三角形？分析：四条线段由三条组成一组，共有四种情况，可一一列出再用三角形三边关系判断.解：可组合的情况为：①x-3，x，x+1；②x-3，x，x+2；③x-3，x+1，x+2；④x，x+1，x+2①中x-3+x=2x-3与x+1相比较，已知x＞3，则①不一定能构成三角形，因为2x-3有可能等于x+1，如x=4．②中x-3+x=2x-3与x+2相比较，因为当x=5时，2x-3=x+2=7，则也可能组不成三角形.③中x-3+x+1=2x-2与x+2相比较，不保证2x-2＞x+2，则不一定构成三角形.④中x+x+1=2x+1与x+2相比较，因为x＞3，所以x+x+1-（x+2）＞0，则可以组成三角形.评注：由于x为大于3的数，则可先将各数排序后再讨论，分类讨论思想能提高同学们解题思路的严谨性.。
中考数学复习指导：解直角三角形中的数学思想
1 / 3AD图1E解直角三角形中的数学思想数学思想方法反映了数学的本质特征，是分析和处理数学问题的指导思想，数学思想方法是具体数学知识技能转化为能力的纽带，是知识与技能的升华．下面以解直角三角形为例,谈谈是如何运用数学思想解决问题的.一、转化思想例1 如图1，一游人由山脚A 沿坡角为30的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45，则山高CD 等于 （结果用根号表示）分析:考查作辅助线解非直角三角形的能力.由于涉及的几何图形是非直角三角形可，所以需要作辅助线转化为直角三角形求解.解:过B 点作BF ⊥CD,BE ⊥AD,则四边形BEDF 在Rt △ABE 中,BE=AB sin30°=600×21在Rt △CBF 中, 由于∠C BF ＝45°,所以CF=BC sin45°=200×22=2100(m), 所以山高CD=DF+CF=BE+CF=(300+2100)(m),评注:非直角三角形通常都要通过作辅助线转化为直角三角形后求解. 二、分类讨论的思想例2 在平面直角坐标系xOy 中,已知一次函图22 / 3图 360数y=kx+b(k ≠0)的图象过点A(1,1),与x 轴交于点B,且tan ∠ABO=31,那么B 点的坐标是_______.分析:本题需要在直角坐标系中画出函数图象,利用平面内点的坐标的几何意义和解直角三角形的知识求解.因为B 点有可能在x 轴正半轴,也有可能在x 轴负半轴,所以画出如图2的函数图象,过点A 作AC ⊥x 轴.由点A 的坐标为(1,1),则AC=1,OC=1. 第一种情况:在Rt △ABC 中,由tan ∠ABO=，31=BC AC 得BC=3,所以OB=OC+BC=1+3=4,即点B 的坐标为(4,0);第二种情况:在Rt △O B A '中,由tan ∠O B A '=，31='C B AC 得C B '=3, 所以B O '=C B '-OC=3-1=2,即点B '的坐标为(-2,0). 评注:本题存在两种情况,需分类讨论,千万不要漏解. 三、数形结合思想例3 如图3，A B ，两镇相距60km ，小山C 在A 镇的北偏东60方向，在B 镇的北偏西30方向．经探测，发现小山C 周围20km 的圆形区域内储有大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房修路．现计划修筑连接A B ，两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？分析: 要判断这条公路是否会经过该区域,实际就是计算C 点到直线AB 的距离与20km 进行比较,所以需要作高,求高即可.解：作CD AB ⊥于D ，3 / 3由题意知：30CAB =∠60CBA =∠ 90ACB =∠30DCB ∴=∠ ∴在Rt ABC △中，1302BC AB == 在Rt DBC △中，cos30CD BC=302=⨯20=> 答：这条公路不经过该区域．评注: 解答本题首先结合图形弄清题意,将实际问题转化为解直角三角形的问题来解决,数形结合是顺利解决问题的关键.。
三角形问题中的数学思想方法
三角形问题中的数学思想方法数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.一、分类讨论思想由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面(所有不同情况)才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm 和6cm 两部分，求三角形各边的长.分析:要注意等腰三角形有两边相等， 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm ，哪一段为6cm ，故需分类讨论.解:设腰长为xcm ，底边为ycm ，即AB=x ，则AD=CD=21x ，BC=y ⑴ 若x+21x=6时，则y+21x=15. 由x+21x=6得x=4.把x=4代入y+21x=15得y=13. 因为4+4<13，所以不能构成三角形. ⑵ 若x+21x=15时，则y+21x=6. 由x+21x=15得x=10.把x=10代入y+21x=15得y=1. 10+1>10符合题意， 所以三角形三边分别为10cm 、10cm 、1cm.例2 已知非直角三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.解:⑴当△ABC 为锐角三角形时(图2)∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°. 在△ABD 中， ∠ABD=180°－90°－45°=45°.图1图2ABC D H E∵∠BHC 是△BHE 的外角， ∴∠BHC=90°+45°=135°. ⑵当△ABC 为钝角三角形时(图3)∵H 是△ABC 两条高所在直线的交点 ∠A=45°， ∴∠ABD=180°－90°－45°=45°.在Rt △BEH 中， ∠BHC=180°－90°－45°=45°. ∴∠BHC 的度数是135°或45°.注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解. 二、整体思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.例3 如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数.分析:观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.解:因为∠A +∠C+∠E=180°， 又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.剖析:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.三、方程思想求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.例4 如图5，在△ABC 中，∠B =∠C ，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC. 分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC 的方程. 解:设∠EDC=x.因为∠1是△DEC 的外角，所以∠1=x+∠C. 