高中数学知识点精讲精析 线性回归方程

6.4 线性回归方程

1、确定性函数关系：变量之间可以用函数表示

2、相关关系：变量之间具有一定的联系，但不能完全用函数表达

引入：某小卖部为了了解热茶销售量与气温的大致的关系，随机统计并制作了某６天卖出热茶的杯数与当天气温对照表

如果某天的气温是－5℃，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数么？考虑离差的平方和：

一般地，设有ｎ对观察数据如下：

仿照前面的方法，可得线性回归方程中系数a，b满足

由此二元一次方程组便可依次求出b 、a 的值.

相关关系

1. 散点图、正相关、负相关

2. 数据

回归直线方程：

样本相关系数：

1112211n

n n i i i i i i i n n

i i i i n x y x y b n x x a y bx =====⎧⎛⎫⎛⎫

-⎪

⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎛⎫⎨

- ⎪⎪

⎝⎭⎪

⎪=-⎩∑∑∑∑∑)(1

21n x x x n x +++=

)

(1

21n y y y n y +++= ∑=+++=n

i n

i

x x x x

1

2

22212 ∑=+++=n

i n

i

y y y y

12

22212 ∑=+++=n

i n

n i

i y x y x y x y

x 1

2211 ∑∑==--=

n i i n

i i

i x

n x y

x n y

x b 1

2

21x b y a -=a bx y +=⋂

∑∑∑===-⋅--=

n

i n

i i i

n

i i

i y y x x

y

x n y

x r 1

1

2

2

1

)()(

时回归直线有意义

时回归直线无意义

.该市统计调查队随机调查10个家庭，

【解析】

∴ 回归直线有意义

∴ 回归直线：

∑∑∑===---=

n

i n

i i i n

i i

i y n y x n x y

x n y

x 1

1

221)

)((1||≤r 05.0||r r >05.0||r r ≤88

.3210

1

2

=∑=i i

x

∑==10

1

27

.22i i

y

∑==10

1

17

.27i i

i y

x 632.0950.005.0=>=r r 013.0-=a 833.0=b 013.0833.0-=x y

（1）检验是否线性相关. （2）求回归方程.

（3）若市政府下一步再扩大5千煤气用户.试预测该市煤气消耗量将达到多少. 【解析】

解：（1）

线性相关

（2）

（3）代入 所以煤气量达3037万立方米

3. 为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本. 【解析】

解：（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3， (1003)

（2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体（可利用随机数表），剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行.

总体中的每个个体被剔除的概率相等（3/1003），也就是每个个体不被剔除的概率相等（1000/1003），采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是（50/1000），所以在整个抽样过

程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是

4. 某农场种植的甲乙两种水稻，在连续6年中各年的平均产量如下：

哪种水稻的产量比较稳定？ 【解析】

解：

因为

，所以甲水稻的产量比较稳定

5. 已知

10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：x （血球体积，mm ），y （血红球数，百万）

（1）画出上表的散点图；

（2）求出回归直线并且画出图形； （3）回归直线必经过的一点是哪一点？ 【解析】

05.0632.0998.0r r =>=06.6=b 07.0=a x y 06.607.0+=⋂55.05.40

=+=x 37.30=⋂

y 100350

10005010031000=

⨯6/)9.683.638.675.69.675.6(+++++=甲x 75.6=177.0=甲S 6/)68.645.638.613.72.768.6(+++++=乙x 75.6=312.0=乙S 乙甲S S <

解：（1）见下图

（2）

设回归直线为

则

所以所求回归直线的方程为，图形如下：

故可得到

从而得回归直线方程是

点评：借助散点图，可以直观探究两个变量是否具有线形相关关系；运用由最小二乘法思想得到回归直线方程的回归系数和，会由数据求回归直线方程，并利用回归直线方程进行回归分析与预测.

50.45)50394058354248464245(101

=+++++++++=

x 37.7)72.855.620.649.990.599.650.752.930.653.6(101

=+++++++++=

y a bx y +=⋂

176

.01

2

21

=--=

∑∑==n

i i

n

i i

i x

n x

xy

n y

x a 64.0-=-=x a y b 64.0176.0-=⋂

x y 75.430770003

.399307871752

≈⨯-⨯⨯-=

b 2573075.43.399≈⨯-=a 25775.4+=⋂

x y a b