巧用椭圆三角形焦半径公式解题
用焦半径、焦点弦公式秒杀小题快攻大题
日作，４ Ｃ的平行线 交／４ Ｄ于点Ｅ
（１）证明ｌＥＡＩ＋ＩＥＢＩ为定值 ．
图 ２
（２）由题意得焦准距 枷 ： ：Ｊ，设 ，Ｆ￣ｔ的倾斜角
Ｃ
并 写出点Ｅ的轨迹方程 ；
分 别 为 理，卢，则 由焦 半 径 公 式 ，得 ｂ４Ｆ：ｔ＝＿ ：
（２）设点Ｅ的轨迹 为 曲线 ｃ．，直线Ｚ交Ｃ 于 ，Ⅳ两 点 ，
望 ： 望
１－ｅｃｏｓＯ
’１＋ｅｃｏｓ０— １ －
ｅ２ｃ０ｓ２０。
图 １
注 ：当焦点在Ｙ轴上时 ，将ｃｏｓ 换为ｓｉｎ 即可． 性质３：椭 圆焦点 弦中最短的弦为通径．
二 、焦 半 径 、焦 点 弦公 式 的 巧 妙 使 用
例 １ （２０１７年新 课标 Ｉ卷理 １０）已知Ｆ为抛 物 线Ｃ：
（２）求Ａｌ＋Ａ２的值 ；
例３ （２０１６年新 课标 Ｉ卷
（３）求 △ ＡＣ的 面积 ｓ
理 ２０）如 ２，设 圆 ＋３２＋２ｘ一１５＝０
的最 大值．
图 ３
的圆心为．４，直线 上 Ｂ（１，０）且 与
．
轴不重合 ，ｆ交圆Ａ于ｃ，Ｄ两点 ，过
箩 ： 解 析 ：（１）椭 圆，Ｊ的方程 ：１．（过程略 ）
性质 １：椭 圆焦半径 的长度为 ＿皇 ．
士 ｅ ＣＯ Ｓ
如 图１，过 ４作Ａ 。＿Ｅｌ于点Ａ ，贝Ｕ Ｆ Ｉ＝ｅｌＡＡ１Ｉ＝ｅ［ ＋ＨＥ Ｃ０ｓ（叮ｒ～０）］．
／￣ ＩＡＦＩ： 翌 ．
１＋ｅｃｏｓ０
同理 ：
ｅｐ ·
一
Ｊ
＼、
性质２：椭 圆焦 点弦的
长 度 为 ｔＡＢＩ＝Ｌ４ＦＩ＋ＩＢＦＩ＿
．
巧借焦半径 妙解椭圆题
、想/i法^^2020年第12期中学数学教学参考（下旬)巧借焦半径妙解椭圆题王加义（浙江省杭州学军中学）摘要：椭囲的焦半径有效链接着椭圆上的点与焦点之间的长度问题，在解题中有广泛的应用，通过恰当 运用，可简捷地解决问题，取得事半功倍的效果。
关键词：椭圆；焦半径；离心率文章编号=1002-2171 (2020) 12-0035-02椭圆上任一点到一焦点的连线叫作椭圆的焦半径。
楠圆的焦半径公式如下：已知P U。
，)为椭圆C:$+多=l(a>6>0)上的任意一点，F, ,F2分别为椭圆C的左、右焦点，则 有丨尸^卜《+^…，|户匕丨=^-^。
（其中6为椭圆的离心率）。
利用椭圆的焦半径公式，我们可以简捷解决一些 相关问题。
I求椭圆的方程例 1在椭圆 C:^+#=1U>6>0)中，F,,F2a*" b为椭圆C的左、右焦点，焦距为2 w，0为坐标原点，点P为楠圆C上一点，|OP |=f a，且| P F,丨，|成等比数列，则椭圆C的标准方程为________。
分析：根据条件可知P O为线段F,F2的中线，又 由丨尸厂丨，|厂1&丨，|/^2|成等比数列，可得|/^1卜 |P F2|=|F,F2|2=12。
对于丨P F, |与 |P F2|的长度 问题，可以先利用椭圆的几何性质，结合焦半径公式进 行转化，再结合题目条件建立关系式，进而巧妙求解。
解：如图1所示，过点P作丄:r轴，垂足为H，设 P(x。
，>)。
在 A P H O 中，丨P/f p+ 丨OH丨2= |O P|2,即W+：y§=+a2(①)。
由题意知 c=W，I h h |2=4c2=12,又丨P F, |，丨^2丨，丨P F2 |成等比数列，可得丨丨P F2 | =丨厂巧丨2=12。
根据焦半径公式I丨=a+a。
，|P F2 |=a—d。
，可得(a+a。
）（a—^:。
）=12，即a2—=12，所以^2—4i=12(②）。
焦半径公式在解题中的应用
不 妨 设 Ｆ 、 分 别 是 左 、 焦 点 ， Ｐ 的 。 右 点
坐标 为（ ，ｏ ． Ｙ） 由 Ｐ 。 中点在 Ｙ轴上 ， Ｆ 的 则知 Ｐ 上 Ｆ 轴 ， 又
，
一
（ｏ， ３ 这 口２ ｅ霉， ３） ：， 里 ： ： ，得 且 ，
由椭圆的对称性 ， 不妨 设 Ｐ（ｏＹ ） ｘ， ｏ
似可以得出 ．下面例谈上述公式 的应用 ．
一
例 １ 年 国 考 ）圆 ‘＝ ２（９ 全 高 题椭 ＋ １ ９ ８ 孚
的焦点为 Ｆ， 和 ， Ｐ在椭 圆上 ， 果线段 Ｐ 。 点 如 Ｆ 的 中点在 Ｙ轴上 ， 么 Ｉ Ｆ Ｉ Ｉ Ｆ Ｉ ） 那 Ｐ 。是 Ｐ ｚ 的（ ． （ ７倍 Ａ）
解
、
求焦半径或焦半径之 比
例 １ （０１ ２ ０ 年上 海高考题 ） Ｆ。 为椭 圆 设 、
（ ５倍 Ｂ）
（ ４倍 ｃ）
（ ３倍 Ｄ）
等＋ １ 两 焦 ，为 圆 的 点． 等＝的 个 点Ｐ 椭 上 一 已
知 Ｐ Ｆ 、 是一个直角三角形 的三个顶点 ， 、。 且 ＩＦ Ｐ 解 ， 求 的值 ．
．
— —
３ ２
８
９一
。
即 ＝， 争 １在 ４财
ＩＰ ＝佩 Ｉ Ｏ
中 ，
本题 的实质 是求 点 Ｐ（ ，ｏ 的纵 坐 Ｙ）
解这 ，３＝ｅ ． 里。 ，５＝ ＝ｃ ，÷
依焦半径公式知
Ｉ Ｐ，ｌ Ｉ＝ ５
√ —
＝
５＝Ｉ ＯＦｔ Ｊ
：ｉ Ｆ Ｉ０是坐标原点 ） Ｏ ，（ ，
点分别 是 、 ， 则
Ｊ ＰＦｌ Ｊ＝ａ ＋ ０ ＰＦ２Ｊ ａ — ｅ ０ ，Ｊ ｘ．
￣（ １ ３＋ １
巧用焦半径公式解题
巧用焦半径公式解题焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。
下面以椭圆为例说明焦半径公式的运用。
椭圆的焦点为是椭圆上任一点，则，这就是椭圆的焦半径公式。
一. 计算焦半径例1. （1998年全国高考题）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的（）A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍解：的坐标为点横坐标为3故选A二. 求点坐标例2. 在椭圆上求一点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。
解：设，则根据已知有，代入解得，代入椭圆方程得，故P点坐标是。
三. 求变量范围例3. （2000年全国高考题）椭圆的焦点为，点P为其上动点，当为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。
解：设，则为钝角代入解得四. 求最值例4. （1996年希望杯试题）是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。
解：设，则在椭圆上的最大值为4，最小值为1五. 求弦长例5. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB的长度。
解：由已知可得，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而六. 用于证明例6. 设Q是椭圆上任意一点，求证：以为直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。
证明：设，圆C的半径为r即也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。
