ZBP平行四边形存在性问题之两定两动.doc

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平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题以函数为背景的平行四边形存在性问题是近年来各地中考的热点,其图形复杂,不确定因素较多,解题有一定的难度.因此对此类问题建立解题模型,则可以大大降低学生思维难度.模型原理对角线互相平分的四边形是平行四边形.模型工具是线段的中点坐标公式和平行四边型的顶点坐标公式，再利用方程建立等式求解。

1、线段的中点坐标公式平面直角坐标系中，点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2）则线段AB的中点坐标为2、平行四边形的顶点坐标公式平行四边形的对角线顶点的横坐标、纵坐标之和相等。

平行四边形ABCD的顶点分别为A（xA，yA）B（xB，yB）C（xC，yC）D（xD，yD）则有 xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD题型一：已知三点坐标求第四点坐标（三定一动）例1：已知A（-1,2），B（2,3），C（1,0）求点D的坐标，使点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。

设D的坐标为（x，y）题型二：已知两点坐标求其余两点坐标（二定二动）例2：已知A（1,2），B（2,-3），点C在x轴上，点D在直线y=2x-1的图象上，求点D的坐标，使点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。

设C的坐标为（m，0）D的坐标为（n，2n-1）思路点拨1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．满分解答（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因为x＝3在对称轴的右侧，所以符合题意的点M的坐标为考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．图5例题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．思路点拨1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．满分解答（1）QB＝8－2t，．（2）作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．（3）以C为原点建立直角坐标系．当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．平行四边形的存在性问题解题策略1、根据题意设其中一个点或二个点的坐标2、先利用其中三个点构造一个三角形，分别以三角形的三边为对角线，用平行四边形顶点坐标公式表示第四个点的坐标，代入到经过第四个点的函数解析式中得到方程求解；或者利用平行四边形顶点坐标公式建立方程组求解。

四边形存在性问题

四边形之存在性问题（一）平移法解决两定两动型平行四边形的存在性问题两定两动型的平行四边形存在性问题是9年级常见的试题，也是中考的热点题型，所以此类问题一定要重视。

平行四边形存在性问题最终就是求某点的坐标，传统的方法一般是把直线和抛物线的解析式联立成方程组，求出方程组的解就可以得到点的坐标，这种方法往往涉及到繁复的计算。

而用平移法解决此类问题，构思巧妙，思路简洁流畅，计算量小，对一般学生都能够很轻松的接受。

平行四边形的平移，如下图，平行四边形ABCD在坐标系中，点A和B的坐标分别为,(ma、)b，根据平行四边形的性质和平移原理，B点怎么移动到A点，C点就怎么移),(n动到D点，比如若点B先向右平移7个单位，再向下平移5个单位得到点A，那么同样的把点C的“横坐标+7”“纵坐标-5”即可到点D的坐标。

这个方法可以在坐标系中求解有关平行四边形的坐标问题，很实用，下面就要用到。

【解题思路】1.存在性问题处理框架：①研究背景图形；②根据不变特征，确定分类标准；③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解；④结果验证；2.平行四边形存在性问题特征举例：（1）分析定点、动点；（2）①边或对角线，利用平移确定点的坐标；②两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的对角线，则定线段绕中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标；（3）结合图形进行验证；附：（线段的中点坐标公式课本上没有，但对于9年级学生来说在刷题时要经常用到，所以必须熟记).）如果线段AB 的两个端点坐标分别为),(),,(2211y x y x ，中点M 的坐标记作),(y x ,则221x x x +=，221y y y += 即中点坐标M )2,2(2121y y x x ++【典型例题】【例1】如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ．（1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．【分析】以AC 为边时，可作1ACBD 与B ACD 3；以AC 为对角线时，可作2ABCD ;故一共3个点；【解答】（1）将（2，3）代入2+=kx y221+=∴x y ， )2,0(),0,4(B A -∴,向下平移3个单位，得121-=x y ，∴直线l 的表达式为121-=x y ；（2）121-=x y∴C 点坐标为（2，0），当AB 为对角线时，D 点坐标为（-6，2），当AC 为对角线时，D 点坐标为（-2，-2），当BC 为对角线时，D 点坐标为（6，2）；【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3，0)，点B 的坐标为A (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【分析】（1）直线AB 的解析式只要将点代入b kx y +=即可；（2）这是两定两动的题型，利用菱形的对角线垂直平分画图进行解决；（3）两定两动的题型，分别以BD 为边与对角线进行作图，以BD 为边作图，再以平移求点即可，以BD 为对角线作图，求点时需要运用中点公式进行求解比较方便；【解答】（1）,AB y kx b =+设直线的解析式为3044344- 4.3k b b k b AB y x +=⎧∴⎨=⎩⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩∴=+直线的解析式为（2）,BCOD 四边形是菱形 ,,(0,2),2,4324,,323(,2),23(-,2).2OB CD OB CD OB C y y x x C D ∴⊥∴==-+=∴∴且与互相平分的中点坐标为点的纵坐标是把代入得点坐标为点坐标为（3）339(6)(,2)(,2).222P --点的坐标为，或或【例3】如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【分析】（1）以C 为线段的中点，求解点C 的坐标，再由点A 的坐标两个点求出函数解析式；（2）四边形ACPB 为平行四边形，ACPB 顺次联结，故只有一种情况AC//BP,AB//CP,利用平移求解点P 的坐标；（3）三定一动的题型，利用已知定线段作为边或者对角线时，利用平移的方法求解点P 的坐标；【解答】（1）212,y x =+函数的解析式为6,00,120,6,6061,6,6;A B OB C AC y kx b b k b k b AM y x ∴-∴=+=⎧∴⎨=-+⎩∴==∴=+（）,（）,点C 为线段的中点,（）,设直线的解析式为：直线的解析式为：（2）,ACPB 四边形是平行四边形 ,,,,,6,6,18,6,18;PC AB PC AB PB AC PB AC P y Q PQB AOC PQ AO BQ CO QO QB OB P ∴==∆≅∆∴====∴=+=∴且∥且∥如图过点作轴的垂线，垂足为可证（）（3）,BC 当为对角线时(6,18),,(6,6),,(0,6),(6,18)(6,6)(6,6).P AB P AC P P --∴---点坐标为当为对角线时点坐标为当为对角线时点坐标为点坐标为或或。

