第6章 微分方程系统求解的伪谱方法 (1)
谱方法解微分方程
录
1. 谱方法解微分方程 ............................................................................................................................ 1 1.1 解微分方程的加权余量法(METHODS OF WEIGHT RESIDUALS) ................................................... 1 1.1.1 基本思想.............................................................................................................................. 1 1.1.2 MWR 的基本方法 .................................................................................................................. 2 1.2 正交函数系与谱近似 .................................................................................................................. 3 1.2.1 正交函数系与正交多项式 .................................................................................................. 3 1.2.2 谱近似...............................
谱方法介绍
摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。
理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。
最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。
通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。
早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。
求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。
谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。
谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。
从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。
前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。
而这些方法的基础就是建立空间基函数。
下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。
1) Chebyshev-Gauss:2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1,3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1,4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且5）Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且6）Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：其中：Jacobi正交多项式满足正交性：而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。
LGL伪谱算法
Lagrange-Gauss-Lobatto （LGL ）伪谱算法一般的非线性优化控制问题可以描述为00min [()](,)d s.t.(,),(0),()ft f f f LUL UJ x t L tf t ϕ=+===≤≤≤≤⎰x u x x u x x x x x x xu u u (1.1)其中：x 为运动状态，u 为控制力，0x 为初始状态，fx 为目标状态，L Ux x 、为运动状态的约束界，L U u u 、为控制力的约束界，f t为末端时刻，J 为性能指标。
引入新的时间1t τα=-以及时间因子2/f t α=，将时间区间[0,]f t 变换为[1,1]-。
令()N L τ为定义在[1,1]-上的N 阶Legendre 多项式。
令j τ为()N L τ'的零点，11j N ≤≤-，其中撇号为对τ的导数。
