【数学】四川省宜宾市第四中学校2021-2021学年高二下学期第四学月考试(文)
四川省宜宾市第四中学校2021-2022高二数学下学期第一次在线月考试题 文(含解析)
四川省宜宾市第四中学校2021-2022高二数学下学期第一次在线月考试题 文（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线3y =的倾斜角为α，则α等于（ ）． A. 0︒ B. 45︒C. 90︒D. 不存在【答案】A 【解析】直线3y =平行于x 轴，倾斜角为0︒，故选A ． 直线的倾斜角和斜率的关系：【点睛】(1)任何直线都存在倾斜角，但并不任意直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：2.某砖厂为了检测生产出砖块的质量，从砖块流转均匀的生产线上每间隔5分钟抽取一块砖进行检测，这种抽样方法是（ ） A. 系统抽样法 B. 抽签法C. 随机数表法D. 分层抽样法 【答案】A 【解析】由题意知，这个抽样是在传送带上每隔5分钟抽取一产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多， ∴是系统抽样法， 故选A ．3.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 【答案】D 【解析】 【分析】计算甲、乙数据的中位数，再观察数据的集中情况得到答案. 【详解】甲的中位数为：2529272+=，乙的中位数为：273028.52+=； 观察数据知：甲数据的方差小于乙数据的方差. 故选：D .【点睛】本题考查了茎叶图的中位数和方差，意在考查学生的应用能力. 4.圆22(3)(4)16x y +++=与圆224x y +=的位置关系为（ ） A. 相离 B. 内切 C. 外切 D. 相交【答案】D 【解析】 【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出． 【详解】解：圆22(3)(4)16x y +++=的圆心()3,4C --，半径4r =；圆224x y +=的圆心()0,0M ，半径2R =．∴5，4265R r +=+=>．4225R r -=-=<∴两圆相交．故选：D ．【点睛】本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．5.已知方程2220x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是( )A. 54m > B. 54m >- C. 54m < D. 54m <- 【答案】C 【解析】 【分析】本题首先根据圆的一般式方程可知2240D E F +->，再根据题意即可列出不等式4140m +->，最后通过计算得出结果．【详解】由圆的一般式方程可得2240D E F +->，即4140m +->，解得54m <，故选C ． 【点睛】本题考查的是圆的相关性质，对圆的一般式方程的性质的了解是解决本题的关键，方程220x y Dx Ey F ++++=想要表示圆，则需要满足2240D E F +->，是简单题． 6.已知平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，若α⊥β，则“m ∥β”是“m ⊥α”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】当α⊥β，m ∥β时，可得m ⊥α或m ∥α或m 与α既不垂直也不平行， 当α⊥β，m ⊥α可得m ∥β，再结合充分必要条件定义可得结论． 【详解】由α⊥β，m∥β，可得m⊥α或m∥α或m 与α既不垂直也不平行，故充分性不成立；当α⊥β时，在β内作α与β交线的垂线l,则l 垂直于α，又m⊥α,可得m∥l，l 在面β内，所以m∥β，故必要性成立. 故选B ．【点睛】熟练掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质定理是解题的关键．7.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的体积为（ ）A. 1B.23C.12D.32【答案】B 【解析】∵四棱锥P −ABCD 的三视图俯视图为正方形且边长为1，正视图和侧视图的高为2， 故四棱锥P −ABCD 的底面面积S=1，高h=2 故四棱锥P −ABCD 的121233V =⋅⋅=. 本题选择B 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.直线1l ：()340a x y +++=与直线2l ：()140x a y +-+=垂直，则直线1l 在x 轴上的截距是（ ） A. 4- B. 2 C. 2- D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用直线l 1：（a +3）x +y ﹣4＝0与直线l 2：x +（a ﹣1）y +4＝0垂直，求出a ，再求出直线l 1在x 轴上的截距．【详解】∵直线l 1：（a +3）x +y +4＝0与直线l 2：x +（a ﹣1）y +4＝0垂直， ∴（a +3）+a ﹣1＝0， ∴a ＝﹣1，∴直线l 1：2x +y +4＝0， ∴直线l 1在x 轴上的截距是-2， 故选C ．【点睛】本题考查直线垂直条件的运用，考查直线在x 轴上的截距的定义和求法，属于基础题．9.若两条平行线1:10L x y -+=，与()2:300L x ay c c +-=>，则3a c-等于（ ） A. 2- B. 6-C. 2D. 0【答案】A 【解析】两条平行线1:10L x y -+=，与()2:300L x ay c c +-=>，有：3a =-， 得：平行线1:3330L x y -+=，与()2:3300L x y c c --=>=解得3c =或-9（舍）则33323a c ---==-. 故选A.10.已知双曲线22116x y m-=的一个焦点F 的坐标为（-5,0），则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. 43y x =±B. 34yx C. 54y x =±D.45y x =±【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点得到9m =，再计算渐近线得到答案.【详解】双曲线22116x y m-=的一个焦点F 的坐标为（-5,0），故1625m +=，故9m =. 即221169x y -=，故渐近线为：34y x =±.故选：B.【点睛】本题考查了渐近线问题，意在考查学生的计算能力.11.已知抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A ，()B p ,且||PA |BF |等于A. 4B.92C. 5D.112【答案】B 【解析】分析：利用PA p 的值，从而得可得点B 的坐标，然后利用抛物线的定义即可得出结论．详解：设点(,)P x y ，则22y px =．∴PA ===，∴当4x p =-时，PA ．= 整理得28150p p -+=， 解得3p =或5p =． 又04p <<， ∴3p =，∴点B 坐标为B ． ∴由抛物线的定义可得39322BF =+=． 故选B ．点睛：（1）圆锥曲线中的最值问题，解答时可通过设出参数得到目标函数，然后根据目标函数的特征选择合适的方法求出最值．（2）抛物线的定义实现了点到直线的距离和两点间的距离的相互转化，利用这一结论可使得有关问题的解决变得简单易行．12.在三棱锥A BCD - 中，底面BCD 是边长为 2 的正三角形，顶点 A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A. 3π B. 4πC. 5πD. 6π【答案】D 【解析】∵定点A 在底面BCD 上的射影为三角形BCD 的中心， 而且底面BCD 是正三角形，∴三棱锥A ﹣BCD 是正三棱锥，∴AB=AC=AD， 令底面三角形BCD 的重心（即中心）为P ，∵底面BCD 为边长为2的正三角形，DE 是BC 边上的高，∵直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为，即tan AEP ∠=， ∵AD 2=AP 2+DP 2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，，∴外接球的表面积=4πr 2=6π． 故选D.点睛：设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c 长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,,a b c ，则其外接球半径公式为: 22224R a b c =++.第II 卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题2:(1,),log 0p x x ∀∈+∞>，则p ⌝为_____【答案】2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤ 【解析】 【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题:p 2(1,),log 0x x ∀∈+∞> 的否定p ⌝为2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤ ，故答案为2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.14.若实数,x y 满足不等式组2326y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，则1yz x +=的取值范围为__________．【答案】13,22⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到结果. 【详解】根据题意画出可行域：可行域是直线AB 右侧以及直线1y x =+的下侧，20x y +=的上侧，共同构成的开放区域，1yz x+=表示的是区域内的点(),x y 和点()0,1-两点构成的斜率，根据图像可知当两点构成的直线和23x y +=平行时，斜率取得最小值但是永远取不到这种情况，代入得到斜率为12-；当直线过点A 时构成的直线的斜率最大，联立()12,2260y x A x y =+⎧⇒⎨+-=⎩，目标函数值为32.故答案为13,22⎛⎤-⎥⎝⎦. 【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．15.一个圆经过椭圆22193x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的方程为_________．【答案】22(1)4x y ±+= 【解析】【分析】由题可先得到椭圆的顶点坐标,因为圆心在x 轴上,则圆一定过椭圆的上、下顶点,设圆心为(),0a ,则利用圆心到圆上距离相等求解即可【详解】由题可得椭圆的顶点为()13,0A -,()23,0A ,(10,B ,(2B , 因为圆的圆心在x 轴上,则根据圆的对称性可知圆经过12,B B , 设圆心为(),0a ,当圆经过1A 时,则()2223a a +=--,解得1a =-,则圆心为1,0；当圆经过2A 时,则()2223a a +=-,解得1a =,则圆心为()1,0,2==,故圆的方程为22(1)4x y ++=或22(1)4x y -+=, 故答案为：22(1)4x y ±+=【点睛】本题考查利用圆上的点求圆的标准方程,考查椭圆的几何性质的应用16.过抛物线C ：24y x =的焦点F 作互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的最小值为____．【答案】32 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为(1)y k x =-，将直线AB 的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出||AB ，同理得出||CD ，由面积公式1·2S AB CD =结合基本不等式可得出四边形ACBD 面积的最小值．【详解】如下图所示，显然焦点F 的坐标为(1,0)，所以，可设直线AB 的方程为(1)y k x =-， 将直线l 的方程代入抛物线的方程并整理得2222(24)0k x k x k -++=，所以，12242x x k +=+，所以，122424AB x x k =++=+， 同理可得244CD k =+，由基本不等式可知，四边形ACBD 的面积为222114(1)··4(1)22k S AB CD k k +==⨯+ 2218(2)32k k=++． 当且仅当1k =±时，等号成立，因此，四边形ACBD 的面积的最小值为32．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设命题p :{}2|28a y y x x ∈=-++，命题q :关于x 的方程20x x a +-=有实根.（1）若p 为真命题，求a 的取值范围.（2）若“p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]0,3a ∈（2）()1,03,4a ⎡⎫∈-⋃⎪⎢⎣⎭+∞ 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质及二次根式意义，可求得当p 为真命题时a 的取值范围. （2）若“p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题，则命题p 与命题q 一真一假.分类讨论即可求得a 的取值范围.【详解】（1）命题p :{}2|28a y y x x ∈=-++，则()222819y x x x =-++=--+由二次函数性质可得[]0,3y ∈，而{|a y y ∈=，当p 为真命题，a 的取值范围为[]0,3a ∈. （2）命题q :关于x 的方程20x x a +-=有实根， 则140a ∆=+≥，解得14a ≥-， “p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题，则命题p 与命题q 一真一假，当命题p真，命题q 为假时，满足0314a a ≤≤⎧⎪⎨<-⎪⎩，此时无解；当命题q 为真，命题p 为假时，满足0314a a a ⎧⎪⎨≥-⎪⎩或，解得104a -≤<或3a >综上所述，a 的取值范围为()1,03,4a ⎡⎫∈-⋃⎪⎢⎣⎭+∞. 【点睛】本题考查了由命题真假求参数的取值范围，复合命题真假判断及分类讨论思想的应用，属于基础题.18.已知ABC ∆的顶点坐标分别为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,3)C ，M 是BC 的中点 （1）求AB 边所在直线的方程（2）求以线段AM 为直径的圆的方程． 【答案】（1）6x －y ＋11＝0. （2）x 2＋(y －3)2＝5. 【解析】 【分析】（1）利用两点式或点斜式求直线AB 的方程．（2）求出圆心和半径，可求圆的方程． 【详解】解：（1）因为(1,5)A -，(2,1)B --，所以由两点式得AB 的方程为5(1)152(1)y x ---=-----， 整理得611y x =+．（2）因为M 是BC 的中点，所以2413(,)22M -+-+，即(1,1)M ，所以||AM =所以AM 的中点为1151,22-++⎛⎫⎪⎝⎭，即中点为(0,3)， 所以以线段AM 为直径的圆的方程为22(3)5x y +-=．【点睛】本题主要考查了直线的方程，圆的标准方程以及两点间的坐标公式，综合性较强，要求熟练掌握对应的公式．19.某高校进行社会实践，对[]2555，岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在(]3035，岁，[)3540，岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%.（1）求[)3035，岁与[)3540，岁年龄段“时尚族”的人数； （2）从[)3045，岁和[)4550，岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队．求领队的两人年龄都在[)3045，岁内的概率．【答案】（1）[)3035，岁的人数为240，[)3540，岁的人数为120；（2）25. 【解析】试题分析：（1）根据频率直方图，求出[)3035，岁与[)3540，岁年龄段的人数，根据“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%，从而求出[)3035，岁与[)3540，岁年龄段“时尚族”的人数；（2）先由分层抽样方法可得各个年龄段的人数，设a 、b 、c 、d 为[)3035，岁中抽得的4人，x 、y 为[)3540，岁中抽得的2人，进而用列举法可得抽出2人的全部情况，由古典概型公式计算可得答案．试题解析：（1）[)3035，岁的人数为10000.06580%240⨯⨯⨯=.[)3540，岁的人数为10000.04560%=120⨯⨯⨯. （2）由（1）知[)3035，岁中抽4人，记为a 、b 、c 、d ， [)3540，岁中抽2人，记为x 、y ， 则领队两人是ab 、ac 、ad 、ax 、ay 、bc 、bd 、bx 、by 、cd 、cx 、cy 、dx 、dy 、xy 共l5种可能，其中两人都在[)3035，岁内的有6种，所以所求概率为62155=.【点睛】本题考查频率分步直方图的画法、应用以及列举法求古典概型，关键是掌握频率分步直方图意义以及古典概型公式、20.四棱锥P ABCD -中,AP ⊥平面ABCD ，122AD DC BC AB ====，3AP =，E 为AP 的中点，//AB CD ，过点A 作AF BP ⊥于F .(1) 求证：//DE BCP 平面； (2) 求三棱锥P EFC -的体积.【答案】（1）见解析（29325【解析】试题分析：（1）取PB 的中点M ，连接,EC MC ，由E 是AP 的中点，可推出四边形CDEM 为平行四边形，从而可证//DE BCP 平面；（2）过过C 作CN AB ⊥交AB 于N 点，由AP ⊥平面ABCD ，推出CN ABP ⊥面，再根据AF BP ⊥，3AP =，4AB =，求得PEF S ∆，由-PEF P EFC C V V -=三棱锥三棱锥，从而可求出三棱锥P EFC -的体积.试题解析：(1)证明:取PB 的中点M ，连接,EC MC . ∵E 是AP 的中点 ∴//EM AB ,12EM AB =∴//EM CD ,EM CD = ∴四边形CDEM 为平行四边形， ∴//ED MC∵CM CBP ⊂面，DE CBP ⊄面 ∴//DE BCP 平面(2)过C 作CN AB ⊥交AB 于N 点. ∵AP ⊥平面ABCD∴AP CN ⊥，则CN ABP ⊥面.∴CN 为点C 到面PEF 的距离，223CN CB BN =-=在直角ABP ∆中，AF BP ⊥，3AP =，4AB =. ∴5BP =，125AB AP AF BP ⋅==，2295PF AP AF =-= ∴ 11272425PEFPAF S S AF PF ∆∆==⋅=， -PEF 193325PEF C V CN S ∆=⋅=三棱锥∵ -PEF P EFC C V V -=三棱锥三棱锥 ∴三棱锥P EFC -932521.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数如下表所示： 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 温差x(℃) 10 11 13 12 8 发芽数y(颗) 2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率．(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程^^^y b x a =+.(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？ 【答案】（1）35； （2）ˆ532yx =-； （3）(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．. 【解析】 【分析】（1）设抽到不相邻2组数据为事件A.因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，其中抽到相邻2组数据的情况共有4种，利用古典概型的概率计算公式，即可求解；（2）利用公式求解出,x y 的值，求解ˆb，代入回归方程求得ˆa 的值，即可得到回归直线的方程；（3）分别令10x =和8x =，代入回归直线的方程，求得相应的y 的值，即可作出判断. 【详解】(1)设抽到不相邻2组数据为事件A.因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况共有4种，所以P(A)＝1－＝，故选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率为. (2)利用12月2日至12月4日的数据，求得x ＝13×(11＋13＋12)＝12，y ＝13×(25＋30＋26)＝27，()()()()()3ii i 1xx y y 1213015=--=-⨯-+⨯+⨯-=∑，()()32222i i 1x x 1102=-=-++=∑，由公式求得()()5i i i 152i i 1x x (y y)5b x ˆ2x ==--==-∑∑，ˆa y b 3ˆx =-=-.所以y 关于x 的线性回归方程为＝x －3.(3)当x ＝10时，＝x －3＝22，|22－23|<2，同样地，当x ＝8时，＝×8－3＝17，|17－16|<2，所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及回归直线方程的应用，其中解答认真审题，准确利用公式计算，利用回归直线的方程合理作出预测是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.22.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(,0),(0,1),A a B O 为坐标原点，线段AB 的中点在圆22:1O x y +=上.（1）求C 的方程；（2）直线:l y kx m =+不过曲线C 的右焦点F ，与C 交于,P Q 两点，且l 与圆O 相切，切点在第一象限，FPQ ∆的周长是否为定值？并说明理由.【答案】（1）2213x y +=（2）23【解析】试题分析：（1）由题意，可得：2211122a b ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，从而得到C 的方程； （2）依题意可设直线:PQ y kx m =+，由直线PQ 与圆O 相切，且切点的第一象限，可得221m k =+，将直线PQ 与椭圆方程联立可得()()222316310k x kmx m +++-=，利用韦达定理表示PQ ，同时表示163PF x =，同理263QF x =，从而易得周长为定值. 试题解析：（1）由题意得1b =，由题意得，AB 的中点1,22a ⎛⎫⎪⎝⎭在圆O 上，所以221122a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得a = 所以椭圆方程为2213x y +=.（2）依题意可设直线:PQ y kx m =+， 因为直线PQ 与圆O 相切，且切点的第一象限， 所以0,0k m221,1m k ==+，设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线PQ 与椭圆方程联立可得，()()222316310k x kmx m +++-=，2240k ∆=>，且()2121222316,3131m km x x x x k k --+==++12PQ x =-==因为221m k =+，故PQ == 另一方面PF ====化简得1PF x =，同理2QF x =，可得)12PF QF x x +=+，由此可得FPQ∆的周长2631kmk -=+=+，故FPQ∆的周长为定值点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