二次函数压轴题之平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D CAB DC x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．y D -y Cx D -x Cy A -y Bx A -x BABC D（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．DCBA【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩， 2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：D之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．D 3D 2D 1OyxCBA思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：（1）BC 为对角线时，531352m n +=+⎧⎨+=+⎩，可得()17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253mn +=+⎧⎨+=+⎩，解得()21,4D -；（3）AB 为对角线时，153235mn +=+⎧⎨+=+⎩，解得()33,0D ．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：1=D B C A +-，2=D A C B +-，3D A B C =+-．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．（1）当AB 为对角线时，130120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式： A C B D AC BD x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．【2019宜宾中考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并求△P AB 面积的最大值．【分析】（1）抛物线：223y x x =--，直线AB ：3y x =-；（2）考虑EC ∥MN ，故若使点M 、N 、C 、E 是平行四边形，则EC =MN 即可，∵E （1，-2）、C （1，-4）， ∴EC =2，设M 点坐标为（m ，m -3）（m >1），则N 点坐标为()2,23m m m --，则MN =()()222333MN m m m m m =----=- 由题意得：232m m -=， 232m m -=，解得：1m =，2m =（舍），对应P点坐标为⎝⎭； 232m m -=-，解得：32m =，41m =（舍）．对应P 点坐标为（2，-1）．综上，P点坐标为⎝⎭或（2，-1）．（3）铅垂法可解．【2018河南中考（删减）】如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．【分析】（1）265y x x=-+-；（2）考虑到AM∥PQ，故只需AM=PQ即可．过点A作BC的平行线，与抛物线交点即为P点，易得直线AP的解析式：1y x=-，联立方程：2651x x x-+-=-，解得：11x=（舍），24x=，故对应P点坐标为（4，3）；作点A关于B点的对称点A'，过点A'作BC的平行线，与抛物线的交点亦为题目所求P点，易求直线解析式：9y x=-，联立方程：2659x x x-+-=-，解得：1x，2x=．故对应P点坐标为⎝⎭、⎝⎭．综上所述，P点坐标为（4，3）、⎝⎭、⎝⎭．【2018郴州中考（删减）】如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =-++；（2）由题意可知CP 、DM 为对角线，考虑DM 在直线x =-1上，故CP 中点在直线x =-1上，∵点C 坐标为（0，3），故点P 横坐标为2，代入解析式得P （2，3），易知M 点坐标为（1，6）．【三定一动】（2018·恩施州中考删减）如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为(1,0)-，2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标．【分析】（1）抛物线：224233y x x =-++；（2）设P 点坐标为（m ，n ），又B （3，0）、C （0，2）、D 813⎛⎫⎪⎝⎭，①若BC 为对角线，由题意得：3018023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：223m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故1P 的坐标为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若BD 为对角线，由题意得：3108023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：423m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故2P 坐标为24,3⎛⎫⎪⎝⎭；③若BP 为对角线，由题意得：3018023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：2143m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故3P 坐标为142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，P 点坐标为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、24,3⎛⎫ ⎪⎝⎭、142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【两定两动：x 轴+抛物线】（2018·济宁中考删减）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(3,0)A ，(1,0)B -，(0,3)C -．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =--；（2）列方程组求：设P ()2,23m m m --、Q (),0n ，又B （-1，0）、C （0，-3），若BC 为对角线，由题意得：21003230m n m m -+=+⎧⎨-=--+⎩，解得：23m n =⎧⎨=-⎩或01m n =⎧⎨=-⎩（舍），故对应的P （2，-3）；若BP 为对角线，由题意得：21023003m n m m -=+⎧⎨--+=-⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩或01m n =⎧⎨=-⎩（舍），故对应的P （2，-3）；若BQ 为对角线，由题意得：21000233n m m m -=+⎧⎨+=---⎩，解得：12m n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩12m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，故对应的P ()1+、()1．综上所述，P 点坐标为（2，-3）、()1、()1．（2019·包头中考删减）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：224233y x x =-++，对称轴：直线x =1；（2）设M 点坐标为224,233m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，N 点坐标为()1,n ，又B （3，0）、C （0，2）若BC 为对角线，由题意得：23012402233m m m n +=+⎧⎪⎨+=-+++⎪⎩，解得：20m n =⎧⎨=⎩，故M 点坐标为（2，2）；若BN 为对角线，由题意得：23102402233m n m m +=+⎧⎪⎨+=-+++⎪⎩，解得：443m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故M 点坐标为104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；若BM 为对角线，由题意得：23102420233m m m n +=+⎧⎪⎨-+++=+⎪⎩，解得：2163m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故M 点坐标为102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上所述，M 点坐标为（2，2）、104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2019·咸宁中考删减）如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知E ，F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ，O ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标．【分析】（1）抛物线：213222y x x =-++；（2）设E 点坐标为1,22m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，F 点坐标为213,222n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，又B （0，2）、O （0，0），①若OB 为对角线，由题意得：2001130222222m nm n n +=+⎧⎪⎨+=-+-++⎪⎩，解得：1122m n ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩或2222m n ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩故E点坐标为(2--或(2-+；②若OE 为对角线，由题意得：2001130222222m nm n n +=+⎧⎪⎨-+=-++⎪⎩，解得：3322m n ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩4422m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩故E点坐标为(2+或(2-；③若OF 为对角线，由题意得：2001310222222n mn n m +=+⎧⎪⎨-++=-+⎪⎩，解得：5522m n =⎧⎨=⎩，故E 点坐标为（2，1）．【两定两动：抛物线+抛物线】（2019·连云港中考删减）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:L y x bx c =++过点(0,3)C -，与抛物线2213:222L y x x =--+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q分别是抛物线1L 、2L 上的动点．（1）求抛物线1L 对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标．备用图【分析】（1）1L 解析式：223y x x =--；（2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解．设P 点坐标为()2,23m m m --，Q 点坐标为213,222n n n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，又C （0，-3）、A （2，-3），①若CA 为对角线，由题意得;2202133323222m nm m n n +=+⎧⎪⎨--=----+⎪⎩，解得：35m n =-⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩（舍），故P 点坐标为（-3，12）；②若CP 为对角线，由题意得：2202133233222m nm m n n +=+⎧⎪⎨-+--=---+⎪⎩，解得：31m n =⎧⎨=⎩或43103m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故P 点坐标为（3，0）或413,39⎛⎫- ⎪⎝⎭；③若CQ 为对角线，由题意得：22021********n mn n m m +=+⎧⎪⎨---+=-+--⎪⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩（舍），故P 点坐标为（-1，0）．综上所述，P 点坐标为（-3，12）、（3，0）、413,39⎛⎫- ⎪⎝⎭、（-1，0）．【四动点构造】（2019·锦州中考删减）如图，在平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式（2）F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．【分析】（1）抛物线：21334y x x =-++；（2）本题4个点皆为动点，使四边形DEGF 为平行四边形易，而使周长最大难．设E 点坐标为3,34m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则D 点坐标为213,34m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，设F 点坐标为213,34n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则G 点坐标为3,34n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，2213333444DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， 2213333444FG n n n n n ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，由DE =FG ，可得：2244m m n n -+=-+， ∵m ≠n ，∴4m n +=，过点G 作GH ⊥CD 交CD 于H 点，则()()555425442EG n m m m =-=-=-，又24DE m m =-+， ∴22524523102DEGFCm m m m m ⎛⎫=-++-=-++ ⎪⎝⎭，当34m =时，四边形DEGF 是平行四边形且周长最大，此时G 点坐标为139,416⎛⎫⎪⎝⎭．。