又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠C.又因为∠2是△ABD 的外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD. 所以∠B+∠BAD =∠2+x ，即∠B+40°=∠C+2x. 因为∠B =∠C ，所以2x=40°，解得x=20°.A BDHCE图3图5AEGFB CD图4剖析:方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.四、转化思想用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.例5 如图6，求五角星各顶角之和.分析:因为∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 较分散，本例中又不 知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形 来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．解:因为∠1=∠C+∠E ，∠2=∠B+∠D ，又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨:此题还可以连接CD 求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解.五、数形结合思想例6 如图7，在△ABC 中，已知AD 是角平分线， ∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB 和∠ADC 的度数.分析:在△ABD 中，∠ADB 是一个内角，它等于180°－∠B －∠BAD ，故求出∠BAD 即可求出∠ADB 的度数，这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC 的度数.解:在△ABC 中，∵∠B=60°， ∠C=45°， ∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°－∠B －∠C=180°－60°－45°=75°. 又∵AD 是角平分线， ∴∠BAD=∠DAC=21∠BAC=37.5°. 在△ABD 中，∠ADB=180°－∠B －∠BAD=180°－60°－37.5°=82.5°. 同理∠ADC=180°－∠C －∠DAC=180°－45°－37.5°=97.5°.点拨:几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措.图6A D 图7数学思想方法在三角形中的应用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周长是24cm ，腰长是底边长的2倍，求腰长.分析：根据等腰三角形的周长=腰长+腰长+底边长和腰长是底边长的2倍，可设一腰长的长为xcm ，可列方程为x +2x +2x =24，解之即可.解：(1)设底边长x cm ，则腰长为2x cm x +2x +2x =24 x =4.8∴腰长=2x =2×4.8=9.6 (cm)点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.二、分类讨论的思想方法：例2、已知斜三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.分析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论.图1ACD解：∵△ABC 为斜三角形，∴△ABC 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形， （1） 当△ABC 为锐角三角形时（如图1）， ∵BD 、CE 是△ABC 的高，∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.（2）当△ABC为钝角三角形时（如图2），H为△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，在Rt△EBH中，∠BHC= 90°-∠ABD=90°-45°=45°.综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.点拨：当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误.三、转化的数学思想方法：例3、如图3，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.分析：直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.解法一：∵∠1是△CEM的外角，∴∠1=∠C+∠E，∵∠2是△BDN的外角，∴∠1=∠B+∠D.在△AMN中，由三角形内角和定理，得∠A+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.解法二：如图4，连结CD，在△BOE和△COD中，∠5=∠6，∵∠3+∠4+∠6=∠B+∠E+∠5=180°，∴∠3+∠4=∠B+∠E.在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ADC=180°，∴∠A+∠ACE+∠ADC+∠3+∠4+∠ADB=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨：在遇到不熟悉的数学问题时，要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决.这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想.在运用三角形知识解决有关问题时，通过添加辅助线将一般图形转化为三角形来解决是常用解答方法之一.。
解三角形问题的常用数学思想
解 将原函数化简得 —ｓ ｉ ｎ （ ２ Ｂ 一詈） ＋１ ． 因为
１ 构造 圆 。 借 助直 线 与圆有 公共 点巧证 不等 式
一
般地 ， 设 ｄ表 示 圆心到 直线 的距 离 ， ｒ 表 示 圆 的
半径 ， 则 直线 与 圆有公 共点 （ 即相 切或 相交 ） 甘 ≤ｒ ． 例 １ 已知实数 ｚ、 满 足 ｚ＋ｙ ｍ ３ —０ ， 求证 ：
解 常
厕
、 】 一
结合 余 弦定理 ， 司顺 利 探 求 解 题 思 路 ．
解
设 Ｂ Ｄ＝ ＝ ： ＤＣ— ｚ ． 由余 弦定 理 得 ： 在 △ＡＢ Ｄ
◇
数 喾 恳
吉林
．
中 ， ｃ 。 ｓ Ｚ Ａ Ｄ Ｂ 一手 ； 在Ａ Ａ Ｃ Ｄ中 ， ｃ 。 ｓ Ｚ Ａ Ｄ Ｃ 一
，
） ￣ Ｎ Ａ Ａ Ｂ Ｃ ￣ ， ｃ ｏ ｓ Ｂ Ａ ｃ 一
ｓ — １
・
一 ｛ ． 所 以
ＡＢ ・ Ａ Ｃ ・ Ｆ
Ｚ百 一
解题 ． １ 数 形 结 合 思 想
丢 × ２ × ３ × √ １ 一 （ ｛ ） 。 一 ．
“ 数” 与“ 形” 是 同一个 事 物 的 ２个 方 面 ， 以“ 形” 判 “ 数” ， 以“ 数” 论“ 形” 的思 想 就 是数 形 结 合 思 想 ． “ 数” 与“ 形” 在 一定 条件 下 ， 可 以相互 转化 、 相互 渗透 ．