故两圆相内切同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。
以上只是简单介绍了椭圆的一种形式的焦半径公式的应用，希望同学们能触类旁通，灵活运用焦半径公式解决其他有关问题，提高解题效率。
运用焦半径公式速解焦点弦问题_马洪炎
在 Rt△MNF 中， | MF | = 于是 | NF | 3 = ， cosα 4 － cos2 α
为定值， 并说明理由． 分析 本题第（ 2 ） 小题 是一个 典 型 的 解 析 几 何 定 图5 值问题， 通常可运用函数的 思想方法解之， 其解题过程可归纳为： 一选， 二求， 三定值． 具体操作程序如下： 一选： 选择参变量． 需要证明为定值的量在通 常情况下应该是变量， 它应该随某一个量的变化而 可选择这个量为参变量． 变化， 二求： 求出函数的解析式． 即把需要证明为定 值的量表示成关于上述参变量的函数 ． 三定值： 化简函数解析式得到定值． 由题目的 结论可知要证明为定值的量必与参变量的大小无 故求出的函数必为常数函数， 因此， 只需对上述 关， 函数的解析式进行必要的化简即可得到定值 ． 1］ 文献［ 介绍的解法 1 （ 复杂解法 ） 选择以直 线 AB 的斜率 k 为目标函数的变量； 解法 2 （ 简捷解 法） 选择线段 AB 的中点 N 的横坐标为目标函数的 变量． 在运用函数的思想方法解决定值问题时， 目 标函数变量的选择显得很重要． 由于角度形式的焦 半径公式与本题相关的线段可直接对话 ， 因此也可 AB x 选择直线 与 轴的夹角 α 为目标函数的变量． 解 π α ＜ ． 不妨设 | AF | ＞ | BF | ， 则由椭圆的焦半径公 2 式可知 b2 3 | AF | = = ； a － ccosα 2 － cosα b2 3 | BF | = = ， a + ccosα 2 + cosα 2 3 + = 从而 | AB | = | AF | + | FB | = 2 － cosα 2 + cosα 12 ． 4 － cos2 α 设 AB 的中点为 N， 则 2 3 2 | FN | = | AF | － | FB | = － = 2 － cosα 2 + cosα 6cosα ， 4 － cos2 α 3cosα | FN | = ． 即 4 － cos2 α （ 2 ） 设直线 AB 与 x 轴的夹角为 α， 则0 ＜
第二讲 椭圆焦半径与焦点弦3(用焦半径的角参公式解题)(教案)【椭圆小题突破】高考数学二轮复习专题
椭圆的焦半径和焦点弦3――用焦半径的角参公式解题知识点：（1） 若F 为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点，设∠AFx =θ,22||,||,1+cos 1-cos b b a a AF BF e e θθ== 222222||.1+cos 1-cos 1-cos b b b a a a AB e e e θθθ=+=（2）若F 为椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0) 左焦点，22||,||,1-cos 1+cos b b a a AF BF e e θθ== 222222||.1+cos 1-cos 1-cos b b b a a a AB e e e θθθ=+= 3．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过左焦点F (-2,0)倾斜角为π3的直线交椭圆上半部分于点A ，以FA ，FO 为邻边作平行四边形OFAB ，若点B 在椭圆上，则b 2等于（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 法一：坐标法以，为邻边作平行四边形，则且. 所以轴，所以两点关于轴对称，又 设，则，由条件可得直线的方程为 所以,即由点在椭圆上可得，，又代入得，整理得： 解得法二：焦半径坐标形式,a+ex 0=2,a -e =2，a-2a＝2，222201323,a a a b --=⇒=+⇒=法三：焦半径角参形式3233343FA FO OFAB //AB OF AB OF =AB y ⊥A B ，y 2AB OF c ===()11,A x y 11x =-AF ()32y x =+13y =()1,3A -22221x y a b+=22131a b +=22224a b c b =+=+()()2222344b b b b ++=+412b =223b =()1,3A -2222,1cos b a b a c e θ=⇒=-- 2222242201323,c a b a a a b =⇒-=⇒--=⇒=+⇒=（2）已知椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点为F ，直线l ：x =2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C于点B ，若FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝3FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |＝( ) A ．2 B ．2 C ．3 D ．3【答案】A 法一：坐标法根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =，得()()001,31,n x y =-．所以()0131x =-，且03n y =.所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n =-+=+=.法二：焦半径角参形式11112||,3cos ||21cos cos 21cos 2FA FA θθθθ==⋅⇒=⇒=+法三：焦半径坐标形式 A (2,n ),B (x 0,y 0)，F (1,0), FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝3FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，(1,n)=3(x 0-1,y 0)，1=3x 0,n=3y 0, |FA ⃑⃑⃑⃑⃑ | ＝3|FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，√(3y0)2+1=3(√2−1√2x0)，9y02+1=9(2−2x0+12x02)9(1−12x02)+1=9(2−2x0+12x02)9x 02-18x 0+8=0 (3x 0-4)(3x 0-2)=0 x 0=43或23(舍去)|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ | ＝3|FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3(√2−1√2x0)=3(√2−1√2·43)=√2.