2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题含答案
2015年全国高中数学联赛河南省预赛Word版无答案
2015年全国高中数学联赛河南省预赛
一、 填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置.
1.不能表示为的最小正奇数是
2.已知点是棱长为的正四面体内的任意一点,它到四个面的距离分别是,则的最小值为
3.设双曲线的焦距为,直线过点且点到直线的距离与点到直线的距离之和,则双曲线的离心率的取值范围是
4.已知实数满足,则的值是
5.已知正数满足,则的最小值是
6.一个篮球运动员进行投篮练习,若他投进前1球,则投进后一球的概率为;若他投不进前一球,则投进后一球的概率为,已知他投进第一球的概率为,则他投进第四球的概率为
7.设函数,则的最小值为
8.已知集合
230123112310{22222|{0,1},0,1,2,,2}k k a k a k a a k k k k i A a a a a a i k --+-+-+---=+⋅+⋅++⋅+⋅∈=-
用表示集合中所有元素的和,则
二、 本大题共4小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
9(本小题满分16分)
求证:任一正整数均可表示为的形式,其中,这里
10(本小题满分20分)
数列和满足:.
求证:
11(本小题满分20分)
如图,过椭圆的中心的直线分别交椭圆于四点,且直线的斜率之积是,过点作两条平行线,设,且. 求证:
12(本小题满分20分)
求由数字1,2,3,4,5,6构成的含有1,6相邻的位数的个数.。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015全国高中数学联赛河南预赛试题及答案高一
2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题（5月10日8:30至11:00）一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ．2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ．3．设线段BC α⊂，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面α成30︒角，且2AB BC CD cm ===，则线段AD 的长度为 ．4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是 ．5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33(,)P m m n n --向该圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个．6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ．7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分） （必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ．（必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x=，22sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是 ．8．如果实数a ，b 使得21x x --是2015201521211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字为 ．二（本题满足16分）求2232x y -=的整数解．三（本题满足20分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=︒，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =．四（本题满足20分） 对于任意的ABC △，若其三边长为a ，b ，c ，则x a ，x b ，x c 依然可以构成某三角形的三边长，求实数x 的取值范围．五（本题满足20分） 已知全集{}1,2,,U n =，集合A 满足：(i)A U ⊆；(ii)若x A ∈，则kx A ∉；(iii)若U x A ∈ð，U kx A ∉ð（其中k ，*n ∈N ，2k ≥），用()k f n 表示满足条件的集合A 的个数． （1）求2(4)f ，2(5)f ；（2）记集合A 中所有元素的和记为集合A 的“和”，当n pk q =+（p ，q ∈N ，01q k -≤≤）时，求所有集合A 的“和”的和（结果用含p ，q ，k 的代数式表示）．。
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解析
33 ,
.
22
于是每个小三角形的面积为
1 2
×4×
3 2
= 3，
所以阴影部分的面积为 3 × 8 = 24.
y
33 A,
22
O
x
7. 设 ω 为正实数，若存在 a, b(π ⩽ a < b ⩽ 2π)，使得 sin ωa + sin ωb = 2，则 ω
的取值范围是
.
解答
依题意，存在
k, l
∈
Z，使得
设 A(x1, y1), B(x2, y2), F1(−1, 0)，则
y1
+
y2
=
2km −k2 + 2,
y1y2
=
m2 − 2. k2 + 2
且 ∆ = 4k2m2 − 4(k2 + 2)(m2 − 2) = 8(k2 − m2 + 2) > 0.
于是
kAF1
+
kBF1
=
y1 x1 +
1
+
y2 x2 +
−
1 2
=
1007
⇒
z2015
=
2015
+
1007i.
4. 在矩形 ABCD 中，AB = 2, AD = 1，边 DC 上 (包含点 D、C) 的动点 P 与
CB 延长线上 (包含点 B) 的动点 Q 满足 |D# P»| = |B# Q»|，则向量 P# A» 与向量
#» PQ
的数量积
#» #» PA · PQ
为满足 d = 0 的 P 类数的个数，记 A 为满足 d = 0 的 P 类数的集合.
