北京大学谭小江复变函数2017春期中考试题
2017年春高二下学期期中考(含答案)
2017年春高二下学期期中考班级：姓名： 号数： 难度： 成绩：一、选择题：本题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,第1～8题只有一项符合题目要求,第9～12题有多项符合题目要求.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.1、某用电器两端的正弦交变电压的表达式为311sin100u t V π=（）.关于这个交变电压,下列说法中正确的是（ ）A .有效值为311VB .有效值为440VC .最大值为311VD .最大值为440V 2、如图所示,理想变压器原线圈的匝数11000n =匝,副线圈的匝数2200n =匝.原线圈两端所加的电压1220U V =时,副线圈两端的电压2U 为（ ）A .1100VB .44VC .440VD .22V 3、关于下图i t -函数图像,下列说法中正确的是（ ）A .该函数图像表示的是直流电B .该电流的周期是0.01sC .用电流表测量该电流得到的值为5AD .用电流表测量该电流得到的值为 4、关于磁通量,下列说法中正确的是（ ）A .过某一平面的磁通量为零,该处磁感应强度不一定为零B .磁通量不仅有大小,而且有方向,所以是矢量C .磁感应强度越大,磁通量越大D .磁通量即使磁感应强度5、面积是20.50m 的导线环,处于磁感应强度为24.010T -⨯的匀强磁场中,环面的法向量与磁场夹角为30︒,穿过导线环的磁通量等于（ ）A .22.510Wb -⨯B .21.010Wb -⨯C .21.510Wb -⨯D .2410Wb -⨯6、在图甲所示的电路中,理想变压器原线圈两端的正弦交变电压变化规律如图乙所示.已知变压器原、副线圈的匝数比12:10:1n n =,串联在原线圈电路中电流表1A 的示数为1A ,下列说法正确的是（ ）A .电压表V 的示数为2002VB .变压器的输出功率为20WC .100HzD .电流表2A 的示数为10A 7、对于正弦式交流电,下列说法正确的是（ ） A .电流在一周期内方向改变两次,大小随时间变化 B .电流在一周期内方向改变一次,大小随时间变化C .线圈在中性面时穿过线圈的磁通量最大,电动势最大D .线圈在垂直于中性面的位置磁通量为零,电动势为零8、理想变压器在正常工作时,原、副线圈中不一定相同的物理量是（ ） A .交变电流的频率 B .原线圈的磁通量变化率和副线圈的磁通量变化率C .原线圈的输入功率和副线圈的输出功率D .原线圈的感应电动势和副线圈的感应电动势9、将4Ω的电阻接到内阻不计的交流电源上,该电源电动势e 随时间t 变化规律如图所示,下列说法中正确的是（ ）A .电路中交变电流的频率为2.5HzB .2C .电阻消耗的电功率为2WD .10、理想变压器原线圈两端电压不变,当副线圈电路中的电阻减小时,一下说法正确的是（ ） A .输出电流增大,输入电流减小 B .输出电流增大,输入电流增大 C .输出电压保持不变 D .输出功率和输入功率都增大 11、下列关于电磁感应现象的说法中,正确的是（ ）A .磁通量变化率越大感应电动势就越大B .导体相对磁场运动,导体内一定产生感应电流C .感应电动势与匝数无关D .磁通量为零,感应电动势不一定为零 12、如图,当通电直导线MN 中的电流突然增大时（方向未知）,则可确定的是（ ）A .线框中感应电流的方向B .线框各边受磁场力的方向C .线框整体受磁场力的方向D .线框中电流方向、受磁场力的方向皆不可确定二、简答题（共12分,每题6分）1、什么是电磁感应现象？产生感应电流的条件是什么？/B T 2、简述牛顿三大定律的基本内容三、计算题（共40分,每题10分）1、输送4400kW 的电功率,采用110kV 高压输电,输电导线中的电流是多少?如果用110V 电压输电,输电导线中的电流将是多少?若输电线阻值为10Ω,则电功率的损耗分别为多少?你能得出什么结论?2、如图1所示,一个单匝矩形线圈长10.2L m =,宽20.1L m =,匀强磁场垂直线圈平面向里.磁感强度B 随时间t 变化的规律如图2所示.求 1)当1t s =时,穿过矩形线圈中的磁通量; 2)线圈中感应电动势,并画出感应电流方向./t s3、如图所示,MN 、PQ 是两根足够长的光滑平行金属导轨,导轨间距为l ,导轨所在的平面与水平面夹角为 ,M 、P 间接阻值为R 的电阻.匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直,磁感应强度大小为B .质量为m 、阻值为r 的金属棒放在两导轨上,在平行于导轨的拉力作用下,以速度v 匀速向上运动.已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触,导轨阻值不计,重力加速度为g ,求: 1)金属棒产生的感应电动势E ;2)通过电阻R 的电流I ; 3)拉力F 的大小. 4、如右图所示,质量为m 带电量为q 的粒子在只受电场力的作用下,从A 点静止开始运动,沿直线运动到B 点。
北京大学2017年数学分析试题及解答
4 ∑ ∞ f (x) ∼
1
sin(2n − 1)x.
π 2n − 1
n=1
记该 Fourier 级数的前 n 项和为 Sn(x), 则 ∀x ∈ (0, π), Sn(x)
Sn(x)
的最大值点是
π 2n
且
lim
n→∞
Sn
(
π 2n
)
=
2∫ π π0
sin t dt. t
=
2 π
∫x
0
sin 2nt sin t
lim
3
t2
t→+∞
e−tϕ(X)dX = 0.
Uδ \Uδ′
设 A 的特征值为 λ1, λ2, λ3, 并且 λ1 ⩾ λ2 ⩾ λ3 > 0. 对于任意事先给定的 ε ∈ (0, λ3), ∃δε′ 使得对于任意属 于球形邻域 Uδ′ε 的 X 有
(X − X0)T A (X − X0)−ε (X − X0)T (X − X0) < ϕ(X) < (X − X0)T A (X − X0)+ε (X − X0)T (X − X0)
x2 − x1
7. (20 分) 设 f 是 (0, +∞) 上的凹 (或凸) 函数且 lim f (x) 存在有限, 证明 lim xf ′(x) = 0 (仅在 f 可导
x→+∞
x→+∞
的点考虑极限过程).