解 构造 圆 Ｃ： （ ｚ ＋５ ） ＋（ 一２ ） 一ｒ 。 （ ｒ ＞０ ） ， 则 由题设 知直 线 ｚ ： ＋Ｙ 一３ —０与 圆 Ｃ有 公共 点 ． 所 以
线 与 圆有公 共点加 以证 明．
詈 ＜ ， 所 以ｓ ｎ （ ２ Ｂ 一 詈 ） ∈ （ 一 ， １ ） ， 所 以 Ｅ
数学思想方法在全等三角形解题中的应用
数学思想方法在全等三角形解题中的应用作者：李洪庆来源：《初中生世界·八年级》2013年第10期数学学习内容是数学基础知识和数学思想方法的有机结合.在数学课上，同学们往往只注意了对数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点及由此产生的解决问题的方法与策略.下面，让我们一起走近“全等三角形”，体会一下隐藏在知识背后的思想方法.一、化归思想化归是数学中用以解决问题的最基本的手段之一，可以理解为转化、归结的意思，是指把待解决的问题通过某种转化，归结到较易解决的问题中去的一种手段或方法.证明线段相等或角相等等问题往往可以化归为证明三角形的全等，相关辅助线也是为这一目的而添置的.例1 如图1，已知：在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC的延长线上一点，连接DE交BC于G，DG=GE，求证：BD=CE.证明：过点D作DF∥AC交BC于F. ∵DF∥AC，∴∠DFG=∠ECG，又∠DGF=∠EGC，DG=EG，∴△DFG≌△ECG，∴CE=DF.∵DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DFB=∠ABC，∴DB=DF，∴BD=CE.【评注】本题要证BD=CE，然而BD和CE这两条线段所在三角形却不可能全等，这时就通过添加辅助线DF构造出全等三角形，从而使问题获得解决.例2 如图2，已知：在△ABC中，AB=3，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围.解：延长AD到E，使DE=AD.在△ABD和△ECD中，∵AD=ED， BD=CD，∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD.∴AB=EC.在△AEC中， AC-EC即AC-EC【评注】本例要解决的是边与边的不等关系，必须在同一三角形中运用三边关系定理，然而在△ABD、△ADC和△ABC中均不能解决，势必利用“倍长中线”构造全等三角形，将已知条件归结到一起来解决问题.二、整体思想整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理.例3 如图3，已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，∠C=∠C′，△ABC和△A′B′C′的周长相等，求证：△ABC≌△A′B′C′.本题待证的两个三角形已有两组角对应相等，但缺全等的必备条件“边对应相等”，因此要把“周长相等”整体转化成“边相等”.分别在直线BC和直线B′C′上截取BD=BA，CE=CA，B′D′=B′A′，C′E′=C′A′，则有DE=D′E′，易证△ADE≌△A′D′E′，可得AD=A′D′，从而△ABD≌△A′B′D′，于是AB=A′B′，这样待证的两个三角形全等的条件都已满足.三、方程思想在几何证明问题中，若能根据题目和图形的特征，运用方程思想去处理，往往容易找到解决问题的切入点，收到奇效.例4 设Rt△ABC与Rt△DEF的面积相等且斜边相等，即AB=DE，求证：△ABC≌△DEF.证明：设a，b，c为Rt△ABC的边长，d，e，f为Rt△DEF的边长，则有：S△ABC=■ab，S△DEF=■de，于是由S△ABC=S△DEF知ab=de①，又知c=f，故c2=f 2，即a2+b2=d2+e2②（勾股定理将在第三章学习），由①②可得（a+b）2=（d +e）2，（a-b）2=（d-e）2，即a=d，b=e或a=e，b=d.不论哪种情况，都有△ABC≌△DEF.运用数学符号形成的语言将相等关系转化成方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题得到解决.几何问题代数化，事半功倍.四、分类思想分类思想是根据对象的相同点和差异点将对象划分为不同种类的方法，分类的标准往往是根据不同的实际需要来确定的，分类必须做到不重不漏.例5 已知两个三角形有两条边及其一边上的高对应相等，则第三边所对角有怎样的关系并说明理由.本题用几何语言叙述为：在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，D、D′为垂足，AD=A′D′，∠ABC和∠A′B′C′有怎样的关系？显然，∠ABC和∠A′B′C′的关系，须通过两个图形的全等关系来说明.然而我们并不能直接判定这两个三角形全等，必须根据数形结合来进行分类讨论：如果△ABC和△A′B′C′同为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时，易证△ABC≌△A′B′C′，从而∠ABC=∠A′B′C′；如果△ABC和△A′B′C′一为钝角三角形，一为锐角三角形，如图4所示，不妨设△ABC为钝角三角形，△A′B′C′为锐角三角形，易证△ABD≌△A′B′D′，则∠ABD=∠A′B′C′，于是∠ABC和∠A′B′C′互补.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是知识转化为能力的桥梁，是解题过程中披荆斩棘、劈山开路的宝剑.同学们要学会运用数学思想方法去分析问题和解决问题.。
数学思想方法在《全等三角形》一章中的应用(1)
数学思想方法在《全等三角形》一章中的应用云南省普洱市墨江县那哈乡学校（中学部）余绍省【摘要】三角形在生活中的广泛应用，三角形在教学中的重要地位引起我们对三角形的探究，从而引出数学思想方法在三角形中的应用，这些方法包括化归思想、分类思想、数形思想、类比思想等。
本文就这些思想方法进行一些简单的应用介绍，与同行共勉。
【关键词】数学思想方法全等三角形应用三角形是生产、生活中最常见，应用最广泛的图形之一。
它又是最常见的多边形。
我们对其他图形的研究通常都是转化为三角形问题，利用三角形的性质去研究。
因此三角形这一章是平面几何学中最重要的基础知识，又由于几何通常运用逻辑推理方法研究问题，本章教学同时还担负着培养学生逻辑推理的任务，是学生学习推理的阶段，也是几何入门的阶段，学生在小学时虽已接触过一些图形知识，但主要以几何量的计算为主，很少讨论图形的性质，因此，初二数学教学中历年来都存在一个几何“入门”难的问题，由此可见老师教好这一章，学生学好这一章是非常重要的。
数学教学内容是数学基础知识和数学思想方法的有机结合。
在数学课上，学生往往只注意了对数学知识的学习，而忽视了连结这些知识的观点及由此产生的解决问题的方法与策略。
因而在教学中渗透数学思想方法，让学生在学到数学知识的同时也学到数学思想方法，使之以后在生活、工作中都可以随时随地用它们去解决问题，在培养智力的同时也培养了能力，更有利于当代素质教育的开展。
因此，在课堂教学中渗透数学思想、数学方法是非常必要的。
它包括培养学生通过观察、分析，综合概括出抽象概念、性质的能力，对知识进行分类，系统化的能力；也包括运用运动变化的观点，矛盾转化的思想分析问题和解决问题的能力。
