高考《指对幂比较大小》专题

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幂、指、对数的大小比较-高考数学复习

B.a<c0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<cm>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a

指、对、幂数比较大小问题【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)2025年新高考数学一轮复习

指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】【题型1 利用函数的性质比较大小】....................................................................................................................2【题型2 中间值法比较大小】................................................................................................................................3【题型3 特殊值法比较大小】................................................................................................................................4【题型4 作差法、作商法比较大小】....................................................................................................................6【题型5 构造函数法比较大小】............................................................................................................................7【题型6 数形结合比较大小】................................................................................................................................9【题型7 含变量问题比较大小】..........................................................................................................................12【题型8 放缩法比较大小】. (14)1、指、对、幂数的大小比较问题指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同时，如1ax 和2ax ，利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如1log a x 和2log a x ，利用指数函数log a x 单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1 利用函数的性质比较大小】【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.【解答过程】a=30.3>30=1，0<b=0.33<1=0.30，c=log0.33<log0.31=0，∴a>b>c.故选：A.，b=1.20.2，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系是【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知a=log213（）A．a<c1.20=1即b>1；因为y=0.5x为减函数，故0<0.52.1<0.50=1即0<c<1，综上a<c<b.故选：A.【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=(log4a)4,c=log4(log4a)，则（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1，利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1，利用对数函数单调性得到c<0，则比较出大小.【解答过程】因为a=40.3>40=1,b=(log4a)4=0.34<1，且0.34>0，则0<b<1，c=log4(log4a)=log40.3<0，所以a>b>c，故选：A.【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知a=log0.20.3，b=ln a，c=2a，则a,b,c的大小关系为（）A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】利用对数函数的单调性求得a,b的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.【解答过程】因为y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减，所以log0.21<log0.20.3<log0.20.2，即0<a<1，因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增，所以ln a<ln1，即b<0，因为y=2x在R上单调递增，所以2a>20，即c>1，综上，c>a>b.故选：D.【题型2 中间值法比较大小】【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知a=e0.1，b=1―2lg2，c=2―log310，则a，b，c的大小关系是（）A．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.【解答过程】由题意可得：a=e0.1>e0=1，b=1―2lg2=1―lg4，且0=lg1<lg4<lg10=1，则0<b<1，因为log310>log39=2，则c=2―log310<0，故选：B.【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a=―12,b=log65,c=log56，则（）A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【解题思路】取两个中间值1和32，由a =>32，b <log 66=1，1=log 55<c <32即可比较三者大小.【解答过程】a =―12=>=32，b =log 65<log 66=1，1=log 55<log 56=c <log =32，因此b <c <a ．故选：C ．【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知a =e ―1，b =lg a ，c =e 0，则（）A ．b <a <c B ．b <c <a C ．a <b <cD ．c <b <a【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.【解答过程】a =e ―1∈(0,1)，b =lg a =lge ―1=―lge <0，c =e 0=1，所以b <a <c ，故选：A.【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a =0.53.1，b =log 0.90.3，c =log 1312，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c log 0.90.9=1，即b >1；可得c =log 1312=log 32，且y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，则12=log <log 32<log 33=1，即12<c <1；综上所述：a <c b >aB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.【解答过程】因为y =log 0.5x 在(0,+∞)上单调递减，所以log 0.51<log 0.50.6<log 0.50.5，即0<a <1.因为y =x 0.6在(0,+∞)上单调递增，又0.49―0.3=0.7―0.6=，0.6―0.6=，又53>107>1>>10.6，故c >b >1，所以c >b >a .故选：A.【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c 满足2a +a =2，2b +b =c =log 163，则（）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a【解题思路】由对数函数单调性得c <12，构造函数f(x)=2x +x,x ∈R ，由函数的单调性得12<a f(12)，即a >12，所以c <a b >d >cB ．a >b >c >dC ．b >d >a >cD ．a >d >b >c【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.【解答过程】因为a =log 1314=log 34>log 33=1<<⇒13b >d >c .故选：A ．【变式3-3】（2024·天津和平·=2,b =log 123―log 129,c =―13，则有（）A ．a c 3得出b,c 大小.=2可得a =log 132<log 131=0，b =log 123―log 129=log 1213=log 23>1，c =―13=213=>0，下面比较b,c ，因为32>=8，所以3>232，所以b =log 23>log 2232=32，而c 3=3=2<=278，故c <32，所以c c >a .故选：B.【题型4 作差法、作商法比较大小】【例4】（2023·四川成都·一模）若a =3―14，b =―13，c =log 1225，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a【解题思路】先根据指对函数的单调性可得0<a <1，01，再作商比较a,b 的大小，从而可求解.【解答过程】因为0<a =3―14<30=1，0log 12510>log 1212=1，所以c >b >a .故选：D.【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若a =ln22，b =ln33，c =ln55，则（）A ．a 0，所以b >a ；又因为c ―a =ln55―ln22=2ln5―5ln210=ln25―ln3210<0，所以a >c ；综上所述：c <a <b .故选：C.【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若a =ln 26,b =4ln2⋅ln 3,c =(1+ln3)2，则a,b,c 的大小关系是（）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <a <c【解题思路】作差法比较a,b 的大小，利用对数的性质比较a,c 的大小.【解答过程】a =ln 26=(ln2+ln3)2，c =(lne +ln3)2因为ln2+ln3<lne +ln3，所以(ln2+ln3)2<(lne +ln3)2，即a <c ，a =ln 26=(ln2+ln3)2，b =4ln2⋅ln3，则a ―b =(ln2+ln3)2―4ln2⋅ln3=(ln2―ln3)2>0，即b <a ，所以b <a <c .故选：D.【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若a =20.4,b =30.25,c =log 0.70.5，则a,b,c 的大小关系为（）A ．a 1，所以b <a <因为0.52=0.25<0.343，故0.5<=0.732,y =log 0.7x 在(0,+∞)上单调递减，所以log 0.70.5>log 0.70.732=32>a <c ，所以实数a,b,c 的大小关系为b <a <c ，故选：B ．【题型5 构造函数法比较大小】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知a =ln 72，b =ln7×ln2，c =ln7ln2，则（）A ．b <c <aB ．b <a <cC ．a ln7，故c 的值最大．下面比较a ，b 的大小．构造函数f (x )=ln x ―ln2―ln x ⋅ln2=(1―ln2)ln x ―ln2，显然f (x )在(0,+∞)上单调递增．因为f (8)=ln8―ln2―ln8⋅ln2=ln2(2―ln8)=ln2(lne 2―ln8)<0，所以a ―b =f (7)<f (8)<0，所以a b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.【解答过程】先比较a 和b ，构造函数y =x 4在上(0,+∞)单调递增，∵5=5>625256=，∴514>54，即a >b ；又∵4b =5，4c =4log 45=log 454，且45=4×256>54=625，∴ 4c =log 454<log 445=5=4b ，∴b >c ，∴a >b >c .故选：A.【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a =log 0.20.3,b =log 0.30.2,c =log 23，则a,b,c 的大小关系为（）A ．b <c <aB ．c 1，c =log 23>1，又b c=log 0.30.2⋅log 32=lg2―1lg3―1⋅lg2lg3=lg 22―lg2lg 23―lg3，因为函数f (x )=x 2―x =x―14，在0,f (0)=0，又因为12>lg3>lg2>0，所以f (lg3)<f (lg2)<0，所以f (lg2)f (lg3)<1，即lg 22―lg2lg 23―lg3<1，所以bc <1，∴b <c ，即a <b <c ．故选：C ．【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c 满足a 2+log 2a =0,2023―b =log 2023b,c =log 7）A ．a 0，所以12<a <1；设g(x) =―log 2023x ， g(x)在(0,+∞)上单调递减，又g(1)=12023>0,g(2023)=―1<0，所以1< b <2023，因为c =log <log =12，所以c <12.综上可知，c <a log 3π=b >log 33=1，即a >b >1，∵a =ln π=2, c ==ln2下面比较2与 y =x 2与y =2x ，由指数函数y =2x 与幂函数y =x 2的图像与单调性可知，当x ∈(0,2)时，x 2<2x ；当x ∈(2,4)时，x 2>2x由x =(0,2)，故2 <ln π<a < c ，所以b <a <c ，故选：A.【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若log 3x =log 4y =log 5z <―1，则（）A ．3x <4y <5zB ．4y <3x <5zC ．4y <5z <3xD ．5z <4y <3x【解题思路】设log 3x =log 4y =log 5z =m <―1，得到x =3m ,y =4m ,z =5m ，画出图象，数形结合得到答案.【解答过程】令log 3x =log 4y =log 5z =m <―1，则x =3m ,y =4m ,z =5m ，3x =3m +1,4y =4m +1,5z =5m +1，其中m +1<0，在同一坐标系内画出y =3x ,y =4x ,y =5x ，故5z <4y <3x 故选：D.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知a ==log a b,a c =log 12c ，则实数a,b,c 的大小关系为（）A ．a a ，根据单调性得到c =c<=a ，从而得到答案.【解答过程】令f (x )=―x ，其在R 上单调递减，又f (0)=1>0,f (1)=12―1=―12<0，由零点存在性定理得a ∈(0,1)，则y =log a x 在(0,+∞)上单调递减，画出y 1=与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈(0,1)，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c ∈(0,1)，<=1，故log a b <1=log a a ，故b >a ，因为a,c ∈(0,1)，故a c >a 1=a ，由a c=log 12c 得，c =c<=a ．综上，c <a y >zB ．x >z >yC ．z >x >yD ．z >y >x【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y =2x ,y =3x ,y =log 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.【解答过程】解：因为x,y,z 均为大于0的实数，所以2x =3y =log 5z =t >1，进而将问题转化为函数y =2x ,y =3x ,y =log 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，故作出函数图像，如图，由图可知z >x >y 故选：C.【题型7 含变量问题比较大小】【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设a ､b ､c 都是正数，且4a =6b =9c ，则下列结论错误的是（）A ．c 1，所以a =log 4k =1log k 4，b =log 6k =1log k 6，c =log 9k =1log k 9，A.由对数函数的单调性可知，0<log k 4<log k 6<log k 9，可知c <b <a ，故A 正确；B.b (a +c )==1log k6⋅log k 36logk 4⋅log k 9=1log k6⋅2log k 6logk 4⋅log k 9=2logk 4⋅log k 9=2ac ，故B 错误；C.4a ⋅9c =(6b )2=36b =(4⋅9)b =4b ⋅9b ，故C 正确.D.1a +1c =log k 4+log k 9=log k 36=2log k 6=2b ，则1c =2b ―1a ，故D 正确.故选：B.【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若a e a =b ln b (a >0)，则（）A ．a <bB ．a =bC ．a >bD ．无法确定【解题思路】令a e a =b ln b =k ，k >0，构造函数，作出函数图象，即可比大小.【解答过程】因为a >0，所以a e a >a >0，因为a e a=b ln b，所以b ln b>0，可得b>1，令a e a=b ln b=k，k>0，所以e a=ka ,ln b=kb，设f(x)=e x，g(x)=ln x，ℎ(x)=kx，作出它们的图象如图：由图可知a<b.故选项A正确.故选：A.【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且ln c=a ln b,ln a=b ln c，则a,b,c的大小关系是（）A．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【解题思路】分析可知，ln a、ln b、ln c同号，分a、b、c∈(0,1)和a、b、c∈(1,+∞)两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】∵ln c=a ln b,ln a=b ln c且a、b、c均为不等于1的正实数，则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.①若a、b、c∈(0,1)，则ln a、ln b、ln c均为负数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈(1,+∞)，则ln a、ln b、ln c均为正数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足e c+e―2a=e a+e―c，b=log23+log86，c+log2c=2，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据e c+e―2a=e a+e―c可得e c―e―c=e a―e―2a，由此可构造函数f(x)=e x―e―x，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；c+log2c=2变形为log2c=2―c，利用函数y=log2x与函数y=2―x的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．【解答过程】e c+e―2a=e a+e―c⇒e c―e―c=e a―e―2a，故令f(x)=e x―e―x，则f(c)=e c―e―c，f(a)=e a―e―a．和y=e x均为(0,+∞)上的增函数，故f(x)在(0,+∞)为增函数．易知y=―e―x=―1e x∵e―2a<e―a，故由题可知，e c―e―c=e a―e―2a>e a―e―a，即f(c)>f(a)，则c>a>0．易知b=log23+log=log2>2，log2c=2―c，作出函数y=log2x与函数y=2―x的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在(1,2)内，即1<c<2，∴c<b，∴a<c<b．故选：B．【题型8 放缩法比较大小】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=log312,c=log26,d=）A．a>b>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【解题思路】由题意首先得0<a<1,d=<0，进一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2，从而我们只需要比较log34,log23的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.【解答过程】a =0.311.5<0.310=1，所以0<a <1,d =<0，b =log 312=1+log 34>2,c =log 26=1+log 23>2，又因为log 34log 23=ln4⋅ln2ln3⋅ln3<=<1，所以b <c ，即d <a b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．c >a >b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.【解答过程】因为a =log 35=12log 325<12log 327=32，34=<=b =>32且b <2，c =3log 72+log 87=log 78+log 87>=2，所以c >b >a .故选：B.【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a ==6―34,c =log 53―29log 35，则（）A ．a =<=13，故b ∈c =log 53―29log 35=13log 527―19log 325>13log 525―19log 327=23―13=13，所以a 0,c >0，利用比商法结合基本不等式证明c 0，c =ln2.1>0，所以c b=ln2.1log 3.1e=ln2.1×ln3.1<==，又e 2≈7.389<e ，所以<lne =1，所以cb <1，故c e 2，所以>1，所以a <ln2，又ln2<ln2.1=c ，所以a <c ，所以a <c <b ，故选：A.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）设a =log 62，b =log 123，c =log 405，则（）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】取到数计算得1b =1+2lg2lg3，1c=1+3lg2lg5，作差法比较1b ,1c的大小，即可得到b,c 大小，利用中间值25即可比较a,c 大小.【解答过程】∵1b =log 312=1+log 34=1+lg4lg3=1+2lg2lg3，1c=log 540=1+log 58=1+lg8lg5=1+3lg2lg5，∴1b ―1c =2lg2lg3―3lg2lg5=2lg2×lg5―3lg2×lg3lg3×lg5=lg2(2lg5―3lg3)lg3×lg5=lg2(lg25―lg27)lg3×lg5<0，∴1b <1c ，又b >0，c >0，∴b >c .∵1c =1+log 58<1+log =1+log 5532=52，∴c >25；∵1a =log 26=1+log 23>1+log =1+log 2232=52，∴a <25，∴a <c .∴a <c 0>bB ．b >0>aC ．a >b >0D ．b >a >0【解题思路】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得log 23>log 34>log 45，即可判断大小.【解答过程】由3m =4⇒m =log 34，log 23―log 34=lg3lg2―lg4lg3=lg 23―lg2⋅lg4lg2⋅lg3>=4lg 23―lg 284lg2⋅lg3=lg 29―lg 284lg2⋅lg3>0，log 34―log 45=lg4lg3―lg5lg4=lg 24―lg3⋅lg5lg3⋅lg4>=4lg 24―lg 2154lg3⋅lg4=lg 216―lg 2154lg3⋅lg4>0，∴log 23>log 34>log 45，∴b =4m ―5>4log 45―5=0，a =2m ―3<2log 23―3=0，∴b >0>a .故选：B.3．（2024·贵州毕节·一模）已知a =3log 83，b =―12log 1316，c =log 43，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．b >a >ca,b,c ，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断a >b ，即可得答案.【解答过程】由题意可得a =3log 83=3×log 23log 223=log 23>1，b =―12log 1316=―12×log 316log 313=log 34>1，0<c =log 43<1，又log 23―log 34=lg3lg2―lg4lg3=(lg3)2―lg2lg4lg2lg3，由于lg2>0,lg4>0，lg2≠lg4,∴lg2lg4<(lg2+lg42)2=2<(lg3)2，故log 23―log 34>0,∴a >b ，综合可得a >b >c ，故选：A.4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设a =，b =，c =log 34(log 34)，则（）A ．c =1；由y =的值域，且在R 上单调递增可知，0log 33=1，由y =log 34x 在(0,+∞)上单调递减，故c =log 34(log 34)<log 341=0.结合上述分析可知：c <0c >bB ．a >b >cC ．b >c >aD ．c >b >a【解题思路】引入中间变量1，再利用作差法比较b,c 的大小，即可得答案；【解答过程】∵ a =e 13>e 0=1，b =ln2<lne =1，c =log 32<log 33=1∴ a 最大，∵ b ―c =ln2―log 32=lg2lge―lg2lg3=lg2⋅>0，∴ b >c ，∴ a >b >c ，故选：B.6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数a,b,c 满足e 2a 2=e 3b 3=e 5c 5=2，则（）A ．a >b >cB ．a a >cD ．c >a >b【解题思路】先应用指对数转换求出a,b,c ,再转化成整数幂比较即可.【解答过程】因为e 2a2=e 3b 3=e 5c 5=2,所以e 2a =4,e 3b =6,e 5c =10,即得2a =ln 4,3b =ln 6,5c =ln10得a =ln 2,b ==因为y =ln x 是(0,+∞)上的增函数,比较a,b,c ,的大小关系 ,15次幂,因为幂函数y =x 15在(0,+∞)上是单调递增的，比较215,65,103即可,因为215=524288,65=7776,103=1000 所以215>103>65即2>>a >b >c .故选：A.7．（2023·湖南永州·一模）已知a =log 3π,b =1log 3π―1,c =12―log 3π，则（）A ．a 2，c ∈(1,2)，作差法判断出a <c ，从而求出答案.【解答过程】a =log 3π>log 33=1，因为332=>π，所以a =log 3π<log 3332=1.5，所以a ∈(1,1.5)，log 3π―1∈(0,0.5)，故b =1log3π―1>2，2―log 3π∈(0.5,1)，故c =12―log 3π∈(1,2)，令a ―c =log 3π―12―log 3π=2log 3π―(log 3π)2―12―log 3π=―(log 3π―1)22―log 3π<0所以a <c <b .故选：D.8．（2023·陕西西安·一模）已知函数f(x)=―2x ，若2a =log 2b =c ，则（）A ．f(b)<f(c)<f(a)B ．f(a)<f(b)<f(c)C ．f(a)<f(c)<f(b)D ．f(c)<f(b)<f(a)【解题思路】在同一坐标系中作y =c,y =2x ,y =log 2x,y =x 的图像,得到a <c 2―0.001B．log>log2π―1C．log1.85<log1.75D．log33.01>e―0.01【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得log3 3.01>1，由指数函数的性质可得e―0.01<1，即可判断．【解答过程】解：对于A，因为―0.01<―0.001，所以2―0.01<2―0.001，所以A错误；对于B，因为log>log2π2=log2π―1，所以B正确；对于C，因为log1.85>0,log1.75>0，所以log1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log1.75，所以C正确；对于D，因为log33.01>log33=1,e―0.01<e0=1，所以log33.01>e―0.01，所以D正确.故选：BCD．10．（2024·重庆·模拟预测）若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是（）A．b a<c a B．log b a>log c aC．cb a<bc a D．b log c a>c log b a【解题思路】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C;由不等式的性质可判断D.【解答过程】对于A：∵0<a<1，幂函数y=x a在(0,+∞)上单调递增，且b>c>1，∴b a>c a，故选项A错误；对于B：∵0<a<1，∴函数y=log x在(0,+∞)上单调递减，又∵b>c>1，∴log a b<log a c<log a1=0，∴0>1log b c >1log c a，即0>log b a>log c a，故B正确；对于选项C：∵0<a<1，则a―1<0，∵幂函数y=x a―1在(0,+∞)上单调递减，且b>c>1，∴b a―1<c a―1，∴cb a<bc a，故选项C正确；对于选项D：由选项B可知：0>log b a>log c a，∴0<―log b a<―log c a，∵b>c>1，∴c(―log b a)<b(―log c a)，∴b log c a<c log b a，故D错误.故选：BC.11．（2024·重庆·一模）已知3a=5b=15，则下列结论正确的是（）A．lg a>lg b B．a+b=abC>D．a+b>4【解题思路】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.【解答过程】由题意得a=log315>log31>0，b=log515>log51=0，0<1a =log153，0<1b=log155，则0<1a<1b，则a>b>0，对A，根据对数函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增，则lg a>lg b，故A正确；对B，因为1a +1b=log153+log155=1，即a+bab=1，则a+b=ab，故B正确；对C，因为a>b>0，根据指数函数y=在R<，故C错误；对D，因为a>b>0，1a +1b=1，a+b=(a+b=2+ba +ab≥2+=4，当且仅当a=b时等号成立，而显然a≠b，则a+b>4，故D正确；故选：ABD.三、填空题12．（2023·北京昌平·二模）3―2,213,log25三个数中最大的数是log25.【解题思路】利用特殊值1和2作为“桥梁”比较大小即可.【解答过程】∵1<213=<23―2==19<1，log25>log24=2，∴log25>213>3―2，即三个数中最大的数是log25.故答案为：log25.13．（2024·北京通州·三模）已知a=2―1.1，b=log1413，c=log23，则三者大小关系为a<b<c（按从小到大顺序）【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.【解答过程】因为a=2―1.1<2―1=12，b=log1413=log43>log42=12，且b=log1413=log43<1，c=log23>log22=1，故a<b<c，故答案为：a 1，c =―12，从而得到大小关系.【解答过程】因为y =在(0,+∞)上单调递减，1>>故a =<=1且a =>=0，所以a ∈(0,1)，因为y =在R 上单调递减，<0，所以b =>=1，c ==lne―12=―12，故c <a e ，所以lnπ>lne =1，即x =lnπ∈(1,+∞)因为1<2<5，所以0=log 51<log 52<log 55=1，即log 52∈(0,1)，所以x >y ；（2）y =log 52<log =12，且log 52>0，所以log 52∈0,z =e ―12=>=12，所以e ―12∈+∞，所以y <z .16．（23-24高三·全国·对口高考）（1）比较a a b b 与b a a b (a >0,b >0)的大小；（2）已知a >2，比较log (a―1)a 与log a (a +1)大小【解题思路】（1）利用作商法，分类讨论即可；（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.【解答过程】（1）因为a>0,b>0，所以a a b bb a a b=，所以①当a=b>0时，a a b bb a a b==1，所以a a b b=b a a b，②当a>b>0时，ab>1,a―b>0，>1，所以a a b b>b a a b，③当b>a>0时，0<ab<1,a―b<0，>1，所以a a b b>b a a b，综上所述：当a>0,b>0，a a b b≥b a a b.（2）log(a―1)a―log a(a+1)=lg alg(a―1)―lg(a+1)lg a=lg2a―lg(a+1)lg(a―1)lg a lg(a―1)，因为a>2，所以lg(a+1)>0,lg(a―1)>0,lg a>0，所以lg a lg(a―1)>0，由lg(a+1)lg(a―1)<=<=lg2a，所以lg2a―lg(a+1)lg(a―1)>0，所以lg2a―lg(a+1)lg(a―1)lg a lg(a―1)>0，即log(a―1)a―log a(a+1)>0，故log(a―1)a>log a(a+1).17．（23-24高一·湖南·课后作业）比较a，b，c的大小：(1)已知1<x<2，a=(log2x)2，b=log2x2，c=log2(log2x)；(2)已知a=log36，b=log510，c=log714．【解题思路】(1)根据1<x<2，求出log2x的范围，由此判断c＜0，0＜a＜b；(2)a=1+log32，b=1+log52，c=1+log72，由换底公式比较log32,log52,log72大小即可.【解答过程】（1）∵1<x<2，∴0=log21<log2x<log22=1，即log2x∈(0,1)，∴c=log2(log2x)<log21=0，a=(log2x)2<(log2x)1=log2x，∴0＜a<log2x，∴b=log2x2=2log2x>log2x>a，∴c＜0＜a＜b，∴c<a<b；（2）∵a=log36=log3(3×2)=1+log32，b=log510=log5(5×2)=1+log52，c=log714=log7(7×2)=1+log72，又∵0<lg3<lg5<lg7，∴lg2lg3>lg2lg5>lg2lg7，∴log32>log52>log72，∴1+log32>1+log52>1+log72，即a＞b＞c﹒18．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足3x=4y=6z．（1）求证：1z ―1x=12y；（2）比较3x,4y,6z的大小．【解题思路】（1）令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化求出x,y,z，再利用对数的运算即可的证得结果；（2）因为正实数x，y，z，利用作商法可证明大小关系.【解答过程】（1）证明：令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化知x=log3m，y=log4m，z=log6m则1x =log m3，1y=log m4，1z=log m6∴1z ―1x =log m 6―log m 3=log m 2=12y .（2）3x <4y <6z证明：因为正实数x ，y ，z ，∴3x >0, 4y >0, 6z >0，∴3x 4y =3log 3m 4log 4m =3lg m lg34lg m lg4=34×lg4lg3=34log 34=log<3，∴log <1，∴3x <4y∴4y 6z =4log 4m 6log 6m =4lg m lg46lg m lg6=23×lg6lg4=23log 46=log<2，∴log <1，∴4y <6z ∴3x <4y <6z ．19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知函数f(x)=x 2x 2+1(1)判断并证明函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)已知a =f (20.5),b =f (log 25),c =f (0.25)，试比较三个数a ，b ，c 的大小，并说明理由．【解题思路】（1）根据函数单调性的定义判断和证明即可；（2）先比较20.5,log 25,0.25三个数的大小，再利用函数f (x )的单调性即可比较a ，b ，c 的大小.【解答过程】（1）函数f(x)=x 2x 2+1=1―1x 2+1，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2则f(x1)―f(x 2)=1―1x 21+1―1―=1x 22+1―1x 21+1 =22=因为x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，所以x 22+1>0,x 21+1>0，x 1―x 2<0，x 1+x 2>0所以f(x 1)―f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数.（2）因为20.5>20=1，2=log 24<log 25<log 28=3，0<0.25<0.20=1，所以0<0.25<20.5<log 25，由（1）可知函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数，所以f (0.25)<f (20.5)<f (log 25)，即c <a <b .。