8.
(20
分)
设
ϕ
∈
C 3 (R3 ), (
ϕ
及其各个偏导数 )
∂iϕ(i
=
1, 2, 3)
故 e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)+ε|X−X0|2 < e−tϕ(X) < e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)−ε|X−X0|2
复变函数测试题与答案
复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1．当z 11ii时，100 z z75 50z 的值等于（）（A）i（B）i （C）1 （D）12．设复数z满足arc(z 2) ，35arc(z 2) ，那么z （）61 3（A） 1 3i （B） 3 i （C）i2 23 1（D）i2 23．复数z tan i ( ) 的三角表示式是（）23 3（A）)]sec [cos( ) i sin( （B）sec [cos( ) i sin( )]2 2 2 23 3（C）)]sec [cos( ) i sin( （D）sec [cos( ) i sin( )]2 2 2 2 4．若z为非零复数，则 2 z2z 与2zz 的关系是（）2 2（A）z z 2zz2 2（B）z z 2zz2 2（C）z z 2zz（D）不能比较大小５．设x, y 为实数，z1 x 11 yi, z x 11 yi 且有z1 z 12，则动点(x, y)2 2的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线６．一个向量顺时针旋转，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为31 3i ，则原向量对应的复数是（）（A）2（B）1 3i （C） 3 i （D） 3 i1复变函数测验题７．使得22 zz 成立的复数z是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数８．设z为复数，则方程z z 2 i 的解是（）3（A）i43（B）i43（C）i43（D）i4z i９．满足不等式2z i的所有点z构成的集合是（）（A）有界区域（B）无界区域（C）有界闭区域（D）无界闭区域10．方程z 2 3i 2 所代表的曲线是（）（A）中心为2 3i ，半径为 2 的圆周（B）中心为 2 3i ，半径为２的圆周（C）中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周（D）中心为2 3i ，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）z 1（A）2z 2（B）z 3 z 3 4z a（C） 1 ( a 1)1 az（D）z z az a z aa c 0 (c 0)12．设( ) 1 , 1 2 3i ,z 5 i,f ，则f (z ) （）z z z 1 z2 2（A） 4 4i （B）4 4i （C）4 4i （D） 4 4i13．Im( z) Im(limx xz zz0 )（）（A）等于i （B）等于i （C）等于0 （D）不存在14．函数f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点z0 x iy 处连续的充要条件是（）0 0（A）u( x, y)在(x0 , y ) 处连续（B）v(x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续（C）u( x, y)和v( x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续（D）u( x, y) v( x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续2复变函数测验题15．设z C 且z 1 ，则函数 f (z)2zzz1的最小值为（）（A） 3 （B） 2 （C） 1 （D） 1二、填空题1．设(1 i)( 2i )(3 i)z ，则z (3i)(2 i )2．设z (2 3i)( 2 i) ，则a rg z3．设3z 5,a rg( z i ) ，则z44．复数(cos5(cos3iis in5sin32)2)的指数表示式为65．以方程z 7 15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z 2 z 2 5 所表示的区域是曲线的内部2z 1 i７．方程1所表示曲线的直角坐标方程为2 (1 i)z８．方程z 1 2i z 2 i 所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射iz2 y 2，圆周x ( 1) 1的像曲线为2 410．lim (1 z 2z )z 1 i三、若复数z满足zz (1 2i)z (1 2i )z 3 0 ，试求z 2 的取值范围．3复变函数测验题2四、设a0 ，在复数集C 中解方程z 2 z a.五、设复数z i ，试证z21 z是实数的充要条件为z 1 或I M (z) 0 .1 1六、对于映射z ) ，求出圆周z 4的像.(2 zz1 z七、试证１. 0 ( 0)2z2的充要条件为z1 z z z ；2 1 2z1 z k j k j n ２.0 ( 0, , , 1, 2, , ))j 的充要条件为z2z1 z2 z n z1 z2 z .n八、若lim ( ) 0f z Ax x ，则存在0 ，使得当10 z z 时有 f ( z) A .2 x y九、设z x iy，试证z x y2.十、设z x iy，试讨论下列函数的连续性：1.f2xy( z) 2 2x y, z 00, z 02.f3xy( z) 2 2x y, z 00, z 04复变函数测验题第二章解析函数一、选择题：1．函数2f 在点 z 0处是 ( )(z) 3 z（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导2．函数 f (z)在点 z可导是 f ( z) 在点z 解析的 ( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是 ( )（A ）设 x, y 为实数，则 cos(xiy) 1（B ）若 z是函数 f (z) 的奇点，则f (z) 在点 z 0 不可导（C ）若 u, v 在区域 D 内满足柯西 - 黎曼方程，则 f (z) u iv 在 D 内解析（D ）若 f (z) 在区域 D 内解析，则 if ( z) 在 D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是 ( )22（A ） x y 2 x yi2（B ） xxyi2xx2（C ） 2( x 1) y i( y2 )（D ） x 3iy 32z5．函数 f (z)z Im( ) 在z 0 处的导数 ()（A ）等于 0（B ）等于 1（C ）等于 1（D ）不存在2xy yi yaxy x2226．若函数 f (z) x 2() 在复平面内处处解析，那么实常数a ( ) （A ） 0（B ）1（C ） 2（D ） 27．如果 f (z) 在单位圆 z1 内处处为零，且 f (0)1，那么在 z1内 f (z)( )（A ） 0（B ）1（C ） 1（D ）任意常数8．设函数 f (z) 在区域 D 内有定义，则下列命题中，正确的是5复变函数测验题（A）若f ( z) 在D内是一常数，则 f (z) 在D内是一常数（B）若Re( f (z)) 在D内是一常数，则 f (z) 在D内是一常数（C）若f (z) 与f ( z) 在D内解析，则 f ( z) 在D内是一常数（D）若arg f (z) 在D内是一常数，则 f (z)在D 内是一常数9．设 2 2f ( z) x iy ，则f (1 i) ( )（A）2 （B）2i （C）1 i （D）2 2i10．ii 的主值为 ( )（A）0 （B）1 （C）e2 （D）e 211．ze 在复平面上( )（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析12．设f (z) sin z ，则下列命题中，不正确的是( )（A）f (z)在复平面上处处解析（B）f ( z) 以2为周期（C）iz e izef (z) （D）f (z) 是无界的213．