人教版初三数学上册二次函数中的平行四边形存在性问题两定两动型.doc

二次函数中的平行四边形存在性问题（两定两动型）教学设计旬阳县城关一中黄涛目标：1、通过典型例题及其变式训练，进一步巩固二次函数中的平行四边形及特殊平行四边形存在性问题的解题思路和方法，体会数形结合和分类讨论思想的应用过程。

2 、通过本节课的学习，感受一题多解的过程及方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。

难点：根据条件求平行四边形的顶点中动点坐标的求解。

过程：一、典型例题如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0， 5）三点．2（1）求抛物线的解析式；（2）点M为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．问题1：如何用待定系数法确定适当的解析式形式？①抛物线上已知三点，可用一般式y=ax2+bx+c；②因为在已知的三点中，A、B两点为抛物线与x 轴交点，则可用交点式y=a(x-x 1)(x-x 2) 。

问题2：如何借助一定的方法通过画图的方式找到M、N点？先确认已知点A、C，连接A C，根据四边形顶点的无序性利用分类讨论思想分别以AC为边和以AC 为对角线两种情况进行作图讨论，作图依据平行四边形对边平行且相等的性质进行。

问题3：通过怎样的方法和手段获取点N的坐标？可利用以下四种方法或依据得出符合条件点N的坐标。

①依据对称性求点N坐标②利用三角形全等及数形结合思想求点N坐标③依据平行四边形对边平行且相等利用平移求点N坐标④依据抛物线解析式设点N坐标为（m，12m 2﹣2m﹣52），利用数形结合思想借助N点与C 点纵坐标相等的原则列得绝对值方程，将所有符合条件的点N 及其坐标完全覆盖得解，注意取舍（这是本题最简方法）。

解：（1）解法1：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5) （a≠0），将C（0， 52）代入得：a(0+1)(0-5)= 52解得：a= 1 2∴二次函数的解析式为：y= 1(x+1)(x-5) 即y=2 1x22﹣2x﹣52解法2：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5- ）三点在抛物线上，2∴，解得.∴抛物线的解析式为：y= 12x2﹣2x﹣2﹣2x﹣52(2) 解法1：存在，理由如下：①以A C为边时，当N点位于x 轴下方时，若四边形ACNM为平行四边形，则 C N∥AM ∴N与C纵坐标相等∴点N与点C关于抛物线对称轴直线x=2 对称∴N（4， 52）当点N在x 轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x 轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC= 525 ，即N2点的纵坐标为2.∴1252m﹣2m﹣=252，解得x=2+ 或x=2﹣，∴N 2（2+ ，52 ），N 3（2﹣，52）.②当AC为对角线时，根据 C N∥AM，过C点作x轴平行线与抛物线交点和N1 重合。

