4.2初等行变换,逆矩阵(修正)
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
应用高等数学-4.2.3 可逆矩阵与逆矩阵
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
小结
1. 可逆矩阵与逆矩阵的概念 2. 逆矩阵的性质 3. 利用初等行变换求逆矩阵的步骤
课堂练习
练习题4.2
练习册 第4章 练习四
思考题
3 0 0
1.
设A
0
1
0
,
则An
0 0 4
2.已知A3 E,则A1
3. 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则 A1
答案
3n 0 0 1. 0 1 0 .
3 2 12 1
5 2 1 2 . 1
注意: 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换， 其间不能作任何列变换．
练习1
1 2 3
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
解：
1 2 3 1 0 0
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
－2 －3
1 2 3 1 0 0
0
2
5
2
1
0
0 2 6 3 0 1
0
1
1
1
-2
0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 2
0
2
0
1
1
0 0 1 0 1
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
初等行变换法求逆矩阵
初等行变换法求逆矩阵要说求逆矩阵，咱们就得聊聊那一套初等行变换的玩法。
听上去是不是挺高大上的？但其实也没那么复杂，跟咱们平时调皮捣蛋的方式还挺像的。
咱们就把这些矩阵当成一个个小朋友，每个小朋友都有自己的特点。
有的高，有的矮，有的胖，有的瘦。
要想让他们“逆转”过来，得先理一理他们的秩序，简单点儿说，就是把这些小朋友排好队，让他们听话。
先来点儿基本的概念。
你得有一个方阵，这个方阵就像是一个小班级，里面的每一个数字都是小朋友。
要是这个班级的学生特别优秀，成绩杠杠的，咱们就可以通过行变换，给他们重新排序，找出他们的“逆朋友”。
什么叫行变换呢？其实就是简单的三招：交换行、倍乘行和加减行。
这就像是在课堂上，老师让你们互换位置，或者给你们加点儿小任务，让你们更团结。
咱们先说说交换行。
这就像是班里两个小朋友吵架，老师一看，赶紧让他们换个位置，嘿，气氛立马就变了，心里那个舒坦呀。
数学上也是一样，咱们把矩阵的某两行调换一下，整个阵型就焕然一新了。
调换几次，甚至能发现原来一切都没那么复杂，反而更容易处理。
接着是倍乘行，这招儿可厉害了。
想象一下，一个小朋友跑得飞快，老师说：“好吧，你这次跑得特别好，咱们给你加点儿分。
”在矩阵里，这就意味着把某一行的每个数字都乘上一个常数，哎，这样一来，整个班级的风气都变了，瞬间就升华了。
每个小朋友都跟着变得更加出色，大家互相带动，气氛相当好。
再说加减行。
这个就像是班级里有一个小朋友特别喜欢分享，每次都主动把自己的糖果分给别人。
数学上说的就是把一行的数字加到另一行里，嘿，大家都开心得不得了。
你一口我一口，大家的数字都在变，变得越来越好。
这个时候，大家就像是一家人，齐心协力，共同进步，最终实现了逆转。
好啦，经过这一番折腾，咱们的班级终于整齐划一了，完美的样子就出来了。
这时候，你再看看刚开始的那个方阵，心里会不会感慨万千？真是物是人非，境随心转。
通过这几招，咱们就成功求出了逆矩阵，简直是大功告成，值得庆祝一番。
逆矩阵及初等变换
先假设n阶矩阵A, 满足 A ≠ 0， 即 矩阵A是可逆的
则有下列公式： 则有下列公式：
( A | E ) n×2 n ( E | A ) n×2 n →
行初等变换
1
施行初等行变换， 即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
例3
6 4 2 * 得 A = 3 6 5 , 所以 2 2 2
1 3 2 1 * 3 5 1 . A = A = 3 A 2 2 1 1 1
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例2 设
1 2 3 1 3 2 1 A = 2 2 1, B = 5 3, C = 2 0, 3 4 3 3 1
1 1 1
(4).若A可逆 则A 也可逆 且( A ) = ( A ) . , ,
T
T 1
1 T
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例1 解
1 2 3 . 求方阵 A = 2 2 1的逆阵 3 4 3 ≠0， 可逆。 经计算可得： |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得： | 可逆
A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
1 * A = A, A
1
A A . 其中 *为方阵 的伴随阵
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由定理1和定理2可得：矩阵 由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。 | 称为奇异方阵 否则称为非 奇异方阵， 当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 | 奇异阵。 奇异阵。 推论 ），则 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。 （ ），
矩阵求逆矩阵的方法
矩阵求逆矩阵的方法矩阵求逆矩阵是线性代数中的一个重要问题，对于矩阵的逆的求解方法有多种，下面我们将介绍几种常见的方法。
1. 初等变换法。
对于一个可逆矩阵A，我们可以通过初等变换将其变为单位矩阵I，这时候A经过一系列的初等变换得到I，而I经过同样的一系列初等变换得到A的逆矩阵。
