初中数学最短距离问题

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最短路径---饮马问题

中考专题复习——饮马问题及其拓展一、专题分析初中数学路径最短问题通常是指利用两点之间线段最短和垂线段最短等基本原理求点与点，点与线距离最短的问题。

由于这类问题除了领用两大原理外，还柔和了“轴对称”、“平移”“旋转”、“展开”等变换，以及与直角坐标系中函数图象的综合，体现了知识的综合应用，也能很好的考察学生的空间想象力和数形结合的能力以及化归于转化的能力和灵活应变的能力，因此是中考数学考试的一个热点。

初中最短路径问题，根据使用的数学原理，主要分为两类，一类是利用两点之间线段最短解决的问题；一类是利用垂线段最短解决的问题。

其中在第一类问题中，最著名的主要有“造桥选址问题”、“饮马问题”、“蚂蚁吃蜂蜜问题”，考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，根据两点之间线段最短来说明路径最短。

二、教学目标1、理解饮马问题的解题原理，掌握解题方法，会求最短距离2、对于饮马问题的变式问题，能灵活应用其解题思路来解决问题。

3、通过该专题提升学生数形结合的能力和培养学生化归与转化的数学思想的应用能力。

三、教学重点饮马问题的典型问题及其解法四、教学难点饮马问题的变式问题及其解法五、教学方法引领探究教学法六、教学媒体希沃电子白板+PPT课件教学过程一、问题原型将军在战场（A处）A大获全胜，人饥马渴，想到河边（直线MN处）饮马，然后回到帐篷（B 处）休息，问将军选择在何处饮马，才能使他从战场到帐篷所走的路程最短？图一图二分析：作点A关于直线MN的对称的A’,连接BA’与直线MN交于点P，连AP，BP则直线MN 上，点P到点A和点B的距离之和AP+BP最小。

即将军在P处饮马，能使他从战场到帐篷所走的路程最短。

原因分析：设P’使直线MN上除点P外的任一点，连AP’和BP’、A’P’，因为MN是线段AA’的垂直平分线，∴AP’=A’P’，AP=A’P∴AP’+BP’=A’P’+BP’，AP+BP=A’B∵在△A’P’B中，两边之和大于第三边∴A’P’+P’B＞A’B∴AP’+BP’＞AP+BP∴点P到A，B的距离之和最短另一方面，利用轴对称，我们把在直线MN同侧的两点转化为直线MN的异侧，就把这一问题转化为了“两点之间线段最短”的问题。

初二数学最短距离练习题

初二数学最短距离练习题在初中数学中，最短距离是一个经常出现的概念。

掌握最短距离的求解方法是解决许多几何问题的关键。

本文将介绍一些初二数学最短距离的练习题，帮助同学们更好地理解和应用这一概念。

1. 假设有一个直角三角形，斜边长为10厘米，一条直角边长为6厘米。

求另一条直角边的长度以及最短距离。

解答：根据勾股定理，已知斜边和一直角边的长度，可以求得另一直角边的长度。

设另一直角边的长度为x，则根据勾股定理有：x² + 6² = 10²化简得：x² = 100 - 36 = 64因此，x = 8。

最短距离可以通过两种方法求解。

一种方法是将直角三角形平移到一个坐标平面中，直角顶点对应坐标原点，然后计算另一直角边上的一个点到原点的距离。

另一种方法是利用最短距离的性质，即最短距离是两个点连线的长度。

根据这个性质，可以直接计算斜边和另一直角边的距离，即最短距离。

在这个问题中，最短距离即为直角边长为6厘米的线段长度，因此最短距离为6厘米。

2. 已知一个矩形的长为8厘米，宽为6厘米。

矩形的一角上有一个风筝，风筝的顶点与矩形对角线的交点距离矩形两边的长度分别为3厘米和4厘米。

求风筝到离它最近的矩形边的距离。

解答：首先，通过勾股定理求解矩形对角线的长度。

设对角线的长度为x，则有：x² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100因此，x = 10。