平行四边形存在性

平行四边形的存在性东台卞进宇——部分参考广猛说题存在性问题一直是中考的热点题型，比如角的存在性、等腰三角形的存在性、全等三角形的存在性、相似三角形的存在性问题等等，而这类问题也是常常作为压轴题出现的。

平行四边形存在性问题是有两种说法的：一类是有序的，存在平行四边形ABCD，那么A、B、C、D四点的一定是按照顺时针或逆时针排布的；二类是无序的，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么这四个点是没有固定顺序的。

本文主要讨论的就是第二类情况，无序状态下的平行四边形的存在性问题，并且从两个方面对这个问题进行讨论分析。

几何分析法三定点问题如图1，平面内存在三个定点A、B、C，在平面内找一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.对于三定点的问题，我们只需分三种情形讨论（如图2）：①当AB为对角线时，D点所在位置为D1，采用斜化直思想，如图3构造全等三角形，从而求出D1坐标.②当AC为对角线时，D点所在位置为D2，同理可求出D2坐标.③当BC为对角线时，D点所在位置为D3，同理可求出D3坐标.两定点问题对于两个定点，两个动点的问题，其中一个动点基本是在直线上动的，还有一个动点可以在直线上动，也可以在双曲线上动，甚至在抛物线上动，我们把在直线上的那个动点称为主动点，另一个动点称为从动点（特殊的如果两个动点都在直线上，那么主动点和从动点随意）.对于此类问题我们步骤如下：第一步：以定线段为边还是为对角线，分两类情况讨论；第二步：以主动点的直线轨迹去分析从动点的直线轨迹，并画出；第三步：找出从动点的直线轨迹与从动点一开始所在轨迹的所有交点，此点为最终的从动点位置，并反过来确定主动点最终位置；第四步：利用上述全等三角形的构造法确定两个动点的坐标.举例：如图4，平面内存在两定点A 、B ，动点C 在x 轴上，动点D 在y 轴上，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.分析：以定线段AB 为平行四边形的边还是对角线分两种情况讨论：① 以定线段AB 为平行四边形的边，则AB CD ∥.由主动点C 点的直线轨迹，确定从动点D 点的直线轨迹，如图5所示的a 、b 两条直线为D 点的轨迹，则最终D 点位置为a 、b 两条直线与双曲线的交点D 1 、D 2，并反向确定最终C 点的位置，如图6.② 以定线段AB 为平行四边形的对角线，则AB 与CD 互相平分. 由主动点C 点的直线轨迹，确定从动点D 点的直线轨迹，如图7所示的直线c 为D 点的轨迹，则最终D 点位置为直线c 与双曲线的交点D 3，并反向确定最终C 点的位置，如图8.坐标通法要用坐标通法解决平行四边形存在性问题，我们首要前提是需要了解中点公式.如图9，在平面直角坐标系中，若已知点(,)A A A x y 、点(,)B B B x y 和点(,)C C C x y ，且点C 为线段AB 的中点，则有22A B C AB C x x x y y y . 如图10，在平面直角坐标系中，若四边形ABCD 是平行四边形，根据中点公式有22A C P A C P x x x y y y 和22B D P B D P x x x y y y ，所以A C B D AC BD x x x x y y y y .对于大多数平行四边形存在性问题，我们基本上都可以用坐标通法来解决，具体步骤如下：第一步：写出或设出三个顶点坐标；第二步：以“哪两个顶点相对”为分类标准，分三类情况讨论，列出方程，求出第四个顶点坐标；第三步：将第四个顶点坐标带入相应的函数关系式即可.例题演练：例1：已知反比例6y x上有两点(2,3)A 和(6,1)B ，点C 在x 轴上，点D 在反比例图像上，若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求出点C 和点D 的坐标.方法一：几何分析法第一种情况：AB CD ∥构造D 点直线轨迹，找出点D ，并反向找出点C ，并构造如图直角三角形，则212D N D M AP ，214NC MC BP ，所以11(3,2)(7,0)D C 、22(3,2)(7,0)D C . 第二种情况：AB 与CD 互相平分构造D 点直线轨迹，找出点D ，并反向找出点C ，中点(4,2)P ，则点33(,4)2D ，所以点313(,0)2C 综上所述：11(3,2)(7,0)D C 、22(3,2)(7,0)D C 、333(,4)213(,0)2D C方法二：坐标通法已知(2,3)A 、(6,1)B ，设(,0)C m第一种情况：BC 作为对角线有B C A D B C A D x x x x y y y y ，即62103D Dm x y ，得(4,2)D m 将(4,2)D m 带入6y x ，解得7m ，所以11(3,2)(7,0)D C 第二种情况：AC 作为对角线有A C B D A C B D x x x x y y y y ，即26301D D m x y ，得42D D x m y 将(4,2)D m 带入6y x ，解得7m ，所以22(3,2)(7,0)D C 第三种情况：AB 作为对角线有A B C D A B C D x x x x y y y y ，即26310D D m x y ，得84D Dx m y 将(8,4)D m 带入6y x ，解得132m ，所以333(,4)213(,0)2D C 综上所述：11(3,2)(7,0)D C 、22(3,2)(7,0)D C 、333(,4)213(,0)2D C。

