2.2.1 第2课时 对数的运算
第二章 2.2 2.2.1 第2课时 对数的运算
log27
=
−
1 2
×
4
−
1 2
log23
+
3 2
+
1 2
log23
=
−2
+
3 2
=
−对数的运算
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
2 49 3
(2)2log32-log3
32 9
+
log38
−
5lo
g53.
解:(1)(方法一)原式 = 1 (5lg 2-2lg 7)− 4 × 3 lg 2+ 1 (2lg 7+lg 5)
2
32
2
=
5 2
lg
2-lg
7-2lg
2+lg
7+
1 2
lg
5
= 1 lg 2+ 1 lg 5= 1 (lg 2+lg 5)
=
lo g18 (5×9) lo g18 (2×18)
=
log185 + log189 log182 + log1818
=
1
������ +
+ ������ log18 2
������ + ������
������ + ������ ������ + ������
课件2：2.2.1 第2课时 对数的运算
自学导引
1．对数的运算性质 如果 a>0，a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝_l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN___； (2)logaMN ＝__lo_g_a_M_－__l_o_g_a_N_； (3)logaMn＝____n_lo_g_a_M______(n∈R)．
3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简 求值．
4．要充分运用“1”的对数等于 0，底的对数等于“1”等对 数的运算性质．
5．两个常用的推论： (1)logab·logba＝1(a，b>0 且均不为 1)； (2)logambn＝mn logab(a，b>0 且均不为 1，m≠0)．
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＝2(log214密 因忽略真数大于0而出错
【例 4】 已知 lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求 错解：因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
xy的值．
所以 xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0，
所以 x＝y 或 x＝4y，即xy＝1 或xy＝4，
解：(1)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7 －lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋ (lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
x，得
x＝llooggccba.
∵x＝logab，
∴logab＝llooggccba.
2.2.1 第二课时 对数的运算课件人教新课标
原式= lg(3 95 272 5 3 2 ) = lg 3 5 = 11 .
lg 81
lg 3 5
27
(2)(lg
5)2+lg
2
lg
50+
1 1
22
log 2
5
;
(3) log ( 6 4 2 - 6 4 2 ). 2
解:(2)原式=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)+21· 2log2 5 =lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+2 5 =1+2 5 . (3)因为 6 4 2 = (2 2)2 =2+ 2 ,
2
方法技能 (1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种 思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为 对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆 用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. (2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5, lg 5=1-lg 2等解题.
100
100
点击进入 课时作业
所以 1 =logka, 1 =logkb, 1 =logkc.
x
y
z
所以 1 + 1 + 1 =logka+logkb+logkc=logk(abc)=0.所以 abc=1. xyz
题型三 与对数有关的方程问题 【例3】 解方程: (1)log5(2x+1)=log5(x2-2);(2)(lg x)2+lg x3-10=0.
log2 4 log2 8
2.2.1对数的运算
[题后反思] 1.巧妙引入辅助量k，顺利完成指数与对数的转化
是解题的关键．
2．注意分类讨论思想的应用以及logab·logba＝1的应用．
新知探究
题型探究
感悟提升
课堂达标 1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义) A．logax· logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogax logax n C. n ＝loga x logax D. ＝logax－logay logay ( )．
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 1】 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； 2 3 lg 3＋ lg 9＋ lg 27－lg 5 5 (2) lg 81－lg 27 3 .
解：(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5) ＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2· lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)· lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.
新知探究
题型探究
感悟提升
方法技巧
巧用辅助量化指数式为对数式
对数的概念实质上是给出了对数式与指数式间的关系， 对此内容的考查往往是依据指数式与对数式的互化进行求
值．如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，易
于沟通指对数间的关系，简化求解过程．
1 1 1 【示例】 已知2 ＝3 ＝6 ，证明 z ＝x＋y 或x＝y＝z.
感悟提升
4 ． (2013· 日 照高一检测 ) 计 算 ________． 解析 答案
1 2 3log3 ＋ lg － lg 2
5 的 结果是
原式＝3log32－ lg 2－ lg 5＝3log32－ 1 3log32－ 1
2.2.1对数与对数运算(第二课时——对数运算)
例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）； (2) lg5
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log3 2
.
例3 计算:
2 log 5 2 log 5 3 1 1 log 5 10 log 5 0.36 log 5 8 2 3
巩固练习
1、求下列各式的值
复习引入
1、对数的定义
一般地, ax=N(a>0,a≠1),那么数x 叫做以a为底 N的对数, 记作logaN=x。( 式中的a叫做对数的底数,N叫做真数.) 2、指数式和对数式的互换； log N = x a x = N (a 0, 且a 1) a
复习引入
3、对数的性质 (a 0, 且a 1)
的值。
对数运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
(1).loga (M N ) = loga M loga N ;
M (2).log a = log a M log a N ; N
ห้องสมุดไป่ตู้
(3).loga M = n loga M (n R).
n
应用实例
例1
用logax，logay，logaz表示下列 各式： 2 xy x y (1) log a ; (2) log a 3 . z z
(1).lg 4 2lg 5;
(2).2
2log2 5
(3).2
(6).3
1log2 7
(4).2
log2 3
(5).lg 5 lg 2 lg5 lg 2;
2
1log3 4
（1）负数和零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） log 1 = 0 即：1的对数是0 （ 2） a log a = 1 即：底数的对数是1 （ 3） a
课件10：2.2.1 第2课时 对数的运算
7
+lg
3
7-lg 18
=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(2×9)
=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-lg 2-2lg 3=0.
lg243
(2)
lg9
=
lg
lg
35
32
=
5lg3
2lg3
=
5
.
