专题训练 等腰三角形的综合运用(二)

5．如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°， BE，CF交于M，连接AM. (1)求证：BE＝CF； (2)求证：BE⊥CF； (3)求∠AMC的度数． 证明：(1)∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF ＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAF，又∵AB＝AC，AE＝AF，
三、用截长补短法构造等腰三角形
Biblioteka Baidu
6．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且
AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(用两种方法)
解：方法一：(截长法)在 CD 上取点 E，使 DE＝BD，连接 AE ， 则 CE ＝ AB ＝ AE ， ∴∠ B ＝∠AED ＝∠C ＋∠CAE ＝ 2∠C，∵∠BAC＝120°，∴∠C＝20°；方法二：(补短法) 延长 DB 至 F，使 BF＝AB，则 AB＋BD＝DF＝CD，∴AF 1 ＝AC，∠C＝∠F＝ ∠ABC，∴∠C＝20° 2
专题训练 等腰三角形的综合运用(二)
一、构造30°的直角三角形
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC
的中点，DE⊥AC于E，AE＝2，求CE的长．
1 解： 连接 AD， ∵AB＝AC， BD＝DC， ∴∠DAC＝2∠BAC 1 ＝120°×2＝60°，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝30°，∴AD ＝2AE＝4，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADC＝90°，∴ ∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2×4＝8，∴CE＝AC－AE＝8 －2＝6
四、等腰直角三角形
7．如图，△ABC中，AB＝BC，AB⊥BC，B(0，2)，C(2
，－2)，求点A的坐标．
解：过C作CM⊥y轴于M，∵∠AOB＝∠BMC＝90°， AB＝BC，又∵∠BAO＋∠ABO＝90°，∠ABO＋
∠CBM＝90°，∴∠BAO＝∠CBM，
∴△ABO≌△BCM(AAS)，∴AO＝BM，∵OM＝2，OB ＝2，∴BM＝4，∴OA＝4，∴A(－4，0)
即BN＝DM，∴BN＝EN，∵NE⊥BN，∴∠DBE＝45°
3．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点 B，∠ABD＝30°，求证：AB＝2BC.
证明：过A作AM⊥BD于它的延长线上的M点，易求
△AMD≌△CBD(AAS)，∴AM＝BC，∵∠ABM＝30°， ∴AB＝2AM，∴AB＝2BC
二、共顶点的等腰三角形
4．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A，E在BC的
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC上
一点，过D作DE⊥AD，且DE＝AD，连接BE，求∠DBE的 度数．
解：过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，∵∠MAD＋
∠ADM＝90°，∠ADM＋∠EDN＝90°，∴∠MAD＝
∠EDN，∴△AMD≌△DNE(AAS)，∴AM＝DN，DM＝NE， ∵∠ABC＝45°，∴AM＝BM，∴BM－MN＝DN－MN，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF
(2)由(1)得△BAE≌△CAF，∴∠AFC＝∠AEB，∵∠AFM ＋∠MFE＋∠AEF＝90°，∴∠MEA＋∠AEF＋∠EFM＝
90°，∴∠EMF＝90°，即BE⊥CF
(3)过 A 作 AG⊥BE 于 G， AH⊥CF 于 H， ∵∠AGE＝∠AHF ＝ 90 ° ， ∠ AEG ＝ ∠AFH ， AE ＝ AF ， ∴ △ AEG ≌ △ AFH(AAS)，∴AG＝AH，∴AM 平分∠BMF，∴∠AMB＝ 1 90°×2＝45°，∴∠AMC＝90°＋45°＝135°
同侧．
(1)如图①，点D在BC上，写出线段AC，CD，CE之间的
数量关系，并证明；
(2)如图②，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接 写出AC，CD，CE之间的数量关系．
解：(1)CD＋CE＝AC.理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE，∵BC＝BD＋DC， ∴AC＝CE＋CD (2)CE－CD＝AC.理由：由(1)可知△ABD≌△ACE(SAS)， ∴CE＝BD，∵BC＝BD－CD，∴AC＝CE－CD
2．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°， ∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．
解：延长AD，BC相交于E，∵∠A＝30°，∴∠E＝90° －30°＝60°，又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°， ∴△DCE为等边三角形，∵AE＝2BE，∴AD＋DC＝2(BC ＋DC)，4＋DC＝2(1＋DC)，DC＝2