四川省宜宾四中2021-2022高二数学下学期第一次在线月考试题 文
四川省宜宾四中2021-2022高二数学下学期第一次在线月考试题 文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线3y =的倾斜角为α，则α等于 A ．0︒B ．45︒C ．90︒D ．不存在2．某砖厂为了检测生产出砖块的质量，从砖块流转均匀的生产线上每间隔5分钟抽取一块砖进行检测，这种抽样方法是A ．系统抽样法B ．抽签法C ．随机数表法D ．分层抽样法3．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是A ．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B ．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C ．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D ．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 4．圆22(3)(4)16x y +++=与圆224x y +=的位置关系为 A ．相离B ．内切C ．外切D ．相交5．已知方程2220x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是A ．54m > B ．54m >- C ．54m < D ．54m <- 6．已知平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，若α⊥β，则“m ∥β”是“m ⊥α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的体积为 A ．1B ．23C ．12D ．328．直线1l ：()340a x y +++=与直线2l ：()140x a y +-+=垂直，则直线1l 在x 轴上的截距是 A ．4-B ．2C ．2-D ．49．若两条平行线1:10L x y -+=，与()2:300L x ay c c +-=>，则3a c-等于 A ．2-B ．6-C ．2D ．010.已知双曲线11622=-my x 的一个焦点F 的坐标为）（0,5-，则该双曲线的渐近线方程为 A.x y 34±= B. x y 43±= C.x y 45±= D. x y 54±= 11．已知抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A ，()B p ,且||PA |BF |等于A ．4B ．92C ．5D ．11212．在三棱锥A BCD - 中，底面BCD 是边长为 2 的正三角形，顶点 A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省宜宾市第四中学20212021学年高二数学12月月考试题文
2021年秋四川省宜宾市四中高二12月考试数学（文）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部份，共4页. 全卷满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知命题2:,240p x R x x ∀∈-+≤,则p ⌝为A. 2,240x R x x ∀∉-+≤ B. 2000,240x R x x ∃∉-+> C. 2,240x R x x ∀∈-+≥ D. 2000,240x R x x ∃∈-+> 2.“3x >”是“29x >”的A.必要不充分条件B.充分没必要要条件C.充分必要条件D.既不充分也没必要要条件3.已知命题11:,23x xp x R ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;命题2000:,10q x R x x ∃∈--=;则下列命题为真命题的是A. p q ∧B. p q ∨⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝4.一次数学考试后,某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人,记录他们的考试成绩,取得如图所示的茎叶图。
已知甲班6名同窗成绩的平均数为82,乙班6名同窗成绩的中位数为77,则x y -=B.-3C.45.双曲线221169y x -=的渐近线方程为 A. 169y x =±B. 916y x =±C. 34y x =± D. 43y x =±6.若某群体中的成员只用只用现金支付的概率为,既用现金支付也用非现金支付的概率为,则不用现金支付的概率为A.0.3B.0.4C. 已知,,m n l 为三条不同的直线, ,αβ为两个不同的平面,则下列命题中正确的是A. //αβ,m α⊂,//?n m n β⊂⇒B. l β⊥,//l αβα⊥⇒C. m α⊥,//m n n α⊥⇒D.//αβ,l l αβ⊥⇒⊥8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右核心别离为12,F F ,离心率为33,过2F 的直线交椭圆C 于,A B 两点,若1AF B ∆的周长为3则椭圆C 的方程为A. 22132x y +=B. 2213x y += C. 221128x y += D.221124x y += 9.若不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域为Ω,不等式222210x y x y +--+≤表示的区域为T ,则在区域Ω内任取一点,则此点落在区域T 中的概率为A.4π B. 8π C. 5πD. 10π10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点, ABC ∆为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为A.D. 11.直线20x y ++=别离与x 轴, y 轴交于,A B 两点,点p 在圆22(2)2x y -+=上.则ABP ∆面积的取值范围是A. []2,6B. []4,8C.D. ⎡⎣12.过点()2,1M -作斜率为12的直线与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两个不同点,若M 是AB 的中点,则该椭圆的离心率e =A.12B. 2D.34第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大不同,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方式有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最适合的抽样方式是__________14.直线(2)10mx m y ++-=与直线(1)0m x my -+=彼此垂直,则m =__________15.抛物线28x y =的核心到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是__________16.设点P 是双曲线221916x y -=上一点, 12,F F 别离是其左、右核心,若110PF =,则2PF =__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤． 17.（本大题满分10分）已知2:8200p x x --≤,():110q m x m m -≤≤+>,若p 是q 的充分没必要要条件,求实数 m 的取值范围.18.（本大题满分12分）现在,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x (单位:万元)和利润y (单位:十万元)之间的关系,取得下列数据:请回答:（Ⅰ）请用相关系数r 说明y 与 x 之间是不是存在线性相关关系(当0.81r >时,说明y 与 x 之间具有线性相关关系);（Ⅱ）按照1的判断结果,成立y 与 x 之间的回归方程,并预测当24x =时,对应的利润ˆy为多少(ˆˆˆ,,ba y 精准到0.1). 附参考公式:回归方程中ˆˆˆybx a =+中ˆb 和ˆa 最小二乘估量别离为1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑,ˆˆay bx =-,相关系数ni i x ynx yr -=∑参考数据:88211241,6i i i i i x y x ====≈∑∑.19.（本大题满分12分）已知曲线C 上的点到定点()0,1F 的距离比它到直线3y =-的距离小2. （Ⅰ）求曲线C 的方程. （Ⅱ）若倾斜角为4π的直线l 过点()0,3M ,且与曲线C 相交于,A B 两点,求FAB ∆的面积20.（本小题满分12分）如图，四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA PD =，2AD BC =. （Ⅰ）证明：平面⊥PAD 平面PCD ； （Ⅱ）若PAB ∆是面积为3的等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积.21.（本大题满分12分）设12,F F 别离是椭圆()2222:10x y D a b a b +=>>的左、右核心,过2F 作倾斜角为3π的直线交椭圆D 于,A B 两点, 1F 到直线AB 的距离为23连接椭圆D 的四个极点取得的菱形面积为25（Ⅰ）求椭圆D 的方程（Ⅱ）设过点2F 的直线l 被椭圆D 和圆()()22:224C x y -+-=所截得的弦长别离为,m n ,当m n ⋅最大时,求直线l 的方程22.（本大题满分12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点,线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（Ⅰ）证明: 12k <-（Ⅱ）设F 为C 的右核心, P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=,证明: 2FP FA FB =+2021年秋四川省宜宾市四中高二12月考试数学（文）试题参考答案一、选择题二、填空题13.分层抽样 14.0或12- 或16 三、解答题17.由2:8200p x x --≤,得210x -≤≤, 因为p 是q 的充分没必要要条件,所以[]2,10-[]1,1m m -+.则12110m m -<-⎧⎨+≥⎩，，或12110m m -≤-⎧⎨+>⎩解得9m ≥.故实数 m 的取值范围为[9,)+∞ 18.（1）.由题意得6,4x y ==.又()()88882221111241,6i i iiii i i i x y x xx yy ======-≈-∑∑∑∑,所以()()8188221182418640.990.818.256i ii i i i i x yx yr x xy y====-⨯⨯==≈>⨯--∑∑∑,所以y 与x 之间具有线性相关关系.因为818222182418640.7356568i ii i i x yx yb x x===-⨯⨯==≈-⨯-∑∑（2）因为40.760.2a y bx =-≈-⨯=, 所以回归直线方程为0.70.2a x =-,当24x =时, 0.70.20.7240.216.6y x =-=⨯-=,即利润约为166万元.19.（1）24x y =（2）设1122(,),(,)A x y B x y ,直线l 的方程为3y x =+,联立243x yy x ⎧=⎨=+⎩消去y ,得24120x x --=640∆=>∴12124,12x x x x +==- ∴FAB ∆的面积()21212121482S MF x x x x x x =-=+-=20.解：（Ⅰ）∵平面⊥PAD 底面ABCD ，平面 PAD 底面AD ABCD =，AD CD ⊥ ∴⊥CD 平面PAD 又∵⊂CD 平面PCD ∴平面⊥PAD 平面PCD（Ⅱ）如图，设AD 的中点为E ，连接PE ，BE ∵PD PA =∴AD PE ⊥∵平面⊥PAD 底面ABCD ，平面 PAD 底面AD ABCD = ∴⊥PE 底面ABCD∵PAB ∆是面积为3的等边三角形 ∴2===PB AB PA∵E 是AD 的中点，BC AD //，090=∠ADC ，2AD BC = ∴四边形BCDE 为矩形，090=∠AEB ∴PEB AEB ∆≅∆，故AE PE =∴PAE ∆是等腰直角三角形，故222===PA PE AE ∴在直角三角形AEB 中有222=-=AE AB BE∴2,22,2====BC AD BE BC∴直角梯形ABCD 的面积为3)(21=⨯+CD BC AD ∴231=⨯=-PE S V ABCD ABCD P . 21.（1）设1F 坐标为(,0)c -,2F 坐标为()(),0,0c c >,则直线AB的方程为)y x c =-,2y c --===;又221225,12S a b ab a b =⋅⋅==∴==,∴椭圆D 的方程为2215x y += （2）易知直线l 的斜率不为0,可设直线l 的方程为2x ty =+,则圆心C 到直线l的距离为d =,所以22215x ty n x y =+⎧⎪=⎨+=⎪⎩,得()225410ty ty ++-=,∴)21221,5t m y t +=-=+∴m n ⋅==≤ (,即t =时,等号成立),所以直线方程为20x --=或20x +-=22（1）.方式一:设1122(,),(,)A x y B x y ,则22112222143{143x y x y +=+= 由方程组得12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，则1212121234y y x x x x y y -+=-⋅-+其中12122,2x x y y m +=+=121234y y k x x m-∴==-- 又∵点(1,)M m 为椭圆内的点,且0m >当1x =时,椭圆上的点的纵坐标32y =± 30,2m ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭31,42k m ⎛⎫∴=-∈-∞- ⎪⎝⎭12k ∴<- 方式二:设直线l 方程为y kx t =+设1122(,),(,)A x y B x y ,22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 联立消y 得222(43)84120k x ktx t +++-=则2222644(412)(34)0k t t k ∆=--+>得2243k t +>① 且1228234kt x x k -+==+,121226()2234t y y k x x t m k+=++==+ ∵0m >0t ∴<且0k >且2344k t k+=-② 由①②得2222(34)(43)16k k k ++>12k ∴>或12k <- ∵0k < 12k ∴<- （2）0FP FA FB ++= 0FP FM +=∵(1,)M m ∴P 的坐标为(1,2)m -由于P 在椭圆上,214143m ∴+=34m ∴=314k m∴==-- 直线l 方程为3(1)4y x -=--,即74y x =-+ 2274143y x x y ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩ 化简整理得：2285610x x -+=,121212,28x x x x +==1212()4222c FA FB a x x a +=-+=-⨯=, 3(2FP =-=2FA FB FP ∴+=。
2022年 四川省宜宾市第四中学校高二下学期期初升高试数学理试配套精选卷
2021年春四川省宜宾市第四中学高二期中考试理科数学考前须知：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上2答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号答复非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I 卷选择题〔60分〕一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分在每题给的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1复数31iz i+=-，那么z = 〔 〕A 1B 2D 5【答案】C 【解析】 【分析】先用复数的除法法那么进行运算，然后根据复数模的运算公式，进行求模运算【详解】3(3)(1)121(1)(1)i i i z z i z i i i ++⋅+=⇒==+⇒==--⋅+C 【点睛】此题考查了复数的除法运算、求模运算关键是掌握除法的运算法那么和求模的公式：∀∈R，2＞0，那么命题¬0:,20p x R x ⌝∃∈≤23111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(2)2ln 2x x '=2(sin )2cos x x x x '=1(ln 2)2x x '=23112x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(2)2ln 2x x '=22(sin )2sin cos x x x x x x '=+11(ln 2)22x x x '=⨯=2~(2,3)X N (1)0.20P X <=(23)P X <<=(3)(1)P X P X >=<(2)(2)P X P X =2(2,3)XN 1(1)(3)12(1)120.20(23)0.3222P X P X P X P X ---<-⨯<<====2(,)XN μσx μ=()()P X P X μμ<=>()()P a X P X a μμμμ-<<=<<+0a >l m n 、、αβ、//l m αβαβ⊂⊂，，，//l m l αβα⊥⊂，，l β⊥l β⊥//l ααβ⊥l n ⊥m n ⊥//l m l m l ββl αl αc l c l β⊥c β⊥c α⊂αβ⊥l m 5120804820555A 120=33A 6=5533A 1220A 6==D456735116,011,n k =⨯+==+=168,112,2n k ===+=84,213,2n k ===+=42,314,2n k ===+=21,415,2n k ===+=5k =B 22221(0,0)x y a b a b-=>>3212y x =22156x y -=22175x y -=22136x y -=22143x y -=212y x =3x =-()3,0-3c ∴=336c e a b a ==∴=∴=22136x y -=()2xcosx f x x 1=+[]()x 2,2∈-()()f x f x -=-D 06f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B()22cos 205f =<A C [],ππ-,a b ()2222f x x ax b π=+-+18π-14π-344π()f x 22244()0a b π∆=--+≥222a b π+≥a b (,)a b 2π22(2)4S ππ==222a b π+<2'S ππ=⨯2224144P πππππ-⨯==-()f x ()2321ln 3422x x ax x a a a a --+--+∈R a ()0,∞+10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()'f x ln 1?1x ax +-ln x ax -ln y x =y ax =01y a x =='=010x a =>0a >011y a a =⨯=1lna 1e a =1e a =ln y x =y ax =ln y x =y ax =10e a <<a 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭()f x (0,)+∞()f x '()2()xf x f x '>24(2019)(2019)(2)0f x x f ---<(0,2021)(2019,2021)(2019,)+∞(,2021)-∞()2()xf x f x '>2()()f x g x x =()g x 2()()f x g x x =243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==>()g x (0,)+∞24(2019)(2019)(2)0f x x f ---<22(2019)(2)(2019)2f x f x -<-2019020192x x ->⎧⎨-<⎩(2019,2021)x ∈()()0(0)f x f x '+><()()x g x e f x =()()0(0)f x f x '-><()()xf xg x e=()()0(0)xf x f x '+><()()g x xf x =()()0(0)xf x f x '-><()()f x g x x =833()2x x -6316()8884188331322kk kkk k kk x T C C xx ---+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2k =()62281633216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1C k n k kk n T a b -+=x k ()()2212f x x =-+1x =-()()2'21f x x x =-x(),1-∞-1-()1,0-()0,11()1,+∞()'f x -+-+()f x()f x 1x =-1x =0x =1x =-10()f x 0x 0x ()'0f x >0x ()'0f x <0x x =0x ()'0f x <0x ()'0f x >0x x =l αβ--60︒AB α⊂B l ∈AB l 45︒AB β64A βC αAD l ⊥DCD ADC ∠l αβ--60ADC ∠=︒AD x =BD x =2=AB x 12CD x =32AC x =362sin 42x AC ABC AB x∠===AB β64(1)()ln 1a x f x x x -=++a 2a ≤()0,∞+()()22101a f x x x -=+≥+'()0,∞+()212x a x+≤()0,∞+()21112222x x xx+=++≥1x =2a ≤31()443f x x x =-+()f x []0,3[]12,0,x x m ∈1216()()3f x f x -≤m 0x =()f x 2x =()f x 43-(0,23]()f x ()0f x '=()f x [0]3，416433⎛⎫--= ⎪⎝⎭31()443f x x x =-+2()4f x x =-'()0f x '=2x =-2x =()f x [0]3，()f x [0]2，](23，(0)4f =4(2)3f =-(3)1f =0x =()f x 2x =()f x 43-416433⎛⎫--=⎪⎝⎭()f x ()04f x =023x =的取值范围是(0,23]【点睛】此题考查利用导数研究函数的最值，考查根据函数的图像和性质求参数法人方法，要熟练掌握数形结合思想方法的运用，属中档题18为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有40人，不超过100km /h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有2021不超过100km /h 的有25人．