第三节：向量的内积与施密特正交化过程

(2). 单位化（规范化）：取
1 2 r 1 ,2 , ,r , 1 2 r
T T T 例2 设 1 (1,0,1) , 2 (1,1,0) , 3 (0,1,1)
用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 解：取 1 1 (1, 0,1)T
；
(3).三角不等式： 以上性质证明留给读者。

，即为一单位向量。称将
单位化。
( , ) 证略。 (4).柯西不等式：
1
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由柯西不等式得
( , )
对于两非零向量 , 当
：


2


1
时，称两向量正交。这里显然等价于 ( , ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。 定义3 若 ( , ) 0 称 , 正交，记
定义6 设
X , Y R n则称线性变换
其行（列）向量是两两正交的单位向量 故为正交矩阵，故上述线性变换是正交 变换。上述线性变换代表平面上的一个 坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换 是正交变换 下面介绍正交变换的性质：1）.设 Y CX 为一正交变换，则
Y CX
X Y
Y AX 是正交变换。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,r
3 3

等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
(3 , 1 ) ( , ) 1 1 1 1 3 2 2 (0,1,1)T (1,0,1)T (1, 2, 1)T ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) 2 3 2
例4 证明线性变换
x cos x sin y y sin x cos y
是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
cos sin sin cos
即正交变换保持向量长度不变。2）设 为一正交变换，对任意
X 1 , X 2 R n Y1 CX1, Y2 CX 2
cos
2 a12 a2 a32 , a1b1 a2b2 a3b3
（设
a1b1 a2b2 a3b3 2 a12 a2 a32 b12 b22 b32
0, 0
为了今后应用的需要，将这些概念 及公式推广到n维向量。 1. 向量的内积 定义1 n n维向量空间 R 中任两个向量
。
以上证明留给读者。
定义2 设
(a1 , a2 ,
, an )T
2 an
向量的长度有下列性质： (1).非负性：
；
2 ( , ) a12 a2
0; 0当且仅当
。
0
称向量
，
的长度。长度为1的向量称单位向量。 设 0
0
1
(2).齐次性： k k
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一.向量的内积与施密特正交化过程 引言：在几何空间，我们学过向量的长 两向量夹角的概念，并由此定义两向量 的数量积
，
二次型
二次型化标准型
cos
，
利用坐标分别有下面计算公式：设 设 (a1 , a2 , a3 )T , (b1 , b2 , b3 )T 则
为两两正交的非零向量， 称其为正交向量组。
。
1 i j (i , j ) 0 i j
i 1,2, , r
定理1 设 1 , 2 ,
, r 为正交向量组，则
1 , 2 , , r 是线性无关的。
T T 例1 求与向量 1 (1,1,1,1) , 2 (1,0,1,0)
3
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令
T 1 T 2 ( , , A 1 2 T n
, n )
例3令
由上式不难得到：A为正交矩阵
1, i j 1, ( , ) ( i , j ) 0. i j 0.
得齐次线性方程组
都正交的向量集
2
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2.施密特正交化方法 设
1 , 2 ,
,r
，
1 1
2 2
( 2 , 1 ) 1 ( 1 , 1 )
是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组
，
3 3
，
( 3 , 1 ) ( , ) 1 3 2 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
2 2
( 2 , 1 ) 1 1 1 1 1 (1,1,0)T (1,0,1)T ( ,1, )T (1, 2, 1)T ( 1 , 1 ) 2 2 2 2
1 , 2 , , r
显然
是正交规范向量组，且 仍与
1 , 2 , , r
1 , 2 ,
x1 x2 x3 x4 0 x1 x3 x4 0
T T 解得 x k1 (1,0,1,0) k2 (1,0,0,1)
都正交的向量集。 解：设与 1 , 2 都正交的向量为 即为与
1 , 2
x ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 由 1T x 0 2T x 0
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间 内积具有下列性质： （交换性）; (1)( , ) ( , )
(2)( k , ) k ( , ) ( , k ) (3)( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
则有
( X1 , X 2 ) (Y1 , Y2 )
即正交变换下向量内积不变。由于正交 变换保持向量长度、内积不变，因而保 持两向量夹角及正交性不变，因此施以 正交变换后图形的几何形状不变，因此 可利用正交变换研究图形的几何性质。
4
, 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
由此可定义两非零向量的夹角：
；
cos
( , )
或

arc cos
( , )

又零向量与任何向量看作是正交的，且
。
因此可利用内积定义两向量正交。 定义4 设向量组
1 ,2 , , r
如果正交向量组中。每个向量还是单位向量 量则称其为标准正交向量组或正交规范向 量组。如它们还是向量空间的基底则分别称 其为正交基或标准（规范）正交基。即正交 规范组（基）满足
T i T j
i j i j
A
1 2 1 2 0 0
0 0 1 2 1 2
1 2 1 2 0 0
0 0 1 2 1 2
验证A为正交矩阵 解：因列向量组为两两正交 的单位向量，故为正交矩阵 。
即A的行（列）向量是两两正交的单位向量 即是 Rn 的正交规范基）
k为数（性质(2)， (3)称单线性）
（
(a1 , a2 , , an )T , (b1 , b2 , , bn )T
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
0 (4)( , ) 0; ( , ) 0 当且仅当
2 ( 1,1,1)T 3
1 单位化得
1
1
1
1 (1, 0,1) 2
1 2 (1, 2, 1) 2 2 6
3
1
1
3. 正交矩阵与正交变换 定义5方阵A满足
AAT I
则称A为正交矩阵。由定义不难得到： A为正交矩阵
。
3
1 3 ( 1,1,1) 3
AT A1
1 , 2 ,
, r 使其与 1 , 2 , , r 等价。
其作法分两步(1).正交化，令
， ……
r r
( r , 1 ) ( , ) 1 r 2 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )

( r , r 1 ) r 1 ( r 1 , r 1 )