自动控制原理教程课件_Part8

第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述9-2 线性系统的可控性与可观性9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析9-5 控制系统状态空间设计9凯莱-哈密顿定理设n 阶矩阵A 的特征多项式：则A 满足其特征方程，即推论1 矩阵A 的次幂可表示为A 的n-1阶多项式：式中与A 阵的元素有关。

1110()n n n f I A a a a λλλλλ−−=−=++++ 1110()n n n f A A a A a A a I−−=++++ ()k k n ≥1, n k mm m A A k nα−==≥∑m α9秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：其中，A 为n 维方阵；称为系统的可控性判别阵。

0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ 1n rank B AB A B n −⎡⎤=⎣⎦1 n S B AB A B −⎡⎤=⎣⎦9PBH 秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：式中，是矩阵A 的所有特征值。

另一种等价描述为：说明：因为这个判据是由波波夫(Popov ) 和贝尔维奇(Belevitch ) 首先提出，并由豪塔斯(Hautus ) 最先指出其可广泛应用性，故称为PBH 秩判据。

0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ (1,2,,)i i n λ= [] ; 1,2,,i rank I A B n i nλ−== [] ; rank sI A B n s C−=∀∈9对角线规范型判据线性定常连续系统：矩阵A 的特征值两两相异，变为对角线规范型：系统完全可控的充要条件不包含元素全为零的行12,,,n λλλ 12 0 0 n x x Bu λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ B4. 输出可控性如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需要研究系统的输出可控性。

9输出可控性(与状态可控没有必然联系)若在有限时间间隔内，存在无约束分段连续控制函数能使任意初始输出转移到任意最终输出，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。

¾输出可控性判据设线性定常连续系统的状态空间描述为：[]01,t t []01(),,u t t t t ∈0()y t 1()y t []01, (0), 0,xAx Bu x x t t y Cx Du=+=∈=+输出可控性矩阵：输出可控充要条件是10 n S CB CAB CA B D −⎡⎤=⎣⎦ (1)q n p×+0 rank S q=111111()100()1010()()()()()t AtA tt t At A t t x t e x e Bu t dty t Ce x C e Bu t dt Du t −−=+=++∫∫[]01, (0), 0,x Ax Bu x x t t y Cx Du=+=∈=+ 系统式中，u 为p 为输入向量；y 为q 维输出向量；x 为n 维状态向量。

状态空间表达式的解为：5. 线性定常连续系统的可观测性判据考虑时系统的状态方程和输出方程为：式中，x 为n 维状态向量，y 为q 维输出向量。

A 为常值矩阵，C 为常值矩阵。

¾格拉姆矩阵判据上述系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。

格拉姆矩阵0u =0, (0), 0, xAx x x t y Cx ==≥= n n ×q n ×10t >110(0,)T t A t T At M t e C Ce dt Δ=∫1 n C CA rank n CA −⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 21 () ()T T T T T T n T rank C A C A C A C n −⎡⎤=⎣⎦¾秩判据线性定常连续可观充要条件可观测阵9PBH 秩判据线性定常连续系统：其完全可观测的充分必要条件是：式中，是A 的所有特征值。

9对角线规范型判据上述系统完全可观测充要条件是：当A 特征值两两相异时，对角线规范型中不包含全零列。

0, (0), 0, x Ax x x t y Cx ==≥= (1,2,,)i i n λ= ; 1,2,, ; i i C rank n i n I A C rank n s C I A λλ⎡⎤==⎢⎥−⎣⎦⎡⎤=∀∈⎢⎥−⎣⎦12 0 , 0 n x x y Cx λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12,,,n λλλC¾数学基础矩阵的对角化一个矩阵如果和对角阵相似，则称这个矩阵可对角化。

9矩阵可对角化的条件设方阵A 可对角化，即A 与相似,则存在可逆阵P ，使得：即。

是A 的n 个线性无关特征向量，12(,,,)n D diag λλλ= 1 P AP D AP PD −==12121212121122(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)1,2,,0 , 1,2,,n n n n n n n i i i i P X X X A X X X X X X diag AX AX AX X X X AX X i nX i nλλλλλλλ=====≠= 12,,,n X X X定理1：n 阶方阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