令01τ=-，1N τ=，则x n 维运动状态()τx ，u n 维控制力()τu 的多项式近似分别为00()()()()Nj j j N j j j τϕττϕτ====∑∑xx uu (1.2)其中()j j τ=x x ，()j j τ=u u 为运动状态和控制力在插值点处的值，基函数()j ϕτ为2(1)()1()(1)()N j N j jL N N L ττϕττττ'-=+- (1.3)不仿构造合适的0{}N j j =x 和0{}Nj j =u ，使得()τ'x 在k τ处的估计误差为零，即有()()()(,)0Nk k k j j k k k j f ττϕτα='''∆=-=-=∑q x x x u(1.4)令0011[,,,,,,]T T T T T T TN N =Z x u x u x u ，则可将优化问题(1.1)转化为min ()s.t.()0L UJ =Φ∆=≤≤Z Z Z Z Z (1.5)从而实现了对连续控制问题转化为非线性规划问题，可以采用遗传算法、神经网络、单纯形法等求解，得到最优控制率*()τu 。
解析微分方程的常见近似解法与稳定性分析
解析微分方程的常见近似解法与稳定性分析微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学、工程技术等领域。
解析微分方程通常是一项艰巨的任务，但常见的近似解法可以在某些情况下提供有效的近似解，并且对解的稳定性进行分析。
本文将介绍几种常见的近似解法，并探讨它们的稳定性。
一、欧拉法欧拉法是最简单的近似解法之一，适用于一阶常微分方程。
它基于差分近似的思想，将微分方程转化为差分方程。
具体步骤如下：1. 将微分方程表示为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)为已知函数。
2. 将x的区间[a,b]分成n个小区间，每个区间的长度为h=(b-a)/n。
3. 定义x的序列x0,x1,...,xn，其中xi=a+i*h。
4. 利用差分近似，得到y的递推公式：yi+1 = yi + h*f(xi,yi)。
欧拉法的稳定性分析较为简单，通常通过步长h来评估。
当步长h较小时，欧拉法的近似解较为准确，并且稳定性较好。
然而，当步长h过大时，欧拉法的误差会较大，并且可能导致解的不稳定性。
二、改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的一种改进，主要通过引入中点来提高近似解的准确性。
具体步骤如下：1. 将微分方程表示为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)为已知函数。
2. 将x的区间[a,b]分成n个小区间，每个区间的长度为h=(b-a)/n。
3. 定义x的序列x0,x1,...,xn，其中xi=a+i*h。
4. 利用差分近似，得到y的递推公式：yi+1 = yi + h*f(xi+0.5h, yi+0.5h*f(xi,yi))。
改进的欧拉法相比于欧拉法，具有更高的精度和稳定性。
通过引入中点，它能够更好地逼近真实解，并减小近似误差。
三、龙格-库塔法龙格-库塔法是一类常见的高阶近似解法，包括二阶和四阶龙格-库塔法。
它们通过计算多个函数值来提高近似解的准确性。
以四阶龙格-库塔法为例，具体步骤如下：1. 将微分方程表示为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)为已知函数。
伪谱的定义、性质和计算
近代数学选讲——伪谱引言：二十世纪九十年代以前，研究矩阵的传统工具是特征值（谱），它们可以揭示线性和非线性系统的特征，包括稳定性、共振、矩阵迭代的可行性等，因此它们是数学学科的一个重要的标准工具。
在计算数学方面，该问题的理论和数值计算也取得了很多成果。
然而，在科学和工程应用中，人们经常遇到这样的现象：根据特征值或谱的性质所作的判断与许多观察的现象或数值结果不相匹配。
究其原因，主要是这些问题所包含的矩阵往往是非正规的，甚至是高度非正规的。
所以，特征值（谱）对分析非正规矩阵是一个不完美的工具。
作为谱的自然延伸，伪谱是一个针对非正规系统的新工具。
摘要：本文首先介绍了伪谱的定义及性质，然后介绍了经典的FOV方法来粗略地给出了伪谱范围的矩形界定，之后介绍了伪谱计算的两种方法，即随机扰动法和SVD方法，最后给出了伪谱的一个应用。
关键字：伪谱定义及性质、矩形界定、伪谱计算记号及说明：文中所有矩阵均为定义在复数域上的n 阶方阵，H A 表示矩阵A 的共轭转置，I 表示相应阶的单位阵，)Re(z ，)Im(z 分别表示复数z 的实部，虚部数值，),(εz B 表示以z 为中心，ε为半径的闭圆域。
正文：伪谱的定义及性质伪谱的定义：假定有矩阵n n C A ⨯∈，A 的谱是指矩阵A 的特征值的全体，可表示如下：}0)det(:{)(=-∈=ΛA zI C z A我们知道，当)(A z Λ∈时，1)(--A zI 是没有意义的。
如果我们定义+∞=--||)(||1A zI 。
那么当||)(||1--A zI 有限而且非常大时，又会如何？这就导致了伪谱最初的一个定义。
给定ε，矩阵A 的-ε伪谱（)(A εΛ）定义：}||)(:||{)(11--≥-∈=ΛεεA zI C z A ，（1） 等价地，伪谱也可以用扰动矩阵的特征值来定义：}||||),(:{)(εε≤+Λ∈∈=ΛE E A z C z A ，（2） 也就是说，A 的-ε伪谱是A 的任何一个-ε扰动矩阵的特征值全体。
求解偏微分方程三种数值方法
数值模拟偏微分方程的三种方法介绍（有限差分方法、有限元方法、有限体积方法）I．三者简介有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。
该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤。