下面，我就这些年的教学经验和同仁谈一点数学思想方法在《全等三角形》一章中的应用，对这一章教学中主要的数学思想方法作一些简单介绍：一、化归思想化归可以理解为转化、归结的意思，它是数学中用以解决问题的最基本的手段之一。
三角形中的数学思想
三角形中的数学思想数学思想是人类对数学活动经验的概括和抽象形成的，是解决数学问题的精髓和灵魂，是将知识转化为能力的桥梁.我们只有领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，才能提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，拥有浩瀚的数学世界.现将与三角形中蕴涵的主要数学思想方法加以总结，帮助同学们逐步感受、领悟、理解和掌握，使之成为同学们解题的金钥匙.一、方程思想例1 符合条件∠A:∠B:∠C=1:2:3的三角形是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形分析：由于三个角度成比例，故可设其中的一份为x°，再利用三角形的内角和定理列出方程求出各个角的度数，进而作出选择.解：设∠A=x ，∠=2x ，∠C=3x.由三角形内角和等于180°，知∠A+∠B+∠C=180°，所以x+2x+3x=180°，解得x=30°.所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°.即△ABC 是直角三角形，故选C.点评：在求角度的问题中，如果给出了某些角的度数，可以直接求解.当角度关系以比的形式出现时，可考虑建立方程求解.二、整体思想例2 如图1，在△ABC 中，∠B=40°，∠BAC 和∠ACB 的外角平分线交于点E ，求∠AEC 的度数.分析：观察分析图形不难看出，欲求∠AEC 的度数，必须先求出∠1和∠2的度数，由于∠1和∠2的度数无法单独求出，此时，可设法将∠1+∠看作一个整体，进行整体求值.解：因为AE ，CE 分别是△ABC 中∠BAC ，∠ACB 的外角平分线，所以∠1=21∠DAC ，∠2=21∠ACF. 所以∠1+∠2=21（∠DAC+∠ACF ）. 又因为∠DAC=∠B+∠3，∠ACF=∠B+∠4， A BC FDE 1 4 3 2 图1所以∠DAC+∠ACF=2∠B+∠3+∠4=（∠B+∠3+∠4）+∠B=180°+40°=220°. 所以∠1+∠2=21×220°=110°. 所以∠AEC=180°-110°=70°.点评：整体思想在解题中经常用到，要求同学们务必掌握.三、分类讨论思想例3 已知非直角△ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在的直线交于点H ，求∠BHC 的度数.分析：本题是无图题，且与三角形的高有关，故应考虑到高在三角形内和在三角形外两种情况. 解：（1）当△ABC 为锐角三角形时（如图2所示）.因为BD ，CE 是△ABC 的高，∠A=45°，所以∠ADB=∠AEC=90°.在△ABD 中，∠ABD=180°-90°-45°=45°，在△BHE 中，则有∠BHE=45°，所以∠BHC=180°-45°=135°.（2）当△ABC 为钝角三角形时（如图3所示），可求得∠BHC=45°. 综上可知，∠BHC 的度数为135°或45°.点评：对于无图题，且涉及三角形的高时，应注意高的位置.四、数形结合思想例4 如图4，一个大型模板的设计要求是模板的边BA 和CD 相交成50°的角，边DA 和CB 相交成30°的角，如果通过测量∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数来判断模板是否合格，你认为当∠D 与∠B 的度数相差多少时，模板刚好合格？分析：分别延长BA 、CD 相较于点E ，延长CB 、DA 相较于点F ，则∠E=50°，∠ABC=30°，根据三角形的外角性质即可求出∠D 与∠B 的度数差.解：分别延长BA 、CD 相较于点E ，延长CB 、DA 相较于点F ，则∠E=50°，∠ABC=30°. A D B C 图4 E F图5图4E H D H E D C B A C B A 图2 图3因为∠ADC是△ADE的外角，所以∠ADC=∠E+∠DAE. ①因为∠ABC是△ABF的外角，所以∠ABC=∠F+∠BAF. ②①-②，得∠D-∠ABC=∠E+∠DAE-∠F-∠BAF=50°-30°=20°.即当∠D与∠B的度数相差20°时，模板刚好合格.点评：利用数形结合思想，将看似无法求解的问题，简单获解.三角形中的数学思想方法较多，除以上几种外，还有转化、比较等数学思想，只要同学们深刻领会，灵活应用，相信会给你的学习带来事半功倍的效果.。
三角形内角和平行线数学思想
三角形内角和、平行线中数学思想“整体思想”是中学数学中的一种重要思想方法,贯穿于中学数学的全过程,有些问题局部求解,各个击破,无法解决,而从全局着眼,整体思考,会使问题化繁为简,化难为易,思路清淅,演算简单,复杂问题迎刃而解,现就如何应用整体思想,巧解角度问题,略举几例析解如下,供同学们学习时参考：例1 如图, △ABC 的∠B 和∠C 的平分线相交于点D,若∠A=800,试求∠BDC 的度数. 分析 若能分别求得∠DBC 和∠DCB 的度数,则∠BDC 的度数立即可得,由题设条件,无法得到.但可求得∠ABC+∠ACB=1000.又BD 、CD 分别是∠ABC 和 ∠ACB 的平分线,则∠DBC=21∠ABC, ∠DCB=21∠ACB,从而可得∠DBC+∠DCB =500.,这时若把∠DBC+∠DCB 的和看成一个整体,则∠BDC 的度数容易求得. 解 在△ABC 中, ∠ABC+∠ACB=1800-∠A=1800-800=1000.∠DBC+∠DCB=21∠ABC+21∠ACB=21(∠ABC+∠ACB)=21×1000=500. 在△BCD 中,∠BDC=1800-(∠DBC+∠DCB)=1800-500=1300.例2 如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC, ∠ACE 是△ABC 的外角,CD平分∠ACE,BD 、CD 相交于点D.若∠A=1160,试求∠BDC 的度数.分析 若能分别求得∠DBC 和∠DCB 的度数,则易得∠BDC 的度数,由题设∠DBC 和∠DCB 的度数难以求得.而根据角平分线定义、三角形内角和定理及外角性质,可得∠DBC=21∠ABC, ∠ACD=21∠ACE, ∠DCB=∠ACB+∠ACD 及∠ACE=∠A+∠ABC, 在求解过程中把∠DBC+∠DCB 和∠A+∠ABC+∠ACB 的和当成整体来考虑,则问题会迎刃而解.解根据角平分线定义、三角形内角和定理及外角性质,可得∠DBC=21∠ABC, ∠ACD=21∠ACE,∠DCB=∠ACB+∠ACD,∠ACE=∠A+∠ABC, 在△BCD 中,∠D=1800-(∠DBC+∠BCD)=1800-[21∠ABC+∠ACB+21(∠A+∠ABC)] =1800-[(∠A+∠ABC+∠ACB)- 21∠A]=1800-1800+21∠A=21∠A=21×1160=580.例3 如图,BG 平分∠ABD,CG 平分∠ACD,若∠BDC=1400, ∠BGC=1100求∠A 的度数 分析连BC,构成△ABC,△GBC 和△DBC,根据三角形内角和定理,把∠DBC+∠DCB, ∠GBC+∠GCB,∠GBD+∠GCD, ∠ABD+∠ACD 和∠ABC+∠ACB 分别当成整体来考虑,则问题迅捷可解.