人教版高中数学必修一《指数与指数幂等运算》ppt
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人教A版数学必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》课件.pptx
数a的n次方实数方根是一个负数，这时，a的n次方根
只有一个，记为 x n a
(2) 2 4
2 4
(3) 2 9
3 9
( 4 ) 2 64
4 64
x6 12
x 6 12
结论：当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互
为相反数。正数a的正n次实数方根用符号表n示a；
a 负的n次实数方根用符号表示n，它们可以合并
２、正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am
３.正数的负分数指数幂的意义是：
m
a n
1
m
a 0, m, n N *, 且n 1
an
４.０的正分数指数幂等于０，０的负分数指数幂没有意义。
5.整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用。
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
m
18 2
不一定等于
(m
1 2
)8
，因
1
为当 m＜0 时，m2 没有意义.
(2)在(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)中，r，s还可以进一步推广 到无理数、实数.
课后练习 课后习题
小结 此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方 部分化为完全平方的形式，结合根式性质求解．
分数指数幂
1、根式有意义，就能写成分数指数幂的形式，如：
10
12
5 a10 a2 a 5 a 0 ; 3 a12 a4 a 3 a 0
2
1
5
3 a2 a 3 a 0; b b 2 b 0; 4 c5 c4 c 0;
人教版高中数学必修一指数与指数幂的运算课件PPT
的,而不是打发时间用的内容),每次上课时准备好的内容都应该 比实现计划教授的内容多一些,以保证每堂课的内容都是充分的。 2.教师一上课就应该立刻开始教学活动,直到下课学生离开教室 才结束。
3.事先准备一些简短、有趣的教学任务。如果需要在课堂上 布置任务,比如需要耗时三十分钟的短文写作,可以把整体任务 分解成几个更小的部分,并且带领学生一步一步完成每个部分。 记住,这种简短、有趣的任务要比一次需要耗费很长时间的任务 更能吸引学生的注意力。
引导探究一
3 3 27
2 3 8
2 5 32
2 2 4
32 9
2 4 16
n 次方根的定义：
如果一个数的 n 次方等于 a(n 1, n N ) 那么这个数叫做a 的n次方根.
数学符号表示：
若_x_n___a_(_n___1,_n___N__*)，则 x 叫做a 的 n 次方根．
课题导入
回顾初中所学的整数指数幂和根式
2.1.1指数与指数幂的运算
第一课时
目标引领
1.能理解n次方根的概念，并对n次方根进 行计算；
2.理解根式的意义，能理解根式中各部分 的意义；
3.理解分式指数幂以及有理式和无理式指 数幂。
独立自学
1.a的n次方根的定义是什么？与n的奇偶性 有何关系？
2.什么是分数指数幂？有哪些注意事项？ 3.什么是无理数指数幂？
是的,教学是一件很费心思的事情,世界上不可能存在一 种万能的教学方法,至少我还没听说过那些低效的教师 在课堂上往往只是简单地给全体学生布置一项任务(而 且很可能没有仔细考虑自己布置的任务是不是学生感兴 趣的或是需要的),然后要求学生用二十分钟完成。同样, 不用亲历现场你也能猜到,有些学生五分钟就能完成任 务,而这段时间里还有些学生甚至都没有开始,总有些学 生无法在二十分钟内完成任务因此,这个二十分钟的规 定会带来课堂纪律的问题。教师需要不断提醒学生集中 注意力,但有的学生会抱怨自己还没听懂,而那些提前完 成的学生则会感到无聊,并且着急地等着新任务。
3.事先准备一些简短、有趣的教学任务。如果需要在课堂上 布置任务,比如需要耗时三十分钟的短文写作,可以把整体任务 分解成几个更小的部分,并且带领学生一步一步完成每个部分。 记住,这种简短、有趣的任务要比一次需要耗费很长时间的任务 更能吸引学生的注意力。
引导探究一
3 3 27
2 3 8
2 5 32
2 2 4
32 9
2 4 16
n 次方根的定义：
如果一个数的 n 次方等于 a(n 1, n N ) 那么这个数叫做a 的n次方根.
