数值分析作业答案
数值分析作业及参考答案

数值分析第一次作业及参考答案1. 设212S gt =,假定g 是准确的,而对t 的测量有0.1±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减少。
解:2**22211()0.122()0.10.2()1122,(),().r r e S S S gt gt gt e S gt e S t gt gt t e S e S =-=-====∴↑↑↓2. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证2''1max ()()max ().8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-解:由112,0),(,0)()()0()00.a b L x l x l x =⨯+⨯=(两点线性插值 插值余项为"111()()()()()()[,]2R x f x L x f x a x b a b ξξ=-=--∈ [,].x a b ∴∀∈有12211()()"()()()max "()[()()]221()()1max "()[]()max "().228a x ba xb a x b f x R x f x a x b f x x a b x x a b x f x b a f x ξ≤≤≤≤≤≤==--≤---+-≤=-21max ()()max "()8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤∴≤-3. 已测得函数()y f x =的三对数据:(0,1),(-1,5),(2,-1),(1)用Lagrange 插值求二次插值多项式。
(2)构造差商表。
(3)用Newton 插值求二次插值多项式。
解:(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+ 故2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑(2)令0120,1,2x x x ==-=,则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+4. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?解:()40000(),(),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!.(4,4).6f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t t h --+±<< 在点 得5. 求2()f x x =在[a,b ]上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差。
数值分析课后习题及答案

第一章 绪论(12) 第二章 插值法(40-42)2、当2,1,1-=x 时,4,3,0)(-=x f ,求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ,6.01=x ,则693147.0)5.0()(00-===f x f y ,510826.0)6.0()(11-===f x f y ,则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ,从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ,5.01=x ,6.02=x ,则916291.0)4.0()(00-===f x f y ,693147.0)5.0()(11-===f x f y ,510826.0)6.0()(22-===f x f y ,则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ,从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题:1、令00=x ,11=x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ,并估计插值余项。
数值分析作业答案

. 证明:(1). 假如 A 是对称正定矩阵,则 A 1也是对称正定矩阵(2). 假如 A 是对称正定矩阵,则 A 能够独一地写成 A L T L ,此中 L 是拥有正对角元的下三角矩阵。
证明:(1). 因 A 是对称正定矩阵,故其特点值i皆大于 0 ,所以 A 1的特点值i 1也皆大于 0 。
因此i1也皆大于 0 ,故 A 是可逆的。
又(A 1)T(A T) 1 A 1则 A 1也是对称正定矩阵。
(2).由A是对称正定,故它的全部次序主子阵均不为零,进而有独一的杜利特尔分解~A LU 。
又u111u12u1nu11u11 u221u2 nU DU 0u22u nn1此中 D 为对角矩阵,U0为上三角矩阵,于是~ ~A L U LDU0由 A 的对称性,得~A A T U0T D L T由分解的独一性得U 0T ~ L进而~ ~A LDL T由 A 的对称正定性,假如设D i (i 1,2, ,n) 表示A的各阶次序主子式,则有d1 D1 0 , d i D i 0 , i 2,3, , nD i 1故d1 d1 d1d2 d2 d2 Dd n d n d n1 1D2D2所以~11~ ~1~1LL T,A LD2D2 L T LD2(LD2)T~1此中 L L D 2为对角元素为正的下三角矩阵。
. 用列主元消去法解线性方程组12 x1 3x2 3x3 1518 x1 3x2 x3 15x1 x2 x3 6并求出系数矩阵 A 的队列式(即 det A )的值。
解18 3 1 15 ( A b) r1 r2 12 3 3 151 1 1 62m2131m311818 3 1 15 0 1 7 / 375 m32 0 7 /6 17 /18 631/ 618 3 1 150 1 7 / 3 50 0 11/ 3 11所以解为 x3 3 , x2 2 , x1 1,det A 66 。
. 用追赶法解三对角方程组Ax b ,此中2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 A012 1 0 , b 0 。
《数值分析》所有参考答案

