五年级奥数小学数学培优第6讲巧解余数和同余问题
奥数讲义数论专题：余数及同余
华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
同余法解题完整版
同余法解题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
小学五年级奥数—数论之同余问题
小学五年级奥数—数论之同余问题数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数-巧解整除中的同余问题
小学奥数-巧解整除中的同余问题1.整数a除以整数b（b≠0），商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，b能整除a。
2.a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和除以c的余数。
3.a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积除以c的余数。
4.若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。
5所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称做同余问题。
精讲1：甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数得商11余32，求甲、乙两数。
分析：解答这样的问题，首先要根据除法的意义，理顺被除数、除数、商和余数之间的关系，即被除数=商×除数+余数。
因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088。
解：乙=（1088－32）÷（11+1）=88 甲=1088-88=1000精讲2：求478×296×351除以17的余数。
分析：先求出乘积再求余数，计算量较大，可以根据同余定理“a 与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积除以c的余数”，先分别计算出各因数除以17的余数，再求出余数之积除以17的余数。
解：478÷17=28 (2)296÷17=17 (7)351÷17=20 (11)2×7×11÷17=9 (1)精讲3：有一个大于1的整数，除45、59、101所得的余数相同，求这个数。
分析：根据同余定理“若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除”，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
解：101－45=56 59－45=14 （56,14）=1414的约数有1、2、7、14，所以这个数可能为2、7、14。
小学数学培优之 同余问题
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除．（2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.【例 3】 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？【例 4】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例 5】 两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ⨯．例题精讲【例 6】现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。
小学奥数—数论之同余问题
数论---同余问题余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。
定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。
则35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。
定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
五年级奥数尾数和余数.docx
第 6 讲尾数和余数一、知要点自然数末位的数字称自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫做余数。
尾数和余数在运算是有律可的，利用种律能解决一些看起来无从下手的。
二、精精【例 1】写出除 213 后余 3 的全部两位数【思路航】因 213=210＋ 3. 把 210 分解因数： 210=2× 3× 5× 7，所以，符号目要求的两位数有 2×5=10，2× 7=14，3× 5=15，3× 7=21.5 × 7=35，2× 3× 5=30，2× 3×7=42. 一共有 7 个两位数。
1：1.写出除 109 后余 4 的全部两位数。
2.178 除以一个两位数后余数是3. 适合条件的两位数有哪些？3.写出除 1290 后余 3 的全部三位数。
【例 2】（ 1） 125× 125×125×⋯⋯× 125[100 个 125] 的尾数是几？（ 2）（ 21× 26）×（ 21× 26）×⋯⋯×（ 21× 26）[100 个（ 21× 26） ] 的尾数是几？【思路航】（ 1）因个位 5 乘 5，的个位仍然是 5，所以不管多少个 125 相乘，个位是5；（ 2）每个括号里21 乘 26 的个位是就行了。
因个位 6 乘 6，的个位仍然是6，我只要分析100 个 6 相乘，的尾数是几6，所以不管多少个（21×26）乘，的个位是6。
2：1.21 ×21× 21×⋯⋯× 21[50 个 21] 的尾数是几？2.1.5 × 1.5 ×1.5 ×⋯⋯× 1.5[200 个 1.5] 的尾数是几？3.（ 12× 63）×（ 12× 63）×（ 12×63）×⋯⋯×（ 12× 63） [1000 个（ 12× 63） ]的尾数是几？【例 3】（ 1） 4×4× 4×⋯× 4[50 个 4] 的个位数是几？（ 2） 9×9× 9×⋯× 9[51 个 9] 的个位数是几？【思路航】（ 1）我先列前几个 4 的，看看个位数在怎化， 1 个 4 个位就是4；4× 4 的个位是 6；4×4× 4 的个位是 4；4×4× 4× 4 的个位是 6⋯⋯由此可，的尾数以“ 4， 6”两个数字在不断重复出。
五年级奥数同余
五年级奥数同余同余是数论中的一个重要概念，也是五年级奥数中的一个重要知识点。
同余可以用来描述两个数在除以某个数后的余数相等的情况。
在奥数中，同余常常被用来解决一些数学问题，如整数分割、方程求解等等。
同余的概念最早可以追溯到中国古代。
在中国古代，人们用竹签来进行记数。
当竹签的根数达到某个固定的数目后，人们就用一根新的竹签来继续记数。
这样，每个竹签的根数都是相同的，它们之间存在着同余的关系。
在数学中，同余可以用符号≡来表示。
如果两个整数a和b满足a 与b除以某个正整数m所得的余数相等，即a≡b(mod m)，则称a 与b同余于模m。
例如，当a=5，b=12，m=7时，可以得到5≡12(mod 7)，即5与12同余于模7。
同余有一些重要的性质。
首先，同余具有传递性。
如果a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。
其次，同余具有交换性。
即a≡b(mod m)等价于b≡a(mod m)。
此外，同余还具有加法性和乘法性。
即如果a≡b(mod m)和c≡d(mod m)，那么可以推出a+c≡b+d(mod m)和ac≡bd(mod m)。
在五年级奥数中，同余常常被用来解决一些整数分割的问题。
例如，有一个正整数n，要求将它分割成若干个数的和，且这些数要满足同余于模m。
我们可以通过同余来解决这个问题。
首先，我们可以用n除以m，得到商q和余数r。
然后，我们可以将n分割成q个数的和，每个数都是m。
最后，将余数r加入其中，即可得到一种满足条件的分割方式。
同余还可以用来解决一些方程求解的问题。
例如，求解方程2x≡1(mod 3)。
我们可以通过观察得到，当x=2时，2x除以3的余数为1，满足方程的要求。
因此，方程的解为x≡2(mod 3)。
除了以上的应用，同余还有许多其他的应用。
例如，在密码学中，同余被广泛用于加密和解密的过程中。
同余在数论、代数、密码学等领域都有广泛的应用，具有重要的理论和实际意义。
小学五年级奥数—数论之同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
同余法解题
五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201 ×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
五年级奥数同余问题
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：28812.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？解析：被除数是424，除数是79.3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来的除数。
解析：除数是10.4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.6.求413除以5的余数。
解析：1.7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？解析：5.8. ÷7的余数是多少？解析：0.9.……199200除以9的余数是________;解析：3.10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?解析：711.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .。
小学五年级奥数课件 同余问题
1. 带余除法表达式 2、复习余数定理. 3、同余问题初步.