2
典型例题
探究二 换底公式的应用
+
18
1+g18 9
=
=
+
2−g18 9
log18 5+log18 9
log18 2+log18 18
=
+
.
2−
变式训练3
(1)已知log23=a,3b=7,用a,b表示log1256;
49
(2)已知log32=a,log37=b,试用a,b表示log28 .
8
解：(1)∵3b=7,∴b=log37.
【答案】2
典型例题
探究一 对数运算性质的应用
例1 计算下列各式的值:
(1)log2
(2)lg
7
1
+log224- log284;
96
2
2
2
5 + lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
典型例题
【解析】利用对数的运算性质进行计算.
7×24
1
1
解：(1)(方法一)原式=log2
=log2 =- .
知识梳理
课时作业19：2.2.1 第2课时 对数的运算
第2课时 对数的运算基础过关1.若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则ab 的值为( ) A.2 B.12 C.100D.10解析 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得：lg a ＋lg b ＝－－42＝2，∴ab ＝100.故选C.答案 C2.化简12log 612－2log 62的结果为( ) A.6 2 B.12 2 C.log 6 3D.12解析 原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 答案 C3.(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1D.10－10.1解析 设太阳的星等为m 1，天狼星的星等为m 2，则太阳与天狼星的亮度分别为E 1，E 2，由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，m 2－m 1＝52lg E 1E 2，得52lg E 1E 2＝－1.45＋26.7＝25.25.∴lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，∴E 1E 2＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.答案 A 4.计算10012lg 9－lg 2－log 98·log 433＝________.解析 10012 l g 9－lg 2－log 98·log 433＝10lg 9÷10lg 4－lg 8lg 9 ·13lg 3lg 4＝94－3lg 22lg 3 ·13lg 32lg 2＝94－14＝2. 答案 25.已知3a ＝2，3b ＝15，则2a －b ＝________.解析 ∵3a ＝2，3b ＝15，两边取对数得a ＝log 32，b ＝log 315＝－log 35，∴2a －b ＝2log 32＋log 35＝log 320.故答案为log 320. 答案 log 3206.计算下列各式的值：(1)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72； (2)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53.解 (1)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154. (2)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532 ＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7. 7.设3x ＝4y ＝6z ＝t >1，求证：1z －1x ＝12y . 证明 法一 ∵3x ＝4y ＝6z ＝t >1， ∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg t lg 6， ∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y . 法二 ∵3x ＝4y ＝6z ＝t >1， 两边同时取以t 为底的对数， 得x log t 3＝y log t 4＝z log t 6＝1， ∴1z ＝log t 6，1x ＝log t 3，1y ＝log t 4，∴1z －1x ＝log t 6－log t 3＝log t 2＝12log t 4＝12y .能力提升8.设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B.19 C.18 D.16解析 法一 因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.故选B.法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.故选B. 答案 B9.已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( ) A.3 B.8 C.4D.log 48解析 由2x ＝3得：x ＝log 23，∴x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2log 283log 24＝log 23＋(3log 22－log 23)＝3. 答案 A10.已知x 3＝3，则3log 3x －log x 23＝________. 解析 3log 3x ＝log 3x 3＝log 33＝1，而log x 23＝log3233＝log 3332＝32，∴3log 3x －log x 23＝1－32＝－12. 答案 －1211.已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 020＝4，则f (2 020)＝________.解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 020＝a log 212 020＋b log 312 020＋2＝4，得－a log 22 020－b log 32 020＝2.∴a log 22 020＋b log 32 020＝－2.∴f (2 020)＝a log 22 020＋b log 32 020＋2＝－2＋2＝0.答案012.求值：(1)lg5＋lg20；(2)log89·log2732－(3－1)lg 1＋log535－log57.解(1)lg5＋lg20＝lg100＝lg 10＝1.(2)log89·log2732－(3－1)lg 1＋log535－log57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109.创新突破13.2019年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2019年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年).解设经过x年国民生产总值为2019年的2倍.经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，…经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.08＝lg 2.∴x＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9.故约经过9年，国民生产总值是2019年的2倍.。