这种方法的优点是简单直观，容易理解，但对于大型矩阵来说计算量较大。
2. 克拉默法则。
对于n阶方阵A，如果A是可逆的，那么它的逆矩阵可以通过克拉默法则来求解。
克拉默法则利用矩阵的行列式和代数余子式的概念，将矩阵A的逆矩阵表示为A的伴随矩阵的转置除以A的行列式。
这种方法的优点是不需要对矩阵进行初等变换，但计算量也比较大。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是通过对矩阵进行一系列的初等行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，然后将I变为A的逆矩阵。
这种方法与初等变换法类似，但是更加注重矩阵的行变换，适合于对行变换较为熟悉的人来说。
4. 矩阵的分块法。
对于特定结构的矩阵，我们可以通过矩阵的分块来求解逆矩阵。
例如对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等，通过分块的方法可以简化逆矩阵的求解过程。
5. LU分解法。
LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过LU分解可以求解矩阵的逆。
这种方法适用于对矩阵分解比较熟悉的人来说，可以简化逆矩阵的求解过程。
总结：矩阵求逆矩阵的方法有多种，每种方法都有其适用的场景和计算复杂度。
在实际应用中，我们可以根据矩阵的特点和问题的需求来选择合适的方法。
希望本文介绍的方法可以帮助读者更好地理解矩阵求逆矩阵的过程，提高解决实际问题的能力。
矩阵求逆的方法
前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。
掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。
关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。
下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。
1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。
例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=， 所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。
对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。
对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。
1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。
如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。
初等矩阵与逆矩阵的求法
阵。于是存在优先多个初等矩阵P1 Pr，Q1 Qt
使得 P1 Pr AQ1 Qt =E,从而
A=（ P1
Pr）-1E（Q1
Q
）-1
t
=Pr-1
P1-1 • Qt-1
Q1-1 .
推论1方阵A可逆旳充分必要条件是存在有 限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A P1P2 Pl .
19
推论2 方阵A可逆旳充分必要条件是A可经过有限屡 次初等行变换化为单位阵E.
等 矩阵 P(i(k))
1
P(i(k))
1 k 1
第 i 行
1
6
(3)以数 k 0 乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )
得到初等矩阵 P(i, j(k))
20
5、利用初等行变换求逆阵旳措施：
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A , E Pl1Pl11 P11 A , Pl1Pl11 P11E E , A1
即对 n 2n 矩阵 ( A , E) 施行初等行变换 ,
P(i, j)1 P(i, j)
P(i(k ))1 P(i( 1 )) k
P(i, j(k))1 P(i, j(k))
9
初等矩阵旳应用
定理1 设 A 是一种 m n 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 旳 左边乘以相应旳 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 旳 右边乘以相应旳 n 阶初等矩阵.
矩阵的初等变换与逆矩阵的求法汇总
定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个 方程组，则新方程组与原方程组同解。
此性质在矩阵中如何体现呢？
2.1.2 矩阵的初等变换
1
12r2
0
1 1
1 1
2
0
1
2
0 3 3 2
0 3 3 2
1 0
1 2
1
2
r1 r2 r3 3r2
0
0
1 0
1 2
3
1
2
7
2 2
1
23 r3
0
0 1
2x2 x3 1
2x1 x2 x3 2
解 将矩阵的增广矩阵作行初等变换
1 1 1 0
1 1 1 0
0
2
1
1
r3 2r1 0
2
1
1
2 1 1 2
0 3 3 2
1 1 1 0 2 1
0 1
1
O
1
Rijຫໍສະໝຸດ ()Cij
(
)
MO
L 1
O
1
初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一 类型的初等矩阵，容易验证：
Rij-1=Rij （Ri()）-1=Ri(1/) （Rij()）-1= Rij(－)
初等矩阵与初等变换有什么关系呢？
线性代数课件-逆矩阵与矩阵的初等变换
0 1 A . 1 2
1
定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆，即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0.