本讲主线
1、带余除法被除数÷除数＝商…余数 一般地,A÷B＝c…d d=0 整除 D≠0 余数 2. 被除数－余数＝除数×商.
小练习（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ★ ）
1013除以一个两位数,余数是12. 求所有符合条件的两位数.
减余数,变整除, 1013-12=1001 1001=7×11×13 那么所有的两位数有11,13,77,91 因为“余数小于除数”, 所有,只有13,77,91符合
余5×余6+余0×余1,2007÷7=…5
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
014年4月13日(星期日)是小学“希望杯”全国数学邀请赛举行 复赛的日子,那么这天以后的第2014＋4×13天是星期
．
2014÷7,余数5 4÷7,余数是4 13÷7余数是6 根据余数定理, 5+4×6,除以7的余数是1 所以,之后的第2014+4×13天是一周。
知识链接
同余问题：
若a,b除以c的余数相同, 那么, (a－b)能被c整除 称a,b对于模c同余用 “同余式”表示为a≡b(modc)
例如,23、13除以5的余数都是3 那么,(23－13)可以被5整除.
例题【四】（★ ★ ★ ）
学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将 这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同. 请问学校共有多少个班？
拓展
用一个数除200余5,除300余1,除400余10,这个数是多 少?
13 195 299 390 15 23 30
200÷A=…5 300÷A=…1 400÷A=…10
知识链接
余数的三大性质： ⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积
小学奥数知识点总结：余数、同余与周期
以下是为⼤家整理的关于⼩学奥数知识点总结：余数、同余与周期的⽂章，希望⼤家能够喜欢！
余数、同余与周期
⼀、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
⼆、同余的性质：
①⾃⾝性：a≡a(modm)；
②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；
④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；
⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；
⑥乘⽅性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；
三、关于乘⽅的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①⼀个⾃然数M，n表⽰M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；
②⼀个⾃然数M，X表⽰M的各个奇数位上数字的和，Y表⽰M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；
五、费尔马⼩定理：
如果p是质数（素数），a是⾃然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。
五年级第六讲同余问题
第六讲：同余问题1．如果a，b两个整数除以自然数n所得余数相同，就称整数a，b对于除数n来说是同余的。
2．性质（1）如果两个整数a，b被c除所得的余数相同，那么（a-b）能被c整除。
（2）如果被除数增加（或减少）除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。
（3）如果被除数扩大（或减小）若干倍，除数不变，那么余数也扩大（或减小）相同的倍数。
（4）a和b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）（5）a和b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）例题例1．判断237与329对于除数46是否同余？165和103呢?例2．一个整数除300,254,185所得的余数相同（不为0），问这个数等于多少？例3．一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，这个数最小是多少？例4．3月19日星期六，从3月18日作为第一天开始往回数（即3月17日为第二天，16日为第三天）的第2010天是星期几？例5．有一个整数，用它去除70,112,161，得到的三个余数之和是53，求这个数。
例6．71427和19的积被7除，余数是几？例7．已知a=19941994。
19941994（1994个1994），问：a除以15所得的余数是几？例8．希望小学五年级学生在操场上做操，只知人数在89至115人之间，如果排成3列不多也不少。
排成5列则少2人，排成7列则少4人。
问希望小学五年级共有多少名学生？练习1．判断270和213对于整数19是否同余？2．有一个整数，除310,272,215，得到相同的余数，问;这个整数是多少？3．求288×226×423的积除以13所得的余数。
4．一个数被7除余2，被8除余3，能被5整除，这个数最小是多少？5．一个四位数除以119余96，除以120余80，求这个四位数6．一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是几？7．已知一个两位数除1477，余数是49，那么满足条件的所有两位数是多少？8．有一个数，除以3余2，除以4余1，这个数除以12余数是多少？9．1919。
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第___讲巧解余数与同余问题
第一节余数
方法和技巧：
（1）被除数=商×除数+余数。
（2）借助约数和倍数的知识。
上面两个性质是解题的关键。
例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。
做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？
例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。
那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？
做一做2：两数相除，商是498，余数是3。
那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？
例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。
求这两个数。
做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。
问：被除数是多少？
例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？
做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？
A B C D E F G
___________________________________
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 …
例5:把化为循环小数，问：小数点后1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？
做一做5：问：化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？
例6:某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？
做一做6：一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。
求这个自然数能取得的最小值。
例7:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和为25,那么这三个余数中最小的数是多少?
