对2017江苏高考数学应用题和数列题
2017年江苏省高考数学试卷(含答案解析)
2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y 的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n （m，n∈R），则m+n=3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l 1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l 没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列． 【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由“P （k ）数列”的定义，则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n ，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，变形整理即可求得2a n =a n ﹣1+a n +1，即可证明数列{a n }是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd ≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．（2017•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A 1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．。
【高考真题】2017年江苏省高考数学试卷 含答案解析
2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列． 20．（16分）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：b 2＞3a ；（Ⅲ）若f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a 的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）∠PAC=∠CAB ； （2）AC 2 =AP•AB ．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，当a=1时，A={1，1}，B={1，4}，成立；a2+3=1无解．综上，a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））=﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l 1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l 没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos∠EGM=﹣，根据正弦定理得：=，∴sin∠EMG=，cos∠EMG=，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列． 【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）， =2a n +2a n +2a n ， =2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n ，②则a n+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，③，﹣1②+③﹣①，得2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n，即2a n=a n﹣1+a n+1，（n≥4），因此n≥4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4（a3+d）﹣a3﹣（a3+2d）﹣（a3+3d）=a3﹣d，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0的实根，所以4a2﹣12b≥0，即a2﹣+≥0，解得a≥3，所以b=+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）法一：设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A 2|A1）P（A1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）解法一：设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．解法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p==．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．。
2017年高考数学江苏试题及解析
2017年1.(2017年)集合A={1，2}，B={a，a2+3}，假设A∩B={1}，那么实数a的值为.1.1 【解析】由题意1∈B，显然a2+3≥3，所以a=1，此时a2+3=4，满足题意，故答案为1.2. (2017年)复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，那么z的模是.2.10 【解析】|z|=|(1+i)(1+2i)|=|1+i||1+2i|=2×5=10.故答案为10．3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进展检验，那么应从丙种型号的产品中抽取▲ 件．【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是一样的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．4. (2017年)右图是一个算法流程图，假设输入x的值为116，那么输出y的值是.4. -2 【解析】由题意得y=2+log2116=-2.故答案为-2．5. (2017年)假设tan(α+π4)=16那么tan α=.5. 75 【解析】tan α= tan[(α-π4)+π4]=tan(α-π4)+tan π41- tan(α-π4) tan π4=16+11-16=75.故答案为75.6. (2017年)如图，在圆柱O 1O 2有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面与母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，那么V 1V 2的值是.6. 32 【解析】设球半径为r ，那么V1V2=πr2×2r 43πr3=32．故答案为32．7. (2017年)记函数f 〔x 〕=6+x-x 2的定义域为D ．在区间[-4，5]上随机取一个数x ，那么x∈D 的概率是.7. 59 【解析】由6+x-x 2≥0，即x 2-x-6≤0，得-2≤x≤3，根据几何概型的概率计算公式得x∈D 的概率是3-〔-2〕5-〔-4〕=59.8. (2017年)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x23-y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，那么四边形F 1PF 2Q 的面积是.8. 2 3 【解析】右准线方程为x=310=31010，渐近线方程为y=±33x ，设P 〔31010，3010〕，那么Q 〔31010，-3010〕，F 1〔-10，0〕，F 2〔10，0〕，那么S=210×3010=2 3.9.(2017·高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .S 3＝74，S 6＝634，那么a 8＝________.[解析]设等比数列{a n }的公比为q ，那么由S 6≠2S 3，得q ≠1，那么⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a 11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，那么a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.[答案]3210.(2017·高考)某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购置600x次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：3011. (2017年)函数f(x)=x 3-2x+e x-1e x ，其中e 是自然对数的底数．假设f(a-1)+f(2a 2)≤0，那么实数a 的取值围是___________.11. [-1，12] 【解析】因为f 〔-x 〕=-x 3+2x+1e x - e x=-f 〔x 〕，所以函数f 〔x 〕是奇函数，因为f′〔x 〕=3x 2-2+e x +e -x ≥3x 2-2+2e x ·e -x ≥0，所以函数f 〔x 〕在R 上单调递增，又f 〔a-1〕+ f(2a 2)≤0，即f(2a 2)≤f〔1-a 〕，所以2a 2≤1-a ，即2a 2+a-1≤0，解得-1≤a≤12，故实数a 的取值围为[-1，12].12. (2017年)如图，在同一个平面，向量→OA ，→OB ，→OC 的模分别为1，1，2，→OA 与→OC 的夹角为α，且tan α=7，→OB 与→OC 的夹角为45°．假设→OC =m →OA +n →OB(m ，n∈R)，那么m n +=___________.12.3 【解析】由tan α=7可得sin α=7210，cos α=210，根据向量的分解， 易得⎩⎨⎧ncos 45°+mcos α=2，nsin 45°-msin α=0，即⎩⎪⎨⎪⎧22n+210m=2，22n-7210m=0，即⎩⎨⎧5n+m=10，5n-7m=0，即得m=54，n=74，所以m+n=3．13. (2017年)在平面直角坐标系xOy 中,A (－12,0),B (0,6),点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上,假设→PA ·→PB ≤20,那么点P 的横坐标的取值围是_________. 【答案】 [52,1]【解析】设P (x ,y ,)由→PA ·→PB ≤20易得2x －y ＋5≤0,由⎩⎨⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50可得A ：⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝－5或B ：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝7.由2x －y ＋5≤0得P 点在圆左边弧⌒AB 上,结合限制条件－52≤x ≤52,可得点P 横坐标的取值围为 [52,1].14. (2017·高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，那么方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，在此围，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝q p，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．假设lg x ∈Q ，那么由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质， 因此10n m ＝q p，那么10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，故lg x 不可能与每个周期x ∈D 对应的局部相等， 只需考虑lg x 与每个周期x ∉D 局部的交点．画出函数草图(如图)，图点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D 的局部，且x＝1处(lg x)′＝1x ln 10＝1ln 10<1，那么在x＝1附近仅有一个交点，因此方程f(x)－lg x＝0的解的个数为8.答案：815.(2017年)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D 不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证：〔1〕EF∥平面ABC；〔2〕AD⊥AC.【分析】〔1〕先由平面几何知识证明EF∥AB,再由线面平行判定定理得结论；〔2〕先由面面垂直性质定理得BC⊥平面ABD,那么BC⊥AD,再由AB⊥AD与线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.【证明】〔1〕在平面ABC,∵AB⊥AD,EF⊥AD,∴EF∥AB.又∵EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC.〔2〕∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD＝BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD,∴BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB＝B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AD⊥平面ABC.又∵AC ⊂平面ABC ,∴AD ⊥AC .16.(2017年)向量a ＝(cos x ,sin x ),b ＝(3,－3),x ∈[0,π]. 