（3）如图，椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，点P 在y 轴上，线段FP 交椭圆于点Q ．若OQ ⊥FP ，|FP |=3|FQ |，则椭圆的离心率是（ ）A ．13B ．12 C ．22D ．32【答案】D 法一：坐标法由题意得(,0)F c -，设00(,)Q x y ，因为3FP FQ =，所以023x OF=，得023x c =-， 因为OQ FP ⊥，所以()22000222339y x OF x c c c c ⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭，所以023y c =，因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以222242199c ca b+=，化简得，222222429b c a c a b +=，因为222b a c =-，所以222222224()29()c a c a c a a c -+=-，422491540a a c a -+=，得2222(34)(3)0a c a c --=，解得32c a =或3c a =（舍去） 法二：焦半径坐标形式 Q (x 0,y 0)，F (c ,0),|FQ |＝m ,由等面积法知c√(3m )2−c2=3m √c2−m2，m =1√3c ，a+ex 0=1√3c,a+e(-23c )=1√3c,1-23e 2=1√3e,2e 2+√3e −3=0, (2e −√3)(e +√3)=0, e =√32法三：焦半径角参形式设FQ ＝x ，则213,cos .33x cc x x c c cθ=⇒=== ()()22222333332032302313b ca b ac c a ac c a ca c e e =⇒=-⇒--=⇒-+=⇒=-（4）不经过椭圆E ：x 24+y 23=1的焦点的直线l:y=kx+m (km <0)与以坐标原点为圆心､√3为半径的圆相切，且与椭圆E 交于M,N 两点，试判断△MFN 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.法一：用弦长公式求弦长由题意，r =l=()2231m k ∴=+，设()()1122,,,M x y N x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222438430k x kmx m +++-=，由Δ0>，得()2121222438,4343m km x x x x k k -+=-=++，则12MN x =-=2443km k =-+又2122112,222MF x NF x =-=-()221221444243kmMF NF x x k +=-+=++ 2MNF 周长224MN MF NF =++=，2MNF ∴周长为定值4.法二：用圆的切线求弦长()()112212,,,,0,0,P x y Q x y x x >>12112,222PF x QF x =-=-设直线l 与圆的切点为M，1211,22,PM x QM x ====121,122PQ x x += 4Q PF F P Q ++=2MNF ∴周长为定值4.（5）（2018全国Ⅲ20） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C:x 24+y 23=1交于A,B 两点，线段AB的中点为M (1,m )(m >0)． （Ⅲ）证明：k <-12；（Ⅲ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0⃑ ．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 成等差数列，并求该数列的公差．（Ⅲ）法一：设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 的方程为y=kx+t.由{y =kx +t 3x2+4y2=12，得(3+4k2)x 2+8ktx +4t2−12=0， △＝64k2t2−4 (3+4k2)(4t2−12)=−48(t2−3−4k2)>0，（Ⅲ） x 1+x 2=−8tk 3+4k2，x 1x 2=4t2−123+4k2，−4tk3+4k2=1，得-t =34k +k , 代入（Ⅲ）得(34k+k )2-3-4k2<0,即316k2−12-k2<0, 即16k 4+8k 2-3>0, 即(4k 2-1)(4k 2+3)>0, 即4k 2-1>0,k<-12或k >12. 又M (1,m )(m >0)在直线AB ：y=kx+t 上，所以m =t+k >0. 而-t =34k +k ，所以k <0.所以k <-12. 法二：设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（Ⅲ）设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0).且x 1+x 2=2.由FP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0⃑ ，得 x 1+x 2+x0=3,x0=1,P (1,± 32) 又y 1+y 2+y 0=0，y 1+y 2=2m ，所以m =-y02>0,P (1,- 32)|AF |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 24)=√x 24−2x 1+4=|2- x12|= 2- x12, 同理|BF |=2-x22，|PF |= 2- x02＝ 32. 所以|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4- x1+x22=3， 2|PF |=3.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 成等差数列. 设该数列的公差为d ，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或。
运用焦半径公式 速解焦点弦问题
。
在 Ｒ ｔ Ａ Ｍ Ｆ 寺 ，
Ｉ Ｍ Ｆ Ｉ： ：— ＿
４一Ｃ Ｏ Ｓ
．
Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ｔ
为定值 ， 并说明理由．
分析 本题 第 （ ２ ） 小 题
图 ５
于是
＿ ４ （ 定
评注
直线 Ａ Ｂ与 轴夹角 为 的几何 意义
是一 个 典 型 的解 析 几 何 定
更 加 明确 ， 运算过 程显 得更 简捷． 运用 这 种 解法 ， 不 难 得到 第 （ ２ ） 小题更 一般 的结 论．
值问题 ， 通常可运用 函数 的 思想方 法解 之 ， 其解题过程可归纳为 ： 一选 ， 二求 ，
三定值 ． 具 体操 作程 序 如下 ：
（ ０ ＜ ＜ 詈 ） ， Ｉ Ａ Ｆ Ｉ ＞ Ｉ Ｂ Ｆ Ｉ ， 则
Ｉ ＡＦＩ＝
１
， Ｉ ＢＦ Ｉ
一
＝