当 A 0时,
当 A 0时,
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
1 A 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义
,使得
对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵 B
AB BA E ,
1
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
对n阶单位矩阵E分别施行上述三种初等变换后，所 得之矩阵称为初等矩阵．相应的三种初等矩阵分别是
（1） 互换E的 i，j 两行(两列)所得之矩阵
（2） 用（ 0）乘E的第i行（列）所得之矩阵
将E的j行（i列）的倍加到i行（j列）上去（ i j）所得之矩阵 （3）
引理：对矩阵 A (aij )mn 施行某一初等行（列）变换，其结果等于对A左 （右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵。
例3
1 2 3 1 3 2 1 , C 2 0 , 设 A 2 2 1 , B 5 3 3 4 3 3 1
用初等变换求逆矩阵
所以
例2. 设
问B是否可逆？
解法1.
若可逆，求其逆阵 B –1。
可见B不可逆
不可能化为 单位阵
解法2. 利用 “A可逆 A ”
二两行相同 ！
B不可逆
01
例3. 求解
02
解: 原方程变形为
可见 A – E 可逆, 且
注: 若要求
思考: 设 A, B 可逆, 如何解矩阵方程 AXB=C ?
用初等变换法求 AX = B 的解 X =A–1B : 作业 P64. 25(1), （2）
内容小结
§2.6 用初等变换求逆矩阵
一. 用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程
定理1：设A是n阶方阵，则如下的命题等价：
A是可逆的 ；
A~E，E是n阶单位矩阵；
存在n阶初等矩阵
A可经过有限次初等变换化为E.
证明1 （1）→（2）易证明(见书上证明)
→（3）
因为A ~ E，
再由矩阵
那么，把E变为A的初等变换
上式表明: 若
, 则 A 可逆, 且 X 即为
AX = B 的解 X = A–1B.
特别, 若
即如何求 X = A–1B ?
给定n 阶可逆方阵 A 及 n×s 阶矩阵 B, 如何解 AX = B ?
左侧的意义： 对A、B 作相 同的行变换
即有
2
1
，试用初等变换法求
解：
例1：设
,即有：
等价的对称性，
有 E ~ A 。
所对应的初等矩阵为
，所以
一、等价定理
，由
有
由于
仍是初等矩阵，上式说明对A
实施有限次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得。
初等行变换逆矩阵(修正).ppt
矩阵的初等变换与逆矩阵
取 定 k 行 k 列 [ k m in ( m , n )]， 则 位 于 这 k 行 和 k列 交 点 上 的 元 素 , 按 原 顺 序 可 构 成 一 个 k阶 行 列 式 ， 称 这 个 k阶 行 列 式 为 矩 阵 A 的 一 个 k 阶 子 式.
k k 注 ： n 矩 阵 A 的 k 阶 子 式 共 有 C m C n个 . m
（ k c i ：数k乘第i列， 0 ） k
（3）将矩阵的某一列乘以数k后加到另一列， （ c i k c j ：第j列的k倍加到第i列上）
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
当矩阵A经过的初等变换变成矩阵B时，记 作 A B. 注：这是矩阵的演变，A与B一般不相等.
0 例1 利用初等行变换将矩阵 A 1 2 化为单位矩阵. 1 3 0 0 0 0 1
3 2 0
2 1 1
2 3 ，求该矩阵的秩． 5
解
1 0 2
0.
1 0
3 2
2 0,
1 2 3 2 0 2
计算A的3阶子式，
3 2 2 1 2 2 1 1 2 3 0, 5
3 2 0
2
, 1 00
0 3 2, 1
3 00 , 5
3 例4 3 设 A 2 1 秩． 2 2 0 6 0 3 1 4 5 6 5 1 0 1 ,求矩阵 A的 3 4
1 A 1 0
2 1 3
3 1 , 5
2 B 1 1
1 1 5
1 3 . 11
注： ① 上述方法中只能用初等行变换，不能
用初等列变换. ② 初等行变换过程中若发现虚线左边某 一行的元素全为零时，说明矩阵不可逆.
