李尚志数学实验ppt

实验八: 天体运动 万有引力定律 --> 开普勒定律




太阳位置 (0,0) 时刻 ti: 天体位置(xi,yi), 速度 (vix,viy) ri2=xi2+yi2,加速度大小 | ai|=k/(ri2), 加速度矢量（ aix,aiy)=(-|ai| xi/ri,-|ai| yi/ri) ti+1= ti+ d: vi+1,x=vix+aixd , vi+1,y=viy+aixd; xi+1 = xi + vi+1,x d, yi+1 = yi + vi+1,y d 从初始位置和初速度开始,一段段画出轨道

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再见
-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 2 4 6 8 10


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快速寻佳
3 x1 3, x1 0.14159265 ...
A1 1 x1 1 x1 7.0625 ... 7 x2 7, 1 , 3 1 22 . A1 7 7 7 x2 ...
A2 1
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音阶的频率比

异种电荷
同种电荷
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微分方程
2+y2的解 dy/dx=x
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实验七: 几何变换
(x,y) (x’,y’) x’=f1(x,y), y’=f2(x,y) 曲线C: x=x(t),y=y(t) 曲线C’：x=f1(x(t),y(t)),
. y=f2(x(t),y(t))
声音越高，频率越高。 1，2，3，4，5，6，7，i 频率各是多少？ 高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。 比例都是无理数。 但为了音乐和谐，比例应是简单分数。 矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！

音阶的频率比



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最速降线的形状
《数学实验》教材目录



微积分基础 怎样计算 最佳分数近似值 数列与级数 素数



概率 几何变换 天体运动 迭代（一）：方程求解 寻优



最速降线 迭代（二）：分形 迭代（三）：混沌 密码 初等几何定理的机器证明
网上教材 网址： 202.38.68.76/~mathexp/
-2 -0.25 -0.5 -0.75
2
4
Sin (1/x) 在 x=0 附近
- 1, 1
1 0.5
@D @
1 0.5
0.5 1-0.01
- 0.01, 0.0
-1
-0.5
-0.005 -0.5
0.005
-0.5
-1
-1
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画数据点集合
d=Table[{1/n,Sin[n]},
{n,1,1000}] (定义点集） ListPlot[d] （画出点集） 点集中显现出什么曲线？
Sin(x) 及其 Tylor 逼近
1.5 1 0.5
-6
-4
-2 -0.5 -1 -1.5
2
4
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sin x+sin3x/3+…+sin nx/n
n = 199
0.75 0.5 0.25
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6
4
2
9 =n
5.0 5.052.0 57.0 52.024657.0-
-6
-4
万有引力定律 --> 开普勒定律
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05
04
03
02
01
04
03
02
01 01-
01-
02-
不同的初速度对轨道的影响
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凹面镜的正确形状


画图观察球面镜是否将平行光线聚于一点？ 要求凹面镜将平行光线聚于一点F，画出凹 面镜截面曲线：从顶点 P0出发，向垂直于 入射光线的方向前进一小段到 P1。一般的， 设曲线已到Pi，则反射光线为P i F。按反射 定律确定镜面曲线的走向，前进一小段到 P i+1 点。重复此过程。 观察猜测上面画出的是什么曲线？验证。
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
1
-6
-4
-2 -1
2
0.5
-2 -3 -4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
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圆变成圆锥曲线
1
4 2
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-7.5
-5
-2.5 -2 -4
2.5
5
7.5
10
-0.5
-1
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代数基本定理
复多项式
Table[{1/n,Sin[n]}, {n,1,10000}]
1
0.5
0.0002 -0.5
0.0004
0.0006 0.0008
0.001
0.0012
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-1
实验二: 的计算


想一想：怎样算 ？ 当一回祖冲之！
圆的面积

单位圆的面积等于 计算第一象限内的单位圆的面积， 方法为：把它分成n个窄的曲边梯形， 计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000, ...
高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12: 1,1#, 2,2#, 3, 4,4#, 5, 5#, 6, 6#, 7, i 1, 22/12, 24/12, 25/12, 27/12, 29/12, 211/12, 2 比例都是无理数: 1, 1.12246, 1.25992, 1.33484, 1.49831, 1.68179, 1.88775, 2 但为了音乐和谐，比例应是简单分数 怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值： 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2
f (z)有复零点 z0.
f (x+y i) = x’+ y’ i 决定实变换 j : (x,y) (x’,y’). 画半径R的圆CR CR’. R很大,CR’含原点。R 0时 CR’连 续缩为一点。必扫过原点。
复多项式f(z)引起的变换： 变换前为半径r的圆
1.2 r = 10.0;= r
10000 5000
10
r = 2.1
30
20
-10000
-5000
5000
10000
-40
-30
-20
-10 -10
10
20
-5000
-20
-30
-10000
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实验十一: 最速降线
重力场中高度不同的两点 A，B。 在A静止的质点沿怎样的路 径下滑到B点，时间最少？

8
6
4
2
5.015.125.23-
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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实验三: 最佳分数近似值
问题：
祖冲之的圆周率为 A. 3.141592， B. 355/113 ? 上述哪一个值更佳？

评选最佳
何为最佳？误差d小，分母v小。 选法1：递增选v，使d
递减。 选法2：递增选v，使 vd 递减。 选法3：按 v2d 从小到大选十佳。
线性变换
x’=a1x+b1y, y’=a2x+b2y. 画出由平面直线段或曲线 段组成的图形C及其象C’。 观察：直线、平行、垂直、 长度、角度、圆 ?

线性变换前后的图形
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线性变换的特征向量
观察向量方向变化情况： 左偏，右偏，不变，反向。 变换作用多次，观察趋势。
球面镜的反射
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
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球面镜的反射 正确的聚光镜 形状
2
4
1.5
3
1
2
0.5
1
0.5
1
1.5
2
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1
2
3
点电荷组的电力线与等势线



从一个点电荷的位置 P0 向任一方向出发走 一小段到 P1 点。 利用库伦定律计算 P1点电场强度方向，从 P1点出发向此方向走一小段到 P2 点。 重复此过程可画出一条电力线。 换另外的方向出发可画出另外的电力线。 同理可画出等势线。
蒙特卡洛方法

求出S=/4占S正方形ACBO的比例。 随机投点P(x,y) P在圆内x2+y21 /4的近似值为落在圆内 B 的点数与总投点数的 S 比值
O
C
A
某次随机投点的结果
1 0.8
3.14800000000000013`
0.6
`31000000000000841.3
3.14800000000000013`
S小
1
1
S大
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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数值积分：

0 1 0
1
1 x dx
2 2
4
1 (1 x )dx 4
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无穷级数法



arctan x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-... /4 = arctan 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-… 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 /4 = arctan 1/2 + arctan1/3 /4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/239
数学实验
李尚志 教授
中国科学技术大学 数学系
何谓“数学实验”

百度文库

对数学进行折腾 连蒙带猜找规律 从问题出发 学生自己动手、动眼、动脑 借助于计算机（成千上万次折腾） 尝试数学的探索、发现和应用
实验一：微积分基础
函数图象：


sin(x)及其Tylor逼近。 sin(x)+sin(3x)/3+… sin(1/x)在x=0附近的性状。

向量方向的变化
2013-8-9
变换的迭代
4
2
-4
-2
2
4
-2
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-4
射影变换




x’ = x / (1-x), y’= y / (1-x). 直线、相交、平行 ？ 相交于x=1的直线 ？ 圆(与x=1相离、切、交) ?
相交直线变成平行直线
2.5
3 2 1
2
1.5