2016北京中考数学一模29题整理

（朝阳）29．在平面直角坐标系xOy 中，A （t ，0），B （，0），对于线段AB 和x 轴上方的点P 给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P 为AB 的“等角点”． （1）若，在点302C ⎛⎫

⎪⎝⎭，

,D ⎫⎪⎪⎝⎭

，32E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

中，线段AB 的“等角点”是； （2）直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是（6，0），∠OMN=30°．

①线段AB 的“等角点”P 在直线MN 上，且∠ABP =90°，求点P 的坐标； ②在①的条件下，过点B 作BQ ⊥P A ，交MN 于点Q ，求∠AQB 的度数； ③若线段AB 的所有“等角点”都在△MON 内部，则t 的取值范围是．

（大兴）29.设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y

都有唯一

t

+t =-

确定的值和它对应，那么就说y 是x 的函数，记作()=y f x .在函数()=y f x 中，当自变量

=x a 时，相应的函数值y 可以表示为()f a .

例如：函数2()23=--f x x x ，当4=x 时，2

(4)42435=-⨯-=f

在平面直角坐标系xOy 中，对于函数的零点给出如下定义：

如果函数()=y f x 在≤≤a x b 的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且

().()0 f a f b ，那么函数()=y f x 在≤≤a x b 的范围内有零点，即存在c （≤≤a c b ），

使()f c =0，则c 叫做这个函数的零点，c 也是方程()0=f x 在≤a x .

例如：二次函数2

()23=--f x x x 的图象如图所示 观察可知：(2)0- f ，(1)0, f 则(2).(1)0- f f .

所以函数2

()23=--f x x x 在21-≤≤x 范围内有零点.

由于(1)0-=f ，所以，1-是2

()23=--f x x x 的零点，

1-也是方程2230--=x x 的根.

(1) 观察函数1()=y f x 的图象，回答下列问题：

①()().f a f b ______0（“＜”“＞”或“=”）

②在≤≤a x b 范围内1()=y f x 的零点的个数是_____.

（2）已知函数222()1)2)==---y f x a x a a 的零点为1x ，2x

且121 x x .

①求零点为1x ，2x (用a 表示)；

②在平面直角坐标xOy 中，在x 轴上A, B 两点表示的数是零点1x ，2x ，点 P 为线段AB 上的一个动点（P 点与A 、B 两点不重合），在x 轴上方作等边△APM 和等边△BPN ，记线段MN 的中点为Q ，若a 是整数，求抛物线2y 的表达式并直接写出线段PQ 长的取值范围.

（东城）29. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直

线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两

点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线. （1）当⊙O 的半径为1时，

○

1分别判断在点D （，

1

4

），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点 有__________；

○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你

的作图过程.

○

3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；

（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x =+x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．

图1

（房山）29.在平面直角坐标系xoy 中，对于任意三点A ，B ，C 给出如下定义：

如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A ，B ，C 的外延正方形，在点A ，B ，C 所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A ，B ，C 的最佳外延正方形.例如，图1中的正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3CD 3都是点A ，B ，C 的外延正方形，正方形A 3B 3CD 3是点A ，B ，C 的最佳外延正方形.

（图1）（图2）

（1）如图1，点A （-1，0），B （2，4），C （0，t ）（t 为整数）.

① 如果t =3，则点A ，B ，C 的最佳外延正方形的面积是；

② 如果点A ，B ，C 的最佳外延正方形的面积是25，且使点C 在最佳外延正

方形的一边上，请写出一个符合题意的t 值；

（图3 ）（图4）

（2）如图3，已知点M （3，0），N （0，4），P （x ，y ）是抛物线y=x 2-2x -3上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延正方形的面积以及点P 的横坐标x 的取值范围；

（3）如图4，已知点E （m ，n ）在函数x

6

y （x >0）的图象上，且点D 的坐标

为（1，1），设点O ，D ，E 的最佳外延正方形的边长为a ，请直接写出a 的取值范围.

（丰台）29. 如图，点P (x ,y 1)与Q (x ,y 2)分别是两个函数图象C 1与C 2上的任一点. 当a ≤x ≤b

时，有-1≤y 1- y 2≤1成立，则称这两个函数在a ≤x ≤b 上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤x ≤b 上是“非相邻函数”. 例如，点P (x ,y 1)与Q (x ,y 2)分别是两个函数y =3x +1与y =2x - 1图象上的任一点，当-3≤x ≤-1时，y 1- y 2=(3x +1) - (2x - 1)=x +2，通过构造函数y =x +2并研究它在-3≤x ≤-1上的性质，得到该函数值的范围是-1≤y ≤1，所以-1≤y 1-y 2≤1成立，因此这两

x

y

1

2345–1–2–3–4–5

1

2

3

4

5

–1

–2

–3

–4

–5

B 1

C 1B 2C 2C B 3

o

A 2

D 3A 1

A 3D 1

D 2A B

y

1

2345–1–2–3–4–5

1

2

3

4

5

–1

–2–3

–4–5D

o