文科概率专项练习(几何概率、古典概型)
高考文科数学第11章概率11.2 古典概型试题
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120【解析】 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110. 【答案】 C2．(2016·浙江金丽衢十二校二联)4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12B.13C.23D.34【解析】 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1，3)，(2，4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13. 【答案】 B3．(2016·课标全国Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M 、I 、N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130【解析】 小敏输入密码的所有可能情况如下：(M ，1)，(M ，2)，(M ，3)，(M ，4)，(M ，5)，(I ，1)，(I ，2)，(I ，3)，(I ，4)，(I ，5)，(N ，1)，(N ，2)，(N ，3)，(N ，4)，(N ，5)，共15种．而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为115. 【答案】 C4．(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25C.825D.925【解析】 设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10种．其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，故甲被选中的概率为410＝25.故选B. 【答案】 B5．(2017·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，0)的夹角为α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π4的概率为( ) A.518 B.512C.12D.712【解析】 方法一 依题意，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n ＜m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512. 方法二 依题意可得向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n ＜m 的向量a ＝(m ，n )有36－62＝15(个)，所以所求概率为1536＝512. 【答案】 B6．(2016·四川)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．【解析】 所有的基本事件有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12个．记“log a b 为整数”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(2，8)，(3，9)，共2个．∴P (A )＝212＝16. 【答案】 167．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【解析】 先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况可用数对表示为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，……(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个．其中点数之和不小于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个．从而点数之和小于10的数对共有30个，故所求概率P ＝3036＝56. 【答案】 56 8．(2017·海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．【解析】 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56. 【答案】 569．(2017·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．【解析】 (1)由题意，(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P (A )＝327＝19， 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89， 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89. 10．(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．【解析】 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．(2017·天津红桥区模拟)从自然数1，2，3，4，5中，任意取出两个数组成两位的自然数，再从这些两位自然数中取出一个数，则取出的数恰好能被3整除的概率为( )A.25B.15C.310D.12【解析】 从自然数1，2，3，4，5中任意取出两个数组成两位的自然数，共有5×4＝20个，从这些两位自然数中取出的数恰好能被3整除有12，21，15，51，24，42，45，54，共8个，故能被3整除的概率为820＝25. 【答案】 A12．(2016·安徽芜湖、马鞍山第一次教学质量检测)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )A.112B.19C.536D.16【解析】 掷一枚骰子两次不同的点数共有36种，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)．故所求概率为112，故选A. 【答案】 A13．(2017·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．【解析】 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2a a 2＋b 2≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.【答案】7 1214．(2017·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．【解析】(1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．甲胜的概率为P1＝512，乙胜的概率为P2＝712.因为512＜712，所以此游戏不公平．15．(2017·山东枣庄八中南校区2月模拟)根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2015年12月中旬的空气质量指数情况：(1)求12月中旬市民不适合进行户外活动的概率；(2)一外地游客在12月中旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率．【解析】 (1)该试验的基本事件空间Ω＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19，20}，基本事件总数n ＝10.设事件A 为“市民不适合进行户外活动”，则A ＝{13，14，19，20}，包含基本事件数m ＝4.所以P (A )＝410＝25， 即12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为25. (2)该试验的基本事件空间Ω＝{(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，(15，16)，(16，17)，(17，18)，(18，19)，(19，20)}，基本事件总数n ＝9，设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”，则B ＝{(11，12)，(15，16)，(16，17)，(17，18)}，包含基本事件数m ＝4，所以P (B )＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49.。
高中数学概率几何概型古典概型精选题目(附答案)
高中数学概率几何概型古典概型精选题目（附答案）一、古典概型1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，当事件A与B对立时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝mn求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．1.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[解]甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E，F表示．(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝4 9.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.注：解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．2．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为()A.13 B.110C.25 D.310解析：选D设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P＝3 10.3．随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况，得下表：0.15.(1)求x的值；(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？(3)已知y ≥243，z ≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知x3 000＝0.15，所以x ＝450.(2)由题意，可知肥胖学生人数为y ＋z ＝500(人)．设应在肥胖学生中抽取m 人，则m 500＝603 000.所以m ＝10.即应在肥胖学生中抽10名．(3)由题意，可知y ＋z ＝500，且y ≥243，z ≥243，满足条件的基本事件如下： (243,257)，(244,256)，…，(257,243)，共有15组．设事件A ：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y ≤z ，满足条件的(y ，z )的基本事件有：(243,257)，(244,256)，…，(250,250)，共有8组，所以P (A )＝815.所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为815.二、几何概型(1)几何概型满足的两个特点：①等可能性；②无限性． (2)几何概型的概率求法公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积、体积)试验的全部结果长度(面积、体积).4.(1)已知平面区域D 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )| ⎩⎨⎧|x |＜2，|y |＜2，D 2＝{}(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2＜4.在区域D 1内随机选取一点P ，则点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14 B.π4 C.π16D.π32(2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________．[解析] (1)因区域D 1和D 2的公共部分是一个半径为2的圆的14，从而所求概率P ＝14×22π42＝π16，故选C.(2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于13木棒长度的区域内，故所求概率为2×13＝23.[答案] (1)C (2)23 注：几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P (A )＝mn 求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．5．如图，两个正方形的边长均为2a ，左边正方形内四个半径为a2的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a 的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的大小关系是( )A ．P 1＝P 2B ．P 1＞P 2C ．P 1＜P 2D ．无法比较解析：选A 由题意知正方形的边长为2a .左图中圆的半径为正方形边长的14，故四个圆的面积和为πa 2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为πa 2，故P 1＝P 2.6．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：选A 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.7．圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M ，现随机往图4的圆内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.34πB.334πC.2πD.3π解析：选B 设圆内每一个小正三角形的边长为r ， 则一个三角形的面积为12×r ×32r ＝34r 2， ∴阴影部分的面积为334r 2. 又圆的面积为πr 2，∴点A 落在区域M 内的概率是334r 2πr 2＝334π.。
2023年高考分类题库考点46 随机事件的概率、古典概型、几何概型