2015年全国高中数学联赛试卷解析
2015 年全国高中数学联合竞赛参考答案及评分标准一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ① 当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）高中数学联赛篇一：2015年全国高中数学联赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x) x2 ax b满足f(a) f(b)，则f(2)的值为2.若实数满足cos tan ，则1 cos4 的值为sin3.已知复数数列{zn}满足z1 1,zn 1 zn 1 ni(n 1,2,3, )，其中i为虚数单位，zn 表示zn的共轭复数，则z2015的值为4.在矩形ABCD中，AB 2,AD 1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足DP BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA PQ的最小值为5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy中，点集K (x,y)(x 3y 6)(3x y 6) 0所对应的平面区域的面积为7.设为正实数，若存在a,b( a b 2 )，使得sin a sin b 2，则的取值范围是8.对四位数abcd(1 a 9,0 b,c,d 9)，若a b,b c,c d，则称abcd为P类数，若a b,b c,c d，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P) N(Q)的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a 4b 2c,4a 2b 4c，求c的最小值.10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得31 aa1 i j 4 24, 2, , ,1,3 ，求a1 a2 a3 a4的值. ij 28x211.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点，2设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）设a1,a2, ,an(n 2)是实数，证明：可以选取1, 2, , n 1, 1 ，使n2 得ai iai (n 1) ai . i 1 i 1 i 1二、（本题满分40分）设S A1,A2, ,An ，其中A1,A2, ,An是n个互不相同的有限集合（n 2），满足对任意的Ai,Aj S，均有Ai Aj S，若k minAi 2.证明：存在x Ai，1 i ni 1nn2n2使得x属于A1,A2, ,An中的至少n个集合（这里X表示有限集合X 的元素个数）.k 上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，ABC内接于圆O，P为BCBK平分ABC，过K,P,C三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于点E，连接PE并延长与边AB交于点F.证明：ABC 2 FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：(kn)!对任意正整数n，2(k 1)n 1不整除.n!高中数学联赛篇二：高中数学联赛基本知识集锦高中数学联赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。
2015年全国高中数学联赛试卷解析
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++,于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34．解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l)（其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =u u u r u u u r 得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---u u u r u u u r,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥u u u r u u u r ．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=u u u r u u u r ．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤．有36x y +≤,故先考虑1K 在第一象限中的部分，此时这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ．答案：9513[,)[,)424w ∈+∞U ．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式．当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况： (i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞U ． 8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省2015年普通高中招生考试数学试题(附答案)
河南省2015年普通高中招生考试数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列各数中最大的数是（）A．5 B．C．πD．－8答案：A 【解析】本题考查实数的大小比较，难度较小．，最大的是5，故选A．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A B C D答案：B 【解析】本题考查三视图的知识，难度较小．俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，故选B．3．据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元．将数据40570亿用科学记数法表示为（）A．4.0570×109B．0.40570×1010C．40.570×1011D．4.0570×1012答案：D 【解析】本题考查科学记数法，难度较小．科学记数法是将一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．40570亿＝4057000000000＝4.0570×1012，故选D．4．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为（）A．55°B．60°C．70°D．