2.4直接三角分解法
线性方程组的几种求解方法
甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。
关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。
2010版数值分析教学大纲(最新)
《数值分析》课程教学大纲课程代码：090141031课程英文名称：Numerical Analysis课程总学时：64 讲课：64 实验：0 上机：0适用专业：信息与计算科学专业大纲编写（修订）时间：2010.07一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标《数值分析》是为信息与计算科学专业学生开设的必修课。
在实验方法和理论方法之后，科学计算已成为科学研究的第三种方法。
学习和掌握计算机上常用的数值计算方法已成为现代科学教育的重要内容。
通过本课程的学习，使学生了解和掌握这门课程所涉及的各种常用的数值计算公式、数值方法的构造原理及适用范围，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。
通过本课程的学习，学生将达到以下要求：1.掌握数值计算的基本理论和基本方法，提高数学素养；2.具有运用Matlab等工具进行具有一定难度和复杂度的数值解运算的技能，提高应用计算机进行科学与工程计算的能力；3.树立正确的算法设计理念；4.了解数值计算方法的新发展。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求1.知识方面的基本要求：掌握算法的基本原理和思想，包括算法的构造、算法处理的技巧、误差分析、收敛性和稳定性等基本理论。
2．基本理论和方法：误差与有效数字定义、函数插值与逼近的方法、积分与微分的数值计算方法、线性方程组的直接解法、线性方程组的迭代法、非线性方程根的求解方法、常微分方程初值问题的数值解法等3.基本能力：使用各种数值方法解决实际计算问题。
不仅要学会“怎样算”，而且必须做到“真会算”，即不仅要知道问题的解是存在的，还必须能求出具体的结果。
具有应用计算机进行科学与工程计算和解决实际问题的能力。
（三）实施说明1．教学方法：课堂讲授中要重点对算法的构造、算法处理技巧和误差分析的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；增加讨论课，调动学生学习的主观能动性；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。
三角分解法
ai j =
min( i , j ) k =1
∑l
ik
uk j
ai j =
min( i , j )
一般采用列主元 对换, 将 i ,j 对换,对 j = i, i+1, …, n 有 一般采用列主元 ii a ji = ∑ l jk uki + l ji u k= k =1 法增强稳定性. 法增强稳定性.但注意 v i 1 b 也必须做相应的 l ji = ( a ji ∑ l jk uki ) / uii b 行交换. 行交换. k =1
=I
Upper-triangular
Lower-triangular With diagonal entries 1
注: L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称为 单位上三角阵的分解称为 Crout 分解. 分解. ~~ 分解, 实际上只要考虑 A* 的 LU 分解,即A* = L U ,则 ~ ~ A= U * L* 即是 A 的 Crout 分解. 分解. =
(
)
n1 Step 6 Set l = 运算量为2 O(n3/6), 比普通 ann ∑ k =1 lnk ; , 比普通LU nn Step 7 Output ( lij for j = 1, …, i and i = 1, …, n );A = LDLT 分解少一半, 次开方. 分解少一半,但有 n 次开方.用
mn1
v A b
( 2) (2)
(1 (1 ( a11) a12) ... a11) n Step n 1: (2 ( v a22) ... a22) n Ln1Ln2 ... L1 A b = ... . . . (n ann)
电力系统分析课程设计报告_4
电力系统分析课程设计报告题目: 电力系统三相对称短路计算专业: 电气工程及其自动化班级:姓名:学号:指导教师:目录电力系统分析........................................................................................................................... - 0 -第一章设计目的与任务 ......................................................................................................... - 2 -1.1设计目的.................................................................................................................... - 2 -1.2设计任务.................................................................................................................... - 2 -第二章基础理论与原理 ......................................................................................................... - 2 -2.1 对称短路计算的基本方法 ....................................................................................... - 2 -2.2 用节点阻抗矩阵的计算方法 ................................................................................... - 4 -2.3 用节点导纳矩阵的计算方法 ................................................................................... - 6 -2.4 用三角分解法求解节点阻抗矩阵 ........................................................................... - 7 -2.5 短路发生在线路上任意处的计算方法 ................................................................... - 8 -第三章程序设计..................................................................................................................... - 9 -3.1 变量说明................................................................................................................... - 9 -3.2 程序流程图............................................................................................................. - 10 -3.2.1主程序流程图 .............................................................................................. - 11 -3.2.2导纳矩阵流程图 .......................................................................................... - 12 -3.2.3三角分解法流程图 ...................................................................................... - 13 -3.3 程序源代码见附录1 ............................................................................................ - 14 -第四章结果分析................................................................................................................... - 14 -第五章收获与建议............................................................................................................... - 15 -参考文献................................................................................................................................. - 17 -附录......................................................................................................................................... - 17 -附录1: 程序源代码..................................................................................................... - 18 - 附录2: 测试系统数据与系统图 ................................................................................... - 23 - 附录3: 测试系统的运行结果- 25 -第一章设计目的与任务1.1设计目的1、加深理解并巩固电力系统发生短路的基本知识。
数值分析-第二章-学习小结
数值分析-第二章-学习小结(总9页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第2章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会本章主要学习的是线性方程组的解法。
而我们则主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。
这三种方法的优缺点以及适用范围各有不同。
高斯消去法中，我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。
顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解，但要求系数矩阵的主对角线元素不为零，而且该方法的数值稳定性没有保证。
但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整，其有较好的数值稳定性。
直接三角分解法中，我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。
其思想主要是：令系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b 的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。
这种方法计算量较小，但是条件苛刻，且不具有数值稳定性。
迭代法（逐次逼近法）是从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。
该方法要求迭代收敛，而且只经过有限次迭代，减少了运算次数，但是该方法无法得到方程组的精确解。
二、本章知识梳理针对解线性方程组，求解线性方程组的方法可分为两大类：直接法和迭代法，直接法（精确法）：指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算就能得到精确解。
迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。
我们以前用的是克莱姆法则，对于计算机来说，这种方法运算量比较大，因此我们学习了几种减少运算次数的方法，有高斯消去法、直接三角分解法，同时针对病态方程组，也提出了几种不同的解法。
Gauss消去法Gauss消去法由消元和回代两个过程组成，消元过程是指针对方程组的增广矩阵，做有限次初等行变化，使它系数矩阵变为上三角矩阵。
用矩阵的直接三角分解法解方程组
用矩阵的直接三角分解法解方程组矩阵的直接三角分解法（LU分解法）是解线性方程组的一种常用方法。
该方法通过将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而简化方程组的求解过程。
下面我们就来详细分步骤地介绍一下这种方法的求解过程。
第一步，将原线性方程组表示为矩阵形式，即将系数矩阵、未知量矩阵和常数矩阵分别表示为A、X和B。
我们的目标是找到一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得方程组可以表示为LUx = B的形式。
第二步，通过高斯消元法将系数矩阵A化为上三角矩阵U。
具体地，我们将系数矩阵A变换为U的过程可以分解为一系列的初等矩阵变换，例如交换两行、乘以一个非零常数和将某一行加上另一行的若干倍等等。
这些初等矩阵变换可以表示为一个矩阵M的乘积，即A =M1M2...MnU。
从而，我们得到了上三角矩阵U。
第三步，同样通过一系列初等矩阵变换将U转化为下三角矩阵L。
这些初等矩阵变换可以表示为一个矩阵N的乘积，即U = NL1L2...Lm。
从而，我们得到了下三角矩阵L。
第四步，将方程组表示为LUx = B的形式。
具体地，我们将A, X 和B分解为L, U和x的乘积，即A = LU，X = UL，B = Ux。
从而，原方程组可以表示为LUx = B，即L(Ux) = B。
第五步，解方程组L(Ux) = B。
由于L是下三角矩阵，因此可以通过前代法求解得到Ux。
具体地，我们先通过Lw = B求解出向量w，然后再通过Ux = w求解出未知量向量x。
总的来说，矩阵的直接三角分解法（LU分解法）是一种常用的解线性方程组的方法。
它将原方程组表示为LUx = B的形式，然后通过前代法和回代法求解得到未知量向量x。
这种方法具有求解速度快、计算量小的优点，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
(整理)线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。
例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（2.1）的未知量的数值。
（2.1）其中ai j，bi为常数。
上式可写成矩阵形式Ax = b，即（2.2）其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。
当detA=D0时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组的解存在且惟一，且有为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。
克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。
例如，解一个100阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。
在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。
研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。