〔1〕假设a ∥b ,求x 的值；〔2〕记f (x )＝a ·b ,求f (x )的最大值和最小值以与对应的x 的值. 【解析】〔1〕∵a ＝(cos x ,sin x ),b ＝(3,－3),a ∥b , ∴－3cos x ＝3sin x .假设cos x ＝0,那么sin x ＝0,与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾,∴cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0,π],∴x ＝5π6.〔2〕f (x )＝a ·b ＝(cos x ,sin x )·(3,－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0,π],∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6,∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32. 当x ＋π6＝π6,即x ＝0时,f (x )取得最大值3； 当x ＋π6＝π,即x ＝5π6时,f (x )取得最小值－2 3.17.(2017年)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1〔a ＞b ＞0〕的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2． 〔1〕求椭圆E 的标准方程；〔2〕假设直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．17.解：〔1〕设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a =12，2a 2c =8，解得a=2，c=1，于是b=a 2-c 2=3，因此椭圆E 的标准方程是x 24+y23=1． 〔2〕由〔1〕知，F 1〔-1，0〕，F 2〔1，0〕.设P 〔x 0，y 0〕，因为P 为第一象限的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0=1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符.当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0+1，直线PF 2的斜率为y 0x 0-1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为-x 0+1y 0，直线l 2的斜率为-x 0-1y 0， 从而直线l 1的方程：y=-x 0+1y 0〔x+1〕， ① 直线l 2的方程：y=-x 0-1y 0〔x-1〕． ②由①②，解得x=-x 0，y=x 02-1y 0，所以Q 〔-x 0，x 02-1y 0〕．因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 02-1y 0=±y 0，即x 02-y 02=1或x 02+y 02=1． 又P 在椭圆E 上，故x 024+y 023=1．由⎩⎪⎨⎪⎧x 02-y 02=1，x 024+y 023=1，解得x 0=477，y 0=377；⎩⎪⎨⎪⎧x 02-y 02=1，x 024+y 023=1，无解．因此点P 的坐标为〔477，377〕．18.(2017年)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14 cm 和62 cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40 cm ．〔容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计〕〔1〕将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中局部的长度；〔2〕将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中局部的长度．18.解：〔1〕由正棱柱的定义，CC 1⊥平面ABCD ，所以平面A 1ACC 1⊥平面ABCD ，CC 1⊥AC. 记玻璃棒的另一端落在CC 1上点M 处.因为AC=107，AM=40，所以MC=402-〔107〕2=30，从而sin∠MAC=34，记AM 与水面的交点为P 1，过P 1作P 1Q 1⊥AC，Q 1为垂足， 那么P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=P 1Q 1sin∠MAC =16.答：玻璃棒l 没入水中局部的长度为16 cm.(如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞，那么结果为24 cm)〔2〕如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O⊥EG． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK⊥E 1G 1，K 为垂足，那么GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=62-142=24，从而GG 1=KG 12+GK 2=242+322=40．设∠EGG 1=α，∠ENG=β，那么sin α=sin〔π2+∠KGG 1〕=cos∠KGG 1=45.记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，那么P2Q2⊥平面EFGH，答：玻璃棒l没入水中局部的长度为20 cm．(如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞，那么结果为20 cm)19. (2017年)对于给定的正整数k，假设数列{a n}满足：a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n〔n＞k〕总成立，那么称数列{a n}是“p〔k〕数列〞．〔1〕证明：等差数列{a n}是“p〔3〕数列〞；〔2〕假设数列{a n}既是“p〔2〕数列〞，又是“p〔3〕数列〞，证明：{a n}是等差数列．19.解：〔1〕因为{a n}是等差数列，设其公差为d，那么a n=a1+(n-1)d，从而，当n≥4时，a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n，k=1，2，3，所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，因此等差数列{a n}是“p〔3〕数列〞．〔2〕数列{a n}既是“p〔2〕数列〞，又是“p〔3〕数列〞，因此，当n≥3时，a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n，①当n≥4时，a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n．②由①知，a n-3+a n-2=4a n-(a n+a n+1)，③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n)，④将③④代入②，得a n-1+a n+1=2a n，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′．在①中，取n=4，那么a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3- d′，在①中，取n=3，那么a 1+a 2+a 4+a 5=4a 3，所以a 1=a 3-2d′， 所以数列{a n }是等差数列．20. (2017年)函数f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a ＞0，b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕 〔1〕求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； 〔2〕证明：b 2＞3a ；〔3〕假设f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72，求a 的取值围．因为f′(x)的极值点是f(x)的零点．当a=3时，f′(x)＞0〔x≠-1〕，故f(x)在R 上是增函数，f(x)没有极值；列表如下：故f(x)的极值点是x 1，x 2．从而a ＞3．因此b 2＞3a.〔3〕由〔1〕知，f(x)的极值点是x 1，x 2，且x 1+x 2=-23a ，x 12+x 22=4a 2-6b9． 从而f(x 1)+f(x 2)=x 13+ax 12+bx 1+1+x 23+ax 22+bx 2+1=x 13(3x 12+2ax 1+b)+x 23(3x 22+2ax 2+b)+13a(x 12+ x 22)+23b(x 1+x 2)+2 =4a 3-6ab 27-4ab9+2=0.记f(x)，f′(x)所有极值之和为h(a)，因为f′(x)的极值为b-a 23=-19a 2+3a ，所以h(a)=-19a 2+3a ，a ＞3． 因为h′(a)=-29a-3a 2＜0，于是h(a)在〔3，+∞〕上单调递减． 因为h 〔6〕=-72，于是h 〔a 〕≥h〔6〕，故a≤6． 因此a 的取值围为〔3，6]．21. (2017年)A ．[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：〔1〕∠PAC=∠CAB； 〔2〕AC 2=AP·AB．解：〔1〕因为PC 切半圆O 于点C ，所以∠PCA=∠CBA， 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB=90°. 因为AP⊥PC，所以∠APC=90°，所以∠APC=∠CBA.〔2〕由〔1〕知，△APC∽△ACB，故AP AC =ACAB ，即AC 2=AP·AB．B ．[选修4-2：矩阵与变换] 矩阵A=[0 11 0]，B=[1 0 0 2].〔1〕求AB ；〔2〕假设曲线C 1：x 28+y22=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解：〔1〕因为A=[0 11 0]，B=[1 00 2]，所以AB=[0 11 0] [1 00 2] = [0 12 0].〔2〕设Q 〔x 0，y 0〕为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P(x ，y)，因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2+y 2=8．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程](2017年)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参考方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数),曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上,设P (2s 2,22s),所以点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45. 当s ＝2时,d min ＝455.所以当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离的最小值为455.D ．［选修4-5：不等式选讲］a ,b ,c ,d 为实数,且a 2＋b 2＝4,c 2＋d 2＝16.求证：ac ＋bd ≤8.【证明】由柯西不等式得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).因为a2＋b2＝4,c2＋d2＝16,所以(ac＋bd)2≤64,所以ac＋bd≤8.22. (2017年)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=120°．〔1〕求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；〔2〕求二面角B-A1D-A的正弦值．22.解：在平面ABCD，过点A作AE⊥AD，交BC于点E．因为AA1 平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD．如图，以{→AE ，→AD ，→AA1 }为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz．因为AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=120°．那么A〔0，0，0〕，B〔3，-1，0〕，D〔0，2，0〕，E〔3，0，0〕，A1〔0，0，3〕，C1〔3，1，3〕.〔1〕→A1B =〔3，-1，-3〕，→AC1=〔3，1，3〕，那么cos<→A1B ，→AC1>=→A1B ·→AC1|→A1B ||→AC1|=〔3，-1，-3〕·〔3，1，3〕7=-17.设m =〔x ，y ，z 〕为平面BA 1D 的一个法向量，23. (2017年)一个口袋中有m 个白球，n 个黑球〔m ，n∈N *，n≥2〕，这些球除颜色外全部一样．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如下图的编号为1，2，3，…，m+n 的抽屉，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉〔k=1，2，3，…，m+n 〕．〔1〕试求编号为2的抽屉放的是黑球的概率P ；〔2〕随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X 的数学期望，证明：E(X)＜n〔m+n 〕〔n-1〕．〔2〕随机变量X 的概率分布为。
对2017江苏高考数学应用题和数列题
使得 S n
a m ， 1 ( m 1) d n
（ *） ；那么 m 随着 n 的变化而
f (n) .