首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。
其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟的数值方法。
差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。
对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。
目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于结构网格，网格的大小一般根据问题模型和Courant 稳定条件来决定。
有限元方法（Finite Element Methods）的基础是虚位移原理和分片多项式插值。
该方法的构造过程包括以下三个步骤。
首先，利用虚位移原理得到偏微分方程的弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元（三角形、四边形、四面体、六面体等），在每个单元上选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。
利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。
有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活（复杂区域）、单元类型灵活（适于结构网格和非结构网格）、程序代码通用（数值模拟软件多数基于有限元方法）等特点。
有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机的发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域。
常微分方程的常见解法
Euler折线法
近似导数
y(x0)
y(x1) h
y( x0 )
记为
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
解:设t时刻雪球的体积为
，表面积为 ，
由题得
球体与表面积的关系为
引入新常数
再利用题中的条件得
分离变量积分得方程得通解为
再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。
方程为全微分方程的充要条件
定理2.1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则
是全微分方程的充要条件为:
（2.3.3)
nan (x x0 )n1
f
x,
an
(
x
x0
)n
n1
n0
展开后比较两端同次幂的系数确定
an ,
y
y0
N n1
cn1 (x n
x0 )n
例：用待定系数法求
dy x2 y2 ,
的近似解。
dx
y(0) 1
解： 令 y a n (x x0 )n, 由 y (0) 1 得 a0 1 n0
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
第六章 量子力学微扰理论与近似方法
102第六章 近似计算方法§6.1 微扰理论 一、非简并定态微扰论 1、定态微扰论的主要思想在量子力学中，当体系的哈密顿算符不显含时间时，属于定态问题，通过解其基本方程：ˆn n nH E Ψ=Ψ 可以求出Hˆ的本征值和本征函数。
如果H ˆ比较复杂，但是如果H ˆ可以写成两部分： H H H ˆˆˆ0′+= （0ˆH 和H ′ˆ都不显含时间），而且满足下列条件：（1）0ˆH 的本征方程：(0)(0)(0)0ˆnn n H E ψψ= 可以精确求解，即n ε和n Φ是已知的。
（2）0ˆH 和H ′ˆ的差别很大，或者说H ′ˆ很小，可以看作0ˆH 的基础上加一个小的微扰H ′ˆ，故H′ˆ称为微扰项。
这样，我们就可以通过微扰理论来近似求解。
(0)(1)(2)n n n n E E E E =+++ (0)(1)(2)n n n n ψψψψ=+++2、定态微扰计算假设微扰时体系的能量是哈密顿算符0ˆH 的第n 个本征值(0)nE ，这个本征值无简并，即体系于定态(0)n ψ。
当体系受到一个与时间无关的微扰H ˆ′作用时，它将处于一个新的能级nE 和状态n Ψ。
n E 和n Ψ是H H H ˆˆˆ0′+=的本征值和本征函数.即满足： ˆn n nH E Ψ=Ψ 微扰论的主要思想：H ˆ′代表一个微小的扰动，那么我们就有理由认为n E 和(0)n E 相差不多，nΨ和(0)n ψ也十分接近。
（1）、非简并能量的一级修正在非简并微扰情况下，由一级微扰确定一级近似波函数和一级能量修正103010010ˆˆn n n nE E H H Ψ′+Ψ=Ψ′+Ψ 两边左乘()*0n Ψ，并对整个空间积分得：()()()()()()()()τττd H d E d E H n n n n n n n n ∫∫∫Ψ′Ψ−ΨΨ=Ψ−Ψ0*00*01100*0ˆˆ 注意到0ˆH 是厄密算符，所以有： ()()()()()()[]0*ˆˆ0001100*0=Ψ−Ψ=Ψ−Ψ∫∫ττd E H d E H n n n n n n 从而得到()()()τd H E nn n 0*01ˆΨ′Ψ=∫ 即()n H n E n′=1 （2）、非简并能量的二级修正令()()()001l ll n a Ψ=Ψ∑得：000ˆˆn n n n nE E E H H Ψ′′+Ψ′′+Ψ′′=Ψ′′+Ψ′′ ()()()()()()()001010010ˆnn n ll l n l l llH E a E a EΨ′−Ψ=Ψ−Ψ∑∑ 将()()n m m ≠Ψ*0左乘上式两边后，对整个空间积分，所以有()()()()mn n m ml ll n ml l lH d H a E a H ′−=Ψ′Ψ−=−∫∑∑τδδ0*01010ˆˆ 其中()()ml l m d δτ=ΨΨ∫0*()()mnm l n H a E E ′=−100 ()01mn mnm E E H a −′=()()0001m mn mn n E E H Ψ−′=Ψ∑左乘()*0n Ψ，并对整个空间积分得104()()()()()()()2111200*0ˆn nl ll n nl ll n n n E a E H a d E H ++′−=Ψ−Ψ∑∑∫δτ 当n l ≠时，利用0ˆH 的厄密性可得 ()∑∑−′=′=ll n nlnlll n E E H H a E 022即()∑−′′=ll n n E E l H n l Hn E 02ˆ（3）、非简并波函数的一级修正(1)'(0)(0)(0)mn n m mn mH E E ψψ′=−∑ 二、简并定态微扰论 1、简并的处理 （1）问题假设(0)n E 是k 度简并的，0ˆH 属于本征值(0)n E 的本征函数有k 个: k φφφ,,,21 ，且它们已经是相互正交的。
偏微分方程的基本方法
偏微分方程的基本方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
解决偏微分方程的问题是这些领域中的关键任务之一。
本文将介绍偏微分方程的基本方法，包括分类、求解技巧和应用。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程两大类。
1. 线性偏微分方程线性偏微分方程是指方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。
常见的线性偏微分方程有波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。
求解线性偏微分方程的方法主要包括分离变量法、变换法和特征线法等。
2. 非线性偏微分方程非线性偏微分方程是指方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。
非线性偏微分方程的求解相对复杂，常用的方法有变分法、数值方法和近似解法等。
二、偏微分方程的求解技巧1. 分离变量法分离变量法是求解线性偏微分方程的常用方法。
它的基本思想是将多元函数的偏导数分离成单变量函数的导数，从而将原方程转化为一系列常微分方程。
通过求解这些常微分方程，再将解合并，即可得到原偏微分方程的解。
2. 变换法变换法是通过引入适当的变量变换，将原偏微分方程转化为更简单的形式。
常见的变换方法有特征变量法、相似变量法和积分变换法等。
变换法的关键是选择合适的变换，使得新的方程更易求解。
3. 特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程和一些非线性偏微分方程。
它的基本思想是通过沿着特征线进行变量替换，将原方程转化为常微分方程。
通过求解这些常微分方程，再将解映射回原坐标系，即可得到原偏微分方程的解。
三、偏微分方程的应用偏微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学偏微分方程在物理学中的应用非常广泛，如波动方程用于描述声波、光波等的传播；热传导方程用于描述热量的传导；薛定谔方程用于描述量子力学中的粒子行为等。
常微分方程内容方法与技巧
常微分方程内容方法与技巧
一般微分方程的 (ODE) 是指它的变量有一阶或不高于一阶导数的方程，由此可以推知，ODE 主要求解一元或多元函数满足的某种关系性，可以区分为常微分方程和偏微分方程，其中常微分方程是一类常见的微分方程，它们的变量是一阶或不高于一阶的导数。
解决常微分方程的方法有很多，其中最重要的有以下几种：
1. 积分法。
即把常微分方程右侧未知函数的一阶导数或更高阶导数建立一个积分关系，利用积分的方法，求解出未知函数的值。
这种方法适用于非线性方程组，以及方程组中包含复数或离散量的情况。
2. 变分法。
是一种解决微分方程非线性耦合问题的特殊方法，利用变分法可以将原来耦合问题拆解为一组互不影响的线性方程组，从而便于解决。
3. 矩阵迭代法。
该方法通常用来解决线性方程组，这是一种数值计算法，通常涉及到矩阵的迭代求解，从而实现精确的计算效果。
4. 高斯消去法和高斯约当法。
主要用于求解大规模的线性方程组，这两种方法的原理都是用矩阵的特有性质，将原本大量的数组项减少到较少的项，从而大大减少计算量，提高计算的效率。
5. 旋转法。
也称为图像旋转法，是解决高维空间内微分方程的一种方法，它将原本二维或多维空间映射到一维空间内，实现复杂问题对求解的简化。
6. 隐式解法。
主要用于求解多元线性方程组，利用一定的分析技巧，可以直接求解出方程的解析解，从而节省计算的时间。
以上是常微分方程常用的几种数学方法，在解决常微分方程时，不同问题情况，可以采取相应的解决技巧，如减少计算量、节省时间，省去不必要的麻烦和繁琐的运算步骤。
傅里叶伪谱法与有限差分法
傅里叶伪谱法与有限差分法
傅立叶伪谱法（Fourier Pseudospectral Method）和有限差分法（Finite Difference Method）是两种常用的数值计算方法，它
