五年级奥数小学数学培优第6讲巧解余数和同余问题

第___讲巧解余数与同余问题

第一节余数

方法和技巧：

（1）被除数=商×除数+余数。

（2）借助约数和倍数的知识。

上面两个性质是解题的关键。

例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。

做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？

例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？

做一做2：两数相除，商是498，余数是3。那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？

例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。求这两个数。

做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。问：被除数是多少？

例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？

做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？

A B C D E F G

___________________________________

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31 32 33 34 35

36 37 38 39 …

例5:把化为循环小数，问：小数点后1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？

做一做5：问：化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？

例6:某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？

做一做6：一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。求这个自然数能取得的最小值。

例7:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和为25,那么这三个余数中最小的数是多少?

巩固练习：

1、填空：

（1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数__________________。

（2）被2,3,5除都余1，且不等于1的最小整数是_______________。

（3）有一队民兵在操场上列队，只知道民兵人数在90至110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，则共有民兵_______人。

（4）五（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么体育课的同学最少有________名。

（5）一个教练数田径队的学生，每4个一数，最后剩下2人；每5个一数，最后剩下1人。田径队女生比男生多，女生有15人，则男生有__________人。

（6）某会议有代表不到200人，分住房时，每5人一间多3人；吃饭时，每9人一桌少一人；开小组会时，每7人一组多6人，那么到会的代表有_______人。

（7）一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是_______。

（8）被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数是________。

2、1～100中的哪个自然数被3和5除余1，且能被7整除？

3、一个最小自然数既能被3整除又能被5整除，同时它被7除的余数是4。试求这样的自然数中的最小数。

4、小刚在一次除法计算时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数相同。问：除数是多少？

5、一个自然数被5,6,7除时余数都是1，且在10000以内，问：这样的数共有多少个？

6、除107后，余数为2的两位数有哪些？

7、将1234567891011121314……一直写到2005个数码，这个2005位数除以9的余数是多少？

8、有一串数字1,2,4,7,11,16,22,29，…这串数的组成规律是第2个数比第1个数多1，第3个数比第2个数多2，第4个数比第3个数多3，以此类推。那么这串数左起第1992个数除以5的余数是多少？

第___讲巧解余数与同余问题

第二节同余

方法和技巧：

性质1：如果整数a,b对于模n同余，那么它们的差（a-b）或(b-a)一定能被n整除。

性质2：若a≡b(mod n),c≡d(mod n),则（a+c）≡(b+d)(mod n)。

性质3：若a≡b(mod n),c≡d（mod n），则a×c≡b×d(mod n)。

性质4：若a≡b(mod n),m为大于1的自然数，则a m≡d m(mod n)。

例1：乘积17×354×409×672除以13的余数是多少？

做一做1：求723588+5770和723588×5770除以11的余数。

例2:73，216,227被某个数b除的余数相同，那么，108被这个数b除的余数是多少？

做一做2：有一个大于1的整数，它除967,1000,2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

例3：有一列数，第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是它前两个数的和。问：这列数的第1999个数被3除所得的余数是多少？

做一做3：有一串数1,1,2,3,5,8，…从第三个数起，每个数都是它前两个数的和。问：在这串数的前1999个数中，有多少个是5的倍数？

例4：今天是星期二，问：再过991999天是星期几？

做一做4：今天是星期五，问：再过365364天是星期几？

例5:6张卡片分别标上1193,1258,1842,1866,1912,2494六个数。甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲手中卡片上的数之和是乙手中卡片上的数之和的2倍，问：丙手中卡片上的数是多少？

做一做5:8个盒子，各盒内分别装有9,7,24,28,30,31，33,44块奶糖。甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走。已知乙、丙取到的糖的块数相同，且为丁的2倍，问：甲取走盒子中有多少块奶糖？

例6：求33335555

+5555

3333

被7除的余数。