教学设计3：2.2.1 第2课时 对数的运算
2.2.1 第2课时对数的运算（一）教学目标1．知识与技能：（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.2．过程与方法：（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想. （2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.3．情感、态度与价值观（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）换底公式及其应用.（2）对数的应用问题.2．教学难点：换底公式的灵活应用.（三）教学方法启发引导式通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.（四）教学过程课后作业作业：习题2.2 学生独立完成巩固新知提升能力。
DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)第二章 2.2.1 第2课时对数的运算
● (2)分析问题中的变量，并根据各个不等关系列出常量与变量x，y之间的不等式;
● (3)把各个不等式连同变量x，y有意义的实际范围合在一起，组成不等式组。
● 高三数学复习知识点2 ● 一、充分条件和必要条件 ● 当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。 ● 二、充分条件、必要条件的常用判断法 ● 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可 ● 2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。 ● 3.集合法 ● 在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则： ● 若A?B，则p是q的充分条件。 ● 若A?B，则p是q的必要条件。 ● 若A=B，则p是q的充要条件。 ● 若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。 ● 三、知识扩展 ● 1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为： ● (1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题; ● (2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题; ● (3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。 ● 2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转
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第二章 2.2.1 对数与对数运算
人教A版高中数学必修1第二章 2.2 2.2.1 第2课时 对数的运算
第2课时对数的运算课时过关·能力提升基础巩固1.若a>0,且a≠1,x>y>0,则下列式子正确的个数是 ()①log a x·log a y=log a(x+y);②log a x-log a y=log a(x-y);③log a xy=log a x÷log a y;④log a(xy)=log a x·log a y.A.0B.1C.2D.3答案:A2.2log510+log50.25等于()A.0B.1C.2D.4解析:原式=log5100+log50.25=log525=log552=2.答案:C3.计算log225·log32√2·log59的结果为()A.3B.4C.5D.6解析:原式=lg25lg2×lg2√2lg3×lg9lg5=2lg5lg2×32lg2lg3×2lg3lg5=6.答案:D4.计算823+log32−log36的结果是()A.16√2−1B.4C.3D.1解析:原式=(23)23+log 326=4+log 313=4−1=3.答案:C5.已知log 23=a ,log 37=b ,则log 27等于( ) A.a+bB.a-bC.abD .ab解析:log 27=log 23·log 37=ab. 答案:C6.若lg x-lg y=t ,则l g (x 2)3−lg (y 2)3=( )A.3tB .32tC.tD.t2解析:l g (x 2)3−lg (y 2)3=3lg x2−3lg y2=3lg xy =3(lg x-lg y )=3t.答案:A7.若lg x=lg m-2lg n ,则x= . 解析:∵lg m-2lg n=lg m-lg n 2=lg mn 2,∴x =mn 2. 答案:mn 28.已知3a =2,用a 表示log 34-log 36= . 解析:∵3a =2,∴a=log 32,∴log 34-log 36=log 322-log 3(2×3)=2log 32-log 32-log 33=a-1.答案:a-19.若2.5x =1 000,0.25y =1 000,则1x−1y=______________________.解析:∵x=log 2.51 000,y=log 0.251 000, ∴1x =1log 2.51 000=log 1 0002.5,同理1y=log 1 0000.25,∴1x−1y=log 1 0002.5-log 1 0000.25=log 1 00010=lg10lg1 000=13.答案:1310.计算:(1)(lg 5)2+3lg 2+2lg 5+lg 2×lg 5; (2lg √10×lg0.1(3)(log 62)2+(log 63)2+3log 62×(log 6√183-13log 62). 解:(1)(lg 5)2+3lg 2+2lg 5+lg 2×lg 5 =lg 5(lg 5+lg 2)+2(lg 2+lg 5)+lg 2 =lg 5×lg 10+2lg 10+lg 2 =2+(lg 5+lg 2) =3.(2lg √10×lg0.1=lg8×1252×5lg1012×lg10-1=lg10212×(-1)=−4.(3)(log 62)2+(log 63)2+3log 62×(log 6√183−13log 62) =(log 62)2+(log 63)2+3log 62×log √183√23=(log62)2+(log63)2+3log62×log6√93=(log62)2+(log63)2+2log62×log63=(log62+log63)2=1.能力提升1.若lg a+lg b=0(其中a>0,b>0,a≠1,b≠1),则函数f(x)=a x与g(x)=b x的图象关于()A.直线y=x对称B.x轴对称C.y轴对称D.原点对称解析:∵lg a+lg b=lg(ab)=0,∴ab=1,∴b=1a.