变化，可设满足函数关系式 m 又
d 0
，那么要使（*）对任
恒成立，则
m f ( n)
；代入得：
d Bd 1 ，即有 ； 2 1 d Cd 0
时， S n a m . （注意：存在性问题的证明方法，找出符合题意的对象）
解法 2： （看到这个题目，联想到和 2013 年考的是一样的： 恒等式问题） 由题意设
n2 n Sn n d 2
am 1 (m 1)d
； 又 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和
；由题意知对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，
【解析】 设公比为 q ， 因为 a2 1 ， 则由 a8
q 4 q 2 2 0 ，解得 q 2 2 ，所以 a6 a2q4 4 ．
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本 量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d
t 2 106 f (t ) 3 4 (5 t 20) 。 4 t
令 t 2 x(25 x 400) ，被开方部分为 h( x) ，这时函数式较为简 单了。
x x 106 也可以使用三元基本不等式求解， g (t ) h( x) 2 8 8 x x x 106 x x 106 3 75 ，当且仅当 2 8 8 x 8 8 x2
（2015 年第 11 题 数列 {an } 满足 a1 1 ， 且 an1 an 则数列 { 1 } 的前 10 项和为
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = ，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin α=cos α=易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++ ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0077x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，． 【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =． 【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． （2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程． 【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=． 【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值． 试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ． 因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）111,AB AC =-= ，则1111111,1cos ,77||||A B AC A B AC A B AC ⋅-⋅===-． 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以sin θ==．因此二面角B -A 1D -A． 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n + 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+ ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析． 试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m nn p m n -+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++- 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++- 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++- 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。
2017年江苏省高考数学试卷(真题详细解析).docx
2017 年江苏省高考数学试卷一 .填空题1（．5 分）已知集合 A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．若 A∩B={ 1} ，则实数 a 的值为．2．（5 分）已知复数 z=（ 1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的模是．3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（ 5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为，则输出 y 的值是．5．（5 分）若 tan（α﹣）=．则tanα=．6．（ 5 分）如图，在圆柱 O1 O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1 2 的体积为1，球O 的体积为2，则的值是．O V V7．（ 5 分）记函数 f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则 x∈ D 的概率是．8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P， Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是．9．（ 5 分）等比数列 { a n} 的各项均为实数，其前n 项和为 S n，已知S3=，S6=，则 a8=．10．（5 分）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数 f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中 e 是自然对数的底数．若 f（a﹣ 1） +f（2a2）≤ 0．则实数 a 的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且 tan α=7，与的夹角为 45°．若 =m +n（ m，n∈ R），则 m+n=．13．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 12，0）， B（ 0， 6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（ 5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（x）=，其中集合 D={ x| x=， n∈ N* } ，则方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是．二 .解答题15．（ 14 分）如图，在三棱锥 A﹣ BCD中， AB⊥AD， BC⊥ BD，平面 ABD⊥求证：（1）EF∥平面 ABC；（2） AD⊥AC．16．（ 14 分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣），x∈[ 0，π]．（ 1）若，求x的值；（ 2）记 f （x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．17．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 E：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点 P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点 F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线l2．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l1，l2的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．18．（ 16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG， E1G1的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A ，另一端置于棱 CC1上，求 l 没入水中部分的度；（2）将 l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E ，另一端置于棱 GG1上，求 l 没入水中部分的度．19．（16 分）于定的正整数k，若数列 { a n} 足：a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k+a n+k=2ka n 任意正整数n（n＞k）成立，称数列{ a n}是“P（k）数列”．（ 1）明：等﹣1差数列 { a n } 是“P（3）数列”；（ 2）若数列 { a n} 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，明：{ a n} 是等差数列．20．（ 16 分）已知函数f（ x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极，且函数 f ′（ x）的极点是 f（x）的零点．（Ⅰ）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定域；（Ⅱ）明： b2＞ 3a；（Ⅲ）若 f（ x），f ′（x）两个函数的所有极之和不小于，求数a的取范．二 .非，附加（ 21-24 做）【修 4-1：几何明】（本小分0分）21．如， AB 半 O 的直径，直 PC切半 O 于点 C，AP⊥PC，P 垂足．求：（1）∠PAC=∠CAB；（2） AC2 =AP?AB．[ 修 4-2：矩与 ]22．已知矩 A=，B=．（1）求 AB；（ 2）若曲 C1：=1在矩AB的作用下得到另一曲2，求CC2的方程．[ 修 4-4：坐系与参数方程 ]23．在平面直角坐系xOy 中，已知直 l 的参数方程（t参数），曲 C 的参数方程（s参数）．P曲C上的点，求点P 到直 l 的距离的最小．［修 4-5：不等式］24．已知 a，b，c， d 数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，明 ac+bd≤ 8．【必做】25．如，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中， AA1⊥平面 ABCD，且 AB=AD=2，AA1=，∠ BAD=120°．（1）求异面直 A1B 与 AC1所成角的余弦；（2）求二面角 B A1D A 的正弦．26．已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球（ m，n∈N*，n≥2），些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n 的抽内，其中第 k 次取出的球放入号k 的抽（ k=1，2，3，⋯，m+n）．123⋯m+n（ 1）求号 2 的抽内放的是黑球的概率p；（ 2）随机量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E（ X）是 X 的数学期望，明E（ X）＜．2017 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一 .填空题2+3} ．若 A∩B={ 1} ，则实数 a 的值为 1 ．．（分）已知集合1 5A={ 1，2} ，B={ a，a【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合 A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．A∩B={ 1} ，∴a=1 或 a2+3=1，当a=1 时， A={ 1，1} ， B={ 1， 4} ，成立；a2+3=1 无解．综上， a=1．故答案为： 1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5 分）已知复数 z=（ 1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数 z=（ 1+i）（1+2i） =1﹣2+3i=﹣ 1+3i，∴ | z| ==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000 件，而抽取60 件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18 件，故答案为： 18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（ 5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值 x=，不满足x≥1，所以 y=2+log2=2﹣=﹣ 2，故答案为：﹣ 2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5 分）若 tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵ tan（α﹣）===∴6tan α﹣6=tan α+1，解得 tan α=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（ 5 分）如图，在圆柱 O1 O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1 2 的体积为1，球O 的体积为2，则的值是．O V V【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，23．圆柱的体积为：πR?2R=2πR则 == ．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（ 5 分）记函数 f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则 x∈ D 的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由 6+x﹣x2≥0 得 x2﹣x﹣6≤0，得﹣ 2≤ x≤ 3，则 D=[ ﹣2，3] ，则在区间 [ ﹣ 4， 5] 上随机取一个数 x，则 x∈ D 的概率 P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣ y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P， Q，其焦点是 F1，2，则四边形 1 2．F F PF Q 的面积是【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣ y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：±x，y=所以 P（，），Q（，﹣），F1（﹣，）． 2（，）．20 F 2 0则四边形 F1PF2Q 的面积是：=2．故答案为： 2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（ 5 分）等比数列 { a n} 的各项均为实数，其前n 项和为 S n，已知S3=，S6=，则a8= 32 ．【分析】设等比数列 { a n的公比为≠， 3， 6，可得=，}q 1 S =S = =，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列 { a n} 的公比为 q≠ 1，∵ S3， 6，∴，，解得 a1=，q=2．则 a8==32．故答案为： 32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5 分）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4× 2×=240（万元）．当且仅当 x=30 时取等号．故答案为： 30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（分）已知函数3﹣2x+e x﹣，其中 e 是自然对数的底数．若 f（a 11 5f（x）=x﹣ 1） +f（2a2）≤ 0．则实数 a 的取值范围是[ ﹣ 1， ] ．【分析】求出 f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在 R 上递增；再由奇偶性的定义，可得 f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤ 1﹣ a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数 f （x） =x3﹣ 2x+e x﹣的导数为：f ′（x）=3x2﹣2+e x+ ≥﹣ 2+2=0，可得 f （x）在 R 上递增；3+2x+e ﹣x x 3x又 f（﹣ x） +f （x）=（﹣ x）﹣e +x﹣2x+e ﹣ =0，可得 f （x）为奇函数，则f（ a﹣ 1） +f （2a2）≤ 0，即有 f （2a2）≤﹣ f（a﹣1）由 f（﹣（ a﹣1））=﹣ f（ a﹣1），f（2a2）≤ f（1﹣a），即有 2a2≤1﹣a，解得﹣ 1≤a≤，故答案为： [ ﹣1，] ．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5 分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且 tan α=7，与的夹角为45°．若=m +n（m，n∈ R），则 m+n= 3．