〔1〕完成下面的列联表，并判断是否有99.5％的把握认为平均车速超过100km /h 的人与性别有关．〔2〕以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆数为X ，假设每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望． 参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】〔Ⅰ〕表格见解析，有关〔Ⅱ〕65【解析】 分析】〔Ⅰ〕根据题目中的数据，完成列联表，求出K 2=＞，从有%的把握认为平均车速超过100m/h 与性别有关．〔Ⅱ〕记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100m/h 的车辆数为X ，推导出X服从二项分布，即23,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此能求出在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100m/h ． 【详解】〔Ⅰ〕因为()22100402515208.4297.87960405545x ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5％的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关；〔Ⅱ〕根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆的概率为4021005=． X 可取值是0，1，2，3，23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，有：()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238353125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】此题考查独立性检验的应用，考查概率的求法及应用，考查二项分布的性质等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D E F ，，分别是11A B 、1CC 、BC 的中点，11AE A B ⊥，12AA AB AC ===．〔Ⅰ〕证明：AB AC ⊥；〔Ⅱ〕求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值． 【答案】〔Ⅰ〕见证明；〔Ⅱ〕1414【解析】 【分析】〔Ⅰ〕证明AB ⊥平面11A ACC ，从而AB AC ⊥〔Ⅱ〕以A 为原点，1AB AC AA ，，分别为轴，轴，轴建立如下图的空间直角坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得到答案 【详解】〔Ⅰ〕因为11AE A B ⊥，11//A B AB ，所以AB AE ⊥， 又侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AB AA ⊥，1AEAA A =，所以AB ⊥平面11A ACC ，而AC ⊆平面11A ACC ， 所以AB AC ⊥．〔Ⅱ〕由及〔Ⅰ〕可知1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，AB AC ⊥，以A 为原点，1AB AC AA ，，分别为轴，轴，轴建立如下图的空间直角坐标系A xyz -，那么(0,0,0)A ，(0,2,1)E ，(1,1,0)F ，1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(1,0,2)D ， 所以()1,2,1DE =--，()0,1,2DF =-， 设面DEF 的法向量为(,,z)n x y =，那么由0,0n DE n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20,20y z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即2,3,y z x z =⎧⎨=⎩令1z =得(3,2,1)n =．又由题可知面ABC 的法向量(0,0,1)=m ． 所以222||14|cos ,|||||14321m n m n m n ⋅〈〉===++， 故平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414．【点睛】此题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力2021抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点A 为C 上异于顶点的任意一点，过A的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形 〔1〕求C 的方程；〔2〕假设直线1//l l ，且1l 和C 相切于点E ，试问直线AE 是否过定点，假设过定点，求出定点坐标；假设不过定点，说明理由 【答案】1 24y x = 2 直线AE 过定点()1,0 【解析】【分析】〔1〕设(),0D t ，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由FA FD =，可得322p pt +=-，从而3t p =+，再由A 点横坐标与FD 中点横坐标相同可求得p ．〔2〕设()00,A x y ，可得()02,0D x +，由1//l l ，可设直线1l 的方程为02yy x b =-+，由它与抛物线相切可求得b ，也即得出E 点坐标，求出直线AE 方程，观察得其过定点．注意分类，即按直线AE 斜率是否存在分类讨论．【详解】〔1〕抛物线的焦点,02pF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),0D t ，那么FD 的中点坐标为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭，∵FA FD =，∴322p pt +=-，解得3t p =+，或3t =-〔舍〕，∵234p t+=，∴3634p +=，解得2p =， ∴抛物线方程为24y x =〔2〕由〔1〕知，()1,0F ，设()00,A x y ，(),0D D x ，∵FA FD =，那么011D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，即()02,0D x +， ∴直线l 的斜率02AD y k =-，∵1//l l ，故设直线1l 的方程为02yy x b =-+，联立方程组2042y xy y x b⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，得2000880b y y y y +-=， ∵直线1l 与抛物线相切，∴20064320b y y ∆=+=，02b y =-，设(),E E E x y ，那么04E y y =-，204E x y =，当24y ≠时，02044AE y k y =-，直线AE 的方程为()0002044y y y x x y -=--， ∵2004y x =，∴直线AE 的方程为()020414y y x y =--，∴直线AE 过定点()1,0， 当24y =时，直线AE 方程为1x =，经过定点()1,0，综上，直线AE 过定点()1,0【点睛】此题考查抛物线的标准方程，考查抛物线中定点问题．圆锥曲线中定点问题的两种解法：1引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．2特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．21函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈．〔Ⅰ〕讨论()f x 的单调性；〔Ⅱ〕当1a =时，证明：()21f x x x ≤+-；〔Ⅲ〕求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭〔其中e≈为自然对数的底数〕【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕见解析〔Ⅲ〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕分别在0a ≥和0a <两段范围内讨论导函数的正负，从而得到单调区间；〔2〕将问题转化为证明()ln 10g x x x =-+≤，通过导数求得()()max 10g x g ==，从而证得所证不等式；〔3〕根据〔2〕可知ln 1x x ≤-，令()112n x n N *=+∈，那么可得11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，累加可得到所证结论【详解】〔1〕函数()f x 定义域为()0,∞+，()222a a x f x x x x+'=+=①当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增, ②当0a <时，令()0f x '=，解得：x =当0x <<时，()0f x '<， 所以()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >() 0f x '>，所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增,综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增; 〔2〕当1a =时，()2ln f x x x=+要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即ln 10x x -+≤,设()ln 1g x x x =-+那么()1xg x x-'=，令()0g x '=得，1x =, 当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '< 所以1x =为极大值点，也为最大值点 所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤故当1a =时，()21f x x x ≤+-;〔3〕由〔2〕ln 1x x ≤-〔当且仅当1x =时等号成立〕, 令()112n x n N *=+∈， 那么 22111ln 1112n n n ⎛⎫⎛⎫+≤+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22111221111111ln 1ln 1ln 111ln 1222222212nnn n e ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦++++⋅⋅⋅++≤++⋅⋅⋅+==-<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-, 即2111ln 1ln 1ln 1ln 222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数最值证明不等式问题、与自然数n 相关的不等式的证明问题对于导数中含自然数n 的问题的证明，关键是对函数关系中的自变量进行赋值，进而得到与n 相关的不等关系，利用放缩的思想进行证明，属于难度题〔二〕选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分22选修4—4：坐标系与参数方程曲线C的参数方程是cos x a y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩〔ϕ是参数，0a > 〕，直线l 的参数方程是31x ty t=+⎧⎨=--⎩ 〔t 是参数〕，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 〔1〕求曲线C 的极坐标方程；〔2〕假设点1,()A ρθ，22(,)3B πρθ+，34(,)3C πρθ+在曲线C 上，求222111OA OB OC ++的值．【答案】1 22143x y += 278【解析】 【分析】〔1〕消去直线的参数t 得普通方程，令＝0，得的值，即求得直线与轴的交点；消去曲线C 的参数即得C 的普通方程，再把上面求得的点代入此方程即可求出a 的值；〔2〕把点A 、B 、C 的极坐标化为直角坐标，代入曲线C 的方程，可得222211143cos sin ρθρθ+=，即2221143cos sin θθρ=+，同理得出其它，代入即可得出答案．【详解】〔Ⅰ〕∵直线的参数方程是31x ty t =+⎧⎨=--⎩〔t为参数〕，消去参数t 得＝2，令＝0，得＝2． ∵曲线C的参数方程是x acos y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩〔ϕ为参数，a ＞0〕，消去参数ϕ得22213x ya +=，把点〔2，0〕代入上述方程得a ＝2． ∴曲线C普通方程为22143x y +=．〔Ⅱ〕∵点()1232433A B C ππρθρθρθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，在曲线C 上，即A 〔ρ1coθ，ρ1inθ〕，222233B cos sin ππρθρθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，334433C cos sin ，ππρθρθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在曲线C上， ∴222222222222123111111124124||||||433333cos cos cos sin sin sin OA OB OC ππππθθθθθθρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=484812121212112112333342223222cos cos cos cos cos cos ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪+++++⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=232223222333386cos cos cos cos cos cos ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++--++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ =337868+=．【点睛】此题考查了参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标的问题，考查了极坐标的应用，熟练进行恒等变形是解题的关键，属于中档题． 23函数()1f x x a x =-+-〔1〕假设不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值；〔2〕当2a = 时，假设()1422n n f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围【答案】〔1〕2a =；〔2〕(]2,log 3-∞ 【解析】 【分析】〔1〕由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值；〔2〕利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围【详解】〔1〕由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，那么()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；〔2〕当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=，又()1422n n f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞【点睛】此题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题。
四川省宜宾市第四中学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学(文)试题
四川省宜宾市第四中学校【最新】高二下学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数3i 1i z +=-，则z = （ ） A ．1 B ．2 CD ．52．已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＞0，那么命题¬p 为（ ）A ．∃x ∈R ，2x ＜0B ．∀x ∈R ，2x ＜0C ．∃x ∈R ，2x≤0D ．∀x ∈R ，2x≤0 3．下列求导运算正确的是（ ）.A ．23111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ B ．(2)2ln 2x x '= C ．2(sin )2cos x x x x '= D ．1(ln 2)2x x'= 4．若向量(2,0),(2,1),(,1)a b c x =-==满足条件3a b +与c 共线，则x 的值为（ ） A ．2- B ．4- C ．2 D ．45．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为（ ） A ．15B ．25 C ．35 D ．45 6．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．77．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>212y x =的准线上，则此双曲线的方程为（ ）A ．22156x y -= B ．22175x y -= C ．22136x y -= D ．22143x y -= 8．函数f(x)=xcosxx 2+1 (x ∈[−2,2])的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥，则满足()20f a ->的实数a 的取值范围为（ ）A ．()2,+∞B ．()4,+∞C ．()0,4D ．()(),04,-∞+∞10．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则该球体积V 的最大值是A ．4πB ．92πC ．6πD ．323π 11．设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()2()xf x f x '>，则不等式24(2019)(2019)(2)0f x x f ---<的解集为（）A ．(0,2021)B ．(2019,2021)C ．(2019,)+∞D ．(,2021)-∞二、多选题12．若l ､m ､n 是互不相同的空间直线，α､β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（ ）A ．若//αβ，l α⊂，n β⊂，则//l nB ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，l β//，则αβ⊥三、填空题13．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数__________14．函数()()2212f x x =-+的极值点是_____________________ 15．设变量x ，y 满足约束条件2202400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z =y -3x 的最大值是______．16．若函数(1)()ln 1a x f x x x -=++在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围为__________.四、解答题17．已知函数31()443f x x x =-+. （1）求()f x 在[]0,3上的最值；（2）对任意[]12,0,x x m ∈，1216()()3f x f x -≤恒有成立，求实数m 的取位范围. 18．通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下22⨯列联表：（1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5名学生中随机选取3名做深度采访，求这3名学生中恰有2名挑同桌的概率； （2）根据以上22⨯列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.） 19．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.20．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点A 为C 上异于顶点的任意一点，过A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形.（1）求C 的方程；（2）若直线1//l l ，且1l 和C 相切于点E ，试问直线AE 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.21．已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明：()21f x x x ≤+-；（Ⅲ）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中e≈2.7183为自然对数的底数）22．已知曲线C 的参数方程是cos x a y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（φ为参数，a >0），直线l 的参数方程是31x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.（1）求曲线C 的普通方程；（2）若点A （ρ1，θ），B （ρ2，θ＋23π），C （ρ3，θ＋43π）在曲线C 上，求222111OA OB OC ++的值.23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值；（2）当2a = 时，若()1422n n f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】先用复数的除法法则进行运算，然后根据复数模的运算公式，进行求模运算.【详解】3(3)(1)121(1)(1)i i i z z i z i i i ++⋅+=⇒==+⇒==--⋅+ C. 