∴g(x)=(1a )x,故函数f(x)与g(x)的图象关于y轴对称.答案:C2.若实数a,b,c满足25a=403b=2 015c=2 018,则下列式子正确的是()A.1a +2b=2cB.2a+2b=1cC.1a +1b=2cD.2a+1b=2c解析:由已知,得52a=403b=2 015c=2 018,得2a=log52 018,b=log4032 018,c=log2 0152 018,所以12a=log2 0185,1b =log2 018403,1c=log2 0182 015,而5×403=2 015,所以12a+1b=1c,即1a+2b=2c,故选A.答案:A3.★某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t.若细菌繁殖到3个、6个、18个所经过的时间分别是t1,t2,t3,则有() A.t1·t2=t3 B.t1+t2>t3C.t1+t2=t3D.t1+t2<t3解析:由题意,得2t1=3,2t2=6,2t3=18,则t1=log23,t2=log26,t3=log218,所以t1+t2=log23+log26=log218=t3.答案:C4.计算lg25+lg 2+lg 2·lg 5=.解析:原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=1.答案:15.已知函数f(x)=x+1,g(x)=−1x,则f(log2 3)+g(log6 2)=_____________.解析:f(log23)+g(log62)=log23+1−1log62=log2 3−log2 6+1=log2 36+1=log2 12+1=log2 2−1+1=−1+1=0.答案:06.若关于lg x的方程lg2x+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0 的两个根是lg α,lg β,则αβ的值是.解析:由题意,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=l g135,故lg(αβ)=lg135,即αβ=135.答案:1357.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,且2x=py.(1)求p;(2)求证:1z −1x=12y.(1)解设3x=4y=6z=k(显然k>0,且k≠1), 则x=log3k,y=log4k,z=log6k.由2x=py,得2log3k=p log4k=p·log3klog34.∵log3k≠0,∴p=2log34.(2)证明1z −1x=1log6k−1log3k=log k 6−log k 3=log k 2.∵12y=12log k 4=log k 2,∴1z−1x=12y.8.★甲、乙两人在解关于x的方程log2x+b+c·log x2=0时,甲写错了常数b得两根为14,1 8 ,乙写错了常数c得两根为12,64.求原方程的根.分析:将方程化为关于log2x的一元二次方程的形式.先利用一元二次方程的根与系数的关系求出b和c,再求出原方程的根.解:由原方程可知x>0,且x≠1.原方程可化为log2x+b+c·1log2x=0,即(log2x)2+b log2x+c=0.因为甲写错了常数b得两根为14,18,所以c=log2 14·log2 18=6.因为乙写错了常数c得两根为12,64,所以b=−(log212+log264)=−5.故原方程为log2x-5+6log x2=0,可化为(log2x)2-5log2x+6=0.解得log2x=2或log2x=3.所以x=4或x=8,故原方程的根为x=4或x=8.。
课件8：2.2.1 第2课时 对数的运算
方法二：原式＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18 ＝lg73142××718＝lg1＝0. (2)原式＝2＋l2gl3g62－＋2l＋g32lg2＝42llgg22＋＋2llgg33＝12. (3)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5) ＝lg25＋1－lg25 ＝1.
跟踪训练 2.
2 原式＝lologg333442＝3lloogg3344＝23.
4．计算：log89·log332＝________.
[答案]
10 3
[解析] 运用换底公式，得 log89·log332＝llgg98·llgg332＝23llgg32·5llgg32＝130.
5．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋eln2＋log 22 2； (2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)．
(2)log927＝lloogg33297＝lloogg333332＝32lloogg3333＝32.
1
11
(3)log2125·log332·log53
＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－3log25·(－5log32)·(－log53)＝－15·llgg52·llgg23·llgg35＝－15.
跟踪训练 3.
计算下列各式的值：
(1)log89·log2732；
(2)log927；
1
11
(3)log2125·log332·log53.
[解析] (1)log89·log2732＝llgg98·llgg3227＝llgg3223·llgg2353＝23llgg32·53llgg23＝
10 9.
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3 (3)loga
高中数学人教版必修1课件：2.2.1 第二课时 对数的运算
lg 125 lg 25 lg 法二：原式＝ lg 2 ＋ lg 4 ＋lg
5 lg 2 lg 4 lg 8 · ＋ 8 lg 5 lg 25＋lg 125
3lg 5 2lg 5 lg 5 lg 2 2lg 2 3lg 2 13lg 5 3lg 2 ＝13. ＝ ＋ ＋ · ＋ ＋ ＝ 3lg 2 · lg 2 2lg 2 3lg 2 lg 5 2lg 5 3lg 5 lg 5 (2)因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是 log189＋log185 a＋b log1845 log189×5 法一：log3645＝ ＝ ＝ ＝ . log1836 182 2log1818－log189 2－a log18 9 lg 9 法二：因为 ＝log189＝a，所以lg 9＝alg 18， lg 18 同理得lg 5＝blg 18， lg 9＋lg 5 alg 18＋blg 18 a＋b lg 45 lg9×5 所以log3645＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . lg 36 182 2lg 18－lg 9 2lg 18－alg 18 2－a lg 9
提示：能．令am＝M，an＝N， ∴MN＝am n.
＋
由对数的定义知logaM＝m，logaN＝n，loga(MN) ＝m＋n， ∴loga(MN)＝logaM＋logaN.