由于矩形的一角上有一个风筝，题目要求求解风筝到离它最近的矩形边的距离。

根据最短距离的性质，可以发现离风筝最近的矩形边的长度为3厘米，即风筝到离它最近的矩形边的距离为3厘米。

3. 一个底边为6厘米，高为8厘米的等腰梯形经旋转得到一个圆锥。

求该圆锥的最短距离。

解答：首先，我们需要明确圆锥的最短距离是指圆锥的顶点到圆锥底面上某一点的距离。

在本题中，该点可以是梯形的底边中点。

根据梯形的特性，等腰梯形的底边中点到两侧斜边的距离相等，即为高的一半。

初中数学专题复习(轴对称-最短距离问题)

初中数学专题复习（轴对称-最短距离问题）一．轴对称-最短路线问题1．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD＝+，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P ′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．2．（2020•贵港）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）A．﹣1B．+1C．D．+1解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，∵点E与点E'关于DC对称，∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．故选：A．3．（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）A．5B．6C．7D．8解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF＝DF，∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE＝，∴△BFE的周长＝5+1＝6，故选：B．4．（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A．B．C．1D．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO∴∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，∴＝，即＝，解得，PO＝故选：B．5．（2020•西宁）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC 的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为18．解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，∵EF垂直平分线段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，∴DH＝CH﹣CD＝5，∴AD＝＝＝13，∴DM+MC的最小值为13，∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，故答案为18．6．（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．7．（2020•毕节市）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP＝CP，∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，∴CE＝＝，∴AP+PE的最小值是，故答案为：．8．（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，连接ED∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝．故答案为：．9．（2020•日照）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．如图，连接DN，∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，∴AN＝DN．如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，由于点P、N分别是AC和BE上的动点，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．10．（2019•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B 两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．2B．2C．3D．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故选：A．11．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．12．（2019•黑龙江）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为4．解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△P AB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．13．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，延长PN′交BC于M，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．（2019•德阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：∵点E是AD的中点，∴AE＝AD．∵BC＝AD，∴AE＝BC．∵BC∥AD，即BC∥AE．∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD，点E是AD的中点，∴CE＝AE＝DE，∴四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4．∵AF＝EF，CF⊥AE∴CF＝＝2△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．。

初中数学《最短距离问题》教学设计

初中数学《最短距离问题》教学设计课题分析（1）最短距离问题是初中数学的重要内容之一，也是中考命题的重点之一。

学生已有两点之间线段最短的基本知识，故本课应对从直观认识的基础上，着重在不同背景的实际问题中应用，从而渗透化归的数学思想方法。

（2）通过本节的学习，类比、构造、化归转化等数学思想方法的渗透，使学生体会到数学中的美学意义，不断提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。

学情分析（1）知识基础：学生了解两点之间线段最短等基本知识点，但此后的学习很少涉及此内容，所以学生对此内容的应用较为陌生，所以学生通过本课的学习，须掌握能在不同背景的实际问题中应用。

（2）能力基础：学生的作图能力还是读图能力，添加适当的辅助线、创造适合的条件去在不同背景的实际问题中应用的能力比较薄弱的，这些能力都必须得到加强。

（3）心理基础：因为陌生而害怕，学生在这部分的学习上存在心理的障碍，这不利于学习，故要在题目的设置上让学生更容易得到成就感，才会让学生敢于动手，达到学好的信心，要充分调动学生的积极性。

教学目标知识目标：掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用。

技能目标：学习过平移、轴对称、旋转三种图形变换，利用图形变换能解决一些最短距离问题。

情感目标：引导学生对图形观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.体会数学的对称美，体验化归的思想方法，培养合作精神。

重点难点重点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用2.利用图形变换能解决一些最短距离问题难点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用2.体验化归的数学思想方法教学手段1.运用多媒体辅助教学2.运用合作学习的方式，分组学习和讨论3.调动学生动手操作，帮助理解准备工作1.几何画板课件，辅助难点突破2.学生自带剪刀，圆规，直尺等工具教学设计策略依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略：本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。