【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模运算.关键是掌握除法的运算法则和求模的公式.2．C【解析】由全称命题的否定与存在性命题之间的关系可得：0:,20p x R x ⌝∃∈≤，应选答案C ．3．B【分析】根据基本初等函数的导数公式、导数的运算法则以及复合函数的导数求法，即可得出结果.【详解】对于A ，23112x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 不正确； 对于B ，(2)2ln 2x x '=，故B 正确；对于C ，22(sin )2sin cos x x x x x x '=+，故C 不正确；对于D ，11(ln 2)22x x x'=⨯=，故D 不正确； 故选：B【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数公式、导数的运算法则以及复合函数的导数，需熟记公式，属于基础题.4．B【解析】向量()2,0a =-，()2,1b =，(),1c x =，所以3(6,0)(2,1)(4,1)a b +=-+=-，所以3a b +与c 共线，所以114x -=，截得4x =-，故选B. 5．C【分析】方程有实数根，即0∆≥，解出p 的范围即可得出概率.【详解】方程有实根，则Δ＝p 2－4≥0，p 在[0,5]上随机地取值，解得p ≥2或p ≤－2（舍去）， 所以所求概率为523505P -==-. 故选：C【点睛】此题考查几何概率模型，关键在于准确解出方程有实根得出p 的范围.6．B【解析】第一次循环，35116,011,n k =⨯+==+=继续循环； 第二次循环，168,112,2n k ===+=继续循环； 第三次循环，84,213,2n k ===+=继续循环； 第四次循环，42,314,2n k ===+=继续循环； 第五次循环，21,415,2n k ===+=结束循环； 输出5k =故答案选B7．C【解析】试题分析：抛物线212y x =的准线为3x =-，焦点为()3,0-3c ∴=c e a b a ====双曲线方程为22136x y -= 考点：双曲线方程及性质8．C【解析】由于f (−x )=−f (x )，故函数为奇函数，排除D 选项，f (π6)>0，故排除B 选项，f (2)=25cos2<0排除A 选项，故选C . 9．D【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【详解】解：偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-，∴函数()f x 在[)0,+∞上为增函数，()20f =∴不等式(2)0f a ->等价为()()|2|2f a f ->，即|2|2a ->，即22a ->或22a -<-，解得4a >或0a <，故选：D ．【点睛】本题主要考查不等式的求解，以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数的性质，属于中档题． 10．B 【解析】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.考点：球及其性质.11．B【分析】根据()2()xf x f x '>得到2()()=f xg x x 的单调性，再变形不等式根据()g x 单调性求解集. 【详解】 设2()()=f x g x x ，则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x''--'==>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又24(2019)(2019)(2)0f x x f ---<，所以22(2019)(2)(2019)2f x f x -<-，则有2019020192x x ->⎧⎨-<⎩，即(2019,2021)x ∈. 故选：B.【点睛】常见的可根据导函数不等式推导抽象函数的情况：（1）已知()()0(0)f x f x '+><，则可设()()x g x e f x =；（2）已知()()0(0)f x f x '-><，则可设()()xf xg x e =； （3）已知()()0(0)xf x f x '+><，则可设()()g x xf x =；（4）已知()()0(0)xf x f x '-><，则可设()()f x g x x =. 12．ABC【分析】对于A ，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B ，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C ，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；对于D ，考虑面面垂直的判定定理．【详解】解：选项A 中，l 除平行n 外，还有异面的位置关系，则A 不正确．选项B 中，l 与β的位置关系有相交､平行､在β内三种，则B 不正确．选项C 中，l 与m 的位置关系还有相交和异面，故C 不正确．选项D 中，由l β//，设经过l 的平面与β相交，交线为c ，则//l c ，又l α⊥，故c α⊥，又c β⊂，所以αβ⊥，D 正确． 故选：ABC ． 【点睛】考查线线平行、垂直的判定与性质，线面、面面垂直的判定，是基础题. 13．20 【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论． 【详解】 解：初级教师80人，∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为8020050n=， 解得20n =，即初级教师人数应为20人， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题． 14．1x =-或1或0 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再利用导数的符号可求函数的极值点. 【详解】()()2'21f x x x =-，列表讨论如下：综上，()f x 的极值点为1x =-或1x =或0x =，填1x =-或1或0. 【点睛】若()f x 在0x 及其附近可导，则：（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点； 15．4 【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为3y x z =+在y 轴截距最大值的求解，通过平移3y x =可确定过()0,4A 时截距最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：目标函数可化为3y x z =+，则z 的最大值即为3y x z =+在y 轴截距最大值 由3y x =平移可知，当3y x z =+过A 时，截距最大 又()0,4A max 404z ∴=-= 故答案为：4 【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.16．2a ≤ 【解析】定义域()0,∞+，()()22101af x x x -=+≥+'在()0,∞+上恒成立，即()212x a x+≤在()0,∞+上恒成立，()21112222x x xx+=++≥，当且仅当1x =时成立，则2a ≤ 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.17．（1）当0x =时，()f x 的最大值为4；当2x =时，()f x 的最小值为43-；（2）(0,. 【分析】（1）对()f x 求导，令()0f x '=，得到()f x 在[0]3，上的单调性，从而求得最值；（2）由416433⎛⎫--= ⎪⎝⎭，数形结合分析可得取值范围.【详解】 （1）因为31()443f x x x =-+，所以2()4f x x =-'，令()0f x '=，解得2x =-或2x =， 因为()f x 在[0]3，上，所以()f x 在[0]2，上单调递减；在](23，上单调递增， 又因为(0)4f =，4(2)3f =-，(3)1f =， 所以，当0x =时，()f x 的最大值为4；当2x =时，()f x 的最小值为43-. （2）因为416433⎛⎫--= ⎪⎝⎭，结合()f x 的图象：令()04f x =，解得0x =，所以m 的取值范围是(0,. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查根据函数的图像和性质求参数法人方法，要熟练掌握数形结合思想方法的运用，属中档题. 18．（1）35（2）有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关 【分析】（1）计算出抽样比例，从而解得5名学生挑同桌的分布情况，再计算从5人中抽2人的所有可能，找出满足题意的可能，用古典概型计算公式求解； （2）根据公式，计算2K ，对照参考表即可判断. 【详解】（1）根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A 、B 、C ；不挑同桌有2人，记为d 、e ； 从这5人中随机选取3人，基本事件为ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，Ade ， BCd ，BCe ，Bde ，Cde 共10种，这3名学生中恰有2名要挑同桌的事件为ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe ，共6种，故所求的概率为63105P ==； （2）根据以上22⨯列联表，计算观测值22100(30102040) 4.7619 3.84170305050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关． 【点睛】本题考查了分层抽样、古典概型、2K 的计算，属概率统计综合题，同时也考查了计算能力.19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N 为的中点，所以N 到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故145252BCMS=⨯⨯=. 所以四面体的体积14532N BCM BCMPA V S -=⨯⨯=. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．20．(1) 24y x = (2) 直线AE 过定点()1,0. 【分析】（1）设(),0D t ，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由FA FD =，可得322p p t +=-，从而3t p =+，再由A 点横坐标与FD 中点横坐标相同可求得p ．（2）设()00,A x y ，可得()02,0D x +，由1//l l ，可设直线1l 的方程为02y y x b =-+，由它与抛物线相切可求得b ，也即得出E 点坐标，求出直线AE 方程，观察得其过定点．注意分类，即按直线AE 斜率是否存在分类讨论． 【详解】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0D t ，则FD 的中点坐标为2,04p t +⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵FA FD =，∴322p pt +=-，解得3t p =+，或3t =-（舍）， ∵234p t +=，∴3634p +=，解得2p =， ∴抛物线方程为24y x =.（2）由（1）知，()1,0F ，设()00,A x y ，(),0D D x ，∵FA FD =，则011D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，即()02,0D x +， ∴直线l 的斜率02AD y k =-，∵1//l l ，故设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 联立方程组2042y xy y x b⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，得2000880b y y y y +-=， ∵直线1l 与抛物线相切，∴20064320b y y ∆=+=，02b y =-， 设(),E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =，当204y ≠时，02044AE y k y =-，直线AE 的方程为()0002044y y y x x y -=--， ∵2004y x =，∴直线AE 的方程为()020414y y x y =--，∴直线AE 过定点()1,0， 当204y =时，直线AE 方程为1x =，经过定点()1,0，综上，直线AE 过定点()1,0.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线中定点问题．圆锥曲线中定点问题的两种解法： (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 21．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【分析】（1）分别在0a ≥和0a <两段范围内讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（2）将问题转化为证明()ln 10g x x x =-+≤，通过导数求得()()max 10g x g ==，从而证得所证不等式；（3）根据（2）可知ln 1x x ≤-，令()112n x n N *=+∈，则可得11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，累加可得到所证结论. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()222a a x f x x x x+'=+=①当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增,②当0a <时，令()0f x '=，解得：x =当0x <<时，()0f x '<， 所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >() 0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增, 综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增;（2）当1a =时，()2ln f x x x =+要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即ln 10x x -+≤,设()ln 1g x x x =-+则()1xg x x-'=，令()0g x '=得，1x =, 当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '< 所以1x =为极大值点，也为最大值点 所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤ 故当1a =时，()21f x x x ≤+-;（3）由（2）ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立）, 令()112n x n N *=+∈， 则 22111ln 1112nn n ⎛⎫⎛⎫+≤+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以22111221111111ln 1ln 1ln 111ln 1222222212nn n n e⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦++++⋅⋅⋅++≤++⋅⋅⋅+==-<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-, 即2111ln 1ln 1ln 1ln 222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数最值证明不等式问题、与自然数n 相关的不等式的证明问题.对于导数中含自然数n 的问题的证明，关键是对已知函数关系中的自变量进行赋值，进而得到与n 相关的不等关系，利用放缩的思想进行证明，属于难度题.22．（1）24x ＋23y ＝1.（2）78.【分析】（1）根据题意，求出公共点，代入曲线C 即可；（2）用极坐标进行处理，利用点在曲线上，点的坐标满足方程，化为三角函数式求解. 【详解】（1）直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，与x 轴的交点为（2，0）.又曲线C 的普通方程为22x a ＋23y ＝1，所以a ＝2，故所求曲线C 的普通方程是24x ＋23y ＝1.（2）因为点A （ρ1，θ），B 22,3πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，C 34,3πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线C 上， 即点A （ρ1cosθ，ρ1sinθ），B(ρ2cos 23πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，ρ2sin （θ＋23π）)， C(ρ3cos 43πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，ρ3sin 43πθ⎛⎫+⎪⎝⎭)在曲线C 上. 故222111OAOBOC++＝211ρ＋221ρ＋321ρ＝14(cos 2θ＋cos 223πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＋cos 243πθ⎛⎫+⎪⎝⎭)＋13(sin 2θ＋sin 22()3πθ+＋sin 243πθ⎛⎫+⎪⎝⎭) ＝11cos 2(42θ+＋41cos 232πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＋81cos 232πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭) ＋11cos 2(32θ-＋41cos 232πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋81cos 232πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭) =71482cos 2cos 282433cos ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=7111222228242222cos cos sin cos sin θθθθθ⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭708=- =78 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化，涉及三角函数的化简，极坐标中的距离问题，属基础题.23．（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞. 【分析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值；（2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围. 【详解】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞. 【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.。
四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考数学试题试(文)
四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试（文）第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()212z i i +=-，则复数z 的虚部为 A ．i -B ．1-C ．iD ．12．命题“[1,),x ∀∈+∞210x x +-≥”的否定形式是 A ．(,1)x ∃∈-∞，使得210x x +-< B ．[1)x ∃∈+∞，使得210x x +-< C ．(,1)x ∀∈-∞，使得210x x +-≥D ．[1)x ∀∈+∞，使得210x x +-<3.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），（0x ，0y ）的线性回归方程为ˆ2yx =+，则00x y -的值为 A. -3 B. -5C. -2D. -14．双曲线221169x y -=上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是A ．12B ．14C ．16D ．185．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为 A ．200吨B ．300吨C ．400吨D ．600吨6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表：A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”7．“a =是“函数())f x ax =为奇函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．圆22244205x y x y ++-+=上的点到直线340x y +=的距离的最大值是A ．35B ．15C ．25+ D ．25- 9.已知函数3()f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减，且()2ag x x x=-在区间(1,2]上既有最大值，又有最小值，则实数a 的取值范围是 A ．2a >-B.3a ≥-C. 32a -≤<-D. 32a -≤≤-10．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3B ．3C ．3D ．1311．设A ，B 是抛物线24y x =上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则2212k k +的最小值为A ．B ．2CD ．112．已知函数)1010(82)(222+--++-=x x a x x x f 有唯一零点，则a =A ．2B ．10C ．4D ．7第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省宜宾市第四中学2021下学期高一年级第四学月考试数学试卷