们在科学计算和数值模拟中有广泛的应用。
傅立叶伪谱法是一种基于傅立叶变换的数值方法。
它将函数表示为一组傅立叶级数，通过计算傅立叶级数的系数来近似求解微分方程或积分方程。
在傅立叶伪谱法中，通过选择合适的傅立叶基函数作为近似函数，然后通过求解傅立叶系数得到解。
傅立叶伪谱法具有高精度和高效性的特点，特别适用于周期性问题。
有限差分法是一种基于差商的数值方法。
它将求解区域进行离散化，通过近似微分算子来离散化微分方程。
在有限差分法中，通过将求解区域划分为网格点，然后利用差商公式来表示微分算子，将原微分方程转化为代数方程组。
然后通过求解代数方程组得到解。
有限差分法简单直观，易于实现，适用于各种类型的问题。
傅立叶伪谱法和有限差分法在数值计算中有不同的特点和适用范围。
傅立叶伪谱法具有高精度和快速收敛的特点，尤其适用于周期性问题和光滑函数的近似求解。
而有限差分法适用于一般的非周期性问题，它的精度和收敛性往往受到网格分布和步长的限制。
在选择傅立叶伪谱法还是有限差分法时，需要根据具体的问题特点和求解要求来决定。
较复杂的问题可能需要结合两种方法，
利用傅立叶伪谱法的高精度来近似求解光滑部分，而利用有限差分法的适用性来处理非周期性部分。
第六章 定态微扰论与变分法
En E E E
n
(0) n (0) n
(1) n (1) n
2
(2) n 2 (2) n
E
k
k
(k ) n (k ) n
(5)
(6)
将以上几式代入（1）式得：
ˆ (0) H ˆ (1) )( (0) (1) 2 (2) ) (H n n n (E
(1) (0)* ˆ (0) En n H n d H nn
(0)
0
(1) ˆ 在 n 态中的平均值。 能量的一级修正值 En 等于 H
(1) 已知 E 后，由（９）式可求波函数的一级修正 n 。
(1) n
(1) ˆ (0) 的本征函数系 l(0) 展开 将 n 按H
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得能量和 波函数的近似解为：
(0) (1) (2) En En En En
(0) (1) (2) n n n n
E (nk )
n ( k )
(12)
(13)
ˆ (1) H ˆ H
其中：
1 1 En 、 n 为一级修正，
n 1 xn1,n xn,n1 ( ) 2
1 2
6.2 简并态微扰论
( 0) ˆ ( 0) 的本征值 E ( 0) 假设 En 是简并的，即对于 H n ( 0 ) ( 0 ) ˆ i En i , i 1,2,k 有多个本征函数 1,2 ,k , H (1) ( 0) 如何选择零级近似波函数 n 呢？
(0) n
Ci(0)i
i 1
常微分方程的解法与应用
常微分方程的解法与应用常微分方程是数学中的一类重要方程，它描述了函数的导数与自变量之间的关系。
在科学研究和工程应用中，常微分方程被广泛应用于物理、化学、生物等领域。
本文将介绍常微分方程的解法和应用，并探讨其在不同领域中的具体应用案例。
一、常微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是求解常微分方程的常用方法之一。
它的基本思想是将方程中的变量分离开来，使得一个变量只与自身有关，而与其他变量无关。
通过对两边积分，可得到方程的解析解。
2. 变量代换法变量代换法是常微分方程求解的另一种常用方法。
通过引入新的自变量替代原方程中的自变量，可以将原方程转化为一个更容易求解的形式。
常见的变换包括线性变换、指数变换等。
3. 解特征方程法某些特殊类型的常微分方程可以利用解特征方程的方法求解。
特征方程可以通过代入特定解形式得到，进而求得方程的一般解。
二、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中的应用非常广泛。
例如，牛顿第二定律可以用常微分方程描述，通过求解该方程可以得到物体在给定力下的运动规律。
另外，电路中的电流变化、振动系统的运动等也可以通过常微分方程进行建模。
2. 经济学中的应用经济学中许多问题都可以用常微分方程进行描述和求解。
比如，经典的凯恩斯消费函数模型可以转化为常微分方程，通过求解该方程可以研究经济中的收入分配和消费行为。
此外，投资模型和供给需求模型等也都可以用常微分方程来建模分析。
3. 生态学中的应用常微分方程在生态学中有着重要的应用。
通过建立生态系统中不同物种之间的关系方程，可以得到物种的数量随时间的变化规律。
这对于研究物种竞争、群落演替等生态现象具有重要意义。
4. 医学中的应用医学领域常常需要研究生物体内各种物质的代谢过程，这些过程可以通过常微分方程进行建模。
例如，用常微分方程描述药物在体内的吸收、分布和排泄过程，可以帮助医生合理给药，提高治疗效果。
三、应用案例1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。
同济大学《现代计算物理方法》讲义chap06
常微分方程中的初值问题
ODE / IVP
常微分 初值问题
一阶 IVP
y f (x, y)
y(a)
二阶 IVP
y f (x, y, y)
y(a)
y(a)
{x j , y j} y
x
用Euler方法求解
ODE / IVP
y(0)
[0.45
,
0]
y
v
解析解：
(t) 0.45 cos(t)
摆幅大：解析近似较差
例三：Lorenz Attractor （吸引子）
Edward Lorenz 1963年在研究大气成流动规律是发现下面 微分方程组有非常奇异的现象，后来被称为混沌现象。