设为任意实数，则 1 ( )（A）无定义（B）等于1（C）是复数，其实部等于 1 （D）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A）3(1 i) （B）cosi （C）l n i （D）3e2i15．设是复数，则( )（A）z 在复平面上处处解析（B）z的模为z（C）z 一般是多值函数（D）z的辐角为z的辐角的倍6复变函数测验题二、填空题1．设f (0) 1, f (0) 1 i ，则limz 0f(z)z12．设f (z) u iv 在区域D 内是解析的，如果u v是实常数，那么 f (z) 在D内是3．导函数u vf (z) i 在区域D 内解析的充要条件为x x4．设3 33 3 2 2f (z) x y ix y ，则f ( i )2 25．若解析函数 f (z) u iv 的实部 2 y2u x ，那么f (z)6．函数f (z) z Im( z) Re( z) 仅在点z处可导157．设f (z) z (1 i)z5，则方程 f (z) 0 的所有根为8．复数ii 的模为9．I m{ln( 3 4i )}z10．方程1 e 0的全部解为三、设 f (z) u(x, y) iv( x, y) 为z x iy 的解析函数，若记z z z z z z z z ww(z, z) u( , ) iv( , ) ，则02 2i 2 2i z．四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数1．f ( z) cosx cosh y i sin x sinh y;x x2．f ( z) e (x c osy y s in y) ie ( y c osy ix sin y);7五、设w3 2zw e z 0 ，求dwdz,2dw2dz.六、设2xy (x iy), z 0f (z) 2 4 试证f (z) 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.x y0, z 0七、已知 2 y2u v x ，试确定解析函数 f (z) u iv .八、设s 和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转即得n .如果f (z) u iv 为解析函数，2则有usvnu v, （n s与s n分别表示沿s , n 的方向导数）.九、若函数 f (z) 在上半平面内解析，试证函数 f (z) 在下半平面内解析.十、解方程sin z i cosz 4i .8第三章复变函数的积分一、选择题：2 至1 i 的弧段，则1．设c为从原点沿y x(c2 ( ) x iy )dz1 5（A）i6 61 5（B）i6 61 5（C）i6 61 5（D）i6 6z2．设c为不经过点1 与1的正向简单闭曲线，则dz为( )2(z 1)(z 1) c（A）i2（B）i2（C）0 （D）(A)(B)(C) 都有可能sinz3．设c1 : z 1 为负向，c2 : z 3 正向，则dz2zc c1 c2()（A） 2 i （B）0（C）2i （D）4 icosz4．设c为正向圆周z 2 ，则dz2(1 z)c()（A）sin1 （B）sin1（C） 2 i sin1 （D）2 i sin15．设c为正向圆周13z cos1z 2z ，则dz22 (1 z)c( )（A）2i(3cos1 sin1) （B）0（C）6 i cos1 （D） 2 i sin1e6．设f ( z) d ，其中z 4 ，则f ( i）( )z 4（A） 2 i （B） 1 （C）2 i （D）17．设f (z) 在单连通域 B 内处处解析且不为零， c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分f (z) 2 f(z) c f (z)f(z)dz( )（A）于2 i （B）等于 2 i （C）等于0 （D）不能确定9复变函数测验题8．设c是从0到i1 的直线段，则积分2ze （）z dzz dzc（A）1e2(B)1e2e e(C) 1 i (D) 1 i2 2sin( z)42 y2 x9．设c为正向圆周 2 0x ，则dz2c z 1()2（A）i22（B） 2 i （C）0 （D）i210．设c为正向圆周z i 1, a i ，则cz c osz2(a i)dz( )（A）2 ie （B）2ei（C）0 （D）i cosi11．设f (z) 在区域D 内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于 D ．如果f 在c上的值为2，那么对c内任一点z0 , f (z0 ) ( )(z)（A）等于0 （B）等于1 （C）等于 2 （D）不能确定12．下列命题中，不正确的是( )（A）积分z a r1z adz的值与半径r(r 0) 的大小无关（B）( 2 2 ) 2x iy dz , 其中c为连接i 到i 的线段c（C）若在区域 D 内有f (z) g(z) ，则在D 内g (z)存在且解析（D）若f (z) 在0 z 1 内解析，且沿任何圆周 c : z r(0 r 1)的积分等于零，则f (z)在z 0处解析10复变函数测验题13 ．设c为任意实常数，那么由调和函数 2 y2u x 确定的解析函数 f ( z) u iv 是( )2 (A) iz c2（B）iz ic2（C）z c2（D）z ic14．下列命题中，正确的是( )（A）设v1 ,v2 在区域D 内均为u的共轭调和函数，则必有v1 v2（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若f (z) u iv 在区域D 内解析，则ux为D 内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设v(x, y) 在区域D 内为u( x, y)的共轭调和函数，则下列函数中为 D 内解析函数的是( )（A）v( x, y) iu(x, y) （B）v(x, y) iu( x, y)（C）u( x, y) iv(x, y) （D）uxivx二、填空题1．设c为沿原点z 0到点z 1 i 的直线段，则2zdzc2．设c为正向圆周z 4 1，则c2z(z3z24)2dz3．设sin( )2f (z) d , 其中z 2 ，则f (3)z24．设c为正向圆周z 3 ，则c z zz dz5．设c为负向圆周z 4 ，则cze(z i)5d z11复变函数测验题6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设f ( z) 在单连通域B 内连续，且对于 B 内任何一条简单闭曲线c都有( ) 0f z dz ，那c么f (z) 在B内8．调和函数( x, y) xy 的共轭调和函数为9．若函数 3 2u( x, y) x axy 为某一解析函数的虚部，则常数a10．设u( x, y) 的共轭调和函数为v( x, y)，那么v( x, y) 的共轭调和函数为三、计算积分3.z R6z2 ,其中R 0, R 1 且R 2 ;dz(z 1)( z2)4.dz4 2 2 2z z z2．四、设 f (z)在单连通域 B 内解析，且满足 1 f (z) 1 ( x B).试证１．在B 内处处有 f (z) 0；f (z)２．对于B 内任意一条闭曲线c，都有dz 0f ( z) c五、设 f (z)在圆域z a R 内解析，若max f (z) M (r )(0 r R)z a r，n! M (r )( n n)则( 1,2, )f (a)nr.12复变函数测验题六、求积分z 1zezdz，从而证明0e .cos cos(sin )dcos cos(sin )d七、设f ( z) 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b ，试求极限f ( z)lim dz并由此推证 f (a) f (b)（刘维尔Liouville 定理）.R (z a)( z b)z R八、设f (z) 在z R ( R 1)内解析，且f (0) 1, f (0) 2 ，试计算积分z 1(z 1) 2f (z)2zdz并由此得出22 ( i )cos f e d2之值.