解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。
从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。
但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。
迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第2章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。
在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。
在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
矩阵理论及方法(谢冬秀,雷纪刚,陈桂芝编著)PPT模板
第7章矩阵的广义逆与直积及其应用
7.1矩阵的几种广义逆
01
7.1.1广义逆矩阵的基本概 念
03
7.1.3自反减号逆A<sup></sup><sub>r</sub>
05
7.1.5最小二乘广义逆A<sup></sup><sub>l</sub>
02
7.1.2减号逆
04
7.1.4极小范数广义逆A<sup></sup><sub>m</sub>
01
习题6
06
6.2随机矩 阵与双随 02 机 矩 阵
6 . 5 T o e p l 05 itz矩阵与 Hankel
矩阵
04
6.4广义对 角占优矩阵
6.3M矩
03
阵与 Stieltje
s矩阵
第6章几类特殊矩阵
6.1非负矩阵
6.1.2非负矩 阵谱半径的 界
6.1.1Perron -Frobenius 定理
2.4.3常用的 直接三角分 解法
第2章矩阵的变换与分解
2.5QR分解
2.5.1QR分解的概念
2.5.2QR分解的实际求 法
2.5.3基于QR分解的参 数估计问题
2.5.4矩阵与Hessenberg矩 阵的正交相似问题
04 第3章矩阵范数及其应用
第3章矩阵范数及其应用
3.1向量范数
3.2矩阵范数
06
7.1.6加号逆 A<sup>+</sup>
第7章矩阵的广义逆与直积及其应用
7.2广义逆与线性方程组的解
解线性方程组直接法
第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。
例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。
为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。
3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。
此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇔∈n n x x x 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成其中 a i 为A 的第i 列。
同理 其中Ti b 为A 的第i 行。
矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m nm R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c .（2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C（3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kj ikb acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T n m a c ==∈⨯ , ,A C R A （5） 单位矩阵 ()nn ⨯∈=Re ,,e ,e I n 21 ，其中()T k e 0,0,1,0,0 = k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设n n ⨯∈R A ，n n ⨯∈R B 。
用直接三角分解法解线性方程组
l21 a21 u11 2 1 2，l31 a31 u11 3 1 3， (2)r 2，u2i a2i l21u1i ,(i 2,3)，
则 u22 a22 l u21 12 5 2 4 3， u23 a23 l21u13 8 2 7 6， l32 (a32 l31u12 ) / u22 2，
l 21 l n1
1 ln2
1
u22 u2n unn
Ax
b的
计
算
公
式
（
步
骤
）
：
1
u11 u12 u1n
1.分解计算
A aij
(1) u1i a1i， li1 ai1 / u11(i 2, , n)
（2）r 2,3, , n
l 21 l n1
1 ln2
换行
2 1 4
0 0 2
0 0 0
3 1 1
0 2 3
消元
2 1 4
0 0 0
0 0 2
3 1 1
3 1 1 0 1
3 1 1 0 1
换行
4 1 2
0 0 0
2 0 0
1 1 3
1 2 0
消元
4 1 2
0 0 0
2 0 0
1 1
1 0
2 6
3 0
4 12
于0，对非奇异矩阵A，若a11 0 ，则可以交换两行元素，此交换也 可以用置换阵与A相乘表示，因此有以下的PLU分解。
2、非奇异方阵的PLU分解
定理11 设n阶方阵A为非奇异矩阵，则存在n阶置矩阵P，n阶 单位下三角方阵L和n阶上三角方阵U使得PA=LU，此分解称为PLU
分解。
注：在实际计算时，把求LU分解与求置换阵P穿插进行。
第二章 解线性代数方程组的直接法(DOC)
第二章 解线性方程组的直接法本章研究的对象是n 阶线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a .........22112222212111212111 （2.1）其矩阵形式为b AX = （2.1）′其中，)(ij a A =是方程组的系数矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X ...21,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n b b b b ...21分别为方程组的未知向量和常数向量。
所谓直接法，就是在不计舍入误差时，经过有限步运算能求得方程组精确解的方法。
下面介绍几种较实用的直接法。
2.1 Gauss 消去法 2.1.1 Gauss 顺序消去法高斯（Gauss ）消去法实质是消元法,只是步骤规范,便于编程。
它的基本做法是把方程组(2.1)转化成一个等价的三角方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n g x b g x b x b g x b x b x b 2222211212111 (2.2) 这个过程称为消元。
然后,逐个求出11,,,x x x n n -,这个过程称为回代。
(一) 高斯消去法的计算过程为了符号统一,把方程组(2.1)改写成下面形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++)1()1(2)1(1)1()1()1(2)1(1)1()1()1(2)1(1)1( (212)22221111211n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n(2.3)用矩阵表示为)1()1(b X A = (2.3)′其中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)1()1(2)1(1)1(2)1(22)1(21)1(1)1(12)1(11)1(nn n n nn a a a a aa a aa A, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()1()1()1(...21n b b b b 若0)1(11≠a ,用第二个方程减去第一个方程的)1(11)1(21/a a 倍,第三个方程减去第一个方程的)1(11)1(31/a a 倍,等等。
三角分解
列主元素高斯消去法相当于先进行一系列行交换后再对 PAX Pb 应用顺序高斯消去法.
