高中数学第3章不等式整合提升课件苏教版必修5
高中数学苏教版必修5课件：第三章 不等式 3.3.3
x＋y≤2， 1．若变量 x，y 满足约束条件x≥1， y≥0， 别为________．
则 z＝2x＋y 的最大值和最小值分
【解析】
可行域为直角三角形 ABC(如图)，
由 z＝2x＋y，得 y＝－2x＋z，由图象可知， 当直线 y＝－2x＋z 过点 B(2,0)和点 A(1,0)时， z 分别取到最大值 4 和最小值 2.
【自主解答】 (1)先作出可行域(如图)，目标函数表示的是可行域中 P(x，y)与 M(－1,1)连线 1 的斜率，由图形易求得 kMA＝－2.
当 P 在可行域中很远很远的地方时，kMP 有一种与直线 x－y＝0 的斜率 1 相等
1 y－1 的趋势，但是永远也取不到 1，因此 ω＝ 的取值范围为－2，1. x＋1
y≥0， 已知实数 x，y 满足不等式x－y≥0， 2x－y－2≥0， y－1 (1)求 ω＝ 的取值范围； x＋1 (2)求 ω＝ x－22＋y－22的取值范围． y－1 【精彩点拨】 (1)ω＝ 表示的是可行域内的点与(－1,1)点连线的斜率． x＋1
(2)ω＝ x－22＋y－22表示的是可行域内的点与(2,2)点的距离．
[再练一题] 2．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含 12 个单 位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这 两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单 位的维生素 C.如果一个单位的午餐、 晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元． 那么要满足 上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚 餐？
苏教版数学必修五3《不等式》ppt课件
值，“2＜3”比“2≤3”更确切．
2．抓住题意中的关键词，明确基本数量关系，类比列 方程的方法，准确表示不等式．
典例解析
栏 目 链
接
题型1 用不等式(组)表示不等关系
例 1 已知某杂志每本原定价 2 元，可发行 5 万本，若每本提价
0.20 元，则发行量将减少 4 000 本，为使销售总收入不少于 9 万元，
(1)若 ac2>bc2，则 a>b；(2)若 a<b<0，则 a2>ab>b2；
栏
(3)若 a>b，1a>1b，则 a>0，b<0.
目 链 接
解析：(1)由 ac2>bc2 知 c≠0，
∴c2>0.∴a>b，故该命题为真命题．
(2) a<b⇒a2>ab；又 a<b⇒ab>b2，
a<0
b<0
∴a2>ab>b2，故该命题为真命题．
将“差”化成“积”；
栏
目
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不
链 接
确定的要分情况讨论)．
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形” 是关键．
►变式迁移
3．已知a，b∈R＋，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的 大小．
解析：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
栏
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
目 链
接
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当 x＝y＝21且 z＝1 时取等号．
高二数学苏教版必修五第三章3.1不等式与不等关系课件(共37张PPT)
（1）：如果两个实数的差是正数，那么这两个
实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学
语言描述这个原理？ a－b＞0 a＞b
（2）：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语
言描述这个原理？ a－b = 0 a = b
600mm
(1)截得两种钢管的总长度 不能超4000mm；
500x 600y 4000
(2)截得600mm钢管的数量 不能超500mm的钢管数
y 3x
量的3倍；
x0
(3)截得两种钢管的数量
都不能为负.
y 0
考虑到实际问题的意义呢？
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
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不等关系与不等式之间 高二数学苏教版必修五第三章3.1不等式与不等关系课件（共37张PPT） 是什么关系？
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
巨 人
3.1 不等关系与不等式
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
1.什么是不等关系？
2.什么是不等式？
3.不等关系与不等式之间 是什么关系？
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
高中数学 第三章 不等式章末复习课件 苏教版必修5
若目标函数
z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数 m 的
值为__1__.
123
解析 答案
2.若不等式 ax2＋bx－2>0 的解集为x－2<x<－14
，则 a＋b＝__－__1_3___.
解析 ∵－2 和－14是方程 ax2＋bx－2＝0 的两根.
∴－2＋－14＝－ba， －2×－14＝－2a，
∴ba＝＝－－94，， ∴a＋b＝－13.
123
解析 答案
3.设 a>b>0，则 a2＋a1b＋aa1－b的最小值是__4__.
