人教版高中数学必修一《指数与指数幂等运算》ppt

【易错误区】化简 n an忽略条件而致误
【典例】化简 e1 e 2 4 =( )
A.e-e-1
B.e-1-e
C.e+e-1
D.0
【解析】选A. e1 e 2 4 e2 2e1e e2 4
e2 2 e2 e1 e 2 e1 e ① e e1.
【类题试解】1.下列各式中正确的个数是( ) (1) n an =( n a )n=a(n是奇数且n>1,a是实数); (2) n an =( n a )n=a(n是正偶数，a是实数); (3) 3 a3 b2 =a+b(a,b是实数). A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.对(1)，由于n是大于1的奇数，故(1)正确；对 (2)，由于n是正偶数，故 n a中n a可取任意实数，而( )nna中a 只能取非负数，故(2)错误；对(3)， b=2 |b|，故结果错误.
【解题探究】1.a的n次方根的符号表示是什么？ 2.若xn=a,则x的值是什么？ 3. n (an为偶数)成立的条件是什么？ 探究提示： 1.n为奇数时，a的n次方根的符号表示为：n a；n为偶数时，a的n 次方根的符号表示为： n aa，≥0. 2.若xn=a,则x叫做a的n次方根，具体值参考提示1. 3. n (an为偶数)成立的条件是a≥0.
5 2 5 2 2 5.
【拓展提升】根式化简或求值的两个注意点 (1)解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶 次根式，然后运用根式的性质进行化简. (2)注意正确区分 n a与n ( )nn.a
类型 三 带有限制条件的根式运算
【典型例题】
1.若x<0，则x+|x|+ x2 =______.
探究提示：
1. n a=n a(n为奇数),
n
an
a
a, a a,
0,
a0
n为偶数
.
2.(1)化简 的a 关键点是将a配凑成完全平方数，去掉根号.
(2)对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘
以分母的有理化因式，分母有理化，从而化简.
【解析】1.(1)( )52=5.(2) 答案：(1)5 (2)-6
【解析】选B. 3 27 3 33 3.
3.若 n a＝－n a，则( A.a=0 B.a≠0
) C.a≤0
D.a≥0
【解析】选A. n a＝－是n a一个数与其相反数相等，故a=0.
4. 52=_____；( 52 )2 =______. 【解析】 52 52 5；( 52 )2 ( 52 )2 52 25.
3 =-663.
2.(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2
2
2
2
3 2 3 • 2 2 22 2 2 3 3
22 2 2 2
2
2
2
2
2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 |2 2|
3 2 2 3 2 2 2 2.
【典型例题】
1.求下列各式的值
(1)( 5)2=______.
(2) 3 63 =______.
2.化简：(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2.
1
1
(2) 3
2
3
5
3 2
3. 5
【解题探究】1. n a的n 值是什么？ 2.(1)化简 的a 关键点是什么？(2)对于分母中含有根号的式子 应如何进行化简？
a的取值范围 a∈R a≥0
2.根式 式子_n_a_叫做根式,其中根指数是_n_,被开方数是_a_. 思考：3 8 是根式吗？根式一定是无理式吗? 提示：是根式.根式不一定是无理式.如 是3 8根式，但不是无 理式，因为 3 8=2是有理数.
二、根式的性质
a a
–a,a<0
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n∈N*时,( n 3 )n都有意义.( ) (2)因为(±3)4=81，∴ 4 81的运算结果为±3.( )
【拓展提升】有限制条件的根式化简的步骤
【变式训练】设0<x<2，求 x2 2x 1 x2 4x 4 的值. 【解题指南】可先将被开方数凑配成完全平方的形式，从而 开方，利用x的范围，去掉绝对值号，进一步化简.
【解析】原式= x 12 x 22
=|x+1|+|x-2|, ∵0<x<2,∴x+1>0,x-2<0, ∴原式=x+1-(x-2)=3.
【解析】1.∵(±4)2=16,∴16的平方根为±4.-27的5次方根为
5 27.
答案：±4
5 27
2.∵x7=6,∴x= 7 6.
答案：7 6
3.要使 4 x 有 2意义，则需x-2≥0，即x≥2.因此实数x的取值
范围是［2，+∞).
答案：［2，+∞)
【拓展提升】求n次方根要关注的问题 (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且 互为相反数. (2)( n )an是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的 奇偶性决定.
(2)当n为奇数时，n 2 =2n -π； 当n为偶数时，n 2 =πn -2. (3) 2n x =y|2xn -y|， 当x≥y时，2n x =yx2n-y； 当x<y时，2n x y=2ny-x.