九、设 f (z) u iv 是z的解析函数，证明2 2 22 2ln(1 f (z) ) ln( 1 f ( z) ) 4 f (z)222 xy(1 f (z) )2 .2 y2十、若u u(x ) ，试求解析函数 f (z) u iv .13复变函数测验题第四章级数一、选择题：n( 1) ni1．设( 1,2, ) lim a ( )a n n ，则nn 4n（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A）13i(n 12n)（B）nn(34i)1 n!（C）n 1nin（D）nn(1)1 n 1i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B）1 i(1n n n1)（B）n 1([1)nn in2](C)nni2 ln n（D）n(1)n in1 2n4．若幂级数nc n z在z 1 2i 处收敛，那么该级数在z 2处的敛散性为( )n 0（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不能确定5 ．设幂级数n 0n n 1c n z , nc z 和nn 0n0cn znn 11的收敛半径分别为R1 , R2 , R3 ，则R1 , R ,R 之间的关系是( )2 3（A）R1 R R （B）R1 R2 R32 3（C）R1 R2 R3 （D）R1 R2 R36．设0q 1 ，则幂级数q 的收敛半径R ( )n zn znn 014复变函数测验题（A）q（B）1q（C）0（D）7．幂级数nsin2n 1n(z2n)的收敛半径R ( )（A） 1 （B）2 （C） 2 （D）8．幂级数n 0n( 1)n 1nz1在z 1 内的和函数为（A）ln(1z) （B）ln(1 z)（D）1ln (D)1 zln11 zze9．设函数的泰勒展开式为cosznc n z，那么幂级数n 0 n 0nc n z 的收敛半径R ( )（A）（B）1 （C）（D）210．级数1 12 1z zz2z的收敛域是 ( )（A）z 1 （B）0z 1 （C）1 z （D）不存在的11．函数12z在z 1 处的泰勒展开式为( )n n1 z（A）( 1) ( 1) ( 1 1)n zn1 n z n 1 z（B）( 1) ( 1) ( 1 1)n 1 n 1n （D）( 1)n ( 1 1)（C）( 1) ( 1 1)1 z 1 z n zn zn 1 n 115复变函数测验题12．函数sinz，在z 处的泰勒展开式为( )2n( 1)2 zn 1（A）(z ) ( )(2n 1)! 2 2 n 0n( 1)2 zn（B）(z ) ( )(2n)! 2 2 n 0n 1 ( 1)2n 1（C）(z ) ( z )(2n 1)! 2 2 n 0n 1( 1)2n（D）( z ) ( z )(2n)! 2 2 n 013．设f (z) 在圆环域H : R z z R 内的洛朗展开式为1 0 2nc ( 0)，c为H内n z zc ( 0)，c为H内n绕z0 的任一条正向简单闭曲线，那么c(z f(z)2z0 )dz( )(A)2 ic （B）2ic1 （C）2ic2 （D）2 if (z0 )114．若n n3 ( 1) , n 0,1,2,cn ，则双边幂级数n4 , n 1, 2,nnc n z 的收敛域为( )（A）141z （B）3 z 4 31（C）z41（D）z315．设函数1f (z) 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么z(z 1)( z 4)m ( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）416复变函数测验题二、填空题1 ．若幂级数nc n z i)在z i 处发散，那么该级数在z 2 处的收敛性(n 0为．2．设幂级数nc n z 与n[Re(c n )]z 的收敛半径分别为R1 和R2 ，那么R1 与R2 之间的关n 0 n 0系是．3．幂级数(2i ) 的收敛半径Rn z2nn z2n1n 04．设f (z) 在区域D 内解析，z0 为内的一点， d 为z0 到D的边界上各点的最短距离，那么当z z d0 时，nf (z) c n (z z0 )成立，其中c n ．n 05．函数arctan z 在z 0处的泰勒展开式为．6 ．设幂级数nc n z的收敛半径为R ，那么幂级数n c z n 的收敛半径(2 1)nn 0 n 0为．7．双边幂级数n 1 znn 1z( 1) 2 ( 1) (1 )n 1 n 1(z 2) 2n的收敛域为．18．函数z eez在0z 内洛朗展开式为．9．设函数cot z在原点的去心邻域0 z R内的洛朗展开式为nc n z ，那么该洛朗级数n收敛域的外半径R ．10．函数1z(z i )在1z i 内的洛朗展开式为．17复变函数测验题三、若函数11z2z在z 0处的泰勒展开式为n 0na n z ，则称a n 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定a满足的递推关系式，并明确给出a n 的表达式．n四、试证明z z z1．e 1 e 1 z e( z );z2．(3e) z e 1 (e 1) z ( z 1);五、设函数 f (z) 在圆域z R内解析，n ( k)f (0)kS n zk!k 0试证n 1 n 11 z d1．S (z) f ( ) ( z r R) n .n 12 i zrn 1z f ( )2．f ( z S ( )）(z) d z r R 。
北京市第四中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试高三数学 期中试卷（理）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{1,2}A =,则U A =ðA ．{4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{1,3,4}2．设命题2:,2n p n n ∃∈>N ，则p ⌝为A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2n n n ∃∈N ≤C ．2,2n n n ∀∈N ≤D ．2,2n n n ∃∈<N3．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．846．已知x ∈R ，则“απ=”是“sin()sin x x α+=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在区间[1,0]-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a8.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 9．设i 是虚数单位，则1i1i-=+ . 10．执行如图所示的框图，输出值x = . 11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大． 12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式()0x f x >的解集为______. 13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是________元．14．已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合:{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||PQ .设,M m t t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记()h t M m t t =-.则 (1) 若函数()f x x =，则(1)h =______；（2）若函数π()sin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()h t 的最小正周期为______.三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分）集合2{|320}A x x x =-+<，11{|28}2x B x -=<<，{|(2)()0}C x x x m =+-<， 其中m ∈R . （Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若()A B C ⊆ ，求实数m 的取值范围.16．