解 在△DBC 中,由∠BDC=1400,得∠DBC+∠DCB=400.在△GBC 中,由∠BGC=1100,得∠GBC+∠GCB=700.所以∠GBD+∠GCD=300. 由BG 平分∠ABD,CG 平分∠ACD, 得到21∠ABD+21∠ACD=300,则∠ABD+∠ACD=600,又∠DBC+∠DCB=400,所以∠ABC+∠ACB=1000,从而得到∠A=800.点评: 在解题过程中,多次运用了整体思想,才使问题得以顺利解决.例4.如图,在四边形ABCD 中,延长BA 、CD 相交于点E,延长DA 、CB相交于点F,∠BEC 、∠CFD 的角平分线相交于点G,若∠ADC=800, ∠ABC=600,试求∠EGF 的度数.分析:延长EG 交BC 于点H, 则∠EGF=∠EHF+∠2=∠1+∠C+∠2,若能分别求得∠1、∠2和∠C 的大小,则∠EGF 的度数可求,但从题设条件无法求得.若把∠1+∠2+∠C 当成一个整体,再在△BCE 和△CDF 中利用三角形内角和定理,可使问题迎刃而解.解:因为EG 、FG 分别平分∠BEC 和∠CFD,所以∠BEC=2∠1,∠CDF=2∠2,延长EG 交BC 于点H,则∠EGF=∠EHF+∠2=∠1+∠C+∠2,在△BCE 中, 2∠1+∠C+∠CBE=1800;在△CDF 中, 2∠2+∠C+∠CDF=1800,两式相加,得2(∠1+∠2+∠C)+ ∠CBE+∠CDF=3600,因为∠CBE=600,∠CDF=800,所以∠1+∠2+∠C=1100,即∠EGF=1100.点评:在求解与三角形有关的角度问题时,局部求解比较困难,可利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和及三角形的三角内角的和等于1800,应用整体思想求解,可使问题化繁为简,化难为易,复杂问题迎刃而解,同时也有利于同学们数学思维能力的培养.下面还有几道练习题,同学们不妨试一试1.如图,在△ABC 中, ∠ABC=∠ACB, ∠A=380,P 是△ABC 内一点,且∠1=∠2,试求∠BPC 的度数.2. 如图,三角形纸片ABC 中,∠A=650,∠B=750,将纸片一角折叠,使点C 落在△ABC 内,若∠1=200,试求∠2的度数.提示与解:1.∠ABC=∠ACB=710.又∠1=∠2,可以得到∠1+∠PCB=710,这时可把∠1+∠PCB 看成整体,则可求得∠BPC=1800-710=1090.2. 由∠A=650,∠B=750,可得∠C=400,则∠3+∠4=1800-∠C=1800-400=1400而∠A+∠B+∠1+∠2+∠3+∠4=3600,这时可把∠3+∠4看成一个整体,则∠2=3600-(∠A+∠B+∠1+∠3+∠4)=3600-(650+750+200+1400)=600.平行线数学思想一、方程思想例1 如图1，直线AB//CD ，∠1：∠2=1：3，求∠3的度数.分析：根据AB//CD ，可知∠1+∠2=180°，结合已知条件列方程求出∠1，根据对顶角相等可求到∠3.解：设∠1=x °，因为∠1：∠2=1：3，所以∠2=3x °，因为AB//CD ，所以∠1+∠2=180°，即x+3x=180，所以x=45，所以∠1=45°.因为∠3=∠1，所以∠3=45°. 点评：本题根据∠1与∠2的比，设出未知数，根据互补关系列方程求出，体现了方程思想.二、转化思想例2 如图2, AB//CD,∠E=30°,∠C=46°,则∠EAB=_______.分析:解决本题可延长EA 构造三角形,借助三角形内角和求解.解:延长EA 交CD 于F,因为∠E=30°,∠C=46°,∠E+∠C+∠CFE=180°,所以∠CFE=180°-30°-46°=114°,因为∠EFD+∠EFC=180°,所以∠EFD=180°-114°=76°.因为AB//CD,所以∠EAB=∠EFD=76°. 点评：本题通过构造三角形，将平行线问题转化为三角形问题，借助三角形内角和定理来解决，体现了方程思想在解决实际问题中的应用。
中考数学思想方法 【新定义问题】三角形中的新定义问题(学生版+解析版)
三角形中的新定义问题知识方法精讲1．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。
方法二：从数学理论应用探究问题入手对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．方法三：从日常生活中的实际问题入手对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。
2．解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.3．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．4．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．8．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．9．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．10．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．11．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A +∠B ＝90°；②三边之间的关系：a 2+b 2＝c 2；③边角之间的关系：sin A ＝＝，cos A ＝＝，tan A ＝＝．（a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边）一．填空题（共5小题）1．（2021秋•花都区期末）如图，在四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．已知120ADC ∠=︒，60ABC ∠=︒，小婵同学得到如下结论：①ABC ∆是等边三角形；②2BD AD =；③ABCD S AC BD =⋅四边形；④点M 、N 分别在线段AB 、BC 上，且60MDN ∠=︒，则MN AM CN =+，其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）2．（2021秋•长宁区期末）定义：在ABC ∆中，点D 和点E 分别在AB 边、AC 边上，且//DE BC ，点D 、点E 之间距离与直线DE 与直线BC 间的距离之比称为DE 关于BC 的横纵比．已知，在ABC ∆中，4BC =，BC 上的高长为3，DE 关于BC 的横纵比为2:3，则DE = ．3．（2021秋•赣州期中）规定：若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1212a b x x y y ⋅=+．例如(1,3)a =，(2,4)b =，则123421214a b ⋅=⨯+⨯=+=．已知(1,1)a x x =+-，(3,4)b x =-，则a b ⋅的最小值是．4．（2021秋•闵行区校级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知ABC∆中，5AB AC==，6BC=，点D、E在边BC上，且2BD=，E为BC中点，过点D的优美线交过点E的优美线于F，那么线段AF的长等于．