虚位移原理虚功原理
分析力学第二章虚功原理及应用
取 s=3N-k 个独立的广义坐标
来表示出任意质点位矢，即
r ri
r ri
(q1
,
q2
,L
, qs )
(i 1, 2, L , N)
变分得：
rri
s 1
rri q
q
W
N i 1
r Fi
rri
N i 1
r Fi
s
1
rri q
q
s
= =1
N i 1
r Fi
r ri
yC =-|OC|sin=-
R2
-
a2 4
sin
δyC
=-
R2- a2 cosδ=0
4
Q δ 0, cos 0 , 3 .
22
例4. 均匀杆OA，重P1 ，长为l1，能在竖直平面内绕固定光滑铰链O转动，此 杆的A端用光滑铰链连接另一重为P2 ，长为l2的均匀杆AB。在AB杆的B端加一
水平力。求平衡时此两杆与水平线所成的角度及。
因此必有某一虚位移与实位移重和，即
。因此
但在理想约束下，
； 于是有
显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足
质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。
2. 虚位移原理的各种形式
(1). 矢量形式
N
r Fi
r ri
0
i 1
(2). 广义坐标形式
假设N个质点组成的质点系，受到k个不可解、理想、稳定的约束，则可
x B
(xA +xB )2 +(yA +yB )2 =4R 2 -a2
y
x
C
y
C
= =
1 2 1 2
虚功原理和位移计算
位移是描述物体位置 变化的量，是运动学 的基本概念之一。
位移是矢量，具有大 小和方向两个物理量 ，可以用矢量表示。
位移的大小表示物体 在某一方向上移动的 距离，方向则表示移 动的方向。
位移计算的应用场景
工程设计
在机械、建筑、航空航天等工程领域中，需要进行结构分析和优 化设计，位移计算是其中的重要环节。
02
位移计算是确定物体位置和运动轨迹的过程，它涉及到对实际
位移的测量和计算。
虚功原理和位移计算在理论和实践上都有广泛的应用，它们在
03
某些情况下是相互关联的。
虚功原理在位移计算中的应用
在某些情况下，位移计算可以通 过虚功原理进行简化。
例如，当分析一个系统在平衡状 态下的位移时，可以使用虚功原
理来找到作用在系统上的力。
现潜在的安全隐患，并采取相应的措施进行维修和加固。
实例二：建筑结构稳定性分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构稳定性分析是虚功原理和位移计算的重要应用之 一，通过分析建筑结构的位移变化，可以评估建筑物的稳 定性和安全性。
在建筑结构稳定性分析中，虚功原理和位移计算被广泛应 用于评估建筑物在不同载荷下的稳定性。通过在建筑物上 设置传感器和测量设备，可以实时监测建筑物的位移变化 ，并将数据传输到计算机进行分析。这些数据可以帮助工 程师评估建筑物的稳定性和安全性，及时发现潜在的安全 隐患，并采取相应的措施进行加固和维护。
通过将虚功原理应用于位移计算 ，可以确定系统在平衡状态下可
能的位移。
位移计算在虚功原理中的应用
01
位移计算的结果可以用来验证虚功原理的正确性。
02
通过测量和计算实际位移，可以验证虚功原理是否 成立。
5-3虚位移原理
出现任何约束反力。
虚位移原理给出了区别质系的真实平衡位置与约
束所容许的可能平衡位置的准则或判据 。
虚位移原理可求解质系的各类平衡问题：
系统在给定位置平衡时主动力之间的关系
求系统在已知主动力作用下的平衡位置 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力
解题步骤
1. 确定研究对象：整体 2. 约束分析：是否理想约束？ 3. 受力分析：
作用三个力 Pi ，求平衡时 Pi 与 Si (i 1,2,3) 的关系 (设液体为不可压缩的)。
P1
P2
S2
S3
S1
Байду номын сангаас
P3
无穷多个质点组成的非刚体的平衡
解
塞i 的虚位移为 δri ，方向如图。 液体不可压缩
δr3
S δr 0
i 1 i i
3
P1
P2
1 ( S1δr1 S 2δr2 ) S3
(P 1 P 2 )δr 2 W P 1 (tan tan ) δr 3y 0
P 1 P 2
W P 1 (tan tan )
P1
δr1
1
3
δr2
2
P2
W δr3
例4
在压缩机的手轮上作用一力矩 M。手轮轴的两端各 有螺距同为 h、但螺纹方向相反的螺母 A 和 B，这两 个螺母分别与长为 a 的杆相铰接，四杆形成菱形框， 如图所示。 此菱形框的点 D固定 不动，而点C连接在 压缩机的水平压板上。 求当菱形框的顶角等 于2 时，压缩机对被 压物体的压力。
例5
已知：a, P, M; 求：约束反力NB
a
a
M A
虚力原理和虚位移原理
虚力原理和虚位移原理1.什么是虚力原理和虚位移原理虚力原理和虚位移原理是物理学中的两个重要原理，它们都是在分析物体运动和力学问题时被广泛应用的基本原则。