考点46随机事件的概率、古典概型、几何概型4.(2023·全国甲卷·文科·T4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16 B.13 C.12 D.23【解析】选D .依题意设高一年级的学生编号为1和2,高二年级的学生编号为3和4,则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况,符合情况的有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)这4种情况,故这2名学生来自不同年级的概率为46=23.9.(2023·全国乙卷·文科·T9)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()A .56B .23C .12D .13【解析】选A .将这6个主题分别编号为1~6号,建立如下表格:项目甲123456乙1×2×3×4×5×6×其中一共有36种情况,表格画“×”表示甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的情况,有6种,那么甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的情况就有36-6=30(种),所以甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为3036=56.21.(2023·新高考Ⅰ卷·T21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i 次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量X i 服从两点分布,且P (X i =1)=1-P (X i =0)=q i ,i=1,2,…,n ,则E (∑ =1 X i )=∑i=1nq i .记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ,求E (Y ).【命题意图】本题综合考查了全概率的计算公式、两点分布及数学期望,考查了等比数列的通项及前n 项和.考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力,考查了学生的逻辑推理及运算能力,培养了学生的数学抽象素养.【解析】(1)记“第i 次投篮的人是甲”为事件A i ,“第i 次投篮的人是乙”为事件B i ,所以P (B 2)=P (A 1B 2)+P (B 1B 2)=P (A 1)P (B 2|A 1)+P (B 1)P (B 2|B 1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.(2)设P (A i )=p i ,依题可知,P (B i )=1-p i ,则P (A i+1)=P (A i A i+1)+P (B i A i+1)=P(Ai)P(A i+1|A i)+P(B i)P(A i+1|B i),即p i+1=0.6p i+(1-0.8)×(1-p i)=0.4p i+0.2,构造等比数列{p i+λ},设p i+1+λ=25(p i+λ),解得λ=-13,则p i+1-13=25p i-13,又p1=12,p1-13=16,所以p i-13是首项为16,公比为25的等比数列,即p i-13=16×,p i=16×+13.(3)因为p i=16×+13,i=1,2,…,n,所以当n∈N*时,E(Y)=p1+p2+…+p n=16×251−25+ 3=5181+ 3,故E(Y)=5181+ 3.13.(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为;将三个盒子混合后任取一个球,是白球的概率为.【解析】设盒子中共有球15n个,则甲盒子中有黑球2n个,白球3n个,乙盒子中有黑球n个,白球3n个,丙盒子中有黑球3n个,白球3n 个,从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为2 5 × 4 ×3 6 =120;将三个盒子混合后任取一个球,是白球的概率为9 15 =35.答案:120356.(2023·全国甲卷·理科·T6)有50人报名足球俱乐部,60人报名乒乓球俱乐部,70人报名足球或乒乓球俱乐部,若已知某人报足球俱乐部,则其报乒乓球俱乐部的概率为() A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【解析】选A.报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40,记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B,则P(A)=5070=57,P(AB)=4070=47,所以P(B|A)= ( ) ( )=4757=0.8.。
数学(文科,人教版)二轮专题复习提分训练：古典概型与几何概型
古典概型与几何概型高考试题考点一求古典概型的概率1。
(2013年新课标全国卷Ⅰ,文3）从1，2，3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )（A)12(B)13（C）14（D）16解析：从1,2，3,4中任取2个不同的数有六种情况：（1，2）,（1,3),（1，4）,(2,3），(2，4），(3,4）,满足条件的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是26=13.故选B。
答案：B2.（2013年安徽卷，文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( ）（A)23（B)25（C）35（D)910解析：从五位大学生中录用三位的所有结果为（甲，乙,丙）,(甲,乙,丁），（甲,乙，戊），（甲，丙,丁),(甲，丙，戊），(甲，丁，戊）,(乙，丙,丁)，(乙,丙,戊)，（乙,丁,戊）,（丙,丁,戊)共10种情况,其中甲或乙被录用的情况为9种，所求概率为910。
故选D.答案:D3.(2012年安徽卷，文10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ）（A)15（B）25（C)35(D)45解析:若记红球为A,白球为B1,B2,黑球为C1，C2，C3,则任取2个球的基本事件如下:AB1,AB2,AC1，AC2,AC3，B1B2，B1C1,B1C2,B1C3,B2C1，B2C2,B2C3,C1C2,C1C3,C2C3.共15个。
其中颜色为一白一黑的事件有6个,所以概率为P=615=25。
答案：B4。
(2011年全国新课标卷,文6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )（A）13 (B）12（C)23(D）34解析：甲、乙各自参加其中一个小组所有选法为9种，甲、乙参加同一个小组的选法有3种，所以其概率为39=13。
文科概率大题(几何概率、古典概型)
几何概型1.已知地铁列车每 是 ( ) A.110 B.19 C.111 D.182．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( ) A.116 B.18 C.14 D.123．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．4.(2009·辽宁高考ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π85．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是 ( ) A.12 B.14 C.18 D.1166．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ( ) A.13 B.23 C.19 D.297．在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )A.π2B.π8C.π6D.π4 8．(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R.(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．10. 1 cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( )11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．A.14B.13C.12D.2312．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．答案1解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A2解析：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14.答案：C3解析：60×(1－910)＝6分钟．答案：64解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1时，其是以O 为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：1－12π2＝1－π4.答案：B5解析：由题知该方程有实根满足条件⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，a 2－4b 2≥0，作平面区域如右图：由图知阴 影面积为1，总的事件对应面积为正方 形的面积，故概率为14.答案：B6解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出 Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界，A 表示的 区域为三角形OCD 及其边界．容易求得D (4,2)恰为直线x ＝4，x －2y ＝0，x ＋y ＝6三线的交点． 则可得S △AOB ＝12×6×6＝18，S △OCD ＝12×4×2＝4.所以点P 落在区域A 的概率为418＝29.答案：D7解析：区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为 P ＝S 半圆S △ABC ＝π212×22×2＝π4.答案：D8解析：以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 相交出 三个扇形(如图所示)，当P 落在阴影部分时符合要求． ∴P ＝3×(12×π3×12)34×22＝3π6.答案：36π9解：(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值， 即基本事件总数为12.设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a ＞b . 当a ＞b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 即A 包含的基本事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率 P (A )＝612＝12.(2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}， 这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为 M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a ＜b }， 即图中阴影部分的梯形，其面积 S M ＝6－12×2×2＝4.由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S M S Ω＝46＝23.11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．10解析：平面被这一组平行线分割成条状区域，现对两条平行线之间的区域考虑：平行线间的距离为3 cm ，硬币半径为1 cm ，要想硬币不与两条平行线相碰，硬币中心与两条平行线的距离都应大于1 cm ，如图：硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时，才能让硬币与两条平行线都不相碰，则硬币中心落在阴影部分的概率为13.整个平面由无数个这样的条状区域组成，故所求概率是13.答案：B11解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)， 区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π1612解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待． 以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x －y ≤4，在如 图所示的平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A “有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得： P (A )＝242－12×222－12×202242＝67288. 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是67288.古典概率模型的综合运用概率11、某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀． （1）根据上表完成下面的2⨯2列联表（单位：人）：数学成绩优秀数学成绩不优秀合 计物理成绩优秀 物理成绩不优秀合 计20（2间有关系？（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率． 参考数据：则随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量；独立检验随机变量2K 的临界值参考表：序号12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 数学成绩 95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83 物理成绩 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 7886(单位:mg/100m0.0250.0200.0150.0100.0052、“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．”2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 图甲 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 并说明S 的统计意义；（图乙中数据i m 与i f 分别表示图 图乙甲中各组的组中值及频率）（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．3、汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对2CO 排放量超过130g/km 的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行2CO 排放量检测，记录如下(单位：g/km ).经测算发现，乙品牌车2CO 排放量的平均值为120x =乙g/km ．（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合2CO 排放量的概率是多少？（Ⅱ）若90130x <<，试比较甲、乙两类品牌车2CO 排放量的稳定性．4、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[)80,70的概率.5、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x（°C）10 11 13 12 8发芽数y（颗）23 25 30 26 16（1）求这5天发芽数的中位数；（2）求这5天的平均发芽率；（3）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，后面一天发芽种子数为n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足“25253030mn≤≤≤≤⎧⎨⎩”的概率.6、一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：第18题图（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．7、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全 这个频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的 平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本， 将该样本看成一个总体，从中任取2人， 求至多有1人在分数段[)80,70的概率.8、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计第18题图已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)。