（本题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本题满分13分）已知函数()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.18．（本题满分13分）已知函数()1()ln(1)01xf x ax x x-=+++≥，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19．（本题满分14分）设函数()ln e x b f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为e(1)2y x =-+.（Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）设()2()e 0ex g x x x -=->，求()g x 的最大值； （Ⅲ）证明函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点. 20．（本题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,().1,M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？参考答案一．选择题（每小题5分，共40分）15. 解：（Ⅰ）()2{|320}1,2A x x x =-+<=；()1{|28}0,42x B x -=<<=； 所以()1,2A B = ； （Ⅱ）()0,4A B = ，若2m >-，则()2,C m =-，若()0,4A B C =⊆ ，则4m ≥； 若2m =-，则C =∅，不满足()0,4A B C =⊆ ，舍； 若2m <-，则(),2C m =-，不满足()0,4A B C =⊆ ，舍； 综上[)4,m ∈+∞.16. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===. 所以1(1)3,n a a n d n n *=+-=∈N ． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =. 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=. 从而11232,n n n n b a n n --*=+=+∈N ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知132,n n b n n -*=+∈N ．123n n S b b b b =++++01211(32)(62)(92)(32)2n n n --=++++++++ 0121(3693)(2222)n n -=+++++++++(33)12212n n n +-=+-2332122n n n =++- 所以，数列{}n b 的前n 项和为2332122n n n ++-.17. 解：()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭14sin sin 2x x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭2cos 2sin x x x =-2cos21x x =+-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得263k x k ππππ+≤≤+，所以函数()f x 的单调减区间为2[+,],63k k k ππππ+∈Z .（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π-≤+≤ ，所以2()1f x -≤≤.当且仅当2x π=时 ()f x 取最小值min ()()22f x f π==-;当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.18. 解:定义域为[)0,+∞.22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++. （Ⅰ）若1a =，则221()(1)(1)x f x x x -'=++，令()0f x '=，得1x =（舍1-）.所以1a =时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++，∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，所以()(0)1;f x f =的最小值为②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）.所以()f x在x =处取得最小值，注意到(0)1,f f <=，所以不满足 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞19. 解：()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+),()2()ln ln ln .x x x b b a bb f x a x e a x e a x e x x x xx '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)2,(1).f f e '==由题意可得 21,.a b e==故 （Ⅱ）2(),'()(1)x x g x xe g x e x e--=-=-则.(0,1)()0;(1,)()0.()1()(0,)(1).x g x x g x g x g x g e ''∈>∈+∞<∞∞=-所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为 （Ⅲ）12()ln ,x x f x e x e x-=+由（I ）知又0(1)ln12=21,f e e =+>于是函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点等价于()1f x >。
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编：函数含答案
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编函数一、选择题1、（昌平区2017届高三上学期期末）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是(A ）xy e = （B)2log y x = （C ）sin y x = （D)3y x=2、（朝阳区2017届高三上学期期中）下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是A ．1y x =-B ．tan y x =C ．3y x = D ．2y x =-3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．14、（丰台区2017届高三上学期期末）已知函数()ln()sin f x x a x =+-．给出下列命题:①当0a =时，(0e),x ∀∈,都有()0f x <； ②当e a ≥时，(0+),x ∀∈∞,都有()0f x >； ③当1a =时，0(2+),x ∃∈∞，使得0()=0f x ．其中真命题的个数是(A) 0(B ） 1（C) 2(D)35、(海淀区2017届高三上学期期末）下列函数中,既是偶函数又在区间(0+)∞，上单调递增的是A ．1()2xy = B ．2y x =- C ．2log y x = D ．||1y x =+ 6、(海淀区2017届高三上学期期中)已知函数,log aby x y x ==的图象如图所示,则A 。
1b a >> B.1b a >>C.1a b >>D.1a b >>7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知定义在R 上的函数f (x )={2x +a,x ≤0,ln (x +a ),x >0.若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是A.1122a -≤≤ B.102a ≤<C 。