定理8(列主元三角分解) 若A为非奇异矩阵, 则存在排列 矩阵P使得 PA LU 其中L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵. 说明: L, U, Ip的存贮.
§7.4
高斯消去法的变形
设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n x1 b1 a x b a22 a2 n 21 , X 2 , b 2 . A 如何简单的实现三 a x 角分解？ bn an 2 ann n1 n
本节主要内容
1、回顾高斯消去法与三角分解的关系 2、三角分解的条件、方法与应用
下面用矩阵描述列主元消去法
L1I1,i1 A(1) A( 2) , L1I1,i1b(1) b( 2) ,, Lk I k ,ik A( k ) A( k 1) , Lk I k ,ik b( k ) b( k 1) .
其中I k ,ik 为初等置换阵.
于是 Ln 1I n 1,in1 L2 I 2,i2 L1I1,i1 A A( n ) U . ~ ~ P为排列矩阵 即 P A U , P b b( n ) . ~ L为单位下三角矩阵 下面就n 4考察P .
UA
( 4)
L3 I3,i3 L2 I 2,i2 L1I1,i1 A
PA 选主元三角分解算法： A, 整型Ip(n)记录主行, x b.
1. 对r 1,2,, n, r 1 (1) 计算si : air si air lik ukr (i r ,, n). k 1 (2) 选主元：取ir 使得 sir max si ，Ip(r ) ir
直接三角解法
设A=LU，记 A ? (aij ), L ? (lij ),U ? (uij ), 其中L为单位下三角阵，
U为上三角阵。我们可直接给出 L和U的元素的计算公式。 由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即
u1 j ? a1 j , j ? 1,2, , n,
（4.2.1）
如果U的第1至k-1列lk1和?L的au1k1第1 ,1k至?k2-1,3列, 已经, n算. 出，则由（4.2.2）
20 ??
14 / 3 ?
216
/ 39
? ?
由此知
第四章方程组的直接解法
?? u 11 ? l 21
u 12 u 22
? ?
??
A～?
? ?
?
l 32 ? ??
?? ? ? ?? ?
??? l n 1 l n 2 ?
? ?
u k ? 1,k ? 1 lk ,k ? 1
? ln ,k ? 1
?? ??
??
a (k ) kk
?
?
a (k ) nk
?
u 1n ?? u2n ?
以上解方程组的计算与顺序 Gauss 消去法相当。如果有一系列方 程组，其系数距阵都是相同的，右端向量b不同，则只须进行一次LU 分解计算。上述解方程的方法称为LU分解法，也称Doolittle 方法。
例4.5 用LU分解法求解
第四章方程组的直接解法
?? 6 2 1 ? 1 ???? x 1 ?? ?? 6 ??
?? ?
u k ? 1,n ?
a (k ) kn
? ?
??
a (k ) nn
???
该矩阵与顺序Gauss 消去法中得到的A（k）是不同的，这种存储 方式的形式称为紧凑形式。
矩阵分解及应用
引言数学是人类历史中发展最早，也是发展最为庞大的基础学科。
许多人说数学是万理之源，因为许多学科的研究都是以数学做为基础，有了数学的夯实基础，人类才铸就起了众多学科的高楼大厦，所以数学的研究和发展一直在不断的发展壮大。
在数学中有一支耀眼的分支，那就是矩阵。
在古今矩阵的研究发展长河中产生了许多闪耀星河的大家。
英国数学大家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特，一个数学狂人，正是他的孜孜不倦的研究使得矩阵理论正式被确立并开启了矩阵发展的快速发展通道。
凯莱和西尔维斯特是非常要好的朋友，他也是一位非常伟大的数学大师，正是他们伟大的友谊，加上两人的齐心协力最后他们共同发展了行列式和矩阵的理论。
后来高斯在矩阵方面的研究取得重要的成就，尤其是高斯消去法的确立，加速了矩阵理论的完善和发展。
而在我国，矩阵的概念古已有之。
从最早的数学大家刘徽开始我们古代数学大家都已或多或少的研究了矩阵。
尤其在数学大家刘徽写的《九章算术》中，它最早提出了矩阵的类似定义。
而且是将矩阵的类似定义用在了解决遍乘直除问题里了。
这已经开始孕育出了最早的矩阵形式。
随着时间转移，矩阵的理论不断的完善，在对于那些大型矩阵的计算中如果用基本方法显得过于繁重，于是发展出了矩阵的分解，随着对矩阵分解的不断研究完善，矩阵分解方法和理论也日趋成熟矩阵经常被当做是数学工具，因为在数学问题中要经常用上矩阵的知识。
矩阵是一个表格，要掌握其运算法则，作为表格的运算与数的运算既有联系又有差别，在所有矩阵的运算方法中，矩阵的分解是他们中一种最重要并且也是应用最广泛。
矩阵分解主要是对高斯消去法的延续和拓展。
在一些大型的矩阵计算中，其计算量大，化简繁杂，使得计算非常复杂。
如果运用矩阵的分解，将那些大型矩阵分解成简单的矩阵的乘积形式，则可大大降低计算的难度以及计算量。
这就是矩阵分解的主要目的。
而且对于矩阵的秩的问题，特征值的问题，行列式的问题等等，通过矩阵的分解后都可以清楚明晰的反应出来。
方程组直接三角分解法
如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由
ak1 lk1 , k 2,3, u11
k r 1
, n.