x ( y x) y' x( z) y z' xy z 其中，，为已知参数
y f (t, y)
y(0)
[
/ 6;
0]
y
v
解析解：
(t) cos(t)
6
figure(1); plot(t, y(:,1), t, y(:,2), t, c * pi *cos(t),- c * pi*sin(t)); figure(2); plot(y(:,1), y(:,2),c * pi*cos(t),- c * pi*sin(t));
定义向量 φ [x; y; z], 则有 φ [x; y; z] φ f(t, φ)
结果
自定义的 微分方程
初始值
求解区间
例三：Lorenz Attractor （吸引子）
第六章 近似方法
第六章近似方法引言：前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。
如：一维无限深势阱、线性谐振子和氢原子等问题。
这些问题都给出了问题的精确解析解。
然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。
通常体系的Hamilton 量是比较复杂的，往往不能精确求解。
因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。
近似方法通常是从简单问题的精确解出发求较复杂问题的近似解。
近似解问题分为两类：1、体系Hamilton 量不是时间显函数的定态问题。
通常采用定态微扰法或变分法。
2、体系Hamilton 量显含时间的量子跃迁问题。
通常采用含时微扰理论或常微扰。
具体采用那种方法则根据问题确定。
微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。
计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。
例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。
在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。
147148§1 非简并定态微扰理论 （一）微扰体系方程可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。
假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为两部分(0)ˆˆˆHH H '=+ (0)H 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值(0)n E ，本征矢 (0)n |>ψ满足如下本征方程(0)(0)(0)(0)ˆ||n n nH E ψψ>=> 另一部分'H 是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于(0)H 上的微小扰动。
现在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量H 的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的Schrodinger 方程ˆ||n n nH E ψψ>=> 当H' = 0 时，(0)(0)nn n n = , E = E ψψ；当H' 0≠时，引入微扰，使体系能级发生移动，由(0)n nE E →，状态由(0)n nψψ→。
信号与系统 §202 微分方程式的建立与求解
? ? ? ? ? ? t pe? t sin ? t B1t p ? B2t p?1 ? ? ? B pt ? B p?1 e? t cos ? t ? ? ? ? ? ? t pe? t cos ? t ? D1t p ? D2t p?1 ? ? ? D pt ? Dp?1 e? t sin ? t
2 R1 ? R2
?
4A 5
d dt
i?0?
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0
vC ?0?
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4 5
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3 2
V
?
6 5
V
换路后的
i ?0 ?
?和
d dt
i?0 ?
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e?t ?? 4 V
2 S R1 ? 1?
1
i?t? iC ?t ?
C ? 1F
i L ?t ?
L? 1H 4
e?t ?? 2 V
R2
?
3? 2
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变 ,
代入方程后有：
Bet ? 2Bet ? 3Bet ? et ? et
B? 1 3
于是，特解为 1 et。 3
上面求出的齐次解 rh ?t ?和特解 rp ?t ?相加即得方程的完全解
n
? r ?t?? ? ? Aie? it ? rp t i?1
例2-2-5
给定如图所示电路， t ? 0开关S处于1的位置而且已经 达到稳态。当 t ? 0时S由1转向2。建立电流 i(t )的微分 方程并求解 i(t )在t ? 0时的变化。
)
?
?
?
E m? 1
d e(t) dt
?