ＣＯＳＯＬ
１ Ｃ ＯＳ Ｏ Ｌ ． 十
（ 对 于抛 物线 ＝ ２ ｐ ｙ也有 类 似性 质． ） 推论 ２ 如 图 ３ ， 设Ａ Ｂ是 椭 圆 ＋ Ｙ ＝１ （ 口＞ ｂ＞０ ） 过焦 点 Ｆ的 弦， 直线 Ａ Ｂ 与 的 夹 角 为 Ｏ ｌ
ｅ
（ 定值） ．
值 的量表示成关于上述参变量 的函数． 三定值 ： 化简 函数解析式得到定值． 由题 目的 结论可知要证 明为定值 的量 必与参变量 的大小无
一
结 论１ 过椭圆 ｘ＋ 告＝ １ （ ｏ ＞ ｂ ＞ ｏ ） 的 焦点
Ｆ任作一条与坐标轴 不垂直的直线 １ ， 与椭 圆相交 于 点 Ａ， Ｂ， 线段 Ａ Ｂ 的 中 垂 线 交 轴 于 点 Ｍ， 则
高中数学-椭圆焦半径公式及应用
4 3， cos
1 ， sin 7
因为 a＝ 10， b＝ 8， c＝6，由变式（ 2）得
| PF |
82
10 6× ( 1)
7
所以三角形 PEF的面积
4 3。 7
7
1 S | PF ||EF |sin
2
1 ×7×2×6× 4 3
2
7
24 3
x2 y2 例 7．经过椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的左焦点 F1 作倾斜角为 相交于 A，B 两点，若 | AF1| 2| BF1 |，求椭圆的离心率。
椭圆焦半径公式及应用
在椭圆曲线中， 焦半径是一个非常重要的几何量， 与其有关的问题是各类考试 的热点，故值得我们深入研究。
思路 1： 由椭圆的定义有： r1 r2 2a
1
故只要设法用 x0、a、c 等表示出 r1 r2 （或 r1· r2 ），问题就可迎刃而解。
由题意知 r12
x0 c 2
y
2 0
，
例 5. P 是椭圆 x 2 a2
y2 b2
1( a
轴的垂线恰好通过焦点 F，若三角形
___________。
b 0) 上一点， E、 F 是左右焦点，过 P 作 x
PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
解：因为 PF⊥EF，所以由（ 2）式得
| PF|
b2
b2
。
a ccos90° a
再由题意得
2
消去 xP 后，化简即得（ 1） | PE |
b
。
a ccos
而当 大于 90°时，在三角形 PEQ中，
有 cos(
) |PQ| |PE |
c xP | PE |
椭圆焦半径公式的证明及巧用
椭圆焦半径公式的证明及巧用
一、椭圆焦半径公式的证明
设椭圆的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，中心点为
O(0,0)，则椭圆的参数方程为：
x=a*cosθ
y=b*sinθ
其中，θ为椭圆上任意一点P的极角，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
将P的坐标代入椭圆焦半径的定义式，得到：c=(F1P+F2P)/2
c=[(-c-x)²+y²+(c-x)²+y²]½/2
c=[2a²-2x²]½/2
将x=a*cosθ代入上式，得到：
c=[2a²-2a²cos²θ]½/2
c=a(1-cos²θ)½
c=a*sinθ
因此，椭圆焦半径的公式为c=a*sinθ。
二、椭圆焦半径公式的巧用
1.焦距的计算
在光学中，焦距是指光线从远处垂直射入透镜后汇聚到的点与透镜的距离。
对于一个椭圆形的反射器或折射器，其焦距可以通过椭圆焦半径公式计算得到。
2.卫星轨道的计算
卫星轨道是指卫星绕地球或其他天体运行的路径。
对于一个地球同步轨道，其轨道形状为椭圆，可以通过椭圆焦半径公式计算出卫星与地球的距离。
3.椭圆的绘制
在计算机图形学中，椭圆的绘制是一个常见的问题。
通过椭圆焦半径公式，可以计算出椭圆上每个点的坐标，并将其绘制出来。
椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径是椭圆所具有的重要特性之一，它影响并决定了椭圆的形状及大小。
椭圆焦半径公式是椭圆圆周长关于圆心角的函数，可由数学的角度上描述，通常用
L表示圆周长，用2a表示椭圆的长轴，用2b表示椭圆的短轴，用θ表示圆心角，当θ=π时，椭圆周长L即椭圆的长轴2a，而当θ=2π时，椭圆周长L即椭圆的
短轴2b，综上所述，解得椭圆焦半径公式可用下式表示：
$f=\frac{2b^2+2a^2\theta}{4a\theta}$
椭圆焦半径具有重要的工程应用。
例如在电波无线系统中，对于传播衰减，若
能够将天线的辐射模式准确推导，即可准确计算传播衰减误差。
实际中，一般考虑一个圆柱上海具有椭圆形状的发射电子，椭圆焦半径与其发射电子的空间定位有关，也就是说，把椭圆焦半径计算准确，就可以精确推导出发射电子的空间定位，从而推导出从发射端到接收端的信号衰减。
同时，椭圆焦半径还有其他的计算用途，例如在求解受力问题时，当定义椭圆
轴的方向与弯矩（梁的轴向）方向准一致时，椭圆梁的应力通常可以由非定常元素法直接求解，而其中也需要用到椭圆焦半径公式。
此外，研究特殊有限元分析时，椭圆焦半径公式也多次被采用，从而便于精确的求解出有关问题的结果。
综而言之，椭圆焦半径公式求解计算椭圆的形状及大小，具有重要的工程应用，受力分析、有限元分析等多个应用领域都会充分使用到它的方便之处。
椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用椭圆焦半径公式是指椭圆的焦半径与椭圆的长半轴、短半轴以及离心率之间的关系。
在数学中，椭圆通常由两个焦点和一个常数和直线之间的距离之和等于该常数的所有点组成。
椭圆在很多领域都有广泛的应用，如工程、天文学和天体力学等。
首先，椭圆焦半径公式可以由椭圆的离心率和长短半轴表示。
对于一个椭圆，焦半径是指从焦点到椭圆上任意一点的距离。
椭圆的离心率e定义为焦距与长半轴之比。
则椭圆的焦半径r与长半轴a、离心率e和椭圆上一点到焦点的距离d的关系可以用以下公式表示：r = a(1 - e^2) / (1 - e cosθ)其中，θ是椭圆上一点与焦点和长轴之间的夹角。
1.天文学和天体力学：椭圆是描述行星和卫星轨道的基本几何形状之一、在天文学中，椭圆焦半径公式被用来计算行星和卫星的轨道参数，如半长轴和离心率。
2.工程学：椭圆的焦半径公式在光学工程、雷达系统和卫星通信等领域中有广泛的应用。
例如，在光学镜头设计中，椭圆形镜头可以用来纠正成像系统的畸变。
椭圆焦半径公式可以帮助工程师计算并优化这些镜头的参数。
3.生物医学：椭圆形病灶在医学图像处理和治疗中有重要的应用。
通过计算病灶的焦半径，医生可以确定其位置和大小，从而辅助临床诊断和治疗。
4.地理学和测绘学：在地理信息系统（GIS）和测量领域，椭圆形地球模型常用于地球表面的测量和分析。
椭圆焦半径公式可以用来计算地球上不同点之间的距离和方位。
总之，椭圆焦半径公式是椭圆几何性质的重要描述之一、它在不同领域的应用可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
无论是天体轨道计算、工程设计、医学诊断还是地理测量，椭圆焦半径公式都具有重要的地位和实用性。