专题14 高考中的指对幂大小比较 (学生版)

专题14指、对、幂的大小比较1.常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）log log log a a a M N MN +=；log log log a a a M M N N-=；（3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>；（4）换底公式：log log log c a c bb a=；进而有两个推论：1log log a b b a=（令c b =）；log log m n a an N N m =；2.比较大小的基本思路：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况。

例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可；（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（“分割包围，各个击破”），也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较；（3）利用函数单调性比较大小；例：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）；总之：比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法。

专题01 指对幂比较大小(解析版)

专题01 指对幂比较大小【考点1】指数函数1.定义：函数()1,0≠>=a a a y x叫做指数函数，定义域为R . 2.性质：【考点2】对数函数1.定义：函数()1,0log ≠>=a a x y a 叫做对数函数，定义域是()0,+∞.（1）定义域：R2.性质：【考点3】幂函数1、幂函数定义一般地，形如()f x x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、五种常见幂函数R RR {|0}x x ≥ {|0}x x ≠3幂函数()f x x α=，在(0,)x ∈+∞①当0α>时，()f x x α=在(0,)+∞单调递增； ②当0α<时，()f x x α=在(0,)+∞单调递减；方法一：放缩法1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数 2、指数和幂函数结合来放缩。

3、利用均值不等式等不等关系放缩4、“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维. 方法二：作差法、作商法1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解方法三：构造函数，运用函数的单调性比较学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f （）外衣”比较大小；2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.题型一:简单放缩比较大小例1．（1）、（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.（2）、（2022•天津模拟）设，b ＝0.50.8，c ＝0.8﹣0.5，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．a ＜b ＜cD ．c ＜a ＜b【分析】利用对数函数的单调性可判断＜0.5，再利用指数函数的单调性判断b 、c 即可．【解答】解：∵＜ln＝0.5，0.5＝0.51＜0.50.8＜0.50＝1，即0.5＜b ＜1， c ＝0.8﹣0.5＞0.80＝1，∴a ＜b ＜c ，故选：C ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用【变式训练1-1】、（2021·天津·高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．c<a<b C ．b<c<a D ．a c b <<【详解】2log 0.3<122log 0.4log 0.4=-0.3000.40.4<<=a c b ∴<<. 故选：D.【变式训练1-2】、（2022•东湖区校级三模）已知a ＝log 29，b ＝e 0.6，c ＝20.55，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b ＞a ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b【分析】通过临界值即与函数的单调性即可比较大小．【解答】解：因为a ＝log 29＞log 28＝3，b ＝e 0.6＜e 1≈2.7，所以a ＞b ．又因为e ＞e 0.55＞20.55，所以b ＞c ，所以选项C 正确．故选：C ．【点评】本题主要考查指数对数运算，属于简单题．题型二:作差法或作商法比较大小例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知0.2653log 7log 6a b c ===，，，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）、（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知0.2653,log 7,log 6a b c ===，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>0f x ，所以()50f =，即65【变式训练2-1】、（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知12log 13a =，1312b =，13log 14c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【变式训练2-2】、（2018•新课标Ⅲ）设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则（） A ．a +b ＜ab ＜0B ．ab ＜a +b ＜0C ．a +b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a +b【分析】法二、利用作商法，结合对数的运算性质分析得答案．法一、直接利用对数的运算性质化简即可得答案．【解答】解：法一、∵＝log 0.32+log 0.30.2＝log 0.3（2×0.2）＝log 0.30.4∈（0，1），且a ＝log 0.20.3∈（0，1），b ＝log 20.3＜0， ∴ab ＜0，可得a +b ＜0，结合，可得ab ＜a +b ＜0．故选：B ．法二、∵a ＝log 0.20.3＝，b ＝log 20.3＝，∴＝，，∵，，∴ab ＜a +b ＜0．故选：B ．【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．题型三:利用函数的单调性比较大小例3．（1）、（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知2220a =，2121b =，2022c =，则（） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C（2）、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知2πln 5,5πln 2,10ln πa b c ===，则下列结论正确的是（） A ．b ＞c ＞a B ．a ＞b ＞c C ．b ＞a ＞c D ．c ＞b ＞a【答案】D0f x ，【变式训练3-1】、（2022·江西师大附中三模（理））设23,e 2a b c ===a ，b ，c 大小关系是（） A ．c b a <>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>0f x ，题型四:高考压轴题目例4．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.【变式训练4-1】、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（） A ．a b c <故选：AA 组基础巩固1．（2022·辽宁·高三期中）已知0.21.2a =，0.2log 1.2b =， 1.20.8c =，则（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】D【分析】分别判断出,,a b c 的范围即可.【详解】因为0.21.21a =>，0.2log 1.20b =<， 1.200.81c <=<，所以a c b >>．故选：D2．（2022·吉林·扶余市第一中学高一期中）若0.23a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c <>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>综上可得，c a b >>，故选：C.5．（2022·山东·青岛二中分校高一期中）已知0.22a =，30.3b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <>，所以30.200.30.30.31<<=，又0.20221>=， ∴b<c<a ．故选：C ．6．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）已知6log 8a =，4log 3b =，7log 9c =，则（） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a b c >>7．（2022·安徽·高二开学考试）已知0.3152log 3,log 2,4a b c -===，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】C8．（2022·贵州·模拟预测（文））已知 1.52a =，0.74b =，3log 8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b << B ．b<c<aC ．c<a<bD ．c b a <<【答案】D【分析】利用指数函数2x y =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小．【详解】∵0.7 1.4 1.52422<=<，∴2b a <<， ∵33log 8log 92<=，∴2c <， ∴c b a <<，故选：D.9．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）已知11235515,log 22log 3,5a b c -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，则下列关系正确的是（） A ．b<c<a B ．b a c << C ．c b a << D ．a b c <<10．（2022·浙江·高一期中）设24()5a =，21log 3b =，139()10c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <，12．（2022·四川雅安·模拟预测（理））设a =，31sin 460b =，61ln 60c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．c<a> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．b c a >> 2.71828得2e 7.5<1.609，下面说明)()()246446x x +-+0fx，(f x 6x ，则ln 52ln =1320111ln 1ln 1ln 11219101119⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111ln 20.6932101119g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈+++≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111ln 189⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0.2232，则5ln 52ln 2ln 20.69320.2232 1.60964=+≈⨯+≈，综上，ln 1⎛+++ ⎝14．（2022·河南·三模（理））已知2πln3a =，3πln 2b =，6ln πc =，则下列结论正确的是（） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>0f x ，15．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））若12ln3,lg5,log 6a b c ===，则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．a c b >>【详解】ln3a =>，a c >，22log 5log lg5log 101+log ==∴构造函数()f x =显然函数()f x (0,又20log 5<2(log 5)f <a c b >>故选：D ．16．（2021·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知12log 13a =，14131312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>C 组真题实战练17．（2021·广西师范大学附属外国语学校模拟预测（理））已知5log 6a =，3log 5b =，2log 3c =，32d =，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（） A ．b a d c <<=因此，a b d c <<<故选：D.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；18．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>19．（2020·全国·高考真题（文））设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（） A ．a c b <>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.21．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b22．（2021·全国·高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（） A ．a b c << B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<bf x，。

高考数学复习---《指、对、幂形数的大小比较问题》专项练习题(含答案解析)

高考数学复习---《指、对、幂形数的大小比较问题》专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =，则（） A ．y x z <，故0.50.51log 0log x >=，∵0.5log y x =在定义域上单调递减， 0.501,0log 1x x ∴<<<<， 0.51x ∴<<，∵0.50z >， ∴1log 0log x x z >=， ∵0.51x <<， ∴01z <<，故()0.50,1z∈，则()log 0,1x z ∈，1x z ∴<<，0.5log y y x =，由定义域可知：0y >，又∵0.51x <<，∴()0,1yx ∈，则()0.5log 0,1y ∈，()0.5,1y ∴∈，故y x x <，∵0.5log x x =，0.5log yy x =，∴0.50.5log log x y <，x y ∴>，y x z ∴<<.故选：A.2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +−=，e 1.3c =，则（） A ．a c b <−，显然2()01x f x x −'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>−，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =−+−+，(1)x >−，3()1x g x x'=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<−+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<−⨯+⨯=，13ln1.13(0.10.01)0.2852a =>⨯−⨯=，所以22(1)(10.285) 1.651225a +>+=，28(1) 1.65b +==，22(1)(10.264) 1.597696c +=+=，故222(1)(1)(1)a b c +>+>+，由a ，b ，c 都是正数，故a b c >>．故选：D ．3．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x ，y ，z 满足236x y z ==，则不正确的是（）A ．111x y z +=B ．236x y z >>C ．236x y z >> D ．24xy z >【答案】B【解析】设236x y z t ===，1t >，则2log x t =，3log y t =，6log z t =.选项A ，1log 2t x =，1log 3t y =，1log 6t z =，则111log 2log 3log 6t t t x y z +=+==，故A 正确；选项B ，222log x t ==，333log y t ==，666log z t ==，因为68=69=66=，所以666<<，，又1t >，所以=<=<326y x z <<，故B 不正确；选项C ，241log log 22x t t ==，3271log log 33y t t ==，6661log log 66z t t ==，因为64276<<，又1t >，所以642766lg lg lg log log log lg 4lg 27lg 6t t t t t t =>=>=，即236x y z>>，故C 正确；选项D ，()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t tt t xy ⨯===⨯⨯，因为()22lg 6lg 2lg3lg 2lg324+⎛⎫⨯<= ⎪⎝⎭，所以()()224lg lg 6t xy >，又()()()2622244lg log lg 64t z t ==，所以24xy z >，故D 正确；故选：B.4．（2023春·山东济南·高三统考期中）设方程e e 0x x ++=和ln e 0x x ++=的根分别为p 和q ，函数()()e xf x p q x =++，则（）A ．()42033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】方法一：由e e 0x x ++=得e e x x =−−，由ln e 0x x ++=得ln e x x =−−，因为方程e e 0x x ++=的根为p ，所以函数e x y =与e y x =−−的图象交点P 的横坐标为p ，同理：函数ln y x =与e y x =−−的图象交点Q 的横坐标为q ，因为e x y =与ln y x =互为反函数，所以两函数图象关于y x =对称，易知直线y x =与直线e y x =−−互相垂直，所以,P Q 两点关于直线y x =对称，即,P Q 的中点M 一定落在y x =，亦即点M 为y x =与e y x =−−的交点，联立e y x y x =⎧⎨=−−⎩，解得e 2e2x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，即e e ,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，所以e p q +=−，故()()e e e x x f x p q x x =++=−，则()e e xf x '=−，令()0f x ¢>，得1x >；令()0f x '<，得1x <；所以()f x 在(),1−∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，而()01f =，2322e e 33f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，4344e e 33f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则()43440e e 133f f ⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，4242333342422e e e e e e e 33333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−−−=−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()()4341e 3g x x x x =−−≥，则()11133344444e e 1033333g x x ⎛⎫'=−≥−=−> ⎪⎝⎭，所以()g x 在[)e,+∞上单调递增，所以()()()4433e 33503811255g g <=−<=<=，即434e e 1<03−−，故()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令()()4233213h x x x x x =−−≥，则()1133422333h x x x −'=−−，令()0h x '>，得1x >，所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以()4233423327272722781918e 101010310101010h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=−−⨯=−−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21113333811090101809109101020100100⎡⎤⎛⎫⨯−⨯−==⨯−−⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()3992.159 2.1510200.1025010 2.15100100⎡⎤>⨯−−=⨯>>⎣⎦，则42332e e e 03−−>，故4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上：()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.方法二：前面部分同方法一得，()()e e e x x f x p q x x =++=−，则()e e xf x '=−，令()0f x ¢>，得1x >；令()0f x '<，得1x <；所以()f x 在(),1−∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，而()01f =，2322e e 33f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，4344e e 33f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，因为e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以e 1x x −≥−+，当()0,1x ∈时，1e 1xx <−，所以413344414e 1e e=e e e 133336213f ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=−−<−=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−⎝⎭，即()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，下面比较42,33f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系，设()()()2g x f x f x =−−，()0,1x ∈，所以()()()222e e e e e e 2e 0x x x x g x f x f x −−'''=+−=−+−=+−=，故()g x 在()0,1x ∈上递增，()()10g x g <=，即有222033f f ⎛⎫⎛⎫−−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，亦即4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上：()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.5．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知e 1.02, 1.01a cb ===，则（） A ．a bc <，又()()22120x x x −+=−−≥，10x −≥，即()f x '0≥，故()f x 在[]0,1单调递增，()()00f x f ≥=，则当0.01x =时，()2ln 1.0110>，即()2ln 1.011>，c b >；令()()[]ln 11,0,1h x x x =+∈，则()h x '11x ==+ 当[]0,1x ∈0,10x +>，又()22210x x −+=−≤，1x +，即()h x'0≤，故()h x 在[]0,1单调递减，()()00h x h ≤=，故当0.02x =时，ln1.0210<，即ln1.021<，a b <；综上所述，a b c <<. 故选：A.6．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c −−+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a −−−−⇒+=+−=−，故令()e e x x f x −=−，则()e e c c f c −=−，()e e a af a −=−．易知1eexx y −=−=−和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a −−<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a −−−−=−>−，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+>，2log 2c c =−，作出函数2log y x =与函数2y x =−的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．7．（2023·全国·高三专题练习）已知02,1,1b a b a b <<<≠≠，且满足log b a a b =，则下列正确的是（） A ．1ab >B ．1(1)b a ab +<+ C ．11a b a b a a b b ++−>− D ．52+>a b 【答案】B【解析】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==，所以log 1b a =，或log 1b a =−， ∴b a =(舍去)，或1b a=，即1ab =，故A 错误；又02b a b <<<，故120a a a<<<，∴1a <<(11y x x x=+<<，则2221110x y x x−'=−=>，函数(11y x x x =+<<单调递增，∴1a b a a ⎛+=+∈ ⎝⎭，故D 错误；∵02b a b <<<，11a b<=< ∴1212a b b <<<+<，令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x −'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增， ∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+， ∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确；∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==−单调递增，故函数x xy a b =−单调递增，∴11a a b b a b a b ++−<−，即11a b a b a a b b ++−<−，故C 错误. 故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e 2xf x x =+−的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+−的零点为b ，则下列不等式中成立的是（） A ．1a b ⋅> B ．e ln 2a b +<C ．223a b +<D ．2214a b >【答案】C【解析】由()0f x =，()0g x =得e 2x x =−，ln 2x x =−，因为e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，在同一坐标系下，画出e x y =，ln y x =，y x =，2y x =−的图象，则()1,12y xC y x=⎧⇒⎨=−⎩，(),e a A a ，(),ln B b b ，,A B 关于()1,1对称. 所以2a b +=，e ln 2a b +=，故B 错误. 因为0a >，0b >，a b ¹，所以()214a b ab +<=，故A 错误.因为()e 2x f x x =+−，()e 10xf x '=+>，()f x 在R 上为增函数，()00e 20f =−<，13022f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以102a <<.又因为点(),e aa 在直线2y x =−上，且2ab +=，所以e 2a a b =−=.22221e e 34a a b a +=+<+<，故C 正确. 因为e a b =，所以e aa ab =，设()10e 2x x h x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，()10e x x h x −'=>，()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为增函数.所以()12h x h ⎛⎫< ⎪⎝⎭即a b <22114e 4a b <<，故D 错误. 故选：C9．（2023·全国·高三专题练习）在给出的①3log 3ππ<；②56log 6log 7>ln 21<．三个不等式中，正确的个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】①令3log ()x f x x=，则3log ()f πππ=，3log 31(3)33f ==，所以21ln ()ln 3xf x x −'=，在(e,)+∞上()0f x '<，即()f x 递减，而3e π>>，所以()(3)f f π<，即3log 13ππ<，故3log 3ππ<，正确；②令ln(1)()log (1)ln xx f x x x+=+=，则2ln (1)ln(1)()(1)(ln )x x x x f x x x x −++'=+，又ln y x x =，在(1,)+∞上ln 10y x '=+>，则y 递增，所以，在(1,)x ∈+∞上ln (1)ln(1)0x x x x −++<，即()0f x '<，则()f x 递减，所以56(5)log 6(6)log 7f f =>=，正确；③2ln 2(e e ==>=>，而e xy =ln 21>，错误.故选：C10．（2023·全国·高三专题练习）设2022ln 2020a =，2021ln 2021b =，2020ln 2022c =，则下列选项正确的是（） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D 【解析】令()ln x f x x =，则'()f x 21ln x x−=，令'()f x 0=，解得e x =，故当e x >时，()f x 单调递减，故()()20202022f f >，即ln 2020ln 202220202022>，则2022ln 2020a =>2020ln 2022c =.令()()ln 1h x x x =−+，则'()h x 1111x x x =−=++，故当0x >时，()h x 单调递增，10x −<<时，()h x 单调递减，则()()00h x h ≥=，即()ln 1x x +≤.b a −=2021ln 20212022ln 20202021ln 20212021ln 2020ln 2020−=−−112021ln 1ln 20202021ln 2020020202020⎛⎫=+−≤⨯−< ⎪⎝⎭，故b a <； 2020ln 20222021ln 20212021ln 2022ln 20222021ln 2021c b −=−=−−112021ln 1ln 20222021ln 2022020212021⎛⎫=+−≤⨯−< ⎪⎝⎭，故c b <；综上所述：c b a <<. 故选：D.11．（2023·全国·高三专题练习）已知1ln 2a =，()ln lg 2b =，()lg ln 2c =则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b c a >>【答案】A【解析】先比较,a b ，易知1lg 22<,故1ln(lg 2)ln 2<，即b a < 又10e <，故1x >时ln lg x x >，01x <<时ln lg x x < 故11lgln 22>，而1ln 22>，故11lg(ln 2)lg ln 22>>，有c a > 故选：A12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a ，b 满足28log 3log 6a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2b a >> D ．2a b >>【答案】D【解析】()28221log 3log 6log 3log 233a =+=+⨯2241414317log 3log 233333233=+>=⨯+=>，所以2a >；由51213a a b +=且2a >，所以51225144169a a +>+=，所以2b >，令()51213x x xf x =+−，2x >，令20t x =−>，则2x t =+，则()51213x x x f x =+−，2x >等价于()2551441216913t t tg t =⨯+⨯−⨯，0t >；又()255144121691316912169130t t t t tg t =⨯+⨯−⨯<⨯−⨯<，所以当2x >时，()512130x x xf x =+−<，故5121313a a b a +=<，所以2a b >>.故选：D.13．（2023·全国·高三专题练习）已知24ln 25a =+， 1.222b =+， 2.12c =，则（）A ．a b c <⎢⎥⎣⎦，所以b c >；令()()1ln 1f x x x x =−−>，1()10'=−>f x x，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，因为0.221>，所以0.2(2)(1)f f >，即0.20.221ln 20−−>，所以()1.20.20.20.20.22224ln 22222ln 2221ln 205b a −=+−−=⋅−−=−−>，所以b a >；同理0.121>，所以0.1(2)(1)f f >，即0.10.121ln 20−−>，也即0.10.112ln 20−+<，所以()2.10.120.10.10.124ln 2244ln 22241ln 2205a c −=+−=+−⋅=+−<，所以a c <. 综上，a c b <<，故选：D.14．（2023·全国·高三专题练习）已知a =eb =，c =，则（）A ．a b c <=，1eb =<=所以a b >；又()222c ==+−构造()2222xf x e x x =−++，则a c f−=因为()()()22222222211x xx x e f x e x x x ⎡⎤−+−⎣⎦=−=−+−+，()21110x −+≥> ，由于函数()f x 的分母为正数，此时只需要判断分子()2222xx x e ⎡⎤−+−⎣⎦的符号，设22()(22)2,()0,x xg x x x e g x x e '=−+−=≥则()g x 在R上递增，(0)0g g >=，即当0x > 时，()f x 的分子总是正数，()()()00,f x x ∴>∈+∞ ，0a c f−=>，即a c >，应用排除法，故选：B.15．（2023·全国·高三专题练习）已知ln72a =，ln63b =，ln54c =，则（） A ．b<c<a B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】B【解析】对a ，b ，c 取对数得：ln ln 2ln 7a =⋅，ln ln3ln 6b =⋅，ln ln 4ln5c =⋅，令()()ln ln 9f x x x =⋅−(24x ≤≤)，()()ln 9x f x x−'=−()()()9ln 9ln ln 99x x x xx x x x −−−=−−，令()ln ,1g x x x x =>，()ln 10g x x '=+>，即()ln g x x x =在(1,)+∞上单调递增，由24x ≤≤得，951x x −≥>>，于是得()()9ln 9ln x x x x −−>，又()90x x −>，因此，()0f x ¢>，即()f x 在[]2,4上单调递增，从而得()()()234f f f <<，即ln 2ln 7ln3ln 6ln 4ln5<<，ln ln ln a b c <<，所以a b c <<. 故选：B16．（2023·全国·高三专题练习）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（）A ．a b c <=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()2121x f x x −='=+，由于()()2214122x x x x x x +−+=−=−所以当0<x <2时，()21410x x +−+>()1x >+，()0f x ¢>，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011，即a c >；令()()ln 121g x x =+，则()00g =，()212212x g x x −=+'，由于()2214124x x x +−+=−，在x >0时，()214120x x +−+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021，即b <c ；综上，b<c<a ，故选：B.[方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=−−> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'−<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,ff b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=−+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x −−+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,gg a c =∴综上，b<c<a ，故选：B.17．（2023·全国·高三专题练习）设4log 3a =，5log 4b =，0.012c −=，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b a c <，即84105455>=，4555log 4log 50.8∴>=；81043>，即84105344<=，4544log 3log 40.8∴<=；54log 4log 3∴>，即a b <.设()()210x f x x x =−−<，则()2ln 21xf x '=−，当0x <时，()20,1x ∈，又()ln 20,1∈，()2ln 20,1x∴∈，()0f x '∴<，()f x \在(),0∞−上单调递减，()()00f x f ∴>=，即当0x <时，21x x >+，0.0120.0110.990.9−∴>−+=>，0.015log 42−∴<，即b c <.综上所述：a b c <<. 故选：B . 二、多选题18．（2023·全国·高三专题练习）当121x x <<时，不等式1221e e 0x xx x −<成立．若e e a b >>，则（） A ．e 1e e b b −> B ．e e e aa b b +<C ．e ln b a b a <D ．e ln a ab b >【答案】AD【解析】当121x x <<时，不等式12122112e e e e 0x x x x x x x x −<⇔<，令e (),1xf x x x=>，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，因e>1b >，则ee 1e e ()(e)e e eb b f b f b b −>⇔>⇔>，A 正确；因e a b >>1，则e e e e ()(e )e e eaa b aa b a f b f b b +>⇔>⇔>，B 不正确；由e e a>知，1a >，有()()e 1e 1e a a f a f a a>⇔>>⇔>，则ln ln 1a a a a >⇔<，由选项A 知，e 1b b>，即e ln e ln b b aa b a b a >⇔>，C 不正确；由e e ab >>得，ln 1b a >>，则ln e e (ln )()e ln ln b aa fb f a ab b b a>⇔>⇔>，D 正确. 故选：AD19．（2023·全国·高三专题练习）已知01b a <<<，则下列不等式成立的是（） A ．log log a b b a C ．ln ln a b b a <D ．ln ln a a b b >【答案】BC【解析】选项A ：()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b−+−−=−==由01b a <<<，可得lg lg 0b a <<，则lg lg 0b a >，lg lg 0b a −<，lg lg 0b a +< 则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b−+>，则log log a b b a >.判断错误；选项B ：由01a <<，可得log a y x =为(0,)+∞上减函数，又0b a <<，则log log 1a a b a >=.判断正确；选项C ：由01a <<，可知xy a =为R 上减函数，又b a <，则a b a a >由0a >，可知a y x =为(0,)+∞上增函数，又b a <，则a a b a <，则b a a b > 又ln y x =为(0,)+∞上增函数，则ln ln b a a b >，则ln ln a b b a <.判断正确；选项D ：令211e e a b ==，，则01b a <<<，e ln l 111e n e a a =−=，222ln ln 112e e eb b =−=则22122e0e ln eln e a a b b −−+==<−，即ln ln a a b b <.判断错误.故选：BC20．（2022·全国·模拟预测）下列不等式关系成立的是（） A ．57log 6log 8C ．0.40.60.40.6<D ．π3sin3>+【答案】BCD【解析】A 选项：当n ∈N 且3n ≥时，有()log 1n n −+()()22log 1log 1log 2n n n n n n +=−<=，进一步可得()()log 1log 11n n n n −⋅+<，（()()2log 1log 1n n n n >−++>）从而得当n ∈N 且3n ≥时，有()()1log 1log n n n n −+<，所以567log 6log 7log 8>>，故A 选项不成立.B 选项：令π()sin ,(0)2f x x x x =−<<，则()cos 10f x x '=−<，所以在π(0,)2上函数()f x 单调递减，所以()(0)0f x f <=，也即在π(0,)2上，()sin 0f x x x =−<，即sin x x <，所以当π02α<<时，0sin 22αα<<，22cos 12sin1222ααα⎛⎫=−>− ⎪⎝⎭，即21cos 12αα>−，在上式中取13α=，得211117cos 132318⎛⎫>−⨯= ⎪⎝⎭，即118cos 173>，故B 选项成立.C 选项：因为()()520.40.40.40.16==，()50.630.60.60.216==，所以0.40.60.40.6<，故C 选项成立.D 选项：当π02α<<时，sin αα<，取π3α=−，得()sin π3π3−<−，即π3sin3>+，故D 选项成立.21．（2022春·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）下列大小关系正确的是（）． A ．2 1.91.92，()f x 递增，而0 1.92e <<<，所以(1.9)(2)f f <，即ln1.9ln 21.92<，2 1.9ln1.9ln 2<，即2 1.91.92<，A 正确；2.9322288.41 2.9<=<=，B 正确；770log 4log 12<<，所以222777777(log 4log 12)(log 48)(log 49)log 4log 121444+⋅<=<=，所以71271log 4log 7log 12<=，C 正确； 10102264(2)102410==>，76107823543104=<<， 7107710log 4log 417=>，所以77log 40.710>=， 472401=，341217287=<，所以3412124log 7log 713=>，123log 70.754>=，所以712log 4log 70.70.75 1.45+>+=>D 错．故选：ABC ．22．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e yx x y ++=+，则下列结论一定正确的是（） A ．()ln 0x y −> B ．122x y +< C ．226x y +> D ．()ln ln 3x y +<【答案】AC【解析】令()e x f x x =，则()()2e 1e e xx x x x f x x x−−'==，所以当1x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增；由()()1e 11e yxx y ++=+得1e e 111x y x y y +=+++，即1e e 111x y x y y +−=++，∵1y >，∴11012y <<+， ∴1e e 1012x y x y +<−<+，即()()1012f x f y <−+<， ∴1x y >+，即1−>x y ，∴()ln 0x y −>，A 正确；由1x y >+知12x y +>+，所以12222x y y ++>>，所以选项B 错误；由1x y >+知12222326x y y y y ++>+=⋅>，所以选项C 正确．由1x y >+，1y >知213x y y +>+>，所以()()ln ln 21ln 3x y y +>+>，所以D 错误，故选：AC ．23．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若2ln ln b b a a a +=+，则下列式子可能成立的是（） A ．1a b >> B ．1b a >> C ．1b a >> D ．1a b >>【答案】BCD【解析】令()ln f x x x =+，0x > 则()110f x x=+>'恒成立，所以()ln f x x x =+单调递增，其中1110e ef ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，()110f =>，则存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =①当a b >时，2ln ln ln a a a b b a a +=+<+ 即()()1ln 0a a a −+<，若1a ≥，则ln 0a a +>，且10a −≥，则()()1ln 0a a a −+≥，不满足()()1ln 0a a a −+<，故1a <，且()0f a >，所以01x a <<又因为a b >，所以1a b >>，D 正确； ②当a b <时，2ln ln ln a a a b b a a +=+>+，即()()1ln 0a a a −+>（1）当1a >时，10a −>，ln 0a a +>，则()()1ln 0a a a −+>成立，故1b a >>，B 正确；（2）当1a <时，10a −<，若()()1ln 0a a a −+>，则ln 0a a +<，因为()00f x =，且()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，所以当00a x <<时，ln 0a a +<，则2ln 0a a a +<，所以ln 0b b +<，所以1b <，又因为a b <，所以1b a >>，选项C 正确. 故选：BCD24．（2022春·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知0e sin e sin y xx y x y π<<<，＝，则（） A ．sin sin x y − C ．sin cos x y > D ．cos sin x y >【答案】ABC【解析】由题意，0e sin e sin y xx y x y π<<<，＝，得0y x −> ，e sin e sin y xy x=，e 1y x−>，∴sin 1sin y x >，∴sin sin y x >，A 对； e e sin sin y x y x =，令e (),(0,)sin xf x x xπ=∈，即有()()f x f y =，令2e (sin cos )()0,sin 4x x x f x x x π=='−=，()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，因为()()f x f y = ，∴04x y ππ<<<<，作出函数e (),(0,)sin xf x x xπ=∈以及sin ,[0,]y x x π=∈ 大致图象如图：则30sin sin 4y y x ππ<−<>，，∴sin()sin y x π−>，结合图象则y x π−>， ∴cos()cos y x π−<，∴cos cos x y >−，B 对；结合以上分析以及图象可得2x y π+>，∴2x y π>−，且,4224y y πππππ<<−<−<，∴sin sin cos 2x y y π⎛⎫>−= ⎪⎝⎭，C 对；由C 的分析可知，224y x πππ−<−<<，在区间[,]24ππ−上，函数cos y x = 不是单调函数，即cos()cos 2y x π−<不成立，即sin cos y x <不成立，故D 错误；故选：ABC ．25．（2022·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）下列不等式正确的有（）A ．90911013100125> B ．5645⎛⎛> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．23e2>D ．3tan12> 【答案】AD 【解析】由90901223390909090909090101(10.01)1C 0.01C 0.01C 0.01C 0.01100=+=+⨯+⨯+⨯++⨯122339090901C 0.01C 0.01C 0.01>+⨯+⨯+⨯10.90.40050.11748 2.4=+++>，则有909110130.024100125>=，A 正确；假定56(()45<5625656(452545()4⇔<⇔<<，令2(1)()ln ,11x f x x x x −=−>+，求导得，()f x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0f x f >=，即当1x >时，2(1)ln 1x x x −>+，62ln 511>，62511>，令()ln 1g x x x=>，求导得，()g x 在(1,)+∞上单调递减，则()(1)0g x g <=，即当1x >时，ln x<25ln 24<2524< 260114911⇔−>⇔>因49>256245<成立，所以56((45<成立，B 不正确；假定23e2<，有23333133e 2ln ln ln 2222222<⇔<⇔−<⇔−< 令()ln ,1h x x x x =−>，，则()h x 在(1,)+∞上单调递增，32>，则3()2h h >，所以23e 2<成立，C 不正确；令tan ,02y x x π=<<，求导得，，曲线tan y x =在3x π=处切线方程为4()3y x π=−令()tan 4()33x x x x ππϕ=−−<<，求导得，即()ϕx 在(0,)3π上单调递减，而13π<，则(1)()03πϕϕ>=，即3543 3.153tan14(1)()(2.5 1.74)3223232ππ>−+>++−⨯=，D 正确.故选：AD26．（2022·全国·高三专题练习）已知1201x x <<<，下列不等式恒成立的是（）A ．1221e e x xx x >B ．2112ln ln x x x x <C ．1122ln ln x x x x <D ．1221ln e l e n x xx x +<+【答案】AB 【解析】令()()()()1,0,1,,e e 0x xx xf x x f x f x '−=∈=>在()0,1x ∈内单调递增. 1201x x ∴<<<时，1212e ex x x x<，即2112e e ,x x x x <A 选项正确；令()()()()2ln 1ln ,0,1,0,x x g x x g x g x x x−=∈>'=在()0,1x ∈内单调递增， 121212ln ln 01,x xx x x x ∴<<<<，即2112ln ln x x x x <，B 选项正确；令()()()()ln ,0,1,ln 1,0,1h x x x x h x x x '=∈=+∈，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()()0,h x h x '<单调递减，当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '>单调递增，()1h x 与()2h x 大小不确定，C 错误；当1201x x <<<时，2112ln ln 00e e x xx x +<+>，D 错误故选：AB。

