直角三角形的三边关系

C
BC
B
A
A
C
B
A
假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按 照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2 千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6 千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆 点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
B 1 6
3
2
A
8
巧探勾股数 勾股定理
a、b、c为勾股数，请你填表并探索规律
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
课堂小结 勾股定理
（1）本节课你学到了什么新知识? （2）勾股定理只能用在什么形中？ 它可以用来解决什么问题？
（3）请说出勾股定理得表达式？
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a 3 6 9 12 — 3n b 4 8 12 16 — 4n c 5 10 15 20 — 5n
a 3 5 7 9 11 — b 4 12 24 40 60 — c 5 13 25 41 61 —
从表1、2中你 发现了什么规 律？你能根据 发现的规律写 出的更多的勾 股数吗？
P'
勾股定理的证明(一)
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
即：X=√52+122
=15
=13
一起练一练
1、求下图中字母所代表的正方形的面积。
A 225
400
625
81
B 225
144
2、求出下列直角三角形中未知边的长度。
x 10
6
8
x
12
1
5
3
例题：如图，勾有股一长定为理12米的电线杆，想在距
直角三角形三边 的关系
创设情景
引例：如图，有一长为 12米的电线杆，想在距 离电线杆底部5米远处用 一钢丝绳把它固定在地 面上，问 要用多长的钢 丝绳才能把它固定呢？
12 ?
5
探索新知 想一想
• 现在先让我们一起来看看， 直角三角形的三条边之间 有什么关系.
如图是正方形瓷砖拼成的 地面，观察图中用阴影画 出的三个正方形，
每
一
小
方
格 表 示
A
R c bQ
Sp 9
SQ 16
1 平 方
Ba C
Sp
SSQR
25
SR
厘
P
BC2 + AC2 =AB2
米
a2 b2 c2
概括
• 数学上可以说明：
c
对于任意的直角三角形， b
∟
如果它的两条直角边分别
a
为a、b，斜边为c，那么一定有
•
a2+b2=c2
• 这种关系我们称为勾股定理
离电线杆底部5米远处用一钢丝绳把它固定在地 面上，问 要用多长的钢丝绳才能把它固定呢？
解：如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90゜
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
12
AB AC2 BC2
5
122 52
13
答：要用13米长的钢丝绳才能把电线杆固定.
例题2:
在直角△ABC中, ∠C=90°,a,b,c分别为∠A, ∠B ,∠C的对边.(1)若a=3, b=4,求c的长
“弦图”
aBiblioteka Baidu
最早是由1700
多年前三国时
期的数学家赵
b
c 爽为《周髀算
b
经》作注时给
b a
出的，他用面 积法证明了勾
股定理
c
你能用面积法
证明勾股定理
吗？
勾股定理的证明(二)
b
a
a
c
b
c
bc
c
a
a
b
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
• 勾股定理 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.
概括
揭示了直角三角形
三条边的
勾股定理: 直角三角形关两系直角边的平方和等于
斜边的平方.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直 角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2
B
几何语言： a c ∵在Rt△ABC中 ∠C=90°（已知）
两个小正方形P、 Q的 面积之和与大正方形R 的面积有什么关系?
问题:在一般的 直角三角形中， 两直角边的平 方和是否等于 斜边的平方呢?
（1）三个正方形的面积关系： Sp SQ SR
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2 + BC2 =AB2
说明:在等腰直角三角形ＡＢＣ中， 两直角边的平方和等于斜边的平方．
若a:c=5:13,b=24,求a,c的长
3、如果一个直角三角形的两条边长分别 是5厘米和12厘米，那么这个三角形 的周长是多少厘米？
可要当心噢！
在直角△ABC中， a=3， b=4， 则求c的值？
勾股定理
求下列阴影部分的面积： （1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．
∴a2+b2=c2（勾股定理）
∟
Cb A
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
c2=a2 + b2
c a2 b2
a2=c2 － b2
a c2 b2
c
b
b2 =c2 －a2
b c2 a2
a
求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 依勾股定理可得： 依勾股定理可得：
就把这一证法称为“总统”证法。
伽
菲
S梯形=
1 (a+b)(a+b) = 1
2
2
(a2+b2)+ ab
1
1
1
S梯形 =
2
c2 +2 · ab
2
=
c2+ab
2
尔 德 证 法
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
c2 = a2 + b2
思考 勾股定理
是不是所有的三角形的三边都符合 勾股定理？ 如果不是，那么勾股定理是针对哪一 类三角形 而言的 ?
(2)若a=5, c =12,求b的长
(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长
练习 (1)在直角△ABC中，∠A=90° a=5，b=4，则求c的值？
(2) 在直角△ABC中，∠B=90°， ①a=3， b=4，则求c的值？ ②c =24，b=25，则求a的值？
(3) 在直角△ABC中，∠c=90°，