（4.2.2）
a l u ,j k , k 1 , , n , kj kr rj
可得U的第k行元素
ukj =akj 同理，由
k
k 1 r 1
l kr u rj
用向后回代的方法即可求得x。设x=（x1 ，x2， · · · xn) T, y=（y1, y2, · · · yn) T,b= （b1 ，b2， · · · bn) T, 则有计算公式
y b 1 1 i 1 （4.2.5） y b l y 1 , 2 ,..., n i i ir r ,i r 1
(4.2.8)
利用(4.2.7)和(4.2.7)可得
u1 b 1 n li ai / ui1, i 2,3,... u b l c , i 2,3,... n i i i1 i
(4.2.9)
由此可求得L和U的所有元素.。解原方程组Ax=b可分为两步Ly=d 和Ux=y,计算公式为
由于方车程组的右端参与了消元计算，所以Ly=Pb的解为y=b（3）= （20，14/3，216/39） T 。解Ux=y得x=（1，2，3） T
4.2.2
三对角方程组的追赶法
b a1 A c1 b c2 a n1 bn1 an c n1 bn
(k ) akk
uk 1,k 1 l k , k 1 l n , k 1
(k ) ank
u1n u2 n uk 1,n (k ) akn (k ) ann
研究生数值分(8)直接三角分解法
(b) 对k+2,3,…,n 按计算公式(3),(4)依次
计算U的第k行元素 uki (i k, k 1, , n) 与L的第
k列元素 lik (i k 1, , n; k n)
20 求解三角形方程组LY=b，即按计算公
(i k, k 1, , n) （3）
k 1
lik (aik liju jk ) / ukk j 1
(i k 1, , n; k n) （4）
在我们利用杜利特尔矩阵分解解线性方程 组AX=b时,只要实现矩阵分解A=LU,依次解三角 形方程组LY=b与UX=Y即可。
计算公式：
y1
yk
对那些明确是1或是0的元素不再求。 由矩阵乘法规则与相等条件,
利用 aij 在上述计算过程中，
导出计算 lij 或 uij 的公式。
例如
第一步计算由 ai1 li1u11 得
u1i a1i (i 1,2, ,n)
第二步计算由 a1i u1i 得 li1 ai1 / u11 (i 2,3, ,n)
, n 1)
因此有 1 c1 / a1且0 1 1 由 a2 b2 a21 b2 a2 1 b2 a2 c2 0 有 2 c2 / a2且0 2 1
一般地，用归纳法可以证明
ai ci 0 （即0 i 1） (i 1, 2, , n 1)
因此我们从关系式（2）解出待定系数为
5 3 2, 2 3 5
3
2
3
4
b 7
1
0
2、用追赶法求方程组的解
4 1 0 0 x1 3
1
4
1
数值分析-第二章小结
第二章 线性方程组的数值解法-------学习小结姓名 班级 学号 一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了线性方程组的不同解法，切实体会到了不同的计算方法对计算结果的影响。
求解线性方程组的方法可分为两大类：直接方法和迭代方法。
直接方法在解一般的线性方程组的时候比较简便，使用此方法经过有限次运算就可得到方程组的解。
然而迭代法是要构造一个无限的向量序列，其极限是方程组的解向量，它适用于求解大型稀疏线性方程组。
总的来说，直接方法和迭代法各有优点与不足，在解线性方程组的时候，我们要根据具体的线性方程组的特点来选择合适的解法，这样我们才能快速准确的得到方程组的解。
因此，我们要熟悉书中介绍的各类线性方程组的解法，同时要善于思考、总结，在使用各种方法求解的同时尽量提出自己独特的见解，通过不断练习计算，使自己的能力得到提高。
二、本章知识梳理线性方程组的求解方法分为直接法和迭代法两种，Gramer （克莱姆）法是直接法的一种，但由于其计算量比较大，在世界工作中其效率比较低、经济效益差，所以此方法我们很少使用，本章主要介绍其他的计算方法。
2.1 Gauss 消去法Gauss （高斯）消去法由消元和回代两个过程组成。
消元过程就是对方程组的增广矩阵做有限次的初等行变换，使它的系数矩阵部分变换为上三角阵。
所用的初等行变换主要有两种：第一种，交换两行的位置；第二种，用一个数乘某一行加到另一行上。
回代过程就是先由方程组的最后一个方程解出n x ，然后通过逐步回代，依次求出1n x -，2n x -，…，1x 。
这种Gauss 消去法可分为Gauss 消去法和列主元素Gauss 消去法两种。
2.1.1 顺序Gauss 消去法在Gauss 消去法的消元过程中对方程组的增广矩阵只做前述的第二种初等行变换就形成了顺序Gauss 消去法，其算法如下：记(1)ij ij a a = （i ，j=1，2，…，n ）i i 1、 消元过程对于k=1,2，…，n-1执行 （1）如果()0k kka =，则算法失效，停止计算；否则转（2）。
矩阵直接三角分解法
矩阵直接三角分解法算法将方程组Ax=b 中的A 分解为A=LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组Ax=b 化为解2个方程组Ly=b ，Ux=y 。