虚力原理指的是，在物体所处的系统中，某些力可以通过引入一些虚拟的力来使计算更加简单，而这些虚拟力不会对物体的实际运动产生任何影响。
虚位移原理则是指，在系统中某些点的位移可以通过引入一些虚拟的位移来计算，而这些虚拟位移不会对物体实际的位移产生任何影响。
2.虚力原理的应用虚力原理的一个重要应用就是在动力学中计算离心力和科里奥利力。
离心力的计算需要引入一个虚拟的离心力，这样就可以将受力分析转化为一类简单的静力学问题。
科里奥利力则是指在旋转运动中由于地球自转而产生的一种力，它可以通过虚力原理来进行计算。
此外，虚力原理还在弹性力学中被广泛应用。
对于某些复杂的结构，在计算内应力时可以通过虚力原理将求解过程简化，从而更加精确地得出物体的内应力分布。
3.虚位移原理的应用虚位移原理的一个经典应用是在静力学中计算刚体的平衡条件。
在分析平衡问题时，虚位移原理可以将各个受力点的位移分开考虑，从而可以计算出物体所受的各个力的大小和方向。
虚位移原理还可以在弹性力学中用来计算结构的变形。
结构的变形可以看作是每个点的位移，通过引入虚位移可以计算出结构的弹性形变，并据此得出结构的刚度和弹性模量。
4.总结总的来说，虚力原理和虚位移原理是物理学中非常重要的原理，它们可以为物理学相关问题的分析、计算提供一种全新的思路和方法，让物理学家更加准确地预测物体的运动和行为。
因此，深入研究并掌握这两个原理在物理学研究中的应用十分重要，不仅可以在学术领域中取得进步，还可以在实践中获得更多的应用和价值。
第十四章虚位移原理.ppt
非定常约束：约束方程中显含时间
y
x
v
y
vt
x
x y cot vt
固执约束：双面约束
非固执约束：单面约束
A
x
l
刚性杆
y
B
x2 y2 l2
A
x
l
绳子
y
B
x2 y2 l2
2、虚位移
（1）定义 在给定瞬时，质点或质点系在约束所允许的情况下， 可能发生的任何无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。
纯滚动约束 δWN FR δrA FR 0 0
不可伸长柔索或轻质杆约束
A
δWN FNA δrA FNB δrB
FNA δrA FNA δrB 0
§14－2 虚位移原理
虚位移原理也称为虚功原理，指的是：
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用 于质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零。
满足此式，不论刚体、变形体还是质点系必定平衡。它 是质点系平衡的最普遍方程。所以，也称为静力学普遍方程。
应用虚位移原理的优越性：
1．应用范围广。既适用不变质点系，也适用可变质点系（包 括变形体）。在静力学里，建立的平衡条件，对于刚体的平 衡是必要和充分的，但对于变形体来说，就不一定总是充分 的。但变形体只要满足虚位移原理就一定平衡。它适用于任 意质点系。
即 δW 0
或
Fi δri 0
或
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
原理推导
Fi FNi 0
Fi
Mi
FNi δri
FFi i δδririFFNiNi δrδi ri 0 0
对于理FFFFFi想ii iiF约δδδ iδδr束rriiirrF，δiiir有iF0Fd0NiirFidFNδirNrFiiFiδNNriδii0rδidr0iFri0Ni00d ri 0
虚位移与虚位移原理
虚位移与虚位移原理虚位移与虚位移原理2010-04-22 10：528.2.1虚位移为了便于理解虚位移的概念，现把虚位移和实位移进行对比阐述。
1实位移--位置函数的微分实位移是质点系在微小的时间间隔内实际发生的位移，可用位置函数的微分表示。
设由n个质点组成的完整约束系统，其自由度为k，选取一组广义坐标，则每个点的位置可用其位置矢径表示。
满足该质点系的约束方程，取其微分(8-4)式(8-4)中，是满足约束条件的增量，是系统受不平衡力系作用而实际发生的微小位移，由动力学方程和运动初始条件确定。
由上式得到的不但是约束许可的，而且其大小和方向还满足运动的初始条件，并有一组惟一的值，称为质点系的一组实位移，而称为质点系的一组广义实位移。
2虚位移--位置函数的变分虚位移是质点系在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移，可用位置函数的变分表示。
(8-5)与实位移不同，虚位移是约束许可的，与主动力和运动初始条件无关的，不需要经历时间的假想微小位移。
在某一时刻，质点的虚位移可以有多个。
系统静平衡时，实位移不可能发生，而虚位移则只要约束允许即可发生。
是质点系的一组虚位移，而称为质点系的一组广义虚位移。
在定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。
如图8.6所示单摆，虚位移可为和，而实位移仅为其一。
但在非定常约束下，实位移一般不可能是虚位移中的一个，如图8.2中所示小球，其实位移中，摆长随时间变化，而虚位移是在固定时刻，摆长不变时的位移，二者显然不同。