一网打尽指对幂等函数值比较大小问题 (9大核心考点)课件-2024年高考数学二轮复习(新教材新高考)

（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
=++

!
+ ⋯+
② = −

!

+ !
③ = −

!

!
+

!
+
− ⋯+
−

!

+

(+)!
+

(−) (+)! +
B． < <
C． < <
D．b < c < a
【答案】D
【解析】因为 =
9
8
3
4
1
2
=
9
16
1
4
> 0， =
2
3
3
4
=
8
27
1
1
4
又因为 = 在 0, +∞ 上单调递增，所以
1
1
>
1 4
16
=
1，即
2
1
4
2
>
1
1
> > 2，
9
16
1
4
>
1
上单调递增，所以ln 3 < lne2，即 = ln1.5 < 2，
1
1
1
1
B．e > 1+ ( < 0)
A．ln 1 + >
( > 0)

指数、对数、幂比较大小(原卷版)高考数学专题03 十大方法

专题03“十大方法”，玩转指对幂比较大小方法一：单调性法【典例分析】典例1-1．设0.93a =，0.59b =，1213c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）．A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．b c a>>典例1-2．0.302a =.，0.40.2b =，0.2log 0.1c =，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>【变式训练】1．设0.4log 2a =，21log 0.3b =，0.40.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．a b c<>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．a b c>>方法二：“媒介数”法【典例分析】典例2-1．已知0.33a =，2log 6b =，0.3log 2c =，则三数大小关系为（）A ．a b c<>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【变式训练】1．已知0.412log 1.41,2,ln 2a b c ===，则（）A ．a c b<>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．c b a>>方法三：作差法【典例分析】典例3-1．设6log 2a =，12log 3b =，40log 5c =，则（）A ．a b c<>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a>>【变式训练】1．已知3log 2a =，4log 3b =，πsin 6c =，比较a ，b ，c 的大小为（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．b ＞a ＞c2．设1,22a b c ===，则,,a b c 的大小顺序是（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b>>D ．b c a>>方法四：作商法【典例分析】典例4-1．）已知0.40.8a -=，5log 3b =，8log 5c =，则（）A ．a b c<>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．b c a>>【变式训练】1．已知41291log ,log ,0.90.8204p m n ===，则正数,,m n p 的大小关系为（）A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n>>D ．p n m>>2．已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（）A ．p m n>>B ．m n p>>C ．m p n>>D ．p n m>>方法五：构造函数【典例分析】典例5-1．已知()2log 22a a a =≠，()3log 33b b b =≠，()4log 44c c c =≠，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．c b a <<D ．a c b<<典例5-2．设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．a b c>>2．已知0.1sin 0.1,ln1.1,e 1.005a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b>>方法六：乘方法【典例分析】典例6．已知3log 5a =，5log 7b =，43c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．a c b>>【变式训练】1．已知5log 3a =，13log 8b =，1-2e c =，则下列判断正确的是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．<<c a bD ．<<b c a方法七：对数法【典例分析】典例7．已知1011910911a b c ===，，，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c<a<bB ．b a c <<C ．a b c <<D ．c b a<<【变式训练】1．已知20232022a =，20222023b =，2022log 2023c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c<>B ．b c a >>C ．c a b>>D ．b a c>>【变式训练】1．已知函数()()()3e ,ln ,xf x xg x x xh x x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．a b c>>B ．c a b>>C ．b c a>>D ．b a c>>方法九：特殊值法【典例分析】典例9．已知31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记sin cos log ,log sin ,log tan x y z αααααα===，则x ，y ，z 的大小关系正确的是（）A ．x y z <>>且2αγβ<，设log a αγ=，log b βα=，log c γβ=，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b方法十：放缩法【典例分析】典例10-1．若4log 3a =，5log 4b =，0.032c -=，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．a b c<<典例10-2．已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【变式训练】1．设0.302a =.，3log 4b =，4log 5c =，则（）A ．a b c <a >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．a b c>>2．已知155a =，1925b =，154.5=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c<a<bB ．c b a<<C ．a c b<<D ．a b c <<3．设151627log 3,e ,log 9log 8a b c -===⋅，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <>B ．c a b >>C ．b c a>>D ．b a c>>6．已知实数2log 3a =，3log 4b =，54c =，那么实数a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．c b a>>7．设x 、y 、z 为正实数，且111234xyz⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．234x y z <<B ．423z x y<<C ．324y x z<=D ．423z x y =<8．若实数m ，n ，p 满足354m e =，235n e =，218p e =，则（）A ．p m n <<B ．p n m<<C ．m p n<<D ．n p m<<9．设2ln 2a =，3ln 3b =，e c =（e 2.718≈ ），则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b10．设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin 0.06c =+，则a ，b ，c 大小关系是（）A ．c b a<>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．a b c>>13．已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b>>D ．c b a>>14．已知1e a b <<<（e 为自然对数的底数），则（）A ．b aa b >B ．ee aba b >C ．ee ba a a >D ．ee bb a a <15．已知2log a =3log 2b =，52log 2c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c a b<<D ．b<c<a16．设a ＝1101，b ＝ln1.01，c ＝0.01e 1-，则（）A ．a <b <cB ．b <c <aC ．b <a <cD ．c <a <b。

数学专题指对幂比较大小必刷100题

专业专心专注µ专题指对幂比较大小必刷100题1任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1已知a =53-12，b =log 25，c =log 37，则a ，b ，c 的大小顺序是()A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a【答案】D【解析】因为a =53 -12=3512<1，b =log 25>log 24=2，1=log 33<c =log 37<log 39=2，所以b >c >a 故选：D2已知a =ln 1π，b =e 13，c =log π3，则a ,b ,c 大小顺序为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】D 【解析】∵a =ln 1π<ln1=0，b =e 13>e 0=1，0=log π1<c =log π3<log ππ=1，∴b >c >a .故选：D .3已知a =ln 1π，b =e 13，c =log π3，则a ,b ,c 大小顺序为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】D 【解析】因为a =ln 1π<ln1=0，b =e 13>e 0=1，c =log π3∈0,1 所以b >c >a 故选：D【点睛】本题考查的是对数、指数幂的比较，较简单.4设a =34-34，b =432，c =log 232，则a ，b ，c 的大小顺序是A.b <a <c B.c <a 1,且4334<432=b ,又c =log 232<log 22=1.故c <a 2-b=log12b，而2a=log12a，∴log12a>log12b，∴a<b．又12c=log2c且12 b=log12b，由图象可知c>1，0<b<1，故a<b<c，故选D．考点：利用函数图象比较大小.6若a=0.20.8，b=0.80.2，c=1.10.3，d=lg0.2，则a，b，c，d的大小关系是()A.c>b>a>dB.c>a>b>dC.b>c>a>dD.a>c>b>d【答案】A【解析】由指数函数的单调性知：0.20.2>0.20.8，1.10.3>1.10=1由幂函数的单调性知：0.80.2>0.20.2，所以c>1>b=0.80.2>0.20.2>0.20.8=a>0，又由对数函数的单调性可知：d=lg0.2<lg1=0综上有：c>b>a>d.故选：A7设a=log3π，b=2log32，c=4ln1e，则a，b，c大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【解析】解：因为ln1e<ln1=0，所以0<4ln1e<40=1，即0<c<1，又2log32=log322=log34>log3π> log33=1，即b>a>1，所以b>a>c；故选：B8已知5a=2,b=ln2,c=20.3，则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b【答案】B【解析】由5a=2⇒a=log52=log54<log55⇒a<12，由ln e2>ln4>ln e⇒1>b>12，c=20.3>1，所以c>b>a，故选：B9已知a=454.1,b=45 -0.9,c=54 0.1，则这三个数的大小关系为()A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【答案】B第2页共31页专业专注专心专业专心专注【解析】b =45-0.9=540.9，因为y =54x在R 上单调递增﹐则b >c >1，又a =454.1<45=1.故b >c >a .故选：B .10若a =225,b =325,c =12 25,d =1325，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A.a >b >c >dB.b >a >d >cC.b >a >c >dD.a >b >d >c【答案】C【解析】解：a =225>20=1,b =325>30=1,c =1225<12=1,d =1325<13=1，另外a b =225325=2325<23=1，则b >acd =12 251325=3225>32=1，则c >d故b >a >c >d 故选：C .11已知a =12-0.8，b =log 1223，c =40.5则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <c <bB.a b >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b【答案】B【解析】由3a =2可得，a =log 32=ln2ln3，因为ln3>1>ln2>0，所以ln2ln3<ln2<1，又因为c =20.3>20=1，所以c >b >a .故选：B .13已知a =43，b =log 34，c =3-0.1，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b【答案】A 【解析】因为a =43=log 3343，343 3=34=81>43=64，所以log 3343>log 34，即a >b .第3页共31页又因为b=log34>log33=1，c=3-0.1<30=1，即b>c，所以a>b>c.故选：A14设0<x<π2，记a=lnsin x，b=sin x，c=esin x，则比较a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a 【答案】A【解析】因为0<x<π2，所以b=sin x∈0,1，a=lnsin x<0，c=e sin x>1，所以a<b<c，故选：A15若a=2 23，b=323，c=1223，d=13 23，则a，b，c，a的大小关系是()A.a>b>c>dB.b>a>d>cC.b>a>c>dD.a>b>d>c 【答案】C【解析】∵23>0∴幂函数y=x23在0,+∞上单调递增，又∵3>2>12>13>0，∴323>223>1223>13 23，∴b>a>c>d故选：C.16已知a=0.31.7，b=1.70.3，c=log0.31.7，则a，b，c的大小关系为() A.a<c1.70=1所以0<a<1<b；根据对数函数的性质知，log0.31.7<log0.31=0，所以c<0；所以a，b，c的大小关系是c<a<b.故选：C.17已知a=log262，b=log3142，c=232，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a【答案】A【解析】解：c=232>20=1，0<a=log262<log22=12，12=log33<log3142=b<1，∴a<b<c.故选：A．18已知a=1.20.5，b=0.51.5，c=22，则这三个数的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a第4页共31页专业专注专心专业专心专注【答案】D【解析】因为a =1.20.5>1.20=1，所以a >1.因为b =0.51.5<0.51=12，所以0<b <12.而c =22，所以12<c <1，故b <c <a .故选D .19已知a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a 0，所以a >c ，所以c <a log 22=1，∴b >1，∵0<0.40.3<0.40=1，∴0<c <1，∴a <c b >aB.b >a >cC.a >b >cD.b >c >a【答案】D【解析】因x ∈(e -1,1)，且函数y =ln x 是增函数，于是-1<a <0；函数y =2x 是增函数，-1<ln x <0<-ln x <1，而12ln x=2-ln x ，则1<12ln x<2，12<2ln x <1，即12<c <1c >a 故选：D22已知a =log 32,b =15 35,c =13-23，则a ,b ,c 的大小关系是()A.a 13 0=1, 因此b <a <c故选：B 第5页共31页23设a=4323,b=43 34,c=32 34，则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a 【答案】C【解析】因为函数y=43x在R上是增函数，所以43 23<43 34，即a<b，又因为函数y=x34在(0,+∞)上是增函数，所以4334<32 34，所以b<c，故a<b<c.故选：C24已知a=ln12020+20192020，b=ln12021+20202021，c=ln12022+20212022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b 【答案】A【解析】构造函数f x =ln x+1-x，f x =1x-1=1-xx，当0<x<1时，fx >0，f x 单调递增，所以f12020>f12021>f12022，a>b>c.故选：A25已知a=log35,b=1213,c=log1316，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【解析】c=log1316=log36，因为函数y=log3x在0,∞上单调递增，所以log33=1<a=log35<log36<log1316=c，因为函数y=12x在R上单调递减，所以b=12 13<12 0=1，所以c>a>b故选：D【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量(通常找0和1)进行比较.26已知1<1a<1b,M=a a,N=a b,P=b a，则M,N,P的大小关系正确的为()A.N<M<PB.P<M<NC.M<P<ND.P<N<M 【答案】B【解析】解：∵1<1a<1b，∴0<b<a<1，∴指数函数y=a x在R上单调递减，∴a b>a a，即N>M，又幂函数y=x a在0,+∞上单调递增，∴a a>b a，即M>P，∴N>M>P，第6页共31页专业专注专心专业专心专注故选：B .27已知a =sin3，b =log 3sin3，c =3sin3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】C 【解析】因为π2<3<π，所以a =sin3∈0,1 ，b =log 3sin3<log 31=0，c =3sin3>30=1，所以c >a >b .故选：C28设a =315，b =153，c =log 315，则a ，b ，c 的大小关系为().A.b <a <cB.a <c <bC.c <a <bD.c 0,3>0，则315>30>153>0，对数函数y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，0<15<1，则log 315<log 31=0，所以有315>15 3>log 315，即c <b <a .故选：D 29已知e a =π，2b =3，c =sin2021∘，则a ，b ，c 大小关系为()A.c <a <bB.c log 222=32，又c =sin2021∘=sin 5×360∘+221∘ =sin221∘<0，所以c <a b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】D【解析】b =log 4232=log 43<log 44=1，所以0<a 103 log 55=103>1，所以c >b >a .故选：D31已知a =log 31.5，b =log 0.50.1，c =0.50.2，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b第7页共31页。