数学符号表示：
若_x_n___a_(_n___1,_n___N__*)，则 x 叫做a 的 n 次方根．
课题导入
回顾初中所学的整数指数幂和根式
2.1.1指数与指数幂的运算
第一课时
目标引领
1.能理解n次方根的概念，并对n次方根进 行计算；
2.理解根式的意义，能理解根式中各部分 的意义；
3.理解分式指数幂以及有理式和无理式指 数幂。
独立自学
1.a的n次方根的定义是什么？与n的奇偶性 有何关系？
2.什么是分数指数幂？有哪些注意事项？ 3.什么是无理数指数幂？
是的,教学是一件很费心思的事情,世界上不可能存在一 种万能的教学方法,至少我还没听说过那些低效的教师 在课堂上往往只是简单地给全体学生布置一项任务(而 且很可能没有仔细考虑自己布置的任务是不是学生感兴 趣的或是需要的),然后要求学生用二十分钟完成。同样, 不用亲历现场你也能猜到,有些学生五分钟就能完成任 务,而这段时间里还有些学生甚至都没有开始,总有些学 生无法在二十分钟内完成任务因此,这个二十分钟的规 定会带来课堂纪律的问题。教师需要不断提醒学生集中 注意力,但有的学生会抱怨自己还没听懂,而那些提前完 成的学生则会感到无聊,并且着急地等着新任务。
人教版高中(必修一)数学2.1.1_指数与指数幂的运算 (1)ppt课件
2
;
x2
(3)原式
=
11- 5
a6 6
=
a;
(4)原式
=
11
-12x 2 y 3
-1 -2
-6x 2y 3
=
2xy.
5.比较 5, 3 11, 6 123 的大小.
解：∵5=653 =6125,又311=6112 =6121, 又∵121<123<125∴6121<6123<6125. 所以5>6123>311．
无理数指数幂：
1.无理数指数幂ax（a>0，x是无理数） 是一个确定的实数.
2.有理数指数幂的运算性质同样适用 于无理数指数幂.
整数指数幂 根式 xn=a
x n a; (当n是奇数)
负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
x n a. (当n是偶数,
且a＞0)
无理数指数幂 有理数指数幂 分数指数幂
2
11
2
a3
1
1
1 a3
4b 3 + 2a 3b 3 + a 3 a 3 - 2b 3
1 1 1 2 1 1 2
a3 a3-2b34b3 +2a3b3 +a3
1
=
2
11
2
a3
1
1
1 a3
4b3 +2a3b3 +a3
a3 -2b3
=(xy2x
1 2
y-
12)
1 3
x
12y
1 2
=(x
3 2
y
32)
1 3
人教新课标版数学高一必修1课件指数与指数幂的运算(一)
答案
探究点1 根式的意义 例 1 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围. 解 a－3a2－9＝ a－32a＋3 ＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立， 需aa－ ＋33≤ ≥00， ， 解得 a∈[－3,3].
解答
名师点评
对于n a，当 n 为偶数时，要注意两点：(1)只有 a≥0 才有意义；(2)只要n a 有意义，n a必不为负.
2.1.1 指数与指数幂的运算
（第一课时）
浮来山上“千年古刹定林寺”曾是南北朝时期杰出的 文学评论家刘勰的故居,距今已有1500多年的历史,院内有一 棵银杏树,树龄达3500多年,号称“天下第一银杏树”．
“天下第一银杏树”树龄达3500多年,树高26.3米,周粗
银杏是全球中最古老 的树种.在200多万年前, 第四纪冰川出现,大部分 地区的银杏毁于一旦,残 留的遗体成为了印在石 头里的植物化石.在这场 大灾难中,只有中国保存 了一部分活的银杏树,绵 延至今,成了研究古代银 杏的活教材.所以,人们 把它称为“世界第一活 化石”.
探究点2 利用根式的性质化简或求值 例2 化简： (1) 4 3－π4； 解 4 3－π4＝|3－π|＝π－3. (2) a－b2(a>b)； 解 a－b2＝|a－b|＝a－b.
解答
(3)( a－1)2＋ 1－a2＋ 3 1－a3. 解 由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
1.已知x5＝6，则x等于 A. 6 C.－5 6
√B.5 6
D.±5 6
12345
答案
2.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是
A.4 m2
探究点1 根式的意义 例 1 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围. 解 a－3a2－9＝ a－32a＋3 ＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立， 需aa－ ＋33≤ ≥00， ， 解得 a∈[－3,3].
解答
名师点评
对于n a，当 n 为偶数时，要注意两点：(1)只有 a≥0 才有意义；(2)只要n a 有意义，n a必不为负.
