第五章几何作图演示文稿
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• 不可能问题：是工具问题，只要添用其 他工具，问题就解决了。 • 无解：是解的性质问题，必须扩充解的 意义。
5.解作图题的步骤
• （1）已知：详细写出题设条件，并用相应符号图形表 示。 • （2）求作：说明要作的图形是什么，该图形应具备 的题设条件。 • （3）分析：寻找作图线索，假定图形已经完成，画 出符合条件的草图，分析已知、未知联系，从而分析 出作图的程序和方法。 • （4）作法：依次叙述作图方法，应以公法或基本作 图法为依据。 • （5）证明：作图之后验证所作图形满足题设条件。 • （6）讨论：对作图题所得解的多少，是否定位，与 已知条件的关系进行探讨。
为什么要有这一严格限制呢？
• （1）几何中的直线，圆以及由它们（或部 分）组成的图形，仅用尺、规两种工具， 大多数作图题都能得到解决。 • （2）几何式演绎推理的科学，所推得结论 必须一致，如果作图工具不严格限制，由 于所用的工具不同，那么研究同一问题就 可能产生不同结果，也就无法判定谁是谁 非。 • （3）初等几何与2000多年前欧几里德 《几何原本》基本思想方法相同。在《原 本》中，就有关于作图的三个公设：①两 点之间可连成一条线段；②线段可向两方 无限延长；③以任一点为中心，任意长为 半径可以作圆。可看出前两条公设是直尺 的作用，后一公设是圆规的作用，故给作 图工具如此限制，使有其历史根源的。
• 如对“弦的垂直平分线平分其所对的弧”的 应用 • ①作图题“平分已知弧”
• 可根据上述定理，作此弧所对的弦的垂直平分线， 因而平分弧，既完成了作图问题，又加深理解了定 理。
• ②过圆内一已知点求作一弦使其被此点平分
• 连接已知点与圆心，并过已知点作圆心与已知点所 在直线的垂线，交圆于两点，两点间的线段为所求 的弦。在这里，不仅半径垂直于弦，反过来，弦也 垂直半径。
即 ABC 合乎所设条件
讨论：解的情况主要取决于点B的存在与 否以及数目多少和 角的取值
6.常用的作图方法
• • • • 1.轨迹交截法（交轨法） 2.三角形奠基法 3.几何变换法 4.代数分析法
谢谢大家
B
则顶点 C 就确定了。顶点
以 C 为圆心， a 为半径的圆上。
作法：作 XAY , 在射线 AX 上截取 AC b ， 以 C 为圆心，以 a 为半径作圆，与射线 AY 交于点 B ，
则 ABC 为所求作的三角形。
证明：由作法，有
A , AC b , BC a
• 所谓完成一个几何作图，就是说能把问题归结 为有限次的几个认可的简单作图。 • ①通过两已知点可作一条直线； • ②已知圆心和半径可作一圆； • ③若两已知直线，或已知直线和一已知圆，或 两已知圆相交，则可作出其交点。 • 约定：在已知直线上或直线外，均可取不附加 任何特殊性质的点。 • ————作图公法 • 作图公法是尺规作图的理论依据，根据公法， 直尺和圆规只能有画直线、作圆、求交点的功 能。
• 4.2不可能问题：几何作图因受尺规两种工 具和作图公法的限制经过有限次使用尺规， 有些问题无法解决，这样的问题叫不可能 问题。 • （如：三等分任意角、倍立方、化圆为方）
4.3不定问题和无解问题
• 不定问题：在作图问题中，有时因条件不够， 适合所设条件的图形无穷。
• 例如：已知顶角和底边，求作一个三角形 • 无解问题：在作图问题中，有时因条件 太多（或特殊），要求全部适合所设条 件的图形往往无法办到。 • 例如： 若已知三角形三边
• 例如：已知两边及其中一边的对角，求做三角 形。
wk.baidu.com设给定线段 a , b 及角
ABC 已作出，
求作 ABC , 使 BC a , CA b , A
分析：假设 A 为已知，故可先作 此角，顶点 A 就确定了。 AC b , B 应在
C a
b
A
在角的一边上截取
• 3.作图成法
• 根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图 叫做作图成法。 • 列举作图成法： • ①以定射线为一边作一角（线段）等于给定的角（线 段）； • ②求作三角形，已知 • ⅰ三边；ⅱ两边及其夹角；ⅲ两角及其夹边 • ③过一点（直线上或外）作已知直线的垂线； • ④过一点（直线上或外）作已知直线的平行线； • ⑤平分一角； • ⑥平分一弧；