在今后的研究和实践中，我们可以继续挖掘和应用椭圆焦半径公式的潜力，为人类的进步和发展做出更多的贡献。
(完整版)椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用.椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
一、公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。
证法1：。
因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。
∴，。
二、公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。
∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。
∴，即，。
评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。
例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。
已知P、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。
解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。
由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。
由焦半径公式，得，。
（1）若∠为直角，则，即，解得，故。
（2）若∠为直角，则，即=，解得，故。
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。
例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C 上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即＋48=0，解得，或。
因此，点M不存在。
评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简。
焦半径公式的三角形式及其应用
焦半径公式的三角形式及其应用重庆清华中学 张 忠焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。
焦半径公式的代数形式：设21,F F 是曲线的左、右焦点，点),(00y x P 在曲线上，记11PF r =、22PF r =为左、右焦半径。
则在椭圆中：0201,ex a r ex a r -=+=；在双曲线中：a ex r a ex r -=+=0201,；在抛物线)0(22>=p px y 中：20p x r +=。
若焦点在y 轴上时，则把相应的0x 改为0y 即可。
因应用情形比较常见，不再叙述。
，本文介绍它的三角形式及其应用。
定理1：若椭圆的离心角为θ，则 (1)|PF 1|＝a ＋ccosθ； (2)|PF 2|＝a －ccosθ． 证明：∵ 椭圆的离心角为θ，由椭圆参数方程知点P 的横坐标为acosθ，依焦半径的代数形式知：|PF 1|＝a ＋ex p ＝a ＋ea·cosθ＝a ＋c·cosθ,|PF 2|＝a －ex p ＝a －c·cosθ．例1. F 1、F 2是椭圆＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动，则|PF 1|·|PF 2|的最大值 是______， 最小值是_________． (1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为θ，又知a ＝2，c 2＝3，由定理1得 |PF 1|c·|PF 2|＝a 2－c 2cos 2θ＝4－3cos 2θ∵ 0≤cos 2θ≤1 故知 |PF 1|c·|PF 2|max ＝4－3·0＝4 |PF 1|·|PF 2|min ＝4－3·1＝1例2. 椭圆的左右焦点为F 1、F 2，试问此椭圆的离心率e 在什么值范围内，椭圆上恒存在点P，使得PF1⊥PF2。
解：设椭圆方程为b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)，离心角为θ，依题设、定理1及勾股定理得(2c)2＝(a－ccosθ)2＋(a＋ccosθ)2化简得cos2θ＝．∵0≤cos2θ≤1，∴0≤2－≤1，结合0＜e＜1得≤e＜1为所求。
谈谈椭圆焦半径公式及其应用
知识导航椭圆是历年高考的必考内容，也是圆锥曲线的核心内容.与椭圆有关的问题一般难度和运算量都较大.而在解题时灵活运用椭圆的焦半径公式，能有效地简化运算,提升解题的效率.一、椭圆的焦半径公式我们把连接椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径.椭圆的焦半径公式有两种形式:坐标式和三角式.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F 1()-c ,0、右焦点为F 1()-c ,0，在椭圆上任取的一点P ()x 0,y 0，则椭圆的坐标式焦半径公式为|PF 1|=a +ex 0，|PF 2|=a -ex 0.这里e 为离心率.若在椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中，过左焦点F 1的直线l 与椭圆交于A ,B 两点（A 位于x 轴上方，B 位于x 轴下方），直线的倾斜角为θ，且椭圆的离心率为e ,则椭圆的角度式焦半径公式为||AF 1=b 2a -c cos θ=b 2a 1-e cos θ；||BF 1=b 2a +c cos θ=b 2a1+e cos θ.二、椭圆焦半径公式的应用1.椭圆的坐标式焦半径公式的应用根据椭圆的坐标式焦半径公式的特点，我们可以利用椭圆的坐标式焦半径公式解答“已知椭圆方程和椭圆上点的坐标，求椭圆的焦半径”的问题.例1.设F 1,F 2是椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若ΔMF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为_______.解：由题意得a =6,b =25,c =4,e =c a =23,因为点M 为椭圆C 上一点且在第一象限，所以当||MF 1=||F 1F 2时,ΔMF 1F 2为等腰三角形设M ()x 0,y 0,则||MF 1=a +ex 0，||F 1F 2=2c =8，所以6+23x 0=8，解得x 0=3，将x 0=3代入椭圆C 方程可得y 0=15，所以M ()3,15.本题若利用两点间距离公式求解,计算过程较为复杂.这里利用椭圆的坐标式焦半径公式表示出||MF 1，根据||MF 1=||F 1F 2求出M 点的坐标.该过程简单，运算量小.例2.