初等行变换求逆矩阵的原理
初等行变换求逆矩阵的原理初等行变换是求逆矩阵的一种重要方法，其基本思想是通过一系列矩阵变换将原矩阵转化为单位矩阵，然后将这些变换应用于同样的单位矩阵上，最终得到原矩阵的逆矩阵。
具体地说，初等行变换包括三种操作：交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
这些操作可以用一个初等矩阵来表示，分别为交换两行的置换矩阵、某一行乘以一个非零常数的对角线矩阵和某一行加上另一行的若干倍的标准型矩阵。
设A为n×n可逆矩阵，则A可通过有限次初等行变换得到单位矩阵I。
设E1,E2,…,Ek分别为k个n×n初等矩阵，则有：EkEk-1…E2E1A=I由于每个初等矩阵都可逆且其逆也是一个初等矩阵，因此可得：A=E1^-1E2^-1…Ek^-1即A的逆可以表示为k个初等矩阵的乘积。
因此，我们只需要求出这k个初等矩阵的逆矩阵，然后按照它们的顺序相乘即可得到A的逆矩阵。
例如，对于一个3×3的可逆矩阵A，我们可以通过初等行变换将其转化为单位矩阵：[1 0 0] [a b c] [1 0 0][0 1 0] [d e f] [0 1 0][0 0 1] [g h i] [0 0 1]首先，将第一行乘以a的倒数，并加到第二行和第三行上，得到：[1 0 0 ] [a b c ] [1 0 0 ][ad e f ] → [ad+e ae+f af+c] → [ad+e ae+f af+c][ag h i ] [ag+h ah+i ai+c] [ag+h ah+i ai+c]然后，将第二行乘以ae+f的倒数，并加到第三行上，得到：[1 0 0 ] [a b c ] [1 0 0 ][ad+e ae+f af+c ] → [(ad+e)/ae (ae+f)/ae f/ae+c/ae] → [(ad+e)/ae (ae+f)/ae f/ae+c/ae][ag+h ah+i ai+c+(af+c)(ag+h)/(ae+f)] [(ag+h)/(-af-c/(ae+f)) (ah+i)/(-af-c/(ae+f)) 1/(-af-c/(ae+f)) ] [0 0 1 ]最后，将第三行乘以-af-c/(ae+f)的倒数，并加到第二行上，得到：[1 0 0 ] [a b c ] [1 00 ][(ad+e)/ae (ae+f)/ae f/ae+c/ae] → [(ad+e)/ae-(f/ae+c/ae)(ag+h)/(af+c) (ae+f)/ae+(f/ae+c/ae)(ah+i)/(af+c) -c/(af+c)] → [(ad+e)/aef-(f/ae+c/ae)(ag+h)/(af+c) (f+ac)/(aef)-(f/ae+c/ae)(ah+i)/(af+c) c/(aef)][0 0 1 ] [(ag+h)/(-af-c/(ae+f)) (ah+i)/(-af-c/(ae+f))1/(-af-c/(ae+f))] [0 1 (-c)/(af+c)]因此，A的逆矩阵为：[ (ad+e)/aef-(f/ae+c/ae)(ag+h)/(af+c) (f+ac)/(aef)-(f/ae+c/ae)(ah+i)/(af+c) c/(aef)][-(ad+e)/afe+(d/a-fc/a^2)(ag+h)/(af+c) -(b/a+dc/a^2)+(fc/a^2-bd/a)(ah+i)/(af+c) -d/a(fc/a^2-bd/a)][ (f/ae+c/ae)(ag+h)/(af+c) -(fc/a^2-bd/a)(ah+i)/(af+c) a/(af+c)]初等行变换求逆矩阵的原理就是这样，它是一种简单而又实用的方法，可以在计算机科学、数学、物理等领域得到广泛的应用。
逆矩阵的几种求法及解析
. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
初等矩阵的逆矩阵的三个公式
初等矩阵的逆矩阵的三个公式初等矩阵是指由单位矩阵通过一次初等行变换或初等列变换所得到的矩阵。
在线性代数中，初等矩阵是一类非常重要的矩阵，它们具有许多有用的性质和应用。
在本文中，我们将讨论初等矩阵的逆矩阵的三个公式。
1.初等行变换的逆矩阵公式：设A是一个m×n的矩阵，B是A经过一次初等行变换得到的矩阵，记作B=EA，其中E是一个m×m的初等矩阵。