双动点型平行四边形存在性问题

计算方法
N1
（A●-1,0）O
(3,0)
N2 B
N3 x N
点的坐标平移规律
M1
●
D（2,-3）
y=-3
如图，抛物线 y x2 2x 3 与x轴交于A，B两点
（点A在点B左侧），D(2，-3)在抛物线上，连接
AD．点M在抛物线上，点N在x轴上，且以A，D，
M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出点N
E
A
●
C F
E F
实例精析：
如图，抛物线 y x2 2x 3 与x轴交于A，B两点
（点A在点B左侧），D(2，-3)在抛物线上，连接
AD．点M在抛物线上，点N在x轴上，且以A，D，
M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出点N
的坐标. N (?，?)
定线段AD为边时
y
M
操作手段
平移
M2
M3
y=3
F在抛物线上, E在对称轴上， A、C、E、F
A(-3,0) E3
E1
构成平行四边
形. F1 E(?,?)
F E2
B (1,0)
F2
y x2 2x 3
经典考题
P(m,n)n>0在抛物线上,
E在直线 y 1 x
y
2
上，A、B、E、 P P构成平行四边形. P1
P2
E(?,?)
●
(-5,0)
∴M1(0,-3)
(∵∴(21y由))当当N对平=AA0称D移D为轴为得对:边：角x=线时y1M时,=A,-AD3D∥或与M3NM,NA互D=相M平N分y∴当∴∴∴NMxNy112M2(=((=-14313--,-√时0√√77)7，,,30x))x2M2N=-3213((x+14-√++37√√=773

中考数学教学指导：二次函数中平行四边形存在性问题

二次函数中平行四边形存在性问题与二次函数有关的存在性问题是初中数学中的热点问题之一，笔者在此也谈谈这类题型的基本思路和解题技巧.在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题:(l)已知三点的位置，在二次函数的图形上，或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形(下文出现时简称“三定一动”).(2)已知两个点的位置，在二次函数的图形上，或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形(下文简称“两定两动”).平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序.解决这类问题的关键是要掌握好基本思路和解题技巧.一、基本思路(1)分清题型(属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同);(2)分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置);(3)利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)，可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”:一“分”二“作”三“算”.二、解题攻略(1)如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点;这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点.(2)如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，可将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种情形分类讨论.三、解题技巧(1)若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征:即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解;(2)若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决;(3)灵活运用平行四边形的中心对称性，可使问题变得简单，四、应用举例例1 如图1，已知抛物线223y x x =--+与X 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为P .若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.思路 ①分清题型:根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“三定一动”题型. ②分类讨论且作图:分析定点、动点，挖掘不变特征; A 、C 、P 为定点，M 为坐标平面内一动点;确定位置的方法是:将以三个定点为顶点画APC ∆;过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生的交点位置就是M 点.③利用几何特征计算:分析几何特征，建等式求解点M 坐标.图1 图2解 (1)确定位置:如图2.①以A 、C 、P 三个定点为顶点画APC ∆； ②过点A 作PC 的平行线，过点P 作AC 的平行线，过点C 作AP 的平行线;三条直线相交于1M ，2M ，3M .(2)代数法求解点M 的坐标；如图2，设点1(,)M m n ，利用平行四边形对边水平距离相等和竖直距离相等，可得043n -=-，解得 1n =，即1(4,1)M -.30(1)m --=--， 4m =-.同理，可得2(2,1)M --,3(2,7)M .综合知，点M 的坐标为: (4,1)-,(2,1)--,(2,7).例2 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过(4,0)A -，(0,4)B -，(2,0)C 三点. P 为抛物线上一动点，Q 为直线y x =-上一动点，若以O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的横坐标.图3 图4思路 ①分清题型:根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“两定两动”题型. ②分类讨论且作图:分析定点、动点，挖掘不变特征; O 、B 为定点. P 、Q 为坐标平面内两动点，确定位置的方法是:将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种情形分类讨论.③利用几何特征计算：分析几何特征，建等式求解点Q 坐标.解 (1)确定位置.①以线段OB 为平行四边形的边，将线段OB 沿任意方向平移使得线段两端点分落在抛物线和直线y x =-上，如图3; .②以线段OB 为平行四边形对角线，将直线PQ 绕线段OB 中点旋转360︒寻找满足题意的动点，如图4.(2)代数法求解点Q 的坐标.设抛物线的解析式为(4)(2)y a x x =+-.把点B 的坐标代入上式，得12a =， 211(4)(2)422y x x x x ∴=+-=+-. ①如图3，当OB 为边时，OB // PQ ,且4OB PQ ==.设点Q 的横坐标为m ,则(,)Q m m -,21(,4)2P m m m +-, 21242QP m m =+-或21242QP m m =--+. 由212442m m +-=，得225m =-±(均符合题意); 由212442m m --+=，得4m =-或0m =(舍去).②如图4，当OB 为对角线时，记OB 的中点为D ,则(0,2)D -，且点D 为44P Q 的中点. 设点400(,)P x y ,4(,)Q n n -，由中点坐标公式，得022y n -=-, ∴ 0x n =-, 002x n +=, 04y n =-, 即点4P 的坐标(,4)n n --. ∵点4P 在抛物线上，214()()42n n n ∴-=-+--, 4n ∴=或0n = (舍去).综上知，点Q 的横坐标为2-+，2--4-，或4.以上求解的基本思路，实际也适用于求解等腰三角形、直角三角形、梯形和圆的存在性问题，具有普遍的应用价值.。