四川省宜宾市第四中学2021学年下学期高一年级第四学月考试数学试卷第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．sin585︒的值为A ．2B ．2-C ．2D ． 2 2．AB AC BC BA +-+化简后等于 A ．3AB B ．ABC ．BAD ．CA3．若数列{}n a 是等差数列，且4541=+a a，3952=+a a ，则=+72a aA ．30B ．33C ．27D ．244．下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．sin(2)2y x π=- B ．cos(2)2y x π=-C ．sin()2y x π=+D ．cos()2y x π=+5．在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则FC = A ．3142AB AD + B ．3142AB AD - C ．1324AB AD + D ．1324AB AD - 6．已知三角形ABC ，如果222sin sin sin A B C +<，则该三角形形状为 A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上选项均有可能7．已知a ，5，b 成等差数列，且公差为d ，若a ，4，b 成等比数列，则公差d = A ．3- B ．3 C ．3-或3 D ．2或128．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．23 B ．43C ．3D ．329．在ABC 中，已知,,A B C成等差数列，且b =sin sin sin A B Ca b c++=++ A ．2B ．12CD．310．设函数f ＝2sin2＋6π的最小正周期为T ，将f 的图象向右平移3T个单位后，所得图象A ．关于点4π，0对称 B ．关于点3π，0对称 C ．关于点712π，0对称 D ．关于点 －512π，0对称 11．已知函数()4sincos22xxf x ωω=⋅(0)>ω在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是 A ．(0,1]B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,)+∞12．设函数()2sin 2f x x π=与函数112y x =-的图像在区间35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上交点的横坐标依次为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，则1nii x==∑A ．4B ．2C ．0D ．6第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高二数学文下学期期末试题含解析
四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则“”是方程“”表示双曲线的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A2. 给定命题：函数和函数的图象关于原点对称；命题：当时，函数取得极小值．下列说法正确的是（）A.是假命题B.是假命题C.是真命题D.是真命题参考答案：B3. 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩Z={0，1，2}，则A∩Z中所有元素的和为0+1+2=3，故选：C4. 在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有( )A．512 B．192 C．240 D．108参考答案：D5. 过三点A（﹣3，2），B（3，﹣6），C（0，3）的圆的方程为（）A．x2+y2+4y﹣21=0 B．x2+y2﹣4y﹣21=0C．x2+y2+4y﹣96=0 D．x2+y2﹣4y﹣96=0参考答案：A6. 若与﹣都是非零向量，则“?=?”是“⊥（﹣）”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用向量垂直的充要条件是数量积为0，再利用向量的分配律得到答案．【解答】解：⊥（﹣）??（﹣）=0??=?，∴“?=?”是“⊥（﹣）”的充要条件，故选：C7. 若，则下列不等式成立的是( )A -. B. C D .参考答案：C8. 用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的参考答案：A【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．【点评】本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．9. 设连续函数，则当时，定积分的符号A、一定是正的B、一定是负的C、当时是正的，当时是负的D、以上结论都不对参考答案：A略10. 在下列各数中，最大的数是（）A． B．C、D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 圆经过椭圆的两个焦点，且与该椭圆有四个不同交点，设是其中的一个交点，若的面积为，椭圆的长轴长为，则（为半焦距）。
四川省宜宾市第四中学校2021-2022高二数学下学期期中试题 文.doc
四川省宜宾市第四中学校2021-2022高二数学下学期期中试题 文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数3i1iz +=-，则z = A ．1B ．2C ．5D ．52．已知命题p ：∀x∈R，2x ＞0，那么命题¬p 为A ．∃x∈R，2x ＜0B ．∀x∈R，2x ＜0C ．∃x∈R，2x≤0D ．∀x∈R，2x≤03．下列求导运算正确的是.A ．23111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ B ．(2)2ln 2x x '= C ．2(sin )2cos x x x x '= D ．1(ln 2)2x x'=4. 若向量()()()2,0,2,1,,1a b c x =-==满足条件3a b +与c 共线，则x 的值为 A. 2 B. 4 C. 2- D. 4-5．若l m n 、、是互不相同的空间直线，αβ、是不重合的平面，则下列命题中真命题是 A ．若//l m αβαβ⊂⊂，，，则//l m B ．若l αβα⊥⊂，， 则l β⊥ C ．若l β⊥，//l α，则αβ⊥D ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l m6. 设p 在区间[]0,5内随机取值，则关于x 的方程210x px ++=有实根的概率为 A.15 B. 25 C.35 D.457．执行如图所示的程序框图，输出的值是A ．4B ．5C ．6D ．78．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线212y x =的准线上，则此双曲线的方程为A ．22156x y -=B ．22175x y -=C ．22136x y -=D ．22143x y -=9．函数()[]()2cos 2,21x xf x x x =∈-+的大致图象是 A ．B ．C ．D ．10.设偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥，则满足()20f a ->的实数a 的取值范围为 A. ()2,+∞ B. ()4,+∞ C. ()0,4 D.()(),04,-∞+∞11．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是A.4πB.9π2 C.6π D.32π312．设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()2()xf x f x '>，则不等式24(2019)(2019)(2)0f x x f ---<的解集为 A ．(0,2021)B ．(2019,2021)C ．(2019,)+∞D ．(,2021)-∞第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省宜宾市第四中学2021-2022学年高二数学文模拟试卷含解析
四川省宜宾市第四中学2021-2022学年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“函数在[1,+∞)上单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】求得函数的导数，由函数在上单调递增，转化为在恒成立，求得，再根据充要条件的判定，即可求解．【详解】由题意，函数，则，因为函数在上单调递增，则在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，解得，所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查了导数的应用问题，其中解答中熟记函数的导数与原函数的关系，求得实数的取值范围，再根充要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．2. 已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．(－1,+∞) B．(－1,0) C．(－2,0) D．(－2,－1)参考答案：B3. 已知圆柱的上、下底面中心为O1、O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A. 10π B. 8π C. 12π D. 12π参考答案：C4. 已知数列{a n}的通项为a n=log（a+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1?a2?a3?…?a n为整数的n叫做“优数”，则在（0，2015]内的所有“优数”的和为（）A．1024 B．2012 C．2026 D．2036参考答案：C【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，a1?a2…a n=log23?log34…log n+1（n+2）=××…×=log2（n+2），若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k，在（1，2010]内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求．【解答】解：∵a n=log n+1（n+2）∴a1?a2…a n=log23?log34…log n+1（n+2）=××…×==log2（n+2），若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k在（1，2015]内的所有整数分别为：22﹣2，23﹣2，…，210﹣2∴所求的数的和为22﹣2+23﹣2+…+210﹣2=﹣2×9=2026故选：C．【点评】本题以新定义“优数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题．5. 命题“”的否定是（）A． B．C． D．参考答案：C6. 若＝(2x，1，3)，＝(1, -2y，9)，如果与为共线向量，则A. x＝1，y＝1B. x＝，y＝-C. x＝，y＝－D. x＝－，y＝参考答案：C7. 不等式的解集是，则的值是（）.A. B. C. D.参考答案：D8. 设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）A． B．是的极小值点C．是的极小值点 D．是的极小值点参考答案：D略9. 已知命题：，则（）A． B．C． D．参考答案：C略10. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70)的汽车大约有 ( )A． 30辆 B。
四川省宜宾市第四中学2021-2022高一数学下学期第四学月考试试题
四川省宜宾市第四中学2021-2022高一数学下学期第四学月考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．sin585︒的值为A B ．C D ． 2 2．AB AC BC BA +-+化简后等于A ．3AB B ．ABC ．BAD ．CA3．若数列{}n a 是等差数列，且4541=+a a，3952=+a a ，则=+72a aA ．30B ．33C ．27D ．244．下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．sin(2)2y x π=-B ．cos(2)2y x π=-C ．sin()2y x π=+D ．cos()2y x π=+5．在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则FC =A ．3142AB AD + B ．3142AB AD - C ．1324AB AD + D ．1324AB AD - 6．已知三角形ABC ，如果222sin sin sin A B C +<，则该三角形形状为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上选项均有可能7．已知a ，5，b 成等差数列，且公差为d ，若a ，4，b 成等比数列，则公差d =A ．3-B ．3C ．3-或3D ．2或128．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．23B ．43C ．3D ．329．在ABC 中，已知,,A B C 成等差数列，且3b =sin sin sin A B Ca b c++=++A ．2B ．12C 3D 3 10．设函数f (x)＝2sin(2x ＋6π)的最小正周期为T ，将f (x)的图象向右平移3T个单位后，所得图象A ．关于点(4π，0)对称 B ．关于点(3π，0)对称 C ．关于点(712π，0)对称 D ．关于点 (－512π，0)对称 11．已知函数()4sincos22xxf x ωω=⋅(0)>ω在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是A ．(0,1]B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,)+∞12．设函数()2sin 2f x x π=与函数112y x =-的图像在区间35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上交点的横坐标依次为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，则1ni i x ==∑A ．4B ．2C ．0D ．6第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省宜宾市叙州区第一中学校2021-2022高二数学下学期第四学月考试试题 文.doc
四川省宜宾市叙州区第一中学校2021-2022高二数学下学期第四学月考试试题文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是i 虚数单位，若1(1)1iz i i-+=+，则z 的虚部为 A.12B. 12-C.12i D. 12i -2.命题“[]21,2,320x x x ∀∈-+≤”的否定为 A. []21,2,320x x x ∀∈-+> B. []21,2,320x x x ∀∉-+> C. []20001,2,320x x x ∃-+>D. []20001,2,320x x x ∃∉-+>3.双曲线221102x y -=的焦距为A.22B.42C.23D.434.“1＜x ＜2”是“x＜2”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.方程ln 40x x +-=的实根所在的区间为 A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当气温为时，用电量约为A.度B.度C. 度D. 度7.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A. B.C. D.8.已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C. 1,1a e b -==D. 1,1a e b -==-9.已知()f x 是定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]2,0b 上为增函数，则()1(2)f x f x -≤ 的解集为A. 2[1,]3-B. 1[1,]3-C. [1,1]-D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.设F 1，F 2分别是椭圆E ： 22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为A.12B.23C.3D.2 11.已知三棱锥的外接球，为球的直径，且，，，那么顶点到平面的距离为 A.332B.433 C.362 D.463 12.已知函数()f x 满足()(2)f x f x =-，与函数|1|y x =-图象的交点为1122(,),(,),,(,)m m x y x y x y ，则12m x x x +++=A. 0B. mC. 4mD. 2m第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省宜宾市第四中学校2021-2022高二数学下学期第二次月考试题 文(含解析)
四川省宜宾市第四中学校2021-2022高二数学下学期第二次月考试题文（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足：(1)4i z -=，则z 的虚部是（） A. －2 B. 2C. 2i -D. 2i【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化为(,)a bia b R +∈的形式，则答案可求．【详解】解：由(1)4i z -=，得44(1)4(1)221(1)(1)2i i z i i i i ++====+--+， 则复数z 的虚部是2， 故选B ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2.已知函数f （x ）在x 0处的导数为1，则000(2x)()lim x f x f x x∆→+∆-∆等于 （ ）A. 2B. ﹣2C. 1D. ﹣1【答案】A 【解析】分析：与极限的定义式比较，凑配出极限式的形式：0000()()lim'()x f x x f x f x x∆→+∆-=∆．详解：000000(2)()(2)()lim2lim 2x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆02'()212f x ==⨯=，故选A ．点睛：在极限式0000()()lim'()x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆中分子分母中的增量是相同的，都是x ∆，因此有000000(m )()(m )()limm lim m x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆0'()mf x =． 3.已知双曲线22:1y E x n-=的一条渐近线方程为2y x =，则E 的两焦点坐标分别为A. (B. (0,C. (D. (0,【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得4n =,以此求出焦点坐标.【详解】解析：双曲线22:1y E x n-=的渐近线方程为y =或y =，2=即4n =，故21a =，24b =，25c =，所以E 的两焦点坐标分别()),，故选C.【点睛】本题考查双曲线的焦点的求法，注意运用渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 4.设向量(1,1)a x =-，(1,3)b x =+，则“2x =”是“//a b →→”的 A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用充要条件的判断方法进行判断即可.【详解】若2x =，则()1,1a =，()3,3b =，则//a b ；但当//a b 时，2,x =± 故“2x =”是“//a b ”的充分但不必要条件. 选A.【点睛】本题考查充分不必要条件条件的判断，属基础题. 5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙【答案】A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．6.设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A. e 1x -- B. e 1x -+ C. e 1x --- D. e 1x --+ 【答案】D 【解析】 【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x . 【详解】()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1xf x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．7.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．8.已知直线220x y +-=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为( )A. 22415x y +=B. 2215x y +=C. 22194x y +=D.22164x y += 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与坐标轴的交点，推出椭圆的,a b ，即可得到椭圆的方程.【详解】由题意，直线2x y 20+-=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与右焦点，可得1,2c b ==，可得a =所以椭圆的标准方程为22415x y +=，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的额标准方程的形式和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.若曲线3222y x ax ax =-+上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 等于（ ）A. 0B. 1C. 2-D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】求出原函数的导函数,由导函数大于0恒成立转化为二次不等式对应二次方程的判别式小于0,进一步求解关于a 的不等式得答案.【详解】解:由3222y x ax ax =-+,得2342y x ax a '=-+, 曲线32:22C y x ax ax =-+上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,∴对任意实数23420x x ax a -+>，恒成立,2(4)4320a a ∴=--⨯⨯<.解得:302a <<. ∴整数a 的值为1.故答案为B【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率,考查了数学转化思想方法,是中档题.10.