高三数学《概率统计(文科)》练习
文科数学《统计与概率》核心知识点与参考练习题一、统计（核心思想：用样本估计总体）1.抽样（每个个体被抽到的概率相等）（1）简单随机抽样：抽签法与随机数表法（2）系统抽样（等距抽样）（3）分层抽样2.用样本估计总体：（1）样本数字特征估计总体：众数、中位数、平均数、方差与标准差（2）样本频率分布估计总体：频率分布直方图与茎叶图3.变量间的相关关系：散点图、正相关、负相关、回归直线方程（最小二乘法）4.独立性检验二、概率（随机事件发生的可能性大小）1.基本概念（1）随机事件A的概率()()1,0∈AP（2）用随机模拟法求概率（用频率来估计概率）（3）互斥事件（对立事件）2.概率模型（1）古典概型（有限等可能）（2）几何概型（无限等可能）三、参考练习题1.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______ .2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则该从高二年级抽取_____名学生.3.某校老年、中年和青年教师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为_______ .4.已知一组数据5.5,4.5,1.5,8.4,7.4，则该组数据的方差是_____．5.若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的标准差为____.6.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如右图：则这组数据的中位数是________．7.某高校调查了200名学生每周的晚自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中晚自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.1408.（2016四川文）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5] 分成9组，制成了如图的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43009.（2015全国Ⅱ文）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]频 数2814106（Ⅰ）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：试估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.10.（2014安徽文）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：()()()()()d b c a d c b a bc d a n K ++++-=22满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意()02k K P ≥ 0.10 0.05 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.87911.（2014全国Ⅰ文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85,95）[95,105）[105,115）[115,125] 频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？12.（2014广东文）某车间20名工人年龄数据如下表：（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（Ⅲ）求这20名工人年龄的方差.13.（2016江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_______ .14.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为_______ .15.（2016全国乙卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______ .16.（2016全国丙卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________ .17.（2016天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为_________ .18.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任选2件，恰有一件次品的概率为_________ .19.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40,45） [45,50]人数 25 a b（Ⅰ）求正整数a ，b ，N 的值；（Ⅱ）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？（Ⅲ）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.20.（2016全国Ⅰ文）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A.31B.21C.32D.4321.（2016全国Ⅱ文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A.107 B.85 C.83 D.103 22.在区间[-2,3]上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为_____ .23.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_______ .24.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________ .25.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为（ ）A .1ˆ-=x yB .1ˆ+=x yC .x y 2188ˆ+= D .176ˆ=y26.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下：根据上表可得回归方程a x b yˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元27.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年 份 2011 2012 2013 2014 2015 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程a t b yˆˆˆ+=； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区城乡居民储蓄存款的变化情父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ）175175176177177广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954况，并预测该地区2016年（t =6）的人民币储蓄存款.附：回归方程a t b yˆˆˆ+=中，t b y atn tyt n y t b ni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==.28.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：乙校：（1）计算y x ,的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； （3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.参考数据与公式：由列联表中数据计算()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22；临界值表：29.一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）根据上表数据作散点图，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）.附：回归直线的方程是：a x b y ˆˆˆ+=，其中()()()x b y ax x y y x x b ni ini iiˆˆ,ˆ121-=---=∑∑==； 90,93==y x ，()()()30,4051251=--=-∑∑==y y x x x x ii ii i .30.为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计得到下面的频率分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布表中a 、b 的值，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计有意购车的这500名市民的平均年龄；31.（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；32.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机分组（岁） 频数 频数[20,25) 5 0.050 [25,30) 200.200 [30,35) a0.350[35,40) 30 b[40,45] 10 0.100 合计1001.000摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____________ .33.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，某同学从中任取2道题解答.试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率.A,两地区分别随机调查了20个用户，得到用34.某公司为了解用户对其产品的满意度，从B户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；。
几何概型、古典概型常考经典好题(史上最全面含答案)
几何概型、古典概型常考经典题（史上最全面）1．在长为2的线段AB 上任意取一点C ，则以线段AC 为半径的圆的面积小于π的概率为( ) A .14 B.12 C .34 D.π42．已知正棱锥S-ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC ＜12V S-ABC 的概率是( ) A .34 B.78 C .12 D.143.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A .12 B.32 C .13 D.144．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1， 2 ]的概率是( ) A .12 B.34 C .38 D.585．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．6.如图，正四棱锥S-ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．7．平面区域A 1＝{}(x ，y )|x 2＋y 2＜4，x ，y ∈R ，A 2＝{(x ，y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R}．在A 2内随机取一点，则该点不在A 1内的概率为________．8．在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得OA ―→·OP ―→≤4的概率为( )A.12B.14C.13D.189．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为35，则AD AB ＝________. 10．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．11．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．12.在面积为S 的ABC ∆ 的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S 的概率为 .13．在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ∆为钝角三角形的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23 14.从区间[0,1]上随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，[来源:学+,(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________. A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．m n15. 在等腰Rt △ABC 中， (1)在斜边A B 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.（2）过直角顶点C 在ACB ∠内作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率.（3）已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．23D ．1216.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率。