[导入新知] 对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M· N)＝ logaM＋logaN ， M (2)loga N ＝ logaM－logaN ， (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R)．
[类题通法] 解对数方程的方法 根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程： (1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等； (2)化简后得到关于简单对数式(形如lg x)的一元二次方程， 再由对数式与指数式的互化解得x. [注意] 大于零． 在解方程时，需检验得到的x是否满足所有真数都
2.2.1对数与对数的运算第2课时[精选文档]
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即证得 logaMn nlogaM(n R) (3)
对公式容易错误记忆：
loga (MN ) loga M loga N,
log a (M N ) log a M log a N
例3 用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式：
xy
(1)loga
; z
x2 y (2) loga 3 z
M
loga N logaM logaN
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
log a
N
log c log c
N a
(4)
loga b logb a 1
（5）
log am
Nn
n m loga N
（6）
(3 5 15
1) 3
log5 1
log3 31
0 1
重要公式1:
换底公式
log a
N
log c N log c a
(其中a, c (0,1) (1,), N
0)
证明：设 log a N p 则：N a p ,
logc N logc a p,
logc N p logc a,
p logc N logc a
log a
N
log c N log c a
log a
b
log b log b
b a
log a
b
1 log b
a
还可以变形为： log a b logb a 1
重要公式3:
log am
Nn
n m
log a
N
公式中条件： a, c (0,1) (1,), N 0
高中数学2.2.1.2对数的运算
【探究总结】关于对数运算性质的两点说明 (1)利用对数的运算性质时,要注意公式成立的前提条件. (2)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方运算转化为加、 减、乘的运算,加快计算速度.
二、换底公式 探究1:观察换底公式,思考下列问题: (1)换底公式中底数c是特定数还是任意数? 提示:是大于0,且不等于1的任意数.
2.计算:log36-log32=( )
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】选C.log36-log32=log33=1.
3.log32·log23=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.由换底公式知log32·log23=
lg 2 lg 3 1. lg 3 lg 2
4.若x>0,y>0且lgx=a,lgy=b,则lg(x·y)= 【解析】lg(x·y)=lgx+lgy=a+b. 答案:a+b
2
= 1 a-2b+2.
2
类型 二 换底公式
1.若log34·log25·log5m=2,则m=
.
2.(2013·大庆高一检测)已知log23=a,3b=7,试用a,b表示
log1456.
【解题指南】1.将等式左端各对数式均换成以10为底的对数即
可求出m的值.
2.解答本题可先将log1456利用换底公式转化为以3为底的对数, 然后将已知条件代入即可.
探究2:对数的运算性质逆用成立吗?请按下面的提示填空:
①logaM+logaN=
.
②logaM-logaN=
.
③nlogaM=
.
提示:成立.
答案:①loga(M·N) ②loga M ③logaMn
课件3：2.2.1 第2课时 对数的运算
提示
对．利用换度公式：log36＝llgg
63＝lg
2＋lg lg 3
3＝a＋b b.
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对数式与指数式的互化 例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝1218；(2)10－1＝0.1；
(3) log 1 32 ＝－5；(4)lg0.001＝－3.
(2)∵14－2＝16，∴ log 1 16 ＝－2.
4
(3)∵ log 1 8 ＝－3，∴12－3＝8.
2
(4)∵log3217＝－3，∴3－3＝217.
题型二 求解含对数式的方程 例2 求下列各式中 x 的值：(1)log2(log5x)＝0；
(2)logx27＝34；(3)x＝log84.
【解】 (1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，
1
11
(3)log2125·log332·log53
＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－3log25·(－5log32)·(－log53)
＝－15·llgg52·llgg23·llgg35＝－15.