E me(t )
若系统为时不变的，则 C，E均为常数，此方程为 常系数的 n阶线性常微分方程。
系统微分方程建立与求解重点
§2.2系统微分方程的成立与求解主要内容复习求解系统微分方程的经典法、物理系统的模型、微分方程的列写、n阶线性时不变系统的描绘、求解系统微分方程的经典法一．物理系统的模型很多实质系统能够用线性系统来模拟。
若系统的参数不随时间而改变，则该系统能够用线性常系数微分方程来描绘。
二．微分方程的列写依据实质系统的物理特征列写系统的微分方程。
关于电路系统，主假如依据元件特征拘束和网络拓扑拘束列写系统的微分方程。
元件特征拘束：表征元件特征的关系式。
比如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑拘束：由网络构造决定的电压电流拘束关系,KCL,KVL.三．n阶线性时不变系统的描绘一个线性系统，其激励信号与响应信号C0d n r(t)C1d n1r(t)dt n dt n1d m e(t)d m1e(t)E0dt m E1dt m1之间的关系，能够用以下形式的微分方程式来述dr(t)C n r(t)C n1dtde(t)Em1dt E m e(t)若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。
阶次：方程的阶次由独立的动向元件的个数决定。
四．求解系统微分方程的经典法剖析系统的方法：列写方程，求解方程。
列写方程 :依据元件拘束,网络拓扑拘束经典法零输入相应和零状态相应解方程:零输入:可利用经典法求零状态:利用卷积积分法求解变换域法求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。
经典法齐次解：由特点方程→求出特点根→写出齐次解形式nA k e k t注意重根状况办理方法。
k1特解：依据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。
我们一般将激励信号加入的时辰定义为0，响应为时的方程的解，初始条件r(0),dr(0),d2r(0),,d n1r(0) dt dt2dt n1初始条件确实定是此课程要解决的问题。
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航空航天中的计算方法
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6.4 最佳配点分布 Legendre-Gauss-Lobatto：
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6.5 微分矩阵与两点边值问题求解 6.5 微分矩阵与两点边值问题求解 6.5.1 微分矩阵的概念
伪谱法将微分方程近似解用Lagrange插值表示：
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6.1 谱方法及伪谱法的概念 6.1 谱方法及伪谱法的概念 以N+1个全局基函数的加权和近似某一连续函数：
( x ) kk ( x ) y( x ) y
k 0 N
k ( x ) e ikx
Fourier谱方法
其中：k ( x) 为多项式或三角函数。 残差函数： R( x; 0 , 1 , , N ) 例，二阶微分方程求解 y( x ) f ( x, y( x ), y( x )) ( x) f ( x, y ( x), y ( x)) R( x) y 残差为 某种准则下使残差最小，确定系数。
航空航天中的计算方法
授课教师：陈琪锋 中南大学航空航天学院
第二部分 边值问题求解方法
第6章 微分方程求解的伪谱法
பைடு நூலகம்
内容提要 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 谱方法及伪谱法的概念 谱方法与Lagrange插值 正交多项式 最优配点分布 微分矩阵与两点边值问题求解
[1] John P. Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Methods (Second Edition), DOVER Publications, Inc., 2000.Chap.1,3-6 [2] Shen, J., and Tang, T., Spectral and High-Order Methods with Applications（谱方法和高精度算法及其应用）, Science Press, Beijing, 2006, Chap.（1.1-1.3；2.1,2.4）.
x0 1, x N 1,
(a , b) ( 1,1)
( x ) (1 i N 1) xi zeros of LN
i
2 1 (0 i N ) 2 N ( N 1) [ LN ( xi )]
Legendre-Gauss-Lobatto点没有显式表达式，需数值求解
p1 ( x ) x 1
0 p1 , p0 ( x ) xdx 1 ( x )dx
a a b b
pn1 ( x ) ( x n1 ) pn ( x ) n 1 pn 1 ( x ), n 1
(a , b) ( 1,1) 时，得到Legendre多项式 Ln ( x) 当 ( x ) 1 ， (a , b) ( 1,1) 时，得到Chebyshev多项 当 ( x ) (1 x 2 ) ， 式 Tn ( x )
Chebyshev多项式 Tn ( x ) ：
T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x , T2 ( x ) 2 x 2 1 Tn 1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x ), n 1
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6.3 正交多项式 正交多项式曲线图：
i 0 N
N
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6.2 谱方法与Lagrange插值 6.2.2 Runge现象 对任意光滑函数f(x)，根据均匀分布的N+1个插值点的函
数值，构造N次Lagrange插值近似，误差随N增大趋于0？ 例： 1 插值点随均匀分布时， f ( x) , x 5, 5 1 x2 误差随点数增多不收敛