思考8-3①试画出思考8-1图(a)中质点B以及图(b)中套筒D的实位移和虚位移。
②试画出图8.5中双摆的虚位移。
3虚位移的计算计算质点系中各点的虚位移以及确定这些虚位移之间的关系涉及质点系的位形变化，内容十分广泛。
这里主要针对定常完整约束的刚体系统，介绍通常采用的几何法与解析法。
例8.1试确定图所示曲柄连杆机构中，A，B两点虚位移之间的关系。
解①几何法。
此处可用求实位移的方法来确定各点虚位移之间的关系。
第四章 虚功原理
若令 k = 1 m = 1
rmk × 1 = rkm ×1
rmk = rkm
反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 rmk 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力 rkm
m =1
结构力学
第4章 虚功原理
4、反力位移互等定理
r mk
Fk =1
θm=1
δkm
k状态
m状态
虚功互等定理
v Cm
可直接用几何方法验证。 静力方法解决几何问题。
l1
l2
l3
结构力学
第4章 虚功原理
七、互等定理 虚功互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力位移互等定理 1、虚功互等定理
Fk A
θmk
FNk
C
mm A B km C
εm γm
1
B
FQk Mk
k状态（静力） 虚功原理
s
m状态（ 位移） λ FQm 1 M m FNm = εm = γm = EA GA ρ m EI
D a
C
建立静力状态（k）
2、沿FRD 方向给以微小单位虚位移 km =1，建立位移状态（m）
D FR D
q=F/ 2a A E B
F
C
3、建立虚功方程，求未知力
FRD ×1 = 0
静力状态（k）
A E B C D' km=1 D
FRD = 0
可直接用平衡方程验证。
位移状态（m）
几何方法解决静力问题。
结构力学
第4章 虚功原理
5、等值反向共面的两力偶的虚功
mk
（a）
A
B
mk
（b）
A
θ'km θ"km
虚功原理(虚位移原理)
§5、2虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方程虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i rδ表示（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。
Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。
见273p 图5.2－1二、理想约束实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移rd中所作的功 dW虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移rδ中所作的功 W δ其中 i R为第i 个质点受的约束力 若∑=⋅ii i r R 0δ体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 022112111='+'-=⋅+⋅r f r f r f r f δδδδ （21f f-= 21f f =； 21r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=⋅+⋅ii i i r R r F δδ⇒对系统求和⇒0=⋅+⋅∑∑i i ii i ir R r Fδδ 对于理想约束∑=⋅ii i r R 0δ 则=W δ0=⋅∑i i ir Fδ∑=++ii iz i iy i ixz F y F x F)(δδδ 虚功原理⇒具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由=W δ0=⋅∑i i ir Fδ ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约束反力i R，需用拉格朗日未定乘数法2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2）将i r表示为广义坐标q的函数，并求出i rδ（i i i z y x δδδ,,）；（3）由虚功原理列出平衡方程，并令αδq 的系数为零，求出平衡条件。
理论力学15-2虚功原理N
F
x B
y
x
若用几何法分析虚位移： 几何法分析虚位移，无需 对AB 杆，δrB方向如图， 设定坐标系。 由协调关系，δyC方向如图。 两虚位移在BC杆方向投影应相等： rB cos(2 90) rC cos(90 ) rB sin 2 rC sin 两虚位移关系： rC 2rB cos 用虚功方程 (FCy视为主动力) FCy (rC ) F (rB cos(90 )) 0