人教版九上数学第22章二次函数平行四边形的存在性

平行四边形的存在性问题一、平行四边形的存在性类型一：三定一动类型二：两定两动二、中点坐标公式平面直角坐标系中，点A 坐标为(x A ，y A )，点B 坐标为(x B ，y B )，则线段AB 的中点P 的坐标为），（22B A B A y y x x ++ 三、平行四边形顶点坐标规律⎩⎨⎧+=++=+D B C AD B C A y y y y x x x x平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．四、四边形存在性例：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点A (1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1) 求抛物线的解析式、顶点D 的坐标和对称轴；类型一：四个定点(２)在平面内是否存在一点E ，使得四边形DCBE 是平行四边形？如果存在，请求出E 点的坐标；如果不存在，请说明理由；类型二：三定一动（3）在平面内是否存在一点E ，使得以D 、C 、B 、E 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出E 点的坐标；如果不存在，请说明理由；类型三：两定两动（4）如果点G是对称轴上一点，点H是抛物线上一点，是否存在这样的点G和H，使得以G，H，A，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出H点的坐标；如果不存在，请说明理由；五、练习1.已知，抛物线y= - x2 + x +2 与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，点M是平面内一点，判断有几个位置能使以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的坐标．2. 如图，平面直角坐标中，y = - 0.25x2 + x 与x轴相交于点B (4，0)，点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，且以点O、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，写出相应的点P的坐标.3. 如图，平面直角坐标中，y = 0.5x2 + x - 4与y轴相交于点B (0，-4)，点P是抛物线上的动点，点Q是直线y = - x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点Q的坐标.六、作业1．如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC.(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.2．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．。

平行四边形的存在性问题的处理方法

平行四边形的存在性问题的处理一、问题说明关于此类问题，其实已经不是考试的主流了，但是作业及期末考试偶有出现，同学们又不会进行处理，所以简单将解题思路讲解一下，同学们可以自己看看。

二、解题方法总结平行四边形的存在性问题中，已知两点，求双动点的存在性问题是比较经典的。

以这个问题为切入点，讲讲解决这类问题需要克服的两个难点：（1）分类的处理（如何找到所有存在的可能性）（2）计算技巧的处理（平移法）三、问题的演绎例1，（已知三点求一点）如图在坐标平面内再找一点D，使得点A,点B，点C,点D组成平行四边形。

（一）分类处理任意连接两个已知点，例如选择连接AC，对线段AC进行分类讨论（1）若AC是平行四边形的边，则BD一定会和AC平行，且长度等于AC，所以点D在点B的右上方或左下方（如下图）(3,0)(1,1)C1C2(3,0)C（2）若AC是平行四边形的对角线，则BD和AC相互平分，则点D位置如图综上所述存在3个点D满足要求（二）计算技巧的处理平行四边形的计算方法很多，从平移的角度去处理是非常简单的以D1为例：如红色箭头标注方向为例：∵点C(0,-1)往右平移1个单位往上平移2个单位得点A(1,1)∴点D1的坐标是点B以同样的方式平移得到，点D坐标为（4，2）同样类似的方法得到点D2的坐标为（2，-2）D3的坐标为（-2，0）D 3(3,0)2D 31例2，已知二次函数322--=x x y 上两点A（-1，0），C（2，-3），点M在X轴上运动，点N在抛物线上运动，求出所有的点M的坐标。

使得点A ，C,M,N组成平行四边形。

、解题分析：已知点A,点C，所以只需要对AC进行分类讨论，点M在X轴上运动，所以设成（a，0），点N通过点M平移得到，然后代入二次函数解析式求解即可。

设点M的坐标为（a,0）（1）若AC是边，则点N在M的左上方或者右下方当点N在左上方时，点N的坐标（a-3,3）将点N（a-3,3）代入322--=x x y 中解得724±=a 当点N在右上方时，点N的坐标（a+3,-3）将点N（a+3,-3）代入322--=x x y 中解得3-=a 或1-=a （舍）(2)若AC是对角线时，则点N的坐标为（1-a,-3）将点N（1-a,-3）代入322--=x x y 中解得1=a 或1-=a （舍）四、问题的拓展双动点的载体，可以是坐标轴，二次函数。

二次函数有关平行四边形的存在性问题

有关平行四边形的存在性问题一．知识与方法积累：1.已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。

二．例题解析：如图，抛物线32++=bxaxy与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，31tan=∠OCA，6=∆ABCS．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请求出点E的坐标．巩固练习：1. 已知抛物线322++-=xxy与x轴的一个交点为 A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．问坐标平面内是否存在点M，使得以点M和抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点E在y轴上，写出点P的坐标．CAB Oyx3．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D .（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BCPF DE ∥为平行四边形4. 已知抛物线y =2x =分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.5．如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6. 如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；（12+-=x y ）(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；四边形ACBD 的面积S =12AB •OC +12AB •DE 112123422=⨯⨯+⨯⨯= （也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。