点到直线间的距离公式初中

点到直线间的距离公式初中全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在初中几何学中，我们经常会遇到点到直线的距离这样的问题。

点到直线的距离是一个基本的几何概念，也是几何中的一个常见问题。

对于一条直线和一个点，我们可以通过一定的方法来求这个点到直线的距离。

本文将重点介绍点到直线间的距离公式以及相关的几何知识。

让我们来回顾一下什么是直线和点。

在几何学中，一条直线是由无数个点相连构成的，它是一个没有端点和宽度的无限延伸的线段。

而点是几何中最基本的图形，它只有位置没有大小。

点到直线的距离就是一个点到一条直线之间的最短的距离，也就是从点到直线的垂直距离。

假设我们有一条直线l 和一个点A，我们想要求点A 到直线l的距离。

我们可以通过以下几种方法来计算：1. 利用垂线的性质我们可以通过在点A 处画一条垂线与直线l 相交，这条垂线与直线l 的交点为B。

那么AB 就是点A 到直线l 的距离。

这是因为，垂线的性质是垂线与直线相交的两条线段互相垂直，并且交点到直线的距离是最短的。

如果我们知道直线的方程式，我们也可以通过计算点A 到直线l 的距离。

假设直线l 的方程为Ax + By + C = 0，点A 的坐标为(x1, y1)。

我们可以通过以下公式来计算点A 到直线l 的距离：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)d 表示点A 到直线l 的距离。

这个公式是点到直线间的距离公式，在初中几何学中是比较常见的。

通过这个公式，我们可以很容易地求出一个点到一条直线的距离，而不用画垂线来计算。

通过这三种方法，我们可以求出一个点到一条直线的距离。

在初中几何学中，我们一般使用第一种和第二种方法来计算点到直线的距离，因为这两种方法更加简单直观。

而在高中数学中，我们则会更多地使用向量的知识来解决这类问题。

第二篇示例：在数学中，我们经常会遇到点到直线间的距离的问题。

这是一个非常基础但又非常重要的概念，因为在很多几何问题中都需要我们计算点到直线的距离。

简析初中数学中的“最短距离问题”

Ｂ
求折线转化到同一条直线卜。由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长也是定值。因此，从点作河岸的垂线，并在垂线上取ＡＣ等于河宽（相当于把河宽砰移到ＡＣ），就相当于把河宽预先扣除，
找出、Ｃ两点之间的最短路线，问题就可以解决。』４Ｃ
解：如上图，过点作河岸的垂线，在垂线卜截取Ｃ的长为河宽，连结曰Ｃ交河岸于Ｅ点，作睡直于河岸，交对岸于，Ｅ、厢点就是使两村行程最短的架桥地点。即两村的最短路程是ＡＦ＋ＦＥ＋ＥＢ（或者ＡＣ＋ＣＢ）。
直线段。我们下面就研究一下可展开的曲面上的两点之间的最短距离。例３景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱体的制品嵌金线，如下图，如果将金线的起点同定在Ａ点，绕一周之后终点为点，如果曰长为１０ｃｎ，底面
周长为１２ｃｍ，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少，最少是多少厘米？
０
难点剖析
简新初中数学中的“ 最短距离问题’ ’
■ 彭安镜马治平ｚ
摘要：初中阶段我们经常遇到求“ 最短距离” 的数学问题，很多学生对此类问题毫无头绪，遇到此类问题总是一头雾水、无从下手。其实这类题难度并不大，如果我们能掌握解决这类题的本质及方法， “ 最短距离 ” 问题将迎刃而解。关键词：最短距离；对称；平移；展开初中数学中的“ 最短路线 ” 问题其实是以“ 平面内连接两点的线中线段最短 ” （以下简称“ 两点之间，线段最短” ）这一公理为原则引申出来的。我们在初中数学中常常遇到带有某种限制条件的最近路线（即最短路线问题），它的解决方法归根到底是利用相应方法进行转化，使问题能用 “ 两点之间，线段最短” 这一公理来解决，常用的方法主要是：对称及展开两种。下面我从这两方面就 “ 最短距离 ” 问题的解决谈谈我的看法。