2 rD rE 3
3 r2 rE 4
四) 用虚功方程 ( Fi ri ) 0 10 r1 FD (rD ) 6 r2 3(- ) 0 3rE rE rE 2rE rD r1 r2
3 3 6 4 1 2 3 1 [10 FD ( ) 6 3( )]rE 0 3 3 4 6 FD 11(kN ) ( )
四、虚位移原理应用
一) 用虚位移原理求平衡位置的主动力
基本步骤： 1. 受力分析 画出全部可作虚功的主动力； 2. 虚位移分析 1) 变分法：建坐标系，列出虚位移点的坐标， 进行变分计算，建立虚位移之间的关系。 2) 几何法：根据虚位移的协调关系及虚位移的 投影关系，建立虚位移之间的关系。 3. 使用虚位移原理：
若求B点约束反力，虚位移图？
若求A点约束反力，虚位移图？
二) 用虚位移原理求平衡时的约束反力 虚位移原理是作用于质点系上所有主动力在任 何虚位移中所作虚功之和为零。 它与约束反力无关，似乎无法求约束反力。 若用该原理求约束反力，可沿所求约束反力方 向解除相应约束，并用一假想的主动力代替。 再用虚位移原理，求出该假想施加的“主动 力”，仍可得到对应的约束反力。
虚位移原理
移 dx, dy, dz, , dr, 。 3、在完整定常约束的情形下，微小的实位移必然是虚位移之一。因为，只 有约束所容许的位移才是实际上可能发生的；而约束所容许的任何微小位移 都是虚位移。 4、在完整非定常约束情形下，所谓虚位移，是指在给定瞬时，把约束看 作不变的，而为约束所容许的任何微小位移。这样，微小实位移就不再是 虚位移之一。
rB vB sin( ) rA v A cos
C
三角形OAB内角和 Θ+φ+∠OAB= 180º
y
或者，由于 C 为AB的瞬心，故
A
O
vA AC
*
=
vB BC
*
= AB
rA
B rB
x
若已知平面图形上A、B 两点速度VA 、VB 的方向，则作VA 、VB 的垂线，其交 点P 为该瞬时平面图形的速度瞬心。其速度为零（总可以找到这样的点）。
★主要用于确定主动力之间的关系和系统的平衡位置。虚位移原理只能求解 有运动自由度的系统的主动力平衡条件。 具体证明过程略
Fi ri 0 成立。 证明：(1) 必要性：即质点系平衡，
质点系处于平衡 →任一质点Mi也平衡→ Fi Ni 0 设Mi 的虚位移为 ri ，则 ( Fi Ni ) ri 0 对整个质点系：
由正弦定理同样可得出结果 2、解析法(详)
BC AC AC sin( ) sin(90 ) cos
求δxB, δyB, δxA, δyA，如何？
解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移 之间的关系。例如椭圆规机构如图
y
xB , y A
有约束方程
虚位移原理虚功原理
第十五章虚位移原理（静动法）§15-1 约束、虚位移、虚功一、约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方程称为约束方程。
1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。
2、定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定常约束。
3、其余分类约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形式的约束称非完整约束，否则为完整约束。
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束），约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束。
二、虚位移在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。
虚位移的表示方法：ϕδδ,x r 一般表示法线位移角位移三、虚功力在虚位移中作的功称虚功。
即：rF W δδ⋅=θδδsin x F W =()ϕδδF M W z =或四、理想约束如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。
∑∑=⋅==0i Ni Ni N r F W W δδδ§15-2 虚位移原理一质点系在力的作用下处于平衡状态某质点受力如图示，且：=+Ni i F F NiF iF 0=⋅+⋅=i Ni i i i r F r F W δδδ为该质点设定虚位移且i r δir δ∑∑=⋅+⋅0i Niiir Fr F δδ且=∴∑iWδ虚功方程虚位移原理所表达出的原理虚位移原理（虚功原理）：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。
()∑=++0i zi i yi ixiz F y F xF δδδ投影后的解析式为：例1：图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅直向上的力Ｆ，求：支座Ｂ的水平约束力。