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，如图是函数()()'g x xf x =的图象，则()f x 的极值点是( )A. 极大值点2x =-，极小值点0x =B. 极小值点2x =-，极大值点0x =C. 极值点只有2x =-D. 极值点只有0x =【答案】C 【解析】结合图象，2x <-时，()0g x <，故()'0,20f x x >-<<时，()0g x >，故()'0,0f x x 时，()0g x <，故()'0f x <，故()f x 在(),2-∞-递增，在()2,-+∞递减，故()f x 的极值点是2x =-，故选C.11.已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上动点，P 是x 轴上动点，则PN PM -的最大值是( )A. 524 2C. 5224【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，由23PN PC ≤+，11PM PC ≥-，得出214PN PM PC PC -≤-+，利用1C 、P 、2C 三点共线可得出PN PM -的最大值. 【详解】如下图所示：圆1C 的圆心()12,3C ，半径为11r =，圆2C 的圆心()23,4C ，半径为23r =，()()221223342C C =-+-=由圆的几何性质可得2223PN PC r PC ≤+=+，1111PM PC r PC ≥-=-，21124424PN PM PC PC C C -≤-+≤+=，当且仅当1C 、P 、2C 三点共线时，PN PM -24. 故选：D.【点睛】本题考查折线段长度差的最大值的计算，考查了圆的几何性质的应用以及利用三点共线求最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知a ，b R ∈，且(1)xe a x b ≥-+对x ∈R 恒成立，则ab 的最大值是（ ）A.332e B.322C.312e D. 3e【答案】C 【解析】分析：先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a ＜0，a ＞0的情况，从而得出ab 的最大值． 详解：令f （x ）=e x-a （x-1）-b ，则f′（x ）=e x-a ，若a=0，则f （x ）=e x -b≥-b≥0，得b≤0，此时ab=0；若a ＜0，则f′（x ）＞0，函数单调增，x→-∞，此时f （x ）→-∞，不可能恒有f （x ）≥0． 若a ＞0，由f′（x ）=e x -a=0，得极小值点x=lna ，由f （lna ）=a-alna+a-b≥0，得b≤a（2-lna ），ab≤a 2（2-lna ）．令g （a ）=a 2（2-lna ）．则g′（a ）=2a （2-lna ）-a=a （3-2lna ）=0，得极大值点a=32e．而g （32e ）=312e ∴ab 的最大值是312e 故选C 点睛：本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，渗透了分类讨论思想，是中档题．第II 卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.【答案】9. 【解析】 【分析】作出可行域，平移30x y -=找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．14.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有20个车次的正点率为0.97，有40个车次的正点率为0.98，有20个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0.98 【解析】 【分析】根据平均值公式计算得到答案. 【详解】平均正点率的估计值为：2040200.970.980.990.98808080⨯+⨯+⨯=. 故答案为：0.98.【点睛】本题考查了平均值的计算，意在考查学生的计算能力.15.已知函数()32sin f x x x =-，若2(3)(3)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(1,3) 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，增函数，化简得到233a a a -<-，解得答案.【详解】()32sin f x x x =-，()()32sin f x x x f x -=-+=-，函数为奇函数，'()32cos 0f x x =->，函数单调递增，2(3)(3)0f a a f a -+-<，即2(3)(3)(3)f a a f a f a -<--=-，即233a a a -<-，解得13a <<. 故答案为：()1,3.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16.已知抛物线24y x =的准线与双曲线22221(00)x y a b a b，-=>>交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ．【答案】)+∞.【解析】试题分析：抛物线焦点(10)F ，，由题意01a <<，且090AFB ∠=并被x 轴平分，所以点(12)-，在双曲线上，得22141a b -=，即2222241a b c a a ==--，即22422224511a a a c a a a -=+=--，所以22222254111c a e a a a-===+--，2015a e <∴，，故e >. 故应填)+∞.考点：抛物线；双曲线.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）8.602≈.【答案】(1) 增长率超过0040的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为2110050；（2）平均数0.3；标准差0.17. 【解析】 【分析】(1)本题首先可以通过题意确定100个企业中增长率超过0400的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过0400的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果．【详解】(1)由题意可知，随机调查的100个企业中增长率超过0400的企业有14721个，产值负增长的企业有2个，所以增长率超过0400的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为2110050．(2)由题意可知，平均值20.1240.1530.3140.570.71000.3y ，标准差的平方：222222110020.10.3240.10.3530.30.3140.50.370.70.3s11000.320.960.56 1.120.0296，所以标准差0.02960.0004740.028.6020.17s ．【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题． 18.已知函数()22(,)xf x e ax x R a R =--∈∈.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（I ）(21)2y e x =--；（II ）(,2]-∞. 【解析】分析：(1)先求切线的斜率和切点的坐标，再求切线的方程.(2)分类讨论求()min f x ⎡⎤⎣⎦，再解()min f x ⎡⎤⎣⎦≥0，求出实数a 的取值范围.详解：（Ⅰ）当1a =时，()22xf x e ax =--，()'21xf x e =-，()'121f e =-，即曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为21k e =-，又()123f e =-， 所以所求切线方程()212y e x =--.（Ⅱ）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立()min 0f x ⎡⎤⇔≥⎣⎦， 易知()'2xf x e a =-，①若0a ≤，则()'0f x >恒成立，()f x 在R 上单调递增；又()00f =，所以当[)0,x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，符合题意.②若0a >，由()'0f x =，解得ln 2a x =， 则当,ln2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 单调递减； 当ln,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以ln 2ax =时，函数()f x 取得最小值. 则当ln 02a≤，即02a <≤时，则当[)0,x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，符合题意. 当ln02a>，即2a >时， 则当0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，()()00f x f <=，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是(],2-∞.点睛：（1）本题主要考查导数的几何题意和切线方程的求法，考查利用导数求函数的最小值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答第2问由两次分类讨论，第一次是分类的起因是解不等式2xa e >时，右边要化成ln2a e ，由于对数函数定义域的限制所以要分类讨论，第二次分类的起因是ln 2ax =是否在函数的定义域{|0}x x ≥内,大家要理解掌握.19.如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离． 【答案】（1）见解析； （2417.【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离，得到结果. 【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥， 根据题意有3DE =117C E =，因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ， 所以1DE EC ⊥，所以113172DEC S ∆=设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有1111143232d ⨯=⨯⨯，解得d ==， 所以点C 到平面1C DE. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为2，点B 是椭圆上的动点，1ABF的面积的最大值为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQMN的最小值. 【答案】见解析. 【解析】试题分析：（1）由已知，有2c a =，可得b c =. 设B 点的纵坐标为()000y y ≠.可得1ABF S ∆ 的最大值()12a cb - 12=．求出1b =，a =即可得到椭圆C 的方程； （2）由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：1x my =-. 设()11,M x y ，()22,N x y ，(),P P P x y ，()2,Q Q y .联立22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得()222210m y my +--=.由弦长公式可得2212m MN m +=+PQ 22262m m +=+，由此得到PQ MN 的表达式，由基本不等式可得到PQ MN 的最小值.试题解析： （1）由已知，有c a =222a c =. ∵222a b c =+，∴b c =. 设B 点的纵坐标为()000y y ≠. 则()1012ABF S a c y ∆=-⋅ ()12a cb ≤-=即)1b b -=.∴1b =，a =∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：1x my =-. 设()11,M x y ，()22,N x y ，(),P P P x y ，()2,Q Q y .联立22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=.此时()2810m ∆=+>. ∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+.由弦长公式，得MN =12y y -=.整理，得2212m MN m +=+.又12222P y y m y m +==+，∴1P P x my =- 222m -=+.∴2P PQ =-22262m m +=+.∴2PQMN =2=2⎫=≥，=，即1m =±时等号成立.∴当1m =±，即直线l 的斜率为1±时，PQ MN取得最小值2.21.设函数21()ln(1)2f x x a x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()1xf x e <-. 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）先确定函数定义域，再求导()2 1x x a f x x++'=+，讨论导数的正负可得单调区间；（2）令()()21=ln 1-e 12x h x x x +++，求导根据单调性可得()()00h x h <=，从而得证. 详解：（Ⅰ）、()f x 的定义域为()1,+x ∈-∞由()()21ln 12f x x a x =++得()211a x x af x x x x++=+='++ ()0f x '=令得20x x a ++=14a ∆=-.①当10,4a ∆≤≥时，()0f x '≥恒成立， ()f x 在-1+x ∈∞（，）上单调递增. ②当0∆>时，()0f x '=的根为12x x ==1．当1-1x ≤，即0a ≤时，2-1x x ∈（，）递减，2+x x ∈∞（，）递增 2．当1-1x >，即104a <<时，12-1+x x x （，），（，）∈∞递增，12x x x ∈（，）递减综上所述：当0a ≤时，2-1x x ∈（，）递减，2+x x ∈∞（，）递增；当104a <<时，12-1+x x x （，），（，）∈∞递增，12x x x ∈（，）递减；当14a ≥时()f x 在-1+x ∈∞（，）上单调递增. （Ⅱ）()()211=ln 12a f x x x =++当时，所以令()()21=ln 1-e 12xh x x x +++所以只需要()()21=ln 1-e 12xh x x x +++在0+x ∈∞（，）上的最大值小于0. ()1'=-e 1x h x x x ++，∴令()'=0,0h x x =.∴令()()21(='(=1-e 01x g x h x g x x '∴-<+））.() '0h x ∴<()0+h x x ∈∞在，递减，()()00h x h <=，不等式成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C经过伸缩变换：x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程； （2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且1AB -，求α的值.【答案】(1) []()2230,2cos 1ρθπθ=∈+ (2) 3πα=或23π 【解析】试题分析：()1求得曲线1C 的普通方程，然后通过变换得到曲线2C 方程，在转化为极坐标方程()2在极坐标方程的基础上结合1AB =求出结果 解析：（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把'x x =，'y y =代入上述方程得，()22''1'03y x y +=≥， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥.令cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以2C 的极坐标方程为22233cos sin ρθθ=+ 232cos 1θ=+ []()0,θπ∈. （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩得1A ρ=，由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩得ρ=11=，∴1cos 2α=±. 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()2F x x m x =-++的图象的对称轴为1x =. （1）求不等式()2F x x ≥+的解集；（2）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求证：12924a b +≥. 【答案】(1) (,0][4,)-∞⋃+∞ (2)见解析 【解析】【详解】试题分析：(1)由函数的对称性可得0m =，零点分段求解不等式可得不等式()2F x x ≥+的解集 (2)由绝对值不等式的性质可得()2min f x M ==，则2a b +=，结合均值不等式的结论：1214222a b a b+=+ ()11422422a b a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 94≥，当且仅当23a =，43b =时取等号.题中的不等式得证. 试题解析：（1）∵函数()f x 的对称轴为1x =，∴()()02f f =∴0m =,经检验成立∴()2f x x x =+- 22,02,0222,2x x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，由()2f x x ≥+，得0222x x x ≤⎧⎨-+≥+⎩或0222x x <<⎧⎨≥+⎩或2222x x x ≥⎧⎨-≥+⎩.解得0x ≤或4x ≥，故不等式()2F x x ≥+的解集为][(),04,-∞⋃+∞. （2）由绝对值不等式的性质，可知()222x x x x -+≥--=，当且仅当02x ≤≤等号成立 ∴()2min f x M ==，∴2a b +=， ∴1214222a b a b +=+ ()11422422a b a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 12814422b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ ()195444≥⨯+= （当且仅当23a =，43b =时取等号）. 即12924a b +≥.。
四川省宜宾市叙州区第二中学校2021-2022高二数学下学期第四学月考试试题 文
四川省宜宾市叙州区第二中学校2021-2022高二数学下学期第四学月考试试题文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足()212i z i -=--，则复数z 等于 A.i -B.45i -+ C.45i -+ D.i2.若6名男生和9名女生身高（单位：cm ）的茎叶图如图，则男生平均身高与女生身高的中位数分别为A.179，168B.180，166C.181，168D.180，1683.设x ，y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2y z x =-的取值范围为A.22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]1,1-C.[]22-,D.[]3,3-4.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和3．若从图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为A.23B.89C.1213D.24255.已知实数x ，y 满足条件00220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的取值范围是A.26,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[)6-+∞,D.[)0,+∞6.若函数()325f x ax x x =-+-在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是 A.103a <<B.13a >C.103a <≤D.13a ≥7.已知直线:50l x y +-=与圆222:(2)(1)(0)-+-=>C x y r r 相交所得的弦长为22，则圆C 的半径r =A.2B.2C.22D.48.椭圆2242x y +=上的点到直线280x y --=的距离的最小值为 A.65B.35C.3D.69.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线与y 轴交于点A ，点()03,M y 在曲线C 上，3tan 4FAM ∠=，则FM = A.3pB.3C.4pD.410.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为 A.221189x y += B.2212718x y += C.2213627x y += D.2214536x y += 11.若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是A.B.C. D.12.已知函数()2cos xxf x e e x -=++，其中e 为自然对数的底数，则对任意a R ∈，下列不等式一定成立的是A.()()212f a f a +≥B.()()212f a f a +≤C.()()211f a f a +≥+D.()()21f a f a +≤第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省宜宾市第四中学20212021学年高二数学下学期期末模拟试题理
2021年春期宜宾市第四中学高二期末模拟考试数学（理）本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部份。
满分150分，考试时间120 分钟。
注意事项：1．答题前，务必先认真查对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置2．答选择题时，必需利用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必需利用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