高考文数学母题题源训练：古典概型、几何概型
【母题来源】2014重庆卷文-15【母题原题】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）所以()1151592202032 DEFABCDSP AS ∆⨯⨯===⨯正方形所以答案应填：932．【命题意图】本题考查不等式表示的平面区域、几何概型等知识，意在考查数形结合思想、转化与化归思想，同时考查考生运算能力.【方法技巧】将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．1．【2014高考陕西卷文第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D2．【2014高考湖北卷文第5题】随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ，点数之和大于5的概率为2P ，点数之和为偶数的概率为3P ，则（ ） A ． 321P P P << B ． 312P P P << C ． 231P P P << D ． 213P P P <<3．【2014高考湖南卷文第3题】对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4．【2014高考湖南卷文第5题】在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D5．【2014高考江西卷文3第题】掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D6．【2014高考辽宁卷文第6题】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π7．【2014高考广东卷文第12题】从字母a 、b 、c 、d 、e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 ． 【答案】【解析】所有的基本事件有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),c d 、(),c e 、(),d e ，8．【2014高考浙江卷文第14题】在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为 ．9．【2014高考上海卷文第13题】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）．10．【2014高考全国1卷文第13题】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．11．【2014高考全国2卷文第13题】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．12．【2014高考江苏卷第4题】 从1，2，3，6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 ．13．【山东省德州市2014届高三上学期期末考试】如图，设D 是边长为l 的正方形区域，E 是D 内函数y x =与2y x =所构成(阴影部分)的区域，在D 中任取一点，则该点在E 中的概率是（ ）14.【山东省济南外国语学校2014届高三上学期期中考试】已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 （ ）A ．92 B ．32 C ．31 D ．9115.【辽宁省铁岭市第一高级中学2013—2014学年高三上学期期中考试试题理】连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m,n ，记向量()(),,1,1a m n b →→==-的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ） A.512 B. 12 C. 712 D. 5616．【2014高考福建卷文第13题】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________．17．【2014高考山东文第16题】海关对同时从C B A ,,三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测．（1）求这6件样品中来自C B A ,,各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．地区 ABC数量5015010018．【2014高考陕西文第19题】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0 1000 2000 3000 4000车辆数（辆）500 130 100 150 120（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．19．【2014高考四川文第16题】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．+=”的概率；（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．20．【2014高考天津文第15题】某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学A B C 女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．21．【2014高考重庆文第17题】20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频率分布直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率． 【答案】（I ）0.005a =；（II ）2，3；（III ）310． 【解析】。
高考文科数学概率及统计题型归纳及训练.docx
2020 年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练【题型归纳】题型一古典概型例 1从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）.A. 1B.2C.8D. 5525925【答案】 B【解析】可设这 5 名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出 2 人的方法有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有种选法，其中只有前 4 种是甲被选中，所以所求概率为 . 故选 B.例 2将2本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 ________.【答案】23【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语;数1，语，数 2; 数 2，数 1，语 ;数2，语，数1;语，数2，数1;语，数1，数2共有6 种，其中 2 本数学书相邻的有 4 种，则其概率为：p 4 2．6 3【易错点】列举不全面或重复, 就是不准确【思维点拨】直接列举, 找出符合要求的事件个数.题型二几何概型例 1 如图所示，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）.A. 1B.πC.1D.π4824【答案】 B【解析】不妨设正方形边长为 a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半. 由几何概型概率的计算公式得，所求概率为21a22a28.故选B.例 2在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程 x2 + 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的概率为 ________.【答案】234 p24(3 p2)0【解析】方程 x2 + 2 px + 3p -2 = 0 有两个负根的充要条件是x1 x22p0即x1x2 3 p202p 1, 或 p 2 ，又因为 p[0,5] ，所以使方程x2+ 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的p3(1 2) (5 2) 2，故填：2 .的取值范围为 ( 2,1] U [2,5] ，故所求的概率33533【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化 .【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与x 轴负半轴有两个交点.从而得到参数 p 的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可.题型三抽样与样本数据特征例 1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200， 400，300 ，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．【答案】 18【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取6018(件)．3001000例 2已知样本数据 x1， x2，， x n的均值x 5 ，则样本数据2x11， 2x21，，2x n1的均值为．【答案】 11【解析】因为样本数据，，，的均值，又样本数据，，，的和为 2 x1x2 L x n n ，所以样本数据的均值为＝ 11.例 3 某电子商务公司对10000名网络购物者 2018 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 [0.3，0.9] 内，其频率分布直方图如图所示.（1）直方图中的a =.（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9] 内的购物者的人数为.【答案】 a 3人数为 0.6 10000 6000【解析】由频率分布直方图及频率和等于1，可得0.2 0.1 0.8 0.1 1.5 0.1 2 0.1 2.5 0.1 a 0.1 1 ，解之得 a 3 .于是消费金额在区间0.5，0.9 内频率为 0.2 0.1 0.8 0.1 2 0.1 3 0.10.6 ，所以消费金额在区间0.5，0.9 内的购物者的人数为 0.6 10000 6000.例 4某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11户居民，则从月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？【答案】见解析【解析】（1）由0.002 0.0095 0.011 0.0125x 0.005 0.0025 20 1，得 x0.0075 ．220 240（2）由图可知，月平均用电量的众数是230 .2因为 0.002 0.0095 0.011 20 0.450.5 ，又 0.002 0.0095 0.011 0.0125 20 0.70.5 ，所以月平均用电量的中位数在220,240 内.设中位数为 a ，由0.002 0.0095 0.011 20 0.0125 a 2200.5，得 a 224 ，所以月平均用电量的中位数是224 .（3）月平均用电量为220,240的用户有0.0125 20 100 25（户）；月平均用电量为 240,260 的用户有 0.0075 20 100 15（户）；月平均用电量为 260,280 的用户有 0.005 20 100 10 （户）；月平均用电量为280,300 的用户有 0.0025 20 100 5 （户）.抽取比例为111051 ，25155所以从月平均用电量在220,240 的用户中应抽取2515 （户）．5【易错点】没有读懂题意 , 计算错误 . 不会用函数思想处理问题【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式； 2 牵涉到策略问题 , 一般可以转化为比较两个指标的大小.题型四回归与分析例 1 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（2）建立关于的回归方程（系数精确到），预测年我国生活垃圾无害化处理量 .参考数据：，，，.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】见解析【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，，.因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系 .（1）变量与的相关系数，又，，，，，所以，故可用线性回归模型拟合变量与的关系 .（2），，所以，，所以线性回归方程为.当时， . 因此，我们可以预测2016 年我国生活垃圾无害化处理亿吨.【易错点】没有读懂题意 , 计算错误 .【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻 , 利用好题目中给的公式与数据 .题型五独立性检验例 1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、 B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m如下表：甲乙丙丁rm 115 106 124103则哪位同学的试验结果体现A、B 两变量更强的线性相关性？() A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】 D【解析】 D因为r>0且丁最接近1，残差平方和最小，所以丁相关性最高【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系【思维点拨】相关系数 r 的绝对值越趋向于 1, 相关性越强 . 残差平方和 m越小相关性越强【巩固训练】题型一古典概型1.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是．【答案】【解析】将先后两次点数记为，则基本事件共有（个），其中点数之和大于等于有，共种，则点数之和小于共有种，所以概率为．2. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 723 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是（）.A．1B．1C．1D．1 12141518【答案】 C【解析】不超过 30 的素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共 10 个，随机选取两数有 45 （种）情况，其中两数相加和为30 的有 7 和 23，11 和 19，31P451513 和 17，共 3 种情况，根据古典概型得.