75°答案：A 【解析】本题考查平行线的判定和性质，难度较小．因为∠1＝∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，得a∥b，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠3的对顶角与∠4互补，所以∠3与∠4互补，又∠3＝125°，则∠4的度数为55°，故选A．5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A BC D答案：C 【解析】本题考查解不等式组，难度较小．解不等式①得x ≥－5，解不等式②得x＜2，故不等式组的解集是－5≤x＜2，结合选项知只有C正确，故选C．6．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分答案：D 【解析】本题考查加权平均数的计算方法，难度较小．根据题意小王的成绩是（分），故选D．7．如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（）A．4 B．6C．8 D．10答案：C 【解析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形三线合一定理，难度中等．设BF与AG相交于O，由AG平分∠BAD和AB＝AF得AG垂直平分BF于点O，可得．又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FAE＝∠BAE，∴△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝5，AE＝2AO．在Rt△AOB中，，所以AE＝8，故选C．8．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A．(2014，0) B．(2015，－1) C．(2015，1) D．(2016，0)答案：B 【解析】本题考查规律探索，难度较大．一个半圆的周长是πr＝π，点P运动的，设点P走了n个半圆，则有，所以，因为，走1007个半圆时点P的横坐标是1007×2＝2014，再走个半圆，正好在下半圆弧的中点，因此点P的横坐标是2014＋1＝2015，纵坐标是－1，即点P的坐标是(2015，－1)，故选B．第Ⅱ卷（非选择题共96分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．请把答案填在题中的横线上）9．计算：(－3)0＋3－1＝_________．答案：【解析】本题考查零次幂和负指数幂，难度较小．因为(－3)0＝1，，故．10．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝_________．答案：【解析】本题考查平行线分线段成比例，难度较小．因为DE∥AC，所以，即，解得．11．如图，直线y＝kx与双曲线(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_________．答案：2 【解析】本题考查直线与双曲线的交点问题，难度较小．点A在双曲线上，所以1×a＝2，则a＝2，点A(1，2)，又点A(1，2)在y＝kx上，所以k＝2．12．已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_________．答案：y3＞y1＞y2【解析】本题考查二次函数函数值的大小比较，难度较小．将A，B，C三点的坐标分别代入函数解析式得y1＝(4－2)2－1＝3，，y3＝(－2－2)2－1＝15，所以y3＞y1＞y2．13．现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是_________．答案：【解析】本题考查用列表法或画树状图求概率，难度较小．列表如下：共有16种等可能的情形，两次抽出的卡片所标数字不同的有10种，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E．以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为_________．答案：【解析】本题考查扇形的面积及直角三角形的性质，难度中等．连接OE，因为点C为OA的中点，OA＝2，所以OC＝1．在Rt△OCE中，可证∠EOC＝60°，，，，，所以．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B'处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为_________．答案：16或【解析】本题考查折叠的性质、等腰三角形的性质，难度较大．本题分两种情况：（1）如图1，若DB′＝DC，则DB′＝DC＝16；（2）如图2，若DB′＝CB′，过B′作MN⊥CD于点M，交AB于点N，则CM＝DM＝8＝BN，又AE＝3，则BE＝13，所以EN＝5，由翻折可知EB′＝13，在Rt△EB′N中，可求NB′＝12，所以B′M＝4，在Rt△DB′M 中，．综上，DB′的长为16或．【易错分析】本题要注意分类讨论，画出符合条件的图形很重要．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分8分）先化简，再求值：，其中．答案：本题考查分式的化简求值，难度较小．解：（4分），（6分）当，时，．（8分）17．（本小题满分9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________；②连接OD，当∠PBA的度数为_________时，四边形BPDO是菱形．答案：本题考查全等三角形的判定与性质、菱形的判定、面积最值问题，难度中等．解：（1）证明：∵D是AC的中点，且PC＝PB，∴DP∥AB，，∴∠CPD＝∠PBO．（3分）∴，∴OP＝OB，∴△CDP≌△POB．（5分）（2）①4．（7分）②60°．（注：若填为60，不扣分）（9分）18．（本小题满分9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．调查结果扇形统计图调查结果条形统计图根据以上信息解答下列问题：（1）这次接受调查的市民总人数是_________；（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是_________；（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．答案：本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，难度较小．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．解：（1）1000．（2分）（2）54°．（注：若填为54，不扣分）（4分）（3）（按人数为100正确补全条形统计图）．（6分）（4）80×(26%＋40%)＝80×66%＝52.8（万人），所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻最主要途径”的总人数约为52.8万人．