第Ⅰ卷(60分)一．选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上)1.已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤，{}2|40B x x =-=，下列结论成立的是A ．B A ⊆ B ．AB A =C ．A B A =D ．{}2A B = 2.若复数z 知足20191z i i=-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+3.已知()21x x f x =-，()2x g x =则下列结论正确的是 A ．()()()h x f x g x =+是偶函数 B ．()()()h x f x g x =+是奇函数C ．()()()h x f x g x =是奇函数D ．()()()h x f x g x =是偶函数4.设()1213sin m x x dx -=+⎰，则多项式6x ⎛ ⎝的常数项是 A ．54 B ．54 C.203 D ．15165.将4本完全相同的小说，1本诗集全数分给4名同窗，每名同窗至少1本书，则不同分法有A ．24种B ．28种 C.32种 D ．16种6.2021年5月30日是咱们的传统节日“端午节”，此日小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机掏出两个，事件A “取到的两个为同一种馅”，事件B “取到的两个都是豆沙馅”，则P B AA ．14B ．34 C.110 D ．310 7.在激烈的市场竞争中，广告似乎已经变得不可或缺.为了准确把握广告费与销售额之间的关系，某公司对旗下的某产品的广告费用x 与销售额y 进行了统计，发现其呈线性正相关，统计数据如下表：广告费用x （万元） 23 4 5 销售额y （万元） 26 39 49 54按照上表可得回归方程a x yˆ4.9ˆ+=，据此模型可预测广告费为6万元的销售额为 A ．63.6万元 B ．65.5万元 C. 67.7万元 D ．72.0万元8.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若a B A =11，b D A =11，c A A =1，则向量=M B 1A ．c b a ++2121 B ．c b a ++-2121 C ．c b a +-2121 D ．c b a +--2121 9.已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)(')32(2>--x f x x 的解集为A ．),1()2,(+∞--∞B ．)2,1()2,( --∞C.),3()1,1()1,(+∞---∞ D ．),2()0,1()1,(+∞---∞10.已知直线a x y l +=:1别离与直线2l ：)1(2+=x y 及曲线C ：x x y ln +=交于B A ,两点，则B A ,两点间距离的最小值为A ．23B ．3 C. 556 D ．553 11．设为抛物线C ：y 2=2px （x ＞0）的准线上一点，F 为C 的核心，点P 在C上且知足|PF|=m|PA|，若当m 取得最小值时，点P 恰好在以原点为中心，F 为核心的双曲线上，则该双曲线的离心率为A ．3B ．C ．D ．12.已知函数()()f x x ∈R 知足()4(2)f x f x -=-+，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()mi ii x y =+=∑ A.m 3 B.m 6 C.2m D.4m第II 卷(90分)二.填空题：本题共4小题，每小题5分13.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = . 14.α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）若是m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）若是m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）若是α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）若是m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）15.已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在点（1，-3）处的切线方程是_______16.已知函数()1ln x f x x x -=+，则f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值等于 ． 三.解答题：解承诺写出文字说明，证明进程或演算步骤.17.已知函数bx ax x x f --=233)(，其中b a ,为实数.(I)若)(x f 在点)2,1(处的切线与x 轴彼此平行，求b a ,的值；（2）若)(x f 在区间]2,1[-上为减函数，且a b 9=，求a 的取值范围.18.最近几年来空气质量慢慢恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引发心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是不是与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，取得了如表的列联表：患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 20 5 25 女10 15 25 合计 30 20 50(I)是不是有99.5%的把握以为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（Ⅱ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，此刻从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为ξ，求ξ的散布列、数学期望.参考格式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=. 下面的临界值仅供参考： )(02k K P ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC =45°， AD =AC =1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =1，M 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ；（Ⅱ）设直线AM 与平面ABCD 所成的角为α，二面角M —AC —B 的大小为β，求sin α·cos β的值.20．（本小题满分12分）已知以坐标原点O 为圆心的圆与抛物线C ：)0(22>=p px y 相交于不同的两点B A ,，与抛物线C 的准线相交于不同的两点E D ,，且4||||==DE AB .(I)求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若不通过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点N M ,，且知足ON OM ⊥.证明直线l 过x 轴上必然点Q ，并求出点Q 的坐标.21.（本小题满分12分）(I)讨论函数x x 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.请考生在[22]、[23]题中任选一题作答。
2021-2022学年四川省宜宾市第四中学校高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年四川省宜宾市第四中学校高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，则复数43i34iz +=-的模长是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】先计算出z ，再求模长即可. 【详解】()()()()43i 34i 43i 25ii 34i 34i 34i 25z +++====--+，则1z =. 故选：D.2．某班有学生48人，现将所有学生按1，2，3，…，48随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，抽得编号为6,,22,30,,46x y ，则x y +=（ ） A ．52 B ．50 C ．62 D ．54【答案】A【分析】先求出抽样间隔，由此求出,x y ，进而求出x y + 的值 【详解】采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本 则抽样间隔为：4886= 6814,30838x y ∴=+==+=143852x y ∴+=+=故选：A3．社会主义核心价值观含有12组词，每组词的笔画的和依次为24､10､12､19；11､17､9､16；18､17､17､16，则这12个笔画数的中位数､众数分别是（ ） A ．16和17 B ．16.5和17 C ．17和16 D ．16和16【答案】B【分析】将12个笔画数按从小到大的顺序排列，由中位数和众数的定义即可求解. 【详解】将12个笔画数按从小到大的顺序排列为： 9,10,11,12,16,16,17,17,17,18,19,24，所以中位数是161716.52+=，众数是17， 故选：B.4．“a b >”是“22ac bc >”的条件A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 【答案】B【详解】试题分析：当22ac bc >成立时有a b >成立，反之不正确，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要而不充分条件 【解析】充分条件与必要条件5．已知曲线的参数方程是23cos (13sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数）则下列直线是其对称轴的是（ ）A ．350x y --=B ．460x y -+=C ．370x y --=D ．320x y --=【答案】C【分析】由曲线的参数方程可知该曲线为圆,故求出圆心再判断选项中经过圆心的直线即可.【详解】因为曲线的参数方程是23cos (13sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数）,故该曲线是以()2,1-为圆心,半径为3的圆.又选项中仅370x y --=经过()2,1-,即370x y --=是其对称轴. 故选：C【点睛】本题主要考查了圆的标准参数方程,同时也考查了圆的对称性.属于基础题.6．设命题2:,20p x R x x ∃∈-+=；命题:q 若1m ，则方程22121x ym m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，那么，下列命题为真命题的是 A ．()p q ∨⌝ B ．()()p q ⌝∨⌝C ．p q ∧D ．()p q ∧⌝【答案】B【详解】180,∆=-<∴不存在x 使220,x x p -+=∴为假，p ⌝为真，又1m >时，210,m m ->>∴方程22121x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，q 为真，q ⌝为假，()()p q ∴⌝∨⌝为真，故选B.7．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞【答案】B【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ．【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．8．已知长方体1111ABCD A B C D -的底面为正方形，1DB 与平面ABCD所成角的余弦值为BC 与1DB 所成角的余弦值为 ABC ．13D ．23【答案】C【分析】设AB a，则BD =，13DB a =，由//BC AD ,所以BC 与1DB 所成角，即为AD 与1DB 所成角，在1Rt DAB ∆中，即可求解.【详解】由题意，在长方体1111ABCD A B C D -中，设AB a，则BD =，又1BD DB =13DB a ∴=， 因为//BC AD ,所以BC 与1DB 所成角，即为AD 与1DB 所成角， 在1Rt DAB ∆中，111cos 33AD a ADB B D a ∠===， BC ∴与1DB 所成角的余弦值为13.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角，利用平行线转化为两条相交直线所成的角是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.9．已知函数32()(1)2f x x f x '=-+的导数为()'f x ，则(1)f '=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】求出导函数，令1x =可得结论．【详解】由已知2()32(1)f x x f x ''=-，所以(1)32(1)f f =-''，解得(1)1f '=． 故选：C ．10．已知函数()e e x x f x x a =--有且仅有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．34,0e ⎫⎡-⎪⎢⎣⎭B ．(1,0]-C ．3342,ee ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．(1,0)-【答案】D【解析】()0f x =变为e e x x x a -=，引入新函数()e e x x g x x =-，利用导数确定它的单调性，极值，可结合大致图象得出参数范围．【详解】解：令函数()e e 0x x f x x a =--=，则有e e x x x a -=，令()e e x x g x x =-，则()g x a =．()e e e e x x x x g x x x '=+-=，∴当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．∴当0x =时，()g x 取得最小值，且min ()(0)1g x g ==-，显然(1)0g =，当1x <时，()0g x <恒成立．由此可以画出函数()g x 的大致图象，如图所示，由图象可得，要使函数()f x 有且仅有两个不同的零点，只需(0)0g a <<，即10a -<<． 故选：D ．11．函数()f x 在定义域()0+∞，内恒满足()()()'3f x xf x f x <<，其中'()f x 为()f x 的导函数，则（ ） A ．()()31916464f f << B ．()()3931644f f << C ．()()32736444f f << D ．()()33144f f << 【答案】C【分析】由题意分别构造函数3()()(),()(0)f x f x g x h x x x x==>，然后利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性比较大小即可【详解】解：令()()(0)f x g x x x =>，则''2()()()xf x f x g x x -=， 因为()f x 在定义域()0+∞，内恒满足()()()'3f x xf x f x <<， 所以()()'0xf x f x ->，()()3f x f x <，所以''2()()()0xf x f x g x x -=>，()0f x >，所以()g x 在()0+∞，上单调递增， 所以(3)(4)g g <，即(3)(4)34f f <，所以(3)3(4)4f f <， 令3()()(0)f x h x x x =>，则()3'2''243()3()()3()()x f x x f x xf x f x h x x x --==， 因为()f x 在定义域()0+∞，内恒满足()()()'3f x xf x f x <<， 所以()h x 在()0+∞，上单调递减， 所以(3)(4)h h >，即33(3)(4)34f f >，即(3)27(4)64f f >， 所以()()32736444f f <<， 故选：C12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x π时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 二、填空题13．已知函数()cos 2f x x x =⋅+，则()f x 在点()()0,0M f 处的切线方程为___________. 【答案】20x y -+=【分析】由导数的几何意义求出切线的斜率()0k f '=，再求出()0f ，即可求解. 【详解】由()cos 2f x x x =⋅+可得()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+⋅-=-， 所以切线的斜率()0cos00sin01k f '==-⨯=，()00cos022f =⋅+=，所以切点为()0,2M ，所以切线为2y x -=，即20x y -+=， 故答案为：20x y -+=.14．若曲线3()2f x x x =-在点P 处的切线与直线40x y --=平行，则点P 的坐标为________.【答案】(1,1)- 或(1,1)-【分析】示出导函数，由导数为1求得切点坐标．【详解】2()32f x x '=-，由2321x -=得1x =±，(1)1f =-，()11f -=， 所以切点坐标为(1,1)-或(1,1)-． 故答案为：(1,1)-或(1,1)-．15．函数ln y x x =的单调递减区间是____ 【答案】1(0)e -,【解析】求导，根据()'0f x <可得答案.【详解】由题意，可得()'ln 1,(0)f x x x =+>，令()'0f x <，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0)e -,.故答案为：1(0)e -,.【点睛】本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题. 16．已知函数()||x x f x e=，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_________.【答案】1(1,1)e+【分析】方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，即方程()[]()1()10f x m f x ⎡⎤---=⎣⎦有四个不相等的实数根，则()()=1f x m -或()=1f x 有四个不相等的实数根，结合图象利用分类讨论()=1f x 与()()=1f x m -的根的情况，其中当0x >时分别构造函数()x g x e x =-与()()1xh x m e x =--分析，最后由转化思想将函数()h x 有两个零点转化为()min h x 小于0构造不等式求得答案.【详解】方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，即方程()[]()1()10f x m f x ⎡⎤---=⎣⎦有四个不相等的实数根，则()()=1f x m -或()=1f x 有四个不相等的实数根， 因为函数()||0101xx f x m m e =≥⇒-≥⇒≥， 对方程()=1f x 的根分析，令||1||x x x x e e=⇒=，由图象分析可知，当0x <时，必有一根，当0x >时，令()xg x e x =-，则()10x g x e '=->，所以函数()g x 单调递增，故()()00010g x g e >=-=>，所以当0x >时，方程()=1f x 无根，故方程()=1f x 只有1个根，那么方程()()=1f x m -应有3个根， 对方程()()=1f x m -的根分析，令()||1||1xxx m x m e e =-⇒=-，由图象分析可知，当0x <时，必有一根，当0x >时，方程()||1x x m e =-应有2两个不等的实根，其等价于方程()1||0xm e x --=有2个不等的实根，令()()1x h x m e x =--，则()()11xh x m e '=--，且其在0x >内有两个零点，显然当()()()211020xm h x m e h m ''≥⇒=-->=-≥，函数()h x 单调递增，不满足条件，则2m <；令()()110110ln 011x xh x m e e x m m '=⇒--=⇒=⇒=>--，则函数()h x 在区间10,ln 1m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在区间 1ln ,1m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭单调递增； 所以函数()h x 在1ln 1x m =-取得极小值，同时也为最小值，()()()1ln 1min11ln 1ln ln 111m h x h m e e m m m -⎛⎫==--=-⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭， 函数()h x 若要有两个零点，则()()()min 10ln 10111h x e m e m m e <⇒-<⇒-<⇒<+⎡⎤⎣⎦， 综上所述，实数m 的取值范围是1(1,1)e +.故答案为：1(1,1)e+【点睛】本题考查了函数与方程的数学思想，还考查了由函数零点个数求参数取值范围与利用导数分析方程的根的个数，属于难题. 三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点P （2，2）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ＝0. （1）求C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于A ，B 两点，求PA PB PA PB-⋅的最大值.【答案】（1）24y x =；（2【解析】（1）把曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，即可求出曲线C 的极坐标方程；（2）由已知直接写出直线l 的参数方程，把直线l 的参数方程代入曲线C 的极坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t 的几何意义求解. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=，两边同时乘以ρ，得222cos 4cos 0ρρθρθ--=，把互化公式代入可得：22240x y x x +--=，即24y x =，所以C 的直角坐标方程为y 2＝4x.（2）设直线l 的倾斜角为α()0α≠，可得参数方程为：22x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入抛物线方程可得：()22sin 4sin 4cos 40t t ααα+--=，则12244cos sin t t sin ααα-+=，1224t t sin α=-＜0，∴1212cos sin PA PB t t PA PBt t αα-+==-⋅4πα⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭当且仅当34πα=时，等号成立， ∴PA PB PA PB-⋅【点睛】1.极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程；2.经过点()00,P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为1t ，2t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： （1）1202t t t +=； （2）1202t t PM t +==； （3）21AB t t =-； （4）12PA PB t t =.18．