如图,ΔABC 为椭圆x 24+y 23=1的内接三角形，且右焦点F 为ΔABC 的重心，则||FA +||FB +||FC =_______.分析:因为ΔABC 为椭圆的内接三角形，F 为椭圆右焦点，所以||FA ，||FB ，||FC 即为椭圆焦半径，可设出A ，B ，C 三点的坐标，用椭圆的坐标式焦半径公式表示出||FA ，||FB ，||FC ，根据右焦点F 为ΔABC 的重心列出关系式，化简即可求出结果.解：根据椭圆的方程可得a =2,b =3,c =1，F ()1，0，e =c a =12，设A ()x 1,y 1，B ()x 2,y 2，C ()x 3,y 3,则||FA =a -ex 1=2-12x 1，||FB =a -ex 2=2-12x2，||FC =a -ex 3=2-12x 3，因为F 为ΔABC 的重心，所以x 1+x 2+x33=1，即x 1+x 2+x 3=3,所以||FA +||FB +||FC =2-12x 1+2-12x 2+2-12x 3=6-x 1+x 2+x32=92.2.椭圆的角度式焦半径公式的应用根据椭圆的角度式焦半径公式的特点，我们可以利用椭圆的角度式焦半径公式解答以下问题：(1)已知椭圆方程和过椭圆焦点的直线的倾斜角角度，求椭圆的焦半径；(2)已知椭圆的方程和椭圆的焦半径关系式，求过椭圆焦点的直线的斜率.例3.过椭圆x 24+y 23=1的左焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，l 与椭圆交于A 、B 两点，则1||AF +1||BF =_______.分析:已知椭圆的方程和过椭圆焦点的直线方程的倾斜角角度，可利用椭圆角度式焦半径公式表示出38解题宝典||AF ,||BF ，这样便可快速求出1||AF +1||BF 的值.解：由题意得a =2,b =3，||AF =b 2a -c cos 60°,||BF =b 2a +c cos 60°,所以1||AF +1||BF =a -c cos 60°b 2+a +c cos 60°b 2=2a b 2=2×23=43.例4.已知椭圆C ：x 22+y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点A ,B 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,并且AF 1//BF 2.如果||AF 1-||BF 2=，求直线||AF 1的斜率k .分析:先设∠AF 1F 2=θ，用椭圆角度式焦半径公式表示出||AF 1,||DF 1,然后由椭圆对称性可表示出BF ，根据已知条件列出关系式，即可求出cos θ，再通过三角恒等变换求得tan θ，就能得到所求的斜率.解：由题意得a =2,b =1,c =1,设∠AF 1F 2=θ,由椭圆角度式焦半径公式可得||AF 1=||DF 1=12+cos θ,因为AF 1//BF 2，所以由椭圆对称性可得||BF 2=||DF 1=12+cos θ,又||AF 1-||BF 2=,所以,化简得6cos 2θ+4cos θ-26=0，解得cos θ=由sin θ2+cos θ2=1得sin θ，所以k =tan θ=sin θcos θ.总之，椭圆的焦半径公式的两种形式有着各自的特点和适用范围，在解答与椭圆有关的问题中应用非常广泛.在解题时,我们常常需要将椭圆的焦半径公式与椭圆的方程、定义、性质等结合起来应用.这就要求同学们不仅要加深对概念、公式、性质的理解，强化训练，同时也要培养灵活处理问题的能力.（作者单位：湖南人文科技学院数学系）含参问题的类型有很多，如求参数的取值范围、证明不等式恒成立、判断函数的单调性等.解答含参问题的途径也有很多，如利用方程思想、利用导数法、借助待定系数、利用函数思想等.本文重点探讨一下解答含参问题的三种途径：利用方程思想、利用函数的性质、借助待定系数，以帮助同学们拓宽解题的思路.一、利用方程思想方程思想是解答高中数学问题的常用思想，是指通过建立方程或者方程组使问题获解的数学思想.在解答含参问题时，我们可以根据代数式的特点建立方程或者方程组，然后利用方程的判别式△=b 2-4ac 、根与系数的关系来解答问题.例1.已知函数f ()x =x 2-()m +5x +2()m +5在定义域内恒为非负数，求方程2x m +1=||m +2+1的根的取值范围.解：因为f ()x 恒为非负数，所以方程f (x )=0的判别式△=()m +52-8()m +5≤0，解得-5≤m ≤3.方程2xm +1=|m +2|+1可化为2x=()m +1()|m -2|+1，当-5≤m ≤2时，2x =()m +1()2-m +1，所以2x =-m 2+2m +3=-()m -12+4，则2x ≤4,x ≤2，当2<m ≤3时，2x =()m +1()m -1=m 2-1,3<m 2-1≤8，所以log 23<x ≤3.39。
焦半径公式的三角形式及其应用
焦半径公式的三角形式及其应用重庆清华中学张忠焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新, 故值得我们进一步总结与研究。
焦半径公式的代数形式：设F I,F2是曲线的左、右焦点，点P(X o,y。
)在曲线上，记r1PF1、r2PF2为左、右焦半径。
则在椭圆中：r i a ex o, r2 a ex o ；在双曲2 p线中：r1ex0a, r2ex0a ；在抛物线y 2px(p 0)中：r x0专。
若焦点在y轴上时，则把相应的X。
改为y o即可。
因应用情形比较常见，不再叙述。
，本文介绍它的三角形式及其应用。
定理1：若椭圆的离心角为贝U (1)|PF i| = a + ccos 0; (2)|PF 2| = a —ccos 0.证明：•••椭圆的离心角为0,由椭圆参数方程知点P的横坐标为acos0，依焦半径的代数形式知：|PF i| = a+ex p= a + ea • cos 0= a + c • cos 0 ,|PF 2| = a—ex p= a —c • cos 0.例1. F i、F2是椭圆+ y2= 1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1| • |PF2|的最大值是_______ ,最小值是__________ .(1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为0,又知a= 2, c2= 3，由定理1得2 2 2 2|PF 1|c • |PF 2| = a —c cos 0 = 4 —3cos 0•/0< cos 0W1 故知|PF1|c • |PF 2| max= 4—3 • 0= 4|PF1| • |PF2| min= 4 —3 • 1= 1例2.椭圆的左右焦点为F1、F2,试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点P,使得PF i ± PR。