初中数学最短距离题型实例解析

初中数学最短距离题型实例解析1. 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题；2. 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题；3. 确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；4. 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

问题原型“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”。

涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。

出题背景角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题思路找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

12个基本问题例题一：已知在平面直角坐标系中，A(2，-3），B(4,-1).(1) 若点P（x,0)是X轴上的动点，当三角形PAB的周长最短时，求X的值。

(2) 若点C、D是X轴上的两个动点，且D（a，0），当四边形ABCD的周长最短时，求a 的值；(3) 设M、N分别为X轴、Y轴的动点。

问是否存在这样的点（m,0）和N（0，n）使得四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m、n。

若不存在，请说明理由。

例题二：应试小技巧一、进入考场，首先要做的是让自己冷静下来。

具体做法是：首先，做一次深呼吸，然后告诫自己：“欲速则不达”，“不要着急，按时交卷就行了”。

二、开考铃声响前有5分钟时间让你浏览试卷。

此时不可用笔答题，否则违反考纪。

你可以一边深呼吸，一边看试卷，但切记不可看作文题，以免影响答题情绪。

三、开考铃声响后允许答题。

答题过程中要注意避免以下几种心态：1、偏急心态，为了抢时间，没有审清题目条件，慌忙答题，解决方法是心中默念：“匆忙做题，做了也白做”。

2、固执心态，久攻不下的试题，又不愿意放弃，徒然浪费时间，解决方法是心中默念：“我攻不下，别人也攻不下，暂时先搁着，做了其它题目后或许会有灵感”。

四、时间安排策略分配时间要服从于考试成功的目的，基本原则就是保证在能够得分的地方不丢分，不容易得分的地方争取尽可能多得分。

初中数学最短距离的探索课件

一、在同一平面内最短距离的探索
（一）两点一线最短距离的探索 (1)两点在直线的异侧
案例 1 某供电部门准备在输电主干线 L 上连接一个
分支点为 M，同时向新落成的 A、B 两个居民小区送电。如果居民小区 A、B 在主干线 L 的两旁，如下图所示，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？
B

初中数学
最短距离的探索
随着课改的深入，数学越来越贴近生活，更着眼于解决实际生活中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”，证明的时候也用到了 “三角形三边关系定理”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略又有所差别，现分几种情况举例说明：
（三）两线两点最短距离的探索
4 • 案例在一条河的两岸分别有 A、B两个村庄，一直河岸L1与L2相互平行，现在要在这段河道上修建一座与河岸垂直的桥，使从A村到B 村所走的路程最短，画出示意图。
A
l1 C l2
E
D
B
通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。
B
b c
B
b
A
a
1
a c b
AB AB AB
a c 2 b2 b c 2 a 2 a b 2 c2
B
2 3
A
（三）圆柱体中最短路线问题通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题。
二、关于空间中的最短距离的探索
空间中的最短距离的求法，通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”及 “勾股定理”的有关知识来解决问题，这类问题涉及的几何体主要有正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。在将几何体的表面展开时可能有几种不同的结果，这就需要通过分析比较选出适合题意的答案。

初中数学最短距离说明(奶站问题)

奶站问题的讨论以及解决策略奶站问题中中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，利用平移把“折”转“直”，利用平面展开图把“折”转“直”。

一、运用轴对称解决距离最短问题利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。

基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．1、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）2、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．应用1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（） A ．23 B ．26 C ．3 D ．63、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（） A 、17172B 、17174C 、17178D 、33、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小4、两个点在矩形内部例：已知矩形ABCD 内有两个点M 、N ，过M 击球到CD 边P ，然后击到BC 边Q ，然后到N,则小球所走的最短路线？二、利用平移确定最短路径选址通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。

