4.2初等行变换,逆矩阵(修正)
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1 8 -4 3 2 0 1 -9 例如， 例如，矩阵 0 1 3 和 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2
都是阶梯形矩阵。 都是阶梯形矩阵。
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一、矩阵的初等变换
2.行简化阶梯形矩阵 行简化阶梯形矩阵 如果行阶梯形矩阵还满足以下条件，称为行简化阶梯形矩阵 行简化阶梯形矩阵： 如果行阶梯形矩阵还满足以下条件，称为行简化阶梯形矩阵： （1）各非零行的第一个非零元素都是； ）各非零行的第一个非零元素都是； （2）所有第一个非零元素所在列的其余元素都是０． ）所有第一个非零元素所在列的其余元素都是０
a ≠ 0 时，有
aa −1 = a −1a = 1,
1 的逆）； 其中 a = 为 a 的倒数 （或称 a 的逆）； a
−1
在矩阵的运算中， 在矩阵的运算中， 单位阵 E 相当于数的乘法运算中
− 的1， 如果存在一个矩阵 A , 使得 ， −1
AA = A A = E ,
逆矩阵. 则矩阵 A−1 称为 A 的逆矩阵
(A )
−1 −1
=A
(kA)
−1
1 −1 = A k
( AT ) −1 = ( A −1 ) T
( AB ) −1 = B −1 A −1
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四、逆矩阵的求法
初等变换法： 初等变换法：
[ AM I ] →[I M A−1 ]
求例3中矩阵 的逆矩阵。 中矩阵A的逆矩阵 例7 求例 中矩阵 的逆矩阵。
0 1 (①，② ) 2 6 ①× 1 1 3 2 → A= → 0 1 2 6 0 1
①+②×(-3)
1 0 0 1 = I 2
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一、矩阵的初等变换
（二）行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵 1.定义 满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简 定义 满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵， 阶梯形矩阵： 称阶梯形矩阵： （1）矩阵的零行（若存在）在矩阵的最下方； ）矩阵的零行（若存在）在矩阵的最下方； （2）各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标 ） 的增大而严格增大
4.2 矩阵的初等行变换
一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的秩 三、逆矩阵的概念 四、逆矩阵的求法
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4.2 矩阵的初等行变换
记清矩阵的三种初等行变换并会用 目标 •记清矩阵的三种初等行变换并会用 •掌握逆矩阵的概念、逆矩阵所满足的 掌握逆矩阵的概念、 掌握逆矩阵的概念 运算律， 运算律，理解秩的概念 •会用矩阵的初等行变换求逆矩阵、秩 会用矩阵的初等行变换求逆矩阵、 会用矩阵的初等行变换求逆矩阵 重点 •会恰当用初等行变换 会恰当用初等行变换 •逆矩阵的概念及求法 逆矩阵的概念及求法 难点 •准确求逆矩阵 准确求逆矩阵
aii ≠ 0(i = 1,2,..., n)
的逆矩阵为
− a 111 0 −1 A = ... 0
0 a −1 22 ... 0
... 0 ... 0 ... ... ... a −1 nn
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三、逆矩阵的概念
2.定理 2.定理 可逆， 是唯一的。 若A可逆，则 A −1 是唯一的。 可逆 3.运算律 3.运算律 若A可逆，数k 不为 ，则 可逆， 不为0， 可逆
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一、矩阵的初等变换
例1 将
1 2 − 1 − 2 A = 2 − 1 1 1 3 1 0 − 1
化成简化行阶梯阵。 化成简化行阶梯阵。
1 5 3 − 5 0 0 − 1 0
过程见教材例1 结果为： 过程见教材例1，结果为：
1 0 0
1 0 0 M 1 − 3 2 1 1 3 M 1 0 0 （2 3 7 M 0 1 0 ①+②×→0 1 0 M − 3 0 1 1） [AMI ] = I 0 0 1 M 1 1 − 1 3 4 9 M 0 0 1
1 −3 2 A −1 = − 3 0 1 1 1 − 1
1 0 矩阵 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3 1 0 − 1 和 0 1 2 0 − 1 是行简化阶梯阵． 是行简化阶梯阵． 0 1 3 0 0 0 1 1 0 0 0
例如, 例如
定理 任何矩阵 A 经过一系列初等行变换可化成阶梯形矩阵 也可化成行简化阶梯形矩阵． 也可化成行简化阶梯形矩阵．
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思考题解答
答
是的 . 这是由于 A −1的唯一性决定的 .