【分析】如图所示，建立直角坐标系． A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得 cosα=， sin α= ． C．可得°°cos（α+45 ） =． sin（α+45 ）=．B．利用=m +n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴ cosα=，sinα=．∴ C．°（ cosα﹣sin α）=．cos（α+45） =sin（α+45°（sin α+cosα）=．）=∴ B．∵=m +n （m， n∈ R），∴ =m﹣ n， =0+ n，解得 n=，m=．则m+n=3．故答案为： 3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 12，0）， B（ 0， 6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[ ﹣5，1]．【分析】根据题意，设 P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线 2x+y+5≤ 0 以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设 P（x0， y0），则有 x02+y02=50，=（﹣ 12﹣ x0，﹣ y0）?（﹣ x0，6﹣y0）=（ 12+x0）x0﹣ y（0 6﹣ y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为： 12x0﹣6y0+30≤0，即 2x0﹣y0+5≤ 0，表示直线 2x﹣ y+5=0 以及直线上方的区域，联立，解可得 x0﹣或0 ，= 5x =1结合图形分析可得：点P 的横坐标 x0的取值范围是 [ ﹣5，1] ，故答案为： [ ﹣5 ，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于 x0、y0的关系式．14．（ 5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（x）=，其中集合 D={ x| x=，n∈ N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f （ x）=，其中集合D={ x| x=，n∈ N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间 [ 0，1）上， f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，∴在区间 [ 1，2）上， f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间 [ 2， 3）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 3， 4）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 4， 5）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 5， 6）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 6， 7）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 7， 8）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 8， 9）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；在区间 [ 9，+∞）上， f（x）的图象与 y=lgx 无交点；故f（ x）的图象与 y=lgx 有 8 个交点；即方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是 8，故答案为： 8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二 .解答题15．（ 14 分）如图，在三棱锥 A﹣ BCD中， AB⊥AD， BC⊥ BD，平面 ABD⊥平面BCD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥ AD．求证：（1）EF∥平面 ABC；（2） AD⊥AC．【分析】（1）利用 AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段 CD上点 G，连结 FG、EG使得 FG∥ BC，则 EG∥ AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为 AB⊥ AD， EF⊥AD，且 A、B、E、F 四点共面，所以 AB∥EF，又因为 EF?平面 ABC，AB? 平面 ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面 ABC；（2）在线段 CD上取点 G，连结 FG、 EG使得 FG∥BC，则 EG∥AC，因为 BC⊥BD， FG∥ BC，所以 FG⊥BD，又因为平面 ABD⊥平面 BCD，所以 FG⊥平面 ABD，所以 FG⊥AD，又因为 AD⊥EF，且 EF∩FG=F，所以 AD⊥平面 EFG，所以 AD⊥EG，故 AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（ 14 分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣），x∈[ 0，π]．（ 1）若，求x的值；（ 2）记 f （x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（ 2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵ =（cosx， sinx）， =（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴ tanx=﹣，∵ x ∈[ 0，π] ，∴ x=，（ 2） f （x ）==3cosx ﹣ sinx=2（cosx ﹣ sinx ）=2 cos （x+），∵ x ∈[ 0，π] ，∴ x+ ∈[， ] ，∴﹣ 1≤cos （x+ ）≤，当 x=0 时， f （x ）有最大值，最大值 3，当 x=时， f （x ）有最小值，最小值﹣ 2 ．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E ：=1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F 1， 2 ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8 ．点 P 在椭圆FE 上，且位于第一象限，过点F 作直线 PF 的垂线 l ，过点 F 作直线 PF 的垂线1 112 2 l 2．（ 1）求椭圆 E 的标准方程；（ 2）若直线 l 1，l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得 a=2c ，由椭圆的准线方程 x=±，则 2×=8，即可求得 a 和 c 的值，则 b 2=a 2﹣ c 2 =3，即可求得椭圆方程；（ 2）设 P 点坐标，分别求得直线 PF 2 的斜率及直线 P F 1 的斜率，则即可求得 l 2及l1的斜率及方程，联立求得 Q 点坐标，由 Q 在椭圆方程，求得 y02=x02﹣1，联立即可求得 P 点坐标；方法二：设 P（m， n），当 m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得 Q 点坐标，根据对称性可得=± n2，联立椭圆方程，即可求得 P 点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e== ，则 a=2c，①椭圆的准线方程 x=±，由 2×=8，②由①②解得： a=2，c=1，则 b2 2﹣c2，=a=3∴椭圆的标准方程：；（ 2）方法一：设 P（x0，0），则直线 2 的斜率=，y PF则直线 l2的斜率 2 ﹣，直线l 2的方程﹣（﹣），k =y=x 1直线 PF1的斜率=，则直线 l2的斜率1﹣，直线l 1 的方程﹣（），k =y=x+1联立，解得：，则Q（﹣x0，），由 P，Q 在椭圆上， P， Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣ 1，则，解得：，则，又 P 在第一象限，所以P 的坐标为：P（，）．方法二：设 P（m， n），由 P 在第一象限，则 m＞ 0， n＞ 0，当 m=1 时，不存在，解得： Q 与 F1重合，不满足题意，当 m≠1 时，=，=，由 l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线 l1的方程 y=﹣（ x+1），①直线 l2的方程 y=﹣（x﹣1），②联立解得： x=﹣m，则 Q（﹣ m，），由 Q 在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣ n2=1，或 m2+n2=1，由 P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又 P 在第一象限，所以P 的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（ 16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG， E1G1的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（ 1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1上，求 l 没入水中部分的长度；（ 2）将 l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1上，求 l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在 CC1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过 N 作NP∥MC，交 AC于点 P，推导出 CC1⊥平面 ABCD，CC1⊥ AC，NP⊥ AC，求出MC=30cm，推导出△ ANP∽△ AMC，由此能出玻璃棒 l 没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在 GG1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过点 N 作 NP⊥ EG，交 EG于点 P，过点 E 作 EQ⊥E1G1，交 E1G1于点 Q，推导出 EE1G1G 为等腰梯形，求出 E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出 sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒 l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在 CC1上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N，在平面 ACM 中，过 N 作 NP∥MC，交 AC于点 P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴ CC1⊥平面 ABCD，又∵ AC? 平面 ABCD，∴ CC1⊥AC，∴ NP⊥AC，∴NP=12cm，且 AM2=AC2+MC2，解得 MC=30cm，∵ NP∥MC，∴△ ANP∽△ AMC，∴= ，，得AN=16cm．∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在 GG1上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N，在平面 E1EGG1中，过点 N 作 NP⊥EG，交 EG于点 P，过点 E 作 EQ⊥ E1G1，交 E1G1于点 Q，∵ EFGH﹣ E1F1G1H1为正四棱台，∴ EE1=GG1， EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G 为等腰梯形，画出平面 E1EGG1的平面图，∵ E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm， NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得： E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos∠EGM=﹣，根据正弦定理得：=，∴ sin∠EMG=，cos∠EMG=，∴sin∠GEM=sin（∠ EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠ EMG= ，∴ EN===20cm．∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为20cm．【点】本考玻璃棒 l 没入水中部分的度的求法，考空中、面、面面的位置关系等基知，考推理能力、运算求解能力、空想象能力，考数形合思想、化与化思想，是中档．19．（16 分）于定的正整数k，若数列 { a n} 足：a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k+a n+k=2ka n 任意正整数n（n＞k）成立，称数列{ a n}是“P（k）数列”．（ 1）明：等﹣1差数列 { a n } 是“P（3）数列”；（ 2）若数列 { a n} 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，明：{ a n} 是等差数列．【分析】（1）由意可知根据等差数列的性， a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（ a n+a n+3）+（a n﹣ 2+a n+2）+（a n﹣ 1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定，可得﹣3数列 { a n} 是“P（3）数列”；（ 2）由已知条件合（ 1）中的，可得到 { a n} 从第 3 起等差数列，再通判断 a2与 a3的关系和 a1与 a2的关系，可知 { a n} 等差数列．【解答】解：（ 1）明：等差数列 { a n} 首 a1，公差 d， a n =a1+（n 1）d，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n +2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列 { a n} 是“P（3）数列”；（ 2 ）明：当n ≥ 4 ，因数列{ a n} 是 P（ 3 ）数列，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n +1+a n+2+a n +3=6a n，①因数列 { a n} 是“P（ 2）数列”，所以 a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，②则a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，③，②+③﹣①，得 2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n，即 2a n=a n﹣1+a n+1，（ n≥ 4），因此 n≥4 从第 3 项起为等差数列，设公差为d，注意到 a2+a3+a5+a6=4a4，所以 a2=4a4﹣a3﹣a5﹣ a6=4（a3+d）﹣ a3﹣（ a3+2d）﹣（ a3+3d） =a3﹣ d，因为 a1+a2+a4+a5=4a3，所以 a1 =4a3﹣a2﹣ a4﹣a5=4（a2+d）﹣ a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前 3 项满足等差数列的通项公式，所以 { a n} 为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（ 16 分）已知函数 f（ x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f ′（x）的极值点是 f（x）的零点．（Ⅰ）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明： b2＞ 3a；（Ⅲ）若 f（ x），f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ ）通过对 f（x） =x3+ax2+bx+1 求导可知 g（ x） =f （′x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知 g′（x）=6x+2a，通过令 g′（ x） =0 进而可知 f ′（x）的极小值点为 x=﹣，从而 f（﹣）=0，整理可知 b=+ （ a＞0），结合 f（x）=x3+ax2+bx+1（ a＞ 0，b∈ R）有极值可知 f ′（x）=0 有两个不等的实根，进而可知 a＞3．（Ⅱ）通过（ 1）构造函数 h（a）=b2﹣3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），结合 a＞ 3 可知 h（ a）＞ 0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（ 1）可知 f ′（x）的极小值为 f （′﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知 y=f（ x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式 b﹣ +﹣+2= ﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（Ⅰ ）解：因为 f （x）=x3+ax2 +bx+1，所以 g（x）=f ′（ x） =3x2 +2ax+b，g′（x）=6x+2a，令 g′（x）=0，解得 x=﹣．