5．（2021秋•邹城市期中）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60︒，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为．二．解答题（共15小题）6．（2021秋•鄞州区期末）【问题提出】如图1，ABC∆中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即AD AE BD CE⨯=⨯，则称DE 是ABC∆的“友好分割”线段．（1）如图1，若DE是ABC∆的“友好分割”线段，2AD CE=，8AB=，求AC的长；【发现证明】（2）如图2，ABC∆中，点F在BC边上，//FD AC交AB于D，//FE AB交AC于E，连结DE，求证：DE是ABC∆的“友好分割”线段；【综合运用】（3）如图3，DE是ABC∆的“友好分割”线段，连结DE并延长交BC的延长线于F，过点A画//AG DE交ADE∆的外接圆于点G，连结GE，设ADxDB=，FCyFB=．①求y关于x的函数表达式；②连结BG，CG，当916y=时，求BGCG的值．7．（2021秋•石鼓区期末）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对()can ，如图1，在ABC ∆中，AB AC =，底角B ∠的邻对记作canB ，这时BC canB AB ==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）30can ︒= ，若1canB =，则B ∠= ︒．（2）如图2，在ABC ∆中，AB AC =，85canB =，48ABC S ∆=，求ABC ∆的周长．8．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy 中的线段AB 及点P ，给出如下定义： 若点P 满足PA PB =，则称P 为线段AB 的“轴点”，其中，当060APB ︒<∠<︒时，称P 为线段AB 的“远轴点”；当60180APB ︒∠<︒时，称P 为线段AB 的“近轴点”．（1）如图1，点A ，B 的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，则在1(1,3)P -，2(0,2)P ，3(0,1)P -，4(0,4)P 中，线段AB 的“轴点”是 ；线段AB 的“近轴点”是 ．（2）如图2，点A 的坐标为(3,0)，点B 在y 轴正半轴上，30OAB ∠=︒．若P 为线段AB 的“远轴点”，请直接写出点P 的横坐标t 的取值范围 ．9．（2020秋•南沙区期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．（1）如图①中，若ABC ∆和ADE ∆互为“兄弟三角形”， AB AC =，AD AE =．写出BAD ∠，BAC ∠和BAE ∠之间的数量关系，并证明．（2）如图②，ABC ∆和ADE ∆互为“兄弟三角形”， AB AC =，AD AE =，点D 、点E 均在ABC ∆外，连接BD 、CE 交于点M ，连接AM ，求证：AM 平分BME ∠．（3）如图③，若AB AC =，60BAC ADC ∠=∠=︒，试探究B ∠和C ∠的数量关系，并说明理由．10．（2021秋•余姚市月考）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，ABC ∆中，AD AD =，AB AC =，B C ∠=∠，则ABD ∆与ACD ∆是邻等三角形．（1）如图2，O 中，点D 是BC 的中点，那么请判断ABD ∆与ACD ∆是否为邻等三角形，并说明理由．（2）如图3，以点(2,2)A 为圆心，OA 为半径的A 交x 轴于点(4,0)B ，OBC ∆是A 的内接三角形，30COB ∠=︒．①求C ∠的度数和OC 的长；②点P 在A 上，若OCP ∆与OBC ∆是邻等三角形时，请直接写出点P 的坐标．11．（2021秋•岳麓区校级月考）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足290αβ+=︒，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若ABC ∆是“近直角三角形”， 90B ∠>︒，50C ∠=︒，则A ∠= ︒；（2）如图1，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =．若BD 是ABC ∠的平分线， ①求证：BDC ∆是“近直角三角形”；②在边AC上是否存在点E（异于点)D，使得BCE∆也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt ABC∆中，90∠=︒，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BCBAC于点E，连结AE交BD于点F，若BCDAF=，求AD∆为“近直角三角形”，且5AB=，3的长．12．（2021秋•荔城区校级期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：（1）如图1，在Rt ABC∆中，90∠=︒，CD AB⊥，请写出图中两对“等角三角形”．ACB概念应用：（2）如图2，在ABC∠=︒．求证：CD为ABC∆的B∠=︒，60∆中，CD为角平分线，40A等角分割线．动手操作：（3）在ABC∠的∆的等角分割线，请求出所有可能的ACB∠=︒，CD是ABCA∆中，若50度数．13．（2021秋•金安区校级期中）概念学习：已知ABC ∆，点P 为其内部一点，连接PA 、PB 、PC ，在PAB ∆、PBC ∆和PAC ∆中，如果存在一个三角形，其内角与ABC ∆的三个内角分别相等，那么就称点P 为ABC ∆的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30︒、60︒、90︒的三角形存在等角点 ；②任意的三角形都存在等角点 ．（2）如图中，点P 是锐角三角形ABC ∆的等角点，若BAC PBC ∠=∠，探究图中么BPC ∠、ABC ∠、ACP ∠之间的数量关系，并说明理由．14．（2021•安溪县模拟）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 、Q 和图形G ，给出如下定义：若图形G 上存在一点C ，使90PQC ∠=︒，则称点Q 为点P 关于图形G 的一个“直角联络点”．已知点(4,0)A ，(4,4)B ．（1）在点(2,2)M 、(4,1)N -中，点O 关于点A 的“直角联络点”是 .（直接写出符合条件的点）（2）点E 的坐标为(2,)m ，若点E 是点O 关于点B 的“直角联络点”，求m ．15．