2.1.1 指数与指数幂的运算
（第一课时）
浮来山上“千年古刹定林寺”曾是南北朝时期杰出的 文学评论家刘勰的故居,距今已有1500多年的历史,院内有一 棵银杏树,树龄达3500多年,号称“天下第一银杏树”．
“天下第一银杏树”树龄达3500多年,树高26.3米,周粗
银杏是全球中最古老 的树种.在200多万年前, 第四纪冰川出现,大部分 地区的银杏毁于一旦,残 留的遗体成为了印在石 头里的植物化石.在这场 大灾难中,只有中国保存 了一部分活的银杏树,绵 延至今,成了研究古代银 杏的活教材.所以,人们 把它称为“世界第一活 化石”.
探究点2 利用根式的性质化简或求值 例2 化简： (1) 4 3－π4； 解 4 3－π4＝|3－π|＝π－3. (2) a－b2(a>b)； 解 a－b2＝|a－b|＝a－b.
解答
(3)( a－1)2＋ 1－a2＋ 3 1－a3. 解 由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
1.已知x5＝6，则x等于 A. 6 C.－5 6
√B.5 6
D.±5 6
12345
答案
2.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是
A.4 m2
人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算1.ppt
na
na
na
2.对 n an 与( n a )n两式的理解
(1)( )n：当n为大于1的奇数时，( )n对任意a∈R都有意义，
na
na
且( )n=a，当n为大于1的偶数时，( )n只有当a≥0时才有意
义，n且a ( )n=a(a≥0)．
na
(2) ：n a对任意a∈R都有意义，且当n为大于1的奇数时，
13 23 .2 92 .3(5 2)5.4 x2 2xy y2 .
【解析】(1)
3 23 2.
2 92 9 9.
3(5 2)5 2.
4
x2 2xy y2
x
y2
x
y
x y,x y 0, x y,x y＜0.
2.化简求值：
(1)
3.14 2＋ 3.14 2 .
(2)
【解4析】m (1n)4＋3 m n3 .
【解析】选C.A,Bn ,aD选项中,没有指明n的奇偶性,D中a的正负也没有
说明,故不正确.
3.81的4次方根是
.
【解析】81的4次方根是±3.
答案:±3
4.根式
的根指数是
,被开方数是
.
m 1
【解析】根据根式的概念可知,2是根指数,m+1是被开方数.
答案:2 m+1
【知识探究】 知识点 根式与根式的性质 观察如图所示内容,回答下列问题:
空白演示
在此输入您的封面副标题
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根 式
【知识提炼】 1.n次方根
定义 一般地,如果xn=a,那么_x_叫做a的_n_次__方__根__,其中n>1,且n∈N*
na
na
2.对 n an 与( n a )n两式的理解
(1)( )n：当n为大于1的奇数时，( )n对任意a∈R都有意义，
na
na
且( )n=a，当n为大于1的偶数时，( )n只有当a≥0时才有意
义，n且a ( )n=a(a≥0)．
na
(2) ：n a对任意a∈R都有意义，且当n为大于1的奇数时，
13 23 .2 92 .3(5 2)5.4 x2 2xy y2 .
【解析】(1)
3 23 2.
2 92 9 9.
3(5 2)5 2.
4
x2 2xy y2
x
y2
x
y
x y,x y 0, x y,x y＜0.
2.化简求值：
(1)
3.14 2＋ 3.14 2 .
(2)
【解4析】m (1n)4＋3 m n3 .
【解析】选C.A,Bn ,aD选项中,没有指明n的奇偶性,D中a的正负也没有
说明,故不正确.
3.81的4次方根是
.
【解析】81的4次方根是±3.
答案:±3
4.根式
的根指数是
,被开方数是
.
m 1
【解析】根据根式的概念可知,2是根指数,m+1是被开方数.
答案:2 m+1
【知识探究】 知识点 根式与根式的性质 观察如图所示内容,回答下列问题:
空白演示
在此输入您的封面副标题
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根 式
【知识提炼】 1.n次方根
定义 一般地,如果xn=a,那么_x_叫做a的_n_次__方__根__,其中n>1,且n∈N*
人教版高中数学必修一指数与指数幂的运算课件PPT
ar as ars (a 0, r, s Q)
(ar )S ars (a 0, r, s Q)
(a b)r arbr (a 0,b 0, r Q)
例2、求值
2
83 ;
1
25 2 ;
1 5 ;
16
3 4
2
81
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
P=0.00897克
t
P
1 5730
2
t=39000年
一、根式
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
a 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做
被开方数
填空:
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，
(1)25的平方根等于____2_5_____5____负_数的_n_次方根是一个负数.