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1 − 1 1 2 1 2 , B = 设A = , 1 1 − 1 2 1 2
∴ B 是 A 的一个逆矩阵 .
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Q AB = BA = E ,
三、逆矩阵的概念
1 0 例5 矩阵 A = 2 0 就无逆矩阵 。
a11 0 例6 矩阵 A = ... 0 0 a 22 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... a nn
二、矩阵的秩
1.定义 矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的个数，称为矩 定义 矩阵 的阶梯形矩阵中非零行的个数， 的阶梯形矩阵中非零行的个数 的秩， 阵A的秩，记作秩 或r(A)． 的秩 记作秩(A)或 ． 由定义可知求矩阵的秩，只需把它化为阶梯形矩阵， 由定义可知求矩阵的秩，只需把它化为阶梯形矩阵， 阶梯形矩阵中非零行的个数，就是矩阵的秩． 阶梯形矩阵中非零行的个数，就是矩阵的秩． 2.求法 化为阶梯形阵，非零行的个数，就是矩阵的秩． 求法 化为阶梯形阵，非零行的个数，就是矩阵的秩．
3 − 1 2 0 例2 求 A = 1 1 − 4 2 r ( A) 与 r ( A Τ ) 0 − 2 3 1
r ( A Τ ) = r ( A) = 3
Τ 对于任意矩阵 A 都有 r ( A ) = r ( A)
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二、矩阵的秩
4.满秩矩阵 满秩矩阵 阶方阵A的秩等于 是满秩的， 非奇异阵。 若n阶方阵 的秩等于 则称 是满秩的，或非奇异阵。 阶方阵 的秩等于n, 则称A是满秩的 定理：任何满秩矩阵经过初等行变换均能化为单位阵。 定理：任何满秩矩阵经过初等行变换均能化为单位阵。 定理： 定理：方阵可逆的充要条件是其为满秩阵 例3 判断下列矩阵是否可逆？ 判断下列矩阵是否可逆？
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−1
−1
三、逆矩阵的概念
1.逆矩阵的定义 1.逆矩阵的定义 阶方阵A，若存在n阶方阵 阶方阵B，使得AB＝ ＝ ， 设n阶方阵 ，若存在 阶方阵 ，使得 ＝BA＝E，则 阶方阵 逆矩阵， 可逆阵。 称 B 为 A 的逆矩阵，称 A 是可逆阵。
A的逆矩阵记作 A−1 = B.
事实上， 成立， 互为可逆矩阵。 事实上，若AB＝BA＝E成立，则A与B互为可逆矩阵。 ＝ ＝ 成立 与 互为可逆矩阵 例4
0 1 0
注意：矩阵的行简化阶梯形矩阵是惟一的， 注意：矩阵的行简化阶梯形矩阵是惟一的，而矩阵的阶 梯形矩阵并不是惟一的，但是一个矩阵的阶梯形矩阵中 梯形矩阵并不是惟一的， 非零行的个数是惟一的.矩阵的这一特征是矩阵重要的数 非零行的个数是惟一的 矩阵的这一特征是矩阵重要的数 字特征． 字特征．
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小
结
1. 逆矩阵、逆矩阵运算律 逆矩阵、 满秩 2.逆矩阵 A−1 存在 ⇔ A满秩 . 3. 逆矩阵的计算方法、矩阵秩的求法 逆矩阵的计算方法、 初等变换法 作业
P145
1，2，5 ， ，
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思 考 题
若 A可逆 , 那么矩阵方程 AX = B是否有唯一解 X = A −1 B ? 矩阵方程 YA = B 是否有唯一解 Y = BA −1 ?