(3) 42 =4-π.( )
提示：(1)错误.若( n )n3有意义，则n必为奇数. (2)错误. 4 81 4 34 3.
(3)正确.∵π-4<0,∴ =|π4-24|=-(π-4)=4-π.
答案：(1)× (2)× (3)√
【知识点拨】 1.解读a的n次方根的个数
2.“根式记号”的注意点 (1)根式的概念中要求n>1,且n∈N*. (2)当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为n a(a∈R)，当n 为大于1的偶数时，n a(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方 根，另一个是 n 从a，而( )nn=aa.
当n为大于1的偶数时，( )n=a，n aa≥0.由此看只要( )n
na
有意义，其值恒等于a，即( n )an=a.
类型 一 n次方根的概念问题 【典型例题】 1.16的平方根为______,-27的5次方根为______. 2.已知x7=6,则x=______. 3.若 4 x 2有意义，则实数x的取值范围是______.
【变式训练】若81的平方根为a,-8的立方根为b，求a+b的值. 【解析】∵(±9)2=81,∴81的平方根为±9,即a=±9. 又(-2)3=-8，∴-8的立方根为-2，即b=-2. ∴a+b=-9-2=-11或a+b=9-2=7， ∴a+b=-11或7.
类型 二 直接利用根式的性质化简与求值
答案：5 25
5.若x<5，则 x2 10x 25的值是______． 【解析】∵x<5,∴ x2 10=x|x2-55 |=5-x. 答案：5-x
6.求下列各式的值：
(1)( 3 a )3.(2) n 2 n (n>1，且n∈N*). (3) 2n x y2n (n>1，且n∈N*).
【解析】(1)( 3)a3=a.
x
2.若代数式 2x 1 2 x 有意义，化简 4x2 4x 1 24 x 24 .
【解题探究】1.对于式子 x化2 简时应注意什么？
2.由代数式 2x 1 有2意义x ，能得到什么结论？
探究提示：
1.应特别注意符号问题，即
x2
x, x 0， x, x 0.
2.借助代数式有意义可确定x的取值范围，即
1.以下说法正确的是( ) A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数 C.０的n次方根是０(其中n>1且n∈N*) D.a的n次方根是 n a 【解析】选C.A，B，D选项中，没有指明n的奇偶，D中a的正 负也没有说明，故不正确.
2. 3 27 的值是( ) A.3 B.-3 C.9
D.-9
2.当m<n时，4 m n4 =______.
81
【解析】4 m n4 又m∵mn <, n,∴|m-n|=n-m,即
81
3
4 m n4 m n n m .
81
33Biblioteka 答案：n m3【误区警示】
【防范措施】 1.熟记结论和性质 对于一些重要的结论和运算性质要掌握准确，熟练应用.如本 例中对于 n a是n 实数an的n次方根，此时n=2为偶数， (e1 e)2 然e后1 去e ，掉绝对值号即可得e-e-1. 2.注意隐含条件的挖掘利用 题中给出的条件要充分利用，有时不能直接利用，可适当变 形后利用.如本例中化简到|e-1-e|时，需判断出e-1-e的正 负，从而去掉绝对值号.
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指 数 函 数 2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根 式
一、a的n次方根和根式 1.a的n次方根 (1)定义：如果_x_n=_a_，那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. (2)表示：
n的分类 n为奇数 n为偶数
a的n次方根的符号表示 _n _a_ __n_a_
2x 1 0, 2 x 0，
可得: 1≤x≤2.
2
【解析】1.因为x<0，
所以x+|x|+
x
2
=x-x+
x
=x-1.
x
xx
答案：-1
2.由 2x 1 有2意 x义，则
即22x≤xx1≤020，，.
1 2
故 4x2 4x 1 24 x 24 2x 12 2 4 x 24
=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.
3.对 n a和n ( )nna的理解 (1) n 是an 实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，a∈R，但此式的值受n的奇偶限制：当n为大于1
的奇数时，n an=a；当n为大于1的偶数时，n a=n |a|.
(2)( n)an是实数 的n an次幂，当n为大于1的奇数时，( )nn=aa，a∈R
(2)
1 3
1
3
3 2 5
3 2 5
1 1 5 2 5 2 4. 2 5 2 5
【互动探究】题2(2)中，若将原式改为 1 1 ,
(4 2 5 )4 4 (2 5)4
还能求出值吗？
【解析】能， 1 1 1 1
(4 2 5 )4 4 (2 5)4 2 5 5 2