（9分）19．（本小题满分9分）已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．答案：本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，难度较小．解：（1）证明：原方程可化为x2－5x＋6－|m|＝0，（1分）∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－|m|)＝25－24＋4|m|＝1＋4|m|．（3分）∵|m|≥0，∴1＋4|m|＞0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．（4分）（2）把x＝1代入原方程得|m|＝2，∴m＝±2．（6分）把|m|＝2代入原方程，整理得x2－5x＋4＝0，∴x1＝1，x2＝4，∴m的值为±2，方程的另一个根是4．（9分）20．（本小题满分9分）如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．（结果保留整数．参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，）答案：本题考查解直角三角形的应用，构造符合条件的直角三角形，利用直角三角形的性质解题是关键，难度较小．解：延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H．由题意知∠DAE＝∠BGA＝30°，DA＝6，∴GD＝DA＝6，∴，∴．（2分）设BC的长为x米．在Rt△GBC中，．（4分）在Rt△ABC中，．（6分）∵GC－AC＝GA，∴，（8分）∴x≈13，即大树的高度约为13米．（9分）21．（本小题满分10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数，设游泳x次时，所需总费用为y元．（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．答案：本题考查列函数关系式、一次函数图象的理解及应用、方案选择问题，难度中等．解：（1）银卡：y＝10x＋150；（1分）普通票：y＝20x．（2分）（2）把x＝0代入y＝10x＋150，得y＝150，∴A(0，150)．（3分）由题意知∴∴B(15，300)．（4分）把y＝600代入y＝10x＋150，得x＝45，∴C(45，600)．（5分）（3）当0＜x＜15时，选择购买普通票更合算；（注：若写为0≤x＜15，不扣分）当x＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，选择购买银卡更合算；当x＝45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，选择购买金卡更合算．（10分）22．（本小题满分10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝_________；②当α＝180°时，＝_________．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．答案：本题考查旋转的性质、三角形中位线性质、平行线分线段成比例、勾股定理、相似三角形的应用等，考查考生的阅读理解能力，分类讨论能力，逻辑推理能力，难度较大．解：（1）①；（1分）②．（2分）（2）无变化．（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分）（3分）在图1中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB．∴，∠EDC＝∠B＝90°．如图2，∵△EDC在旋转过程中形状、大小均不变，∴仍然成立．（4分）又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD，∴．（6分）在Rt△ABC中，，∴，∴，∴的大小不变．（8分）（3）或．（10分）【提示】当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，∴；当△EDC在BC的下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD＝8，∴AE＝6，根据可求得．23．（本小题满分11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P 是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．答案：本题考查抛物线的解析式、动点问题、面积的计算、周长最值问题、点的存在性等，考查考生的阅读理解能力，逻辑推理能力，难度较大．解：（1）抛物线解析式为．（3分）（2）正确，理由如下：设，则．（4分）过点P作PM⊥y轴于点M，则，∴，（6分）∴，∴猜想正确．（7分）（3）“好点”共有11个；（9分）当点P运动时，DE大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小．∵PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2，∴PE＋PD＝PE＋PF＋2．当P，E，F三点共线时，PE＋PF最小，此时点P，E的横坐标都为－4，将x＝－4代入，得y＝6，∴P(－4，6)，此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”，∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为(－4，6)．（11分）【提示】△PDE的面积．由－8≤x≤0，知4≤S≤13，所以S的整数值有10个．由函数图象知，当S＝12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有11个．综评：本套试卷在试卷结构、知识内容、题型、题量、难度等方面总体保持稳定，重视对基础的考查，适度兼顾区分，体现了对数学知识价值反映和解决简单问题能力的要求．整卷具有以下几个特点：（1）突出基础，试题考查了“图形与几何、数与运算、代数与方程、函数与分析、统计与概率初步”等初中阶段重要的数学基础知识，体现对教材内容和教学重点的关注．（2）关注应用，如第6，13，18，20，21题适度体现数学的应用价值．（3）适度区分，容易题、中档题、较难题的分值配比为7:2:1，中档题和较难题分散在不同试题中，有利于合理考查考生解决问题过程的认知水平差异．本试题适合中期复习后的检测．。
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ，则 A B = 解：由于 1 + x ¹ x ，故 1 + x = y ．由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ，又因为 1 + x > 0 ，所以 3
A1B 42 52 2 4 5
