2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题含答案

2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题

（5月10日8:30至11:00）

一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从

小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ．

2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ．

3．设线段BC α⊂，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面

α成30︒角，且

2A B B C C D c m

===，则线段AD 的长度为 ．

4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是 ．

5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33

(,)P m m n n --向该圆引两

条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个．

6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ．

7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）

（必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ．

（必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x

=，sin x b x =，2

2

sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是 ．

8．如果实数a ，b 使得21x x --是201520152

1211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字

为 ．

二（本题满足16分）

求2232x y -=的整数解．

三（本题满足20分）

如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=︒，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =．

四（本题满足20分）

对于任意的ABC △，若其三边长为a ，b ，c ，则x a ，x b ，x c 依然可以构成某三角形的三边长，求实数x 的取值范围．

五（本题满足20分）

已知全集{}1,2,,U n =，集合A 满足：(i)A U ⊆；(ii)若x A ∈，则k x A ∉；(iii)若U x A ∈ð，

U kx A ∉ð（其中k ，*n ∈N ，

2k ≥），用()k f n 表示满足条件的集合A 的个数． （1）求2(4)f ，2(5)f ；

（2）记集合A 中所有元素的和记为集合A 的“和”，当n pk q =+（p ，q ∈N ，01q k -≤≤）时，求所有集合A 的“和”的和（结果用含p ，q ，k 的代数式表示）．