2025高考数学必刷题第17讲、幂指对比较大小(学生版)

第17讲幂指对比较大小知识梳理（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法必考题型全归纳题型一：直接利用单调性【例1】（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知0.53a =，3log 0.5b =，30.5c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b<c<a【对点训练1】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减，若2(log 0.2)a f =，0.2(2)b f =，0.3(0.2)c f =则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c <<B ．<<c a bC ．a c b<<D ．b a c<<【对点训练2】（2024·全国·校联考模拟预测）已知0.1log 0.2a =，lg b a =，2a c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b<c<aD ．b a c<<【对点训练3】（2024·天津·统考二模）设113431log 4,,33a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．c b a>>【对点训练4】（2024·天津南开·统考二模）已知0.22a =，12lg2b =-，32log 10c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a>>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．b a c>>【对点训练5】（2024·湖南娄底·统考模拟预测）已知1ln1.1x -=， 1.1log 1.2y =， 1.12z =，则三者的大小关系是（）A ．y x z <<B ．z y x <<C ．x y z<<D ．x z y<<【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知5log 11a =，log b =c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b<c<aC ．c<a<bD ．a b c<<题型三：含变量问题【例3】（理科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷））已知π(0,)6θ∈，2222ln(2cos 1)(2cos 1)a θθ-=-，22ln(cos 1)(cos 1)b θθ-=-，22ln(sin 1)(sin 1)c θθ-=-，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b<c<aB ．a c b <<C ．a b c<<D ．c<a<b【对点训练7】（云南省大理市辖区2024届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c<，则x ，y ，z 大小关系为（）A ．y x z>>B ．x z y>>C ．y z x>>D ．x y z>>【对点训练9】（山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题）已知函数()31sin 2f x x x =-，若π0,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos a fθθ=，()()sin sin b f θθ=，12c f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．c a b>>【对点训练10】（2024·陕西西安·统考一模）设0,1a b a b >>+=且1111,log ,log bb a b x y a z ab a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,x y z 的大小关系是（）A ．x z y <>B ．b a c >>C ．a c b>>D ．a b c>>【对点训练11】（2024·广西·校联考模拟预测）已知a ，2ln1.3b =，0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．b a c<<【对点训练12】（2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知9log a =0.25πb -=，3sin 4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b <>B ．b a c >>C ．a c b>>D ．c a b>>【对点训练14】（湖北省武汉市2024届高三5月模拟训练数学试题）已知()()ln1.01ln ln1.011.01ln1.01a =-，()()sin ln 1cos1.01b =+，()tan sin1.011e c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．a b c>>【对点训练16】（2024·河南·模拟预测）已知sin 0.9a =，0.9b =，0.1e c -=，cos0.9d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．a b c d>>>B ．b c a d>>>C ．c b a d>>>D ．b a d c>>>题型五：数形结合【例5】（广东省六校2024届高三上学期第三次联考数学试题）已知1a >，123,,x x x 为函数2()x f x a x =-的零点，123x x x <<，若1322x x x +=，则（）A ．322ln x a x D ．32x x 与2ln a 大小关系不确定【对点训练17】（2024·天津和平·统考三模）已知,,a b c 满足3222,log 2,20a a b b c c -=++=---=，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b<<D ．c b a<<【对点训练18】（2024·广东汕头·统考三模）已知12log a a =，13log b b =，15log c c =，则a ，b ，c 大小为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b<<D ．c b a<<【对点训练19】（江苏省南通市海门市2022-2024学年高三上学期期中数学试题）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c<m )，且α，β(α<β)是方程y ＝0的两个实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（）A ．α<m <n <βB ．m <α<n <βC ．m <α<β<nD ．α<m <β<n【对点训练22】（2024·安徽亳州·高三校考阶段练习）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等，定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()e x g x x =-，()ln h x x =，()20232023x x ϕ=+的“躺平点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．c b a>>题型六：特殊值法、估算法C ．c b a>>D ．c a b>>【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．b a d c>>>B ．b c a d>>>C ．b a c d>>>D ．a b d c>>>【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知a =142b =，2e log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c>>D ．b c a>>【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）三个数22a e =，ln 44b =，ln 33c =的大小顺序为（）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．a b c<<题型七：放缩法【例7】（百师联盟2024届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4ee ，p ＝13e -，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（）A ．p ＜n ＜mB ．m ＜n ＜pC ．n ＜m ＜pD ．n ＜p ＜m【对点训练27】（四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题）设0.03e x =，21.03y =，()0.60.4ln ee z =+，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．z y x >>B ．y x z >>C ．x z y>>D ．z x y>>【对点训练28】（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（三））已知2022a =，2223b =，c a b =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b>>D ．a b c>>【对点训练29】（2024届新高考Ⅰ卷第三次统一调研模拟考试数学试题）下列大小关系正确的为（）A ．()0.010.012ln e e3-+【对点训练30】（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知实数0.9e a =- 5.1log 4b =，6log 5c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b<>B ．z y x >>C ．x z y>>D ．y z x>>【对点训练32】（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知()e 0.1e 0.1a +=-，e e b =，()e 0.1e 0.1c -=+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <>B ．y x z>>C ．z y x>>D ．y z x>>【对点训练34】（2024·广东·统考模拟预测）已知cos 4a =，则2a ，()0.5log a -，0.35a 的大小关系为（）A ．()20.50.35log a a a >->B ．()20.50.35log a a a >>-C ．()20.5log 0.35a a a->>D ．()20.5log 0.35aa a >->题型八：不定方程【例8】（黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2024学年高三下学期清北班阶段性测试（开学考试）数学试卷）已知a 、b 、c 是正实数，且2e 2e e 0a a b b c ++-+=，则a 、b 、c 的大小关系不可能为（）A ．a b c ==B ．a b c >>C ．b c a>>D ．b a c>>【对点训练35】（湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州第二中学2024届高三二模联考数学试题）设实数a ，b 满足100110102023a b a +=，101410162024a b b +=，则a ，b 的大小关系为（）A ．a b>B ．a b=C ．a b<D ．无法比较【对点训练36】已知实数a 、b ，满足26log 3log 4a =+，345a a b +=，则关于a 、b 下列判断正确的是()A ．2a b <>B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b>>【对点训练38】若4a <且44a a =，5b <且55b b =，6c <且66c c =，则()A ．a b c<<B ．c b a<<C ．b c a<<D ．a c b<<题型九：泰勒展开【对点训练40】设a =0.10.1,,ln 0.99e b c ==-，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【对点训练41】2ln1.01,ln1.02,1a b c ===-，则（）A ．a b c<C ．lg lg n m m n=D ．不确定【对点训练42】（四川省德阳市2024届高三下学期4月三诊考试理科数学试题）已知实数x 、y 满足e ln e ,1=>y x x y y ，则x 、y 的大小关系为（）A ．y x≥B ．y x<C ．y x>D ．y x≤【对点训练43】已知1a >，1b >，且满足2324a b lna ln b -=-，则()A ．22a b>B ．22a b<C ．22a b >D ．22a b <【对点训练44】已知不相等的两个正实数x ，y 满足2244(log log )x y y x -=-，则下列不等式中不可能成立的是()A ．1x y <>=，则()A ．b c c a a b e lna e lnb e lnc+++>>B ．c a b c a b e lnb e lna e lnc +++>>C ．a b c a b c e lnc e lnb e lna +++>>D ．a b b c c a e lnc e lna e lnb+++>>【对点训练46】若242log 42log a b a b +=+，则()A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【对点训练47】（多选题）已知0a >，0b >且a e lnb a b +>+，则下列结论一定正确的是()A ．a b >B ．a e b >C ．2a e b +>D ．0a lnb +>【对点训练48】（多选题）若242log 42log a b a b +=+，则下列结论错误的是()A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <。

专题14 指、对、幂形数的大小比较问题(精讲精练)(解析版)

专题14 指、对、幂形数的大小比较问题【命题规律】指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．【核心考点目录】核心考点一：直接利用单调性核心考点二：引入媒介值核心考点三：含变量问题核心考点四：构造函数核心考点五：数形结合核心考点六：特殊值法、估算法核心考点七：放缩法核心考点八：不定方程【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.2．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．3．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.方法二：比较法 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ， ① ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ，令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ，故 ()f x 在 (0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ；② 0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ，令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >>，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1]上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c >故 .c a b <<4．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<， a c b ∴<<.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【答案】A【解析】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ==当114sin cos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos 4ϕ==1cos sin 4ϕ==故1cos4=11sin 4sin 44<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+， 241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x 得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性； ②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【核心考点】核心考点一：直接利用单调性【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】D【解析】∵函数1()21x f x x -=+-为增函数，又11(0)210,(1)102f f -=-=-<=>，∴()0,1a ∈，由1()e 10x g x -=-=，得1x =，即1b =， ∵2()log (1)1h x x x =-+-在()1,+∞单调递增，又223331()log (1)10,(2)log (21)21102222h h =-+-=-<=-+-=>，∴322c <<， ∴c b a >>. 故选：D.例2．（2022春·辽宁大连·高三校联考期中）已知111m n>>，n a n =，m b n =，n c m =，则a ，b ，c 的大小关系正确的为（） A ．c ＞a ＞b B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．a ＞b ＞c【答案】B 【解析】由题意111m n>>，故01m n <<<，由指数函数的单调性，x y n =单调递减，故b a >，由幂函数的单调性，n y x =在(0,)+∞单调递增，故a c >，综上：b a c >>. 故选：B例3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中阶段练习）设21log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132log bb =，154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c的大小关系是（） A ．b a c <，因为()0f a =，由零点存在定理可知12a <<；构造函数()132log xg x x =-，因为函数2x y =、13log y x =-在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()g x 为()0,∞+上的增函数，且1912209g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1312103g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，因为()0g b =，由零点存在定理可知1193b <<.因为154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1144log 5log 10c =<=，因此，c b a <<.故选：B.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（） A ．p m n >> B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>【答案】A【解析】由54m =，得125542m ==<89n =，得118493n ==，因此，122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭m n >，由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是得p m n >>，所以正数m ，n ，p 的大小关系为p m n >>. 故选：A核心考点二：引入媒介值【典型例题】例5．（2023·全国·高三专题练习）已知3110π,53,log 2a bc ===-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <=，而35c =<，3553<，所以35553log 3log 55b =>=，所以ac b <<．故选：D ．例6．（2023·全国·高三专题练习）设0.124log 3,log 5,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】依题意，24ln 3log 3ln 32ln 22ln 3ln 9ln 21,ln 5log 5ln 2ln 5ln 5ln 5ln 4a a b b ===⨯==>∴>， 0.14404121log 5log ,2b c ->==<==，所以1a b c >>> 故选：A例7．（2023·全国·高三专题练习）已知14sin 4,ln 4,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <=b ， 14124210--==<=<c ，所以a c b <<．故选：C ．例8．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】B 【解析】103e e 1=>=a ，ln 2ln e 1b =<=，33log 2log 31c =<=∴a 最大，3lg 2lg 211ln 2log 2lg 20lge lg3lge lg3⎛⎫-=-=-=⋅-> ⎪⎝⎭b c ，∴b c >， ∴a b c >>，故选：B例9．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c < ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <. 又12225log 0.4log log 212c ==>>，所以a b c <<，故选：A.例10．（2023·全国·高三专题练习）三个数a ＝0.42，b ＝log 20.3，c ＝20.6之间的大小关系是（） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a ＜1， ∵log 20.3＜log 21＝0，∴b ＜0， ∵20.6＞20＝1，∴c ＞1， ∴b ＜a ＜c ，故选：C ．核心考点三：含变量问题【典型例题】例11．（2022·广西·统考模拟预测）已知正数,,x y z 满足e ,x y =且,,x y z 成等比数列，则,,x y z 的大小关系为（） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．x z y >> D ．z y x >>【答案】D【解析】令()e ,0x f x y x x x =-=->，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()e 10x f x '=->，()f x 单调递增，所以()0=e >e =1x f x x -，所以e x x >，故y x >，因为正数,,x y z 成等比数列，所以2y xz =即2e x xz =，故2e x z x=，所以2e e 1e x xx z y x x==>，故z y >，综上所述，z y x >>，故选：D例12．（2022春·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数,,a b c ，满足ln c a b b e c a =⋅=⋅，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <，则,=,ln ln e c t t ta b c b b b===，令()()ln 0f x x x x =->，则()111xf x x x-'=-=，当01x <<时0f x，()f x 单调递增，当1x >时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()110f x f ≤=-<，即ln x x <，所以ln b b <，可得a b >，又ln c b =得c b <，综上，c b a <<. 故选：D.例13．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）已知,,a b c 均为不等于1的正实数，且ln ln ,ln ln c a b a b c ==，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】D【解析】ln ln ,ln ln c a b a b c ==且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln c 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号. ①若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>；②若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>.综上所述，a c b >>. 故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c <>>，由ln ln ln 0a a b ce b c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0,()'>f x f x 单调递增，因1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，故(01)a e a a ><<，又ln 0a <，所以ln ln a a ae a >，故ln ln b a b a>， ∴()()f b f a >，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<. 故选:C ．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1exx a +=，cos cos 1e x x b +=，sin sin 1e x x c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，则()2222sin 2sin 12sin exx a f x +==，()cos cos 1cos e x x b f x +==，()sin sin 1sin e xx c f x +==．因为()()()2e 1e 0e e x xxx x xf x -+'==-<在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减. 又因为,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()22sin sin sin 2sin 10x x x x -=->，且sin cos x x >，故a c b <<.故选：C ．例16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知()1e ,1x -∈，记ln ln 1ln ,,e 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭xx a x b c ，则,,a b c的大小关系是（） A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b<c<a【答案】A【解析】因为()1e ,1x -∈，所以()()ln ln 1ln 1,0,,e 211,2,1e ⎛⎫=∈-== ⎪⎛⎫∈∈ ⎝⎝⎭⎪⎭xx a x b c ，所以a c b <<，故选：A核心考点四：构造函数【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知0.03e 1a =-，3103b =，ln1.03c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】B【解析】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为，所以当0x >时，，所以()f x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为，所以()g x 在()0,+∞上单调递减函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以a c >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+. 因为，所以当0x >时，，所以()h x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+. 所以c b >.综上所述：a c b >>. 故选：B例18．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin 0.06c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a <，()0f x >′，此时()f x 单调递增，当0x <，()0f x <′，此时()f x 单调递减，所以()()00e 01f x f >=-=，所以()0.020.02e 0.021f =->，即0.02e 1.02>，所以0.0250.02e e 1.02b a =>>=；又设()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-≤恒成立， ∴当0x >， ()g x 单调递减，()sin (0)0g x x x g =-<= 当0x >时，有sin x x <，则sin0.060.06<，所以0.92sin0.060.920.06 1.02c a =+<+⨯==，综上可得c a b <<．故选：D ．例19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）设0.1a =，sin0.1b =， 1.1ln1.1c =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．b c a << B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】B【解析】令函数()sin f x x x =-，[0,)2x π∈，当02x π<<时，()cos 10f x x '=-<，即()f x 在(0,)2π上递减，则当02x π<<时，()(0)<f x f ，即sin x x <，因此sin 0.10.1<，即b a <；令函数()(1)ln(1)g x x x x =++-，01x ≤<，当01x <<时，()ln(1)0g x x '=+>，则()g x 在(0,1)上单调递增，则当01x <<时，()(0)0g x g >=，即(1)ln(1)x x x ++>，因此0.1 1.1ln1.1<，即a c <，所以,,a b c 的大小关系正确的是b a c <<. 故选：B例20．（2023·全国·高三专题练习）设150a =，()ln 1sin0.02b =+，5121n 50c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <，()g x 递增，则()()10g x g <=，即ln 1x x <-，所以()ln 1sin0.02sin0.020.02b a =+<<=，令()()2e 1x h x x =-+，则()()e 21x h x x '=-+，()e 2xh x ''=-，当ln 2x <时，()0h x ''<，则()h x '递减，又()()ln 22ln 20,010h h ''=-<=-<，所以当()0,ln 2x ∈时，()0h x '<，()h x 递减，则()()00h x h <=，即()2e 1x x <+，因为()0.020,ln 2∈，则()0.020h <，所以512ln 0.02250e 1.02e <=，即150a =<5121n 50c =，故b a c <<，故选：D例21．（2023·全国·高三专题练习）设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________. 【答案】.b a c <<【解析】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0f x x '=->，所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()ln(1)g x x x =-+，(0,1)x ∈，则1()1011x g x x x '=-=>++，所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >，设6()ln(1)5h x x x =-+，(0,1)x ∈，则651()1551x h x x x -'=-=++，当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，所以a c <，所以.b a c << 故答案为：.b a c <<.例22．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．b a c <<【答案】D【解析】因为10.0250ln e ln e a ==，211ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6551ln 50c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以只要比较6250.02 1.211151e ,sin cos 1sin 1sin 0.02,(10.02)1001005050x y z ⎛⎫⎛⎫==+=+=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小即可，令()e (1sin )(0)x f x x x =-+>，则()e cos 0x f x x '=->，所以()f x 在 (0,)+∞上递增，所以()(0)f x f >，所以e 1sin x x >+，所以0.02e 1sin 0.02>+，即1x y >>，令 1.2()(1)e x g x x =+-，则0.2() 1.2(1)e x g x x '=+-，0.8()0.24(1)e x g x x -''=+- 因为()g x ''在(0.)+∞上为减函数，且(0)0.2410g ''=-<，所以当0x >时，()0g x ''<，所以()g x '在(0.)+∞上为减函数，因为(0) 1.210g '=->，0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e g '=⨯-=-，要比较 1.21.2与0.2e 的大小，只要比较 1.2ln1.2 1.2ln1.2=与0.2lne 0.2=的大小，令()(1)ln(1)(0)h x x x x x =++->，则()ln(1)11ln(1)0h x x x '=++-=+>，所以()h x 在上递增，所以()(0)0h x h >=，所以当,()0x ∈+∞时，(1)ln(1)x x x ++>，所以1.2ln1.20.2>，所以 1.21.2>0.2e ，所以0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e 0g '=⨯-=->，所以当(0,0.2)x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在(0,0.2)上递增，所以()(0)0g x g >=，所以 1.2(1)e x x +>，所以 1.20.02(10.02)e +>，所以z x >，所以z x y >>，所以c a b >>，故选：D例23．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知πln ,2,2tan 13a b c ⎫===⎪⎪⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】A【解析】设()ln (1)f x x x =--，则1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以1x =时，max ()(1)0f x f ==，所以()0f x <，即ln 1x x <-，所以πln213a b ⎫==<=⎪⎪⎭，又(2tan 121tan c b x x ⎫⎫=>=>⎪⎪⎪⎪⎭⎭，对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立). 因此c b a >>，故选：A .例24．（2023·全国·高三专题练习）设23a =ln 2)b =-，3c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．b<c<a B ．c b a << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A【解析】①先比较,a c：2332a ==，3c =，设函数2e ()x f x x =，则'3e (2)()0x x f x x -=<，得函数()f x 在(0,2)单调递减，'3e (2)()0x xf x x-=>得函数()f x 在(2,)+∞单调递增所以f f<即c a<；②再比较,b c：由①知2mine()(2)4f x f f c==<=，而1ln2)2b=-=，设2(ln2)3()xh xx+=，'22(ln1)3()xh xx+=-当1ex<<，'()0h x>，()h x单调递增，当1ex>，'()0h x<，()h x单调递减，所以max12()()ee3b h h x h=<==，而22e ee.e344f c<=<=，所以b c<，故选：A核心考点五：数形结合【典型例题】例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2xf x x=+，2()logg x x x=+，()2sinh x x x=+的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（）A．a b c>>B．b a c>>C．c a b>>D．b c a>>【答案】D【解析】由()2sin0h x x x=+=得0x=，0c∴=，由()0f x=得2x x=-，由()0g x=得2log x x=-.在同一平面直角坐标系中画出2xy=、2logy x=、y x=-的图象，由图象知a<0，0b>，a c b∴<<.故选：D例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a，b，c满足2e e e ec a a c--+=+，28log3log6b=+，2log2c c+=，则a，b，c的大小关系为()A．a b c<<B．a c b<<C．c a b<<D．c b a<<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a ----⇒+=+-=-，故令()e e x x f x -=-，则()e e c c f c -=-，()e e a af a -=-．易知1e exx y -=-=-和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a --<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a ----=->-，即()()f c f a >，则0c a >>．易知22log 3log log 2b =+>，2log 2c c =-，作出函数2log y x =与函数2y x =-的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知e ππee ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <，则()()21ln ,0x f x x x -'=>，由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以eln ππlne <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπe πeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例28．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()ln g x x =，()31h x x =-的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（） A ．αβ≥ B ．αβ> C ．αβ≤ D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=，由题意可得：1ln aα=，令()1ln G x x x=-，则α为()G x 的零点，可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且1110,e 10eG G ，∴()1,e α∈；又∵()31h x x =-，则()23h x x '=，由题意可得：3213ββ-=，令()3231H x x x =--，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=-=-，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞-，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈-∞时，()()010H x H ≤=-<，则()H x 在(),2-∞内无零点，当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =-<=>，则()3,4β∈，综上所述：()3,4β∈；故αβ<. 故选：D.核心考点六：特殊值法、估算法【典型例题】例29．（2022·全国·高三专题练习）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．b a d c >>>B ．b c a d >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>【答案】C 【解析】依题意，314222)a ==，函数y =[0,)+∞上单调递增，而934<<，于是得112232)32<<，即32b a >>，函数4log y x =在(0,)+∞单调递增，并且有44log 30,log 50>>，则44442log 16log 15log 3log 5=>=+=2+>于是得44log 3log 51⨯<，即4341log 5log 4log 3<=，则c d >，又函数3log y x =在(0,)+∞单调递增，且4<333log 4log 2<=，所以32b acd >>>>. 故选：C例30．（2022·全国·高三专题练习）已知a =142b =，2e log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】由49a =，42b =，可知1a b >>，又由2e 8<，从而32e 2<=，可得23log e 2c a =<<，因为4461296()205625b -=-<，所以615b <<；因为565e 2 2.7640->->，从而56e 2>，即65e 2>，由对数函数单调性可知，65226log e >log 25c ==，综上所述，a c b >>. 故选：B.例31．（2023·全国·高三专题练习）若e b a >>>b m a =，a n b =，log a p b =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系为（） A ．m n p >> B ．n p m >> C ．n m p >> D ．m p n >>【答案】C【解析】因为e b a >>> 所以取52,2a b ==，则()5225,6bm a ===，25256.2524a n b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，()25log log 1,22a pb ==∈，所以n m p >>.故选：C.核心考点七：放缩法【典型例题】例32．（2022·全国·模拟预测）已知2022a =，2223b =，c a b =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】分别对2022a =，2223b =，c a b =两边取对数，得20log 22a =，22log 23b =，log a c b =．()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b -⋅-=-=-=⋅．由基本不等式，得:()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2lg 22lg 20lg 230-⋅>，即0a b ->，所以1a b >>．又log log 1a a c b a =<=，所以a b c >>. 故选：D ．例33．（2023·全国·高三专题练习）已知：0.42e a =，0.52b =，4log 5c =，则a 、b 、c 大小关系为（） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】令()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，0fx，所以函数()f x 在()0,∞+上递增，所以()()0.4200f f >=，即0.42e 0.421>+，又21.42 2.01642=>，所以0.420.5e 0.4212>+>，所以a b >，又25252416⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以0.5524>，54444441024log 54log 5log 4log 55625log 504444---===>，所以0.5452log 54>>，所以a b c >>. 故选：B.例34．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数,,a b c 满足12330a b +⨯-=1=()()25log 3a c x x x =+-+∈R ，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】由12330a b +⨯-=得：2333a b ⨯=⨯，3312a b-∴=>，0a b ∴->，即a b >；31b +=>c b >；由()()25log 3a c x x x =+-+∈R 得：()25log 3a c x x -=-+，221553222y x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，()25555log 3log log 102x x ∴-+≥>=，即a c >；综上所述：a c b >>. 故选：D.例35．（2022·全国·高三专题练习）己知544567,117<<，设6711log 5,log 6,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为_______．（用“<”连接）【答案】a b c <<【解析】由544567,117<<得 7115log 645log 7<<，即7114log 6log 75<<， b c ∴<，又267lg 5lg 6lg 5lg 7lg 6log 5log 6lg 6lg 7lg 6lg 7a b ⋅--=-=-=⋅22lg5lg 7lg 62lg 6lg 7+⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅<， lg5lg7lg35lg36+=<，lg5lg 7lg 62+∴<， 22lg5lg 7lg 62+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭<，a b ∴<，综上：a b c <<．故答案为：a b c <<．核心考点八：不定方程【典型例题】例36．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a ，b ，c ，满足ln e a b c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a c b >>【答案】C解：设e ()x x f x =-，则()e 1x f x '=-，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)10f x f ==>，故e x x >，所以e a c a =>，又ln b c =，所以e c b c =>，所以b c a >>. 故选：C ．例37．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（） A ．b a c <，()11112202f -=+-=-<，()()120f f <，则12a <<； 33b b +=，即330b b +-=，即33b b =-，由3xy =与3y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +-=在()0,∞+只有一个根b ，令()33xg x x =+-，()113310g =+-=>， 12115330222g ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<；4log 4c c +=，即4log 4c c =-，即4log 40c c +-=，由4log y x =与4y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +-=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+-，()444log 4410h =+-=>，()4433log 34log 310h =+-=-<，()()340h h <，则34c <<；b ac ∴<<故选：A.【新题速递】一、单选题1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =，则（） A ．y x z <，故0.50.51log 0log x >=，∵0.5log y x =在定义域上单调递减， 0.501,0log 1x x ∴<<<<，0.51x ∴<<，∵0.50z >， ∴1log 0log x x z >=， ∵0.51x <<， ∴01z <<，故()0.50,1z∈，则()log 0,1x z ∈，1x z ∴<<，0.5log y y x =，由定义域可知：0y >，又∵0.51x <<，∴()0,1yx ∈，则()0.5log 0,1y ∈，()0.5,1y ∴∈，故y x x <，∵0.5log x x =，0.5log yy x =， ∴0.50.5log log x y <，x y ∴>，y x z ∴<<. 故选：A.2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（） A ．a c b <-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，。