那么，如果存在一个m×m的初等矩阵E'，使得EB=A，我们可以将EB=A写成E'^-1EB=E'^-1A，这就是说，E'^-1E=I，其中I是m×m的单位矩阵。
根据逆矩阵的定义，当且仅当E'^-1E=I时，E'是E的逆矩阵。
因此，初等行变换的逆矩阵是存在的，并且是唯一确定的。
这个逆矩阵可以通过将初等行变换的逆序执行来得到，即先执行初等行变换的逆矩阵E1'^-1，然后执行初等行变换的逆矩阵E2'^-1，依此类推，直到执行初等行变换的逆矩阵Em'^-1、最终的逆矩阵就是E'=Em'^-1*...*E2'^-1*E1'^-12.初等列变换的逆矩阵公式：与初等行变换的逆矩阵类似，设A是一个m×n的矩阵，B是A经过一次初等列变换得到的矩阵，记作B=AE，其中E是一个n×n的初等矩阵。
同样地，如果存在一个n×n的初等矩阵E'，使得BA=A，我们可以将BA=A写成A*E'^-1=A，这就是说，E'^-1E=I，其中I是n×n的单位矩阵。
根据逆矩阵的定义，当且仅当E'^-1E=I时，E'是E的逆矩阵。
因此，初等列变换的逆矩阵也是存在的，并且是唯一确定的。
这个逆矩阵可以通过将初等列变换的逆序执行来得到，即先执行初等列变换的逆矩阵E1'^-1，然后执行初等列变换的逆矩阵E2'^-1，依此类推，直到执行初等列变换的逆矩阵En'^-1、最终的逆矩阵就是E'=E1'^-1*E2'^-1*...*En'^-13.矩阵的初等变换公式：矩阵的初等变换可以通过一系列的初等行变换和初等列变换来完成，而初等矩阵可以通过一次初等行变换或初等列变换得到，因此矩阵的初等变换可以用初等矩阵来表示。
初等行列变换求逆矩阵 -回复
初等行列变换求逆矩阵-回复初等行列变换是矩阵运算中常用的一种方法，用于简化矩阵的求逆过程。
在本文中，我们将使用初等行列变换的方法来求一个矩阵的逆。
首先，我们需要明确什么是矩阵的逆。
一个n阶矩阵A，如果存在一个n 阶矩阵B，使得AB=BA=In（其中In是n阶单位矩阵），那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^(-1)。
现在，我们假设有一个n阶方阵A，我们的目标是求出它的逆矩阵A^(-1)。
我们可以通过一系列的初等行列变换来实现这个目标。
初等行列变换分为三类：对调两行（列），用一个非零数乘某一行（列），与某一行（列）相加（减）若干倍的某一行（列）。
首先，我们将A矩阵和一个n阶单位矩阵I（I的每个元素i,j等于1当i=j 时，否则等于0）进行横向合并，形成一个2n阶的矩阵[A I]。
以下是求一个3阶方阵的逆矩阵的一个例子，我们将从头开始一步一步解释求逆的过程。
\[A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix}\]我们首先将A矩阵和一个3阶单位矩阵I进行横向合并，形成一个6阶的矩阵[A I]。
\[ \begin{bmatrix} a & b & c & 1 & 0 & 0 \\ d & e & f & 0 & 1 & 0 \\ g & h & i & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]接下来，我们进行初等行变换。
首先，我们使用第一行的第一个元素a，将第二行的第一个元素d和第三行的第一个元素g变为0。
具体操作是使用第一行乘以d/a，再用结果乘以第二行然后减去第一行。
\[\begin{bmatrix} a & b & c & 1 & 0 & 0 \\ 0 & e-\frac{db}{a} &f-\frac{cf}{a} & -\frac{cd}{a} & 1 & 0 \\ 0 & h-\frac{gb}{a} &i-\frac{hc}{a} & -\frac{gc}{a} & 0 & 1 \end{bmatrix}\]然后，我们使用第二行的第二个元素（e-\frac{db}{a}），将第一行的第二个元素b变为0。
初等变换法求矩阵的逆矩阵方法讲解
初等变换法求矩阵的逆矩阵方法讲解下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初等变换求逆矩阵提取某行公因式