（2021•临海市一模）在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为 ；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为 ； （2）性质探究：如图1，CD 是ABC ∆的中线，AC b =，BC a =，2AB c =，CD d =，记ACD ∆中ADC ∠的勾股差为m ，BCD ∆中BDC ∠的勾股差为n ；①求m ，n 的值（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示）；②试说明m 与n 互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形ABCD 中，点E 与F 分别是AB 与BC 的中点，连接BD ，DE ，DF ，若34DF AB =，且CD BD ⊥，CD AD =，求DE DF的值． 16．（2021秋•南昌期中）【概念学习】如图1，2，已知ABC ∆，点P 为其内部一点，连接PA 、PB 、PC ，在PAB ∆、PBC ∆、PAC ∆中，如果存在一个三角形，其内角与ABC ∆的三个内角分别相等，那么就称点P 为ABC ∆的等角点．【理解应用】（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①等边三角形存在等角点： ；②等腰直角三角形存在等角点： ；③内角分别为30︒、60︒、90︒的三角形存在等角点： ；④任意的三角形都存在等角点： ；【深入理解】（2）如图1，点P 是锐角ABC ∆的等角点，且PBC ∆与ABC ∆的三个内角分别相等，已知：若50BAC ∠=︒，10PBA PCA ∠=∠=︒，求ABC ∠的度数；（3）如图2，点P 是锐角ABC ∆的等角点，若BAC PCB ∠=∠，探究BPC ∠、ACB ∠、ABP ∠之间的数量关系，并说明理由．17．（2021秋•诸暨市期中）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在ABC ∆中，若222AB AC AB AC BC +-⋅=，则ABC ∆是“和谐三角形”．（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是 命题（填“真”或“假” )．（2）若Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，且b a >，若ABC ∆是“和谐三角形”，求::a b c ．18．（2021秋•大田县期中）在平面直角坐标系xOy 中，将三点A ，B ，C 的“矩面积”记为S ，定义如下：A ，B ，C 中任意两点横坐标差的最大值a 称为“水平底”，任意两点纵坐标差的最大值h 称为“铅垂高”，“水平底”与“铅垂高”的乘积即为点A ，B ，C 的“矩面积”，即S ah =．例如：点(1,2)A ，(3,1)B -，(2,2)C -，它们的“水平底”为5，“铅垂高”为4，“矩面积” 5420S =⨯=． 解决以下问题：（1）已知点(2,1)A ，(2,3)B -，(0,5)C ，求A ，B ，C 的“矩面积”；（2）已知点(2,1)A ，(2,3)B -，(0,)C t ，且A ，B ，C 的“矩面积”为12，求t 的值；（3）已知点(2,1)A ，(2,3)B -，(,1)C t t +，若0t <，且A ，B ，C 的“矩面积”为25，求t 的值．19．（2021秋•广陵区期中）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P 在线段BC 上，90ABP APD PCD ∠=∠=∠=︒，BP CD =．求证：点P 是APD ∆的准外心；（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，5BC =，3AB =，ABC ∆的准外心P 在ABC ∆的直角边上，试求AP 的长．20．（2021秋•西城区校级期中）对于平面直角坐标系内的任意两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，定义它们之间的“直角距离”为1212(,)||||d P Q x x y y =-+-．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“直角距离”，记作(,)D M N ．（1）已知(1,0)A ，(0,2)B ，则(,)d A B = ，(,)D O AB = ；（2）已知(1,0)A ，(0,)B t ，若(,)1D O AB =，则t 的取值范围是 ；（3）已知(1,0)A ，若坐标平面内的点P 满足(,)1d P A =，则在图中画出所有满足条件的点P 所构成的图形，该图形的面积是 ；（4）已知(1,0)A ，(0,2)B ，直线l 过点(0,)t 且垂直于y 轴，若直线l 上存在点Q 满足(d Q ，)(A d Q =，)B ，则t 的取值范围是 ．三角形中的新定义问题知识方法精讲1．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。
三角形的内角和证明中的化归思想
三角形内角和定理证明中化归思想的渗透所谓化归思想，就是在面临新问题时，总企图将它转化归结为已经解决了的问题或者比较熟悉的问题来解决。
初中数学尤其是几何教学中，很多问题都可以用运化归思想来解决。
三角形内角和定理三角形三个内角的和等干180°。
已知：△ABC（如图1）。
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
三角形内角和定理有多种证明方法，那么，这些证法都是怎样想到的呢?我们下面来作一下分析，思路一要证明三角形的三个内角之和等于180°，联想到平角的大小是180°。
因此，便设法将三角形的三个内角拼成一个平角，为此，用辅助线构造出一个平角，再用辅助线（平行线）“移动”内角，将其集中起来，或用其它方法将其集中起来，这就是“拼角”的思路。
根据这个思路，可设计出多种证法，证法如下：证法一延长边BC，CD是延长线，并过顶点C作CE∥BA（如图2），则∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）。
又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB＝180°。
证法二过顶点C作DE∥AB（如图3），则∠1＝∠A，∠2＝∠B（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°（平角的定义），∴∠A+∠ACB+∠B＝180°证法三在BC边上任取一点D，作DE∥BA，DF∥CA，分别交AC于E，交AB于F（如图4），则有∠2＝∠B，∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等），∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），∠4＝∠A（两直线平行，同位角相等），∴∠1＝∠A（等量代换）。
又∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠C＝180°。
证法四作BC的延长线CD，在△ABC的外部以CA为一边，CE为另一边画∠1＝∠A（如图5），于是CE∥BA（内错角相等，两直线平行）。
数学思想方法在三角形相似的判定中的应用
Ａ Ｅ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
类比用三角形全等知识求证角相等，转化为先证三角形相似
边
求证： △ABC∽△A1B1C1.