解析 a2＋a1b＋aa1－b＝a2－ab＋ab＋a1b＋aa1－b
解析 答案
反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一 个是用这个等式消元，化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等 式代入，或构造定值.
跟踪训练 4 设 x，y 都是正数，且1x0， 1. 已 知 实 数 x ， y 满 足 条 件 y≤1，
第3章 不等式
章末复习
学习目标
1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识. 2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式. 3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用. 4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题. 5.会用基本不等式证明不等式，求解最值问题.
内容索引
知识梳理 题型探究 达标检测
3.基本不等式 利用基本不等式证明不等式和求最值的区别 (1)利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件； (2)利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定； 三相等.
[思考辨析 判断正误] 1.当 a≠0 时，(ax－1)(x－1)>0⇔x－1a(x－1)>0.( × ) 2.目标函数 z＝x＋ay，当 a<0 时，当纵截距取最小值时，z 才取最大值.( √ ) 3.用 a2＋b2≥2ab 求最值时，不用满足条件“a>0，b>0”.( √ )
高中数学苏教版必修五第三章3.1不等式第一节不等关系课件
问题二：市政府为鼓励市民绿色出行，计划采购 1000辆公共自行车，总投入不超过50万元。现在可 供选择有两种自行车。甲型自行车单价300元，使用 寿命为3年。乙型自行车单价600元，使用寿命为5年。 要求自行车平均使用时间不少于4年。怎么写出满足 上述条件的数学式子呢？ 问如何采购最划算？
问题三：治理工业废水，需要对超标的工厂进行惩 治。某工厂负责人提出一种说法：进行废水处理后， 在b吨已处理的废水中还含a吨有毒物质，恰符合国 家标准。那么若再倒入有毒物质m吨，也不一定会 超标！你觉得对吗？
转化为不等式： a2 b2 2ab
证明：a2 b2 2ab (a b)2
ab
a2 b2 2ab 0
a2 b2 2ab
请同学们谈一谈今天我们学习了哪些知识？
实际问题中的 不等关系
转化为 表示
数学中的 不等式
天有很高！
天有多高？
天到底有多高？ 天有很高很高！
PM2.5是指大气中直径不大于2.5微米（10-6m） 的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。它的直径还不及 人的头发丝粗细的1/20 。
分析：假设截得5dm的钢管x根，截得6dm的钢管y根。根据题意， 应当有什么样的不等关系呢？
(1)截得两种钢管的总长度不能超过40dm； (2)截得6dm钢管的数量不能超过5dm的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，
可以用下面的不等式组来表示：
5x 6 y 40,
3x y,
x
0
y 0
模型5 二元一次不等式组
如图，用两根长度均为l 的绳子，分别围成一个正方形和一 个圆.比较正方形与圆面积的大小.
< ( 积最大，请猜一猜长和宽的关 系如何？（如周长为6）
高中数学 第一部分 第三章 3.4 第二课时 基本不等式的应用课件 苏教版必修5
的正数，则 lgx＋lgy 的最大值是________． (2)(2011· 华南师大附中模拟)已知 x>0，y>0，且 x＋ 1 1 4y＝1，则x＋ y的最小值为________．
[思路点拨] 根据所给条件， 结合基本不等式可 求其最值．
[精解详析] (1)∵x>0，y>0 ∴4＝2x＋y≥2 2xy. 当且仅当 2x＝y＝2 时取等号． ∴xy≤2. ∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg 2.
第 三 章 不 等 式
第 二 课 时 3.4 基本不等式
ab ≤ a ＋b
2 ( a ≥0 ，b ≥0)
理解教 材新知 考点一 考点二 考点三
基 本 不 等 式 的 应 用
把握热 点考向
应用创 新演练
第二课他们比赛谁能更快地到学校，他们约定：同时从家里
出发，甲一半路程跑步，另一半路程步行，乙用一半
时间跑步，用另一半时间步行，并且甲、乙两人跑步 的速度一样快，步行的速度也一样快，
问题1：若甲、乙两人跑步的速度为v1，步行 的速度为v2，家距学校的距离为s，怎样表示他们 由家到学校的时间？
提示：设甲到学校的时间为 t1，乙到学校的时间为 sv1＋v2 s s t2，则 t1＝2v ＋2v ＝ 2v v 1 2 1 2 2s t2＝ v1＋v2
[一点通]
利用基本不等式求最值的关键是获得
定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当 的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本 不等式的条件．
4 1．(2012· 成都高二检测)设 x>0，则函数 y＝x＋ 的最小 x 值是__________．
解析：∵x>0， 4 ∴x＋x≥2 4 x· x＝4.