由于当 x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f（′x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f （′x）单调递减；所以 f ′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数 f ′（x）的极值点是原函数f（ x）的零点，所以 f （﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以 b=+（a＞0）．因为 f （x） =x3+ax2 +bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以 f ′（x）=3x2+2ax+b=0 的实根，所以 4a2﹣12b≥ 0，即 a2﹣+≥0，解得a≥3，所以 b=+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（ 1）可知 h（a）=b2﹣3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），由于 a＞3，所以 h（a）＞ 0，即 b2＞3a；（Ⅲ）解：由（ 1）可知 f ′（x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，设 x1， 2 是y=f （）的两个极值点，则 1 2， 1 2，x x x +x =x x =所以 f （x1）+f （ 2）= +（+）+b（ 1 2）+2 x+a x +x=（x1+x2）[ （x1+x2）2﹣3x1x2]+ a[ （ x1 +x2）2﹣2x1 x2]+ b（x1+x2）+2 =﹣+2，又因为 f（x）， f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以 b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为 a＞3，所以 2a3﹣63a﹣54≤0，所以 2a（a2﹣36）+9（ a﹣6）≤ 0，所以（ a﹣6）（ 2a2+12a+9）≤ 0，由于 a＞3 时 2a2+12a+9＞0，所以 a﹣6≤0，解得 a≤6，所以 a 的取值范围是（ 3，6] ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二 .非选择题，附加题（ 21-24 选做题）【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC切半圆 O 于点 C，AP⊥PC，P 为垂足．求证：（1）∠ PAC=∠CAB；（2） AC2 =AP?AB．【分析】（ 1 ）利用弦切角定理可得：∠ ACP=∠ ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（ 2）由（ 1）可得：△ APC∽△ ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线 PC切半圆 O 于点 C，∴∠ ACP=∠ABC．∵AB为半圆 O 的直径，∴∠ ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠ APC=90°．∴∠ PAC=90°﹣∠ ACP，∠ CAB=90°﹣∠ ABC，∴∠ PAC=∠CAB．（2）由（ 1）可得：△ APC∽△ ACB，∴ = ．∴2AC =AP?AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知矩阵 A=，B=．（1）求 AB；（ 2）若曲线 C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2，求CC2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（ 2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点 P（ x，y）为曲线 C1的任意一点，点P 在矩阵 AB 的变换下得到点 P′（ x0，y0），则=，即x0， 0 ，=2y y =x∴x=y0，y= ，∴，即 x02+y02=8，∴曲线 C2的方程为 x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），曲线 C 的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P 到直线 l 的距离的最小值．【分析】求出直线 l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离 d 关于参数 s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线 l 的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴ P 到直线 l 的距离 d==，∴当 s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修 4-5：不等式选讲］24．已知 a，b，c， d 为实数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，证明 ac+bd≤ 8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令 a=2cos α，b=2sin α，c=4cos β，d=4sin β代入． ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ ac+bd ）2≤（ a2+b2）（ c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵ a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα， b=2sin α，c=4cosβ，d=4sin β．∴ ac+bd=8（ cosαcos+sinβ αsin）β=8cos（α﹣β）≤ 8．当且仅当cos（α﹣β） =1时取等号．因此 ac+bd≤ 8．另解：由柯西不等式可得：（ ac+bd）2≤（ a2+b2）（c2+d2）=4× 16=64，当且仅当时取等号．∴﹣ 8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】第27页（共 31页）AA1=，∠ BAD=120°．（1）求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值；（2）求二面角 B﹣A1D﹣ A 的正弦值．【分析】在平面 ABCD内，过 A 作 Ax⊥ AD，由 AA1⊥平面 ABCD，可得 AA1⊥ Ax，AA1⊥ AD，以 A 为坐标原点，分别以Ax、AD、 AA1所在直线为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A， B， C， D，A1，1的坐标，进一步求出，C，，的坐标．（ 1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B 与1所成角的余弦AC值；（2）求出平面 BA1D 与平面 A1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角 B﹣A1D﹣ A 的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面 ABCD内，过 A 作 Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax? 平面ABCD，∴ AA1⊥Ax， AA1⊥ AD，以 A 为坐标原点，分别以 Ax、AD、AA1所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1= ，∠ BAD=120°，∴ A（ 0， 0， 0），B（）， C（， 1， 0），D（0，2，0），A （ 0， 0，），C （）．11= （），= （），，．（ 1）∵ cos＜＞==．∴异面直 A1B 与 1 所成角的余弦；AC（ 2）平面 BA1D 的一个法向量，由，得，取 x=，得；取平面 A1 AD 的一个法向量．∴ cos＜＞==．∴二面角 B A1A 的余弦，二面角B1A的正弦D A D．【点】本考异面直所成的角与二面角，了利用空向量求空角，是中档．26．已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球（ m，n∈N*，n≥2），些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n 的抽内，其中第 k 次取出的球放入号k 的抽（ k=1，2，3，⋯，m+n）．123⋯m+n（ 1）求号 2 的抽内放的是黑球的概率 p；（ 2）随机量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E（ X）是 X 的数学期望，明 E（ X）＜．【分析】（1）法一：事件 A i表示号i 的抽里放的是黑球，（ 2）p=p A=P（A 2| A1）P（A1）+P（A2 |）P（），由此能求出号 2 的抽内放的是黑球的概率．法二：按照同种模型的方法，黑球共有m+n 个位置，故排法有种，除去第二个位置放的黑球，剩下n+m 1 个位置，由此能求出号 2 的抽内放的是黑球的概率．（ 2）X 的所有可能取，⋯，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，从而（E X）=（）=，由此能明（EX）＜．【解答】解：（1）解法一：事件A i表示号 i 的抽里放的是黑球，p=p（A2）=P（A2| A1）P（ A1）+P（A2|）P（）===．解法二：按照同种模型的方法，黑球共有m+n 个位置，故排法有种，除去第二个位置放的黑球，剩下n+m 1 个位置，∴ 号 2 的抽内放的是黑球的概率p==．明：（2）∵ X 的所有可能取，⋯，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，∴ E（ X） =（）==＜==?（）第30页（共 31页）==，∴ E（ X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．第31页（共 31页）。
2017年江苏高考试题(数学_word解析版)
数学
（全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）
参考公式：
1 棱锥的体积 V Sh ，其中 S 为底面积， h 为高． 3
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上 ． ．．．．．．．． 1． （2017 年江苏省 5 分）已知集合 A {1 ， 2， 4} ， B {2 ， 4， 6} ，则 A B 【答案】 1, 2, 4,6 。 【考点】集合的概念和运算。 【分析】由集合的并集意义得 A B 1, 2, 4,6 。 2． （2017 年江苏省 5 分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ，现用分层抽样的方法从 该校 高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 【答案】15。 【考点】分层抽样。 【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样 或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性 的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由 50 抽取 15 名学生。 3． （2017 年江苏省 5 分）设 a ， b R ， a bi 【答案】8。 【考点】复数的运算和复数的概念。 【分析】由 a bi ▲ 名学生． ▲ ．
3 =15 知应从高 ，则 a b 的值为 ▲ ． 1 2i
11 7i 11 7i 1 2i 11 15i 14 11 7i 得 a bi = = =5 3i ，所以 a =5， b =3 ， 1 2i 1 2i 1 2i 1 4 1 2i
A BB1D1D 的体积为 ▲ cm3．
2017年江苏省高考数学试卷(解析版)
2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，当a=1时，A={1，1}，B={1，4}，成立；a2+3=1无解．综上，a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n，已知S3=，S6=，则a8= 32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））=﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l 1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos∠EGM=﹣，根据正弦定理得：=，∴sin∠EMG=，cos∠EMG=，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）﹣3+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）+（a n﹣2数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{a n}为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，则a n﹣3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：当n≥4时，因为数列{a n}是P（3）数列，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，①因为数列{a n}是“P（2）数列”，所以a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，②+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，③，则a n﹣1②+③﹣①，得2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n，即2a n=a n﹣1+a n+1，（n≥4），因此n≥4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4（a3+d）﹣a3﹣（a3+2d）﹣（a3+3d）=a3﹣d，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0的实根，所以4a2﹣12b≥0，即a2﹣+≥0，解得a≥3，所以b=+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）法一：设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A 1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）解法一：设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．解法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p==．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．。
2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)(2)
23232017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I」、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上..(1) _________________________________________________________________________________________ 【2017年江苏，1, 5分】已知集合 A {1,2} , B {a,a 2 3} •若AI B 1，则实数a 的值为 ____________________________ . 【答案】1【解析】•••集合 A {1,2} , B {a,a 2 3} . AI B 1 ,.•. a 1 或 a 23 1，解得 a 1 .【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用.(2) 【2017年江苏，2, 5分】已知复数z 1 i 1 2i ,其中i 是虚数单位，则z 的模是 _____________________ . 【答案】.10【解析】复数 z 1 i 1 2i 1 2 3i 1 3i , A |z 1 2 3210 .【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.(3)【2017年江苏，3, 5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200, 400, 300,100件•为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ________ 件.【答案】18 【解析】产品总数为 200 400 300 100 1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为【答案】怎佥，则应从丙种型号的产品中抽取 300 —18件. 100【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取. 按照一定的比例,(4)【2017年江苏，4,5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为 丄，则输出y 的值是16 【答案】【解析】 【点评】 1 丄 初始值x -，不满足x 1，所以y 2 log ；62 16 本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法,基础题. 2 4log 2 2.注意解题方法的积累，属于 ◎丫7-；心(5)【2017年江苏，5,5分】若tan1.则 tan6【解析】 Q tantan叫tan tan 11 tan tan —4 本题考查了两角差的正切公式，属于基础题.1,••• 6tan 6 tan 1，解得 tan6【点评】 (6)【2017年江苏，6, 5分】如如图，在圆柱 QO 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)