方法感悟
方法技巧 1．logaN＝b 与 ab＝N(a＞0 且 a≠1，N＞0)是等价 的，表示 a，b，N 三者之间的同一种关系，可以 利用其中两个量表示第三个量． 2．利用对数运算法则求值，一般有两种处理方法． 一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的 运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后 化简求值；另一种是它的逆运算．
2.2.1 第二课时 对数的运算
重点难点 重点：运用运算性质进行对数的有关运算． 难点：换底公式的应用．
新知初探思维启动
课时作业18：2.2.1 第2课时 对数的运算
第2课时 对数的运算一、选择题1．设a log 34＝2，则4－a 等于( ) A.116 B.19 C.18 D.16答案 B2．log 29×log 34等于( )A.14B.12C ．2D ．4 答案 D解析 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 3．计算log 849log 27的值是( ) A ．2 B.32 C ．1 D.23答案 D解析 log 849log 27＝23log 27log 27＝23. 4．若x ＞0，y ＞0，n ≠0，m ∈R ，则下列各式中，错误的是( )A ．lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )B ．lg x y ＝lg x －lg yC ．log nmx y ＝m n log x y D ．1lg n x ＝lg x n 答案 A解析 由x ＞0，y ＞0，n ≠0，m ∈R ，得lg x ＋lg y ＝lg(xy )≠lg(x ＋y )，故A 错误；lg x y＝lg x －lg y ，故B 正确；log nm x y ＝lg y m lg x n ＝m lg y n lg x ＝m n log x y ，故C 正确；1lg n x ＝1n lg x ＝lg x n ，故D 正确．5．计算(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.6．下列说法中不正确的是( )A ．log 827×log 98＝32B ．若x ＝y ，则lg x ＝lg yC ．若a ＋a －1＝4，则12a ＋12a -＝ 6D ．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是a －2答案 B解析 log 827×log 98＝log 23×32log 32＝32，所以选项A 正确； 若x ＜0，y ＜0，则lg x 与lg y 无意义，所以选项B 错误； ∵21122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a ＋a －1＋2＝6，且a ＞0，∴12a ＋12a -＝6，所以选项C 正确；log 38－2log 36＝3log 32－2(1＋log 32)＝log 32－2＝a －2，所以选项D 正确．7．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B.19 C ．25 D.125答案 D解析 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 8．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是( )A ．－2B ．－2或5C ．5D ．3答案 C解析 原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.二、填空题9．计算lg 2－lg 15＝________，2log 34＝________. 答案 1 9解析 lg 2－lg 15＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1；2log 34＝4log 94＝9. 10．若x 满足(log 2x )2－2log 2x －3＝0，则x ＝________.答案 8或12解析 设t ＝log 2x ，则原方程可化为t 2－2t －3＝0，解得t ＝3或t ＝－1，所以log 2x ＝3或log 2x ＝－1，所以x ＝23＝8或x ＝2－1＝12. 11．若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y＝________. 答案 1解析 3x ＝4y ＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2，∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y＝log 62， 故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1. 三、解答题12．计算：(1)log 535＋22log －log 5150－log 514； (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245－5log 25. 解 (1)原式＝log 535＋212log ＋log 550－log 514， 5125035=log +log 214⨯ ＝log 5125－1＝3－1＝2.(2)原式()3214lg32lg 49lg 2lg 223=--+ ＝12(lg 25－lg 72)－43×32×lg 2＋lg 7＋lg 5－2 ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5－2 ＝12lg 2＋12lg 5－2 ＝12－2＝－32. 13．2019年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2019年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)解 设经过x 年后国民生产总值为2019年的2倍．经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)，经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2，…，经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ，所以1.08x ＝2，所以x ＝log 1.082＝lg 2lg 1.08＝0.301 00.033 4≈9， 故约经过9年后国民生产总值是2019年的2倍．14．若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝________.答案 829解析 因为x ＝1log 32＝log 23，所以4x ＋4－x ＝22x ＋2－2x 2222222log 3log 3log 3log 3218222229.99--=+=+=+= 15．已知x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z ，求证：1z －1x ＝12y. 证明 令3x ＝4y ＝6z ＝a ，∴a >1， ∴x ＝log 3a ，∴1x＝log a 3， 同理1y ＝log a 4，1z＝log a 6， ∴1z －1x＝log a 6－log a 3＝log a 2， 12y ＝12·log a 4＝12·2log a 2＝log a 2， ∴1z －1x ＝12y .。
学案4：2.2.1 第2课时 对数的运算
2.2.1 第2课时 对数的运算学习目标1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．基础·初探教材整理1 对数的运算性质阅读教材，完成下列问题．对数的运算性质：如果a >0，且a ≠1，M>0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝ ；(2)log a M N＝ ； (3)log a M n ＝ ．练一练1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a xy ＝log a x ·log a y .( )(3)log a (－2)3＝3log a (－2)．( )教材整理2 换底公式阅读教材，完成下列问题．对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．练一练2计算：log 29·log 34＝________.课堂探究类型一：对数运算性质的应用例1求下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18; (2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2；(3)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72； (4)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53.名师指导1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．跟踪训练1．求下列各式的值：(1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25.类型二：对数运算的实际应用例2一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)？ (lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解对数应用题的步骤跟踪训练2.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．探究共研型综合类：对数换底公式的应用探究1 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？探究2 由探究1，你能猜测log c b log c a与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？例3 (1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值.1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ，log m n a b ＝n mlog a b ，log a a n ＝n ，等，将会达到事半功倍的效果． 跟踪训练3.求值：log 225·log 3116·log 519＝________.