苏教版必修5高二数学第3章《不等式》ppt课件
x－4y≤－3 例 3 已知变量 x，y 满足3x＋5y≤25
x≥1
，求 z＝2x＋y 的最
大值和最小值．
解 如图，阴影部分为不等式组所表示的
可行域．
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，
则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距， 显然，当直线越往上移动时，对应在y轴上的截距越大，即z 越大； 当直线越往下移动时，对应在y轴上的截距越小，即z越小． 作一组与l0平等的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1， 即过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12； 当l移动到l2，即过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值； 解 ∵函数 y＝x＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正， ∴f(x)＝x＋501x在[2，＋∞)上是减函数，且 f(2)＝20. 所以 f(x)在[2，＋∞)上的最大值为 20.
跟踪训练 4 设 x，y 都是正数，且1x＋2y＝3，求 2x＋y 的 最小值． 解 ∵1x＋2y＝3，∴131x＋2y＝1. ∴2x＋y＝(2x＋y)×1 ＝(2x＋y)×131x＋2y ＝134＋yx＋4yx
例 1 设 不 等 式 x2 － 2ax ＋ a ＋ 2≤0 的 解 集 为 M ， 如 果 M⊆[1,4]，求实数a的取值范围． 解 M⊆[1,4]有两种情况： 其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0， 下面分三种情况计算a的取值范围． 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)， (1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]； (2)当Δ＝0时，a＝－1或2； 当a＝－1时，M＝{－1} [1,4]； 当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．
高中数学第三章不等式本章知识体系课件必修5高一必修5数学课件
12/9/2021
第九页，共三十九页。
∴b－c>0，即b>c. 由b＝a22＋ac2及bc>a2，得a22＋ac2·c>a2， ∴(a－c)(2a2＋ac＋c2)<0. ∵a>0，b>0，c>0，∴a－c<0， 即a<c，∴a<c<b.
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规律方法 本例应用了不等式的性质，可见不等式性质在比 较大小和判断不等关系中的重要性．
，
①②
由②得p＝－6，代入①也成立，∴p＝－6.
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【例4】
若不等式组
x2－x－2>0， 2x2＋2k＋5x＋5k<0
的整数解只有
－2，求k的取值范围． 【思路探究】 不等式组的解集是各个不等式解集的交
集，因此，分别求解两个不等式，由其交集中只有整数－2，求
k的值．
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即a<0或a>1，于是a>1时原不等式的解集为(－∞，
a－2 a－1
)∪
(2，＋∞)．
当a<1时，若a<0，解集为aa－－21，2； 若0<a<1，解集为2，aa－－21.
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【解答】 由x2－x－2>0，得x<－1或x>2.
方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－
5 2
，x2＝－k.
当－52>－k，即k>52时，不等式的解集为x－k<x<－52
，显然－
2∉－k，－52. 当－k＝－52，即k＝52时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集
高中数学 第3章 不等式章末归纳提升课件 苏教版必修5
【思路点拨】 本题考查不等式 ab≤(a＋2 b)2 及“整体思 想”的应用．由(x＋y)(x＋z)＝2，得 x2＋xy＋xz＝2－yz，整体 代入所求式子，用不等式求最大值．
基本不等式及其应用
SJ ·数学 必修5
基本不等式是高考的热点之一，利用基本不等式可以比 较大小、求函数最值、求字母参数的取值范围、证明不等式 等．利用基本不等式解题时，要注意满足“一正、二定、三 相等”缺一不可，若不满足，可以通过拼凑、换元等手段进 行代数变换，使其符合基本不等式应用条件．
SJ ·数学 必修5
x＋y＝10， 0.3x＋0.1y＝1.8，
得 x＝4，y＝6.
此时 z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∵7＞0，
∴当 x＝4，y＝6 时，z 取得最大值．
SJ ·数学 必修5
答：投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目， 才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最 大.
SJ ·数学 必修5
【规范解答】 (1)因为不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为 {x|x＜1 或 x＞b}．
所以 x1＝1，x2＝b 是方程 ax2－3x＋2＝0 的两个实数根， 且 b＞1.