A1
A
B
C B1
C1
思想 类比转化思想——三角形相似的判定.
探究一
A1
A
D
E
B
பைடு நூலகம்
C B1
C1
证明：如图，过点Ｄ作ＤＥ‖Ｂ１Ｃ１，可 得 A1DE∽.A1B1C1
思想 类比转化思想——三角形相似的判定
探究一
A
A1
B
C
D
E
∴ A1D DE A1E
A1B1 B1C1 A1C1
B1
C1
又
AB A1B1
BC B1C1
AC A1C1
,
A1D
AB
∴ DE BC , A1E AC B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ A1DE≌ABC（SSS）
∴ DE BC, A1E AC
∵ A1DE∽A1B1C1 ∴ ABC∽A1B1C1
思想 类比转化思想——三角形相似的判定
探究一
D A
O
C B
思想 类比转化思想——三角形相似的判定
探究一
练习１、已知如图，点D是△ABC的边AB上的一点，且 AC2 AD • AB
求证：△ACD∽△ABC.
A
D C
B
思想 探究一
类比转化思想——三角形相似的判定
类 比 边
S S
已知：
AB BC AC . A1B1 B1C1 A1C1
边S
A
A1
即： 如果
AB BC k, A1B1 B1C1
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三角形数学思想方法
《三角形的分类》是小学四年级学生在对三角形有了初步认识之后进行的教学活动。
我认为分类是一种数学思想，它是根据一定标准对事物进行有序的划分和组合的过程，三角形的分类在于给学生一种数学模型，为学生今后更好地应用三角形，进一步认识和研究三角形奠定知识基础。
本节课一开始，我充分利用白板交互式的优点，通过创设玩魔术的游戏，既激发了学生的学习兴趣，又复习了旧知，自然而然的引出了新课。
接着我抓住给三角形分类这样一个有价值的活动，引导学生动手操作，将自制的学具三角形进行分类，探究分类方法，为了符合学生的认知规律，把两种标准下的三角形放在一起进行分类有一定的难度。
因此，我把重点放在按角分上，让学生发现锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的特点，然后总结出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的概念并渗透集合思想。
按边分类，是本节课的教学难点。
第一次试讲时，我让学生量每个三角形的三条边，再根据边的特点进行分类，这样虽然学生会分类，但是花的时间太长，导致完不成教学任务，这样得不偿失。
第二次试讲时，我让学生观察三角形三条边的长短，根据边的长短给三角形分类，但是这样只有少数学生会分类，大多数学生无从下手，这样设计，就没有面体学生。
经过两次的失败，我重新研读教材，调整教学思路，在
按边分类的教学中，不再侧重分类，而是侧重让学生认识等腰三角形和等边三角形，于是我让学生在这七个三角形中选择一个自己认为特殊的三角形，量一量它的三条边和三个角，看有什么发现，这样，就让学生发现这些三角形有的有两条边相等，有的有三条边相等，从而认识等腰三角形和等边三角形,进而使学生在不知不觉中掌握三角形按边分的特点，这样设计突出了学生的主体地位，学生经历了自主探究的过程，从而获得了成功的体验.这样的教学，既让学生经历了知识的形成过程，又提高了课堂教学的有效性。
同时，在学生认识了等腰三角形和等边三角形之后，让学生通过找生活中的等边三角形和等腰三角形，既让学生体会数学与生活的联系，又对学生进行了安全教育。
为了使学生学得轻松、愉快，对知识掌握得更加牢固，我设计了由浅入深、循序渐进的练习，比如在教学完三角形按角分类之后，让学生通过猜一猜游戏，使学生在游戏中加深对各种三角形的认识。
通过闯关游戏，激发了学生的学习热情，让学生在愉悦的学习氛围中通过动手、动脑，巩固了知识、拓展了思维。
我认为基本达到了预定的学习目标，尤其是学生真正成为学习的主体，参与到了学习的全过程，他们经历观察、猜测、操作、验证以及在共享中修正认识这一系列探究过程，思维是活跃的，学习是有效的，体现了积极自主的探究过程，
从而形成了一个较为合理的知识系统，同时掌握了科学的探究方法。
本课教学的主要内容是三角形的分类，教材分两个层次编排。
第一层次，按角分，认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；第二层次，按边分，认识特殊的三角形：等腰三角形和等边三角形。
三角形是平面图形中最简单也是最基本的多边形，它是学生学习几何的重要基础。
本节课的教学内容是学生已认识了直角、钝角、锐角的基础上学习的，通过本节课的学习，使学生掌握三角形按角可分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，为今后进一步学习三角形按边分类的知识奠定基础。
教学中设计了富操作性的相应的练习，其意图在于培养学生的观察、抽象概括能力，提高学生解决一些实际问题的能力，发展空间观念。