高考数学指对幂比较大小问题(解析版)

指对幂比较大小问题一、单选题1.(安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题)已知a=e0.9+1,b=2910,c=ln0.9e3，则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c【答案】D【解析】a=e0.9+1,b=0.9+2,c=ln0.9+3构造函数y1=e x+1,y2=x+2,y3=ln x+3，令f x =y1-y2=e x-x-1，x∈0,1，则f x =e x-1>0,所以f x 在0,1单增，所以f0.9>f0 =0，所以e0.9>1.9，所以e0.9+1>0.9+2，所以a>b.令g x =y2-y3=x-ln x-1,x∈0,1，g x =1-1x<0，所以g x 在x∈0,1为减函数，所以g x >g(1)=0，所以0.9-ln0.9-1>0，所以0.9+2>ln0.9+3，所以b>c，所以a>b>c.故选：D.2.(2023·浙江绍兴·高三期末)已知a=sin0.1,b=ln1.1,c=e0.1-1.005，则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b【答案】D【解析】设f x =sin x-ln x+1，x∈0,π6则f x =cos x-1x+1，令m x =f x ，m x =-sin x+1x+12，因为y=sin x在0,π6上单调递增，y=1x+12在0,π6上单调递减，则m x 在0,π6上单调递减，由m 0 =1>0,m π6 =-12+1π6+12<0，所以∃x0∈0,π6,m x0 =0，所以当x∈0,x0,m x >0，所以m x 在0,x0上单调递增，当x∈x0,π6,m x <0，所以m x 在x0,π6上单调递减，又m 0 =0，m π6=32-1π6+1>0，从而m x >0即f x >0在0,π6上恒成立，故f x 在0,π6 上单调递增，所以f x >f 0 =0，即sin x >ln x +1 ⇒sin0.1>ln1.1，构建g x =e x -12x 2-1-x ，则g x =e x -x -1，令φx =e x -x -1，则φ x =e x -1，当x ∈0,+∞ 时，φ x >0，则φx 在0,+∞ 单调递增，所以φx >φ0 =e 0-0-1=0，即g x >0，故g x 在0，+∞ 上单调递增，则g x >g 0 =0，故e x -12x 2-1>x 在0，+∞ 恒成立，取x =0.1，可得e 0.1-1.005>0.1，构造h x =x -sin x ，则h x =1-cos x ，当x ∈0，π2 时，h x >0，故h x 在0，π2单调递增，所以h x >h 0 =0，所以当x ∈0，π2 时，x >sin x ，取x =0.1，则0.1>sin0.1，综上所述得：ln1.1<sin0.1<e 0.1-1.005，即c >a >b .故选：D .3.(2023·全国·模拟预测)已知a =2e π，b =e e，c =e 2ln2，试比较a ，b ，c 的大小关系为( )A.b >c >aB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】B【解析】先证明两个不等式：(1)2ln x <x -1x (x >1)，设f (x )=2ln x -x +1x(x >1)，则f(x )=2x -1-1x2=-1x -1 2<0(x >1)，即f (x )在(1,+∞)上单调递减，故f (x )<f (1)=0，即2ln x <x -1x (x >1)成立(2)ln x >2(x -1)x +1(x >1)，设g (x )=ln x -2(x -1)x +1(x >1)，则g(x )=1x -4(x +1)2=(x -1)2x (x +1)2>0(x >1)，即g (x )在(1,+∞)上单调递增，故g(x)>g(1)=0，即ln x>2(x-1)x+1(x>1)成立再说明一个基本事实，显然3<π<3.24，于是1.73<3<π<1.8.由(1)可得，取x=2，可得2ln2<1.5⇔ln2<0.75⇔e0.75>2；由(2)可得，取x=2，可得ln2>23，再取x=43，可得ln43>27>0.27，即e0.27<43⇔e-0.27>34.ba=e e2eπ=e e-π2>e e-1.82>e0.752>1，显然a>0，于是b>a；ca=e2ln22eπ=e2-π2ln2<3e2-π4<e2-π-0.27=e1.73-π<e0=1，显然a>0，于是c<a.故b>a>c.故选：B4.(2023春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试)已知a=2-2cos0.1，b=0.01，c= 2e0.1-1.1，则它们的大小关系为( )A.b<c<aB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c【答案】D【解析】令f x =2-2cos x-x2，则f x =2sin x-2x.令m x =2sin x-2x，则m x =2cos x-2，.因为，当x≥0时，有m x =2cos x-2≤0恒成立，所以m x 在0,+∞上单调递减，即f x 在0,+∞上单调递减，又f 0 =0，所以当x≥0时，有f x ≤f 0 =0，所以f x 在0,+∞上单调递减.又f0 =2-2cos0-0=0，所以有f0.1<f0 =0，即2-2cos0.1-0.12=2-2cos0.1-0.01<0，所以a<b.令g x =2e x-x-1-x2=2e x-x2-2x-2，则g x =2e x-2x-2.令n x =2e x-2x-2，则n x =2e x-2.因为，当x≥0时，有n x =2e x-2≥0恒成立，所以n x 在0,+∞上单调递增，即g x 在0,+∞上单调递增，又g x =2⋅e0-2=0，所以当x≥0时，有g x ≥g 0 =0，所以g x 在0,+∞上单调递增.又g0 =2⋅e0-2=0，所以有g0.1>g0 =0，即2e0.1-0.12-2×0.1-2=2e0.1-1.1-0.01>0，所以b<c.所以a<b<c.故选：D.5.(2023·山西吕梁·高二统考期末)已知a=2e ,b=1e ln2,c=454e(其中e为自然常数)，则a,b,c的大小关系为( )A.a<c<bB..b<a<cC.c<b<aD.c<a0，则a=f12 ,b=f ln2,c=f54 ，∵f x =1e⋅e x x-1x2，当0<x<1,fx <0，当x>1,f x >0，所以函数f x 在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，∵0<12<ln2<1，∴f12 >f ln2，即a>b，又f ln4=1e⋅e ln4ln4=1e⋅42ln2=1e⋅2ln2=1e⋅e ln2ln2=f ln2，ln4>54>1，所以f ln4>f 54 ，即f ln2>f54 ，∴b>c，∴a>b>c.故选：C6.(2023·山西运城·高二统考期末)已知a=2e，b=1e ln2，c=454e(其中e为自然常数)，则a、b、c的大小关系为( )A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a1时f x >0，所以f x 在0,1递减，1,+∞递增，易知1=ln e>ln2>ln e=12，所以f ln2<f12 ，即be<ae，b<a，be=2ln2=4ln4=f ln4，下面证明：ln2>5 8，构造g x =ln x-2x-1x+1，x≥1，则g x =1x-4x+12=x-12x x+12≥0在x≥1上恒成立，故g2 >g1 =0，故ln2>23>58，则8ln2>5，ln4>54，因为1<54<ln4，所以f54 <f ln4，所以ce<be，故c<b，故c<b<a.故选：C.7.(2023·辽宁沈阳·统考一模)已知a=ln t t，b=25，c=ln32，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a0，则0<x<e；令f t <0，则x>e，故f t 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，可得f t ≤f e =1e<25，即a<b，构建g x =ln x+1-x+12x2-13x3+14x4，则g x =1x+1-1+x-x2+x3=x4x+1，当x>0时，g x >0恒成立，故g x 在0,+∞上单调递增，则g x >g0 =0，可得ln x+1>x-12x2+13x3-14x4在0,+∞上恒成立，则ln 32>12-18+124-164=77192>25，即c>b，故a<b<c.故选：A.8.(2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试)已知a、b、c是正实数，且e2a-2e a+b+e b+c=0，则a、b、c的大小关系不可能为( )A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c【答案】D【解析】因为e2a-2e a+b+e b+c=0，a、b、c是正实数，所以e2a-e a+b+e b+c-e a+b=e a e a-e b+e b e c-e a=0，因为a,b,c>0，所以e a>1,e b>1,e c>1，对于A，若a=b=c，则e a-e b=e c-e a=0，满足题意；对于B，若a>b>c，则e a-e b>0,e c-e a<0，满足题意；对于C，若b>c>a，则e a-e b<0,e c-e a>0，满足题意；对于D，若b>a>c，则e a-e b<0,e c-e a<0，不满足题意.故选：D.9.(2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习)8sin18，cos18，127128三者之间的大小关系为( )A.8sin18>cos18>127128 B.8sin 18>127128>cos18C.127128>8sin 18>cos18 D.cos18>8sin18>127128【答案】A【解析】构造函数f x =sin x-x+x32，x∈0,π2.则f x =cos x+32x2-1，令g x =cos x+32x2-1，x∈0,π2.则g x =-sin x+3x，再令h x =-sin x+3x，x∈0,π2.则h x =-cos x+3>0，故h x 在0,π2上单调递增，则h x =g x >g 0 =0，故g x 在0,π2上单调递增，则g x =f x >f 0 =0，故f x 在0,π2上单调递增，则f 18 =sin18-18+12×183>f0 =0，得8sin18-1+12×182>0，即8sin 18>1-12×182=127128；构造函数p x =tan x-x，x∈0,π2，则p x =1cos2x-1>0，得p x 在0,π2上单调递增，则p18 =tan18-18>p0 =0，即8tan 18=8sin18cos18>1⇒8sin18>cos18；构造函数m x =cos x-1+x22，x∈0,π2，则m x =-sin x+x，令n x =-sin x+x，x∈0,π2，则n x =-cos x+1>0，故n x 在0,π2上单调递增，则n x =m x >m 0 =0，故m x 在0,π2上单调递增，则m18 =cos18-1+12×182>m0 =0，即cos 18>1-12×182=127128.综上，8sin 18>cos18>127128.故选：A10.(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习)已知a=2sin1,b=36,c=20.99，则a,b,c的大小关系是( )A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c【答案】D【解析】2sin1<2sin π3，即a<3，3 36=312613=312213×313=316213=316416=34 16<34 0=1，即b=36>3，则a<b，log236=log2613=13log26=13log22×3=131+log23，log220.99=0.99=131+1.97，1.6=1610=85log22=log2285=log225615，log23=log2355=log224315，∵243<256，∴24315<25615，∴log224315<log225615，即log23<1.6，∴log23<1.97，∴131+log23<131+1.97，即log236<log220.99，∴36<20.99，即b<c，综上a<b<c，故选：D.11.(2023·全国·高三专题练习)已知a=lnππ，b=1-32π，c=sin2π5，则a，b，c的大小关系为( )A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a【答案】B【解析】因为y =sin x 在0,π2 内单调递增，且2π5>π3，所以sin2π5>sin π3=32>1.62=0.8，令f x =ln x x ,x >0，所以f x =1-ln xx 2，当0<x <e ,f x >0，f x 单调递增；当x >e ,f x <0，f x 单调递减；所以f x max =f e =1e ，所以f π <f e 即lnππ<1e <12.7≈0.370，因为3.14<π<3.15，且1-32×3.15≈0.524，1-32×3.14≈0.522所以0.522c >b B.c >a >bC.c >b >aD.a >b >c【答案】B【解析】设f x =100-x lg 100+x ，x ∈-1,1 ，当x ∈-1,1 时，f x =-lg 100+x +100-x100+xlg e ，令g x =-lg 100+x +100-x 100+x ⋅lg e ，则g x =-1100+x lg e -200100+x2lg e <0，所以函数g x 在区间-1,1 上单调递减，所以g -1 =-lg99+10199lg e =lg e 10199-lg99，又e 10199<e 2<99，所以f x =g x <g -1 <0，所以函数f x 在区间-1,1 上单调递减，所以f -1 =101lg99>f 0 =100lg100=200>f 1 =99lg101=lg 101 99，故c >a >b .故选：B .13.(2023·全国·模拟预测)下列大小关系正确的为( )A.ln e 0.01+e -0.01 <23B.sin0.01+ln0.99<0C.cos0.01+ln1.01<1D.32.01+41.99>25【答案】B【解析】对于选项A ，因为8>e 2，所以2>e 23，则ln2>23，又因为e0.01>e0=1，则有e0.01+e-0.01=e0.01+1e0.01>2，所以ln(e0.01+e-0.01)>ln2>23，故选项A错误；对于选项B，构造函数f(x)=sin x-x，则f (x)=cos x-1≤0，所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，则f(x)≤f(0)=0，所以f(0.01)<0，即sin0.01<0.01，令g(x)=ln x-x+1(0<x<1)，则g (x)=1x-1=1-xx>0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，则g(x)<g(1)=0，即ln x<x-1，所以ln0.99<0.99-1=-0.01，故sin0.01+ln0.99<0.01+(-0.01)=0，故选项B正确；对于选项C，构造函数φ(x)=cos x+ln(1+x)0<x<1 2，则φ (x)=-sin x+1x+1，由选项B可知：当x>0时，sin x<x，所以-sin x>-x，则有φ (x)=-sin x+1x+1>-x+1x+1=-x2-x+1x+1，因为函数y=-x2-x+1在0,12上恒大零，所以φ (x)>0，则函数φ(x)在0,1 2上单调递增，所以φ(0.01)>φ(0)，即cos0.01+ln1.01>1，故选项C错误；对于选项D，因为32.01+41.99=32+0.01+42-0.01=9×30.01+16×4-0.01<9×40.01+16×4-0.01，令t=40.01，则1<t<1.3，令F t =9t+16t(1<t<1.3)，则F (t)=9-16t2=9t2-16t2，令F(t)<0，解得：-43<t<43，因为1<t<1.3，所以F(t)在1,1.3上单调递减，故F(t)<F(1)=9+16=25，即9×40.01+16×4-0.01<25，所以32.01+41.99<25，故选项D错误，故选：B.14.(2023·全国·高三专题练习)设x=0.03,y=2ln1.01,z=ln1.1，则x，y，z的大小关系为( )A.z>x>yB.x>y>zC.x>z>yD.z>y>x【答案】A【解析】由x=3100，y=2ln1+1100，z=ln1+110，若t=110，则x=3t2，y=2ln(1+t2)，z=ln(1+t)，令f(t)=y-x=2ln(1+t2)-3t2且0<t<1，则f (t)=4t1+t2-6t=-2t(1+3t2)1+t2<0，所以f(t)在(0,1)上递减，故f(t)<f(0)=0，即y<x，令g(t)=z-x=ln(1+t)-3t2且0<t<1，则g (t)=11+t-6t在(0,1)上递减，若g (t)=0，则11+t=6t，可得t=15-36，故0,15-36上g (t)>0，g(t)递增，而0<110<15-36，且在0,15-36上g(t)>g(0)=0，所以z-x>0，即z>x，综上，z>x>y.故选：A15.(2023春·云南昆明·高三校考阶段练习)设a=π6，b=cos1，c=sin13，这三个数的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】C【解析】cos1=sinπ2-1 ，∵0<13<π2-1<π2，而y=sin x在0<x<π2上单调递增，∴sin13<sinπ2-1⇒c<b且x∈0,π2时，cos x>1-x22!+x44!-x66!，以下是证明过程：令g x =cos x-1-x22!+x44!-x66!，x∈0,π2，g x =-sin x+x-x36+x5120，令h x =g x =-sin x+x-x36+x5120，故h x =-cos x+1-x22+x424，令k x =h x =-cos x+1-x22+x424，故k x =sin x-x+x36，令l x =k x =sin x-x+x36，则l x =cos x-1+x22，令m x =l x =cos x-1+x22，故m x =-sin x+x，令n x =m x =-sin x+x，故n x =1-cos x>0在x∈0,π2上恒成立，故m x =-sin x+x在x∈0,π2上单调递增，所以m x >m 0 =0，故l x =cos x-1+x22在x∈0,π2上单调递增，所以l x >l 0 =0，故k x =sin x-x+x36在x∈0,π2上单调递增，所以k x >k 0 =0，故h x =-cos x+1-x22+x424在x∈0,π2上单调递增，所以g x >g 0 =0，故g x =cos x-1-x22!+x44!-x66!在x∈0,π2上单调递增，∴cos1>1-12+124-1720=1324-1720>0.54-0.01=0.53>π6，∴b>a，∴b >a >c .故选：C ．16.(2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习)若a =16，b =e 17-1，c =ln 1311，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >c >b B.a >b >cC.c >a >bD.b >a >c【答案】C【解析】令f x =ln x -1-1x ，x ∈0,+∞ ，则f x =1x -1x 2=x -1x 2，当x ∈1,+∞ 时，f x =x -1x 2>0，∴f x 在区间1,+∞ 上单调递增，∴f 76 =ln 76-1-67 =ln 76-17>f 1 =0，即ln 76>17，又∵y =e x 在R 上单调递增，∴e ln 76>e 17，即76>e 17，∴16>e 17-1，即a >b ；令g x =ln x +4x +1-2，x ∈0,+∞ ，则g x =1x -4x +12=x -1 2x x +1 2，当x ∈1,+∞ 时，gx =x -12x x +1 2>0，∴g x 在区间1,+∞ 上单调递增，∴g 1311=ln 1311+41311+1-2=ln 1311-16>g 1 =0，即ln 1311>16，∴c >a ，综上所述，a ，b ，c 的大小关系为c >a >b .故选：C .17.(2023·北京·高一北京市十一学校校考期末)已知x 1，x 2，x 3满足12x 1=log 12x 1，12x 2+1=log 12x 2，13x 3=log 12x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( )A.x 1<x 2<x 3B.x 2<x 3<x 1C.x 1<x 3<x 2D.x 2<x 1<x 3【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系内作出y =log 12x 、y =12 x 、y =13 x 、y =12 x +1的图像y =log 12x 过点12,1 、(1,0)；y =12 x 过点(0,1)、1,12 ；y =13x 过点(0,1)、1,13 ；y =12 x +1过点0,12 、1,14 ，则y=12x、y=13x、y=12x+1与y=log12x图像交点横坐标依次增大，又y=12x、y=13x、y=12x+1与y=log12x图像交点横坐标分别为x1、x3、x2，则x1<x3<x2.故选：C18.(2023·贵州安顺·高三统考期末)已知a=20222023，b=20232022，c=log20222023，则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a【答案】D【解析】a,b同取以e对数，大小关系不变，则比较a,b的大小，可比较ln20222023与ln20232022的大小，ln20222023=2023ln2022，ln20232022=2022ln2023，令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，则当x>e时，f x <0，则当x>e时，f x 单调递减，则f2023<f2022，即ln20232023<ln20222022，则2022ln2023<2023ln2022，即ln20232022<ln20222023，即b<a，∵b=20232022>2，2>c=log20222023>1，∴c<b，则c<b<a，故选：D.19.(2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)已知实数a，b，c∈R，满足ln a-1e a=b-1e b=1-ce c，b>2，则a，b，c的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c 【答案】D【解析】由题意，b>2,b-1>0,∵b-1e b=1-ce c,∴1-c>0,c<1 ，又∵ln a-1e a=b-1e b,∴ln a-1>0,a-1>1,a>2 ，即a>c,b>c ；设g x =x-ln x ，则g x =1-1x ，当x>1 时，g x >0 ，单调递增，∴x>1 时，g x >g1 =1>0,x>ln x ，∴a-1>ln a-1,a-1e a>ln a-1e a ，又∵ln a-1e a=b-1e b,∴a-1e a>b-1e b，设h x =x-1e x ，则hx =2-xe x ，当x>2 时，hx <0 ，h x 单调递减，∴aa>c ；故选：D.20.(2023·四川德阳·统考一模)已知a、b、c是正实数，且e2a-2e a+b+e b+c=0，则a、b、c的大小关系不可能为( )A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c【答案】D【解析】因为e2a-2e a+b+e b+c=0，a、b、c是正实数，所以e2a-e a+b+e b+c-e a+b=e a e a-e b+e b e c-e a=0，e a>1,e b>1,e c>1，对于A，若a=b=c，则e a-e b=e c-e a=0，满足题意；对于B，若a>b>c，则e a-e b>0,e c-e a<0，满足题意；对于C，若b>c>a，则e a-e b<0,e c-e a>0，满足题意；对于D，若b>a>c，则e a-e b<0,e c-e a<0，不满足题意.故选：D.21.(2023春·江西·高二校联考开学考试)已知a=ln1.5，b=13，c=cos1.25，则大小关系正确的为( )A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b【答案】A【解析】因为0<π2-1.25<π2，0<13<π2，所以c=cos1.25=sinπ2-1.25，由于π2=6π12<13+1.25=13+54=1912，故π2-1.25<13，故sinπ2-1.25<sin13，设u(x)=sin x-x,x∈0,π2，则u (x)=cos x-1<0,x∈0,π2，即u(x)=sin x-x,x∈0,π2单调递减，故u(x)<u(0)=0，即sin x<x,x∈0,π2，故sin 13<13，即c<b；a=ln1.5，b=13=0.51.5=1.5-1 1.5，令f x =ln x，g x =x-1x=1-1x，令h (x )=f (x )-g (x )=ln x -1+1x,x >0 ，则h (x )=1x -1x 2=x -1x2,x >0，当0<x <1时，h (x )<0,h (x )在(0,1)递减，当x >1时，h (x )>0,h (x )在(1,+∞)递增，所以h (x )≥h (1)=0 ，即f x ≥g x (当且仅当x =1时等号成立)，∴f 1.5 >g 1.5 ，即ln1.5>1.5-11.5=13，即a >b ，∴a >b >c ，故选：A22.(2023·广西梧州·统考一模)已知a =log 3216，b =ln2.16，c =tan4，其中e =2.71828⋯，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.b <a <c B.a <c <bC.a 0，即f x 在0,π2 上单调递增，所以f x >f 0 =0，即tan x >x 0<x <π2，4-π∈0,π2，所以tan 4-π >4-π>0.8，而tan 4-π =tan4，所以tan4>0.8．设g x =e x -ex ，则g x =e x -e ，当x ∈-∞,1 ，g x <0，当x ∈1,+∞ ，g x >0，所以g x ≥g 1 =0，即e x ≥ex (当且仅当x =1)等号成立，所以e 0.8>0.8e >0.8×2.7=2.16，0.8>ln2.16，综上，tan4>0.8=log 3216>ln2.16，所以b <a <c ．故选：A23.(2023·新疆·高三校联考阶段练习)已知a =1100，b =e -99100，c =ln 101100，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】B【解析】设函数f (x )=e x -x -1,x ∈R ,则f (x )=e x -1，当x <0时，f (x )<0，f (x )递减；当x >0时，f (x )>0，f (x )递增，故f (x )≥f (0)=0，即e x ≥1+x ，当x =0时取等号；∵e x≥1+x，∴e-99100>1-99100=1100，∴b>a，由以上分析可知e x≥1+x，则x>0时，有e x-1≥x成立，当x=1时取等号，，即ln x≤x-1，当x=1时取等号，∴ln 101100<101100-1=1100，∴a>c，故b>a>c，故选：B.24.(2023·四川绵阳·统考二模)设x=e0.03，y=1.032，z=ln e0.6+e0.4，则x，y，z的大小关系为( )A.z>y>xB.y>x>zC.x>z>yD.z>x>y【答案】A【解析】易得ln x=0.03，ln y=2ln1.03=2ln1+0.03，令f x =x-2ln(1+x)0<x<1 10，f (x)=1-2x+1=x-1x+1<0，∴f x 在0,110上递减，∴f x <f0 =0则x<2ln1+x，∴0.03<2ln1+0.03，故y>x，z=ln e0.6+e0.4>ln2e0.6+0.4=ln2+ln e=ln2+12≈1.2，y=1.032=1.0609<z，故z>y>x，故选：A.25.(2023·全国·高三专题练习)a=1+sin0.1，b=e0.1，c=1.0110，d=1716，a，b，c，d间的大小关系为( ).A.b>a>d>cB.b>c>a>dC.b>c>d>aD.b>a>c>d【答案】B【解析】令f x =e x-x-1x>0，则f x =e x-1>e0-1=0，所以f x 在0,+∞上单调递增，故f x >f0 =e0-0-1=0，即e x-x-1>0，所以e x>x+1，则e0.01>0.01+1=1.01，即e0.1> 1.0110，故b>c；因为c=1.0110=1+0.0110，所以其展开通项公式为T k+1=C k10110-k×0.01k=0.01k C k10，故T1=0.010×C010=1，T2=0.011×C110=0.1，T k+1>0，所以c=1.0110=1+0.0110>1+0.1，令g x =x-sin x x>0，则g x =1-cos x≥0，所以g x 在0,+∞上单调递增，则g x >g0 =0，即x>sin x，所以0.1>sin0.1，故c>1+0.1>1+sin0.1，即c>a；令h x =sin x-58x0<x<π6，则h x =cos x-58，因为0<x<π6，所以32<cos x<1，则cos x>32>58，故h x >0，所以h x 在0,π6上单调递增，则h x >h0 =0，即sin x>58x，易知0.1∈0,π6，所以sin0.1>58×0.1=116，则1+sin0.1>1+116=1716，即a>d；综上：b>c>a>d.故选：B.26.(2023·四川雅安·统考一模)设a=1.02，b=e0.025，c=0.9+2sin0.06，则a，b，c的大小关系是( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【答案】D【解析】令f x =e x-x，则f′x =e x-1，当x>0，f′x >0，此时f x 单调递增，当x<0，f′x <0，此时f x 单调递减，所以f x >f0 =e0-0=1，所以f0.02=e0.02-0.02>1，即e0.02>1.02，所以b=e0.025>e0.02>1.02=a；又设g x =sin x-x，g′x =cos x-1≤0恒成立，∴当x>0，g x 单调递减，g x =sin x-x<g(0)=0当x>0时，有sin x<x，则sin0.06<0.06，所以c=0.9+2sin0.06<0.9+2×0.06=1.02=a，综上可得c<a<b．故选：D．27.(2023·江苏苏州·高三统考阶段练习)已知a=0.2e0.1,b=2ln1.1,c=0.19，则a,b,c的大小关系正确的是( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【答案】A【解析】设x>0令f(x)=2xe x-2ln(1+x)，则f (x)=2e x+2xe x-21+x=2e x(1+x)2-21+x>0在(0,+∞)上恒成立，f(x)单调递增，又f(0)=0，所以f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以f(0.1)=0.2e0.1-2ln1.1>0，即0.2e0.1>2ln1.1；令g(x)=ln x-2(x-1)x+1，则g (x)=1x-4(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2≥0在(0,+∞)上恒成立，g(x)单调递增，又g(1)=0，所以g(x)>0在(1,+∞)上恒成立，所以g(1.1)=ln1.1-2×0.12.1>0，即ln1.1>2×0.12.1≈0.095，所以2ln1.1>0.19；综上a>b>c，故选：A28.(2023春·浙江·高二校联考开学考试)已知20a=22，22b=23，a c=b，则a，b，c的大小关系为( )A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】分别对20a=22，22b=23，a c=b两边取对数，得a=log2022，b=log2223，c=log a b．a-b=log2022-log2223=lg22lg20-lg23lg22=lg222-lg20⋅lg23lg20⋅lg22．由基本不等式，得:lg20⋅lg23<lg20+lg2322=lg46022<lg48422=lg22222=lg222，所以lg222-lg20⋅lg23>0，即a-b>0，所以a>b>1．又c=log a b<log a a=1，所以a>b>c.故选：D．29.(2023·辽宁大连·高三庄河高中校考阶段练习)设a=0.1，b=sin0.1，c=1.1ln1.1，则a,b,c的大小关系正确的是( )A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b【答案】B【解析】令函数f x =sin x-x，x∈0,π2，当0<x<π2时，f x =cos x-1<0，即f x 在0,π2上递减，则当0<x<π2时，f(x)<f(0)，即sin x<x，因此sin0.1<0.1，即b<a；令函数g(x)=(1+x)ln(1+x)-x，0≤x<1，当0<x<1时，g (x)=ln(1+x)>0，则g(x)在(0,1)上单调递增，则当0<x<1时，g(x)>g(0)=0，即(1+x)ln(1+x)>x，因此0.1<1.1ln1.1，即a<c，所以a,b,c的大小关系正确的是b<a<c.故选：B二、多选题30.(2023·全国·高三专题练习)已知a=0.6e0.4，b=e ln1.2，c=0.84，则a，b，c的大小关系是( )A.c>bB.c>aC.a>bD.b>c【答案】AC【解析】因为ac=0.6e0.40.84=e0.41.4=5e21.4=5e21.45>1，所以a>c，令f(x)=e ln x-12x2(x>0)，则f (x)=ex-x=e-x2x，当0<x<e时，f (x)>0，当x>e时，f (x)<0，所以f(x)在(0,e)上递增，在(e,-∞)上递减，所以f(x)≤f(e)=e ln e-12(e)2=12e-12e=0，所以f(1.2)=e ln1.2-12×1.22=e ln1.2-0.72<0，所以e ln1.2<0.72<0.84，即b<c，综上a>c>b，故选：AC31.(2023·广东广州·校联考三模)下列大小关系正确的是( )A.e0.01-1<ln1.01B.ln1.01>1101C.2ln1.01> 1.04-1D.2ln0.99>0.96-1【答案】BCD【解析】A中，记f(x)=e x-x-1，则f (x)=e x-1，易知在(0,+∞)上函数f(x)单调递增，所以f(0.01)>f(0)=0，即e0.01>1.01；记g(x)=ln x-x+1，则g (x)=1x-1，易知在(1,+∞)上g(x)单调递减，所以g(1.01)<g(1)=0，即ln1.01<0.01，综上，e0.01-1>ln1.01，故A错误；B中，记f(x)=x ln x-x，则f (x)=ln x，易知在(1,+∞)上f(x)单调递增，所以f(1.01)>f(1)，即1.01ln1.01-1.01>-1，整理得ln1.01>1101，故B正确；CD中，记f(x)=2ln(x+1)+1-4x+1，则f (x)=2x+1-24x+1=2[4x+1-(x+1)](x+1)4x+1，当0<x<2时，(x+1)2-(4x+1)=x2-2x<0，可得f (x)>0，函数单调递增；所以有f (0.01)>f (0)=0，即2ln1.01-1+ 1.04>0，故C 正确，当-14<x <0时，(x +1)2-(4x +1)=x 2-2x >0，可得f (x )<0，函数单调递减.所以有f (-0.01)>f (0)=0，即2ln0.99-1+0.96>0，故D 正确.故选：BCD32.(2023·河北邯郸·统考一模)下列大小关系正确的是( )A.1.92<21.9B.22.9<2.92C.2ln22ln2-1<2222-1D.log 74<log 127【答案】ABD 【解析】作出y =2x 和y =x 2的图象，如图所示，由图象可得，当x ∈0,2 时，2x >x 2，当x ∈2,4 时，x 2>2x ， 1.92<21.9，22.9<2.92，故A ，B 正确.令f x =2x 2x -1，则f x =1+12x -1，f x 在0,+∞ 上单调递减，所以2ln22ln2-1>2222-1，故C 错误.log 74-log 127=log 74-1log 712=log 74⋅log 712-1log 712<log 74+log 71222-1log 712=log 7482 2-1log 712<0，所以log 74<log 127，故D 正确.故选：ABD .33.(2023·江苏·高一专题练习)已知互不相等的三个实数a ，b ，c 都大于1，且满足lg a ⋅lg a c =lg c ⋅lg ab，则a ，b ，c 的大小关系可能是( )A.a <b <c B.b <c <aC.a <c <bD.b <a <c【答案】AB【解析】由已知，lg a (lg a -lg c )=lg c (lg a -lg b )，即lg 2a -2lg a ⋅lg c +lg b ⋅lg c =0．则关于x 的方程x 2-2x lg c +lg c ⋅lg b =0有正实根，所以Δ=4lg 2c -4lg c ⋅lg b =4lg c (lg c -lg b )≥0．因为b ≠c ,b >1,c >1，则lg c >lg b ，所以c >b ．设f (x )=x 2-2x lg c +lg c ⋅lg b ，则二次函数f (x )的关于直线x =lg c 对称，且f (lg a )=0，f (lg b )=lg 2b -lg b ⋅lg c =lg b (lg b -lg c )<0．若x =lg a 是f (x )的一个较小零点，则lg a <lg b <lg c ，即a <b <c ；若x =lg a 是f (x )的一个较大零点，则lg b <lg c <lg a ，即b <c <a .故选：AB ．三、填空题34.(2023·天津武清·高三校考阶段练习)已知a ,b ∈0,3 ，且4ln a =a ln4,4ln b =b ln2,c =log 0.30.06，则a ,b ,c 的大小关系为__________.【答案】b <a <c 【解析】设f (x )=ln x x ，则f (x )=1-ln xx 2，0<x <e 时，f (x )>0，f (x )递增，x >e 时，f (x )<0，f (x )递减，4ln a =a ln4，则ln a a =ln44=2ln24=ln22，即f (a )=f (2)，因为a ∈(0,3)，所以a =2，4ln b =b ln2，则ln b b =ln24，f (b )=12f (2)，f (2)=ln22>0，f (b )=12f (2)<f (2)，b ∈(0,3)，所以0log 0.30.09=2，综上，b <a <c ．故答案为：b <a <c ．35.(2023·全国·高三专题练习)设a =110,b =e 111-1,c =1110ln 1110，则a ，b ，c 大小关系是____________．【答案】b <a <c【解析】令f (x )=1+x ln 1+x -x ，x >-1，则f (x )=ln 1+x +1-1=ln 1+x ，令f (x )>0，得x >0，即f (x )在0,+∞ 上单调递增，∵110>0，∴f 110 >f (0)，即1110ln 1110>110，即c >a ，令g (x )=e 1011x -1-x ，则g(x )=1011e 1011x -1，令g (x )<0得x <1110ln 1110，即g (x )在-∞,1110ln 1110单调递减，因为0<110<1110ln 1110，所以g 110 <g (0)，即e 1011×110-1-110<0，所以e 111-1<110，即b <a .所以b <a <c .故答案为：b <a <c .36.(2023·全国·高三专题练习)已知x ,y ,z 分别满足下列关系：18x =19,19y =20,log 1918z =2019，则x ,y ,z 的大小关系(从小写到大)_______.【答案】y <x <z【解析】因为18x =19,19y=20,log 1918z =2019，所以x =log 1819,y =log 1920,z =1918 2019，x -y =log 1819-log 1920=ln19ln18-ln20ln19=ln19 2-ln20⋅ln18ln18⋅ln19ln20⋅ln18<ln20+ln182 2=ln3602 2<ln36122=ln19 2，所以x -y >0即x >y ，z =1918 2019>1918z x >1918log 1819=1918⋅ln18ln19=ln1818÷ln1919>1所以z >x ，故有y <x <z故答案为：y <x <z37.(2023·江苏·高二专题练习)已知a =2ln1.01，b =ln1.02，c = 1.04-1，则a ，b ，c 的大小关系为_________【答案】b <c <a【解析】因为a =2ln1.01=ln1.012=ln 1+0.01 2=ln 1+2×0.01+0.012 >ln1.02=b ,所以b <a ；下面比较c 与a ,b 的大小关系.记f x =2ln 1+x -1+4x +1,则f 0 =0,f x =21+x -21+4x =21+4x -1-x 1+x 1+4x，由于1+4x -1+x 2=2x -x 2=x 2-x所以当0<x <2时，1+4x -1+x 2>0,即1+4x >1+x ,f x >0,所以f x 在0,2 上单调递增，所以f 0.01 >f 0 =0,即2ln1.01> 1.04-1,即a >c ；令g x =ln 1+2x -1+4x +1,则g 0 =0,g x =21+2x -21+4x =21+4x -1-2x 1+2x 1+4x ,由于1+4x -1+2x 2=-4x 2，在x >0时,1+4x -1+2x 2<0,所以g x <0,即函数g x 在[0,+∞)上单调递减，所以g 0.01 <g 0 =0,即ln1.02< 1.04-1,即b <c ；综上，b <c <a ．故答案为：b <c <a ．第２１页，共２１页。