(完整word版)ZBP平行四边形存在性问题之两定两动

问题1：存在性问题的处理框架是什么？问题2：两定两动的平行四边形存在性问题的分类标准是什么？1.如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中,OA=8,OC=12，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，把矩形沿直线DE翻折，点O恰好落在AB边上的点F处，M是直线DE上的一个动点，直线DF上是否存在点N，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？则符合题意的点N的坐标是?2.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，E是直线AB上一动点．若以O，D,A，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为?反思与总结：问题1：平行四边形存在性问题的处理框架中第一步：研究背景图形，需要研究哪些内容？问题2：画出对应图形后求解点坐标的套路是什么？练习1.如图,直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，且∠ABC=60°,若点D在直线AB上运动，点E在直线BC上运动，且以O，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为（ )2。

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°，把矩形沿直线DE翻折，使点C 落在点A处，DE与AC相交于点F,若点M是直线DE上一动点，点N是直线AC上一动点，且以O,F,M，N为顶点的四边形是平行四边形,则点N的坐标为（ )3.如图，直线分别交x轴、y轴于A,B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D．若在平面内存在点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为菱形的存在性问题1。

如图,在平面直角坐标系中，直线y=—x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点,点P是直线AB上一动点,则在坐标平面内是否存在点Q，使得以O,A，P，Q为顶点的四边形是菱形？(1）处理这样的问题，我们一般是转化为等腰三角形的存在性问题，那么此题我们转化为哪个等腰三角形的存在性问题?（）符合题意的点P有（）个．符合题意的点Q的坐标为（ )如图，在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是y轴上一动点,则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？（1）处理这样的问题，我们一般是转化为等腰三角形的存在性问题，那么此题我们转化为哪个等腰三角形的存在性问题？( )A.△ABQ B。

平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题【专题解读】以函数为背景的平行四边形存在性问题，是代几综合题中难度较大的一类，不少学生谈之色变。

本文从平行四边形的判定方法入手，总结平行四边形的处理方法。

平行四边形存在性问题，可以归纳为两大类：一类为“三定一动”型，即已知平面内三点A、B、C，求第四个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形，为平行四边形；一类为“两定两动”型，即已知平面内两点A、B，求平面内两个点C、D，使得以A 、B、C、D为顶点的四边形，为平行四边形；【学习目标】1.通过本节课的学习，提高学生分析问题，解决问题的能力。

2.能总结出解决平行四边形存在性问题的一般方法和思路。

【基础热身】1．点A,B,C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰好构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）A 1个B 2个C 3个D 4个2．如图，线段AB平移得到线段A'B'，已知点A(-2，2)，B(-3，-1)，B'(４，1)，则点A'的坐标是________.【典例探究】例1：三定一动如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．解答：由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1＝－(x＋1)2＋4，得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．如图，过△PAC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M．①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1．因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)．②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2．因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)．③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3．因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)．点拨提炼：本题属于“三定一动”平行四边形存在性问题，根据平移过程中对应点横坐标移动的距离相等，纵坐标移动的距离相等来计算第四个点的坐标。

平行四边形的存在性问题ppt课件

如图在平面直角坐标系中点a坐标10b30c02点d是平面内任意一点若abd四点恰好构成一个平行四边形则在平面内符合这样条件的点d的坐标为c02b3022424210若e点在x轴上f点在抛物线上如果acef构成平行四边形写出点e的坐标
平行四边形存在性问题
分两类型第一类型：三定一动平行四边形存在性问题第二类型：两定两动平行四边形存在性问题
YB YD 2
于是 XAXCXBXD YAYcYBYD
精选ppt
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第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
09崇明24
yx22x3 A(1,0)C , (0,3)
若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果A、C、 E、F构成平行四边形，写出点E的坐标 .
答案：E1(－1,0) ,E2(3,0) E ( 2 精选ppt7,0)E ,'( 27,0) 27
精选ppt
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例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B （3,0）C（0，-1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，在抛物线上是否存在一点P ，使Q、P、 A、B为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
点A、B是定点，点Q 、P两个动点
如果AE为边，那么由AE//CF确定点F，再精由选pptAE=CF确定点E(2个6).
第一步确定分类标准与第二步画图相结合
AE为对角线 AE为边
点F在抛物线上点E在x轴上
如果AE为对角线，那么C 、 F到x轴距离相等，直线与抛物线有2个交点F. 精选再ppt 由AF=CE确定点E(2个). 7
精选ppt
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09普陀25
若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行

平行四边形的存在性问题

精选PPT
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第三步计算——思路就在画图的过程中
yx22x3 A(1,0)C , (0,3)
如果AE为对角线，那么C、F到x轴距离相等，直线与抛物线有2个交点F. 再由AF=CE确定点E(2个).
解方 x22 程 x3 3 得 x F 1 7 ,x F ' 1 7 由 H EO A 1 精选知 PPTE ( 27,0 )E ,'( 27 1,00 )
点E在x轴上点F在抛物线上
AE为对角线
AE为边
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第一步确定分类标准与第二步画图相结合
AE为对角线 AE为边
A、C、E、F
点E在x轴上点F在抛物线上
如果AE为边，那么由AE//CF确定点F，再精选由PPTAE=CF确定点E(2个6).
第一步确定分类标准与第二步画图相结合
AE为对角线 AE为边
平行四边形存在性问题
分两类型第一类型：三定一动平行四边形存在性问题第二类型：两定两动平行四边形存在性问题
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第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
抛砖引玉
1.点A、B 、C是平面内不在同一条直线上的三点, 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D有C ( )
小结
第一步确定分类标准与第二步画图相结合第三步计算——思路就在画图的过程中
画图的顺序:因E而F 因F而E 画图的依据:平行(尺)且相等(规)
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11
09普陀25
若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行
四边形，该平行四边形的另一顶点E在y轴上，
写出点P的坐标．
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八年级数学平行四边形的存在性(两定两动)(北师版)(专题)(含答案)

