巧用椭圆三角形焦半径公式解题

巧用椭圆三角形焦半径公式解题

焦半径公式是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。对于它的代数形式a ±ex 是大家熟知的，本文仅介绍以椭圆焦半径公式的三角形式为例谈谈其应用。

（1）设P 是椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()上一点，21,F F 是左、右焦点，1PF 与x 轴所成的角为α，2PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）α

cos ||2

1c a b PF -=；（2）βcos ||22c a b PF +=。若∠F 1PF 2＝β，且设|PF 1|≥|PF 2|，则 (3)|PF 1|＝2

tan 222βb c a -+ (4)|PF 2|＝2tan 222βb c a --。 （2）设P 是椭圆y a x b

a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（5）||sin PE b a c =+2

α

；（6）||sin PF b a c =-2β。 灵活地运用焦半径的这几种三角形式，可速解有关解析几何问题。

一、求焦半径

2

2121211,,||()4745

x y F F F x P PF A B C D +==-例椭圆的两个焦点为,过作垂直于轴的直线与椭圆相交一个交点为则

解析：由公式（1）知，|PF 1|＝2190cos 121cos 02=⋅-=-αc a b ，从而|PF 2|=2

7214=- ，故选C 二、离心率问题

例2、P 是椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是左右焦点，过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。

解：因为PF ⊥EF ，所以由（2）式得||c o s PF b a c b a

=+=22

90°。再由题意得||||EF PF c b a

a c ac c ac a e =⇒=⇒-=⇒+-=⇒22202

22222

＋210e -=。注意到

0121<<=-e e 解得。

三、三角形面积问题 例3、P 是椭圆x y 22

10064

1+=上且位于x 轴上方的一点，E ，F 是左右焦点，直线PF 的斜率为-43，求三角形PEF 的面积。

解：设PF 的倾斜角为β，则：tan cos sin βββ=-=-=4317437

，，。因为a ＝10，b ＝8，c ＝6，由公式（2）得7)71(6108||2

=-+=×PF ，所以三角形PEF 的面积

3247

3462721sin ||||21===××××βEF PF S 。 四、最值问题

例4、设F 是椭圆x y 2

2

21+=的上焦点，PF FQ →→与共线，MF FN →→与共线，且PF MF →→·＝0。求四边形PMQN 面积的最大值和最小值。

解：设PF 倾斜角为α，则由题意知PF ⊥MF ，所以MF 倾斜角为90°＋α，而a b c ===211，，，

由题意及（5）式得ααα2sin 222)180sin(21

sin 21

||||||-=+-+-=+=°FQ PF PQ 同理得||cos MN =-2222α

。由题意知四边形PMQN 面积 S PQ MN =12

||||αααα2222cos sin 24cos 222sin 22221+=--=·· 22216163284sin cos 8sin 217cos 4αααα

===++- 所以当cos41α=时，S max =

-=321712；当cos41α=-时，S min ()=--32171＝169。 五、存在性问题

例5、设F 1，F 2是椭圆C ：14

822=+x x 的焦点，P 为椭圆上一点，若PF 1⊥PF 2，问这样点P 是否存在，若存在，求出点的个数，若不存在，请说明理由。

解：由公式5知|PF 1|

＝2214||4a a c b PF =+==∴= ，同理|pF 2|＝4，从而有|PF 1|= |pF 2|＝a ，故满足条件的P 点只能是椭圆的上、下两个顶点。个数为2。