等价三角方程组
, ,
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组,并比较所得的结果。
解:Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解:
等价三角方程组
回代得
, , ,
16.已知 ,求 , , 。
解:
, ,
17.设 。证明
,(II)
,
当 时
当 时
迭代格式(II)对任意 均收敛
3) ,
构造迭代格式 (III)
,
当 时
当 时
迭代格式(III)对任意 均收敛
4)
取格式(III)
, , ,
4.用简单迭代格式求方程 的所有实根,精确至有3位有效数。
解:
当 时, ,
1 2
当 时
,
,
, ,
1)
迭代格式 ,
,
当 时, ,
任取 迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解:
当 时存在 使得
,
,
所给 为 上的一个范数
18.设 。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解:(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求 , , 及 , 。
解: ,
Newton迭代格式
,
20.设 为 上任意两种矩阵(算子)范数,证明存在常数
, 使得
对一切 均成立。
解:由向量范数的等价性知道存在正常数 使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]
数值分析练习题加答案(一)

数值分析期末考试一、 设80~=x ,若要确保其近似数的相对误差限为0.1%,则它的近似数x 至少取几位有效数字?(4分)解:设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=,所以可得x 的第一位有效数字为8(1分) 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε,令321=⇒-=-n n ,可知x 至少具有3位有效数字(3分)。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond (4分)。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A (1分) 1A =7(1分) 2711=-A (1分)249)(1=A Cond (1分)三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组(6分)942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解:→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x (1分)回代得1,3,5123==-=x x x (1分)四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1)求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式;(6分) 2)求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式;(6分)3)给出以上插值多项式的插值余项的表达式(3分)解:由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得: +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2)计算差商表如下:i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3))2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
数值分析课后部分习题答案

解
x * = 2.00021 = 0.200021 × 101 ,即 m = 1
1 1 × 10m − n = × 10−3 , 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得 即
m − n = −3 ,所以, n = 2 ; y* = 0.032 = 0.32 × 101 ,即 m = 1
由有效数字与绝对误差的关系得 即
m − n = −3 ,所以, n = 4 ; z * = 0.00052 = 0.52 × 10−3 ,即 m = −3
1 1 × 10m − n = × 10−3 , 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得 即
m − n = −3 ,所以, n = 0 .
1 1 × 10m − n = × 10−3 ,Fra bibliotek2 2=
f [x1 , x2 ,⋯ , x n ]-f [ x0 , x1 ,⋯ , x n−1 ] g[ x1 , x2 ,⋯ , x n ] − g[ x0 , x1 ,⋯ , x n−1 ] + x n − x0 x n − x0
( x − 1)( x − 2)( x − 3) 1 =- ( x − 1)( x − 2)( x − 3) , (0 − 1)(0 − 2)(0 − 3) 6
x ( x − 2)( x − 3) 1 = x ( x − 2)( x − 3) , (1 − 0)(1 − 2)(1 − 3) 2 x( x − 1)( x − 3) 1 =- x( x − 1)( x − 3) , (2 − 0)(2 − 1)(2 − 3) 2 x( x − 1)( x − 2) 1 = x ( x − 1)( x − 2) , (3 − 0)(3 − 1)(3 − 2) 6
数值分析作业答案

第2章 插值法1、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。
(1)用单项式基底。
(2)用Lagrange 插值基底。
(3)用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解:(1)用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=,所以:6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为:2652337)(x x x P ++-= (2)用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为:372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为:22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下:Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为:22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。
数值分析课后习题答案

第一章习题解答1. 在下列各对数中,X 是精确值a的近似值(1) a=π,x=3.1 (2) a=1/7,x=0.143 (3) a=π/1000,x=0.0031 (4) a=100/7,x=14.3 试估计x 的绝对误差和相对误差。
解:(1) e=∣3.1-π∣≈0.0416, δr = e/∣x ∣≈0.0143 (2) e=∣0.143-1/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.1 (3) e=∣0.0031-π/1000∣≈0.0279 δr = e/∣x ∣≈0.9 (4) e=∣14.3-100/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.0012. 已知四个数:x 1=26.3,x 2=0.0250, x 3= 134.25,x 4=0.001。
试估计各近似数的有效位数和误差限,并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。
解:x 1=26.3 n=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2x 2=0.0250 n=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2x 3= 134.25 n=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10-4x 4=0.001 n=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5由公式:e r (μ)= e (μ)/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣∂f/∂x i ∣δx ie r (μ1)≦1/∣μ1∣[x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1x 2δx 3] =0.34468/88.269275 =0.0039049e r (μ2)≦1/∣μ2∣[-x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3/ x 1δx 4] =0.497073. 设精确数a>0,x 是a的近似值,x 的相对误差限是0.2,求㏑x 的相对误差限。
数值分析-课后习题答案