函数与导数专题：指对幂比较大小高考数学

试卷讲评课件
2.常见的构造方法
结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论(其中＞)
(1) 当a＞0且a ≠ 1, x＞0时，有alogax =________
(2) 当 a＞0且a ≠ 1时，有log a ax =________
(3)xex = ________、x + lnx =________
x
lnx
(1)f x = 在区间 0, e 上单调递________，在区间
x
e, +∞ 单调递___
_____；当x = e时，取得最________值________；
(2)极大值左偏，f 2 =________
(3)关于ab 与ba a＞b ，当e＞a＞b＞0时，ab ＞ba ，当a＞b＞e时，
6
7
8
9
10
D.b＜c＜a
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)
试卷讲评课件
1
2
1
3
例9.(2022⋅郑州)设a − = ln2a，b − = ln3b，c − e =
b≠
1
，c
3
≠ e，则(
A.c＜a＜b
c
ln ，且a
e
≠
1
，
2
)
B.c＜b＜a
C.a＜b＜c
D.a＜c＜b
【变式训练】
1.(2023春·广东汕尾)若a = 200，b = lg 101
f ′ x 在x = x0 两侧异号.
知识点一
中间值比较大小
【基础知识框架】
1
2
3
4
5
试卷讲评课件
1.临界值比较：选取适当的临界值(难点)

指数、数、对幂比较大小(解析版)高考数学专题03

专题03“十大方法”，玩转指对幂比较大小重难点题型方法方法一：单调性法【典例分析】典例1-1．（2023·全国·高三专题练习）设0.93a =，0.59b =，1213c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）．A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a>>典例1-2．（2022秋·四川广安·高一统考期末）0.2，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b>>【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数0.2x y =在R 上单调递减得00.30.4102020.20a b =>=>=>..，根据函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减得0.20.2log 0.1log 0.21c =>=，故c a b >>.故选：D.【方法技巧总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同，如1a x 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；2.除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。

【变式训练】1．（2023春·天津和平·高三天津市第二南开中学校考开学考试）设0.4log 2a =，21log 0.3b =，0.40.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．a b c <>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c>>方法二：“媒介数”法【典例分析】典例2-1．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知0.33a =，2log 6b =，0.3log 2c =，则三数大小关系为（）A ．a b c <>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【方法技巧总结】1.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.【变式训练】1．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）已知0.412log 1.41,2,ln 2a b c ===，则（）A ．a c b <>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a>>方法三：作差法【典例分析】典例3-1．（2023·全国·模拟预测）设6log 2a =，12log 3b =，40log 5c =，则（）A ．a b c <>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a>>【方法技巧总结】1.通过做差与0的比较来判断两数的大小。

微专题17 指对运算及指对幂比较大小(解析版)