巩固练习：
1、填空：
（1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数__________________。
（2）被2,3,5除都余1，且不等于1的最小整数是_______________。
（3）有一队民兵在操场上列队，只知道民兵人数在90至110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，则共有民兵_______人。
（4）五（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么体育课的同学最少有________名。
（5）一个教练数田径队的学生，每4个一数，最后剩下2人；每5个一数，最后剩下1人。
田径队女生比男生多，女生有15人，则男生有__________人。
（6）某会议有代表不到200人，分住房时，每5人一间多3人；吃饭时，每9人一桌少一人；开小组会时，每7人一组多6人，那么到会的代表有_______人。
（7）一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是_______。
（8）被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数是________。
2、1～100中的哪个自然数被3和5除余1，且能被7整除？
3、一个最小自然数既能被3整除又能被5整除，同时它被7除的余数是4。
试求这样的自然数中的最小数。
4、小刚在一次除法计算时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数相同。
问：除数是多少？
5、一个自然数被5,6,7除时余数都是1，且在10000以内，问：这样的数共有多少个？
6、除107后，余数为2的两位数有哪些？
7、将1234567891011121314……一直写到2005个数码，这个2005位数除以9的余数是多少？
8、有一串数字1,2,4,7,11,16,22,29，…这串数的组成规律是第2个数比第1个数多1，第3个数比第2个数多2，第4个数比第3个数多3，以此类推。
那么这串数左起第1992个数除以5的余数是多少？
第___讲巧解余数与同余问题
第二节同余
方法和技巧：
性质1：如果整数a,b对于模n同余，那么它们的差（a-b）或(b-a)一定能被n整除。
性质2：若a≡b(mod n),c≡d(mod n),则（a+c）≡(b+d)(mod n)。
性质3：若a≡b(mod n),c≡d（mod n），则a×c≡b×d(mod n)。
性质4：若a≡b(mod n),m为大于1的自然数，则a m≡d m(mod n)。
例1：乘积17×354×409×672除以13的余数是多少？
做一做1：求723588+5770和723588×5770除以11的余数。
例2:73，216,227被某个数b除的余数相同，那么，108被这个数b除的余数是多少？
做一做2：有一个大于1的整数，它除967,1000,2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？
例3：有一列数，第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是它前两个数的和。
问：这列数的第1999个数被3除所得的余数是多少？
做一做3：有一串数1,1,2,3,5,8，…从第三个数起，每个数都是它前两个数的和。
问：在这串数的前1999个数中，有多少个是5的倍数？
例4：今天是星期二，问：再过991999天是星期几？
做一做4：今天是星期五，问：再过365364天是星期几？
例5:6张卡片分别标上1193,1258,1842,1866,1912,2494六个数。
甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲手中卡片上的数之和是乙手中卡片上的数之和的2倍，问：丙手中卡片上的数是多少？
做一做5:8个盒子，各盒内分别装有9,7,24,28,30,31，33,44块奶糖。
甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走。
已知乙、丙取到的糖的块数相同，且为丁的2倍，问：甲取走盒子中有多少块奶糖？
例6：求33335555
+5555
3333
被7除的余数。
做一做6：求1999323
+323
1999
被7除的余数。
例7:12
+2
2
+3
2
+…+2001
2
+2002
2
除以7的余数是多少？
巩固练习：
1、求乘积34×37×41×43除以13所得的余数。
2、21994
被7除余几？
3、今天是星期五，再过365364
天是星期几？
4、求6666…6除以7所得的余数。
5、19971994÷7的余数是多少？
6、有一列数1,2,4,7,11,16,22,29，…这列数的组成规律是第2个数比第一个数多1，第3个数比第2个数多2，第4个数比第3个数多3，以此类推。
那么这列数左起第1999个数除以5的余数是多少？
7、某年的10月有五个星期六，四个星期日，问：这一年的10月1日是星期几？
8、有一种挂历上印有月、日、星期，为节约起见，可将此挂历留作日后使用。
问：公元1998年的挂历，最早可在哪一年再次使用（公元2000年是闰年）？
9、99…99除以74的余数是几？。