证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1. (2)A对称正定,ATA=A2, A2=1. A-12=1/n.
精选课件
12
三.习题3 (第75页)
3-2.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收
计算结果如下:
x x 1 2 ( (k k 1 1 ) ) 3 2 1 2 .x 5 2 (x k ) 1 (k 1 )
k
J法x1(k)
0
1.01
1
0.98
2
2.03
3
1.94
4
5.09
5
4.82
6
14.27
J法x2(k) 1.01 0.485 0.53 -1.045 -0.91 -5.635精选课件 -5.23
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
6
0.518889
3 4精1选 课件
1
1
5
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解,并求解方程组
Ax=b,其中
16 4 8
1
数值分析参考答案

1、确定参数p 、q 、r,使得迭代212512,,,...k k k kqa ra x px k x x +=++==(16分) 解:迭代方程225(),1,2,...qa ra x px k x xϕ=++== 2'3625(),qa ra x p x x ϕ=-- 2''47630(),qa ra x x x ϕ=+ 利用局部收敛性与收敛阶定理4知要使收敛的阶尽可能高,需满足'*''*()0()0x x ϕϕ== 又知 **()x x ϕ= 则可得到以下式子:22235027609qa ra p qa ++=--==......1 ......2 ......3 由以上三式可解得:2539p r a==- 收敛的阶数为3。
题外话:解这样比较复杂的方程组,不太适合手算,最好自己利用MATLAB 编写一个小程序:附带自编小程序:syms p q r a ;s1='sqrt(3)*p+(q*a)/3+(r*a^2)/(9*sqrt(3))=sqrt(3)';s2='p-(2*q*a)/(3*sqrt(3))-(5*r*a^2)/27=0';s3='(6*q*a)/9+(30*r*a^2)/(27*sqrt(3))=0';[p,q,r]=solve(s1,s2,s3,p,q,r)2、用MATLAB编程求著名的Van Der Pol 方程210()x x x x '''+-+= 的数值解并绘制其时间响应曲线和状态轨迹图(给出源程序)(14分)解:先建立一个函数文件fname.m :function xdot=fname(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=(1-x(2)^2)*x(1)-x(2);xdot(2)=x(1);调用函数文件fname.m 求Van Der Pol 方程的数值解并绘制时间响应曲线和状态轨迹图:ts=[0 30]; %设置仿真时间30秒x0=[1;0]; %设置仿真初值[t,x]=ode45('fname',ts,x0);subplot(1,2,1),plot(t,x)subplot(1,2,2),plot(x(:,1),x(:,2))3、试确定常数A ,B ,C ,使得数值求积公式)1()()0()(110Cf x Bf Af dx x f ++≈⎰具有尽可能高的代数精度。
数值分析习题(含标准答案)

]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字(有效数字的计算) 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少(有效数字的计算) 解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需!41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取( , )之间的任意数,都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +,b a ⨯有几位有效数字(有效数字的计算)解:3*1021-⨯≤-aa ,2*1021-⨯≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差(误差的计算)~解:已知δ=-**xx x ,则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=,已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
(误差限的计算)解:*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点:有效数字,相对误差、绝对误差定义及关系;误差分类;误差控制的基本原则;。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字.A .4和3B .3和2C .3和4D .4和4 答案:A2. 设 2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得的近似值x=___________ .答案:2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需!41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取( , )之间的任意数,都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点:二分法N 步后根所在的区间,及给定精度下二分的次数计算;非线性方程一般迭代格式的构造,(局部)收敛性的判断,迭代次数计算; 牛顿迭代格式构造;求收敛阶;1.用二分法求方程012=--x x 的正根,要求误差小于0.05。
(二分法)解:1)(2--=x x x f ,01)0(<-=f ,01)2(>=f ,)(x f 在[0,2]连续,故[0,2]为函数的有根区间。
"(1)计算01)1(<-=f ,故有根区间为[1,2]。
(2)计算041123)23()23(2<-=--=f ,故有根区间为]2,23[。
(3)计算0165147)47()47(2>=--=f ,故有根区间为]47,23[。
(4)计算06411813)813()813(2>=--=f ,故有根区间为]813,23[。
数值分析练习题附答案