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题1、根据国务院发展研究中心2000年发 表的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平 均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14
m
a n n am (a 0, m, n N *)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
(a
0, m, n N * )
an
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因 此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂 的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(ar )S ars (a 0, r, s Q)
(a b)r arbr (a 0,b 0, r Q)
例2、求值
2
83 ;
1
25 2 ;
1 5 ;
16
3 4
2
81
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
P=0.00897克
t
P
1 5730
2
t=39000年
一、根式
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
a 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做
被开方数
填空:
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，
(1)25的平方根等于____2_5_____5____负_数的_n_次方根是一个负数.
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题1、根据国务院发展研究中心2000年发 表的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平 均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14
m
a n n am (a 0, m, n N *)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
(a
0, m, n N * )
an
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因 此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂 的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
人教版高一数学必修一指数与指数幂的运算第一二三张PPT课件
思考2： n an a成立吗?请举例说明.
如: 3 83 8, 3 (2)3 2, 4 84 8, 而6 (2)6 2, 应有：6 (2)6 2 2
2) 当n为奇数时, n an a;
人教版高一数学必修一2.1.1指数与指 数幂的 运算第 一、二 、三课 时（40 张）
当为偶数时, n
y (1 7.3%)x 1.073x ( x N *, x 20)
两个问题
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题2: 当 生 物 死 亡 后 ， 它 机 体内 原 有 的 碳14会 按 确
定 的 规 律 衰 减 ， 大 约 每经 过5730年 衰 减 为 原 来 的 一 半 ，
这 个 时 间 称 为 “ 半 衰 期” ， 根 据 此 规 律 ， 人 们获 得 了
an
| a |
a a
(a 0); (a 0).
人教版高一数学必修一2.1.1指数与指 数幂的 运算第 一、二 、三课 时（40 张）
能力训练
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.求 下列 各 式的 值:
(1)3 (8)3
(2)2 (10)2
(3)4 (3 )4 (4) (a b)2 (a b).
(n 1,且n N )
根式
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.n次方根的定义:
一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根,
其中n 1且n N .
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方
根是一个负数.这时, a的n次方根用符号 n a 表示. 当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反
人教版高一数学必修一2.1.1指数与指 数幂的 运算第 一、二 、三课 时（40 张）
人教版高一数学指数与指数幂的运算第一、二、三课时(40张)教育课件
(2)在根n式 am中,若根指 n与 数幂指 m有 数公约,数时 当a0时可约 .当a分 0时不可随意 . 约分 如8 32 4 3, 10(2)2 5 2而15(2)5 3 2.
课堂练习： P54中 课练 本习 3题 第
课外作业 P5习 9：2题 课 中 .1A组 本2第 ， 3， 4题
备用
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.要使
(5x1)34
2
(x1)3
有意义,则x的取
值2.范计围算(a 是:1 2 ( 11a02,1 2)(a)1 2a1 2)(aaa12)a2
3.求值: 32 512 32 2
原 式 = 3+2 5+12( 21)2 321712 2 32 (32 2)2 94 212 2
2.1.1 指数与指数幂的运算
是 不 是 仍?然 成 立 呢
分数指数幂 10 5a105(a2)5 a2 a 5
12
3a123(a4)3 a4 a 3
重要结论:
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以写成分数指数幂的形式.
2.当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式也可以写成分数指数幂的形式.
2 年 ( 2年 0 后 )我 ,0 G 2 可 国 D 2P 望 年 0( 1 0 7 .3 为 的 % 0 2 倍 ; 3 年 ( 2年 后 0 )我 , 0 G 3 可 国 D 2P 望 年 0( 1 0 7 为 .3 的 0 % 3 倍 ; ) 从 20 年 0 ,x 年 0 起 ,我 后 G 国 可 DP 2 望 0 年 0 为 y 倍 0 的 ,则
第二章 基本初等函数（Ｉ）
2.1指数函数
人教版高中数学必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》ppt课件
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
最新中小学教学课件
14
谢谢欣赏！
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题提出
1.什么叫a的n次方根？
2.设 n N, n 1，则 an , a0 (a 0), an (a 0)
的含义分别如何？
3.整数指数幂有哪些运算性质？
设 m, n Z ，则 am an amn ；
(am )n amn ；(ab)n an bn .