解：2 2 2 2 2 2设椭圆方程为b x + a y = a b (a > b> 0)，离心角为B,依题设、定理1及勾股定理得(2 c) 2= (a —ccos 0) 2+ (a + ccos 0) 2化简得cos20 =2O w cos20<1 , ••• 0W2<1结合0 v e v 1PFeFH 1 ecos ep 1 ecos，这里p 为焦准距，在椭圆和双曲线中,b 2W e v 1为所求。
椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
性质一 ： （ 焦点三角形面积 ） 已知椭 圆方程 为 ＋
一１ （ 口 ＞６ ＞０ ） ，两焦点 分别 为 Ｆ 、 Ｆ ２ ， Ｐ为椭 圆上任 意
一
Ｆ Ｉ Ｐ Ｇ 的取值范 围
． （ 答案 ： ［ ０ ， ］ ）
点（ 除长轴端点外） ， 设 焦点三角形 Ｐ Ｆ Ｆ ２ 中 Ｆ Ｐ Ｆ ２
一
一
１ — １ — ２ Ｐ ２
ａ。
通过性质三 ， 可得应用三 ：
～
（ 答案 ： ２ ０ ）
２
．
．
２
２ ． 若Ｐ 为 椭圆 ＋ 等一 １ 上的 一点， Ｆ 、 Ｆ 。 为 左 右
焦点， 若 Ｆ Ｉ Ｐ Ｇ一号 ， 求点 Ｐ到ｚ轴的距离． （ 答案：
）
１ ． （ ２ ０ ０ ０年全国高考题） 已知椭 圆方程 为 ＋ 一
‘ 。
．
一ｎ ＜ ｚ０ ＜ 口， ． ‘ ． ＜以 ，
“ 焦点三角形” 的定 义为 ： 椭 圆上 的任 意一 点 （ 除长 轴端 点外） 与两个焦 点构 成 的三角 形． 通常“ 焦 点三 角形 ” 的 问题都 有 意地考 查 了椭 圆的定义 、 三角 形 中的正 弦 、 余 弦定理 、 三角形 的面积 、 内角 大小 等知识 ， 现 笔者就 椭 圆
“ 焦点三角形” 的 性 质 及 应 用 举 例 分 析 如 一０时 ， ｃ ｏ ｓ Ｏ取 最 小 值 ， 此 时 ０最 大 ， 即若
Ｆ １ Ｐ Ｆ ２ 最大 ， 则点 Ｐ为椭圆短轴的端点．
通过性质二 ， 可得 应 用 二 ：
１ ． 点 Ｐ 在 椭 圆 ＋ｙ 。 一 １上 ， Ｆ １ 、 Ｆ ２ 为焦点， 则
一
（ １ Ｐ Ｆ １ ｆ ＋Ｉ Ｐ Ｇ（ ） 。 一２ ｌ Ｐ Ｆ １ ｃ ．１ Ｐ Ｇ ｌ －４ ｃ ２ Ｉ Ｐ Ｆ １ ．ｆ Ｐ Ｇ Ｊ
与焦半径相关的圆锥曲线的解题技巧
焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用提示：会推导、会运用，可以简化运算（一）焦半径有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。
1）焦半径 根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式椭圆： （图1） （图2）F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A （x ，y ），A 与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2，根据椭圆第二定义有：2111'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=+⋅=+ 左焦半径2222'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c==⇒=⋅=-⋅=- 右焦半径椭圆的焦半径：左加右减。
长轴在y 轴上可以比照，易得上减下加。
左边下边都为负，不足都要加。
双曲线：（图3）（图4）双曲线为双支，焦半径可能在一支上，也可能在两支上。
在一支上时，称之为焦半径，通常也叫焦半径。
在两支上叫外焦半径。
以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式。
设焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有：2111'(''''')()''F A r a e r AA e AA A A e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=-=--⋅=--同理，右支2211'()''F A r a e r AA e x e a ex AA AA c==⇒=⋅=-⋅=-+ 双曲线焦半径，与椭圆有两点相反，左减右加，半长轴取反。
实轴在y 轴上，可以比照，易得上加下减。
联想特征：左边下边都为负，要减一起减。
可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。
以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有：2122'(""')()''F B r a e r BB e BB B B e x e a ex BB BB c==⇒=⋅=+⋅=+⋅=+同理，以右焦点为起点的外焦半径公式：2222'()''F B r a e r BB e x e a ex BB BB c==⇒=⋅=-+⋅=-双曲线外焦半径，与椭圆相同。
巧用椭圆三角形焦半径公式解题
巧用椭圆三角形焦半径公式解题焦半径公式是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。
对于它的代数形式a ±ex 是大家熟知的，本文仅介绍以椭圆焦半径公式的三角形式为例谈谈其应用。
（1）设P 是椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点，21,F F 是左、右焦点，1PF 与x 轴所成的角为α，2PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）αcos ||21c a b PF -=；（2）βcos ||22c a b PF +=。
若∠F 1PF 2＝β，且设|PF 1|≥|PF 2|，则 (3)|PF 1|＝2tan 222βb c a -+ (4)|PF 2|＝2tan 222βb c a --。
（2）设P 是椭圆y a x ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（5）||sin PE b a c =+2α；（6）||sin PF b a c =-2β。
灵活地运用焦半径的这几种三角形式，可速解有关解析几何问题。
一、求焦半径22121211,,||()4745x y F F F x P PF A B C D +==-例椭圆的两个焦点为,过作垂直于轴的直线与椭圆相交一个交点为则解析：由公式（1）知，|PF 1|＝2190cos 121cos 02=⋅-=-αc a b ，从而|PF 2|=27214=- ，故选C 二、离心率问题例2、P 是椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左右焦点，过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。
解：因为PF ⊥EF ，所以由（2）式得||c o s PF b a c b a=+=2290°。
