整式的乘法综合复习讲义(按知识点)
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(4)[(y－x)4]2＝(y－x)4×2＝(y－x)8.
3.积的乘方
(1)法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
(2)符号表示：(ab) n＝anbn(n为正整数)．
(3)拓 展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：(abc)n＝anbncn.a，b，c可以是任意数，也可以是幂的形式．
【例6】计算：
(1)(5a－2b)(2a＋b)；
(2)(a2－a＋1)(a＋1)．
解：(1)(5a－2b)(2a＋b)
＝5a·2a＋5a·b－2b·2a－2b·b
＝10a2＋5ab－4ab－2b2
＝10a2＋ab－2b2；
(2)(a2－a＋1)(a＋1)
＝a2·a＋a2·1－a·a－a·1＋1·a＋1
整式的乘法综合复习讲义（按知识点）
1．同底数幂的乘法
(1)法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(2)符号表示：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
(3)拓展：①当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有同样的性 质，即am·an·…·ar＝am＋n＋…＋r(m，n，…，r都是正整数)．
②法则可逆用，即am＋n＝am·an(m，n都是正整数)．
谈重点单项式乘以单项式要注意的三点运用单项式与单项式相乘时要注意：(1)在计算时，应先确定积的符号；(2)注意按运算顺序进行；(3)不要丢掉只有一个单项式里含有的字母．
【例4】下列计算正确的是()．
A．3x3·2x2y＝6x5B．2a2·3a3＝6a5
C．(2x)3·(－5x2y)＝－10x5yD．(－2xy)·(－3x2y)＝6x3y
【例5】计算：
(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)；
(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)．
解：(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)
＝(－3ab)(2a2b)＋(－3ab)(－ab)＋(－3ab)×2
＝－6a3b2＋3a2b2－6ab；
(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)＝x·x＋x·(－2)＋(－2x)x＋(－2x)·1＋(－3x)·x＋(－3x)·(－5)＝－4x2＋11x.
(3)拓展：①法则可推广为[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整数)
②法则可 逆用：
amn＝(aHale Waihona Puke Baidu)n＝(an)m(m，n都是正整数)
警误区幂的乘方的理解不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．
【例2】计算：
②法则可逆用：anbn＝(ab)n.(n为正整数)．
警误区积的乘方的易错点运用积的乘方法则易出现的错误有：(1)漏乘因式；(2)当每个因式再乘方时，应该用幂的乘方的运算性质，指数相乘，而结果算式为指数相加；(3)系数计算错误．
【例3】计算：
(1)(－xy)3；(2)(x2y)2；
(3)(2×102)2；(4)(－ ab2)2.
解析：A结果漏掉了字母“y”，C结果应为－40x5y，D结果应为6x3y2.
答案：B
5．单项式与多项式相乘
法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.
单项式与多项式乘法法则的理解 单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘．所以熟练掌握同底数幂乘法和单项式乘以单项式，是学好单项式乘以单项式的基础和关键．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以此来检验运算中是否漏乘．
谈重点同底数幂的特征“同底数幂”是指底数相同的幂，等号左边符合几个同底数幂相乘，等号右边，即结果为一个幂．注意不要忽视指数为1的因式．
【例1】计算：
(1)103×106；
(2)(－2)5×(－2)2；
(3)an＋2·an＋1·a；
(4)(x＋y)2(x＋y)3.
分析：(1)中的两个幂的底数是10；(2)中的两个底数都是－2；(3)中的三个幂的底数都是a；这三道题可以直接用同底数幂的运算性质计算．(4)要把x＋y看作一个整体，再运用同底数幂的乘法法则．
解：(1)103×106＝103＋6＝109；
(2)(－2)5×(－2)2＝(－2)5＋2＝－27；
(3)an＋2·an＋1·a
＝an＋2＋n＋1＋1＝a2n＋4；
(4)(x＋y)2(x＋y)3
＝(x＋y )2＋3＝(x＋y)5.
2．幂的乘方
(1)法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(2)符号表示：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
(1)(102)3；(2)(am)3；
(3)[(－x)3]2；(4)[(y－x)4]2.
分析：解决本题的关键是要分清底数、指数是什么，然后再运用法则 进行计算，如(2)中的底数是a，(3)中的底数是－x，(4)中的底数是y－x.
解：(1)(102)3＝102×3＝106；
(2)(am)3＝a3m；
(3)[(－x)3]2＝(－x)3×2＝x6；
6．多项式与多项式相乘
法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.
警误区多项式乘以多项式的注意点
多项式乘以多项式时，应注意以下几点：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；(3)相乘后，若有同类项应该合并．
＝a3＋a2－a2－a＋a＋1
＝a3＋1.
7.同底数幂的除法
(1)法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
(2)符号表示
am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)．
(3)注意
解：(1)(－xy)3＝(－1)3x3y3＝－x3y3；
(2)(x2y)2＝(x 2)2·y2＝x4y2；
(3)(2×102)2＝22×(102)2＝4×104；
(4)(－ ab2)2＝(－ )2a2(b2)2＝ a2b4.