与任何不高于n次的多项式正交。
若多项式序列 pn ( x )n 0 是正交的，则多项式 pn1 ( x ) 的零点是互不相同的实数，且位于开区间 (a , b) 内。
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6.3 正交多项式 6.3.2 正交多项式的生成 根据正交多项式的定义（首一情况为例） p0 ( x ) 1
谱方法应用具有高阶次的全局基函数在整个计算域上
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6.1 谱方法及伪谱法的概念 伪谱方法精度高、收敛快、存贮省，适用于问题的几何 特征平滑和规则时 伪谱法的问题： 如何选择最优的基函数？
如何选择最优的配点？
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Ln ( x )
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Tn ( x )
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6.4 最佳配点分布 6.4 最佳配点分布 6.4.1 Gauss求积与Lagrange插值
将积分表示为被积函数在若干点处的函数值加权和：
1 1
f ( x )dx i f ( xi )
i 0
N
若适当选取 i 和 xi ，可使公式对次数≤ 2N+1的多项式被积 函数均精确成立，节点 xi ( i 0,1, , N ) 称为高斯点。 等价于将函数 f 用Lagrange插值近似为插值多项式，然后求 积分。若选用Gauss点插值，能实现最高精度。 最佳配点（插值点）为Gauss点
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谱方法
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6.1 谱方法及伪谱法的概念
在与未知量个数相对的特定点处令残差为零：配点法
R( i ) 0, i 1, 2, , N a 1 2 N b
采用最佳配点的谱方法，即伪谱法。 加权残差为零：加权残差法
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6.3 正交多项式 任意n次多项式q(x)均可表示为正交多项式 p0 , p1 , , pn 的线性加权和： q( x ) bn pn bn 1 pn 1 b0 p0 若多项式序列 pn ( x )n 0 是正交的，则多项式 pn1 ( x )
两端点附近的误差大
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端点附近插值点增多，中间可减少
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6.3 正交多项式 6.3 正交多项式 6.3.1 函数正交性与正交多项式
函数f(x)与g(x) 在加权Sobolev空间 L (a , b) 上正交，是指
f , g : f , g ( x ) f ( x ) g( x )dx 0
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6.4 最佳配点分布 Gauss-Radau求积点 q( x ) p N 1 ( x ) p N ( x ) 定义： q( a ) 0 若采用 x0 a，以及多项式 q( x ) ( x a )的零点 x1 , x2 , , x N 作 为求积点，称为Gauss-Radau求积点。 由方程组： a pk ( x ) ( x )dx i pk ( xi ), 0 k N
Gauss-Lobatto求积点包括端点a和b，适用于两点边值问题
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6.4 最佳配点分布 6.4.3 常用正交多项式的Gauss点 Chebyshev多项式的Gauss点
( x ) (1 x 2 )
1 2
(a , b) ( 1,1)
Chebyshev-Gauss-Lobatto：
i 0
其中，插值基函数：
Ci ( x )
k 0, k i
N
x xk xi xk
C i ( x j ) ij
任意N次多项式
PN ( x ) ii ( x )
i 0
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等价
Lagrange插值形式
PN ( x ) PN ( xi )C i ( x )
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6.4 最佳配点分布 6.4.2 几类Gauss点 Gauss求积点
对于带权函数的Gauss求积：
b
b
a
f ( x ) ( x )dx i f ( xi )
i 0
N
其中Gauss点为 xi 正交多项式 pn1 的零点。
由方程组：
由方程组：
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b
a
pk ( x ) ( x )dx i pk ( xi ), 0 k N
i 0 N
N
可唯一解出 i ( i 0,1, , N )，并且
b a
q( x ) ( x )dx i q( xi ),
i 0
for all
q P2 N 1
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6.2 谱方法与Lagrange插值 6.2 谱方法与Lagrange插值 6.2.1 Lagrange插值
对函数f(x)，根据N+1个插值点的函数值，构造N次插值 N 多项式近似： PN ( x ) f ( xi )C i ( x ) PN ( xi ) f ( xi )
b
a
w i ( x ) R( x )dx 0,
i 1, 2, , N ,
wi ( x ) 为权函数
Galerkin法：wi ( x ) i ( x ) 。
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6.1 谱方法及伪谱法的概念 谱方法、有限单元法、有限差分法的区别： 有限单元法将区间分成一些子区间，在子区间选择局部 多项式基函数 有限差分是局部计算