lGEDGCBCDCEAC======解:解除B 端水平约束,以力代替,如图(b)Bx F 0=+=G B Bx F y F x F w δδδθδθδδθδθθcos 3,sin 2sin 3,cos 2l y l x l y l x G B G B =-===由虚位移原理得：各虚位移关系为：带入虚功方程得：()0cos 3sin 2=⋅+-θδθθδθl F l F Bx θcot F F Bx 23=如图在CG 间加一弹簧，刚度K ，且已有伸长量，仍求。
a2虚功的概念及虚位移原理
n
Fi
δ
ri
=0
i =1
解析法：
n
δ w = (Fxi δ xi + Fyi δ yi + Fzi δ zi ) = 0 i =1
1 确定自由度数，选广义坐标。 1 确定自由度数，选广义坐标。
2 给虚位移，画虚位移图。
2 设定直角坐标。
3 列写方程。
3 主动力投影，列写相关力作用
点位置坐标，随后变分。
4 找虚位移之间关系，解方程。
4 列写方程，解方程。
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=命0题：如（质点Fi系+平F衡Ni），则δ r上i =式0成立。
n
(Fi + FNi ) δ ri =
n
Fi
δ
ri
+
n
FN i
δ
ri
=
0
i =1
i =1
i =1
n
FN i
δ
ri
=0
n
Fi
δ
ri
=
0
i =1
i =1
•充分性 命题：上式成立，则质点系平衡。
反证法：设上式成立，而质点系不平衡。
设第i个质点不平衡： FRi 0
wi
=
FRi
ri
=
(
Fi
+
FNi
)ri
0
n
(Fi
ri
+
FNi
ri )
0
i =1
n
FNi
ri
=0
i =1
n
Fi
ri
0
i =1
1-4虚位移原理
(
)
对 i求和
∑( F + F ) ⋅δr = ∑F ⋅δr +∑F
i Ni i i i
Ni
⋅δri = 0
因为原理的前提是质点系受离线公约数，则由式（1 12） 因为原理的前提是质点系受离线公约数，则由式（1-12） 知上式中的 ∑ FN ⋅ δ ri = 0 ，故得
i
即式（1 13）成立。 即式（1-13）成立。
( Fi + FNi ) ⋅ dri = ( Fi + FNi ) ⋅ δ ri > 0
质点系中使质点运动的作用力的虚功均为正功，而 使质点保持静止 状态的作用力的虚功皆为零，因而全部 虚功相加认为不等式，即
∑ (F + F
i
Ni
)δ ri > 0
故得
∑ 由于系统受理想约束， FNi δ ri = 0
小结
1.一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种限制 1.一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种限制 条件成为约束。约束可分类：完整约束和非完整约束，双面约束和 单面约束，定常约束和不定常约束。 2.确定具有完整的约束质点系的位置的独立参量的个数常委质点 2.确定具有完整的约束质点系的位置的独立参量的个数常委质点 系的自由度数。能完全确定质点系位置的独立参量成为质点系的广 义坐标。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标的数目等于自由 度数。 3.非自由质点的虚位移：在某瞬时，在不皮坏约束（即为约束所 3.非自由质点的虚位移：在某瞬时，在不皮坏约束（即为约束所 允许）的条件下，质点假想的任何无限小的唯一，称为质点在该瞬 时所在位置的虚位移。
1-4 虚位移原理
1.虚功 1.虚功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功。力在虚 虚功。力在虚 位移上做功的计算与作用力在实位移所做元功的计算是一样的。虚 功表示为 δ W = F δ r 虚位移是假想的，自然虚功也是假想的。前面研究了约束的运 动学性质，现在我们通过约束反力在虚位移的虚功来表示约束的动 力学性质。 2.理想约束 2.理想约束 在很多情况下，约束反力与约束所允许的虚位移互相垂直，约 束反力的虚功等于零；一些系统内部相互作用的约束反力所做的虚 功的和也等于零，这些约束统称为理想约束 功的和也等于零，这些约束统称为理想约束，其表达式为 理想约束，其表达式为
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
虚 功 原 理
设质点组在主动力和约束反力的作用下 处于平衡状态，第i个质点在平衡的条件是：
Fi + Ni = 0
(i=1,2,...,n)
Fi · ri + Ni · ri = 0 (i=1,2,...,n) ∑Fi · ri + ∑Ni · ri = 0
m1 Fi mi Ni
m2 ri
Fi —主动力 Ni—约束反力 ri—虚位移
一组，而不能是可能位移之外的其他位移。
（3）虚位移
质点或质点系任意两个可能位移之差定义为虚位移. 它是在给定瞬时，