目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注:将近似值改写为标准形式X 1 =(5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4)*101 即n=4,m=1 绝对误差限|△X 1|=|X *1-X 1|≤ 12×10m-n =12×10-3 相对误差限|△r X 1|= |X∗1−X1||X∗1|≤|X∗1−X1||X1|= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注:原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法(直接法)2-1用列主元Gauss消元法解方程组解:回代得解:X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中解:(注:详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y=P b 其中P为单位阵(原因是A矩阵未进行行变换)即L y=P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)=(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux =y ,得到结果x即Ux =y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)=(y 1y 2y 3)=(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x =(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解,求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) , b =(123)解:(注:课本 P 26 P 27 根平方法)设L=(l i j ),D=diag(d i ),对k=1,2,…,n,其中d k =a kk -∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11-∑l 1j 20j=1d j =16-0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22-∑l 2j 21j=1d j =5-(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=-32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解:A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解:A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)=(123) ,得(y 1y 2y 3)=(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)=(0.250.8751.7083) ,得(x 1x 2x 3)=(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组:解:(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)=(100200),得(y1y2y3y4y5)=(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)=(256.66671.785700.4784753.718),得(x1x2x3x4x5)=(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法(迭代法)2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3(1) 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式(分量形式) (2) 讨论这两种迭代法的收敛性(3) 取初值x (0)=(0,0,0)T ,若用Jacobi 迭代法计算时,预估误差 ||x*-x (10)||∞ (取三位有效数字)解:(1)Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR(2)因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω(3)由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵,并求解。
数值分析第二章作业答案

第二章1.试证明nn R⨯中的子集“上三角阵”对矩阵乘法是封闭的。
证明:设n n R B A ⨯∈,为上三角阵,则)( 0,0j i b a ij ij >== C=AB ,则∑==nk kjik ij b ac 1)( 0j i c ij >=∴,即上三角阵对矩阵乘法封闭。
2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512103421121A ,求A 的行空间)(T A R 及零空间N(A)的基。
解:对T A 进行行变换,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00100010121420050000121501131242121TA 3)(=∴T A r ,)(T A R 的基为[][][]T T T 5121,03421121321=-==ααα,由Ax=0可得[]Tx 0012-=∴N(A)的基为[]T0012-3.已知矩阵321230103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,试计算A 的谱半径()A ρ。
解:2321()det()230(3)(64)013A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--max 35()3 5.A λρ=+=+4、试证明22112212211221,,,R E E E E E E ⨯+-是中的一组基。
,其中11121001,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22210000,1001E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
1222112112211221134112212211221234134411221221122123410010000,,,00001001010110100000E E E E E E E E k k k k k k k E E E E E E k k k k k k E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫++++-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++++-解:,()()令因此()(0000O E ⎛⎫== ⎪⎝⎭)12331112212212211221111221122122112222112212211221 0 ,22,,,k k k k a a A V a a a a a aA a a E E E E E E R E E E E E E ⨯⇔====⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+-=+++-+∴+-对于任意二阶实矩阵有()()是中的一组基。
(完整版)数值分析课后习题答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。
解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足,而,故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。
解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字,其误差限,相对误差限有2位有效数字,有5位有效数字,3.下列公式如何才比较准确?(1)(2)解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。
(1)(2)4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取,利用:式计算误差最小。
四个选项:第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。
线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值误差限,因,故二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值误差限,故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h 应取多少?解:用误差估计式(5.8),令因得3. 若,求和.解:由均差与导数关系于是4. 若互异,求的值,这里p≤n+1.解:,由均差对称性可知当有而当P=n+1时于是得5. 求证.解:解:只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解:根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解:先构造差分表计算,用n=4得Newton前插公式误差估计由公式(5.17)得其中计算时用Newton后插公式(5.18)误差估计由公式(5.19)得这里仍为0.5658.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。
数值分析详细答案(全)