具体算法：○1对j=1,2,3，…，n 计算 U 1j =a 1j对i=2,3,…,n 计算L i1=a i1/a 11○2对k=2,3…,n: a ． 对j=k ，k+1,…,n 计算U kj=a kj -∑LkqUqj k−1q=1b.对i=k+1，k+2，…，n 计算l ik =(a ik -)∑LiqUqk k−1q=1/u kk○3y 1=b 1对k=2,3…，n 计算 Y k =b k -∑LkqUq k−1q=1○4X n =y n /U nn ,对k=n -1，n -2，…2,1计算 X k =(y k -∑UkqXq n q=k+1/U kk注：注由于计算u 的公式与计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵[A|b]=[ a11 a12…a1n a1,n +1a21 a22…a2n a2,n +1：： ：：an1 an2…ann an,n +1]施行算法○2○3，此时U 的第n+1列元素即为y 。
程序与实例求方程组Ax=bA=[1 2 −12 85 4 7 −2−3 7 9 56 −12 −8 3]，b=[2741149]程序#include<stdio.h>void main(){float x[4];int i;float a[4][5]={1,2,-12,8,27,5,4,7,-2,4,-3,7,9,5,11,6,-12,-8,3,49};void DirectLU(float*,int,float[]);DirectLU(a[0],4,x);for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}void DirectLU(float *u,int n,float x[]){int i,r,k;for(r=0;r<=n-1;r++){for(i=r;i<=n;i++)for(k=0;k<=r-1;k++)*(u+r*(n+1)+i)-=*(u+r*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+i));for(i=r+1;i<=n-1;i++){for(k=0;k<=r-1;k++)*(u+i*(n+1)+r)-=*(u+i*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+r));*(u+i*(n+1)+r)/=*(u+r*(n+1)+r);}}for(i=n-1;i>=0;i--){for(r=n-1;r>=i+1;r--)*(u+i*(n+1)+n)-=*(u+i*(n+1)+r)*x[r];x[i]=*(u+i*(n+1)+n)/(*(u+i*(n+1)+i));}}运行结果。
直接三角分解法
• 直接三角分解法简介 • 直接三角分解法的算法原理 • 直接三角分解法的实现过程 • 直接三角分解法的应用案例 • 直接三角分解法的优化与改进
01
直接三角分解法简介
定义与特点
定义
高效
直接三角分解法是一种线性代数中的方法 ，用于将一个矩阵分解为一个下三角矩阵 和一个上三角矩阵的乘积。
计算分解矩阵
根据所选方法计算出左奇 异矩阵、右奇异矩阵和奇 异值矩阵。
提取关键信息
从分解矩阵中提取关键信 息，如主成分或特征向量， 用于后续分析。
结果
可视化结果
将分解结果以图表、图像等形式呈现，便于直观 理解。
量化分析
对分解结果进行量化分析，如计算各主成分的贡 献率或方差解释率。
决策建议
根据分析结果提供决策建议，指导后续工作。
图像修复
通过直接三角分解法，可以将图像中的损坏或缺失部分进行修复或替 换，从而得到完整的图像。
05
直接三角分解法的优化与改进
算法优化
减少计算量
通过选择合适的算法和数据结构，减少不必要的计算和重复计算， 提高算法的效率。
并行化处理
将算法中的计算任务分解为多个子任务，并利用多核处理器或多 线程技术并行处理，加快计算速度。
利用三角分解法，可以方便地计算矩阵的逆和行列式，对于解决一些数学问题具有重要意义。
在机器学习中的应用
矩阵分解
在推荐系统和协同过滤等机器学习算法中，矩阵分解是一种常见的方法。通过直接三角分 解法，可以将矩阵分解成低秩矩阵和稀疏矩阵，从而更好地表示用户和物品之间的关系。
降维处理
在处理高维数据时，直接三角分解法可以用于降维处理，将高维数据投影到低维空间，保 留主要特征，降低计算复杂度。
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§4 直接三角分解法 一、教学设计1．教学内容：Doolittle 分解法、Crout 分解法，紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。
2．重点难点：紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。
3．教学目标：了解直接三角分解法的基本思想，掌握基本三角分解法及其各种变形。
4．教学方法：讲授与讨论。
二、教学过程在上节中我们用矩阵初等变换来分析Gauss 消去法，得到了重要的矩阵LU 分解定理（定理 3.1，3.2）。
由此我们将得到Gauss 消去法的变形：直接三角分解法。
直接三角分解法的基本想法是，一旦实现了矩阵A 的LU 分解，那么求解方程组b x =A 的问题就等价于求解两个三角形方程组 （1）b y =L ，求y ； （2）y x =U ，求x 。
而这两个三角形方程组的求解是容易的。
下面我们先给出这两个三角形方程组的求解公式；然后研究在LU A =或LU PA =时，U L ,的元素与A 的元素之间的直接关系。
