虚位移原理虚功原理

虚位移的表示方法： r ,
x,
一般表示法
线位移
角位移
三、虚功
力在虚位移中作的功称虚功。即：
W F r
或
W F xsin
四、理想约束
W M z F
如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等 于零，称这种约束为理想约束。
WN WNi FNi ri 0
§15-2 虚位移原理
且 rB cos rA sin FA cosr BFB rB 0
FA FB tan
例3： 如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构
在图示位置平衡时，主动力偶矩Ｍ与主动力Ｆ之间的关系。
解：为B、C两处添加虚位移
, rc
由虚位移原理得：
wF M F rc 0
由图中关系有
各虚位移wenku.baidu.com系为：
xB 2l cos , yG 3l sin xB 2l sin , yG 3l cos
带入虚功方程得： FBx 2l sin F 3l cos 0
FBx
3 2
F cot
解法二： 如图在CG间加一弹簧，刚度K，
且已有伸长量 0 ，仍求 FBx 。
在弹簧处也代之 以力， 如图（b)，其中
FC FG k 0
WF 0
FBx xB FC yC FG yG F yG 0
xB 2l cos , yC l sin , yG 3l sin
xB 2l sin , yC l cos , yG 3l cos
代入虚功方程得：
FBx (2l sin k0l cos k0 3l cos F3l cos 0
投影后的解析式为：
Fxi xi Fyi yi Fzi zi 0
例1： 图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅
直向上的力Ｆ，AC CE CD CB DG GE l
求：支座Ｂ的水平约束力。
解:解除B端水平约束,以力 FBx 代替,如图 (b)
由虚位移原理得：
wF FBxxB FyG 0
ra
re s in
re
OB
h
s in
,
rC
ra
h sin 2
M Fh
sin 2
例4: 求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力。
解：解除A处约束，代之 FA ，给虚位移，如图（b）
由虚位移原理得：
WF FA sA F1 s1M F2 s2 0
各虚位移间关系为：
sA ,
8
s1
3
3
8
sA,
sM
11
11s
8
A
s2
4 7
s
M
4 7
11 8
s
A
11 14
s
A
代入虚功方程得：
FA
3 8
F1
11 14
F2
1M 8
3、 其余分类
约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形 式 的约束称非完整约束，否则为完整约束。
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束），约束方程 为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。本章只讨 论定常的双侧、完整、几何约束。
二、虚位移
在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无 限小的位移称为虚位移 。
解得：
FBx
3 F cot
2
k 0
cot
例2： 图所示椭圆规机构中，连杆AB长为L，滑块Ａ，Ｂ与
杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。
求：主动力 F A 与 F B 之间的关系。
解：为A、B两处添加虚位移
rA , rB ,
由虚位移原理得：
Fi ri 0
FA rA FB rB 0
一质点系在力的作用下处于平衡状态
FNi
某质点受力如图示，且：
Fi FNi 0
为该质点设定虚位移 ri 且
Wi Fi ri FNi ri 0
Fi
ri
且
Fi r i FNi ri 0
W i 0
虚功方程
所表达出的原理
虚位移原理
虚位移原理（虚功原理）：对于具有理想约束的质点系，其平 衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位 移中所作的虚功之和等于零。
第十五章
虚位移原理 （静动法）
§15-1 约束、虚位移、虚功
一、约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方 程称为约束方程。 1、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。 限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。
2、 定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定常约束。