为约束所允许的无限小位移.记为
ri
(i 1, 2,
n)
虚功原理
虚位移的特征：
y
A
1）虚位移是假定约束
M
不改变而设想的位移；
2）虚位移不是任何随
便的位移，它是约束所允 O
许的位移；
3）虚位移是一个假想
虚功原理
这些主动力 Fi 可以用势能对坐标的偏导数表 示，即
Fi
(V xi
i V yi
j V zi
k)
(i 1, 2,
, n)
（2）用势能表示的虚功原理
将上式代入虚功yi
V zi
zi )
虚功原理
WF
( V xi
xi
V yi
yi
V zi
zi
)
b
FA
B(x2, y2)
F
FB
虚功原理
因为 1 和 2 是线性独立的，所以
解得
虚功原理
解法二：计算广义力
确定系统的自由度：S=2。
选取直角坐标系如右图所示，
选取广义坐标为：1 、 2
理论力学13虚位移原理
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
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理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
力学中的虚功原理
力学中的虚功原理力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
在力学的研究中，虚功原理是一个基本概念，它在解决力学问题时起着重要的作用。
本文将介绍力学中的虚功原理，并探讨其应用。
1. 虚功的概念和定义虚功是力学中的一个重要概念，它用于描述一个力对物体的作用所做的功，但物体实际上并未发生位移。
虚功可以通过以下公式计算：虚功 = 力 ×虚位移其中，力是作用在物体上的力，虚位移是物体在力的作用下所产生的虚拟位移。
虚位移是一个想象出来的位移，用于计算力对物体的作用所做的功。
虚功是一个标量，它的单位是焦耳（J）。
2. 虚功原理的表述虚功原理是力学中的一个基本原理，它描述了一个力对物体的作用所做的虚功等于零。
换句话说，当物体处于平衡状态时，力对物体的作用所做的虚功总和等于零。
虚功原理可以通过以下公式表述：Σ虚功 = 0其中，Σ虚功表示所有力对物体的作用所做的虚功的总和。
根据虚功原理，当物体处于平衡状态时，所有作用在物体上的力对物体所做的虚功总和为零。
3. 虚功原理的应用虚功原理在力学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：3.1 弹簧的伸缩虚功原理可以用于分析弹簧的伸缩问题。
当一个物体施加一个力使弹簧伸长或缩短时，虚功原理可以帮助我们计算弹簧对物体所做的虚功。
根据虚功原理，弹簧对物体所做的虚功等于零，即力与虚位移的乘积为零。
通过这个原理，我们可以求解弹簧的伸长或缩短距离。
3.2 斜面上的物体虚功原理还可以应用于斜面上的物体。
当一个物体沿着斜面上升或下降时，虚功原理可以帮助我们计算斜面对物体所做的虚功。
根据虚功原理，斜面对物体所做的虚功等于零。
通过这个原理，我们可以求解物体在斜面上的运动状态。
3.3 摩擦力的分析虚功原理还可以用于分析摩擦力的作用。
当一个物体在受到摩擦力的作用下运动时，虚功原理可以帮助我们计算摩擦力对物体所做的虚功。
根据虚功原理，摩擦力对物体所做的虚功等于零。
通过这个原理，我们可以求解物体在摩擦力作用下的运动状态。
虚位移原理
例4-6 试求图示组合梁中支座A的约束反力。
F1 A
3m
B M
F2
4m
N
F3
4m
C D
解
8m
8m
11m
7m
11m
1）解除约束 2）虚设位移
sA
d sA A FA
1 Fs 1
a)
B
sM
F2 M
F3 N C D
s2
d s2
3）列虚功方程
ds1
FA sA F1 s1 F2 s2 F3 0 0
静 力 学
第四章 虚位移原理
盐城工学院力学课程组
第四章 虚位移原理
静
力
学
第一节
虚位移与虚功的概念
第四章 虚位移原理
第二节 虚位移原理
第四章
虚位移原理
虚位移原理是分析静力学的理论基础。
它应用功的概念建立任意质点系平衡的充要条件， 是解决质点系平衡问题的最一般的原理。 虚位移原理是研究静力学问题的另一途径。 对于具有理想约束的物体系统，由于未知的约束反 力不作功，应用虚位移原理求解常比列平衡方程 更方便。
B C
(2) 解除B处约束，代之以反力 FB ，并将其视为主动力。 A 由虚功方程，得
q
M
D
PsB FBsB 2qlsE M
其中
s E
l
A
0
l
l
2l q
C
sB sE
P
B
M
D
代入虚功方程，得
sB
FB
M ( P FB 2ql )sB 0 l
解得
sC
sE
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第十五章虚位移原理（静动法）
§15-1 约束、虚位移、虚功
一、约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方程称为约束方程。