2x
ex
1 ex ，其中 e 是自然对数的底数． 若 f ( a 1)
f (2a2) ≤ 0 ，则实数 a 的取值
范围是 ▲ ．
1 【答案】 [ 1, ]
2
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】 解函数不等式时， 首先根据函数的性质把不等式转化为 f ( g( x)) f (h(x)) 的形式， 然后
( 是点集、数集或其他
情形 ) 和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（ 2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能
会因为不满足“互异性”而导致错误．
（ 3）防范空集．在解决有关 A B , A B 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况， 一定要先考
虑 时是否成立，以防漏解．
【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（ 转化为证明线线平行；（ 2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（ 证明线面垂直． 16．（本小题满分 14 分） 已知向量 a (cos x, sin x), b (3, 3), x [0, π].
5
【答案】
9
▲．
【考点】几何概型 【名师点睛】（ 1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （ 2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要 设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（ 3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，
p
p
lg x Q ，
因此 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等，
2017年江苏省高考数学试卷(含答案解析)
2017 年江苏省高考数学试卷一.填空题1（．5分）已知集合A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．若A∩B={ 1} ，则实数a的值为2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i 是虚数单位，则z的模是3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x 的值为，则输出y的值是5．（ 5 分）若tan（α﹣）= ．则tan α= ．6．（5 分）如图，在圆柱O1O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O 的体积为V2，则的值是．7．（5 分）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[ ﹣4，5] 上随机取一个数x，则x∈D 的概率是．28．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q 的面积是．9．（5分）等比数列{ a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3= ，S6= ，则a8= ．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．11．（5 分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中 e 是自然对数的底数．若f （a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数 a 的取值范围是．12．（5 分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α=，7 与的夹角为45°．若=m +n （m，n∈R），则m+n= ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P 的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[ 0，1）上，f （x）= ，其中集合D={x| x= ，n∈N* } ，则方程 f （x）﹣lgx=0 的解的个数是．二.解答题15．（14 分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D 不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[ 0，π]．（1）若∥ ，求x 的值；（2）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．17．（14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2 ，离心率为，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1 作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q 在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ 的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度；l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG1 上，求l没19．（16 分）对于给定的正整数k，若数列{ a n} 满足：a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k ﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n>k）总成立，则称数列{a n} 是“P （k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{ a n}既是“（P2）数列”，又是“（P3）数列”，证明：{ a n}是等2）将l 放在容器Ⅱ中，入水中部分的长度．差数列．20．（16 分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a>0，b∈R）有极值，且导函数f （x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2>3a；（3）若f（x），f （′x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a 的取值范围．.非选择题，附加题（21-24 选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0 分）21．如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC切半圆O 于点C，AP⊥PC，P 为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP?AB．[ 选修4-2 ：矩阵与变换]22．已知矩阵A=1）求AB；2）若曲线C1：=1 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2 的方程．[ 选修4-4 ：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t 为参数），曲线C的参数方程为（s 为参数）．设P 为曲线C上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c， d 为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠ BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A 的正弦值．26．已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，⋯，m+n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉（k=1，2，3，⋯，m+n）．（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5 分）（2017?江苏）已知集合A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．若A∩B={ 1} ，则实数 a 的值为 1 ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．A∩B={ 1} ，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5 分）（2017?江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i 是虚数单位，则z 的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴| z| = = ．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5 分）（2017?江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18 件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000 件，而抽取60 辆进行检验，抽样比例为= ，则应从丙种型号的产品中抽取300× =18 件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5 分）（2017?江苏）如图是一个算法流程图：若输入x 的值为，则输出y的值是﹣2【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x= ，不满足x≥1，所以y=2+log2 =2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（2017?江苏）若tan（α﹣）= ．则tanα= ．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵ tan（α﹣）= = =∴6tan α﹣6=tan α+1，解得tan α=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5 分）（2017?江苏）如图，在圆柱O1O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O 的体积为V2，则的值是．．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2?2R=2πR3．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5 分）（2017?江苏）记函数 f （x ）= 定义域为 D ．在区间[ ﹣4，5]上随机取一个数 x ，则 x ∈D 的概率是．【分析】 求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【解答】 解：由 6+x ﹣x 2≥0 得 x 2﹣x ﹣6≤0，得﹣ 2≤x ≤3， 则 D=[ ﹣ 2， 3] ，则在区间[ ﹣4，5]上随机取一个数 x ，则x ∈D 的概率 P= = ，故答案为：【点评】 本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出 D ， 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．28．（5 分）（2017?江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ﹣y 2=1 的右准线 与它的两条渐近线分别交于点 P ，Q ，其焦点是 F 1，F 2，则四边形 F 1PF 2Q 的面积 是．分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程， 得到 P ，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】 解：双曲线 ﹣y 2=1的右准线： x= ，双曲线渐近线方程为： ，Q （ ，﹣则四边形 F 1PF 2Q 的面积是： =2 ．故答案为： 2 ．点评】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2017?江苏）等比数列｛ a n ｝的各项均为实数，其前 n 项为 S n ，已知 S 3= ，，F 1（﹣2，0）．F 2（2，0）．所以 P （ ，S6= ，则a8= 32 ．分析】设等比数列｛ a n｝的公比为q≠ 1，S3= ，S6= ，可得=，= ，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n} 的公比为q≠1，∵S= ，S= ，∴= ，= ，∵ S3= ，S6= ，∴= ，= ，36解得a1= ，q=2．则a8= =32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5 分）（2017?江苏）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30 ．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4× 2 ×=240（万元）．当且仅当x=30 时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5 分）（2017?江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中 e 是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[ ﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数 f （x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f ′（x）=3x2﹣2+e x+ ≥﹣2+2 =0，可得f（x）在R 上递增；又f（﹣x）+f （x）=（﹣x）3+2x+e x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得 f （x）为奇函数，则f（a﹣1）+f （2a2）≤0，即有 f （2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[ ﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5 分）（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α =，7 与的夹角为45°．若=m +n （m，n∈R），则m+n= 3 ．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=．7可得cosα= ，sin α= ． C ．可得cos（α+45 ）= ．sin （α+45 ）= ．B ．利用=m +n （m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与 的夹角为 α，且 tan α=．7∴ =m ﹣ n ， =0+ n ， 解得n= ，m= ．则 m+n=3．属于中档题．13．（5 分）（2017?江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6）， 点 P 在圆 O ：x 2+y 2=50 上．若 ≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是 [ ﹣5 ， 1]【分析】根据题意，设 P （x 0，y 0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得 2x 0+y 0+5≤ 0，分析可得其表示表示直线 2x+y+5≤ 0 以及直线下方的区域，联立直线与圆 的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．cos（α+45°）sin = （ cos α﹣sin α）= = （sin α+cos α）= ．∵ =m +n （m ， n ∈ R ），点评】本题考查了向量坐标运算性质、 和差公式，考查了推理能力与计算能力，【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，22 =（﹣12﹣x0，﹣y0）?（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30 ≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0 以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣ 5 或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[ ﹣5 ，1]，【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0 的关系式．