高中数学椭圆焦半径公式的证明及巧用学法指导
椭圆焦半径公式的证明及巧用命题：若椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的焦点为)0,c (F )0,c (F 21、-，离心率为)y ,x (p ,e 00为椭圆上任意一点，则有0201ex a |PF |,ex a |PF |-=+=。
证明：如图1，椭圆的准线方程为c a x 2-=和ca x 2=。
由椭圆的第二定义得e x ca |PF |,e c a x |PF |022201=-=+，化简即得 0201ex a |PF |,ex a |PF |-=+=说明：若椭圆的焦点在y 轴上，则有0201ey a |PF |,ey a |PF |-=+=。
我们把椭圆上的点)y ,x (P 00到两焦点21F F 、的距离|PF ||PF |21、称为焦半径，而01ex a |PF |+=（或01ey a |PF |+=）、02ex a |PF |-=（或02ey a |PF |-=）称为焦半径公式。
巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。
一、用于求离心率例1 如图21F F ,2、为椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的两个焦点，以线段21F F 、为直径的圆交椭圆于S R Q P 、、、四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率____________e =。
分析：如图，连OP ，则c 21x ,c |OP ||PF |,601p 2===︒=∠，由焦半径公式得c ex a 0=-，即c c 21·e a =-。
所以02e 2e 2=-+， 所以13e -=。
二、用于求椭圆离心率e 的取值X 围例2 已知)0,c (F )0,c (F 21、-为椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的焦点，若椭圆上恒存在点P ，使21PF PF ⊥，求离心率e 的取值X 围。
分析：设P 的坐标为)sin b ,cos a (αα，则α+=α+=cos c a cos a ·e a |PF |1 α-=α-=cos c a cos a ·e a |PF |2由21PF PF ⊥得2)c 2(.a 2cos c 2a 2)cos ·c a ()cos ·c a (222222≥α+=α-+α+=故21)a c (2≥，即22e ≥，又1e 0<<。
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巧用椭圆三角形焦半径公式解题
焦半径公式是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。
对于它的代数形式a ±ex 是大家熟知的，本文仅介绍以椭圆焦半径公式的三角形式为例谈谈其应用。
（1）设P 是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上一点，21,F F 是左、右焦点，1PF 与x 轴所成的角为α，2PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）α
cos ||2
1c a b PF -=；（2）βcos ||22c a b PF +=。
若∠F 1PF 2＝β，且设|PF 1|≥|PF 2|，则 (3)|PF 1|＝2
tan 222βb c a -+ (4)|PF 2|＝2tan 222βb c a --。
（2）设P 是椭圆y a x b
a b 222
210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（5）||sin PE b a c =+2
α
；（6）||sin PF b a c =-2β。
灵活地运用焦半径的这几种三角形式，可速解有关解析几何问题。
一、求焦半径
2
2121211,,||()4745
x y F F F x P PF A B C D +==-例椭圆的两个焦点为,过作垂直于轴的直线与椭圆相交一个交点为则
解析：由公式（1）知，|PF 1|＝2190cos 121cos 02=⋅-=-αc a b ，从而|PF 2|=2
7214=- ，故选C 二、离心率问题
例2、P 是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上一点，E 、F 是左右焦点，过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。
解：因为PF ⊥EF ，所以由（2）式得||c o s PF b a c b a
=+=22
90°。
再由题意得||||EF PF c b a
a c ac c ac a e =⇒=⇒-=⇒+-=⇒22202
22222
＋210e -=。
注意到
0121<<=-e e 解得。
三、三角形面积问题 例3、P 是椭圆x y 22
10064
1+=上且位于x 轴上方的一点，E ，F 是左右焦点，直线PF 的斜率为-43，求三角形PEF 的面积。
解：设PF 的倾斜角为β，则：tan cos sin βββ=-=-=4317437
，，。
因为a ＝10，b ＝8，c ＝6，由公式（2）得7)71(6108||2
=-+=×PF ，所以三角形PEF 的面积
3247
3462721sin ||||21===××××βEF PF S 。
四、最值问题
例4、设F 是椭圆x y 2
2
21+=的上焦点，PF FQ →→与共线，MF FN →→与共线，且PF MF →→·＝0。
求四边形PMQN 面积的最大值和最小值。
解：设PF 倾斜角为α，则由题意知PF ⊥MF ，所以MF 倾斜角为90°＋α，而a b c ===211，，，
由题意及（5）式得ααα2sin 222)180sin(21
sin 21
||||||-=+-+-=+=°FQ PF PQ 同理得||cos MN =-2222α。
由题意知四边形PMQN 面积 S PQ MN =12
||||αααα2222cos sin 24cos 222sin 22221+=--=·· 22216163284sin cos 8sin 217cos 4αααα
===++- 所以当cos41α=时，S max =
-=321712；当cos41α=-时，S min ()=--32171＝169。
五、存在性问题
例5、设F 1，F 2是椭圆C ：14
822=+x x 的焦点，P 为椭圆上一点，若PF 1⊥PF 2，问这样点P 是否存在，若存在，求出点的个数，若不存在，请说明理由。
解：由公式5知|PF 1|
＝2214||4a a c b PF =+==∴= ，同理|pF 2|＝4，从而有|PF 1|= |pF 2|＝a ，故满足条件的P 点只能是椭圆的上、下两个顶点。
个数为2。