知识探究（二）:有理数指数幂的运算性质
34
思考1: 22 23 =？一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
34
思考2: (2 2 ) 3=？一般地 (ar )s (a 0, r, s Q) 等于什么？
22
思考3：23 33 =？一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
最新中小学教学课件
14
谢谢欣赏！
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题提出
1.什么叫a的n次方根？
2.设 n N, n 1，则 an , a0 (a 0), an (a 0)
的含义分别如何？
3.整数指数幂有哪些运算性质？
设 m, n Z ，则 am an amn ；
(am )n amn ；(ab)n an bn .
知识探究（二）:有理数指数幂的运算性质
34
思考1: 22 23 =？一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
34
思考2: (2 2 ) 3=？一般地 (ar )s (a 0, r, s Q) 等于什么？
22
思考3：23 33 =？一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
高一数学必修1 指数与指数幂的运算 ppt
2
小结： 小结： 1.指数的扩充 指数的扩充 2.幂的运算性质 幂的运算性质
1. 求下列各式的值 求下列各式的值:
3
3
(−3) =4
(3 − π ) =
6
a + 2ab + b =
2 2
2. 若 9a − 6a + 1 = 3a − 1 的取值范围. 求a的取值范围 的取值范围
2
3. 若2x2+5x－2＞0, － ＞
求
4x − 4x +1 + 2 x − 2
教学目的 1，理解和掌握根式的定义 ， 2，分数指数幂的的意义 ， 3，有理数指数幂的运算性质 ， 4，无理数指数幂的推广 ，
带着问题看书P52—58 带着问题看书 1，两个实例当中的指数有什么不同P51—52 ，两个实例当中的指数有什么不同 2，为什么要将指数的取值范围由由初中的整数扩展到实数 ，为什么要将指数的取值范围由由初中的整数扩展到实数P52 3，什么叫 做的 次方根 做的n次方根 ，什么叫a做的 次方根P52 4，根式的定义 ，根式的定义P54 5，分数指数幂的意义 ，分数指数幂的意义P54 6，指数幂的运算性质P55—57 ，指数幂的运算性质 7，无理指数幂的推广 ，无理指数幂的推广P57
小结： 小结： 1.指数的扩充 指数的扩充 2.幂的运算性质 幂的运算性质
1. 求下列各式的值 求下列各式的值:
3
3
(−3) =4
(3 − π ) =
6
a + 2ab + b =
2 2
2. 若 9a − 6a + 1 = 3a − 1 的取值范围. 求a的取值范围 的取值范围
2
3. 若2x2+5x－2＞0, － ＞
求
4x − 4x +1 + 2 x − 2
教学目的 1，理解和掌握根式的定义 ， 2，分数指数幂的的意义 ， 3，有理数指数幂的运算性质 ， 4，无理数指数幂的推广 ，
带着问题看书P52—58 带着问题看书 1，两个实例当中的指数有什么不同P51—52 ，两个实例当中的指数有什么不同 2，为什么要将指数的取值范围由由初中的整数扩展到实数 ，为什么要将指数的取值范围由由初中的整数扩展到实数P52 3，什么叫 做的 次方根 做的n次方根 ，什么叫a做的 次方根P52 4，根式的定义 ，根式的定义P54 5，分数指数幂的意义 ，分数指数幂的意义P54 6，指数幂的运算性质P55—57 ，指数幂的运算性质 7，无理指数幂的推广 ，无理指数幂的推广P57
人教版 数学 必修1 2.1.1指数和指数幂的运算(共18张ppt)
(1)25的平方根是___±__5__;
(2)27的三次方根是___3__; (3)-32的五次方根是_-_2__; (4)16的四次方根是_±___2_;
(5)a6的三次方根是___a_2_; (6)0的七次方根是___0___.
点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
2022/3/24
探究二：n次方根的性质
23=8
8的3次方根是2. 记作：3 8 2.
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2.
(-2)5=-32
-32的5次方根是-2.
27=128
128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
2022/3/24
一个数的奇次方根只有一个
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64
49的2次方根是7，-7. 81的4次方根是3，-3. 64的6次方根是2，-2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根
2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
n∈N*.