微专题17指对运算及指对幂比较大小【方法技巧与总结】知识点一、指对幂比较大小（1）单调性法（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．【题型归纳目录】题型一：指对数互化题型二：换底公式的应用题型三：利用指对幂函数的单调性比较题型四：利用中间值比较题型五：利用换底公式转化后比较题型六：利用两图像交点转化后比较题型七：含变量指对幂大小比较【典型例题】题型一：指对数互化例1．（河北省沧州市部分学校2022届高三上学期10月联考数学试题）设92a =，83b =，则log ()a ab =（）A ．281log 39+B ．381log 29+C ．281log 39-D ．381log 29-【答案】A【解析】98228log ()log log 1log 1og 33l 9a a a ab a b =+=+=+．故选：A例2．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知()328,0log ,0x x f x x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()()08f f a =，则实数a 等于（）A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】B【解析】因为()328,0log ,0x x f x x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，则()09f =，所以，()()()09298f f f a a ==+=，解得2a =-.故选：B.例3．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）化简29log 3x 的结果为（）A ．x B ．1xC ．xD ．1||x 【答案】C 【解析】223329loglog log 333x x xx ===，故选：C变式1．（2022·全国·高一单元测试）若2log 31x =，则33x x -+=（）A ．52B ．36C ．103D ．32【答案】A 【解析】由题得321log 2log 3x ==，所以331log log 22153333222xx-+=+=+=．故选：A ．变式2．（2022·全国·100y =，则lg lg x y ⋅的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D100y =等号两边同时取对数，得)lglg1002y ==，即1lg lg 24x y +=，令()lg R t y t =∈，则lg 84x t =-，所以()()22lg lg 84484144x y t t t t t ⋅=-=-+=--+≤，即lg lg x y ⋅的最大值是4（此时1t =，对应410,10y x ==）.故选：D变式3．（2022·全国·高一单元测试）已知53a =，32b =，则5log 10ab -=（）A ．1B ．2C ．5D ．4【答案】A【解析】∵53a =，32b =，∴5log 3a =，3log 2b =，5553log 10log 10log 3log 2ab -=-⨯=5555555log 2log 10log 3log 10log 2log 51log 3-⨯=-==．故选：A变式4．（2022·上海市建平中学高一期中）若正数a 满足lg24a =，则=a ___________．【答案】100【解析】因为正数a 满足lg24a =，所以lg 2lg lg 4a =，即lg 2lg 2lg 2a ⨯=，所以lg 2a =，解得210100a ==.故答案为：100.变式5．（2022·全国·高一课时练习）()()532log log log 0x =，则12x -=___________.【解析】因()()532log log log 0x =，则()32log log 1x =，即2log 3x =，解得328x ==，所以11228x--=.故答案为：4题型二：换底公式的应用例4．（2022·全国·高一单元测试）化简4839(2log 3log 3)(log 2log 2)=++____________【答案】2【解析】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=.故答案为：2.例5．（2022·上海·高一单元测试）已知182,1.52x y ==，则12x y-=______;【答案】3【解析】由题设，1832log 2,log 2x y ==，则2221832121234log 182log log (18)3log 2log 229x y -=-=-=⨯=.故答案为：3例6．（2022·上海·高一单元测试）已知1a b >>，若5log log ,2b aa b b a a b +==，则2+a b =___________.【答案】8【解析】由5log log 2a b b a +=，且log log 1a b b a ⋅=所以log ,log a b b a 是方程25102x x -+=的两根，解得log 2b a =或1log 2b a =，又1a b >>，所以log 2b a =，即2a b =，又b a a b =从而22b a b b a b =⇒=，且2a b =，则2b =，4a =．所以28a b +=.故答案为：8.变式6．（2022·江苏·南通一中高一阶段练习）已知23a b m ==且112a b+=，则m 等于（）AB ．6C ．12D ．36【答案】A【解析】由23a b m ==得2log a m =，3log b m =，11log 2log 3log 62m m m a b+=+==，26m =，m =，故选：A ．变式7．（2022·全国·高一课时练习）若23691log 3log log 62m ⨯⨯=，则实数m 的值为（）A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】A【解析】∵2369lg 3lg lg 6log 3log log 6lg 2lg 36lg 9m m ⨯⨯=⨯⨯2lg 3lg lg 6lg 11log lg 22lg 62lg 34lg 242m m m =⨯⨯===,∴2log 2m =，∴4m =．故选：A ．变式8．（2022·全国·高一课时练习）已知lg 2a =，lg 3b =，则36log 5=（）A ．221a b a +-B ．12a a b -+C ．22a a b-+D ．122a a b-+【答案】D【解析】因为lg 2a =，lg 3b =，所以()36lg51lg 21log 5lg362lg 2lg322aa b--===++．故选：D.变式9．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（）A ．d ac =B ．a cd=C ．c ab=D ．d a c=+【答案】B【解析】5log ,lg b a b c ==，两式相除得55log ,log 10lg b a ab c c==，又5510,log 10d d =∴=，所以ad cd a c=⇒=.故选：B.变式10．（2022·全国·高一单元测试）已知2log 3a =，则下列能化简为12aa+的是（）A ．8log 3B ．18l og 3C ．18l og 6D ．12log 3【答案】B【解析】对于A ，382211log 3log 3log 333a ===，A 错误；对于B ，222182222log 3log 3log 3log 3log 18log 22log 312log 312aa====+++，B 正确；对于C ，2222182222log 6log 2log 31log 31log 6log 18log 22log 312log 312aa +++====+++，C 错误；对于D ，222122222log 3log 3log 3log 3log 122log 2log 32log 32aa====+++，D 错误.故选：B.变式11．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（）A ．3log 15B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【解析】令350a b k ==>，则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=，∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =，∴3log 45a =.故选：C.变式12．（2022·江苏·高一）已知2243xy==，则3y xxy-的值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．2【答案】C【解析】因为2243x y ==，所以224log 3,log 3x y ==，由换底公式和对数的运算性质可得33333322433131813log 2log 24log 8log 24log log 1log 3log 3243y x xy x y -=-=-=-=-===-.故选：C题型三：利用指对幂函数的单调性比较例7．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知0.130.12,0.3,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <>，所以30.10.30.31<<，又0.121>，∴b c a <<．故选：C ．例8．（2022·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（）A ．()()42532.5 2.5->-B ．()132220.45--⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．11221332--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． 1.60.22.52->【答案】C【解析】A 选项：()()44552.5 2.5-=，()()22332.5 2.5-=，因为2.51>，4253>又因为指数函数 2.5x y =在R 上单调递增，所以()()42532.5 2.5>，即()()42532.5 2.5->-，故A 正确；B 选项：()332220.45--⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为2015<<，1322->-；又因为指数函数25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以()132220.45--⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项：因为12113-⎛⎫> ⎪⎝⎭，12312-⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以11221332--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；D 选项：因为 1.62.51>，0.221-<，所 1.60.22.52->，故D 正确；故选:C.例9．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（）A ．0.7 3.12.30.8>B ． 2.5 2.90.70.7-->C ．0.30.61.9 1.9>D ．0.90.32.7 2.7<【答案】A【解析】对于A,由于0.702.3 2.31>=， 3.10.8100.8<=，故0.7 3.12.30.8>,故正确，对于B,由于0.7x y =为单调递减函数，所以 2.5 2.90.70.7--<，故错误，对于C ，由于 1.9x y =为单调递增函数，所以0.30.61.9 1.9<，故错误，对于D ，由于 2.7x y =为单调递增函数，所以0.90.32.7 2.7>，故错误,故选：A变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知432a =，254b =，1325c =，236d =，则（）A ．b a d c <<<B ．b c a d <<<C ．c d b a <<<D ．b a c d<<<【答案】D【解析】由题得4133216a ==，2155416b ==，1325c =，2133636d ==，因为函数13y x =在R 上单调递增，所以a c d <<．又因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <．故选:D ．题型四：利用中间值比较例10．（2022·浙江·杭十四中高一期末）设实数3log 5a =，151log 3b =，124c -=，则（）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c>>【答案】C【解析】因为3331log log 5lo 392g =<<=，即12a <<，又155511log log log 3log 5123==<=，即112b <<，12142c -==，所以a b c >>；故选：C例11．（2022·全国·高一专题练习）已知0.30.80.81.6, 1.6,0.7a b c ===，则（）A ．c a b <>D ．a b c>>【答案】A【解析】 1.6x y =是增函数，故0.30.81.6 1.6a b =<=，而0.30.81.610.7c >>=，故c a b <<.故选：A.例12．（2022·新疆喀什·高一期末）已知12312113,log log 23-===a b c ，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】C【解析】因为1200313-<<=，所以01a <<，因为331log log 102<=，所以0b <，因为112211log log 132>=，即1c >，所以c a b >>.故选：C变式14．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知0.21.5a =，0.20.8log 1.20.8b c ==，，则（）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】因为0.20.20.81.51,log 1.20,0.8(0,1),a b c =>=<=∈，所以a c b>>故选：A变式15．（2022·陕西安康·高一期中）设253a =，325b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 5c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】A【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知205331a =>=，30220155b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332log log 105c =<=，∴a b c >>，故选：A.变式16．（2022·河南焦作·高一期中）设163a =，162b -=，1ln 2c =，则（）A ．c b a <=，106221b -=<=，且0b >，1ln ln102c =<=，所以c b a <<．故选：A变式17．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）已知0.13.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b>>【答案】D【解析】因为0.13.2a =，所以1a >；因为2log 0.3b =，所以0b <；因为3log 2c =，所以01c <<；所以a c b >>故选：D.变式18．（2022·云南玉溪·高一期末）已知e 0.4a =，3log 4b =，43log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．b c a<<【答案】B 【解析】由e 033443log log 100.40.4log 3log 414c a b =<=<==<==<，所以c a b <<.故选：B变式19．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）已知1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1253b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，235log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22335log log 102c =<=，10b a c ∴>>>>.故选：C.题型五：利用换底公式转化后比较例13．（2022·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数,,x y z ，满足346x y z ==，则下列说法不正确的是（）A ．1112x y z+=B ．346x y z>>C．3(2x y z+>D ．22xy z >【答案】B【解析】设3461x y z m ===>，则346log ,log ,log x m y m z m ===∴111log 3,log 4,log 6m m m x y z===对A ：1111log 3log 4log 3log 2log 622m m m m m x y z+=+=+==，A 正确；对B ：由题意可得：1131log 333m x x ==，同理可得：114,6log 4log 646m m y z ==∵log 3log 44log 33log 4log 81log 640341212m m m m m m ---==>log 4log 63log 42log 6log 64log 360461212m m m m m m ---==>∴log 3log 4log 60346m m m >>>，则346x y z <<，B 错误；对C：∵3466log log lg 6lg 6lg 2lg 3log log lg 3lg 4lg 3l 313222g 2x y x y z z m z m m m +>+=+=+=++⨯>∴3(2x y z +>，C 正确；对D ：()324266lg 2lg 3log log lg 6lg 6lg 3lg 2lo 1222lg 2lg 3g log lg 3lg lg 3242lg m m xy z m m +⎛⎫⨯=⨯==+=+> ⎪⨯⎝⎭∴22xy z >，D 正确；故选：B.例14．（2022·湖北黄石·高一期中）若实数a ，b 满足23log 3log 2a =+，345a a b +=，则（）．A ．2a b <>C ．2a b >>D ．2b a <<【答案】C【解析】因为2log 30>，所以23221log 3log 2log 32log 3a =+=+>,即2a >，故345a a b +=，即222534345b a a =+>+=，故2b >，令()345,(2)x x x g x x =+->，则222222()334455,(2)x x x g x x ---=⋅+⋅-⋅>，故22222222222()334455(34)455x x x x x g x -----=⋅+⋅-⋅<+⋅-⋅2225(45)0x x --=-<，即有()3450,(2)x x x g x x =+-<>，所以3504a a a -<+，即345a a a +<，即55b a <，故b a <，故2a b >>，故选：C.例15．（2022·天津·南开中学高一期中）已知32a =，ln 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】B【解析】由32a =可得，3ln 2log 2ln 3a ==，因为ln 31ln 20>>>，所以ln 2ln 21ln 3<<，又因为0.30221c =>=，所以c b a >>.故选：B.变式20．（2022·全国·高一课前预习）已知43a =，3log 4b =，4log 5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b>>【答案】A【解析】4133334log 3log 813a ===，3133log 4log 64b ==，因为>8164，所以11338164>，所以113333log 81log 64>，即a b >，由3log 4b =，4log 5c =，443444413log 51log 5l log og 53log 4log 3log b c -=--⋅=-=，因为4444log 30,log 50,log 3log 5>>≠，则()()222444441113log 53log log log l 515214og 44⋅<+=<⨯=，所以4413l o 0l g og 5-⋅>，即0b c ->，所以b c >，所以a b c >>.故选：A.变式21．（2022·云南省下关第一中学高一期中）已知5log 2a =，7log 2b =，112c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c < ⎪⎝⎭，则b a c <<故选：A题型六：利用两图像交点转化后比较例16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()ln f x x =，()lg g x x =，3()log h x x =，直线(0)y a a =<与这三个函数的交点的横坐标分别是123,,x x x ，则123,,x x x 的大小关系是（）.A ．231x x x <在(0,)x ∈+∞上单调递增，所以111310aaae ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即231x x x <<故选：A.例17．（2022·安徽宣城·高一期末）设a ，b ，c 均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b a c<<【答案】C【解析】在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2x y =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出a b c <<．故选：C例18．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程220x x +=、2log 20x x +=、320x x +=的根分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（）．A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．b a c>>【答案】B【解析】由3()0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由方程220x x +=得22x x =-的根为a ，由方程2log 20x x +=得2log 2x x =-的根为b .在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、2y x =-的图象，由图象知，0a <，0b >，a c b ∴<<.故选：B变式22．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）已知函数32()22,()log 2,()2x f x x g x x x h x x x =++=++=++的零点分别是,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．b c a >>B ．c a b>>C ．b a c>>D ．a b c>>【答案】A【解析】函数()22x f x x =++的零点a 为2x y =与2y x =--的图像的交点的横坐标；函数2()log 2g x x x =++的零点b 为2log y x =与2y x =--的图像的交点的横坐标；函数3()2f x x x =++的零点c 为3y x =与2y x =--的图像的交点的横坐标；在同一个直角坐标系中作出2x y =，2log y x =，3y x =，2y x =--的图像，如图示：根据图像可知:2a <-,01b <<,1c =-.b c a ∴>>故选:A变式23．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知3113311log , 3log , log 33m kn m n k ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,m n k 的大小关系是（）A ．m n k >>B ．m n k<<C ．n m k<<D ．n k m<<【答案】D【解析】画出13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3x y =，13log y x =的图像，如图所示：根据图像知：n k m <<.故选：D.变式24．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知()12log f x x =，()2log g x x =，()lg h x x =，若()()()f a g b h c ==，则,,a b c 的大小关系可能是（）A ．a b c <>D ．b a c>>【答案】ABC【解析】分别作出三个函数的图象，如图：当()()()0f a g b h c ===时，有1a b c ===，故B 有可能；当()()()0f a g b h c ==>时，如图中x 轴上方的虚线所表示，此时有01a b c <<<<，故A 有可能；当()()()0f a g b h c ==<时，如图中x 轴下方的虚线所表示，此时有01c b a <<<<，故C 有可能；除此三种情况，()()()f a g b h c ==时，没有其它情况，故D 不可能，故选：ABC题型七：含变量指对幂大小比较例19．（2022·全国·高一课时练习）已知0<a ，且ln a ＜ln b ＜0，即有ln 1ln a b >，因此，ln ln()0ln ab >，即p >0，又m <0，n <0，则ln ln 1ln ln m b a b an a b a b==⋅>，于是得m <n <0，所以m <n >．再由指数函数的性质得aa a a a a <<，即a cb <<．故选：A例21．（2022·河南开封·高一期中）若01a b <<<，a x b =，b y b =，b z a =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．y z x <<B ．y x z<<C ．x z y<<D ．z y x<<【答案】D【解析】由01a b <<<指数函数()x f x b =是R 上的减函数，0()()(0)1f b f a f ∴<<<=，即01b a b b <<<，幂函数()b g x x =，在()0,∞+上是增函数，0(0)()()(1)1g g a g b g ∴=<<<=，即01b b a b <<<，01b b a a b b ∴<<<<，故z y x <<．故选：D ．变式25．（2022·江苏南京·高一期末）已知01x <<，若22log ,2,x a x b c x ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<<<，故a c b <<，故选：B.变式26．（2022·全国·高一课时练习）设函数())f n n =-，()ln(g n n =-，则()f n 与()g n 的大小关系是（）A ．()()f n g n >B ．()()f ng n <C ．()()f ng n ≥D ．()()f ng n ≤【答案】Bn 和n ()()f n g n ≠.令1n =，())1)ln10f n n =-=-<=，()ln(ln10g n n =-==.所以()()f n g n <.故选：B变式27．（2022·全国·高一单元测试）设x ，y ，z 为正实数,且235log log log 0x y z ==>,则,,235x y z的大小关系不可能是（）A ．235x y z <，则2t x =，3t y =，5t z =，所以1112,3,5235t t t x y z---===，当t=1时，B 正确；当t>1时，A 正确；当0<t<1时，C 正确；故选D.变式28．（2022·全国·高一专题练习）已知235log log log 1x y z ==>，则2x，3y ，5z 的大小排序为（）A ．235x y z<.则122k x -=，133ky -=，155k z-=，又10k -<，所以111235k k k --->>，可得532z y x<<.方法二：由235log log log 1x y z ==>.得2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，即235235log log log 0x y z==<，可得532z y x<<.故选：D变式29．（2022·江苏·高一专题练习）若()01x ∈，，则下列结论正确的是（）A ．122lg x x x >>B ．122lg x x x >>C ．122lg x x x>>D ．12lg 2x x x >>【答案】A 【解析】()01x ∈，，lg lg10x ∴<=，1201x <<，0221x >=，122lg xx x ∴>>，故选：A ．变式30．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知log 3>log 3>0b a ，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b>B ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2log ()0a b ->D ．21a b -<【答案】B【解析】log 3>log 3>0b a ，由换底公式，有330<log <log b a ，解得1a b >>，∴11a b<，A 选项错误；函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，∴1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项正确；0a b ->，但>1a b -不一定成立，不能得到2log ()0a b ->，C 选项错误；02>2=1a b -，D 选项错误.故选：B变式31．（2022·四川凉山·高一期末（理））非零实数a ，b 满足a b >，则下列结论正确的是（）A ．11a bC ．22ac bc >D ．e 1a b ->【答案】D【解析】对于A ，当2,1a b ==-，满足：非零实数a ，b 且a b >，而111>12a b=-=，故A 不正确；对于B ，当2,1a b ==-，满足：非零实数a ，b 且a b >，而152222b a a b +=--=-<，故B 不正确；对于C ，当0c =时，22ac bc =，故C 不正确；对于D ，因为非零实数a ，b 满足a b >，所以0a b ->，所以e 1a b ->，故D 正确，故选：D.【过关测试】一、单选题1．（2022·天津南开·高一期末）三个数220.81log 1.41a b ==，，0.312c =之间的大小关系为（）A ．b a c <=>，即112a <<，21log 1.41log 2b =<=，即102b <<，0.310221c =>=，综上：c a b >>故选：A2．（2022·天津·高一期末）设0.40.40.4log 0.5,0.3,0.5a b c --===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．c a b>>【答案】A【解析】因为0.4log y x =在()0,+∞上单调递减，所以0.40.40.4log 1log 0.5log 0.4<<，即01a <<，因为0.4y x =在()0,+∞上单调递增，又11100.3,0.523--==，即110.30.51-->>，所以()()0.40.4110.40.0.513-->>，即0.40.410.30.5-->>，故1b c >>，所以b c a >>.故选：A.3．（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】C【解析】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>，故选：C4．（2022·全国·高一课时练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <，()11112202f -=+-=-<，()()120f f <，则12a <<；33b b +=，即330b b +-=，即33b b =-，由3xy =与3y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +-=在()0,∞+只有一个根b ，令()33xg x x =+-，()113310g =+-=>，12115330222g ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<；4log 4c c +=，即4log 4c c =-，即4log 40c c +-=，由4log y x =与4y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +-=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+-，()444log 4410h =+-=>，()4433log 34log 310h =+-=-<，()()340h h <，则34c <<；b a c∴<<故选：A.5．（2022·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）已知函数()113x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设51(log )6a f =，1()2b f =，32(2)c f =，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】A【解析】可知()f x 在(,1)-∞上单调递增，(1,)+∞上单调递减，且图像关于1x =对称5511log log 165<=-，而32223<<故选：A6．（2022·全国·高一课时练习）已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D【解析】∵函数1()21x f x x -=+-为增函数，又11(0)210,(1)102f f -=-=-<=>，∴()0,1a ∈，由1()e 10x g x -=-=，得1x =，即1b =，∵2()log (1)1h x x x =-+-在()1,+∞单调递增，又223331(log (1)10,(2)log (21)21102222h h =-+-=-<=-+-=>，∴322c <<，∴c b a >>.故选：D.7．（2022·湖北省红安县第一中学高一阶段练习）已知x ，y ，z 都是大于1的正数，且x y z ==，令32,,a x b y c z ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c>>【答案】D【解析】由==，令k ===；x，y ，z 均大于1；0k ∴>；∴2222,3,6kkkx y z ===；∴2232,3,6kkk a b c ===；∴,3,k k k a b c ===，3>>(0)ky x k =>是单调增函数，b ac ∴>>，8．（2022·新疆·乌市一中高一期末）设a ＝2019202220212022⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝2021202220192022⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2019202220192022⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】B 【解析】因为20192022y x=在(0,)+∞上单调递增，20192022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减所以201922020192022212022202202120192022202201920222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故a c b >>.故选：B9．（2022·河南开封·高一期末）已知实数31log 10a =，0.82b =，c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】A【解析】解析：由题31log 010<，0.8122<<，01<<，即有a c b <<.故选：A.10．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）若202112022a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120212022b =，20221log 2021c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <=，所以1202120221>；202220221log log 102021<=，∴c a b <<．故选：D ．11．（2022·江西·高一期末）已知0.116a =，0.350.5b -=，4log 3.9c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <1a b -==>==，4log 3.91c =<，所以c b a <<，故选:B.12．（2022·江西景德镇·高一期末）已知123a =，9log 2b =，2log c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．a c b>>【答案】D【解析】由题意可得：102331a =>=，99log 291log b =<=，22log log 21c =<=故有：,a b a c >>921log 232log b ==，221log 32c =故14b c=，又01,01b c <<<<又221log log 2=112c <<则有：2114044c b c c c c--=-=<故有：b c <综上可得：b c a <<故选：D 二、填空题13．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）若2322ln(ln1.01),ln ln ,ln 23a b c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为____________．【答案】c b a >>【解析】因为22ln ln 33ln 2ln ln l 3n b πππ⎛⎫=⎛ ⎪⎫== ⎪⎝⎭⎭⎝，132ln 22ln 23c ==，所以构造函数()2ln f x x =，由对数函数的性质知，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以只需比较ln1.01，ln3π，132的大小，由于1.013 3.03π⨯=<，故1.013π>所以13ln3ln1.0112π<<<所以132ln ln 322ln(ln1.01)2ln 2ln 23a b cπ⎛⎫< =⎪⎭=⎝<==故答案为：a b c<<14．（2022·全国·高一课时练习）已知222,log ,log (log ),(log ),a a a a a x a M x N x P x <<===则M 、N 、P 的大小顺序是_____.【答案】M P N>>【解析】由2a x a <<，即2a a <，可得01a <<，所以201a x a <<<<，故1log 2a x <<，所以log (log )0a a N x =<，22(log )log log (log 2)0a a a a P M x x x x -=-=-<且1P >，综上，M P N >>.故答案为：M P N >>15．（2022·全国·高一）11222111323⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，的大小关系是________．【答案】11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，由123>，知1221133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；幂函数12y x =是增函数，11221111,()()2323>∴>.所以11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭16．（2022·福建师大附中高一期末）正实数a ，b ，c 满足a +2-a =2，b +3b =3，c +4log c =4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为_________.【答案】b a c <<【解析】由220a a -=->⇒02a <<⇒1214a -<<⇒722(1,4a a -=-∈，由330b b =->⇒03b <<，又330b b =->⇒01b <<，当01c <<时，4log 40c c =-<，显然不成立；当1c =时，4log 0413c =≠-=，不成立；当1c >时，4log 40c c =->⇒14c <<⇒40log 1c <<⇒34c <<；综上，b a c <<.故答案为：b a c <<三、解答题17．（2022·湖南·高一课时练习）比较a ，b ，c 的大小：(1)已知12x <<，()22log a x =，22log b x =，()22log log c x =；(2)已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =．【解析】(1)∵12x <<，2220log 1log log 21x ∴=<<=，即()2log 0,1x ∈，()222log log log 10c x ∴=<=，()()21222log log log a x x x =<=，∴0＜2log a x <，∴2222log 2log log b x x x a ==>>，∴c ＜0＜a ＜b ，c a b ∴<<；(2)()333log 6log 321log 2a ==⨯=+，()555log 10log 521log 2b ==⨯=+，()777log 14log 721log 2c ==⨯=+，又0lg3lg5lg7<<<，lg2lg2lg2lg3lg5lg7∴>>，357log 2log 2log 2∴>>，3571log 21log 21log 2∴+>+>+，即a ＞b ＞c ﹒。

幂、指、对数的大小比较-高考数学总复习

由 a－2＝ln a2＝ln a－ln 2，可得 a－ln a＝2－ln 2，即 f(a)＝f(2)，同理可得 f(b)＝f(3)， f(c)＝f(4). 因为函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且a≠2，b≠3，c≠4，则 a，b，c∈(0，1)，由f(2)＜f(3)＜f(4)，可得f(a)＜f(b)＜f(c)，故c＜b＜a. 【答案】A
A．c＜a＜b C．a＜c＜b
B．c＜b＜a D．a＜b＜c
(A )
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【解析】因为 a＝55＝2510＜259＝b，c＝4.55＜55＝a，所以 c＜a＜b.
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配套精练
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4．已知 a＝23，b＝log32，c＝cos 3，则 a，b，c 的大小关系为
配套精练
配套精练
一、单项选择题
1．(2023·安阳三模)已知 a＝212，b＝45－12，c＝log76，则 a，b，c 的大小关系为
A．c＜a＜b C．a＜b＜c
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
(B )
【解析】a＝212，b＝45－12＝5412，因为 1＝540＜5412＜212，所以 a＞b＞1.因为 c＝log76＜ log77＝1，所以 c＜b＜a.
当 x≥e 时，f′(x)≤0，故 f(x)在[e，＋∞)上单调递减，则 f(e)＞f(4)＞f(5)，所以 a＞b＞
c.
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2025高考数学总复习指、对、幂的大小比较

思维升华
利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，1 ，1”对所比较的数进行划
2 分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如 log23 ，可知 1 ＝ log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较.
＜
3 2
4
，即b<c，故c>b>a.
命题点2 找中间值
例2
(2023·无锡模拟)已知a＝log72，b＝
1 log0.10.7
，c＝0.60.4，则a，b，c
的大小关系是
√A.a<clog0.70.7＝1，∴b>1，
(2)(2023·镇江模拟)若
a
1
23
，b＝log213，c＝sin
13，则
a，b，c
的大小关
系为
A.a>b>c
√B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
1
∵a＝2 3
>20＝1，且
b＝log213<log21＝0，
又13∈0，π2，∴c＝sin13∈(0,1)，∴a>c>b.
题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小

高考数学复习基础知识专题讲解与练习07 指对幂比较大小(解析版)