故选C.3.袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1只白球， 1只红球， 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为．【答案】P56【解析】 1只白球设为a，1只红球设为b， 2 只黄球设为c，d，则摸球的所有情况为a,b ， a, c ， a,d ， b, c ， b,d ， c,d ，共6件，足意的事件a,b ， a,c ， a,d ， b,c ， b,d ，共5件，故概率P 5 ．6型二几何概型1.某公司的班在 7:00 ，8:00 ，8:30 ，学 . 小明在 7:50 至 8:30 之到达站乘坐班，且到达站的刻是随机的，他等不超10 分的概率是（）.B.D.【答案】 B【解析】如所示，画出.小明到达的会随机的落在中段中，而当他的到达落在段或，才能保他等的不超分 .根据几何概型，所求概率. 故B.2.从区随机抽取 2n个数，，⋯，，，，⋯，，构成n个数，，⋯，，其中两数的平方和小于 1 的数共有m个，用随机模的方法得到的周率的近似（）.A.B.C.D.【答案】 C【解析】由意得：在如所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，所以.故选C．3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边AB， AC ，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1， p2， p3，则A．p1p2B．p1p3C．p2p3D．p1p2p3【答案】 A【解析】概率为几何概型，总区域面积一定，只需比较Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区域面积即可 .设直角三角形ABC 的三个角A，B， C 所对的边长分别为 a ，b， c ，则区域Ⅰ的面积为 S11 ab，2区域Ⅱ的面积为区域Ⅲ的面积为222S21π1c1π1b1ab1π1a1ab ，2222222221 π 1 b21 πa21ab .S3 1 π 1 c1ab2222282显然 p1p2.故选A.题型三抽样与样本的数据特征1. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．【答案】 10【解析】平均数 x 1 4658766．62.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 [0.3, 0.9] 内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9] 内的购物者的人数为_________.【答案】 3；6000【解析】频率和等于 1 可得0.2 0.1 0.8 0.1 1.5 0.1 2 0.1 2.50.1a0.1 1 ，解之得 a 3 .于是消费金额在区间 [0.5, 0.9] 内频率为 0.20.10.80.120.1 3 0.1 0.6 ，所以消费金额在区间 [0.5, 0.9] 内的购物者的人数为： 0.6100006000 ，故应填3；6000.3.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费 . 为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，请说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由 .【答案】见解析【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为，同理，在，，，，，中的频率分别为，，，，，.由，解得 .（2）由（ 1），位居民每人月均用水量不低于吨的频率为.由以上样本的频率分布，可以估计全市万居民中月均用水量不低于吨的人数为.（3）因为前组的频率之和为，而前组的频率之和为，所以由，解得 .题型四回归与分析1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x（万元）支出 y （万元）根据上表可得回归直线方程???，其中???y bx a b0.76,a y bx ，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为（）A．万元B．万元C．万元D．万元【答案】 B8.28.610.011.311.9（万元），【解析】由已知得x5106.27.58.0 8.59.88（万元），故 ?8 0.76 10 0.4，5所以回归直线方程为y? 0.76 x 0.4 ．当社区一户收入为15 万元，家庭年支出为y? 0.76 150.411.8 （万元）．故选B．2.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（）.A.B.C.D.【答案】 C【解析】，，所以，时，.故选C.3.某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y（单位： t ）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费 x i和年销售量y i i 1,2, ,8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w82888x i x2w i w y i yw i w x i x y i y i 1i 1i 1i 1561469 3表中 w i18x i， w w i ，8 i 1（1）根据散点图判断，y a bx 与y c d x 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（ 1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系式为z 0.2 y x，根据（ 2）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 u1, v1u2,v2，， u n ,v n，其回归直线v u 的斜率和n?u i u v i vi 1?截距的最小二乘估计分别为， ? v u .nu i2ui 1【答案】见解析【解析】（1）由散点图变化情况可知选择y c d x 较为适宜．8w i w y iy（2）由题意知di 182108.8 68 ．又 y c d x 一定过点, y ，w i w1.6i 1所以 c y d563 68 6.8 100.6 ，所以 y 与 x 的回归方程为 y 100.6 68 x ．（3）（ⅰ）由（ 2）知，当 x 49 时， y 100.6 6849 576.6 t ，z 0.2 576.6 49 66.32（千元），所以当年宣传费为 x 49 时，年销售量为 576.6 t ，利润预估为 66.32千元．（ⅱ）由（ 2）知， z0.2 y x0.2100.6 68 x x 13.6 x x 20.122x 6.8时，年利润的预估值最大，x 6.86.82 20.12 ，所以当即 x 6.8 2 46.24 （千元）． 题型五 独立性检验1. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用， 把 500 名使用血清的人与另外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用 2×2列联表计算的 K 2≈，则下列表述中正确的是（ ）A ．有 95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B ．若有人未使用该血清，那么他一年中有95℅的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95℅D．这种血清预防感冒的有效率为5℅【答案】 A【解析】由题可知，在假设 H 成立情况下，P( K23.841)的概率约为，即在犯错的概率不错过的前提下认为“血清起预防感冒的作用”，即有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” . 这里的 95℅是我们判断H不成立的概率量度而非预测血清与感冒的几率的量度，故 B 错误. C，D也犯有 B 中的错误.故选 A2. 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y 之间关系最强的是( )A．B．【答案】 D【解析】在频率等高条形图中，C．D．a与c相差很大时，我们认为两个分类变量a b c d有关系，四个选项中，即等高的条形图中x1, x2所占比例相差越大，则分类变量 x, y 关系越强，故选 D ．3.淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）的频率分布直方图如图所示.（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量箱产量50kg⋯50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）.附：P K2⋯kkK 2n( ad bc)2.(a b)(c d )(a c)(b d )【答案】见解析【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ”为事件B，“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件 C，由题图并以频率作为概率得P B0.040 5 0.034 5 0.024 5 0.014 5 0.012 5 0.62，P C0.068 5 0.046 5 0.010 5 0.008 50.66，P A P B P C0.4092 .（2）箱产量50kg箱产量≥50kg 旧养殖法6238新养殖法3466k 220062 6638 342由计算可得 K2的观测值为15.705 ，因为15.705 6.635，所以10010096104P K2≥ 6.6350.001，从而有 99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）1 5 0.2，0.10.0040.0200.0440.032，0.0320.0688，85 2.35，171750 2.35 52.35，所以中位数为52.35.。
(文科)随机事件的概率和古典概型练习题
四十一、随机事件的概率和古典概型（2008-1-8）班级 学号 姓名 得分 一选择题（每小题5分，共计60分。
请把选择答案填在答题卡上。
） 1.下列试验能够构成事件的是A.掷一次硬币B.射击一次C.标准大气压下，水烧至100℃D.摸彩票中头奖2. 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上选项均不正确 3. 随机事件A 的频率nm满足 A.n m =0 B. n m =1 C.0<n m <1 D.0≤nm ≤1 4. 下面事件是必然事件的有 ①如果a 、b ∈R ，那么a ·b =b ·a ②某人买彩票中奖 ③3+5>10 A.① B.② C.③ D.①②5. 下面事件是随机事件的有：①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面朝上； ②异性电荷，相互吸引； ③在标准大气压下，水在1℃时结冰 . A.② B.③ C.① D.②③6.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则甲不胜的概率是 A. 21 B.65 C.61 D.327. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球”8. 抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品9. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在［4.8，4.85）（g ）范围内的概率是 A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.6810. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为 A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96 11.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是 A.83 B.32 C.31 D.41 12. 从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 A.51 B.52 C.103 D.10713. 某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表（结果保留两位有效数字）：（1）填写表中的男婴出生频率；（2）这一地区男婴出生的概率约是____0.5___.14. 某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是 0.2 .15. 某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_2次都不中_____.三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共2个大题，共20分） 17.判断下列每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？ 从一副桥牌（52张）中，任取1张.. （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10. 解：（1）是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的.同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立.（2）是互斥事件又是对立事件.因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生.（3）不是互斥事件，更不是对立事件.因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生，如抽得12.18.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率;（2）至少射中7环的概率；（3）射中环数不足8环的概率. 解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A 、B 、C 、D 、E ，则（1）P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=0.24+0.28=0.52，即射中10环或9环的概率为0.52. （2）P （A+B+C+D ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）+P （D ）=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87，即至少射中7环的概率为0.87.