即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
例子：
24=16 (-2)4=16 (-2)5=-32
27=128
2022/3/24
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.
【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根.
2叫8的立方根. 一个数的立方 -2叫-8的立方根. 根只有一个
(2)27的三次方根是___3__; (3)-32的五次方根是_-_2__; (4)16的四次方根是_±___2_;
(5)a6的三次方根是___a_2_; (6)0的七次方根是___0___.
点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
2022/3/24
探究二：n次方根的性质
23=8
8的3次方根是2. 记作：3 8 2.
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2.
(-2)5=-32
-32的5次方根是-2.
27=128
128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
2022/3/24
一个数的奇次方根只有一个
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64
49的2次方根是7，-7. 81的4次方根是3，-3. 64的6次方根是2，-2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根
2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
n∈N*.
即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
例子：
24=16 (-2)4=16 (-2)5=-32
27=128
2022/3/24
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.
【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根.
2叫8的立方根. 一个数的立方 -2叫-8的立方根. 根只有一个
新课标人教版必修一指数与指数幂运算课件(共16张PPT)
(1)n为奇数时，a的n次方根用符号n a 表示
正数的n次方根为一个正数 负数的n次方根为一个负数
如：
3
8 2,
3
8 2
(2)n为偶数时，
正数a的n次方根有两个，正的n次方根用 n a 表示， n 负的n次方根用 a表示， 负数没有偶次方根 规定：零的任何次方根都是0.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
指数与指数幂运算
骨干教师：代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
知识要点：
1:根式的概念: n n次方根：一般地，若 x (其中n ＞1，且n∈Ｎ*) a的n次方根用符号
a ,则x叫做a的n次方根，
n
a
表示，其中n称为根指数，a为被开方数.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
r
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
典型例题：
例1：化简： （1 ）
3 2 2 3 2 2
(1 2) 2 (1 2) 2
(1 2) ( 2 1) 2
（2）a
a
a a 1
3 2 1 a2
(((a 2 ) a) )
(a ) a
1 a
变式：
2 x a , b 已知 是方程 6 x 4 0的两个根，且 a b 0
求：
a b a b
的值。
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
(3) a a a a
高中数学必修一：2.1.1-2《指数与指数幂运算》(新人教版A).pptx
5 (c 0)
c4
正数的正分数指数幂的意义
m
规定：a n n am (a 0, m, n N ,且n 1)
正数的负分数指数幂的意义
规定：
a
m n
1
m
(a
0, m, m
N ,且n
1)
an
注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
(1)23 24 2(3 4)
(2)(22 )3 223
a 3 a2
运算性质 (1)ar as a(rs) (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r ar br (a 0,b 0, r R)
a 2
7
a2
(2)a2 3 a2
2
a2 a 3
2 2
a 3
8
a3
(3) 3 a
11
4
2
(a a 3 ) 2 (a 3 ) a 3
例4.计算下列各式
2
11
15
（1）(2a 3 )( 6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6）
(2)(
m
1 4
n
3 8
)8
例5.计算下列各式 （1）(3 25 125) 4 25 （2） a2 (a 0)
(3)22 (1)2 2
(2
1 )2 2
有理数指数幂的运算性质
(1)ar as a(rs) (a 0, r, s Q)
(2)(ar )s ars (a 0, r, s Q)
(3)(ab)r ar br (a 0,b 0, r Q)
例2.求值8
2 3
，25
-
1 43
人教A版数学必修一第1部分第二章2.12.1.1指数与指数幂的运算.pptx
1 2
1 4
1 8
＝a78.
(3)原式＝a23·a23＝a
2 3
3 2
＝a163.
(4)原式＝(a31)2·(ab3)12＝a23·a12b32＝a
2 3
1 2
b32＝a76b23.
[一点通]
1．解此类问题应熟练应用 amn＝n am(a>0，m，n∈N*， 且 n>1).当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里 向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
提示：适用．
1．分数指数幂的意义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
an＝
n am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
a
m n
＝
1
m
an
＝ n
1 am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
(3)0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂无意义 ．
解：a23b12·(－3
1 1 1
15
a2b3)÷3a6b6
＝－9a
2 3
1 2
1 6
b
1 2
1 3
5 6
＝－9a.