高三数学上学期期中试题理21
重庆市第一中学2017届高三数学上学期期中试题 理一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．函数x x x f cos sin )(=的最小正周期等于（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 2．已知向量)2,1(=a ，)2,(-=x b ，且b a ⊥，则=+b a （ ） A ．5 B ．5 C ．24 D ．31 3．已知y x ,均为非负实数，且满足⎩⎨⎧≤+≤+241y x y x ，则y x z 2+=的最大值为（ ）A ．1B ．21 C ．35D ．2 4．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。
书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ） A ．298尺 B ．2916尺 C ．2932尺 D ．21尺5．设函数)62sin(2)(π+=x x f ，将)(x f 图像上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数)(x g y =，则)(x g 图像的一条对称轴方程为（ ）A ．24π=x B ．125π=x C ．2π=x D ．12π=x 6．已知函数xx ae e x f -+=)(为偶函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率为23，则切点的横坐标等于（ ） A ．2lnB ．2ln 2C ．2D ．27．若“]2,21[∈∃x ，使得0122<+-x x λ成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ） A ．]22,(-∞B ．]3,22[C ．]3,22[-D ．3=λ8．若函数λ+--=x x x f 21)(在]1,1[-上有两个不同的零点，则λ的取值范围为（ ）A ．)2,1[B ．)2,2(-C ．]1,2(--D ．]1,1[-9．设椭圆1121622=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足921=⋅PF PF ，则21PF PF ⋅的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．15 10．（原创）已知函数xx x f 411212)(+++=满足条件1))12((log =+a f ，其中1>a ， 则=-))12((log a f （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 11．（原创）已知)2,0(π∈x ，则函数x x x x x f cot cos tan sin )(+=的值域为（ ）A ．)2,1[B ．),2[+∞C ．]2,1(D ．),1[+∞12．（原创）设B A ,在圆122=+y x 上运动，且3=AB ，点P 在直线01243=-+y x 上运动，PB PA + ）A ．3B ．4C ．517D ．519二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置） 13．点)3,1(P 关于直线022=-+y x 的对称点为Q ，则点Q 的坐标为14．已知),2(ππα∈，且55sin =α，则=+)42tan(πα15．（原创）设正实数y x ,满足1=+y x ，则xy y x ++22的取值范围为16．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足条件1222==-+bc a c b ，81cos cos -=C B ，则ABC ∆的周长为三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 单调递增，记数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足条件26,632==S a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n a b n n 2-=，求数列{}n b 的前n 项之和n T ．18．（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如右图． （1）已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上 网购物者人数成等差数列，求b a ,的值；（2）该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义 为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了 鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．19．（原创）（本小题满分12分）已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为2的菱形， 且3π=∠BAD ，⊥1AA 平面ABCD ，11=AA ，设E 为CD 的中点（1）求证：⊥E D 1平面1BEC（2）点F 在线段11B A 上，且//AF 平面1BEC ， 求平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值．20．（原创）（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，椭圆C 和抛物线x y =2交于N M ,两点，且直线MN 恰好通过椭圆C 的右焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过椭圆C 右焦点的直线l 和椭圆C 交于B A ,两点，点P 在椭圆上，且BP OA 2=， 其中O 为坐标原点，求直线l 的斜率．21．（本小题满分12分）已知函数122)21ln()(+++=x ax x f （1）若0>a ，且)(x f 在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在),0(+∞上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ααααcos sin cos sin y x （α为参数）（1）求曲线C 的普通方程；（2）在以O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为01)4sin(2=+-θπρ，已知直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求AB ．23．（原创）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数12)(-=x x f（1）解关于x 的不等式)1()2(+≤x f x f ；（2）若实数b a ,满足2=+b a ，求)()(22b f a f +的最小值．2016重庆一中高2017级高三上期半期考试数 学 答 案（理科）一、选择题（每小题5分，共60分） 1—5 CADBD 6—10AACDB 11—12BD 二、填空题（每小题5分，共20分） 13：)1,1(-- 14：71- 15：]89,1[ 16：25+ 三、解答题（共70分）17．解：（1）设等比数列公比为q ，则由已知⎩⎨⎧=++=26621111q a q a a q a ，解得⎩⎨⎧==321q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==31181q a 因为{}n a 单调递增，只有⎩⎨⎧==321q a ，从而11132--⨯==n n n q a a（2）1322231)31(22211---=⋅+---⨯=-=∑∑==n n n ni a T n n ni ni i n 18．