1 1 3 A = 2 3 7 3 4 9
1 2 3 B = 0 2 9 2 4 6
r ( A) = 3
A可逆，B不可逆。 可逆， 不可逆 不可逆。 可逆
r ( B) = 2
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三、逆矩阵的概念
引入：在数的运算中， 引入：在数的运算中， 当数
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一、矩阵的初等变换
（一）下列三种变换，称为矩阵的初等行变换： 下列三种变换，称为矩阵的初等行变换： 初等行变换 1.交换矩阵的两行 交换矩阵的两行; 交换矩阵的两行 2.用一非零常数乘矩阵的某行 用一非零常数乘矩阵的某行; 用一非零常数乘矩阵的某行 3.用常数乘矩阵的某行 加到其它的行上。 用常数乘矩阵的某行, 加到其它的行上。 用常数乘矩阵的某行 例如
都是阶梯形矩阵。 都是阶梯形矩阵。
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一、矩阵的初等变换
2.行简化阶梯形矩阵 行简化阶梯形矩阵 如果行阶梯形矩阵还满足以下条件，称为行简化阶梯形矩阵 行简化阶梯形矩阵： 如果行阶梯形矩阵还满足以下条件，称为行简化阶梯形矩阵： （1）各非零行的第一个非零元素都是； ）各非零行的第一个非零元素都是； （2）所有第一个非零元素所在列的其余元素都是０． ）所有第一个非零元素所在列的其余元素都是０
a ≠ 0 时，有
aa −1 = a −1a = 1,
1 的逆）； 其中 a = 为 a 的倒数 （或称 a 的逆）； a
−1
在矩阵的运算中， 在矩阵的运算中， 单位阵 E 相当于数的乘法运算中
− 的1， 如果存在一个矩阵 A , 使得 ， −1
AA = A A = E ,
逆矩阵. 则矩阵 A−1 称为 A 的逆矩阵
(A )
−1 −1
=A
(kA)
−1
1 −1 = A k
( AT ) −1 = ( A −1 ) T
( AB ) −1 = B −1 A −1
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四、逆矩阵的求法
初等变换法： 初等变换法：
[ AM I ] →[I M A−1 ]
求例3中矩阵 的逆矩阵。 中矩阵A的逆矩阵 例7 求例 中矩阵 的逆矩阵。
0 1 (①，② ) 2 6 ①× 1 1 3 2 → A= → 0 1 2 6 0 1
①+②×(-3)
1 0 0 1 = I 2
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一、矩阵的初等变换
（二）行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵 1.定义 满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简 定义 满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵， 阶梯形矩阵： 称阶梯形矩阵： （1）矩阵的零行（若存在）在矩阵的最下方； ）矩阵的零行（若存在）在矩阵的最下方； （2）各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标 ） 的增大而严格增大
4.2 矩阵的初等行变换
一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的秩 三、逆矩阵的概念 四、逆矩阵的求法
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4.2 矩阵的初等行变换
记清矩阵的三种初等行变换并会用 目标 •记清矩阵的三种初等行变换并会用 •掌握逆矩阵的概念、逆矩阵所满足的 掌握逆矩阵的概念、 掌握逆矩阵的概念 运算律， 运算律，理解秩的概念 •会用矩阵的初等行变换求逆矩阵、秩 会用矩阵的初等行变换求逆矩阵、 会用矩阵的初等行变换求逆矩阵 重点 •会恰当用初等行变换 会恰当用初等行变换 •逆矩阵的概念及求法 逆矩阵的概念及求法 难点 •准确求逆矩阵 准确求逆矩阵
aii ≠ 0(i = 1,2,..., n)
的逆矩阵为
− a 111 0 −1 A = ... 0
0 a −1 22 ... 0
... 0 ... 0 ... ... ... a −1 nn
第11页 页
三、逆矩阵的概念
2.定理 2.定理 可逆， 是唯一的。 若A可逆，则 A −1 是唯一的。 可逆 3.运算律 3.运算律 若A可逆，数k 不为 ，则 可逆， 不为0， 可逆
第5页 页
一、矩阵的初等变换
例1 将
1 2 − 1 − 2 A = 2 − 1 1 1 3 1 0 − 1
化成简化行阶梯阵。 化成简化行阶梯阵。
1 5 3 − 5 0 0 − 1 0
过程见教材例1 结果为： 过程见教材例1，结果为：
1 0 0
1 0 0 M 1 − 3 2 1 1 3 M 1 0 0 （2 3 7 M 0 1 0 ①+②×→0 1 0 M − 3 0 1 1） [AMI ] = I 0 0 1 M 1 1 − 1 3 4 9 M 0 0 1
1 −3 2 A −1 = − 3 0 1 1 1 − 1
1 0 矩阵 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3 1 0 − 1 和 0 1 2 0 − 1 是行简化阶梯阵． 是行简化阶梯阵． 0 1 3 0 0 0 1 1 0 0 0
例如, 例如
定理 任何矩阵 A 经过一系列初等行变换可化成阶梯形矩阵 也可化成行简化阶梯形矩阵． 也可化成行简化阶梯形矩阵．
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思考题解答
答
是的 . 这是由于 A −1的唯一性决定的 .