初等变换求逆矩阵提取某行公因式哎呀，今天我们来聊聊怎么用初等变换求逆矩阵，顺便提取某行的公因式。
你别看这名字有点复杂，其实也不是什么高深的数学，只要你用点心思，咱们把它拆开来一点点弄清楚，保证你能轻松搞定。
其实说白了，矩阵的逆矩阵就像是你生活中的“反向操作”，什么都能反过来做。
就像有时候你做饭忘了加盐，你不慌，盐是有补救的！矩阵也是，想把它反过来，也能通过一些操作搞定。
今天我们要做的就是通过初等变换让矩阵倒回去，然后提取某一行的公因式，这样就能让事情变得更加简洁明了。
首先啊，你得知道什么是初等变换。
其实这玩意儿就像是你搬家时拆家具：有时候得把沙发腿卸了，有时候得把电视搬走。
这些“拆卸”操作不会改变家具的本质，只是让它变得更易于搬运。
对于矩阵而言，初等变换就是对矩阵进行一些“拆解”操作，比如交换两行、给一行乘上一个数，或者用一行去减另一行的某些倍数。
你看，操作简单吧？但是这些看似不起眼的小动作，最后就能帮你把矩阵从“混乱的状态”恢复到清晰的“整齐”状态。
那么我们进入正题。
假设你有一个矩阵，要想通过初等变换求出它的逆矩阵。
你可以把这个矩阵和一个单位矩阵拼在一起（当然是横着拼，别弄错了），然后通过初等变换一步步把它化简，最后让它变成单位矩阵。
这样一来，另一部分就会变成你要找的逆矩阵。
听着是不是有点复杂？别急，咱们举个例子看看怎么做。
假设你有一个2x2的矩阵：A = begin{pmatrix a & b c & d end{pmatrix。
那么你就把它和单位矩阵拼在一起：begin{pmatrix a & b & 1 & 0 c & d & 0 & 1 end{pmatrix。
然后开始用初等变换来简化它。
比如，首先可以让第一行的第一个元素变成1（如果它本来不等于1），然后用第一行去减第二行的某些倍数。
渐渐地，你就能把矩阵的左半部分变成单位矩阵，右半部分就是它的逆矩阵啦！是不是很神奇？其实这就是数学的魅力，看似难的东西，经过一点点操作，你就能搞定它。
4.2初等行变换,逆矩阵(修正)
一、矩阵的初等变换
例1 将
1 2 − 1 − 2 A = 2 − 1 1 1 3 1 0 − 1
化成简化行阶梯阵。 化成简化行阶梯阵。
1 5 3 − 5 0 0 − 1 0
过程见教材例1 结果为： 过程见教材例1，结果为：
1 0 0
1 0 0 M 1 − 3 2 1 1 3 M 1 0 0 （2 3 7 M 0 1 0 ①+②×→0 1 0 M − 3 0 1 1） [AMI ] = I 0 0 1 M 1 1 − 1 3 4 9 M 0 0 1
1 −3 2 A −1 = − 3 0 1 1 1 − 1
二、矩阵的秩
1.定义 矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的个数，称为矩 定义 矩阵 的阶梯形矩阵中非零行的个数， 的阶梯形矩阵中非零行的个数 的秩， 阵A的秩，记作秩 或r(A)． 的秩 记作秩(A)或 ． 由定义可知求矩阵的秩，只需把它化为阶梯形矩阵， 由定义可知求矩阵的秩，只需把它化为阶梯形矩阵， 阶梯形矩阵中非零行的个数，就是矩阵的秩． 阶梯形矩阵中非零行的个数，就是矩阵的秩． 2.求法 化为阶梯形阵，非零行的个数，就是矩阵的秩． 求法 化为阶梯形阵，非零行的个数，就是矩阵的秩．
3 − 1 2 0 例2 求 A = 1 1 − 4 2 r ( A) 与 r ( A Τ ) 0 − 2 3 1
r ( A Τ ) = r ( A) = 3
Τ 对于任意矩阵 A 都有 r ( A ) = r ( A)
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二、矩阵的秩
4.满秩矩阵 满秩矩阵 阶方阵A的秩等于 是满秩的， 非奇异阵。 若n阶方阵 的秩等于 则称 是满秩的，或非奇异阵。 阶方阵 的秩等于n, 则称A是满秩的 定理：任何满秩矩阵经过初等行变换均能化为单位阵。 定理：任何满秩矩阵经过初等行变换均能化为单位阵。 定理： 定理：方阵可逆的充要条件是其为满秩阵 例3 判断下列矩阵是否可逆？ 判断下列矩阵是否可逆？
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