解：（1）由于五个组的频率之和等于1，故：11001.010015.010*******.0=⨯+⨯+++⨯b a ，且015.0-=-b b a联立解出025.0,035.0==b a（2）由已知高消费人群所占比例为6.0)(10=+b a ，潜在消费人群的比例为4.0 由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人， 随机抽取的三人中代金券总和X 可能的取值为：150,180,210,240301)240(31034===C C X P ；103)210(3101624===C C C X P 21)180(3102614===C C C X P ；61)150(31036===C C X P列表如下：X 240210180150P301 103 21 61 数学期望186615021801021030240=⨯+⨯+⨯+⨯=EX19．（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且BCD ∆为等边三角形，CD BE ⊥ 所以⊥BE 平面11C CDD ，而⊆E D 1平面11C CDD ，故E D BE 1⊥ 因为E D C 11∆的三边长分别为2,21111===D C E D E C ，故E D C 11∆为等腰直角三角形所以E C E D 11⊥，结合BE E D ⊥1知：⊥E D 1平面1BEC （2）解：取AB 中点G ，则由ABD ∆为等边三角形 知AB DG ⊥，从而DC DG ⊥以1,,DD DG DC 为坐标轴，建立如图所示的坐标系 此时)0,0,1(),1,0,0(),0,3,1(),0,0,0(1E D A D -,)1,3,1(),1,3,1(11B A -，设)1,3,(λF由上面的讨论知平面1BEC 的法向量为)1,0,1(1-=E D由于⊄AF 平面1BEC ，故//AF 平面1BEC 011=⋅⇔⊥⇔E D AF E D AF 故001)1()1,0,1()1,0,1(=⇒=-+=-⋅+λλλ，故)1,3,0(F设平面ADF 的法向量为),,(z y x a =，)1,3,0(),0,3,1(=-=DF DA由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00a DF a DA 知⎩⎨⎧=+=+-0303z y y x ，取3,1,3-===z y x ，故)3,1,3(-=a 设平面ADF 和平面1BEC 所成锐角为θ，则7422732cos 11=⋅=⋅=ED aE D a θ 即平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值为74220．解：（1）由22=a c 知，可设λλλ2,2,2===bc a ，其中0>λ 由已知),(c c M ，代入椭圆中得：1222=+bca c 即122212=+λλ，解得2=λ从而2,2,22===c b a ，故椭圆方程为14822=+y x （2）设),(),,(),,(002211y x P y x B y x A ，由已知),(2),(202011y y x x y x --=从而21021021,21y y y x x x +=+=，由于P B A ,,均在椭圆8222=+y x 上，故有： 8)21(2)21(,82,8222122122222121=+++=+=+y y x x y x y x第三个式子变形为：8)2()2()2(41212122222121=+++++y y x x y x y x将第一，二个式子带入得：222121-=+y y x x （*）分析知直线l 的斜率不为零，故可设直线l 方程为2+=my x ，与椭圆联立得：044)2(22=-++my y m ，由韦达定理24,24221221+-=+-=+m y y m m y y 将（*）变形为：22)2)(2(2121-=+++y y my my 即06)(2)2(21212=++++y y m y y m将韦达定理带入上式得：028222=+-m m ，解得322=m 因为直线的斜率m k 1=，故直线l 的斜率为26± 21．解：（1）222)12)(12(428)12(4122)('++-+=+-+=x ax a ax x ax a x f由已知0)('≥x f 在),0(+∞∈x 时恒成立，即04282≥-+a ax 恒成立 分离参数得1422+≥x a ，右边)2,0(∈，所以正实数a 的取值范围为：2≥a（2）假设存在这样的实数a ，则1)(≥x f 在),0(+∞∈x 时恒成立，且可以取到等号 故1)1(≥f ，即211ln 031)21ln(132)21ln(>⇒=>≥+⇒≥++a a a 从而这样的实数a 必须为正实数，当2≥a 时，由上面的讨论知)(x f 在),0(+∞上递增，12ln 2)0()(>-=>f x f ，此时不合题意，故这样的a 必须满足20<<a ，此时：令0)('>x f 得)(x f 的增区间为),42(+∞-aa令0)('<x f 得)(x f 的减区间为)42,0(aa- 故114222)2142ln()42()(min =+-++-=-=aaa a a a a f x f 整理得022)212ln(2=+----+-aa aa a a即0222222)212ln(222=-+---+-aa a a a a ，设]1,21(2122∈+-=a a t ， 则上式即为011ln =--t t ，构造11ln )(--=tt t g ，则等价于0)(=t g 由于t y ln =为增函数，11-=t y 为减函数，故11ln )(--=tt t g 为增函数 观察知0)1(=g ，故0)(=t g 等价于1=t ，与之对应的1=a 综上符合条件的实数a 是存在的，且1=a22．解：（1）由已知2cos ,2sin y x y x -=+=θθ，结合1cos sin 22=+θθ，消去θ得： 普通方程为1)2()2(22=-++y x y x ，化简得222=+y x （2）由01)4sin(2=+-θπρ知01)sin (cos =+-θθρ，化为普通方程为01=+-y x圆心到直线l 的距离2211122=+=h ， 由垂径定理62122222=-=-=h r AB 23．解：（1）1214+≤-x x 012121441816222≤-⇔++≤+-⇔x x x x x x 解得]1,0[∈x ，故原不等式的解集为]1,0[（2）2)(21212)()(222222-+≥-+-=+b a b a b f a f 由柯西不等式：4)())(11()(22222222=+≥++=+b a b a b a从而22)(222≥-+b a ，即2)()(22≥+b f a f ，取等条件为1==b a故)()(22b f a f 的最小值为2。
(整理)《复变函数与积分变换电信B》试卷答案.
中国计量学院201 1 ~ 201 2 学年第二学期《 复变函数与积分变换 》课程试卷（B ）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院_ ，学生专业： ，教师： 武丹一、 选择题1、D2、D3、D4、C5、C二、 填空题1、四级极点2、|z-4|<123、-14、-5025、4 三、判断题1、错2、错3、错4、错5、对四、计算题1、0，2、03、04、 2sin 2i π5、2cos2i π五、解答题1、解：6,u xy x∂=-∂ 2233u y x y ∂=-∂ ……………………………（1分） y v ∂∂=6,u xy x ∂=-∂，（1）-=∂∂x v 2233u y x y∂=-∂， （2）………………（2分） 将（1）式对y 积分得(,)6v x y xydy =-⎰=23()xy x ϕ-+，（3） …………………………………（4分）（3）对x 求导，带入（2），2()3x x ϕ'=，得 3()x x c ϕ=+ 于是，23(,)3v x y xy x c =-++，…………………………………………（8分） 由iv u z f +=)(，且(0)f i =，得 1=c因此所求的解析函数为：)(z f =32323(31)y x y i x xy -+-+………………（10分）2、z=3为奇点， …………………………………………（1分）2101(1)1(3)cos 0|z-3|3(2)!(3)n n n z z n z ∞-=--=⋅<<+∞--∑ （6分） 所以是函数的本性奇点。