• ②几何作图是培养学生分析问题和解决问题 能力、动手操作能力的重要途径之一。解作 图题的全部分析和讨论过程，使学生利用所 学命题来解决具体问题，要求学生具有一定 程度的主动性和独立性，使他们体味到学以 致用。
• 2.作图工具与公法
• 传统的几何作图使用的工具，仅限于无刻度 的直尺和圆规两种，并在有限次步骤中作出 合乎预先给定条件的图形，因而又称为尺规 作图。
• • • • • • •
⑦作定线段的中垂线； ⑧分一线段成若干等分； ⑨作线段的和或差，作角的和或差； ⑩已知弓形的弦长和其内接角，求作弓形弧 （11） 内分或外分一线段成已知比； （12）作三已知线段的第四比例项； （13）过圆上或圆外一点作圆的切线，作两 圆的内、外公切线。 • （14）作两已知线段a、b 的等比中项或比例 中项 a : x x : b • （15）已知线段a、b，求作线段 x a 2 b 2 • （16）已知线段a、b，求作线段 2 2
a , b , c 求作三角形
若 a b c ，则无解
作图的解的个数
• 按照一定步骤作出一个合于所设条件的 图形，就说得到这个问题的一个解。
• 凡定位作图问题能作出几个合于条件的 图形，就说有多少个解。 • 在不定位作图，凡适合条件但彼此全等 的三角形，只算一个解。
无解和不可能问题的区别
x a b
(a b)
• 4.定位作图与不定位作图
• 4.1可能问题：在限制尺规两种工具的条件下，能求得 其解答的作图题叫做作图可能问题。 • 根据位置不同分为： • ①定位作图：必须把求作图形作在指定位置 • （如已知三角形作内接正方形，一边在底边，其它两顶 点分别在其它两边） • ②不定位（活为）作图:求作的图形，只要满足一定的 条件，至于画在什么地方可以不计。 • （如已知三角形的底边、高和顶角，求作三角形）
几何作图的基本知识
• • • • • • 1.几何作图的意义 2.作图工具与公法 3.作图成法 4.定位作图与不定位作图 5.解作图题的步骤 6.常用的作图方法
• 1.几何作图的意义
• 作图题：假设给了一些条件，而设法求作具备 这些条件的图形的问题。 • 几何作图的意义主要表现在：
• ①能帮助学生加深理解和牢固掌握中学几何的基本理 论。同时，几何作图是培养学生几何观念的重要手段， 通过图形的直观性，使抽象的几何命题与直观的现实 关系建立联系，在一定程度上克服学生机械记忆几何 定理条文，增强意义识记，提高学生记忆的水平和持 久性。
5.解作图题的步骤
• （1）已知：详细写出题设条件，并用相应符号图形表 示。 • （2）求作：说明要作的图形是什么，该图形应具备 的题设条件。 • （3）分析：寻找作图线索，假定图形已经完成，画 出符合条件的草图，分析已知、未知联系，从而分析 出作图的程序和方法。 • （4）作法：依次叙述作图方法，应以公法或基本作 图法为依据。 • （5）证明：作图之后验证所作图形满足题设条件。 • （6）讨论：对作图题所得解的多少，是否定位，与 已知条件的关系进行探讨。
为什么要有这一严格限制呢？
• （1）几何中的直线，圆以及由它们（或部 分）组成的图形，仅用尺、规两种工具， 大多数作图题都能得到解决。 • （2）几何式演绎推理的科学，所推得结论 必须一致，如果作图工具不严格限制，由 于所用的工具不同，那么研究同一问题就 可能产生不同结果，也就无法判定谁是谁 非。 • （3）初等几何与2000多年前欧几里德 《几何原本》基本思想方法相同。在《原 本》中，就有关于作图的三个公设：①两 点之间可连成一条线段；②线段可向两方 无限延长；③以任一点为中心，任意长为 半径可以作圆。可看出前两条公设是直尺 的作用，后一公设是圆规的作用，故给作 图工具如此限制，使有其历史根源的。
• 如对“弦的垂直平分线平分其所对的弧”的 应用 • ①作图题“平分已知弧”
• 可根据上述定理，作此弧所对的弦的垂直平分线， 因而平分弧，既完成了作图问题，又加深理解了定 理。
• ②过圆内一已知点求作一弦使其被此点平分
• 连接已知点与圆心，并过已知点作圆心与已知点所 在直线的垂线，交圆于两点，两点间的线段为所求 的弦。在这里，不仅半径垂直于弦，反过来，弦也 垂直半径。
即 ABC 合乎所设条件
讨论：解的情况主要取决于点B的存在与 否以及数目多少和 角的取值
6.常用的作图方法
• • • • 1.轨迹交截法（交轨法） 2.三角形奠基法 3.几何变换法 4.代数分析法
谢谢大家
B
则顶点 C 就确定了。顶点
以 C 为圆心， a 为半径的圆上。