初中数学最短距离问题分类及解题策略

初中数学“最短距离”问题分类及解题策略绵阳市游仙区新桥中学数学教研组何道华最短距离问题贯穿于初中几何学习的整个过程，由初一上册的“两点之间的距离”，初一下册的“点到直线的距离”、“平移”等基本问题开始，到初二上册的轴对称，初二下册的直角三角形的有关计算，再到初三上册的旋转等，都涉及到研究距离最短的问题。

虽然解决此类问题的依据很简单，主要是线段最短、垂线段最短以及三角形中的三边大小关系等原理，但图形千变万化，经常与三角形、四边形、圆及抛物线等问题综合考察，涉及的知识背景多，动点、动线的位置不确定，往往需要作平移、对称、旋转等辅助线才能发现线段之间的联系，找到最短距离的位置后，通常还需要进行准确的计算。

通过这类问题的解决，能培养学生动手操作、逻辑思考、严密计算等能力，是各类考试的热点同时也是难点问题。

一、最短距离的基本原理1、两点间的距离是指连接两点的的长度。

在连接两点的所有线中，最短。

简称。

2、点到直线的距离是指点到直线的的长度。

在连接直线外一点与直线上一点的所有线段中，最短。

简称。

3、两平行线间的距离是指平行线中一条直线上的任意一点到另一直线的的长度。

4、三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。

由任意三点连接的三条线段中，另两边之差≤第三边≤另两边之和。

二、题型及解题策略题型解题策略项目举例解题策略问题解法依据一条线段同一平面内有关联线段Rt△ABC中，点D在斜边AB上移动，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G是EF的中点。