………… （8分）《 复变函数与积分变换 》课程试卷B 参考答案及评分标准 第 1 页 共 3 页111Re (3)cos ;332s z C z -⎡⎤-==-⎢⎥-⎣⎦ ………… （10分） 六、 计算题1、解：当1||0<<z 时，由∑∞==-011n n z z 得 ……………（4分） 21(1)z +＝20(1)n n n z ∞=-∑， )1||0(<<z ………………（8分） 221(1)z z +＝2201(1)n n n z z ∞=⋅-∑＝220(1)n n n z ∞-=-∑， )1||0(<<z ………………（10分） 2、解： 21111()1211z z z =---+ ，。
复变函数与积分变换期末考试卷北理珠
1 / 4一、填空、选择题（每小题3分，共21分）【得分： 】 1. 以下说法错误的是（ ）A. ()f z 是解析函数，则在任何一个含原点的简单闭曲线C 上，()0cf z dz =⎰B. ()f z 在含原点的简单闭曲线C 上有()0cf z dz =⎰，则()f z 必为解析函数C.()df z v vi dz y x∂∂=+∂∂.在()f z 的解析点成立，此处()(,)(,)f z u x y iv x y =+ D. ()f z 若为解析函数，则每一个0z 处展开的洛朗级数，就是泰勒级数.2. 以下结论错误的是 （ ）A. ln z 是单值函数，ln(1)-有意义B. Lnz 是多值函数，(1)Ln -有意义.C. ln z 可求导，且1(ln )z z'=，但z 不包括负实轴上1x -∞<≤- D.cos z 是周期函数，是偶函数，且cos 1z ≤3. 以下结论错误的是（ ）A. ()f z .以0z 为本性奇点，则必有0[(),]0.res f z z ≠B. ()f z .以0z 为可去奇点，则必有0[(),]0.res f z z =.C. ()f z .仅以1,2z z ==为两个孤立奇点，则3()0z f z dz ==⎰也是可能发生的.D. ()f z .仅以1,2zz ==为两个孤立奇点，C为简单闭曲线，且内部不含1z =，也不含2z =，则必有()0c f z dz =⎰4. 下列级数中，不收敛的是 （ ）A. 211nn i n ∞=-∑ B.12!n nn n n ∞=⋅∑ C. 1(1)nn n i ∞=+∑ D.21(1)ln nn n n∞=-∑5 ln().e i =6. 计算||11.sin z dz z==⎰7.1-的主幅角arg(1).-=二、计算题（每题7分，共21分）【得分：】 1. a bi +形式表出.2. 已知解析函数实部是22cos x x y e y -+，且(0)1f =，求这个解析函数()f z 的表达式.3. (sin )z 和sin()z 有什么联系和区别？计算(sin ).iiz dz -⎰积分为z i =-到z i =的直线.三、解答题（每题7分, 共28分）【得分： 】 1.计算 (1)12ln(1)z z dz =+⎰. (2)12ln(1)z z dz z =+⎰. (3)212ln(1)z z dz z =+⎰.3 / 42. 1()(1)(2)f z z z =--在圆环域2z <<+∞内展开为洛朗级数.3．31()(2)z dz z i z =-+⎰4．求ln(1)z +在0z =为中心的泰勒级数，指出收敛半径，写出()[ln(1)]?n z z =+=.四、解答题（前3小题每小题7分，第4小题9分，共30分）【得分： 】 1．()t δ为单位冲激函数. (1)求(1)t dt δ+∞-∞-⎰.（2）求[()]F t δ（Fourier 变换）.2.设2,0()0,t e t f t t -⎧≥=⎨<⎩，求[()]F f t .3．设(),0f t t t =≥，求Laplace 变换[()]L f t .4．已知2,0()0,0t e t f t t -⎧≥=⎨<⎩，3,0()0,0t e t g t t -⎧≥=⎨<⎩，求()()f t g t *.。
北京大学数学科学学院
北京大学数学科学学院数学与应用数学专业双学位/辅修一，报名1，报名条件：（1）拥护中国共产党的领导，品德良好，遵纪守法。
（2）没有不及格课程且已修课程的GPA在2.0以上。
（3）每人只能选修一个辅修或双学位专业。
2，报名办法：（1）时间： 5月（2）地点：数学科学学院教学科研办公室（理科一号楼1295E室）（3）报名程序：凡申请报名的同学需先登陆北京大学校内信息门户网上提交并打印报名表，同时附已修课程成绩单并加盖院系教务章，一并交到数学科学学院教务办。
二，录取1，本双学位专业计划录取100人。
2，录取办法：根据申请人已修相关课程成绩和总GPA择优录取，数学成绩优秀者优先考虑。
3，初步录取名单，将于5月底在数学科学学院网页双学位一栏（/）公布；最终录取结果请查看“北京大学学生综合信息管理系统”。
三，学分和收费：1，修读双学位的学生应完成44学分；2，修读辅修的学生应完成35学分；3，双学位按学分收费，每学分150元。
若中途退课，所交学费一律不退。
每学期开学后前两周办理退双手续，请先登录校内门户提交申请，申请表签字后到数院教务办公室办理。
四，课程设置及学分：双学位课程：43学分补充说明：若学生在主修专业已经修读本双学位教学计划中某门课程或内容相近课程，则不可重复修读，应选修以下课程替代，重复修读成绩无效。
一门课程如在主修专业和本双学位教学计划中均有要求，只能计算一次学分。
辅修课程：35学分补充说明：若学生在主修专业已经修读本辅修专业教学计划中某门课程或内容相近课程，则不可重复修读，应选修以下课程替代，重复修读成绩无效。
一门课程如在主修专业和本双学位教学计划中均有要求，只能计算一次学分。
说明：双学位与数院本科生一起选课、上课、考试，同质化管理，每学期课表可到数院主页双学位一栏查看。
缓考课程再次选课不需要缴费，不及格课程重修需要在学期开学后第二周内到教务办公室办理缴费手续。
五，毕业及学位授予资格审定1，同时符合以下条件者，将根据北京大学的有关规定授予北京大学数学与应用数学专业（双学位）理学学士证书：（1）完成主修专业学习，正常毕业并获得主修专业学士学位；（2）在主修专业学业结束时修完双学位教学计划规定的课程及学分，成绩合格；（3）在大四第二学期开学五周内提出证书资格申请。
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《复变函数》期中试题本试卷共7道大题，满分100分
1.设f(x,y)是(0,0)∈R2=C邻域上关于实变量(x,y)二阶连续可导
的函数。
用复变量z=x+iy和¯z=x−iy及其相关的一阶、二阶偏导给出这一函数在z=0邻域上的Taylor展开。
（20分）
2.证明复函数(x2+2y)+i(y−3x)不是复变量z=x+iy的解析函
数。
构造一个尽可能简单地二阶多项式函数p(x,y)+iq(x,y)，使得(x2+2y)+i(y−3x)+p(x,y)+iq(x,y)是复变量z=x+iy不为常数的解析函数。
（20分）
3.表述Cauchy定理（不证）。
利用Cauchy定理证明解析函数的Cauchy
积分公式。
（15分）
4.令D={x+iy|y>0}为上半平面，证明D到自身，并且将i∈D
映到i∈D的解析同胚全体构成的群可以用一个实参数来表示，给出群运算（同胚的复合与同胚的逆）与参数的关系。
（15分）
5.(a)给出单位圆盘D(0,1)到上半平面D={x+iy|y>0}的所有解
析同胚映射。
证明你的结论；
(b)证明在这些同胚中，存在唯一的一个同胚f(z)，满足f(0)=
i,f′(0)>0。
（15分）
6.设D={z|1<|z|<2}为圆环，f(z)是D上的解析函数，证明f(z)
可以分解为f(z)=f1(z)+f2(z)的形式，其中f1(z)和f2(z)分别是圆盘D(0,2)={z||z|<2}和扩充复平面¯C=C∪{∞}中取区域¯C−D(0,1)上的解析函数。
如果上面分解中要求f
(0)=0，问这样
1
的分解是否是唯一的，为什么？（8分）
7.令D={z=x+iy||z|<1,y>0}为单位圆盘的上半部分，设f(z)
是D上解析，D上连续的函数，并且当z=x为实数时，f(z)也是实数。
在单位圆盘D(0,1)上定义函数g(z)为：g(z)=f(z)，如果z=x+iy满足y≤0;g(z)=f(¯z)，如果z=x+iy满足y<0，证明g(z)是单位圆盘D(0,1)上的解析函数（本题的结论如果直接引用定理，请给出定理的证明。
证明中用到的其他定理只需表述，不需证明）（7分）
(编辑：伏贵荣2017年4月，任课老师：谭小江)。