7．(1)计算：
(0.025
1
6) 4
－[(78)－2.6]0＋(3
4)34·(2
2)35－160.75；
(2)已知
10a＝2，10b＝3，求
100
2a
1 b
3
的值．
解：(1)原式＝(0.44)
＝1＋16－110＝1165.
(2)原式＝29512＋0.112＋6247
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【易错误区】化简 n an忽略条件而致误
【典例】化简 e1 e 2 4 =( )
A.e-e-1
B.e-1-e
C.e+e-1
D.0
【解析】选A. e1 e 2 4 e2 2e1e e2 4
e2 2 e2 e1 e 2 e1 e ① e e1.
【类题试解】1.下列各式中正确的个数是( ) (1) n an =( n a )n=a(n是奇数且n>1,a是实数); (2) n an =( n a )n=a(n是正偶数，a是实数); (3) 3 a3 b2 =a+b(a,b是实数). A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.对(1)，由于n是大于1的奇数，故(1)正确；对 (2)，由于n是正偶数，故 n a中n a可取任意实数，而( )nna中a 只能取非负数，故(2)错误；对(3)， b=2 |b|，故结果错误.
【解题探究】1.a的n次方根的符号表示是什么？ 2.若xn=a,则x的值是什么？ 3. n (an为偶数)成立的条件是什么？ 探究提示： 1.n为奇数时，a的n次方根的符号表示为：n a；n为偶数时，a的n 次方根的符号表示为： n aa，≥0. 2.若xn=a,则x叫做a的n次方根，具体值参考提示1. 3. n (an为偶数)成立的条件是a≥0.
5 2 5 2 2 5.
【拓展提升】根式化简或求值的两个注意点 (1)解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶 次根式，然后运用根式的性质进行化简. (2)注意正确区分 n a与n ( )nn.a
类型 三 带有限制条件的根式运算
【典型例题】
1.若x<0，则x+|x|+ x2 =______.
探究提示：
1. n a=n a(n为奇数),
n
an
a
a, a a,
0,
a0
n为偶数
.
2.(1)化简 的a 关键点是将a配凑成完全平方数，去掉根号.
(2)对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘
以分母的有理化因式，分母有理化，从而化简.
【解析】1.(1)( )52=5.(2) 答案：(1)5 (2)-6
【解析】选B. 3 27 3 33 3.
3.若 n a＝－n a，则( A.a=0 B.a≠0
) C.a≤0
D.a≥0
【解析】选A. n a＝－是n a一个数与其相反数相等，故a=0.
4. 52=_____；( 52 )2 =______. 【解析】 52 52 5；( 52 )2 ( 52 )2 52 25.
3 =-663.
2.(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2
2
2
2
3 2 3 • 2 2 22 2 2 3 3
22 2 2 2
2
2
2
2
2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 |2 2|
3 2 2 3 2 2 2 2.
【典型例题】
1.求下列各式的值
(1)( 5)2=______.
(2) 3 63 =______.
2.化简：(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2.
1
1
(2) 3
2
3
5
3 2
3. 5
【解题探究】1. n a的n 值是什么？ 2.(1)化简 的a 关键点是什么？(2)对于分母中含有根号的式子 应如何进行化简？
a的取值范围 a∈R a≥0
2.根式 式子_n_a_叫做根式,其中根指数是_n_,被开方数是_a_. 思考：3 8 是根式吗？根式一定是无理式吗? 提示：是根式.根式不一定是无理式.如 是3 8根式，但不是无 理式，因为 3 8=2是有理数.
二、根式的性质
a a
–a,a<0
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n∈N*时,( n 3 )n都有意义.( ) (2)因为(±3)4=81，∴ 4 81的运算结果为±3.( )
【拓展提升】有限制条件的根式化简的步骤
【变式训练】设0<x<2，求 x2 2x 1 x2 4x 4 的值. 【解题指南】可先将被开方数凑配成完全平方的形式，从而 开方，利用x的范围，去掉绝对值号，进一步化简.
【解析】原式= x 12 x 22
=|x+1|+|x-2|, ∵0<x<2,∴x+1>0,x-2<0, ∴原式=x+1-(x-2)=3.
【解析】1.∵(±4)2=16,∴16的平方根为±4.-27的5次方根为
5 27.
答案：±4
5 27
2.∵x7=6,∴x= 7 6.
答案：7 6
3.要使 4 x 有 2意义，则需x-2≥0，即x≥2.因此实数x的取值
范围是［2，+∞).