4．单项式乘以单项式
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3.积的乘方
(1)法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
(2)符号表示：(ab) n＝anbn(n为正整数)．
(3)拓 展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：(abc)n＝anbncn.a，b，c可以是任意数，也可以是幂的形式．
【例6】计算：
(1)(5a－2b)(2a＋b)；
(2)(a2－a＋1)(a＋1)．
解：(1)(5a－2b)(2a＋b)
＝5a·2a＋5a·b－2b·2a－2b·b
＝10a2＋5ab－4ab－2b2
＝10a2＋ab－2b2；
(2)(a2－a＋1)(a＋1)
＝a2·a＋a2·1－a·a－a·1＋1·a＋1
整式的乘法综合复习讲义（按知识点）
1．同底数幂的乘法
(1)法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(2)符号表示：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
(3)拓展：①当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有同样的性 质，即am·an·…·ar＝am＋n＋…＋r(m，n，…，r都是正整数)．
②法则可逆用，即am＋n＝am·an(m，n都是正整数)．
谈重点单项式乘以单项式要注意的三点运用单项式与单项式相乘时要注意：(1)在计算时，应先确定积的符号；(2)注意按运算顺序进行；(3)不要丢掉只有一个单项式里含有的字母．
【例4】下列计算正确的是()．
A．3x3·2x2y＝6x5B．2a2·3a3＝6a5
C．(2x)3·(－5x2y)＝－10x5yD．(－2xy)·(－3x2y)＝6x3y
【例5】计算：
(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)；
(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)．
解：(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)
＝(－3ab)(2a2b)＋(－3ab)(－ab)＋(－3ab)×2
＝－6a3b2＋3a2b2－6ab；
(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)＝x·x＋x·(－2)＋(－2x)x＋(－2x)·1＋(－3x)·x＋(－3x)·(－5)＝－4x2＋11x.
(3)拓展：①法则可推广为[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整数)
②法则可 逆用：
amn＝(aHale Waihona Puke Baidu)n＝(an)m(m，n都是正整数)
警误区幂的乘方的理解不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．
【例2】计算：
②法则可逆用：anbn＝(ab)n.(n为正整数)．
警误区积的乘方的易错点运用积的乘方法则易出现的错误有：(1)漏乘因式；(2)当每个因式再乘方时，应该用幂的乘方的运算性质，指数相乘，而结果算式为指数相加；(3)系数计算错误．
【例3】计算：
(1)(－xy)3；(2)(x2y)2；
(3)(2×102)2；(4)(－ ab2)2.
解析：A结果漏掉了字母“y”，C结果应为－40x5y，D结果应为6x3y2.
答案：B
5．单项式与多项式相乘
法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.
单项式与多项式乘法法则的理解 单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘．所以熟练掌握同底数幂乘法和单项式乘以单项式，是学好单项式乘以单项式的基础和关键．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以此来检验运算中是否漏乘．
谈重点同底数幂的特征“同底数幂”是指底数相同的幂，等号左边符合几个同底数幂相乘，等号右边，即结果为一个幂．注意不要忽视指数为1的因式．
【例1】计算：
(1)103×106；
(2)(－2)5×(－2)2；
(3)an＋2·an＋1·a；
(4)(x＋y)2(x＋y)3.
分析：(1)中的两个幂的底数是10；(2)中的两个底数都是－2；(3)中的三个幂的底数都是a；这三道题可以直接用同底数幂的运算性质计算．(4)要把x＋y看作一个整体，再运用同底数幂的乘法法则．
解：(1)103×106＝103＋6＝109；
(2)(－2)5×(－2)2＝(－2)5＋2＝－27；
(3)an＋2·an＋1·a
＝an＋2＋n＋1＋1＝a2n＋4；
(4)(x＋y)2(x＋y)3
＝(x＋y )2＋3＝(x＋y)5.
2．幂的乘方
(1)法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(2)符号表示：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
(1)(102)3；(2)(am)3；
(3)[(－x)3]2；(4)[(y－x)4]2.
分析：解决本题的关键是要分清底数、指数是什么，然后再运用法则 进行计算，如(2)中的底数是a，(3)中的底数是－x，(4)中的底数是y－x.
解：(1)(102)3＝102×3＝106；
(2)(am)3＝a3m；
(3)[(－x)3]2＝(－x)3×2＝x6；
6．多项式与多项式相乘
法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.
警误区多项式乘以多项式的注意点
多项式乘以多项式时，应注意以下几点：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；(3)相乘后，若有同类项应该合并．
＝a3＋a2－a2－a＋a＋1
＝a3＋1.
7.同底数幂的除法
(1)法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
(2)符号表示
am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)．
(3)注意
解：(1)(－xy)3＝(－1)3x3y3＝－x3y3；
(2)(x2y)2＝(x 2)2·y2＝x4y2；
(3)(2×102)2＝22×(102)2＝4×104；
(4)(－ ab2)2＝(－ )2a2(b2)2＝ a2b4.
4．单项式乘以单项式
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．