课堂训练1．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是() ①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |；③log a (xy )＝log a x ＋log a y ；④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |.A ．②④B ．①③C ．①④D ．②③2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( )A ．lg 2B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 53．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________.(用m ，n 表示)4．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.5．已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.参考答案基础·初探教材整理1 对数的运算性质(1) log a M ＋log a N(2)log a M －log a N(3) n log a M (n ∈R )练一练1【答案】 (1)√ (2)× (3)×【解析】 (1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知log a xy ＝log a x ＋log a y ；(3)×.公式log a M n ＝n log a M (n ∈R )中的M 应为大于0的数．练一练2【答案】 4【解析】 由换底公式可得log 29·log 34＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4. 课堂探究类型一：对数运算性质的应用例1 解： (1)法一 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二 原式＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 32(lg 2＋lg 3)＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12. (3)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154. (4)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.跟踪训练1．解：(1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.类型二：对数运算的实际应用例2解：设物质的原有量为a ，经过t 年，该物质的剩余量是原来的13， 由题意可得a ·0.75t ＝13a ， ∴⎝⎛⎭⎫34t ＝13，两边取以10为底的对数得lg ⎝⎛⎭⎫34t ＝lg 13，∴t (lg 3－2lg 2)＝－lg 3， ∴t ＝－lg 3lg 3－2lg 2≈0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4(年)． 跟踪训练2. 1 000 000【解析】设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lg E 1－11.4)， 得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9. 同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9， 从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6.故lg E 1－lg E 2＝lg E 1E 2＝6，则E 1E 2＝106＝1 000 000， 即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．探究共研型综合类：对数换底公式的应用探究1 【答案】 进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log 25log 23. 探究2 【答案】 log c b log c a ＝log a b .假设log c b log c a＝x ，则log c b ＝x log c a ，即log c b ＝log c a x ， 所以b ＝a x ，则x ＝log a b ，所以log c b log c a＝log a b . 例3 解：(1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ， ∴lg 2＝3－a 2alg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . (2)法一 原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二 原式＝⎝⎛⎭⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎫13lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫3lg 2lg 5＝13.法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13. 跟踪训练3. 【答案】 16【解析】 原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16. 课堂训练1．【答案】 B【解析】 ∵xy >0，∴①中，若x <0，则不成立；③中，若x <0，y <0也不成立，故选B.2．【答案】 A【解析】 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝⎛⎭⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A. 3．【答案】 m ＋2n【解析】 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .4．【答案】 2【解析】 原式＝(lg 2)2＋lg 2·(1＋lg 5)＋2lg 5＝lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2.5． 解：法一 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 法二 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b .于是log 3645＝log 189×5log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 法三 ∵log 189＝a ,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg(9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a .。
课件7：2.2.1 第2课时 对数的运算
提示：
1.应用 logaM＋logaN＝loga(MN)，logaM－logaN＝logaMN，及 mlogab＝logabm 来
化简求值．
2.3429＝(4 7 2)2，
3
8＝ 22 ，
245＝7
5.
3．统一为 lg2 或 lg5 的形式便于求值，能使用 lg5＋lg2＝1 求值．
[解]
(1)解法一：原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
【跟踪训练 1】 计算下列各式的值： (1)log2 8＋4 3＋log2 8－4 3； (2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2 3)2＋lg16＋lg0.06. [解] (1)原式＝log2( 8＋4 3· 8－4 3)＝log24＝2. (2)原式＝lg5(lg23＋lg103)＋( 3lg2)2＋lg6－1＋lg(6×10－2) ＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋(lg6＋lg10－2) ＝(1－lg2)(3lg2＋3)＋3(lg2)2－2 ＝3lg2＋3－3(lg2)2－3lg2＋3(lg2)2－2＝1.
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.2.1 对数与对数运算
第2课时 对数的运算
[问题提出] 1.对数的运算性质有哪些？ 2.不同底的对数运算应用什么公式转化为同底的对数运算？ 3.换底公式有哪些变形形式？
[基础自学] 1．对数的运算性质 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝___l_og_a_M_＋__lo_g_aN___； 推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*)． (2)logaMN ＝___l_o_ga_M_－__lo_g_aN____； (3)logaMn＝___n_l_og_a_M__ (n∈R)．
高中数学 2.2.1第2课时 对数的运算 新人教A版必修1
C．2
D．4
【解析】 log29·log34＝llgg 92·llgg 43＝2llgg23·2llgg32＝4.
【答案】 D
4.lloogg2293＝________． 【解析】 lloogg2293＝log39＝log332＝2. 【答案】 2
• 预习完成后，请把你认为难以解决的问 题记录在下面的表格中
自 主 学 习
易
误
• 第2课时 对数的运算
警 示
· 基 础 知 识
• [学习目标]
·
规
范
1. 理 解 对 数 的 运 算 性
指 导
质．(重点)2.知道用换底公式能将一般对数
合
作 探
转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运 课
究
时
· 重
用运算性质进行一些简单的化简与证明(易
作 业
难
疑 点
混点)．
• 一、对数的运算性质
方法
2：因为
log189＝a，即lg
2lg 3 2＋2lg
3＝a，
所以 lg 2＝2（1－aa）lg 3，
又
18b＝5，即
b＝lg
lg 5 2＋2lg
， 3
所以 lg 5＝2ablg 3， 所以 log3645＝2llgg52＋＋22llgg33＝4（12a－ ab＋a）2 ＋2＝a2＋ －ba.