作法：作 XAY , 在射线 AX 上截取 AC b ， 以 C 为圆心，以 a 为半径作圆，与射线 AY 交于点 B ，
则 ABC 为所求作的三角形。
证明：由作法，有
A , AC b , BC a
• 所谓完成一个几何作图，就是说能把问题归结 为有限次的几个认可的简单作图。 • ①通过两已知点可作一条直线； • ②已知圆心和半径可作一圆； • ③若两已知直线，或已知直线和一已知圆，或 两已知圆相交，则可作出其交点。 • 约定：在已知直线上或直线外，均可取不附加 任何特殊性质的点。 • ————作图公法 • 作图公法是尺规作图的理论依据，根据公法， 直尺和圆规只能有画直线、作圆、求交点的功 能。
• 4.2不可能问题：几何作图因受尺规两种工 具和作图公法的限制经过有限次使用尺规， 有些问题无法解决，这样的问题叫不可能 问题。 • （如：三等分任意角、倍立方、化圆为方）
4.3不定问题和无解问题
• 不定问题：在作图问题中，有时因条件不够， 适合所设条件的图形无穷。
• 例如：已知顶角和底边，求作一个三角形 • 无解问题：在作图问题中，有时因条件 太多（或特殊），要求全部适合所设条 件的图形往往无法办到。 • 例如： 若已知三角形三边
• 例如：已知两边及其中一边的对角，求做三角 形。
wk.baidu.com设给定线段 a , b 及角
ABC 已作出，
求作 ABC , 使 BC a , CA b , A
分析：假设 A 为已知，故可先作 此角，顶点 A 就确定了。 AC b , B 应在
C a
b
A
在角的一边上截取
• 3.作图成法
• 根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图 叫做作图成法。 • 列举作图成法： • ①以定射线为一边作一角（线段）等于给定的角（线 段）； • ②求作三角形，已知 • ⅰ三边；ⅱ两边及其夹角；ⅲ两角及其夹边 • ③过一点（直线上或外）作已知直线的垂线； • ④过一点（直线上或外）作已知直线的平行线； • ⑤平分一角； • ⑥平分一弧；
• ②几何作图是培养学生分析问题和解决问题 能力、动手操作能力的重要途径之一。解作 图题的全部分析和讨论过程，使学生利用所 学命题来解决具体问题，要求学生具有一定 程度的主动性和独立性，使他们体味到学以 致用。
• 2.作图工具与公法
• 传统的几何作图使用的工具，仅限于无刻度 的直尺和圆规两种，并在有限次步骤中作出 合乎预先给定条件的图形，因而又称为尺规 作图。
• • • • • • •
⑦作定线段的中垂线； ⑧分一线段成若干等分； ⑨作线段的和或差，作角的和或差； ⑩已知弓形的弦长和其内接角，求作弓形弧 （11） 内分或外分一线段成已知比； （12）作三已知线段的第四比例项； （13）过圆上或圆外一点作圆的切线，作两 圆的内、外公切线。 • （14）作两已知线段a、b 的等比中项或比例 中项 a : x x : b • （15）已知线段a、b，求作线段 x a 2 b 2 • （16）已知线段a、b，求作线段 2 2
a , b , c 求作三角形
若 a b c ，则无解
作图的解的个数
• 按照一定步骤作出一个合于所设条件的 图形，就说得到这个问题的一个解。
• 凡定位作图问题能作出几个合于条件的 图形，就说有多少个解。 • 在不定位作图，凡适合条件但彼此全等 的三角形，只算一个解。
无解和不可能问题的区别
x a b
(a b)
• 4.定位作图与不定位作图
• 4.1可能问题：在限制尺规两种工具的条件下，能求得 其解答的作图题叫做作图可能问题。 • 根据位置不同分为： • ①定位作图：必须把求作图形作在指定位置 • （如已知三角形作内接正方形，一边在底边，其它两顶 点分别在其它两边） • ②不定位（活为）作图:求作的图形，只要满足一定的 条件，至于画在什么地方可以不计。 • （如已知三角形的底边、高和顶角，求作三角形）
几何作图的基本知识
• • • • • • 1.几何作图的意义 2.作图工具与公法 3.作图成法 4.定位作图与不定位作图 5.解作图题的步骤 6.常用的作图方法
• 1.几何作图的意义
• 作图题：假设给了一些条件，而设法求作具备 这些条件的图形的问题。 • 几何作图的意义主要表现在：
• ①能帮助学生加深理解和牢固掌握中学几何的基本理 论。同时，几何作图是培养学生几何观念的重要手段， 通过图形的直观性，使抽象的几何命题与直观的现实 关系建立联系，在一定程度上克服学生机械记忆几何 定理条文，增强意义识记，提高学生记忆的水平和持 久性。