配方法 、分离常数法

函数的值域(配方法，分离常数法)

一、配方法。

例1．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例2．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。

例3．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得： 2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。

练习．求下列函数的最大值、最小值与值域：

①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；⑤

y =。

【答案】①[3,)-+∞；②[2,1]-；③[2,1]-；④[3,6]-；○6[0,2]

二、分离常数法

适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法

例4：求函数125

x y x -=+的值域。 解：∵177(25)112

222525225

x x y x x x -++-===-++++，

∵7

2025x ≠+，∴

12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠- 适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式。

例5：求函数1

22+--=x x x x y 的值域。 分析与解：观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用分离变量法；则有

22

221111x x x x y x x x x --+-==-+-+ 21113()24x =--+。 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,4

3)(x f 。 注意：在本题中若出现应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母.所以4()0,3g x ⎛⎤∈ ⎥⎦

⎝故)1,31⎢⎣⎡-∈y 。 1．求函数1

32222++++=x x x x y 的值域。 【答案】．10(2,

]3