14．（5分）（2017?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={ x| x= ，n∈N* } ，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8 ．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[ 0，1）上， f （x）= ，其中集合D={x| x= ，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[ 0，1）上，f（x）= ，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为 1 的函数，∴在区间［1，2）上，f（x）= ，此时f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间［ 2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间［ 3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间［ 4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间［ 5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间［ 6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间［ 7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间［ 8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间［ 9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx 无交点；故f（x）的图象与y=lgx 有8 个交点；即方程f（x）﹣lgx=0 的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14 分）（2017?江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D 不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥ AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥ BC，则EG∥ AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F 四点共面，所以AB∥EF，又因为EF?平面ABC，AB? 平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥ AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）（2017?江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[ 0，π]．（1）若∥ ，求x 的值；2）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出解答】解：（1）∵ =（cosx，sinx），=（3，﹣），∥ ，∴﹣cosx=3sinx，∴ tanx=﹣，∵x∈[ 0，π] ，∴ x= ，（2）f（x）= =3cosx﹣sinx=2 （cosx﹣sinx）=2 cos（x+ ），∵x∈[ 0，π] ，∴x+ ∈[ ，] ，∴﹣1≤cos（x+ ）≤，当x=0 时， f （x）有最大值，最大值3，当x= 时， f （x）有最小值，最大值﹣ 2 ．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14 分）（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a> b> 0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2 作直线PF2 的垂线l2．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q 在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得 a 和 c 的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P 点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1 的斜率，则即可求得l2 及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P 点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1 时，= ，= ，求得直线l1 及l1的方程，联立求得Q 点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P 点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，①椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2 的斜率= ，则直线l2 的斜率k2=﹣，直线l2 的方程y=﹣（x﹣1），直线PF1的斜率=x+1），则直线l2 的斜率k2=﹣，直线l2 的方程y=2 2 2当 m=1 时， 不存在，解得： Q 与 F 1 重合，不满足题意，当 m ≠ 1 时， = ， = ，由 l 1⊥PF 1， l 2⊥ PF 2，则 =﹣ ， =直线 l 1的方程 y=﹣ （x+1），①直线 l 2 的方程 y=﹣ （x ﹣1），②联立解得： x=﹣m ，则 Q （﹣ m ， ），由 Q 在椭圆方程，由对称性可得： =± n 2，联立 由 P ， Q 在椭圆上， P ， 2 ∴ y 0 2﹣1，，解得：解得： ，则 Q （﹣ x 0，Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则 y 0= ，n >0，又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为：即 m 2﹣ n 2=1，或 m 2+n 2=1，解， 又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为：P （ ，【点评】本题考查椭圆的标准方程， 直线与椭圆的位置关系， 考查直线的斜率公 式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16 分）（2017?江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台 形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm ，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 cm ，容器Ⅱ 的两底面对角线 EG ，E 1G 1的长分别为 14cm 和 62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中 注入水，水深均为 12cm ．现有一根玻璃棒 l ，其长度为 40cm ．（容器厚度、玻璃 棒粗细均忽略不计）的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC 1上，求 l 没入水中部分的长度； （ 2）将 l 放在容器Ⅱ中，【分析】（1）设玻璃棒在 CC 1 上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ，过 N 作 NP ∥MC ，交AC 于点P ，推导出 CC 1⊥平面 ABCD ，CC 1⊥AC ，NP ⊥AC ，求出MC=30cm ， 推导出△ ANP ∽△AMC ，由此能出玻璃棒 l 没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在 GG 1上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ，过点 N 作 NP ⊥EG ， 交 EG 于点 P ，过点 E 作 EQ ⊥E 1G 1，交 E 1G 1 于点 Q ，推导出 EE 1G 1G 为等腰梯形，由 P （ m ， n ），在椭圆方程，，解得： ，或 ，无1）将 l 放在容器Ⅰ中， 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG 1上，求 l 没 入水中部分的长度．求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒l 没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1 上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1 为正四棱柱，∴ CC1⊥平面ABCD，又∵ AC? 平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴ NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ ANP∽△ AMC，∴ = ，，得AN=16cm．∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1 上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1 为正四棱台，∴ EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G 为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴ E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴ sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ，根据正弦定理得：= ，∴ sin ，cos ，∴sin∠GEM=sin(∠ EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，EN= = =20cm．∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16 分）（2017?江苏）对于给定的正整数k，若数列｛a n｝满足：a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n ﹣1+a n+1+⋯+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n>k）总成立，则称数列｛ a n｝是“（P k）数列”．（1）证明：等差数列｛a n｝是“P（3）数列”；（2）若数列｛ a n｝既是“（P2）数列”，又是“（P3）数列”，证明：｛ a n｝是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n ﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“（P k）数列”的定义，可得数列｛ a n｝是“P（3）数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n +1+a n+2+a n +3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列｛ a n｝是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列｛ a n｝首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{ a n}是“（P3）数列”；（2）证明：由数列{ a n} 是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，① 数列{ a n} 是“（P3 ）数列”n a﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，② 由①可知：a n﹣3+a n ﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③ +④）：﹣2a n =6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n} 是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16 分）（2017?江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a>0，b∈R）有极值，且导函数 f ′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2>3a；（3）若f（x），f （′x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a 的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1 求导可知g（x）=f ′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0 进而可知f ′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b= + （a>0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1 （a>0，b∈R）有极值可知 f ′（x）=0 有两个不等的实根，进而可知a>3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= ﹣+ = （4a3﹣27）（a3﹣27），结合a>3 可知h（a）> 0，从而可得结论；（3）通过（1）可知 f （′x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+ ﹣+2= ﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f （x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f ′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x>﹣时g′（x）>0，g（x）=f′（x）单调递增；当x<﹣时g′（x）< 0，g（x）=f （′x）单调递减；所以 f ′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数 f ′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+ ﹣+1=0，所以b= + （a>0）．因为 f （x）=x3+ax2+bx+1（a>0，b∈R）有极值，所以 f ′（x）=3x2+2ax+b=0 有两个不等的实根，所以4a2﹣12b> 0，即a2﹣+ >0，解得a>3，所以b= + （a>3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= ﹣+ = （4a3﹣27）（a3﹣27），由于a>3，所以h（a）> 0，即b2>3a；（3）解：由（1）可知 f ′（x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，设x1，x2 是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= ，x1x2= ，所以f（x1）+f（x2）= + +a（+ ）+b（x1+x2）+222=（x1+x2）[ （x1+x2）2﹣3x1x2]+a[ （x1+x2）2﹣2x1x2]+ b（x1+x2）+2= ﹣+2 ，又因为f（x），f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣因为a>3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a>3 时2a2+12a+9>0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6] ．所以b﹣++2= ﹣≥﹣，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24 选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0 分）21．（2017?江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥ PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP?AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△ APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O 于点C，∴∠ ACP=∠ABC．∵AB为半圆O 的直径，∴∠ ACB=9°0．∵AP⊥PC，∴∠ APC=9°0．∴∠ PAC=9°0﹣∠ ACP，∠ CAB=9°0﹣∠ ABC，∴∠ PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△ APC∽△ACB，∴=．∴=．