作出CG最短时的图形。

连接CD，则CDEFCG2121==，当CD┴AB时，CG最短。

垂线段最短利用相等线段转化。

无关联线段正方形的顶点A、B分别在x、y的正半轴上，AB=a，作出OC最长时的图形。

找AB的中点E，连接OE、CE，当三点O、E、C共线时，OC最长。

三角形的一边小于另两边之和挖掘图中的固定点及长度不变的线段，与所求线段构造△。

空间距离求一只蚂蚁从点A沿正方体表面爬到点G的最短距离。

八年级最短距离知识点总结

八年级最短距离知识点总结在初中数学中，八年级的最短距离是一个重要而且基础的知识点。

下面，我们将从定义、性质、解法等角度来对这个知识点进行总结。

一、定义
最短距离，是指平面上一点到直线的最短距离。

其中，这个点不在这条直线上。

二、性质
1.最短距离所在的直线与所求点的连线垂直。

2.在一个固定的直线上，点到这条直线的最短距离是唯一的。

3.当点到直线垂线的长度小于直线段的长度时，点到直线的最短距离在这个垂线段上。

三、解法
1.利用垂直关系求最短距离
(1) 给定一直线和一点，求过这个点且垂直于这条直线的直线，这个垂足点就是这个点到这条直线的最短距离。

(2) 给定两条直线，求它们的距离，可以先在其中一条直线上
求出一个点，使得这个点到另一条直线的最短距离为所求距离。

2.利用解析几何的方法
(1) 直线方程式法
已知直线的解析式，然后求该直线上离点的距离最短的点。

(2) 点坐标法
已知点的坐标，然后求该点到直线上离它最近的点的坐标。

以上是对于八年级最短距离知识点的总结。

掌握这一知识点，不仅可以更好地理解解析几何中的相关内容，而且也有助于提高数学解题的效率。

【初中数学知识点解析】巧用勾股定理求最短路径的长

6．有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A 相对的点B处，如图所示，已知杯子高8 cm，点B距杯口3 cm，杯子底面半径为4 cm.蚂蚁从A 点爬到 B点的最短距离为多少？(π取3)
解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱的侧面展开图如图
所示，其中AC为圆柱的底面周长，
则AC＝2πr ≈2×3×4＝24(cm)，
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置； (2)求我国海监船行驶的航程BC的长．
解：(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分线与OA交于点 C，C点即为所求． (2)如图，连接BC，设BC＝x n mile，则CA＝x n mile，在Rt△OBC中，OB2＋OC2＝BC2，所以152＋(45－x)2＝x2. 解得x＝25. 即我国海监船行驶的航程 BC的长为25 n mile.
解最短路线．
(4) SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．
解：在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125. 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125.
知识要点
求最短距离的问题 • 第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题； • 第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)
进行集中，然后借助勾股定理解决； • 第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形
中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．
所以甲方案所修的水渠较短．
技巧2 用平移法求平面中的最短问题
2．如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，再向东走70 m．则小明到达的终点与原出发点的距离是__1_0_0__m__．

八年级直角坐标系中最短路径问题

八年级直角坐标系中最短路径问题1.概述直角坐标系作为数学中的基础知识，是学生在数学学习中所必须掌握的概念之一。

在直角坐标系中，我们常常需要求解从一个点到另一个点的最短路径，这在实际生活中也有着广泛的应用。

本文将从八年级数学角度出发，探讨直角坐标系中最短路径问题。

2.定义直角坐标系是由横轴和纵轴组成的平面直角坐标系。

在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x,y)来表示，其中x表示横轴的坐标，y表示纵轴的坐标。

而最短路径问题则是指在直角坐标系中，从一个点到另一个点的路径中，所经过的路程最短的路径。

3.求解方法一般情况下，我们可以利用勾股定理求解直角坐标系中最短路径问题。

以(0,0)点和(x₁,y₁)点为例，要求(0,0)点到点(x₁,y₁)的最短距离，我们可以利用勾股定理进行求解：设最短路径的长度为d，则有:d² = x₁² + y₁²即d = √(x₁² + y₁²)所以最短路径的长度即为√(x₁² + y₁²)。

4.实例分析点A(-1,2)和点B(3,4)在直角坐标系中，要求从点A到点B的最短路径。

根据上述求解方法，我们有：AB的最短路径长度= √((3-(-1))² + (4-2)²) = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5点A到点B的最短路径长度为2√5。

5.拓展在实际生活中，直角坐标系中最短路径问题有着广泛的应用。

例如在地图导航中，我们常常需要求解两个地点之间的最短路径，这就涉及到直角坐标系最短路径问题。

在交通运输、物流配送等领域中，直角坐标系中最短路径问题也有着重要的应用价值。

6.结论直角坐标系中的最短路径问题是数学中一个重要且有实际应用的问题，通过勾股定理以及直角坐标系的坐标关系，我们能够有效地求解最短路径长度。

在教学中，可以通过实际例子和练习题目来帮助学生理解和掌握这一概念，在学生的数学学习中起到了重要的作用。

初二数学最短距离练习题答案

初二数学最短距离练习题答案这里将提供初二数学最短距离练习题的详细解答和答案。

通过对这些练习题的解析，你将能够更好地理解最短距离的概念和计算方法。

一、选择题1. 以下哪个选项不属于计算两点间最短距离的实际应用？A. 航空导航B. GPS定位C. 地图测绘D. 时间计算正确答案：D解析：最短距离的计算主要应用于航空导航、GPS定位和地图测绘等领域，帮助确定点与点之间的最短路径或距离。

时间计算与最短距离的概念没有直接关联。

2. 在直角坐标系中，点A(3,4)和点B(-1,2)之间的最短距离是多少？A. 2B. 4C. 5D. 6正确答案：C解析：根据两点间距离公式，设两点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则最短距离d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。

代入A(3,4)和B(-1,2)的坐标，得到d = √[(3-(-1))² + (4-2)²] = √[16 + 4] = √20 = 2√5 ≈ 4.47，选C。