（3）P （D+E ）=P （D ）+P （E ）=0.16+0.13=0.29，即射中环数不足8环的概率为0.29.19．已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域. [解]（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ，x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos sin 3-= 53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ， ππ≤≤x 2 ， ∴5366x πππ≤-≤， ∴16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.20．用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x ，容器的体积为V ， 则V=（90－2x ）×（48－2x ）× x, =4x 3-276x 2+4320x (0<x<24) ∵V′=12 x 2-552x+4320由V′=12 x 2-552x+4320=0得x 1=10，x 2=36 ∵x<10 时，V′>0, 10<x<36时，V′<0, x>36时，V′>0,所以,当x=10,V 有极大值V(10)=19600 又V(0)=0,V(24)=0,所以当x=10,V 有最大值V(10)=19600(cm 3)21．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为 2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面 1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面； （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．ABCD1A 1B1C 1D设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有111111A E D DC FD D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11AC EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥，故11AC AC ∥，11AC 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A∥，11OF B C ∥，OE OF =∴．1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴． 1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．ABCD1A1B1C 1D MOEFx y 22．如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为()1,2M . (1) 求椭圆C 的方程； (2) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线 2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积.[解] (1) [解法一] x l ⊥ 轴， 2F ∴的坐标为()0,2.由题意可知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,2,1122222b a ba 得 ⎩⎨⎧==.2,422b a ∴ 所求椭圆方程为12422=+y x . [解法二]由椭圆定义可知a MF MF 221=+. 由题意12=MF ，121-=∴a MF .又由Rt △21F MF 可知 ()122)12(22+=-a ，0>a ，2=∴a ，又222=-b a ，得22=b . ∴ 椭圆C 的方程为12422=+y x . (2) 直线2BF 的方程为2-=x y .由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,124,222y x x y 得点N 的纵坐标为32.又2221=F F ，3822322211=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∴∆BN F S .。
(完整版)高三复习文科统计概率(概率专项)练习
单学一些计算原理（特别是相乘原理），以提高解答速度高三复习文科统计概率（概率专项）练习必须掌握知识点:① 随机事件的定义；正确理解概率的定义，能理解频率与概率的联系与区别解析：判断事件是否随机抓住不能确保发生或不发生的事件，通常未发生的不是自然科学规律的事件为随机事件， 而已发生、自然科学规律、公式以及定理等确定的事件为必然事件，违背自然科学的未发生的为不可能事件；事件 发生的概率通俗讲就是事件发生的可能性大小，故可能发生也可能不发生，如天气预报有雨却没下雨，某人说某事 99%的概率发生缺没发生等并不表示天气预报有误也不表示某人说法错误；频率是统计得来，随着试验次数不同而 浮动，概率可看着是对频率的固定值估计，是一个定值，但试验次数无限增加时，频率无限趋近该事件的概率•② 掌握对立事件与互斥事件的区别与联系•解析：对立事件与互斥事件都不能同时发生，而互斥事件可以同时不发生，对立事件却必然有事件发生，故对立事 件是互斥事件充分不必要条件；互斥事件与对立事件经常作为间接求解使用③ 掌握古典概型和几何概型•解析：古典概型成立的特征需两个条件，条件一是试验的结果是有限的（如抛一枚硬币出现正面、方面两种情况） 条件二是试验的所有结果发生可能性相同（如抛一枚硬币出现正面、反面的概率一样），解答古典概型题计算方式具”的量有关，且为其“量比” （如长度比、面积比、事件比、空间比、数轴比等，典型的如等公交车、过交通岗、设靶、数轴取数、抛黄豆以等）•②独立性检验解析：独立性检验是经常出现在大题当中，固定的考试模式以及固定的求解步骤对考生来说没有难度，需要注意的 是几种求问法：（1）是否有不低于99.5%的把握认为吸烟与患肺炎相关； （2 ）是否能在犯错误的概率不超过0.5%前提下，认为吸烟与患肺炎有关；（3）若低于95%的把握，则认为吸烟与患肺炎无关，反之亦然，从上表统计数据是否能判断吸烟与患肺炎有关，请注明你的结论。
高中数学专题训练概率
高中数学专题训练——古典概型与几何概型古典概型与几何概型一．知识点1.事件(1)必然事件:在条件S下,①的事件称为相对于条件S的必然事件.(2)不可能事件:在条件S下,②的事件称为相对于条件S的不可能事件.(3)随机事件:在条件S下,③ .的事件称为相对于条件S的随机事件.2.随机试验如果试验满足下列三个特性:(1)可以在相同的条件下重复进行;(2)每次试验的结果具有多种可能性,试验前可以明确知道所有的可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现,则称该试验为随机试验.3.频率和概率(1)频数与频率:在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A出现的比例④为事件A出现的频率(2)概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时，把这个常数叫做随机事件A的概率，记作⑤ .4.随机事件的概率任何事件的概率是⑥之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.5.基本事件基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，每次试验只出现其中的一个基本事件，其他事件可以用它们来表示.6.古典概型把具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(1)试验的所有可能结果(基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性⑦ .7.古典概型的概率计算公式对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，则事件A的概率为⑧ .8.模拟方法可以向一个图形中撒芝麻，通过计算芝麻数计算一些面积、长度、体积等的概率；也可以用随机数表模拟一些事件概率的求法9.几何概型如果事件A发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型.10.几何概型的两个特点一是⑨,即每次试验的基本事件个数可以是无限的;二是⑩ ,即每个基本事件的发生是等可能的11.几何概型的概率计算公式P(A)= .二.基础训练1.下列说法中正确的是( )①频数和频率都能反映一个对象在试验中出现的频繁程度；②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1;④概率就是频率.A.①B.①②④C.①②D.③④2.下列试验是古典概型的有( )A.从装有大小相同的红、绿、白色各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色B.在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽C.连续抛掷两枚硬币，观察出现正面、反面、一正面一反面的次数D.从一组直径为(100±0.2)mm的零件中取出一个测量它的直径3.掷两颗骰子，事件“点数之和为６”的概率为4.在区间［1,3］上任取一数，则这个数大于1.5的概率为( )A.0.25B.0.5C.0.6D.0.755.如右图所示，在一个边长为 2 cm的正方形内随机投一点，则该点落入内切圆内的概率为 .三.例题讲解例1.某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．（1）共有多少个基本事件？（2）小曹能乘上上等车的概率为多少例2.(1)某人有甲、乙两只电子密码箱，欲存放A 、B 、C 三份不同的重要文件，则两个密码箱都不空的概率是(2)考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。
文科概率大题(几何概率、古典概型)
几何概型题组一与长度有关的几何概型1.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率 是 ( ) A.110 B.19 C.111 D.182．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( ) A.116 B.18 C.14 D.123．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．题组二与面积(或体积)有关的几何概型4.(2009·辽宁高考)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π85．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是 ( ) A.12 B.14 C.18 D.1166．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ( ) A.13 B.23 C.19 D.297．在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )A.π2B.π8C.π6D.π4 8．(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R.(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．题组三生活中的几何概型10.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( )11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．A.14B.13C.12D.2312．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．答案1解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A2解析：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14.答案：C3解析：60×(1－910)＝6分钟．答案：64解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1时，其是以O 为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：1－12π2＝1－π4.答案：B5解析：由题知该方程有实根满足条件⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，a 2－4b 2≥0，作平面区域如右图：由图知阴 影面积为1，总的事件对应面积为正方 形的面积，故概率为14.答案：B6解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出 Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界，A 表示的 区域为三角形OCD 及其边界．容易求得D (4,2)恰为直线x ＝4，x －2y ＝0，x ＋y ＝6三线的交点． 则可得S △AOB ＝12×6×6＝18，S △OCD ＝12×4×2＝4.所以点P 落在区域A 的概率为418＝29.答案：D7解析：区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为 P ＝S 半圆S △ABC ＝π212×22×2＝π4.答案：D8解析：以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 相交出 三个扇形(如图所示)，当P 落在阴影部分时符合要求． ∴P ＝3×(12×π3×12)34×22＝3π6.答案：36π9解：(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值， 即基本事件总数为12.设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a ＞b . 当a ＞b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 即A 包含的基本事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率 P (A )＝612＝12.(2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}， 这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为 M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a ＜b }， 即图中阴影部分的梯形，其面积 S M ＝6－12×2×2＝4.由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S M S Ω＝46＝23.11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．