∴AC2 =AP?AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的 判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[ 选修 4-2 ：矩阵与变换 ]22．（ 2017?江苏）已知矩阵 A= ，B= ．（ 1）求 AB ；（2）若曲线 C 1：=1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C 2，求C 2 的方程． 分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线 【解答】 解：（1）AB= = ，（2）设点 P （x ，y ）为曲线 C 1 的任意一点， 点 P 在矩阵 AB 的变换下得到点 P ′（x 0，y 0）， =∴ x=y 0，y= ，∴ ，即 x 02+y 02=8 ， ∴曲线 C 2 的方程为 x 2+y 2=8．【点评】 本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]23．（2017?江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C 的参数方程为（s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值． 【分析】 求出直线 l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离 d 关于参数 s 的函数，从而得出最短距离．C 1的方程化简即可．，即 x 0=2y ， y 0=x ，【解答】解：直线l 的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P 到直线l 的距离d= = ，∴当s= 时，d 取得最小值= ．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017?江苏）已知a，b，c， d 为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd ≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cos α，b=2sin α，c=4cos β，d=4sin β．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd ）2 ≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵ a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sin α，c=4cosβ，d=4sin β．∴ ac+bd=8（cosαcos+βsin αsin）β=8cos（α﹣β）≤ 8．当且仅当cos （α﹣β）=1 时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4× 16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．必做题】25．（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠ BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；2）求二面角B﹣A1D﹣A 的正弦值．分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以 A 为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1 的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B 与AC1 所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D 与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A 的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵ AA1⊥平面ABCD，AD、Ax? 平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以 A 为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1= ，∠ BAD=120°，∴ A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．= （），= （），，∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；2）设平面BA1D 的一个法向量为，取平面A1AD 的一个法向量为．点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．（2017?江苏）已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，⋯，m+n 的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k 的抽屉（k=1，2，3，⋯，m+n）．1 2 3 ⋯m+n（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒1）cos<>= =由，得，取x= ，得；∴cos< >=>=面角B﹣A1D﹣ A 的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣ A 的正弦值为E（X）是X 的．数，数学期望，证明E（X）<== ， = = ，∴ E （ X ）＜． 【点评】本题考查概率的求法， 考查离散型随机变量的分布列、 数学期望等基分析】（1）设事件 A i 表示编号为 i 的抽屉里放的是黑球， 则 p=p （A 2）=P （A 2| A ） P （A 1）+P （A 2| ）P （ ），由此能求出编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率． 2）X 的所有可能取值为 ， ，P （ x= ）= ，k=n ，n+1，n+2，⋯， n+m ，从而 E （ X ）= （ ）= 【解答】 解：（1）设事件 A i 表示编号为 i 的抽屉里放的是黑球， ，由此能证明 E （X ）＜ ．则 p=p （A 2）=P （A 2| A 1）P （A 1）+P （A 2| ） P （ ）证明：（2）∵X 的所有可能取值为， ，， P （x= ） ，k=n ，n+1，n+2，⋯，n+m ，∴E （X ） = ( =<=）础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．。
2017江苏省高考数学试卷及解析(非官方,仅供参考)(1)
（18951557728）
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2017 年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷） 数学Ⅰ
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）. 本卷满分为 160 分. 考试时间为 120 分钟. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置. 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4．作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
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7 【答案】 5
1 1 7 【解析】 tan tan( ) 6 4 4 1 1 5 6
1
盐城数学龚老师
（18951557728）
6. 如图，圆柱 O1O2 内有一个求 O ，该球与圆柱上、下地面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1 ，球 O 的体积为 V2 ，则
P 、 Q 、 F1 、 F2 四点共圆
该圆的方程： ( x x0 )( x x1 ) ( y y0 )( y y1 ) 0 过 (1,0) (1,0)
得 x0 x1 0
1 2
y0 y1 , 根据几何性质得，该圆圆心为 (0, 0) ，半径为 1, 联立方程无解
(2)
.
.
所以
2017年江苏省高考数学试卷
2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列． 20．（16分）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b 2＞3a ；（3）若f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a 的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）∠PAC=∠CAB ； （2）AC 2 =AP•AB ．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，当a=1时，A={1，1}，B={1，4}，成立；a2+3=1无解．综上，a=1．故答案为：1．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：184．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2．解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））=﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos∠EGM=﹣，根据正弦定理得：=，∴sin∠EMG=，cos∠EMG=，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．19．（16分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列． 解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ， 则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）， =2a n +2a n +2a n ， =2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n ，② 则a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0的实根，所以4a2﹣12b≥0，即a2﹣+≥0，解得a≥3，所以b=+（a≥3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．解：（1）解法一：设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．解法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p==．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．。
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第（1）小题直接求解 V 312 (m3)，第（2）小题从题目 问题出发，以 PO1 为自变量建立体积的函数关系式。通过两 种几何体的底都是正方形，将正四棱锥的高与底面边长联系 起来， 先用 PO1=h 分别表示正方形边长 x
2 36 h2
及柱体的
高 H=4h， ，两者底面积均为 x2 2(36 h2 ) ，再利用柱体与锥体 体积公式得， V V1 V2 26 h(36 h2 ) ， (0 h 6) ，最后利用导数
r 3d 680 4 3
2 2
M 0, d
到 直 线 BC 的 距 离 是 r ， 即
680 3d 5
.
垂线段小于等于折线段之和， 于是可以建立关于 d 的不 等式组。 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m，
r d 80， 所以 r (60 d ) 80，
(170 80)2 (0 120)2 150 .因此新桥
BC 的长为பைடு நூலகம்150m.
第（2）题 设保护区的边界圆 M 的半径为 r m，OM d m
(0 d 60) .
由条件知， 直线 BC 的方程为 4 x 3 y 680 0 .由于圆 M 与直 线 BC 相 切 ， 故 点
3
，即 x 200 时，等号成立。
例 3（2016 年江苏卷第 17 题）现需要设计一个仓库，它 由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 P A1B1C1D1 ，下 部分的形状是正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 (如图所示)， 并要求正四 棱柱的高是 PO1 的四倍. （1）若 AB 6m, PO1 2m, 则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 PO1 为多少时，仓 库的容积最大？ （本题是借用课本必修 1（苏教版）第 35 页例 4、必修 2 第 61 页第 9 题、必修 5 第 94 页第 5 题、选修 2—2 第 56 页第 11 题等例题或习题的图形或解法整合而成。 ）
对2017江苏高考数学应用题和 数列题最后教学的思考
一．回眸特点
• 1.应用题
例 1. （2104 年江苏卷的 18 题 ） 如图， 为了保护河上古桥 OA ， 规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保 护区. 规划要求： 新桥 BC 与河岸 AB 垂直； 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆. 且古桥两端 O 和 A 到该圆上 任意一点的距离均不少于 80m. 经测量， 点
kBC tan BCO 4 .又因为 AB BC ，所以直线 3
BC
AB 的斜率 k
AB
3 .设 4
点 B 的坐标为 a, b ， 则k 所以 BC
b0 4 b 60 3 解得 a 80, b 120 . ， k AB ， a 170 3 a0 4
解得 10 d 35 . 故当 d 10 时，r 680 3d 最大， 即
5
圆面积最大.
例 2.（2015 年江苏卷第 17 题）某山区外围有两条相互垂直 的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一 条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直 的公路为 l 1， l2 ，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如 图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l 1， l2 的距离分 别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l 1， l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l 1， l2 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角 坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y 数）模型. （1）求 a，b 的值； （ 2） 设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解
y B A 60 M mO 170 m
（ 第 18 题）
C
x
A 位于点 O 正北方向 60m 处， 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸)， tan BCO 4 .
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(1) 求新桥 BC 的长； (2) 当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
第 （1） 小题的数学模型就是线段长度， 利用解析法求解， 如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直 角 坐 标 系 xOy. 由 条 件 知 A0,60 , C 170,0 ， 直线 BC 的 斜率
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研究其最值。当 h 2 3 时， V (h) 有最大值 V (2
3) 416 3 。
2.数列题 填空题 （2014 年第 7 题） 在各项均为正数的等比数列 an 中， 若 a2 1 ， a8
a6 2a4 ，则 a6 的值是
O y l1 C l P N l2 x M
a x2 b
（其中 a，b 为常
析式
f t ，并写出其定义域；
②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.
本题的数学模型是分式函数，在一定条件下求最值。写出 M、N 两点坐标，利用待定系数法求出 a、b 的值，从而求
(5 x 20) 。对于第（2）小题，先利用导数 出解析式为 y 1000 2 x 2000 3 ( x t ) ，再求出公路两端点的 知识求出切线方程 y 1000 2 t t ) ，从而公路 l 的长度的函数解析式为 坐标 A( 3t , 0) ， B(0, 3000 2 2 t
t 2 106 f (t ) 3 4 (5 t 20) 。 4 t
令 t 2 x(25 x 400) ，被开方部分为 h( x) ，这时函数式较为简 单了。
x x 106 也可以使用三元基本不等式求解， g (t ) h( x) 2 8 8 x x x 106 x x 106 3 75 ，当且仅当 2 8 8 x 8 8 x2