CA2 A1B 2 BC 2 9 31 3 ，进一步有 cos A cos CA1B 1 ， 32 2 2CA1 A1B 16
2
5 7 1 15 7 9 3 9 ，所以 S chc ． 因此 c AA1 A1B 2 4 6 ， hc 4 1 4 16 2 2 4 16 7. 已知过两抛物线 C1 : x 1 ( y 1) 2 ， C2 : ( y 1) 2 4 x a 1 的交点的各自的切线互相垂直，则实数 a 的 值为 ． a a a a 解： 联立曲线 C1 , C2 的方程， 求得交点坐标为 ( , 1 1 ) ， 由对称性， 不妨只考虑交点 A ( , 1 1 ) 5 5 5 5
102假设还满足则又因为乘以减去乘将其乘以减去乘以acbc是无理数所以因为由于代入这与是无理数矛盾因此不是任何整数系数二次方程axbx2015年全国高中数学联赛模拟试题04加试参考答案一本小题满分40分如图在锐角abac分别是边abac的中点ade的外接圆与的外接圆交于点异于点bce的外接圆与bcdapaqpkpk是一切大于3的素数
2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)-高中课件精选
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设0分和8分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，则=2015z ．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．6．在平面直角坐标系中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ．8．对四位数abcd ， 若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数，若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，则P 类数总量与Q 类数总量之差等于 ． 三、解答题9．（本题满分16分）若实数c b a ,,满足c b a c b a 424,242=+=+，求c 的最小值．10．（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i a a ji ，求4321a a a a +++的值．11．（本题满分20分）设21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．加试1．（本题满分40分）设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε，使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i ni i a n a a ε．2．（本题满分40分）设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ，满足对任意的S A A j i ∈,，均有S A A j i ∈ ，若2min 1≥=≤≤i ni A k ，证明：存在i ni A x 1=∈ ，使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少kn个集合．3．（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于E ，连接PE ，延长交AB 于F ，证明：FCB ABC ∠=∠2．4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn ．2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
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2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题
（5月10日8:30至11:00）
一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从
小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ．
2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ．
3．设线段BC α⊂，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面
α成30︒角，且
2A B B C C D c m
===，则线段AD 的长度为 ．
4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是 ．
5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33
(,)P m m n n --向该圆引两
条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个．
6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ．
7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）
（必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ．
（必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x
=，sin x b x =，2
2
sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是 ．
8．如果实数a ，b 使得21x x --是201520152
1211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字
为 ．
二（本题满足16分）
求2232x y -=的整数解．
三（本题满足20分）
如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=︒，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =．
四（本题满足20分）
对于任意的ABC △，若其三边长为a ，b ，c ，则x a ，x b ，x c 依然可以构成某三角形的三边长，求实数x 的取值范围．
五（本题满足20分）
已知全集{}1,2,,U n =，集合A 满足：(i)A U ⊆；(ii)若x A ∈，则k x A ∉；(iii)若U x A ∈ð，
U kx A ∉ð（其中k ，*n ∈N ，
2k ≥），用()k f n 表示满足条件的集合A 的个数． （1）求2(4)f ，2(5)f ；
（2）记集合A 中所有元素的和记为集合A 的“和”，当n pk q =+（p ，q ∈N ，01q k -≤≤）时，求所有集合A 的“和”的和（结果用含p ，q ，k 的代数式表示）．。