1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。
2、定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定常约束。
3、其余分类
约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形式的约束称非完整约束，否则为完整约束。
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束），约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束。
二、虚位移
在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。
虚位移的表示方法：
ϕ
δδ,
x r 一般表示法
线位移
角位移
三、虚功
力在虚位移中作的功称虚功。
即：
r
F W δδ⋅=θ
δδsin x F W =()ϕ
δδF M W z =或
四、理想约束
如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。
∑∑=⋅==0
i Ni Ni N r F W W δδδ
§15-2 虚位移原理
一质点系在力的作用下处于平衡状态某质点受力如图示，且：
=+Ni i F F Ni
F i
F 0
=⋅+⋅=i Ni i i i r F r F W δδδ为该质点设定虚位移且
i r δi
r δ∑∑=⋅+⋅0
i Ni
i
i
r F
r F δδ且
=∴
∑i
W
δ虚功方程
虚位移原理
所表达出的原理
虚位移原理（虚功原理）：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。
()∑=++0
i zi i yi i
xi
z F y F x
F δδδ投影后的解析式为：
例1：图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅
直向上的力Ｆ，
求：支座Ｂ的水平约束力。
l
GE
DG
CB
CD
CE
AC=
=
=
=
=
=
解:解除B 端水平约束,以力代替,如图(b)Bx F 0
=+=G B Bx F y F x F w δδδθδθ
δδθδθ
θcos 3,sin 2sin 3,cos 2l y l x l y l x G B G B =-===由虚位移原理得：
各虚位移关系为：
带入虚功方程得：()0
cos 3sin 2=⋅+-θδθθδθl F l F Bx θ
cot F F Bx 2
3
=
如图在CG 间加一弹簧，刚度K ，且已有伸长量，仍求。
Bx F 0δ解法二：
在弹簧处也代之以力，如图（b)，其中
=⋅+⋅-⋅+⋅===G G G C C B Bx F G C y F y F y F x F W k F F δδδδδδ
θδθ
δθδθδθδθδcos 3,cos ,sin 2l y l y l x G C B ==-=θ
θθsin 3,sin ,cos 2l y l y l x G C B ===0
cos 3cos 3cos sin 2(00=+-+-θθδθδδθδθδθδθl F l k l k l F Bx 代入虚功方程得：
θ
δθcot cot 2
3
0k F F Bx -=解得：
例2：图所示椭圆规机构中，连杆AB 长为L ，滑块Ａ，Ｂ与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。
求：主动力与之间的关系。
B F A F
∑=⋅0
i i r F δ,
,B A r r δδ解：为A 、B 两处添加虚位移
=-B B A A r F r F δδ由虚位移原理得：
ϕ
δϕδsin cos A B r r =且0
cos =-∴
B B B A r F r F δδϕϕtan B A F F =∴
例3：如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩Ｍ与主动力Ｆ之间的关系。
解：为B 、C 两处添加虚位移
c
r δθδ,由虚位移原理得：
∑=-=0
c F r F M w δθδδ由图中关系有θ
δδsin e a r r =θ
θδδδδθθθδδ2sin ,sin h r r h OB r a C e ====θ
2sin Fh M =
例4:求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力。
解：解除A处约束，代之，给虚位移，如图（b）
F
A
2211=++-=s F M s F s F W A A F δϕδδδδ由虚位移原理得：
A M A A
s s s s s δδϕδδϕδδδδϕ81111,833,1=====8各虚位移间关系为：
A A M s s s s δδδδ14
112=⋅==8117474M F F F A 8114118321--=代入虚功方程得：。