第二章 插值法习题参考答案2.)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅+------⋅-+-+-+⋅=x x x x x x x L3723652-+=x x . 3. 线性插值:取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ,则620219.0)54.0()54.0(54.0ln 0010101-=-⋅--+=≈x x x y y y L ;二次插值:取510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ,则)54.0(54.0ln 2L ≈))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅+----⋅+----⋅==-0.616707 .6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值,则有)()(x R x P x n n k +=)())(()!1(1)(0)1(0n n ni k j j x x x x f n x x l --++=+=∑ ξ由于0)()1(=+ξn f,故有kni k j jxx x l≡∑=0)(.ii) 构造函数,)()(kt x x g -=在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值,有∑=-=ni j k j n x l t x x L 0)()()(.插值余项为 ∏=+-+=--nj j n n kx x n g x L t x 0)1()()!1()()()(ξ, 由于).,,2,1(,0)()1(n k g n ==+ξ故有 .)()()()(0∑=-==-ni j k j n kx l t x x L t x令,x t =即得 ∑==-ni j k jx l t x)()(.8. 截断误差].4,4[),)()((61)(2102-∈---=ξξx x x x x x e x R其中 ,,1210h x x h x x +=-= 则hx x 331+=时取得最大值321044392|))()((|max h x x x x x x x ⋅=---≤≤- .由题意, ,10)392(61|)(|6342-=⋅⋅≤h e x R所以,.006.0≤h16. ;1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f .0!7)(]2,,2,2[)8(810==ξf f19. 采用牛顿插值,作均差表:i x)(i x f一阶均差 二阶均差0 1 20 1 11 0-1/2],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=))()()((210x x x x x x Bx A ---++)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得,41,43=-=B A 所以 .)3(4)(22-=x x x p第三章 函数逼近与计算习题参考答案4.设所求为()g x c =,(,)max(,),max (),min ()a x ba x bf g M c m c M f x m f x ≤≤≤≤∆=--==,由47页定理4可知()g x 在[],a b 上至少有两个正负交错的偏差点,恰好分别为()f x 的最大值和最小值处,故由1(),()2M c m c c M m -=--=+可以解得1()()2g x M m =+即为所求。
数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列关于数值分析的说法,错误的是()。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案:B2. 在数值分析中,插值法主要用于()。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案:D3. 线性方程组的解法中,高斯消元法属于()。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案:A4. 牛顿法(Newton's method)是一种()。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案:C5. 在数值分析中,下列哪种方法用于求解非线性方程的根?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案:B6. 下列关于误差的说法,正确的是()。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案:C7. 在数值分析中,下列哪个概念与数值稳定性无关?A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案:D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x,下列哪一项是正确的?A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案:A9. 插值多项式的次数最多为()。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案:B10. 下列关于数值积分的说法,错误的是()。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案:D二、填空题(每题3分,共15分)1. 在数值分析中,条件数是衡量问题的______。
数值分析习题答案

第一章 绪论3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:**1 1.1021x =,**20.031x =, **3385.6x =, **456.430x =,**57 1.0.x =´解:*1 1.1021x =是五位有效数字;是五位有效数字;*20.031x =是二位有效数字;是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字;是四位有效数字;*456.430x =是五位有效数字;是五位有效数字; *57 1.0.x =´是二位有效数字。
是二位有效数字。
4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
题所给的数。
解:解:*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x e e e e e -----=´=´=´=´=´ ***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x e e e e ----++=++=´+´+´=´***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x e e e e ---=++=´´´+´´´+´´´»**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x e e e ---+»´´+´´=´= 6.设028Y =,按递推公式11783100n n Y Y -=- (n=1,2,n=1,2,……)计算到100Y 。
数值分析参考答案