高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题07 指对幂比较大小一、单选题1．已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【分析】由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=，3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D2．已知1lna π=，13b e =，log 3c π=，则,,a b c 大小顺序为（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可判断大小.【详解】 1ln ln10a π=<=，1031b e e =>=，0log log 31log 1c ππππ==<<=， b c a ∴>>.故选：D. 3．已知1ln a π=，13b e =，log 3c π=，则,,a b c 大小顺序为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【分析】利用指对数函数的单调性分别求出,,a b c 的范围即可.【详解】因为1ln ln10a π=<=，1031b e e =>=，()log 30,1c π=∈ 所以b c a >>故选：D【点睛】本题考查的是对数、指数幂的比较，较简单.4．设3434a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，243b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log 2c =，则a ，b ，c 的大小顺序是 A ．b a c < ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且3244433b ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又223log log 212c =<=. 故c a b <<.故选：B【点睛】本题主要考查了利于指数对数函数的单调性对函数值大小进行比较,属于基础题型.5．,,a b c 均为正实数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =，则,,a b c 的大小顺序为 A ．a c b <=，而122log a a =，∴1122log log a b >，∴a b <．又21log 2c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭且121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图象可知1c >，01b <<，故a b c <<，故选D ．考点：利用函数图象比较大小.6．若0.80.2a =，0.20.8b =，0.31.1c =，lg0.2d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．c b a d >>>B ．c a b d >>>C ．b c a d >>>D ．a c b d >>>【答案】A【分析】由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.【详解】由指数函数的单调性知：0.20.80.20.2>，0.301.1 1.11>=由幂函数的单调性知：0.20.20.80.2>，所以0.20.20.810.80.20.20c b a >>=>>=>，又由对数函数的单调性可知：lg 0.2lg10d =<=综上有：c b a d >>>.故选：A7．设3log πa =，32log 2b =，1ln e 4c =，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】解：因为1ln ln10e<=，所以1ln 0e 0441<<=，即01c <<，又2333332log 2log 2log 4log log 31π==>>=，即1b a >>，所以b a c >>；故选：B8．已知0.352,ln 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.【详解】由551log 2log log 522a a a =⇒==<，由112b >>>，0.312c =>，所以c b a >>，故选：B9．已知 4.10.90.1445,,554a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则这三个数的大小关系为（） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】B【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】0.90.94554b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为54x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增﹐则1b c >>，又 4.1044155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故b c a >>.故选：B.10．若22225555112,3,,23a b c d ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．a >b >c >dB ．b >a >d >cC ．b >a >c >dD ．a >b >d >c【答案】C【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】解：0022552,3,2131a b >=>===22005511111,12233c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭<⎭<，另外22055252223133a b ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎭=⎝，则b >a 2520525121221333c d ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，则c >d 故b >a >c >d故选：C.11．已知0.81()2a -=，122log 3b =，0.54c =则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】D【分析】结合指数函数、对数函数特征判断每个数的大致范围，再作比较即可【详解】().0.80821,21()2a -∈==，()12223log log 0,132b ==∈，0.542c ==，显然b a c <<，故选：D12．已知32a =，ln 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】B【分析】首先根据指数对数互化公式以及换底公式求出a ，然后再利用中介值“1”即可比较a ，b ，c 的大小.【详解】由32a =可得，3ln 2log 2ln 3a ==，因为ln31ln 20>>>，所以ln 2ln 21ln 3<<，又因为0.30221c =>=，所以c b a >>.故选：B.13．已知43a =，3log 4b =，0.13c -=，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【分析】首先根据题意得到4333log 3log 4>，从而得到a b >，又根据3log 41b =>，100.313c -<==，从而得到b c >，即可得到答案.【详解】因为4334log 33a ==，344333=3=81464⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以4333log 3log 4>，即a b >.又因为33log 4log 31b =>=，100.313c -<==，即b c >，所以a b c >>.故选：A14．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，所以a b c <<，故选：A15．若()232a =，233b =，2312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，231()3d =，则a ，b ，c ，a 的大小关系是（） A ．a b c d >>>B ．b a d c >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>【答案】C【分析】根据幂函数的概念，利用幂函数的性质即可求解.【详解】203> ∴幂函数23y x =在()0,∞+上单调递增，又1132023>>>>， 22223333113223⎛⎫⎛⎫∴>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b acd ∴>>>故选：C.16．已知 1.70.3a =，0.31.7b =，0.3log 1.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b <=所以01a b <<<；根据对数函数的性质知，0.30.3log 1.7log 10<=，所以0c <；所以a ，b ，c 的大小关系是c a b <<.故选：C.17．已知2log a =3log b =，c =a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <=，2210log log 22a <=<=，331log log 122b =<=<，∴a b c <<. 故选：A ．18．已知0.51.2a =， 1.50.5b =，c =A ．a b c <==，所以1a >. 因为151.10.5=20.5b =<，所以102b <<.而c =112c <<，故b c a <<. 故选D.19．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，所以a c >，所以c ab <<.故选：D.20．设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.21．若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln 2x c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】D【分析】先利用ln y x =的单调性求出a 值范围；再利用2x y =的单调性比较b 和c 的大小而得解.【详解】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22x x -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x <<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D22．已知3253311log 2,,53a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c <⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得出答案.【详解】由函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，可得331log log 21,2a ==<，由函数15x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，可得3152111,552b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，可得23011133c ->⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因此b a c << 故选：B23．设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据指数函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 与幂函数34y x =的单调性判断,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<. 故选：C24．已知12019ln20202020a =+，12020ln 20212021b =+，12021ln 20222022c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，()111x f x x x -'=-=，当01x <<时，()0f x '>， ()f x 单调递增，所以111202*********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b c >>. 故选：A25．已知1331311log 5,,log 26a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】D【分析】由于1331log g 66lo c ==，再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可. 【详解】1331log g 66lo c ==，因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增，所以333131log 31log 5log 6log 6a c =<=<<=，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10312112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，所以c a b >>故选：D【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量（通常找0和1）进行比较.26．已知111,,,a b a M a N a P b a b <<===，则,,M N P 的大小关系正确的为（） A ．N M P <，即N M >，又幂函数a y x =在()0,∞+上单调递增，a a ab ∴>，即M P >，N M P ∴>>，故选：B.27．已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.【详解】因为32ππ<<，所以()sin30,1a =∈，33log sin 3log 10b =<=，sin30331c =>=，所以c a b >>.故选：C28．设153a =，315b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）. A ．b a c <>，则1035133()05>>>，对数函数3log y x =在(0,)+∞上单调递增，1015<<，则331log log 105<=，所以有1353113()log 55>>，即c b a <<. 故选：D29．已知a e π=，23b =，sin 2021c =，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．c a b ＜＜B ．c b a ＜＜C ．a c b ＜＜D ．a b c ＜＜【答案】A【分析】利用指对互化，结合对数函数的单调性比较a ，b ，再由象限角的符号确定c 的范围比较即可.【详解】由a e π=，得ln a π=，因为 3.14, 2.7128, 4.48e π≈≈，所以ln ln ln e π<<ln ln e a << 所以312a <<，由23b =，得223log 3log 2b =>，又()sin 2021sin 5360221sin 2210c ==⨯+=<，所以c a b ＜＜，故选：A30．已知2516log 3,log 9,0.3a abc -===，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】利用对数运算、指数运算化简,b c ，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.【详解】 22444log 3log 3log 41b ==<=，所以01a b <<<，5555325log log log 5253log 32231010100.30.3110333a c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====>=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cb a >>.故选：D31．已知3log 1.5a =，0.5log 0.1b =，0.20.5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c <，112c <<，进而可得结果. 【详解】∵33310log 1log 1.5log 2=<<=，∴102a <<，∵0.50.5log 0.1log 0.51>=，∴1b >，∵0.200.50.50.5<<，∴112c <<， ∴a c b <<，故选：B.32．已知ln 22a =，1b e =，ln 33c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b c a <>，令a c -，结合对数的运算性质可判断出c a >，从而可选出正确答案.【详解】解：设()ln x f x x =，则()21ln x f x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<，则()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，则当x e =时，()max ln 1e f x e e ==，即,b a b c >>； ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a c ---=-==<，则c a >，所以bc a >>，故选：C ．【点睛】思路点睛：比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1、求出函数的单调性，结合增减性进行判断；2、利用作差法，判断两数与零的关系；3、利用作商法，判断两数与1的关系.33．若()122211log ,0,222a bc a b b c -⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【分析】分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，由图象交点坐标，即可判断得出,,a b c 的大小关系. 【详解】分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，如图所示，由图象，可得c b a <<.故选：B.34．已知251log 3,2log 2,0.752a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D【分析】利用换底公式将a ，b ，c 转化为2lg 1312lg 2a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，5lg 11612lg 5b ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， 1.51lg 22c =，再利用对数函数的单调性判断.【详解】22lg 11lg 313log 3122lg 22lg 2a ⎛⎫ ⎪===- ⎪ ⎪⎝⎭， 5555lg 111lg161162log 24log 2log 161222lg52lg5b ⎛⎫ ⎪==⨯===- ⎪ ⎪⎝⎭，因为25316>，所以25lg lg 316>，又因为lg 2lg5<，所以25lglg 316lg 2lg 5>，所以a b <，而 1.5110.75 1.5lg 222c ==⨯=，因为 1.523=，所以1lg32c a <=，所以,,a b c 的大小关系为b a c >>故选：D35．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】B【分析】先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.【详解】∵log log m a a m b b =， ∴777log lo 6g 23g 2826lo a ===， 777log 3lo 6g 2g 3936lo b === 7log 66c = 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，所以b a c >>.故选：B【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.36．已知0.32=a ， 1.12.3b =，3log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <，332log 6log 1.5c >=>=，所以a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.故选：C.37．已知115414111(),(),log 455a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <，根据幂函数120y x =在(0,)+∞上为增函数，可得a b <，根据指数函数的单调性可得1b <，由此可得答案.【详解】114411log log 154c =>=， 1154201144a ⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12011024⎛⎫= ⎪⎝⎭,1142020115625b ⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为120y x =在(0,)+∞上为增函数，且111024625<，所以a b <，又1020111625625⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1b <，综上所述：a b c <<.故选：A38．已知236a b ==，log a c b =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <=，且3log 6b =，又由3333log 6log 31,log 6log 92>=<=，所以12b <<又因为log log 1a a c b a =<=，所以c b a <<.故选：C.39．已知1002a =，653b =，309c =（参考值120.3010g =，130.4771g =），则a ，b ，c 的大小关系是（）. A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】B【分析】两边同时取以10为底的对数，利用对数的单调性即可求解.【详解】306093c ==，1001002lg lg 2100lg 230.1a a =⇒===，65653lg lg365lg331.0115b b =⇒===，30609lg lg 360lg 328.626c c =⇒===所以lg lg lg c a b <<，即c a b <<.故选：B。

高考高频考点5指对幂比大小

第5讲指对幂比大小知识与方法1.核心中间量：指对混合比大小，一般先判断每个数跟0和1的大小关系.2.其他中间量：1−，12−，12，32，2是除了0和l 之外的常见中间量.3.整数两边夹：找出题目给的数落在哪个整数区间，例如，给一个数2log 7，易知222log 4log 7log 8<<，所以22log 73<<.4.图象法：画出函数图象，数形结合分析更直观.5.作差法：例如，ln 22a =，ln 33ln 22ln 3ln8ln 90366b a b a b −−=⇒−==<⇒<. 6.作商法：例如，ln 22a =，ln 33ln 2ln8132ln 3ln 9a b a b b =⇒==<⇒<. 7.函数法：构造函数，利用单调性比大小.解题时，先大致估算范围，若在同一个范围内，再利用其他方法解决.题组一 1.（2020·天津·6·★★）设0.73a =，0.813b −⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.7log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<【解析】观察发现a ，b 可变成同底，0.80.81=33b −⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为3x y =，所以0.80.70333>>，即1b a >>，而0.7log y x =，所以0.70.7log 0.8log 0.71<=，故c a b <<.【答案】D【提炼】①核心中间量“1”；②a ，b 用函数3x y =的单调性比大小. 2.（★★）设2log a π=，12log b π=，2c π−=，则（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c b a >>【解析】22log log 21a π>⇒>；1122log log 10b π<⇒<；20001c ππ−<<⇒<<，故01b c a <<<<. 【答案】C【提炼】选取0，1作为中间量来必经的大小. 3.（★★）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（） A.a b c << B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<【解析】22log 0.2log 10a <⇒<；0.20221b >⇒>；0.3000.20.201c <<⇒<<，所以01a c b <<<<. 【答案】B【提炼】以0和1作为中间量. 4.（★）已知132a −=，21log 3b =，121log 3c =，则（） A.a b c >> B.a c b >> C.c a b >> D.c b a >>【解析】10302201a −<<⇒<<；221log log 103b <⇒<；1112221log log 3log 313c −−==⇒>，故b a c <<.【答案】C【提炼】0和1是最常见的中间量. 5.（★★）已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A.c b a << B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【解析】由22log 7log 42a >⇒>；由333log 3log 8log 912b <<⇒<<；0.200.30.311c <=⇒<，故c b a <<【答案】A【提炼】1和2是常见的中间量. 6.（★★）设3log 7a =， 3.32b =， 1.10.8c =，则（） A.b a c << B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<【解析】333log 3log 7log 912a <<⇒<<； 3.31222b >⇒>； 1.100.80.81c <⇒<，故12c a b <<<<. 【答案】B【提炼】1和2是常见的中间量.7.（2020·新课表IIII 卷·文·10·★★★）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（）A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【解析】23c =，这个数值的大小很清晰，所以就以它为中间量，只需将a ，b 分别与c 比较即可.要比较3log 2与23，则把23变成与3log 2同底的对数，即把23变成233log 3，再比较2与233的大小即可.32223233333322833923log 2log 3log 23⎛⎫=<==⇒<⇒<⇒< ⎪⎝⎭，同理要比较5log 3与23，则把23变成235log 5，再比较3与235的大小即可. 32223233355523=275=52535log 3log 5log 33⎛⎫>=⇒>⇒>⇒> ⎪⎝⎭，故a c b <<【答案】A【提炼】要比较23与对数log a b 的大小，只需化同底，把23变为23log a a ，结合对数函数的单调性来比.题组二8.（★★）已知37log 2a =，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >> D.c a b >>【解析】根据log log n m a a mb b n=，可得1113331log log 5log 55c −−===，3337log 5log log 312c a >>⇒>>，10311=11144b b a c ⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】D 9.（★）设131log 2a =，132log 3b =，34log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【解析】观察发现a ，b ，c 可化为“同底”.1331log =log 22a =，13323log =log 32b =，34log 3c =，333343log log log log 232y xc b a =⇒<<⇒<<. 【答案】B【提炼】化成同底的对数，利用函数的单调性求得它们的大小关系. 10.（★）已知 1.22a =，0.82b =，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.b c a <<【解析】 1.20.8022221x y a b =⇒>>⇒>>，552log 2log 411c =<⇒<，所以1c b a <<<.【答案】A 11.（★★★）已知432a =，254b =，1325c =，则（）A.b a c <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【解析】观察发现，a ，b 可化同底，a ，c 可化同指.2xy =，245542b ==，432a =，故b a <.43y x =在()0,+∞上，)413325c ==，432a =，故c a >，所以b a c <<.【答案】A【提炼】要擅于观察，化“同底”可利用指数函数单调性比大小，化“同指”可利用幂函数单调性比大小.12.（016·新课标I 卷·文·8·★★）若0a b >>，01c <<，则（）A.log log a b c c <B.log log c c a b <C.c c a b < D .a b c c > 【解析】A 项，当10a b >>>时，log log 0c c b a >>，故log log 11log log 0log log log log c c a b c c c c b a c c a b a b−−=−=>⋅，即log log a b c c >，故A 项错误； B 项，01log c c y x <<⇒=，因为a b >，所以log log c c a b <，故B 项正确；C 项，01c c y x <<⇒=在()0,+∞上单调递增，0c x a b a b >>⇒>，故C 项错误；D 项；01x c y c <<⇒=，0a b a b c c >>⇒<，故D 项错误.【答案】B13.（★★★）若1a b >>，01c <<，则（） A.c c a b <B.c c ab ba <C.log log b a a c b c <D.log log a b c c <【解析】取4a =，2b =，12c =，代入选项可排除A ，B ，D ，故选C. 解法2：A 项，01c c y x <<⇒=在()0,+∞上，1c c a b a b >>⇒>，故A 项错误；B 项，11c c c c ab ba b a −−<⇔<，01110c c <<⇒−<<−<⇒函数1x y x −=在()0,+∞上11c c b a −−⇒>，故B 项错误；C 项，log log log log log log log log a b a b b a c c c c c c a ba cbc a a b b a b a b b a<⇔<⇔<⇔<⇔>，因为1a b >>，所以a a b >b 成立，故C 项正确；D 项，11log log log log log log a b c c c c c c b a b a a b <⇔<⇔<⇔>，而1a b >>故D 项错误. 【答案】C14.（★★）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A.a b c << B.a c b << C.b a c << D.b c a << 【解析】 1.50.60.60.60.6xy b a =⇒<⇒<，0.60.60.60.6 1.5y x a c =⇒<⇒<，所以b a c <<.【提炼】要擅于观察，化成“同底”或“同指”，利用指数函数、幂函数判断大小. 15.（★★★）已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.315c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A.a b c << B.b a c >> C.a c b >>D.c a b >>【解析】将c 的底数也化为5，()3333log 0.310log log 0.3log 0.3131=5555c −−⎛⎫=== ⎪⎝⎭，要比较a ，b ，c 的大小，只需比较2log 3.4，4log 3.6，310log 3的大小，322223log 3.4log 2log 3.42>⇒>；444log 3.6log 4log 3.61<⇒<;32333310103log 3log log 31log 332<<⇒<<.所以43210log 3.6log log 3.43<<，故a c b >>.【答案】C【提炼】①观察→化同底→单调性；②当两个数都在1和2之间时，考虑以“32”作为中间量比较大小.题组三16.（★）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（） A.a c b >> B.b c a >> C.c a b >> D.c b a >>【解析】321log 2=log 3a =，521log 2=log 5b =，222211log 5log 310101log 5log 3b a >>⇒<<<⇒<<<，而2log 31c =>，所以c a b >>. 【答案】C 17.（★★）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（） A.c b a >> B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >>【解析】()333log 6=log 321log 2a =⨯=+，()555log 10=log 521log 2b =⨯=+，()777log 14=log 721log 2c =⨯=+，故只需比较3log 2，5log 2，7log 2的大小即可，可用公式1log log a b b a =来化同底，321log 2=log 3，521log 2=log 5，721log 2=log 7， 2222221110log 3log 5log 7log 3log 5log 7a b c <<<⇒>>⇒>>. 【答案】D题组四设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则（）A.233231log 224f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.233231log 224f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C.23323122log 4f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.23323122log 4f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】先把选项中的自变量全部化到()0,+∞这个减区间上来，再利用单调性比较大小.()f x 是偶函数()33311log log log 444f f f ⎛⎫⎛⎫⇒=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2233332233310221log 422log 4log 4f f f f −−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<⇒>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】C 19.（★★★）定义在R 上的函数()21x m f x −=−（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A.a b c << B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<【解析】()f x 为偶函数()()f x f x ⇒−=恒成立 ()2121021x mx mxx m x m m f x −−−⇒−=−⇒+=−⇒=⇒=−，易得()f x 在[)0,+∞上单调递增，()()()0.50.52log 3=log 3log 3a f f f =−=，()00c f ==，()()()22220log 3log 50log 3log 5f f f c a b <<⇒<<⇒<<. 【答案】C 20.（★★★）已知奇函数()f x 在R 上的增函数，()()g x xf x =，()2log 5.1a g =−，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【解析】()f x 为奇函数()00f ⇒=且()()g x xf x =为偶函数，()f x 在R 上递增⇒当0x >时，f(x)>f(0)=0.下面判断g(x)在(0,+∞)上的单调性，当x增大时，f(x)也增大，且都是正的，x和f(x)乘起来肯定变大，所以g(x)在(0,+∞)上也是增函数，将a的自变量化到(0,+∞)上得a=g(−log25.1)=g(log25.1)，因为20.8<2<log25.1<3，所以g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，即b<a<c.【答案】C。

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高考《指对幂比较大小》专题
2019年（）月（）日班级姓名
2014—文数—辽宁卷
4.已知01a <<，log 2log 3a a x =+，1
log 52
a y =，log 21log 3a a z =-，则
（） A ．x y z >> B ．z y x >>
C ．y x z >>
D ．z x y >>
4．C
2006—文数—天津卷
4. 设)2(log log ,2log ,3log 3232===R Q P
（A ）P Q R <<
（B ）Q R P << （C ）P R Q << （D ）Q P R <<
（4）A
2014—文数—天津卷
4. 设a =log 2π，b =log π，c =π﹣2，则（） A ． a ＞b ＞c
B ． b ＞a ＞c
C ． a ＞c ＞b
D ． c ＞b ＞a
【答案】C
【解析】log 2π＞1，log
π＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1，∴a ＞c ＞b
2009—文数—天津卷
5. 设0.3
113211log 2,log ,3
2a b c ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，则
A. a b c <<
B.a c b <<
C. b c a <<
D.b a c << 【答案】B
【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<<c a ，而
13log 2>=b ，因此选B 。

2009—理数—全国2卷
7.设32log ,log 3,log 2a b c π===
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >>
解：
322log 2log 2log 3b c <<>
2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A.
2014—理数—全国3卷
6. 已知43
2a =，25
4b =，13
25c =，则（）
A ．b a c <=，1223
3
3
2554c a ==>=，所以b a c <<，故
选A ．
考点：幂函数的图象与性质．
【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．
2009—文数—全国2卷
7.设2
lg ,(lg ),lg a e b e c ===
（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> （7）B
2007—理数—全国2卷
8. 以下四个数中的最大者是
(A) (ln2)2 (B) ln(ln2)
(D) ln2
8．D
2003—理数—北京卷
2. 设5.1344.029.01)2
1(,8,4-===y y y ，则（）
A ．y 3> y 1> y 2
B ．y 2> y 1> y 3
C ．y 1> y 2> y 3
D ．y 1> y 3> y 2
2．D
2011—理数—天津卷
7. 已知324log 0.3
log 3.4
log 3.6
15
,5
,,5a b c ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭
则
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
【解答】解：∵log 23.4＞1，log 43.6＜1，又y=5x 是增函数， ∴a ＞b ，
＞
==b
而log 23.4＞log 2＞log 3
，
∴a ＞c
故a ＞c ＞b ．故选C ．
2010—文数—天津卷
6. （2010•天津）设a =log 54，b =（log 53）2，c =log 45则（） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c
【解答】解：∵a=log 54＜log 55=1，b=（log 53）2＜（log 55）2，c=log 45＞log 44=1， ∴c 最大，排除A 、B ；又因为a 、b ∈（0，1），所以a ＞b ，故选D ．
2013—理数—全国2卷
8.设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．a ＞b ＞c
答案：D
解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a =
=+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 2
1lg 7lg 7
c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2
lg 7lg 5lg 3
<<，即c ＜b ＜a .故选D.
2008—理数—全国2卷
4. 若1
3
(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，
，，，则（） A ．a <b <c
B ．c <a <b
C ． b <a <c
D ． b <c <a
【答案】C
【解析】取
121
1
2
3
31
ln ln 212ln 1
11
ln 28a x e e x e
b x
c x --
-⎧⎪===-
⎪
⎪
<=<⇒==-⎨⎪⎛⎫⎪==-=- ⎪⎪⎝⎭⎩
，b <a <c
也可以如下解：
1213
31
ln ln 2111ln 0ln 2ln 1
211
ln 28a x e e x x x b x c x --⎧⎪===-
⎪⎪
<<⇒-<<=-⇒==-⎨⎪⎛⎫⎪==-=- ⎪⎪⎝⎭⎩
，取当然从
1311ln 02ln ln ln e x x x x x
-<<⇒-<<<<，可以严格推导出：比较费
时间。

【高考考点】对数的基本基本运算、比较实数的大小。

【评注】这类问题用特值法是非常容易搞定的，但也有人缺乏数字感觉，不能取到1
(1)e -，
内合适的数，也有人取成12
,x e x e ==导致错误，这就是基础不牢固的表现。

取值时候，应该多试，注意验证，确定取对后再运算。

否则“后”功尽弃。

2011—文数—重庆卷
2. 设a =
，b =
，c =log 3，则a ，b ，c 的大小关系是（）
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a 【解答】解：由对数的运算法则，a=log 32＞c ；排除A 和C ．因为b=log 23﹣1，c=log 34﹣1=
，
因为32＞23，即3＞
，即有log 23＞log 2=＞，
则（log 23）2＞2，所以log 23＞，所以b ＞c ，排除D
故选B ．
2010—文数—全国1卷
10. 设1
23log 2,ln 2,5a b c -===则
（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<
10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=
21log 3, b=In2=21
log e
,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=12
5-
5
2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=
321log ,b =ln2=21log e , 3
221log log 2e <<< ，322
11112log log e
<<<； c =1
2
15
2
54-
=
<=，∴c<a<b。