定理2：属于A 的不同特征值的特征向量是线性无关的。

定理3：若n 阶方阵A 有n 个相异特征值，则A 可对角化，且注意：定理3的逆命题不成立。

例如，n 阶单位阵I 是可对角化的，但其n 个特征值都为1，非互异。

定理4：设为n 阶方阵A 的s 个互异特征值，是A 的属于的个线性无关的特征向量,。

则下述向量线性无关：12,,,n λλλ 1211212(,,,)(,,,)(,,,)n n n A diag P X X X P AP diag λλλλλλ−==∼ 12,,,s λλλ 12,,,i i i im X X X i λi m 1,2,,i s = 111212122212,,,;,,,;;,,,m m s s smX X X X X X X X X小结当A 的特征多项式方程有重根时，如果每个特征值都有满足一定条件的、数量的、线性无关的特征向量的话，A 也可以对角化。

在复数域中，对A 的特征多项式进行因式分解，即：称为的代数重数。

每个特征值有一个特征子空间，称特征子空间的维数为的几何重数，记作。

定理5：n 阶复方阵A 的特征值的几何重数小于等于代数重数。

121212()()()() , , s n n n A s i j s f i j n n n n λλλλλλλλλ=−−−≠≠+++= i n i λ,1,2,,i V i s λ= i V λi m i im n ≤i λi λ定理6：n 阶复方阵A 的特征多项式为：则：9求相似对角阵的方法⑴求解A 的特征值121212()()()() , , sn n nA s i j s f i j n n n n λλλλλλλλλ=−−−≠≠+++= 1,1,2,,(),1,2,,i i s i i i i m n i sm nr I A n n i sλ====−=−=∑ 方阵A 可对角化()(),,i sn A i i j f I A i j λλλλλλ=−=−≠≠∏⑵计算的秩，，然后判断秩的关系。

若，则A 可对角化，否则A 不可对角化。

⑶可对角化时，对，求的基础解系，得。

⑷其中有个。

例1 判断是否可对角化？解：⑴求A 的特征值。

i I A λ−1,2,,i s = (),1,2,,i i r I A n n i s λ−=−= ,1,2,,i i s λ= 121112*********1122(,,,;,,,;;,,,)(,,;,,;;,,)s n n s s sn s s P X X X X X X X X X P AP diag λλλλλλ−== ()0i I A X λ−=12,,,,1,2,,i i i in X X X i s = i n ,1,2,,i i s λ= 0 10 0A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⑵例2 设解：⑴2111 10 , 0,20 0 1()10 0I A n r I A r λλλλλλ−−=====−⎡⎤−==⎢⎥⎣⎦11()r I A n n λ−≠−由于所以A 不可对角化。

1 2 22 1 22 2 1A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦判断A 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P ，使为对角阵。

1P AP −21122111 2 22 1 2(5)(1)2 2 15,1;1, 2 ; 1I A n n m n λλλλλλλλ−−−−=−−−=−+−−−===−===⑵故A 可对角化。

⑶求解特征向量。

222 2 2()2 2 21 , 3212 2 2r I A r n n λ−−−⎡⎤⎢⎥−=−−−=−=−=⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦1231231231111(5)0422024202240[1 1 1] TI A X x x x x x x x x x X kX −=−−=⎧⎪−+−=⎨⎪−−+=⎩=1231231232122121222()0222022202220[1 0 1][0 1 1]T TI A X x x x x x x x x x X X k X k X −−=−−−=⎧⎪−−−=⎨⎪−−−=⎩=−=−+112122110 1 1 01,0,1 1 0 11111 1 1X X X P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⑷1115 1 1 11 1 2 1 131 12 11 1 1 1 2 2 1 1 01 2 1 1 2 1 2 1 0 31 2 1 2 2 1P AP P P AP −−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−=−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦5 1 11 1 1 1⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦7. 线性定常系统的线性变换分析和设计系统时，通常需对系统进行各种非奇异变换，例如将A 阵对角化、约当化、将化为可控标准型，将化为可观标准型等。

⑴状态空间表达式的线性变换系统：取非奇异阵P ：上述称为系统P 变换。

系统变换目的是使阵规范化,揭示系统特性及分析计算，并不会改变系统的原有性质,{},A b {},A c , x Ax bu y cx =+= A 11A P AP b P bc cP−−===11, , , Px APx bu y cPx x P APx P bu y cPx xAx bu y c x y −−=+==+==+=⋅= x Px=[]120 i in I A Ap p P p p p λλ−=== 系统变换的核心思想为了分析或综合系统，将不便研究的状态空间模型进行等价变换，获得所需结果后，再引入反变换换算回原来的状态空间中去，得出最终结果。