数值分析参考答案1.4 习题解答或提示1、解:(1)>> a=[1 2 3 ;4 5 6 ]'a =1 42 53 6(2)>> b=[9;7;5;3;1]b =97531(3)>> c=b(2:4)c =753(4)>> d=b(4:-1:1)d =3579(5)>> e=sort(b)e =13579(6)>> f=[3:b']f =3 4 5 6 7 8 92、解:>> x=[7 4 3 ];y=[-1 -2 -3];(1)>> u=[y,x]u =-1 -2 -3 7 4 3 (2)>> u=[x,y]u =7 4 3 -1 -2 -33、解:sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; for i=1 : length(a)if a(i)>0, sum=sum+a(i); endendsumsum =214、解:m=input('input an array:')input an array:[1 2 5;3 1 2;4 1 3]m =1 2 53 1 24 1 35、解:sum(m)ans =8 4 10>> max(m)ans =4 2 5>> min(m)ans =1 1 26、解:function y=fun_es(x)y=0.5.*exp(x./3)-x.^2.*sin(x);>> fun_es(3)ans =0.0891>> fun_es([1 2 3])ans =-0.1437 -2.6633 0.08917、提示:本题主要考查的是随机数生成函数rand的使用方法,以及选取种子数的方法之一:使用clock命令。
可以参照课本的例1.5来编写函数。
8、解:function y=fun_xa()x=input('input the value of x:');n=input('input the value of n:');y=1;for i=1:1:ny=y+x^i/factorial(i); end>> fun_xa()input the value of x :1 input the value of n :4ans =2.70832.4 习题解答1 解:E(lnx)=(ln ’E(x)=)(1x E x =xδ=Er(x) 2. 解 Er(x 2)=)(22x Er x xx ⨯=4% 3. 解:123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0x x x x x *****=====⨯分别有5 位,2位,4位,5位,2位有效数字4 解 4*1105.0)(-⨯=x E3*2105.0)(-⨯=x E1*3105.0)(-⨯=x E3*4105.0)(-⨯=x E=++)(*4*2*1x x x E +)(*1x E +)(*2x E )(*4x E =0.00105))()((*4*2x E x E E =)()()(*42*4*2*4*2x E x x x x E -5. 解 V=334r π Er(v)=)(//x Er V x dx dV ⨯⨯=3Er(x)%1)(3≤x Er%33.0)(≤x Er6. 解 7830100-=Y Y)783()(100E Y E ==0.00057.解 x 1,2=24561122-±=56783±21,2105.0)x (-⨯=E 2105.0)783(-⨯=E98.27783≈x 1,2=83.98 或 28.02 8.略。
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式中
令得
插值点个数
是奇数,故实际可采用的函数值表步长
8、,求及。
解:由均差的性质可知,均差与导数有如下关系:
所以有:
15、证明两点三次Hermite插值余项是
并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。
证明:利用[xk,xk+1]上两点三次Hermite插值条件
数值分析作业答案
插值法
1、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。
(1)用单项式基底。
(2)用Lagrange插值基底。
(3)用Newton基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解:(1)用单项式基底
设多项式为:,
所以:
所以f(x)的二次插值多项式为:
(2)用Lagrange插值基底
(3)
18、用三点公式求在处的导数值,并估计误差。的值由下表给出:
1.01.11.2
0.25000.22680.2066
解:三点求导公式为
取表中,分别将有关数值代入上面三式,即可得导数近似值。
由于
从而可求得误差上限与导数值如下:
X1.01.11.2
三点公式-0.247-0.217-0.187
误差0.00250.001250.0025
综合以上过程有:
确定误差限:
记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。
在区间[xk,xk+1]上有
而最值
进而得误差估计:
16、求一个次数不高于4次的多项式,使它满足,,。
解:满足,的Hermite插值多项式为
设,令得
于是
第3章曲线拟合的最小二乘法
16、观测物体的直线运动,得出以下数据:
解得。所求公式至少具有2次代数精确度。又由于
故具有3次代数精确度。
(2)
分别代入公式两端并令其左右相等,得
解得:
令得
令,得
故求积分公式具有3次精确度。
(3)
当时,易知有
令求积分公式对准确成立,即
则解得或
将代入已确定的积分公式,则
故所求积分式具有2次代数精确度。
(4)
当时,有
故令时求积公式准确成立,即
(1);
(2);
(3)。
解:(1)
00.7717433
1
0.72806990.7135121
2
0.71698280.71328700.7132720
3
0.71420020.71327260.71327170.7132717
(2)
03.4513132*10-6
18.6282830*10-7-4.4469230*10-21
Lagrange插值多项式为:
所以f(x)的二次插值多项式为:
(3)用Newton基底:
均差表如下:
xkf(xk)一阶均差二阶均差
10
-1-33/2
247/35/6
Newton插值多项式为:
所以f(x)的二次插值多项式为:
由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。
6、在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求ex的近似值,要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h应取多少?
(1)考察用雅可比迭代法,高斯-塞德迭代法解此方程组的收敛性;
(2)用雅可比迭代法,高斯-塞德迭代法解此方程组,要求当时迭代终止。
解:(1)因系数矩阵按行严格对角占优,故雅可比迭代法与高斯-塞德迭代法均收敛。
(2)雅可比迭代法格式为
取,迭代到17次达到精度要求
高斯-塞德迭代格式为
取,迭代到8次达到精度要求
从而有
(2)右矩形公式,同(1),将f(x)在b点处展开并积分,得
(3)中矩形分式,将在处展开,得
两边积分并用积分中值定理,得
6、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分,问区间应分多少等份才能使截断误差不超过。
解:由于
由复合梯形公式的余项有:
解得可取
由辛普森公公式的余项有:
解得可取
8、用龙贝格求积方法计算下列积分,使误差不超过
理论解-0.25-0.2159594-0.1878287
数值积分法,令,由
对积分采用梯形公式,得
令k=0,1,得
同样对
有
从而有
代入数值,解方程,即得如下
X1.01.11.2
三点公式-0.247-0.217-0.187
误差-0.25-0.2159594-0.1878287
理论解-0.25-0.2159594-0.1878287
知有二重零点xk和k+1。设
确定函数k(x):
当或xk+1时k(x)取任何有限值均可;
当时,,构造关于变量t的函数
显然有
在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理,存在及使得
在,,上对使用Rolle定理,存在,和使得
再依次对和使用Rolle定理,知至少存在使得
而,将代入,得到
推导过程表明依赖于及x
i012345
时间t/s00.91.93.03.95.0
距离s/m010305080110
求运动方程。
解:经描图发现t和s近似服从线性规律。故做线性模型,计算离散内积有:
,
求解方程组得:
,
运动方程为:
平方误差:
17、已知实验数据如下:
i01234
Xi1925313844
Yi19.032.349.073.397.8
第5章解线性方程的直接方法
7、用列主元消去法解线性方程组
并求出系数矩阵A的行列式的值。
8、用直接三角分解求线性方程组的解。
解:由公式
知
2
-36
12、设,计算A的行范数,列范数,2-范数及F-范数。
解:
13、求证:(1);(2)
证明:(1)由定义知
(2)由范数定义,有
故
第6章解线性方程的迭代法
1、设线性方程组
第七章
第八章
第九章
用最小二乘法求形如的经验公式,并计算均方差。
解:,计算离散内积有:
,
求解方程组得:
,
所求公式为:
均方误差:
第4章数值积分与数值微分
1、确定下列求积分公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:
(1);
(2);
(3);
(4)。
解:(1);
将分别代入公式两端并令其左右相等,得
解得。
将代入上述确定的求积分公式,有
故所求积公式具有3次代数精确度。
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
(1)
(2)
(3)
解(1)复化梯形公式,
复化辛普森公式,
(2),
(3),
5、推导下列三种矩形求积公式:
;
;
。
解:(1)左矩形公式,将f(x)在a处展开,得
两边在[a,b]上积分,得
由于x-a在[a,b]上不变号,故由积分第二中值定理,有