• logab＝______(a＞0，且a≠1；c＞0， 且c≠1，b＞0)． 1
• 特别地：logab·log＝__(a＞0，a≠1，b＞0， b≠1)．
• 1．判断：(正确的打“√”，错误的打 “×”)
• (1)积 、商的对数可以化为对数的和 、
差• (4(．)2由)(l换og底a(公x)式y)可＝得lolgogaaxb·＝lollooggga（（y－－.22(））ba.(
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第2课时对数的运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知log x16=2,则x等于()
A.±4
B.4
C.256
D.2
log x16=2,∴x2=16.
∵x>0且x≠1,∴x=4.
2.2log510+log50.25=()
A.0
B.1
C.2
D.4
=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
3.若log23=a,则log49=()
A. B.a
C.2a
D.a2
9==log23=a,故选B.
4
4.等于()
A.lg 3
B.-lg 3
C.
D.-
=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.
5.若2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),则的值为()
A.4
B.1或
C.1或4
D.
2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),
∴lg(x-2y)2=lg xy,∴(x-2y)2=xy,
∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,
∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,
∴x≠y,∴.
6.计算:2+lg 4+2lg 5-e ln 3=.
2+lg 4+2lg 5-e ln 3=(33+(lg 4+lg 25)-e ln 3=3+2-3=2.
7.log35log46log57log68log79=.
5log46log57log68log79==3.
3
8.若2x=3,log4=y,则x+2y=.
2x=3,∴x=log23.
∴x+2y=log23+2log4=log23+2×=log23+log2=log28=3.
9.如果关于lg x的方程lg2x+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0的两个根是lg α,lg β(α>0,β>0),那么αβ的值是.
,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=lg,
所以lg(αβ)=lg,
∴αβ=.
10.计算:
;
(1)-
-
(2)lg-lg+lg-log92·log43.
原式==1.
(2)(方法一)原式=lg+lg
=lg
=lg 1-=-.
(方法二)原式=(lg 1-lg 2)-(lg 5-lg 8)+(lg 5-lg 4)-=-lg 2+lg 8-lg 4-=-(lg 2+lg 4)+lg 8-=-lg(2×4)+lg 8-=-.
11.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.求的值.
log2(log3(log4x))=0,
∴log3(log4x)=1.
∴log4x=3.∴x=43=64.
由log4(log2y)=1,知log2y=4,
∴y=24=16.
因此×1=8×8=64.
能力提升
1.若lg x-lg y=a,则lg-lg=()
A.3a
B.a
C.a
D.
-lg=3-=3(lg x-lg y)=3a.
2.若2log a(P-2Q)=log a P+log a Q(a>0,且a≠1),则的值为()
A. B.4
C.1
D.4或1
2log a(P-2Q)=log a P+log a Q,得log a(P-2Q)2=log a(PQ).
由对数运算法则得(P-2Q)2=PQ,即P2-5PQ+4Q2=0,
所以P=Q(舍去)或P=4Q,解得=4.
3.已知0<a<1,x=log a+log a,y=log a5,z=log a-log a,则()
A.x>y>z
B.z>y>x
C.z>x>y
D.y>x>z
x=log a+log a=log a,y=log a5=log a,z=log a-log a=log a,
因为0<a<1,又,
所以log a>log a>log a,
即y>x>z,故选D.
4.某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t,若细菌繁殖到3个,6个,18个所经过的时间分别为t1,t2,t3,则有()
A.t1·t2=t3
B.t1+t2>t3
C.t1+t2=t3
D.t1+t2<t3
,得=3,=6,=18,则t1=log23,t2=log26,t3=log218,
所以t1+t2=log23+log26=log218=t3.
5.2x=5y=m(m>0),且=2,则m的值为.
2x=5y=m(m>0),得x=log2m,y=log5m,
由=2,得=2,
即log m2+log m5=2,log m(2×5)=2.
故有m=.
6.已知a>b>1,若log a b+log b a=,a b=b a,则a=,b=.
,再利用指数相等列方程求解.
∵log a b+log b a=log a b+,
∴log a b=2或log a b=.
∵a>b>1,∴log a b<log a a=1.
∴log a b=,∴a=b2.
∵a b=b a,
∴(b2)b=,∴b2b=.
∴2b=b2,
∴b=2,∴a=4.
2
7.已知,log74=b,用a,b表示log4948为.
可得a=log73,由log74=b可得b=2log72,所以log4948=(4log72+log73)=.
8.设x,y,z均为正数,且3x=4y=6z,试求x,y,z之间的关系.
3x=4y=6z=t,由x>0,知t>1,
故取以t为底的对数,
可得x log t3=y log t4=z log t6=1,
∴x=,y=,z=.
∵=log t6-log t3=log t2=log t4=,
∴x,y,z之间的关系为.
9.已知log a(x2+4)+log a(y2+1)=log a5+log a(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8的值.
,可将等式化为log a[(x2+4)·(y2+1)]=log a[5(2xy-1)], ∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).
整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,
配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0,
∴
∴.
∴log8=log8=lo2-1=-log22=-.。