由根与系数的关系得11＋ ×bb＝ ＝3a2a， ，
解得 ab＝ ＝12，.
(2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
求z
2x－y－2≥0，
＝yx－ ＋11的取值范围．
【思路点拨】 本题应用线性规划进行处理，目标函数
z＝xy＋－11的几何意义是可行域内一点(x，y)与定点(－1,1)连线
的斜率．
高中数学苏教版必修5课件：第三章 不等式 3.3.2
把(0,0)代入 x＋2y－1＝－1<0， 而(0,0)不在三角形区域内． ∴AB 右上方的区域为 x＋2y－1>0. 同理 BC 右下方的区域为 x－y＋2>0. 又∵包含边界， 2x＋y－5≤0， ∴不等式组应为x＋2y－1≥0， x－y＋2≥0.
在已知平面区域的前提下，用不等式(组)表示已知平面区域，可在各条直线外 任取一点，将其坐标代入 Ax＋By＋C，判断其正负，确定每一个不等式．
学业分层测评(十七)
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1．不在不等式 3x＋2y<6 表示的平面区域内的一个点是________． ①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)． 【解析】 把各点分别代入 3x＋2y<6，不满足该不等式的即为答案．经检验 点(2,0)满足题意．
【答案】
④
x＋3y＋6≥0， 2．不等式组 x－y＋2<0
疑问 4：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
二元一次不等式表示的平面区域
画出下列二元一次不等式表示的平面区域． (1)2x＋y－10<0； (2)y≥－2x＋3.
我还有这些不足： (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________
我的课下提升方案： (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________
不等式课件PPT最新高中数学必修五第三章
数学 符号
_≥__
___ ≤
文字 语言 至多
至少
数学 符号
_≤__
___ ≥
文字 言
不少 于
不多 于
数学 符号
_≥__
___ ≤
2.比较两实数大小的依据 a-b>0⇔_a_>_b_，a-b=0⇔_a_=_b_，a-b<0⇔_a_<_b_.
1.设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为( )
即 1 > 1. ba
由c < 0,得 c > c . ab
你还有其 他证明方
法吗？
还可以利用作差法. 证明：
【变式练习】
例2
【提升总结】
【变式练习】
（2014·四川高考）若 a>b>0，c<d<0，则一定
有( )
A.ca>bd
B.ac<bd
C.ad >bc
D.ad <bc
【解析】选 D.因为 c<d<0，所以-c>-d>0，即
答案：x>3
一、用不等式表示不等关系 现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的
不等关系，在数学中，我们怎样来表示这些不等关系呢？请思 考下面的问题： 探究1：今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白 天的最高温度是13℃，这一天的温度T可用不等式表示为 .
提示：明天的温度范围用不等式表示为7℃≤T≤13℃. 答案：7℃≤T≤13℃
（同向不等式的可加性） (同向不等式的可乘性)
(可乘方性)
(8) a > b > 0⇒ n a > n b,n∈N,n ≥ 2.
高中数学必修五 第3章 不等式章末知识整合 教案 [苏教版]必修5
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【金版学案】-高中数学 第3章 不等式章末知识整合 苏教版必修5题型1 转化与化归思想的应用例1 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．分析：“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等．解析：方法一(看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1(显然a≠1)，且a ＞1.∴ab ＝a×a ＋3a －1＝（a －1）2＋5（a －1）＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9，当且仅当a －1＝4a －1， 即a ＝3时取等号．又a ＞3时，(a －1)＋4a －1＋5单调递增．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法二(看成不等式的解集) ∵a ，b 为正数，∴a ＋b≥2ab. 又ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab≥2ab ＋3， 即(ab)2－2ab －3≥0. 解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)， ∴ab ≥9，即ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法三 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（t －3）2－4t≥0，a ＋b ＝t －3＞0，ab ＝t ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t≤1或t≥9，t ＞3，t ＞0，解得t≥9，即ab≥9， ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． ►归纳拓展不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．►变式迁移1．如果关于x 的不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是________．解析：∵4x 2＋6x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0恒成立，从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3(x∈R)．即2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )＞0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(6－2m )2－4×2(3－m )＝4(m －1)·(m －3)＜0，解得1＜m ＜3.答案：(1，3) 2．若关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0的解集中所含整数只有－2，则k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞2，（x ＋k ）（2x ＋5）＜0.