10解析：平面被这一组平行线分割成条状区域，现对两条平行线之间的区域考虑：平行线间的距离为3 cm ，硬币半径为1 cm ，要想硬币不与两条平行线相碰，硬币中心与两条平行线的距离都应大于1 cm ，如图：硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时，才能让硬币与两条平行线都不相碰，则硬币中心落在阴影部分的概率为13.整个平面由无数个这样的条状区域组成，故所求概率是13.答案：B11解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)， 区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π1612解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待． 以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x －y ≤4，在如 图所示的平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A “有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得： P (A )＝242－12×222－12×202242＝67288. 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是67288.古典概率模型的综合运用概率11、某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀． （1）根据上表完成下面的2⨯2列联表（单位：人）：数学成绩优秀数学成绩不优秀合 计物理成绩优秀 物理成绩不优秀合 计20（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率． 参考数据：则随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量；独立检验随机变量2K 的临界值参考表：序号12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 数学成绩 95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83 物理成绩 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 7886i=i+1S=S+m i ×f i 输入m i ,f i开始否结束输出S i>=7？i ＝1S ＝0是9080706050403020(单位:mg/100m0.0250.0200.0150.010频率/组距酒精含量0.005()2P K o k ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001o k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8282、“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．”2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 图甲 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 值， 并说明S 的统计意义；（图乙中数据i m 与i f 分别表示图 图乙甲中各组的组中值及频率）（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．3、汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对2CO 排放量超过130g/km 的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行2CO 排放量检测，记录如下(单位：g/km ).甲 80 110 120140 150 乙100120xy160经测算发现，乙品牌车2CO 排放量的平均值为120x =乙g/km ．（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合2CO 排放量的概率是多少？（Ⅱ）若90130x <<，试比较甲、乙两类品牌车2CO 排放量的稳定性．4、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[)80,70的概率.5、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x（°C）10 11 13 12 8发芽数y（颗）23 25 30 26 16（1）求这5天发芽数的中位数；（2）求这5天的平均发芽率；（3）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，后面一天发芽种子数为n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足“25253030mn≤≤≤≤⎧⎨⎩”的概率.6、一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：第18题图（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．7、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全 这个频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的 平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本， 将该样本看成一个总体，从中任取2人， 求至多有1人在分数段[)80,70的概率.8、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计第18题图男生5 女生10 合计 ５０ 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． 下面的临界值表供参考：2()p K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)。
古典概率、几何概率
古典概率、⼏何概率古典概率、⼏何概率⼀、选择题1.4位同学各⾃在周六、周⽇两天中任选⼀天参加公益活动，则周六、周⽇都有同学参加公益活动的概率为A. B. C. D.2.甲、⼄两⼈下棋，两⼈下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为A. B. C. D.3.将⼀颗骰⼦掷两次，则第⼆次出现的点数是第⼀次出现的点数的3倍的概率为A. B. C. D.4.同时掷3枚硬币，最多有2枚正⾯向上的概率是A. B. C. D.5.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取⼀点P，使的最⼤边是AB”发⽣的概率为，则A. B. C. D.6.南宁市⼗⼆路公共汽车每5分钟⼀趟，某位同学每天乘⼗⼆路公共汽车上学，则他等车时间⼩于3分钟的概率为A. B. C. D.7.在区间上随机取两个数，则这两个数之和⼩于的概率是A. B. C. D.8.在区间上随机地取⼀个实数a，则⽅程有两个正根的概率为A. B. C. D.9.在以点O为圆⼼，1为半径的半圆弧上任取⼀点B，如图，则的⾯积⼤于的概率为A.B.C.D.10.将长为的⽊棍随机分成两段，则两段长都⼤于的概率为( )A. B. C. D.⼆、填空题11.通过调查发现，某班学⽣患近视的概率为，现随机抽取该班的2名同学进⾏体检，则他们都不近似的概率是______ ．12.在⾯积为S的矩形ABCD内随机取⼀点P，则的⾯积⼩于的概率是______ ．13.在圆O上有⼀定点A，则从这个圆上任意取⼀点B，使得的概率是______．三、解答题14.甲⼄两⼈拿两颗骰⼦做投掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰⼦的⼈再继续掷，否则，由对⽅接着掷第⼀次由甲开始掷．分别求第⼆次、第三次由甲掷的概率；求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率．15.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：单Ⅱ在既参加书法社团⼜参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学，，，，，3名⼥同学，，现从这5名男同学和3名⼥同学中各随机选1⼈，求被选中且未被选中的概率．16.已知函数，若a，b都是从区间内任取⼀个数，求成⽴的概率．17. 如图所⽰，在边长为1的正⽅形OABC 内任取⼀点P x ，y求 APB 的⾯积⼤于41的概率；求点P 到原点的距离⼩于1的概率．18. 甲、⼄两⼈约定于6时到7时之间在某地会⾯，并约定先到者应等候另⼀个⼈⼀刻钟，过时即可离去求两⼈能会⾯的概率．答案和解析【答案】1. D2. A3. A4. A5. A6. B7. D8. C9. A10. B11.12.13.14. 解：投两颗骰⼦包含的基本事件为：，，，，共36种．点数和为3的倍数有：，，，，，，，，，，，共12种，两骰⼦点数之和为3的倍数概率为：，故第⼆次由甲投的概率为：．第三次由甲掷，包括两种情况：甲投掷2次得到的点数之和都是3的倍数，概率为；或者是甲投掷得到的点数之和不是3的倍数，⼄投掷得到的点数之和也不是3的倍数，概率为，故第三次由甲投的概率为：．求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率为甲甲⼄⼄甲⼄甲⼄甲⼄⼄甲．15. 解：Ⅰ设“⾄少参加⼀个社团”为事件A；从45名同学中任选⼀名有45种选法，基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为；这是⼀个古典概型，；Ⅱ从5名男同学中任选⼀个有5种选法，从3名⼥同学中任选⼀名有3种选法；从这5名男同学和3名⼥同学中各随机选1⼈的选法有，即基本事件总数为15；设“被选中，⽽未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是⼀个古典概型，．16. 解：函数，，即，也就是．，b 都是在区间内任取⼀个数，，，可得点所在的区域是由，，，四条直线围成的正⽅形．设满⾜的点为N ，则N 所在的区域是正⽅形内，且在直线的上⽅，如图，即五边形ABCDE 的内部，正⽅形⾯积为，五边形ABCDE 的⾯积为正⽅形，事件“ ”的概率为：．17. 解：如图，取线段BC ，AO 的中点E ，F ，连接EF ，则当点P 在线段EF 上时， 41，故满⾜条件的点P 所在的区域为矩形阴影部分．故所求概率为阴影正⽅形．所有的点P 构成正⽅形区域D ，若点P 到原点距离⼩于1，则所以符合条件的点P 构成的区域是圆在第⼀象限所围的平⾯部分图中阴影部分．点P 到原点距离⼩于1的概率为阴影正⽅形．18. 解：由题意知本题是⼀个⼏何概型，试验发⽣包含的所有事件对应的集合是，集合对应的⾯积是边长为60的正⽅形的⾯积，⽽满⾜条件的事件对应的集合是，，得到两⼈能够会⾯的概率，两⼈能够会⾯的概率是．【解析】1. 解：4位同学各⾃在周六、周⽇两天中任选⼀天参加公益活动，共有种情况，周六、周⽇都有同学参加公益活动，共有种情况，所求概率为．故选：D．求得4位同学各⾃在周六、周⽇两天中任选⼀天参加公益活动、周六、周⽇都有同学参加公益活动的情况，利⽤古典概型概率公式求解即可．本题考查古典概型，是⼀个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．2. 解：甲不输与甲、⼄两⼈下成和棋是互斥事件．根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率．故选：A．利⽤互斥事件的概率加法公式即可得出．本题考查互斥事件与对⽴事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．3. 解：⼀颗骰⼦掷两次，共有36种．满⾜条件的情况有，，共2种，所求的概率．故选：A．列出基本事件，求出基本事件数，找出满⾜第⼆次出现的点数是第⼀次出现的点数的3倍的种数，再根据概率公式解答即可本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率，解题的关键是要做到不重复不遗漏，属于基础题．4. 解：同时掷3枚硬币，基本事件总数，最多有2枚正⾯向上的对⽴事件是三枚硬全都正⾯向上，最多有2枚正⾯向上的概率：．故选：A．最多有2枚正⾯向上的对⽴事件是三枚硬全都正⾯向上，由此利⽤对⽴事件概率计算公式能求出最多有2枚正⾯向上的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对⽴事件概率计算公式的合理运⽤．5. 【分析】本题主要考查了⼏何概型，关键是合理设置常数，从⽽得到关系式，由于运算量较⼤，故较难．【解答】解：设，，记事件“在矩形ABD的边CD随机取P使的最⼤边AB”，则，其中P位于E时，，P位于F时，．由题意可知，，所以．在直⾓三⾓形ECB中，，，，所以，解得，所以．故选A6. 解：由题意知本题是⼀个⼏何概型，试验包含的所有事件是汽车5分钟⼀班准时到达车站，时间长度是5，⽽满⾜条件的事件是任⼀⼈在该车站等车时间少于3分钟的时间长度是3，由⼏何概型概率公式得到，故选：B．由题意知本题是⼀个⼏何概型，试验包含的所有事件是汽车5分钟⼀班准时到达车站⽽满⾜条件的事件是任⼀⼈在该车站等车时间少于3分钟，根据⼏何概型概率公式得到结果．本题考查⼏何概型，⼏何概型的概率的值是通过长度、⾯积、和体积、的⽐值得到．7. 解：设取出的两个数为x、y，则有，，其表⽰的区域为纵横坐标都在之间的正⽅形区域，易得其⾯积为1，⽽表⽰的区域为直线下⽅，且在，表⽰区域内部的部分，易得其⾯积为，则两数之和⼩于的概率是．故选：D．设取出的两个数为x、y，则可得“，”表⽰的区域为纵横坐标都在之间的正⽅形区域，易得其⾯积为1，⽽表⽰的区域为直线下⽅，且在，所表⽰区域内部的部分，分别计算其⾯积，由⼏何概型的计算公式可得答案．本题考查⼏何概型的计算，解题的关键在于⽤平⾯区域表⽰出题⼲的代数关系．8. 解：若⽅程有两个正根，则满⾜，即或，得或，则对应的概率，故选：C根据根与系数之间的关系，求出a的取值范围，结合⼏何概型的概率公式进⾏计算即可．本题主要考查⼏何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a的取值范围是解决本题的关键．9. 【分析】本题考查利⽤⼏何概型求概率，由弧长的⽐求解．【解答】解：半圆弧上任取⼀点B，弧长为，要使的⾯积⼤于，则⾼⼤于，所以，所以B所在的弧长为，故所求概率为，故选A．10. 【分析】本题考查⼏何概型，解答的关键是将原问题转化为⼏何概型问题后应⽤⼏何概率的计算公式求解．由题意可得，属于与区间长度有关的⼏何概率模型，试验的全部区域长度为9，基本事件的区域长度为5，代⼊⼏何概率公式可求．【解答】解：设“长为9cm的⽊棍”对应区间，“两段长都⼤于2cm”为事件A，则满⾜A的区间为，根据⼏何概率的计算公式可得．故选B．11. 解：由题意可得每个学⽣不近视的概率为，随机抽取该班的2名同学进⾏体检，他们都不近似的概率是，故答案为：．