4－0 三角形线性方程组的解法 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n l l l l l l L21222111， 11121222n n nn u u u u u U u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则b y =L 为下三角形方程组，它的第i 个方程为),2,1(11,22111n i b y l y l y l y l y l ii ii i i i i i ij j ij ==++++=--=∑假定0≠ii l ，按n y y y ,,,21 的顺序解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==∑-=),,3,2(/111111n i l b y l y l b y ii i i j j ij i上三角形方程组y x =U 的第i 个方程为),2,1(11,n i y x u x u x u x u in in i i i i ii nij j ij ==+++=++=∑假定0≠ii u ，按121,,,,x x x x n n -的顺序求解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-==∑+=)1,2,,2,1(/1n n i u y x u x u y x ii i n i j j ij i nnn n4－1 基本的三角分解法设矩阵n n ij a A ⨯=)(的各阶顺序主子式均不为零，由定理3.1，A 有LU 分解如下⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nrn n rn rrr r n rn ra a a a a a a a a a a a a a a a 2121222221111211 LU u u u u u u u u u u l l l l l l nn rn rrn r n r nrn n r r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 22221112112121211111比较等式两边的第1行上的相应元素，得U 的第1行元素：),,2,1(11n i a u i i == （4.4）比较等式两边的第1列上的相应元素（从第2开始），得L 的第1列元素：),,3,2(1111n i u a l i i ==（4.5） 比较等式两边的第2行上的相应元素（从第2开始），得i i i u u l a 21212+=故得U 的第2行元素：),,3,2(12122n i u l a u i i i =-=比较等式两边的第2列上的相应元素（从第3开始），得2222121i i i a u l u l =+，得L 的第2列元素：),,4,3(2212122n i u u l a l i i i =-=假设已求得U 的第1至1-r 行，L 的第1至1-r 列，比较等式两边的第r 行上的相应元素（从第r 开始），得rnrn n r r r n r n r r r r r r r r r r r r r rrrr r r r r r r r r a u u l u l u l a u u l u l u l a u u l u l u l =++++=++++=++++--+++--++--,11,22111,1,1,11,1,221,11,11,2211即),,1,(11n r r i a u u l riri r k ki rk +==+∑-=故得U 的第r 行元素：),,3,2;,,1,(11n r n r r i u l a u r k ki rk ri ri =+=-=∑-= （4.6）比较等式两边的第r 列上的相应元素（从第1+r 开始），得nrrr nr r r r n r n r n r r rr r r r r r r r r r r r r rr r r r r r r r r r r a u l u l u l u l a u l u l u l u l a u l u l u l u l =++++=++++=++++--++--+++++--+++,11,2211,2,2,11,222,211,2,1,1,11,122,111,1即),,2,1(,11n r r i a u l u l ir rr ir r k kr ik ++==+∑-=故得L 的第r 列元素：)1,,3,2;,,2,1(,11-=++=-=∑-=n r n r r i u u l a l rrr k krik ir ir （4.7）称由（4.4）－（4.7）式所表示的矩阵分解为Doolittle 分解。
它的计算顺序为：U 的第1行→L 的第1列→U 的第2行→L 的第2列→…→U 的第r 行→L 的第r 列→…→U 的第1-n 行→L 的第1-n 列→U 的第n 行。
(r 从1到n 循环即可！)实现了系数矩阵A 的Doolittle 分解后，求解方程组b x =A 的问题就等价于求解两个三角形方程组（1）b y =L ，求y ；（2）y x =U ，求x 。