要使解集中所含整数只有－2，则必须－2＜－k ≤3. 即－3≤k ＜2. 答案：[－3，2)题型2 函数与方程思想的应用例2 设a∈R，关于x 的一元二次不等式7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＜0的解集是{x |α＜x ＜β}，且0＜α＜1＜β＜2，求a 的取值范围．分析：本题实质是一元二次方程根的分布问题，要结合二次函数解决由不等式7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＜0的解集是{x |α＜x ＜β}，可知方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0的两根为α，β，且两根分别在(0，1)与(1，2)内，可利用一元二次方程根的分布知识解决这个问题．解析：因为不等式7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＜0的解集是{x |α＜x ＜β}， 所以方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0的两根为α，β. 令f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2， 因为0＜α＜1＜β＜2， 所以α∈(0，1)，β∈(1，2)． 由f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，7－（a ＋13）＋a 2－a －2＜0，28－2（a ＋13）＋a 2－a －2＞0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，⇒－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.a 2－3a ＞0所以a 的取值范围是(－2，－1)∪(3，4)． ►归纳拓展函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决．方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决．函数与方程二者密不可分，如函数解析式y ＝f (x )也可看作方程．函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等．函数与方程思想体现了静与动，变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一．具体包括：①利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况，讨论不等式的取值情况；②利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实际中的应用；③利用方程解决有关函数的问题．函数、方程、不等式三者密不可分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑．在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解．如f (x )＞a 恒成立等价于f (x )min ＞a .►变式迁移3．求证：sin 2x ＋4sin 2 x≥5.证明：设sin 2x ＝t ，原式变形为f (t )＝t ＋4t，则f (t )在t ∈(0，1]时为单调递减函数．∵0＜sin 2x ≤1， ∴当sin 2x ＝1，即t ＝1时，f (t )有最小值，f (t )min ＝5. ∴f (t )＝t ＋4t ≥5，即sin 2x ＋4sin 2 x≥5.4．定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解析：由f (1－a )＋f (1－a 2)＜0得f (1－a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，1－a ＞a 2－1，－1＜1－a 2＜1⇒0＜a ＜1. ∴a 的取值范围是(0，1)． 题型3 分类讨论思想的应用例3 解关于x 的不等式(m ＋3)x 2＋2mx ＋m －2＞0(m∈R)．分析：从形式上看是二次不等式，故须对m ＋3讨论，讨论它是不是一元二次不等式．解析：(1)当m ＝－3时， 原不等式化为－6x －5＞0， 故原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－56. (2)当m ≠－3时，Δ＝4m 2－4(m ＋3)(m －2)＝4(6－m )． ①当m ＝6时，则原不等式等价于(3x ＋2)2＞0，故原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞. ②当m ＞6时， 则Δ＜0且m ＋3＞0， 所以原不等式的解集是R. ③当－3＜m ＜6时， 则Δ＞0且m ＋3＞0， 所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－m －6－m m ＋3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋6－m m ＋3，＋∞.④若m ＜－3，则Δ＞0，且m ＋3＜0，所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋6－m m ＋3，－m －6－m m ＋3.►归纳拓展分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．在解答数学题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决．这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体上的解决．通俗一点说，就是“化整为零，各个击破”，这种处理数学问题的思想，就是“分类讨论”的思想，分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用．分类讨论的一般步骤：①明确讨论对象，确定对象的范围；②确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；③逐类讨论，获得阶段性结果；④归纳总结，得出结论．►变式迁移5．已知log a (a 2＋1)＜log a (2a )＜0，则a 的取值范围是(B ) A ．0＜a ＜1 B.12＜a ＜1C ．0＜a ＜12D ．a ＞1解析：当0＜a ＜1时，可得a 2＋1＞2a ＞1，解得12＜a ＜1；当a ＞1时，可得a 2＋1＜2a＜1，无解．6．