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1 − 1 1 2 1 2 , B = 设A = , 1 1 − 1 2 1 2
∴ B 是 A 的一个逆矩阵 .
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Q AB = BA = E ,
三、逆矩阵的概念
1 0 例5 矩阵 A = 2 0 就无逆矩阵 。
a11 0 例6 矩阵 A = ... 0 0 a 22 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... a nn
二、矩阵的秩
1.定义 矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的个数，称为矩 定义 矩阵 的阶梯形矩阵中非零行的个数， 的阶梯形矩阵中非零行的个数 的秩， 阵A的秩，记作秩 或r(A)． 的秩 记作秩(A)或 ． 由定义可知求矩阵的秩，只需把它化为阶梯形矩阵， 由定义可知求矩阵的秩，只需把它化为阶梯形矩阵， 阶梯形矩阵中非零行的个数，就是矩阵的秩． 阶梯形矩阵中非零行的个数，就是矩阵的秩． 2.求法 化为阶梯形阵，非零行的个数，就是矩阵的秩． 求法 化为阶梯形阵，非零行的个数，就是矩阵的秩．
3 − 1 2 0 例2 求 A = 1 1 − 4 2 r ( A) 与 r ( A Τ ) 0 − 2 3 1
r ( A Τ ) = r ( A) = 3
Τ 对于任意矩阵 A 都有 r ( A ) = r ( A)
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二、矩阵的秩
4.满秩矩阵 满秩矩阵 阶方阵A的秩等于 是满秩的， 非奇异阵。 若n阶方阵 的秩等于 则称 是满秩的，或非奇异阵。 阶方阵 的秩等于n, 则称A是满秩的 定理：任何满秩矩阵经过初等行变换均能化为单位阵。 定理：任何满秩矩阵经过初等行变换均能化为单位阵。 定理： 定理：方阵可逆的充要条件是其为满秩阵 例3 判断下列矩阵是否可逆？ 判断下列矩阵是否可逆？
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−1
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三、逆矩阵的概念
1.逆矩阵的定义 1.逆矩阵的定义 阶方阵A，若存在n阶方阵 阶方阵B，使得AB＝ ＝ ， 设n阶方阵 ，若存在 阶方阵 ，使得 ＝BA＝E，则 阶方阵 逆矩阵， 可逆阵。 称 B 为 A 的逆矩阵，称 A 是可逆阵。
A的逆矩阵记作 A−1 = B.
事实上， 成立， 互为可逆矩阵。 事实上，若AB＝BA＝E成立，则A与B互为可逆矩阵。 ＝ ＝ 成立 与 互为可逆矩阵 例4
0 1 0
注意：矩阵的行简化阶梯形矩阵是惟一的， 注意：矩阵的行简化阶梯形矩阵是惟一的，而矩阵的阶 梯形矩阵并不是惟一的，但是一个矩阵的阶梯形矩阵中 梯形矩阵并不是惟一的， 非零行的个数是惟一的.矩阵的这一特征是矩阵重要的数 非零行的个数是惟一的 矩阵的这一特征是矩阵重要的数 字特征． 字特征．
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小
结
1. 逆矩阵、逆矩阵运算律 逆矩阵、 满秩 2.逆矩阵 A−1 存在 ⇔ A满秩 . 3. 逆矩阵的计算方法、矩阵秩的求法 逆矩阵的计算方法、 初等变换法 作业
P145
1，2，5 ， ，
第14页 页
思 考 题
若 A可逆 , 那么矩阵方程 AX = B是否有唯一解 X = A −1 B ? 矩阵方程 YA = B 是否有唯一解 Y = BA −1 ?
1 1 3 A = 2 3 7 3 4 9
1 2 3 B = 0 2 9 2 4 6
r ( A) = 3
A可逆，B不可逆。 可逆， 不可逆 不可逆。 可逆
r ( B) = 2
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三、逆矩阵的概念
引入：在数的运算中， 引入：在数的运算中， 当数
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一、矩阵的初等变换
（一）下列三种变换，称为矩阵的初等行变换： 下列三种变换，称为矩阵的初等行变换： 初等行变换 1.交换矩阵的两行 交换矩阵的两行; 交换矩阵的两行 2.用一非零常数乘矩阵的某行 用一非零常数乘矩阵的某行; 用一非零常数乘矩阵的某行 3.用常数乘矩阵的某行 加到其它的行上。 用常数乘矩阵的某行, 加到其它的行上。 用常数乘矩阵的某行 例如