答案：［2，+∞)
【拓展提升】求n次方根要关注的问题 (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且 互为相反数. (2)( n )an是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的 奇偶性决定.
(2)当n为奇数时，n 2 =2n -π； 当n为偶数时，n 2 =πn -2. (3) 2n x =y|2xn -y|， 当x≥y时，2n x =yx2n-y； 当x<y时，2n x y=2ny-x.
(3) 42 =4-π.( )
提示：(1)错误.若( n )n3有意义，则n必为奇数. (2)错误. 4 81 4 34 3.
(3)正确.∵π-4<0,∴ =|π4-24|=-(π-4)=4-π.
答案：(1)× (2)× (3)√
【知识点拨】 1.解读a的n次方根的个数
2.“根式记号”的注意点 (1)根式的概念中要求n>1,且n∈N*. (2)当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为n a(a∈R)，当n 为大于1的偶数时，n a(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方 根，另一个是 n 从a，而( )nn=aa.
当n为大于1的偶数时，( )n=a，n aa≥0.由此看只要( )n
na
有意义，其值恒等于a，即( n )an=a.
类型 一 n次方根的概念问题 【典型例题】 1.16的平方根为______,-27的5次方根为______. 2.已知x7=6,则x=______. 3.若 4 x 2有意义，则实数x的取值范围是______.
【变式训练】若81的平方根为a,-8的立方根为b，求a+b的值. 【解析】∵(±9)2=81,∴81的平方根为±9,即a=±9. 又(-2)3=-8，∴-8的立方根为-2，即b=-2. ∴a+b=-9-2=-11或a+b=9-2=7， ∴a+b=-11或7.
类型 二 直接利用根式的性质化简与求值
答案：5 25
5.若x<5，则 x2 10x 25的值是______． 【解析】∵x<5,∴ x2 10=x|x2-55 |=5-x. 答案：5-x
6.求下列各式的值：
(1)( 3 a )3.(2) n 2 n (n>1，且n∈N*). (3) 2n x y2n (n>1，且n∈N*).
【解析】(1)( 3)a3=a.
x
2.若代数式 2x 1 2 x 有意义，化简 4x2 4x 1 24 x 24 .
【解题探究】1.对于式子 x化2 简时应注意什么？
2.由代数式 2x 1 有2意义x ，能得到什么结论？
探究提示：
1.应特别注意符号问题，即
x2
x, x 0， x, x 0.
2.借助代数式有意义可确定x的取值范围，即
1.以下说法正确的是( ) A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数 C.０的n次方根是０(其中n>1且n∈N*) D.a的n次方根是 n a 【解析】选C.A，B，D选项中，没有指明n的奇偶，D中a的正 负也没有说明，故不正确.
2. 3 27 的值是( ) A.3 B.-3 C.9
D.-9
2.当m<n时，4 m n4 =______.
81
【解析】4 m n4 又m∵mn <, n,∴|m-n|=n-m,即
81
3
4 m n4 m n n m .
81
33Biblioteka 答案：n m3【误区警示】
【防范措施】 1.熟记结论和性质 对于一些重要的结论和运算性质要掌握准确，熟练应用.如本 例中对于 n a是n 实数an的n次方根，此时n=2为偶数， (e1 e)2 然e后1 去e ，掉绝对值号即可得e-e-1. 2.注意隐含条件的挖掘利用 题中给出的条件要充分利用，有时不能直接利用，可适当变 形后利用.如本例中化简到|e-1-e|时，需判断出e-1-e的正 负，从而去掉绝对值号.
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指 数 函 数 2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根 式
一、a的n次方根和根式 1.a的n次方根 (1)定义：如果_x_n=_a_，那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. (2)表示：
n的分类 n为奇数 n为偶数
a的n次方根的符号表示 _n _a_ __n_a_
2x 1 0, 2 x 0，
可得: 1≤x≤2.
2
【解析】1.因为x<0，
所以x+|x|+
x
2
=x-x+
x
=x-1.
x
xx
答案：-1
2.由 2x 1 有2意 x义，则
即22x≤xx1≤020，，.
1 2
故 4x2 4x 1 24 x 24 2x 12 2 4 x 24
=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.
3.对 n a和n ( )nna的理解 (1) n 是an 实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，a∈R，但此式的值受n的奇偶限制：当n为大于1