二、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(5,1)之间的最短距离是_________。

答案：√10 或 3.16解析：带入最短距离公式，d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]，得到d = √[(5-2)² + (1-3)²] = √[9 + 4] = √13 ≈ 3.16，故答案为√13 或 3.16。

2. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A(-2,4)和点B(3,1)之间的最短距离为______。

答案：√34 或 5.83解析：根据图中两点的坐标，应用最短距离公式，d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]，计算可得d = √[(3-(-2))² + (1-4)²] = √[25 + 9] = √34 ≈ 5.83，故答案为√34 或 5.83。

勾股定理--最短距离问题

蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着外表爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是〔〕A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒ B解：根据两点之间线段最短可知选A ．应选A ．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外外表爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短〞知，线段AB 即为最短路线． AB=51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1，根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD 1=132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其外表爬到点B 的最短路程是〔〕解：如图，AB= ()1012122=++．应选C ．9．如下图一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，那么它从下底面点A 沿外表爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比拟，再从各个路线中确定最短的路线．〔1〕展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；〔2〕展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．〔2021•恩施州〕如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是。

解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．A B A 1B 1D CD 1C 121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的外表爬到对角顶点C 1处〔三条棱长如下图〕，问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．〔2021•荆州〕如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．假设一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，那么蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．解：∵PA=2×〔4+2〕=12，QA=5 ∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ，那么AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172．所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子〔无盖〕的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，那么最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如下图：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。

(完整版)八年级数学最短距离问题

八年级数学最短距离问题最短距离；对称；平移；展开初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。

初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。

一、利用“对称”解决最短路线问题。

对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”。

而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”。

所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。

例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。

分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。

如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’B，与CD的交点P 即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’B2=AG2+BG2，A’B=13公里。

二、利用“平移”解决最短路线问题例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。

请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。

分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。

分别是A点到河岸+桥长+河岸到B 点。

因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，量出AC=EF，如图。

就相当于先过河（AC长），再求C点到B点的最短距离，即线段CB。

初中数学教学课例《勾股定理的应用-最短距离问题》教学设计及总结反思

“蚂蚁怎样走最近？”这个有趣的实际情景，让学生了
解实际问题可以转化成数学问题，让学生体验数学源于教学目标
生活，又应用于生活；在经历寻找和计算“最短距离”
的过程中，让学生理解，为什么要把立体图形展开成平
面图形，使学生逐渐形成思维上的转化思想，进一步体
会数学的应用价值；学生要探究并掌握立体图形转化成
平面图形后，最短距离的寻找方法和利用勾股定理的计
如地应用知识，这也是新的时代对高中数学教学提出的
新的要求。在讲解数学问题的时候，教师不能固定学生
的思维，同一道题教师要引导学生进行不同的思考，鼓
励学生从不同的思考角度想出新的方法来解决同一个
问题。发散思维能够充分调动学生的系统的知识网络，
使学生的阶梯思路更加开阔，知识之间的联系也变得更加密切。教学中，透过引入开放性的数学题目，使学生突破常规的思维方法，解决学生的思维障碍，在课堂上引导学生从不同的角度来处理问题，做到解题的思路和方法的灵活应用，从而突破学生的数学思维障碍。
5.为什么长方体有六种展开方式？（长，宽，高的
组合），为什么排除后只有三种？（重复）
6.多媒体展示三种展开方式的计算结果
课例研究综
对于初二阶段的数学学习，更多强调的是学生的思
述
维品、归纳、综合，不断地对所学知识进行
演绎，经过不断地推导总结，对知识构成本质上的认识。
算方法，这也使学生积累利用数学知识解决日常生活中
实际问题的经验和方法，逐步形成积极参与数学活动的
意识。
学生在七年级已学习过图形的展开与折叠，并了解
两点之间线段最短，有一定基础。本节课要求学生在实学生学习能
际问题中自己寻找并计算最短距离，而八年级学生审题力分析