由题意可得每个学⽣不近视的概率为，再利⽤相互独⽴事件的概率乘法公式求得随机抽取该班的2名同学进⾏体检，他们都不近似的概率．本题主要考查相互独⽴事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对⽴事件的概率之间的关系，属于基础题．12. 解：设P到BC的距离为h矩形ABCD的⾯积为S，的⾯积⼩于时，点P所在区域的⾯积为矩形⾯积的⼀半，的⾯积⼩于的概率是故答案为：根据的⾯积⼩于时，可得点P所在区域的⾯积为矩形⾯积的⼀半，从⽽可求相应概率．本题考查⼏何概型，解题的关键是根据的⾯积⼩于时，确定点P所在区域的⾯积为矩形⾯积的⼀半13. 解：如图，要使，则B点所在圆弧占整个圆周的．由⼏何概型概率计算公式可得，使得的概率是．故答案为：．由题意画出图形，由⼏何概型概率计算公式得答案．本题考查⼏何概型，考查了⼏何概型概率计算公式的求法，是基础题．14. 投两颗骰⼦包含的基本事件⽤列举法求得共36种点数和为3的倍数有12种，由此求得两骰⼦点数之和为3的倍数概率，从⽽求得第⼆次由甲投的概率以及第三次由甲投的概率．求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率为甲甲⼄⼄甲⼄甲⼄甲⼄⼄甲，分别求得这三种情况的概率，相加即得所求．本题主要考查相互独⽴事件的概率乘法公式的应⽤，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．15. Ⅰ先判断出这是⼀个古典概型，所以求出基本事件总数，“⾄少参加⼀个社团”事件包含的基本事件个数，从⽽根据古典概型的概率计算公式计算即可；Ⅱ先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名⼥同学中各随机选1⼈，有多少中选法，这个可利⽤分步计数原理求解，再求出“被选中，⽽未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应⽤．16. 本题以⼀个函数值为正值的概率求法为例，着重考查了⽤不等式组表⽰平⾯区域和⼏何概率的求法等知识点，属于基础题．将事件“”化简得不等式，根据题意，a，b都是在区间内任取的⼀个数，得到所有的点所在的区域是由，，，四条直线围成的正⽅形，⽽符合题意的点N所在的区域是正⽅形内，且在直线的上⽅，最后⽤符合题意的图形⾯积除以整个正⽅形的⾯积，即可得到所求概率．17. 本题考查的是⼏何概型．由⾯积公式可知满⾜APB的⾯积⼤于的点在⼀个长⽅形区域内，由长⽅形区域的⾯积⽐正⽅形的⾯积可求出其概率由P到原点的距离⼩于1可知点P在以原点为圆⼼，半径为1的圆内，⼜在正⽅形内，所以满⾜条件的点构成四分之⼀圆，由四分之⼀圆的⾯积⽐正⽅形的⾯积可求出所求概率．18. 由题意知本题是⼀个⼏何概型，试验发⽣包含的所有事件对应的集合是，做出集合对应的⾯积是边长为60的正⽅形的⾯积，写出满⾜条件的事件，，对应的集合和⾯积，根据⾯积之⽐得到概率．本题的难点是把时间分别⽤x，y坐标来表⽰，从⽽把时间长度这样的⼀维问题转化为平⾯图形的⼆维⾯积问题，转化成⾯积型的⼏何概型问题．。
数学文科练习：第一篇 第20练 概率
第20练概率[明考情］概率是高考的必考知识点，以选择题形式考查古典概型和几何概型的应用。
近几年出现古典概型与统计的交汇题型，难度为中低档。
[知考向］1.随机事件及其概率。
2。
古典概型.3。
几何概型.考点一随机事件的概率要点重组（1）对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件。
(2）若事件A,B互斥,则P（A∪B）＝P（A)＋P(B)；若事件A，B对立，则P(A)＝1－P(B）.1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(）A.至多有一次中靶B.两次都中靶C。
只有一次中靶D。
两次都不中靶答案D解析射击两次有四种可能，就是（中，不中）、(不中，中)、（中,中)、（不中，不中），其中“至少有一次中靶”含有前三种情况，选项A 、B 、C 中都有与其重叠的部分，只有选项D 为其互斥事件,也是对立事件。
2.从一箱产品中随机抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品｝，事件B ＝｛抽到二等品｝,事件C ＝{抽到三等品｝，且已知P (A )＝0。
7,P（B )＝0.2，P （C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( ） A 。
0。
7 B.0。
2 C.0。
1 D.0。
3答案 D解析 ∵“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一等品"，事件A ＝{抽到一等品｝,P (A ）＝0。
7,∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0。
7＝0。
3.3.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1，2,3，4，5，6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”,事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，则P （A ∪B )＝________.答案 错误!解析 事件A ∪B 可以分成事件C :“朝上一面的数为1，2，3”与事件D ：“朝上一面的数为5”这两件事，则事件C 和事件D 互斥,故P （A ∪B )＝P （C ∪D )＝P (C ）＋P （D )＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!。
4。
抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a ，b ，那么直线bx ＋ay ＝1的斜率k ≥－25的概率是________。
第10章概率专题2 古典概型常考题型专题练习——【含答案】
5、将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a 和 b，则方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解的概率是( )
7
1
A.36
B.2
19 C.36
5 D.18
1≤a≤6，a∈N*，
[解析]投掷骰子两次，所得的点数 a 和 b 满足的关系为
所以 a 和 b 的
1≤b≤6，b∈N*，
3 读万卷书 行万里路
共有 m 10 个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 P
10 25
2 5
．
6 读万卷书 行万里路
旗开得胜 10、袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球．从袋中任取 2 个 球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为（ ）
19 满足条件的组合有 19 种，则方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解的概率 P＝36.
6、从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数 m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数 n,则向量 =(m,n) 与向量 =(1,-1)垂直的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数 ,有 4 种方法；
概率是多少？
3 【答案】(1) 57 分钟. (2)58 分钟；(3)
5
【解析】（1）设中位数为 x ，则 0.002320 0.0120 0.015 x 40 0.5
解得： x 170 57 （分钟） 3
这 500 名手机使用者中使用时间的中位数是 57 分钟 （2）平均每天使用手机时间为：0.0510 0.230+0.350+0.270+0.2590 58（分
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几何概型
1.已知地铁列车每10 min
是 ( A )
A.110
B.19
C.111
D.18
2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( C )
A.116
B.18
C.14
D.12
3．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得
出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910
，那么该台每小时约有____6____分钟的广告．
4.(2009·辽宁高考ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( B ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8
5．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是 ( B )
A.12
B.14
C.18
D.116
6．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ( D )
A.13
B.23
C.19
D.29
8．(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是_____36
π___． 9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R.
(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；
(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．
题组三 生活中的几何概型
11．在平面直角坐标系xOy 2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．
A.14
B.13
C.12
D.23
12．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．
答案
1解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110
.答案：A 2解析：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线
段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14
.答案：C 3解析：60×(1－910
)＝6分钟．答案：6 4解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1时，其是以O 为
圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：1－12π2
＝1－π4
.答案：B 5解析：由题知该方程有实根满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a ≤1，－1≤b ≤1，
a 2－4
b 2≥0，作平面
区域如右图：由图知阴 影面积为1，总的事件对应面积为正方
形的面积，故概率为14
.答案：B 6解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出
Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界，A 表示的
区域为三角形OCD 及其边界．
容易求得D(4,2)恰为直线x＝4，x－2y＝0，x＋y＝6三线的交点．
则可得S△AOB＝1
2×6×6＝18，S△OCD＝
1
2×4×2＝4.
所以点P落在区域A的概率为4
18＝2
9.答案：D
7解析：区域为△ABC内部(含边界)，则概率为
P＝S半圆
S△ABC
＝
π
2
1
2×22×2
＝
π
4.
答案：D
8解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC相交出三个扇形(如图所示)，
当P落在阴影部分时符合要求．
∴P＝3×(
1
2×
π
3×1
2)
3
4×2
2
＝
3π
6.答案：
3
6
π
9解：(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素，
∴a，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，
(3,1)，(3,2)．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.
设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A，
当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a＞b.
当a＞b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，
即A包含的基本事件数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率
P(A)＝6
12＝
1
2.
(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6.
设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为
M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a ＜b }，
即图中阴影部分的梯形，其面积
S M ＝6－12×2×2＝4. 由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S M S Ω
＝46＝23. 11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．
11解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，
区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16
. 答案：π16
12解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．
以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一
艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x －y ≤4，在如
图所示的平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为24的
正方形，而事件A “有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得：
P (A )＝242－12×222－12×202242＝67288
. 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是67288
. n a b c d =+++)。