解关于x 的不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解析：不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1且a ≠0)，变形得：（a －1）x －（a －2）x －2＞0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －（a －2）＞0，x －2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －（a －2）＜0，x －2＜0， 当a －1＞0，即a ＞1时： ①当a －2a －1＞2，即a ＜0时，无解； ②当a －2a －1＜2，解得a ＞0，即a ＞1时，解得x ＜a －2a －1或x ＞2. 当a －1＜0，即a ＜1且a ≠0时： ①当a －2a －1＞2，即1＜a ＜2时，无解； ②当a －2a －1≤2，即a ＜1时，解得a －2a －1＜x ＜2. 综上，当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2； 当a ＜1且a ≠0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2.题型4 数形结合思想的应用例4 求使log 2(－x)＜x ＋1成立的x 的取值范围．分析：因不等式左边为对数式，右边为整式，故不可解，所以可借助函数图象求解． 解析：如右图，在同一平面直角坐标系中作出函数y 1＝log 2(－x)，y 2＝x ＋1的图象，易知两图象交于点(－1，0)．显然y 1＜y 2的x 的取值范围是(－1，0)．►归纳拓展数形结合就是把数学关系的精确刻画(代数关系)与几何图形的直观形象有机结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，可以用数形结合的思想寻找解题思路，具体体现为：①由数化形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反映出它们的数量关系，从而解决问题；②由形化数，借助于图形，通过观察研究，得出图形中蕴含的数量关系，反映出事物的本质特征；③数形转换，化抽象为直观，化难为易．►变式迁移7．(2013·四川卷)已知f(x)是定义域R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)＜5的解集是________．解析：作出y＝f(x)的图象(如图)，f(5)＝f(－5)＝5.∴|x＋2|＜5，即－7＜x＜3.答案：(－7，3)8．已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m＝0的两根为x1，x2，若x1＜1＜x2＜3，求实数m的取值范围．解析：令f(x)＝(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m，其图象如下图所示，由图及题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）f （1）＝（m ＋1）（2m ＋4）＜0，（m ＋1）f （3）＝（m ＋1）（18m ＋16）＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m ＜－1，m ＜－1或m ＞－89，∴－2＜m ＜－1.故所求的m 的取值范围为{m |－2＜m ＜－1}．。
高中数第3章不等式整合提升课件苏教版必修5
2 --2 > 0,
(0) > 0,
由 (1) < 0, ⇒ 7-( + 13) + 2 --2 < 0,
(2) > 0
28-2( + 13) + 2 --2 > 0
< -1 或 > 2,
2 --2 > 0,
⇒ 2 -2-8 < 0, ⇒ -2 < < 4,
⇒-2<a<-1 或 3<a<4.
专题一
专题二
迁移训练6某地区共有100户农民从事蔬菜种植,据调查,每户年
均收入为3万元.为了调整产业结构,当地政府决定动员部分种植户
从事蔬菜加工.据估计,如果能动员x(x>0)户农民从事蔬菜加工,那
么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%,从事蔬菜
3
3(a)(a>0) 万元.
加工的农民每户年均收入为
超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广
告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视
台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万
元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,
才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y
-4 + 3 = 0,
由
= 1,
解得:A(1,1);
-4 + 3 = 0,
由
3 + 5-25 = 0,
22
3 + 5-25 = 0,
解得:B(5,2);由
解得:C 1,
2021_2020学年高中数学第3章不等式3.1不等关系课件苏教版必修5
提醒：利用不等式表示不等关系时的注意点： 1必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式 来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. 2在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.
1．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大 于50，可用不等关系表示为________．
(3)不等式中常用符号语言
大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于
><
≥
≤
≤≥ ≥ ≤
3．比较大小 (1)比较实数a，b大小的文字叙述 ①如果a－b是正数，那么a > b； ②如果a－b等于0，那么a ＝b； ③如果a－b是负数，那么a < b，反之也成立．
(2)比较实数a，b大小的符号表示 ①a－b>0⇔a > b； ②a－b＝0⇔a＝ b； ③a－b<0⇔a < b.
思考：试用不等式表示下列关系：
(1)a大于b
a________b
(2)a小于b
a________b
(3)a不超过b
a________b
(4)a不小于b
a________b
[提示] (1)> (2)< (3)≤ (4)≥
1．人类能听到的声音频率x不低于80 Hz且不高于2 000 Hz，用 不等式表示为________．
(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系， 如当x>a时，销售收入f(x)大于成本g(x)； (4)用不等式表示一组变量之间的不等关系， 如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000 元．
2．不等式 (1)不等式的定义 用数学符号“＝”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数 式以表示它们之间的 不等关系 ，含有这些不等号的式子叫做不等 式．