双因素方差分析

1 r rs i 1

j 1
s
ij
1 i. ij s j 1 r 1 . j ij r i 1
s
, i 1, 2...r , i 1, 2...r
, j 1, 2...s
i i.
j . j , j 1, 2...s
j 1 i 1 j 1
s
r
s
诸 ijk 相互独立，均服从
N (0, 2 ) 分布
i 1, 2, , r j 1, 2, , s k 1, 2, , t
这就是有交互作用的方差分析模型。
有交互作用的双因子方差分析:假设
因子A
原假设: ������ H0: 1 2 r 0 ������ 备择假设: ������ H1: 至少一个 i 不同于0 因子B ������ 原假设: ������ H0: 1 2 s 0 ������ 备择假设: ������ H1: 至少一个 j 不同于0 交互作用 原假设: ������ H0:对一切i,j有 ij ������ 备择假设: H1: 至少一个 ij不同于0
有交互作用的双因素方差分析
若 ij i j 则我们称
ij ij i j
为因子A的第i个水平与因子B的第j个水平的交互作用， 它们满足关系式：

i 1 s
r
ij
0, j 1, 2, , s 0, i 1, 2, , r
两种情况分类
分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试 验结果的影响。 ������ 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的， 分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时 的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分 析或无重复双因素方差分析(Two-factor without replication)。 ������ 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影 响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影 响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因 素方差分析或可重复双因素方差分析(Two-factor with replication )。

j 1
ijLeabharlann 为研究交互效应是否对结果又显著影响，那么在 （Ai , Bj）水平组合下至少要做t( 2)次试验，记其结果 为 yijk ，则
yijk i j ij ijk

i 1
r
i
0, j 0, ij 0, ij 0 （模型一）
称 为一般平均， i 为因子A的第i个水平的效 j 为因子B的第j个水平的效应，它们显然满足 应， 关系式：

i 1
s
r
i
0
0


j 1
j
双因素方差分析的基本假定
每个总体都服从正态分布
������ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正 态分布总体的简单随机样本 各个总体的方差必须相同 ������ 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总 体中抽取的 观察值是独立的
B（温度） A（浓度）
B1 B2 B3 B4
14，10 11，11 13，9 10，12
A1
A2 A3
（24）（22） （22） （22）
9，7 10，8 7，11 6，10
90
8100
68 92
4624 8464
（16）（18） (18)
5,11 13,14 12,13
(16)
14,10
(16) (27)
i 1 j 1
r
s
2
S A , SB , S AB 从中可知 Se 反映了误差的波动； 除反映了误差的波动外还反映了因子A的效应的 差异，因子B的效应的差异，交互效应的差异所 引起的波动。我们分别称它们为误差的偏差平方 和，因子A的偏差平方和，因子B的偏差平方和 以及交互作用A*B的偏差平方和。 同理可计算各偏差平方和的自由度，它们分 别是
1 yij yijk , yij yij t k 1
s t
t
i 1, 2, , r , j 1, 2, , s
1 yi yijk , yi yi , i 1, 2, , r st j 1 k 1
1 y j yijk , yj y j , j 1, 2, , s rt i 1 k 1
双因素方差分析
(two-way analysis of variance)
例子
有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析 彩电的品牌(品牌因素)和销售地区(地区因素) 对销售量是否有影响，对每种品牌在各地区 的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售 地区对彩电的销售量是否有显著影响？ (α=0.05)
不同品牌的彩电在各地区的销售量数据
FAB
S AB (r 1)(s 1) Se rs(t 1)
e
Se ST SA SB SAB
ST yijk 2 ny
i 1 j 1 k 1 r s t 2
rs(t 1) Se rs(t 1)
总 和
rst 1
有交互作用的双因子方差分析例题
在某化工生产中为了提高收率，选了三 种不同浓度，四种不同温度做试验。在同一 浓度与温度组合下各做两次试验，其收率数 据如下面计算表所列（数据均已减去75）。 试在0.05显著性水平下检验不同浓度、不同 温度以及它们间的交互作用对收率有无显著 影响。
0
综上所述
有交互作用的双因子方差分析的原假设为：
H 01 : 1 2 r 0 H 02 : 1 2 s 0 H 03 :
对一切i,j有
ij 0
平方和分解
首先引入下述符号：
1 r s t y yijk , 其中n rst n i 1 j 1 k 1
FB F1 (s 1, rs(t 1)) 拒绝 H 02
FAB F1 ((r 1)(s 1), rs(t 1))
拒绝 H 03
方差分析表
来 源 平方和 自由度 均方和 F比
A
y 2i 2 S A ny i 1 st
r
r 1
s 1
SA (r 1)
SB (s 1)
FA FB
S A (r 1) Se rs(t 1)
B
SB
j 1
s
y 2j rt
s
ny
2
SB (s 1) Se rs(t 1)
A* B
S AB
i 1 j 1
r
yij 2 t
ny S A SB
2
(r 1)(s 1) SAB (r 1)(s 1)
rs(t 1), r 1,
r 1 ,
s 1,
(r 1)(s 1)
构造统计量
S A (r 1) 在 H 01为真时， FA F (r 1, rs(t 1)) Se rs(t 1)
S B ( s 1) 在 H 02为真时， FB F ( s 1, rs(t 1))
在 H 03为真时， F
A B
Se rs(t 1) S AB (r 1)( s 1) Se rs (t 1)
F ((r 1)( s 1), rs(t 1))
F-检验
根据上述构造的三个统计量，按照显著性假设 检验程序，对给定的显著性水平 ，当 当
当
FA F1 (r 1, rs(t 1)) 拒绝 H 01
r t
由模型一可知：
y yij i j ij ij yi i i y j j j
总的偏差平方和可以作如下分解：
ST ( yijk y)2
i 1 j 1 k 1 r s t
(25)
(24)
y j
56
67
65
62
3136 4489 4225 3844
( yijk yij )2 st ( yi y)2
i 1 j 1 k 1 i 1
r
s
t
r
rt ( yj y )2
j 1
s
t ( yij yi yj y)
i 1 j 1
r
s
2
Se S A SB S AB
地区因素 品牌因素 地区1 品牌1
品牌2 品牌3 品牌4
地区2 350
368 323 280
地区3 343
363 353 298
地区4 340
330 343 260
地区5 323
333 308 298
365
345 358 288
符号
设在某实验中，有二个因子在变动。因子A取r个不同水平 A1 , A2 , , Ar因子 j B取s个不同水平 B1 , B2 , , BS,,在（ Ai , B ） , 2 , 水平组合下的实验结果独立地服从N（ ij ）分布。 为了研究方便起见，如单因子方差分析中那样把参数改 变一下，并令
其中各偏差平方和表达式如下：
Se ( yijk yij )
i 1 j 1 k 1 r
r
s
t
2
S A st ( yi y )
i 1 s
2
S B rt ( y j y ) 2
j 1
S A B t ( yij yi y j y )