波函数及其物理意义21页PPT

2.归一化条件
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任
意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以
应有：
9
||2 dV1
V
V | 0|2dV 1这称为波函数的归一化条件。
量子力学中的波函数具有一个独特的性质：波函 数与波函数/=c（c为任意常数）所描写的是粒 子的同一状态。
原因：粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数 在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大 小。如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍， 并不影响粒子在空间各点的几率。所以将波函数乘 上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
1）从波动性看，对光的衍射，空间某处光强与光波在 该处振幅平方成正比，衍射极大值 对应光振动振幅平 方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。
用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在衍 射极大值处，波函数的振幅平方＊具有极大值，在 衍射极小值处，波函数的振幅平方＊具有极小值。
2）从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极 大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的 几率最小。
可以认为在一个很小的体积元范围内波函数是相 同的，这样，有：
实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模
（振幅）的平方 ||2 与该点邻近体积元 dV的乘积， 正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 W。
W||2dV* dV * 是 的共轭复数。
由此可见，| |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子出
粒子出现的几率密度。
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说， 物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波 是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。
6
注意：在空间某处 r附近找到粒子的几率除和波
函数平方值大小有关外，还和这个区域的大小有关。
8
3.波函数应满足的条件
1.标准条件 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几
率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值 的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发 生突变，所以波函数还必须是连续的。
波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，
称为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连 续可微，且一阶导数也连续可微。
如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不 为零，则可以适当选取波Biblioteka Baidu数的系数，使这积分值 为1，这个过程称为波函数的归一化过程。
10
量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学中 同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不 同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。
波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现，微 观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的另 一个基本原理—态迭加原理表现出来。 3.态迭加原理
现的几率，称为几率密度。即： | |2
波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几 率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。
7
根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。
播放动画
微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数 正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的 概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质 运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是 一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状， 也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率 分布。
里写在成一 维(空r,间t)量。，波函数写成 (x,t)，在三维空间
1
1.自由粒子的波函数
自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中
作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。
对应的德布罗意波具有频率和波长： E , h
h
P
自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。
结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
经典理论在解释光和实物粒子、原子光谱及原子 能级时遇到了困难，德布罗意、薛定谔、海森伯、玻 恩、狄拉克等人建立了反映微观粒子规律的量子力学。
量子力学：研究物质波和物质相互作用的学科。
一、波函数
电磁波可以用电场强度和磁场强度在时间和空间的 变化来描述，机械波可以用质点的位移随时间变化来 描述。
物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来 描述，这个函数称为波函数，通常用来表示。
一个频率为、波长为沿x方向传播的单色平面波
的表达式为： (x,t)Aco2s(tx)
利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理量
来代替描述波动性的物理量，有：
2
(x,t)0co2h s(Etp)x
(x,t)0co2h s(Etp)x
根据尤金公式，有：
e i2(EtP)x
(x,t) 0e h
i (Etpx)
如果1，2，，n所描写的n 都是体系可能实现的状
态，那么它的线性迭加 cii （ci为任意常数） i 1
所描写的也是体系的一个可能的状态。
用电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在 叠加态下观测结果的不确定性。
11
单缝1使通过它的电
S•
1
DP
P1
A
子处于1态；单缝2 使其处于2态。
02 ||2 ＊
＊ 为的复共轭函数。
注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来 表达。不能用实数形式来表达。
在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的 形式，而是空间和时间和复杂函数。
下面要研究的问题是如何理解波和它所描写的粒子 之间的关系。
4
2.波函数的物理意义
为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先 提出来的。 光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较：
5
同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大 值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒 子的几率最小。
在空综间合某以处上的r波，动波和函粒数子观(r点,t，的)得平到方：正在比某于时粒刻子t，
在该时刻、该地点出现的几率。
玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释：
波函数模的平方|(r,t)|2代表时刻 t、在r处
0
0 为波函数的振幅。
这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的形
式，又包含有体现粒子性的物理量E和P，因此它描
述了微观粒子具有波粒二象性的特征。
对三维空间，沿矢径 r方向传播的自由粒子的波
函数为：
(r,t)0ei(Etpr)
3
(r,t)0ei(Etpr)
根据波动理论，波函数的强度正比于02。 利用复指数函数的运算法则，有：