平行四边形的存在性（两定两动）（北师版）（专题）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，将矩长方形OABC放置在平面直角坐标系中，OA=8，OC=12，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，把长方形沿直线DE翻折，点O恰好落在AB边上的点F处，M是直线DE上的一个动点，直线DF上是否存在点N，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？小明的思路如下：①当定线段作为平行四边形的边时，通过____确定点的坐标；当定线段作为平行四边形的对角线时，则定线段绕中点____，利用中点坐标公式确定点的坐标；②结合图形进行验证；③分析定点、动点，定点连成定线段．小明的思路排序混乱，请问正确的排序及划线部分应填入的关键词分别是( )A.①③②；平移；旋转B.③①②；平移；旋转C.①③②；旋转；平移D.③①②；旋转；平移答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略2.（上接第1题）上题中符合题意的点N的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由上题的解析知，答案选C．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，E是直线AB上一动点．若以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略4.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，且∠ABC=60°，若点D在直线AB上运动，点E在直线BC上运动，且以O，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°，把长方形沿直线DE翻折，使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，若点M是直线DE上一动点，点N是直线AC上一动点，且以O，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：略。

平行四边形两定两动公式

平行四边形两定两动公式
咱说咱这平行四边形，两定两动，得给您解释清楚。

您看啊，平行四边形这儿，咱得先明白啥是“两定两动”。

简单说，就是有两条边是固定的，长度不变，另外两条边是可以变动的，但变动也得符合平行四边形的性质，那就是对边平行且等长。

咱先说说这“两定”。

在平行四边形里头，咱得有两个固定的点或者边。

咱假设这两条边是AB和CD，长度都是固定的，AB=CD。

这AB和CD，就是咱这平行四边形的“两定”。

再来说说“两动”。

剩下那两条边BC和DA，就是可以动的了。

但动也得有规矩，不能乱动。

咱得保证BC和DA也是平行的，并且BC=DA。

这样，整个四边形才能保持平行四边形的形状。

那咱这“两定两动公式”到底咋用呢？其实，在解决平行四边形相关的问题时，咱得先根据题目给出的条件，确定哪两条边是固定的，哪两条边是可以变动的。

然后，咱再利用平行四边形的性质，比如对边平行且等长，来求解问题。

比如说，咱知道一个平行四边形的两条对角线的长度，要求出这个平行四边形的面积。

这时候，咱就可以利用“两定两动”的思路，先确定哪两条边是固定的，哪两条边是可以变动的。

然后，咱再通过一些数学公式，比如向量运算、三角函数等，来求解这个平行四边形的面积。

总之啊，这“两定两动”的公式，就是咱解决平行四边形相关问题的一个好工具。

只要咱掌握了这个工具，就能更好地理解和解决平行四边形相关的问题了。

平行四边形两定两动解法

平行四边形两定两动解法1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊平行四边形的“两定两动解法”。

听起来是不是有点高大上？其实啊，这就是个有趣又简单的数学游戏！平行四边形，它可是几何中的一颗璀璨明珠，别看它长得不咋地，其实里面大有乾坤。

想象一下，平行四边形就像一块美味的披萨，切成两半再合在一起，肯定很有意思对吧？那咱们就开始这段“几何旅行”，一起探索它的奥秘！2. 平行四边形的基础2.1 平行四边形是什么？首先，咱们得搞明白什么是平行四边形。

简单来说，它就是一种四边形，里面的对边是平行的。

就像你在马路上看到的两条平行的车道，永远不会相交。

说到这，大家是不是想到了什么？对，平行四边形的面积计算公式也是相当简单，就是底乘高。

简单粗暴，让人爱不释手。

2.2 为什么要用两定两动？那么，为什么我们要用“两定两动”的方法来研究它呢？嘿嘿，这可不是为了让大家头疼的数学公式，而是为了更好地理解它的性质。

两定，就是固定的部分；而两动呢，就是可以活动的部分。

想象一下，像是在舞台上，主角和配角的互动，才能让整场戏更加精彩。

不信？那咱们就来试试！3. 两定两动的解法3.1 具体步骤好啦，接下来就进入重头戏了！首先，咱们可以定下两个点，比如说A和B，作为平行四边形的一条边。

然后，咱们再定一个点C，作为另一条边的一个顶点。

接下来，D点就可以随意移动了，形成不同的平行四边形。

这时候，你就能看到，不同的D点会影响到平行四边形的形状和面积。

看，动动手指，数学的乐趣就来了！3.2 观察与总结然后，你会发现，随着D点的移动，平行四边形的性质也不时地在变化。

不过有一点是永恒不变的，那就是它的对角线是相等的。

这就好比你认识的老朋友，虽然岁月改变了他的模样，但本质却没变。

这样说是不是更容易理解呢？所以啊，数学就像生活，有些东西看似复杂，但其实却有其内在的规律。

多观察、多总结，你就能找到其中的乐趣。

4. 结论最后，咱们来总结一下。

平行四边形的“两定两动解法”不仅让我们理解了几何的基本特性，还教会了我们如何在变化中寻找不变的规律。