利用4－0节有关结论，立得Doolittle 分解相应的求解公式为：⎪⎩⎪⎨⎧=-==∑-=),,3,2(1111n r y l b y b y r i i ri r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==∑+=)1,2,,2,1(/1 n n r u x u y x u y x rr n r i i ri r r nnn n 类似地，可以推导Crout 分解的计算公式：),,2,1;,,1,(11n r n r r i u l a l r k kr ik ir ir =+=-=∑-=)1,,2,1;,,1(11-=+=-=∑-=n r n r i l u l a u rrr k kirk ri ri它的计算顺序为：L 的第1列→U 的第1行→L 的第2列→U 的第2行→…→L 的第r 列→U 的第r 行→…→L 的第1-n 列→U 的第1-n 行→L 的第n 行Crout 分解相应的求解公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∑-=),,3,2(/111111n r l y l b y l b y rr r i i ri r r ⎪⎩⎪⎨⎧--=-==∑+=)1,2,,2,1(1 n n r x u y x y x nr i i ri r r n n小结：Doolittle 分解计算：A ＝LU 1．计算U 的第1行元素： ),,2,1(11n i a u i i ==如果011=u ，则计算停止。
2．计算L 的第1列元素：),,3,2(1111n i u a l i i ==3．对于n r ,,3,2 =（1）计算U 的第r 行元素：),,1,(11n r r i u l a u r k ki rk ri ri +=-=∑-=如果0=rr u ，则计算停止。
（2）计算L 的第r 列元素：),,2,1(,11n r r i u u l a l rrr k krik ir ir ++=-=∑-=4．求解计算：y x b y ==U L ,⎪⎩⎪⎨⎧=-==∑-=),,3,2(1111n r y l b y b y r i iri r r⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==∑+=)1,,2,1(/1n n r u x u y x u y x rrnr i iri r r nn n n例：用Doolittle 法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------725101391444321131243301024321x x x x 直接利用公式计算，从中总结 Doolittle 分解的计算规律（图示中还可清楚地看到存贮情况）： Gauss 消去法逐步对A 施加变换，逐步获得L ，U ，而Doolittle 分解公式则集中了前r-1次变换，一次性付诸实施。
U 的第1行与L 的第1列：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣nn nn a a a a 2222U的第2行与L的第2列：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nin n i l l l u 2112111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣nn nin n in iin i n ia a a l a a u u u u212222211 U的第3行与L 的第3列：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn ni n n n in iii i i n in i n ia a a l l a a a l l a a a l l u u u u l u u u u u 321321333332312223222111131211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣nn nin n n in iin in i n ia a a l l a a u u u u u u 321332211 U的第r 行与L 的第r 列（1,,3,2-=n r ）：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣---nn ninrr n n in iirn rin r i r n ia a a l l a a u u u u1,1,1,111最后计算U 的第n 行（实际上只有一个元素nn u ）。
注意在计算U 和解y b 看作A 的第1+n 列，它们遵循着相同的规则。
事实上，由y b L LU A ==,，得),(),(1b y A L U -=，据此，我们可得到紧凑格式的Doolittle 分解：即将上述分解过程处理的对象由A 改为增广矩阵),(b A ，用同样的方法处理第1+n 列，从而在获得系数矩阵的Doolittle 分解U L ,的同时，存放在增广矩阵第1+n 列中的元素就是y 。
(注意此时在公式（4.4）（4.6）中计算ri u 时，i 应到1+n 为止，编程计算时，应注意所有y x ,,,U L 的元素都存贮在增广矩阵中)紧凑格式的Doolittle 分解的算法设计： 小结：分解计算：A ＝LU 1．对于n r ,,3,2,1 =（1）计算U 的第r 行元素：)1,,1,(1111++=-=-=←∑∑-=-=n r r i a a a u l a u a r k ki rk ri r k ki rk ri ri ri如果0=rr a ，则计算停止。