经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数x （010x <≤，x N ∈）与每辆车的销售价格y （单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格w （单位：万元）与使用年数x （010x <≤，x N ∈）的函数关系为()()20.05 1.7517.2,061.517.7,610x x x w x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-【答案】（Ⅰ） 1.4518.7y x =-+；（Ⅱ）3x =时所获得的利润z 最大．【分析】（Ⅰ）计算x ，y ，将数据代入公式得b ，a ，即可求解；（Ⅱ）所获得的利润z y w =-得出关于x 的分段函数，利用二次函数和一次函数的单调性，求其最值即可.【详解】（Ⅰ）24681065x ++++==，16139.57 4.5105y ++++==， 51521641369.58710 4.5561058ii i x y xy =-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑，522222222152468105640i i xx =-=++++-⨯=∑， 所以51522158ˆ 1.4540ii i i i x y nx y b x nx ==--===--∑∑， ()101456187ˆay bx ..=-=--⨯=， 所以 1.4518.7y x =-+，所以y 关于x 的回归直线方程为 1.4518.7y x =-+.（Ⅱ）由题意知：所获得的利润()()21.4518.70.05 1.7517.2,061.4518.7 1.51771ˆ.,60x x x x z y w x x x ⎧-+--+<≤⎪=-=⎨-+--+<≤⎪⎩， 即20.050.3 1.5,060.051,610x x x z x x ⎧-++<≤=⎨+<≤⎩， 当06x <≤时，()220.050.3 1.50.053 1.95z x x x =-++=--+，此时3x =时，max 1.95z =，当610x <≤时，0.051z x =+单调递增，所以当10x =时，max 0.05101 1.5z =⨯+=，综上所述：3x =时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大．19．已知函数3()395f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49-【解析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数， []1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题. 20．已知函数2(),x f x e x a x R =-+∈的图像在点0x =处的切线为y bx =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当x ∈R 时，求证：()2f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2()1x f x e x =--；（2）证明见解析；（3）(,2)e -∞-.【分析】（1）根据(0)10(0)1f a f b =+=⎧⎨=='⎩求出a 即可得解； （2）作差构造函数，利用导数可证不等式成立；（3）参变分离后，构造函数，利用导数求出函数的最值即可得解.【详解】（1）2(),()2x x f x e x a f x e x '=-+=-，由已知得(0)10(0)1f a f b =+=⎧⎨=='⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故2()1x f x e x =--. （2）令2()()1x g x f x x x e x =+-=--，由()10x g x e '=-=得0x =.当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.∴min ()(0)0g x g ==，从而2()f x x x ≥-+.（3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立⇔()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()(),0f x h x x x =>，∴()()()222221(1)1()()()x x x x e x e x x e x xf x f x h x x x x -------'-'=== 由（2）可知当(0,)x ∈+∞时，210e x -->恒成立令()0h x '>，得1x >；()0h x '<得01x <<.∴()h x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)，∴min (1)()(1)21f h x h e ===-， ∴min ()(1)2k h x h e <==-，∴实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤.21．已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的短轴长等于F 距C 最远处的距离为3．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上），若OE OA OB =+，求四边形AOBE 面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）1 【分析】（1）由已知得2b 3,3a c =+=，即可得椭圆方程.（2）由题意设l :x ty 1=+，与椭圆方程联立得12y y +，12y y ，代入ΔAOB 12S 2S y y ==-四边形面积化简求最值即可.【详解】（1）由已知得2b 3=，222a c 3,abc +==+，22x y C 143∴+=所求椭圆的方程为 （2）因为过F ()1,0的直线与C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），所以设l :x ty 1=+， 221143x ty x y =+⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩ ()223t 4y 6ty 90++-= 设()()1122A x y B x y 、、、则1221226t y y 3t 49y y 3t 4-⎧+=⎪+⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎪⎩OE OA OB AOBE =+所以为平行四边形ΔAOB 12S 2S y y ∴==-==，m 1≥212m 4S 13m 13m m==++得，由对勾函数的单调性易得当m 1=即t 0=时，max S 3= 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程和四边形的面积的最值问题，转化为两个三角形的面积最值是关键，属于中档题.22．已知函数()ln a x f x x-=. （1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（2）讨论()f x 在()0,1上的单调性；（3）证明：在（1）的条件下()0x f x xe +>.【答案】（1）1a =-；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据极值的性质求出实数a 的值，再根据极值的定义进行验证即可； （2）根据分类讨论法，结合导函数的正负性进行求解即可.（3）构造新函数()2ln 1x g x x e x =--，利用导数的性质通过数学运算证明即可.【详解】（1）解：因为()21ln a x f x x --+'=， ()f x 在1x =处取得极值，则()10f '=，所以1ln10a --+=，解得1a =-，当1a =-时，()2ln x f x x'=，当()0,1x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减，当1x >时， ()0,()f x f x '>单调递增，所以1x =是函数的极值，因此1a =-；（2）解：()21ln a x f x x --+'=， 当1a ≥-时，在()0,1x ∈上，()0f x '<恒成立，()f x 单调递减；当1a <-时，令()0f x '=，解得1a x e +=，当()10,a x e +∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,1a x e +∈时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上，当1a ≥-时，()f x 在()0,1上单调递减；当1a <-时，()f x 在()10,a e +上单调递减，在()1,1a e +上单调递增. （3）证明：由（1）知()1ln x f x x --=，则()2ln 1x x x e x f x xe x--+=， 令()2ln 1x g x x e x =--，()212x x g x xe x e x'=+-，()g x '在()0,∞+上单调递增， 当0x →时，()g x '→-∞，当12x =时，12152024g e ⎛⎫'=-=> ⎪⎝⎭， 则010,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '=，即()020012x e x x =+， 则当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，当()0,x +∞时，()()0,g x g x '>单调递增， 所以()()0001ln 12g x g x x x ≥=--+， 令()11ln 1,0,22h x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪+⎝⎭，()()21102h x x x '=--<+，所以()h x 单调递减， 所以()13ln 2025h x h ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭， 所以()0g x >，所以()0x f x xe +>，得证.【点睛】关键点睛：根据不等式的特征构造函数，利用导数性质证明是解题的关键.。
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四川省宜宾市第四中学校2021-2021学年高二下学期第四学月考试（文）第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()212z i i +=-，则复数z 的虚部为 A ．i -B ．1-C ．iD ．12．命题“[1,),x ∀∈+∞210x x +-≥”的否定形式是 A ．(,1)x ∃∈-∞，使得210x x +-< B ．[1)x ∃∈+∞，使得210x x +-< C ．(,1)x ∀∈-∞，使得210x x +-≥D ．[1)x ∀∈+∞，使得210x x +-<3.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），（0x ，0y ）的线性回归方程为ˆ2yx =+，则00x y -的值为 A. -3 B. -5C. -2D. -14．双曲线221169x y -=上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是A ．12B ．14C ．16D ．185．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为 A ．200吨B ．300吨C ．400吨D ．600吨6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表：A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”7．“a =是“函数())f x ax =为奇函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．圆22244205x y x y ++-+=上的点到直线340x y +=的距离的最大值是A ．35B ．15C ．25+ D ．25- 9.已知函数3()f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减，且()2ag x x x=-在区间(1,2]上既有最大值，又有最小值，则实数a 的取值范围是 A ．2a >-B.3a ≥-C. 32a -≤<-D. 32a -≤≤-10．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3B ．3C ．3D ．1311．设A ，B 是抛物线24y x =上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则2212k k +的最小值为A ．B ．2CD ．112．已知函数)1010(82)(222+--++-=x x a x x x f 有唯一零点，则a =A ．2B ．10C ．4D ．7第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数()32f x x ax x b =+++在1x =处取得极值，则实数a =______．14．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_________________ 15．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的12以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（lg 20.3010=，lg30.4771=）16．已知点()4,0A ，抛物线C ：22y px =（04p <<）的准线为l ，点P 在C 上，作PH l⊥于H ，且PH PA =，120APH ∠=︒，则p =__________． 三．解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数()3213f x x ax bx =-+（,a b R ∈），()()021f f ''==. （I ）求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（II ）若函数()()4g x f x x =-， []3,2x ∈-，求()g x 的单调区间和最小值.18．（12分）为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表： 场数 9 10 11 12 13 14 人数10182225205将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？非歌迷歌迷 合计 男 女 合计（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率． P （K 2≥k ）0.05 0.01 k3.8416.63519．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （I ）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（II ）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积. 20．（12分）已知直线2:220(1)l x ay a a --=>，椭圆22122:1,,x C y F F a+=分别为椭圆的左、右焦点.(I)当直线l 过右焦点2F 时，求椭圆C 的标准方程；(II)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且2,2.AG GO BH HO ==，若点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数a 的取值范围. 21．（12分）已知函数()ln 1()f x a x x a =-+∈R （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）当0a <时，对任意的()1212,(0,1],x x x x ∈<，都有()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 0.θρθ-=（I ）求曲线C 和直线l 的直角坐标系方程；（II ）已知()0,1P 直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|2||1|f x x x =++-．（I ）求证：()3f x ≥； （II ）求不等式2()f x x ≥的解集．参考答案1．B 2．B3．A4．B5．C6．C7．A8．C9．C10．A11．D12．C13．2-14. 1y x =+ 15．616．58 17．（1）因为()22f x x ax b =-+'，由()()021f f ''==即1{441b a b =-+=，得1{1a b ==，则()f x 的解析式为()3213f x x x x =-+，即有()33f =， ()34f '= 所以所求切线方程为490x y --=. （2）∵()32133g x x x x =--，∴()223g x x x =--'，由()2230g x x x =-->'， 得1x <-或3x >，由()2230g x x x =--<'，得13x -<<，∵[]3,2x ∈-，∴()g x 的单调增区间为[]3,1--，减区间为(]1,2-，∵()()223923g g -=-<=-， ∴()g x 的最小值为9-.18．（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下： 非歌迷 歌迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 7525100…（3分）因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…（6分）（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}其中a i 表示男性，i=1，2，3，b i 表示女性，i=1，2． Ω由10个等可能的基本事件组成．…（9分）用A 表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2） }，事件A 由7个基本事件组成． ∴P （A ）=…（12分） 19．（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥,CD PD ⊥.由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E .由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB x =，则由已知可得2AD x =，22PE x =. 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=. 由题设得31833x =，故2x =.从而2PA PD ==，22AD BC ==，22PB PC ==. 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 606232222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+ 20．解：(1)由已知可得直线l 与x 轴的交点坐标2(,0)2a ，所以22ac =①，又221a c -=②，由①②解得22a =，21c =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，由2222220,1,x ay a x y a ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩得223428440a y a y a a ++-=， 由()()2324264448416+1280a a a a a a ∆=-⨯-⨯=>，又1a >，解得1a <<①，由根与系数关系，得3122482a a y y a +=-=-，4221224488a a a y y a --== 由2AG GO =，2BH HO =可得11,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33x y H ⎛⎫⎪⎝⎭，()()2212122||99x x y y GH --=+，设M 是GH 的中点，则1212,66x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，由已知可得12MO GH <，即()()222212121212166499x x y y x x y y ++++⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦⎝⎭， 整理得12120x x y y +<，又()23422121212124222224a y y a y y aay a ay a x x +++++=⋅=， 所以()2341212124204a y y a y y a y y ++++<，所以()()23412124420a y y ay y a ++++<，即()22344442082a a a a a -⎛⎫+⨯+⨯-+< ⎪⎝⎭，即240a -<，所以22a -<< ②， 综上所述，由①②得a 的取值范围为12a <<． 21．（1）定义域为(0,)+∞，()1a a xf x x x'-=-=， 当0a 时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '<解得x a >，由()0f x '>解得0x a <<， 即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无增区间； 当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞ （2）()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<-⎪⎝⎭，即()()121244f x f x x x -<-，令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增， 所以2244()()10a g x f x x x x''=+=-+在(0,1]上恒成立， 即4a x x-在(0,1]上恒成立，只需max 4a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而函数4y x x =-在(0,1]单调递增，所以max4143a x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，综上所述，实数a 的取值范围为[3,0)-. 22．（1）由题知2x y m +=，2x y m -=，消去m 有22224144x y x y -=⇒-=，即曲线22144x yC:-=，因为sin cos 0cos 0sin x x y θρθρθρθ-==⇒-=⎨⎪=⎩， 即直线0x l -=；（2）易知点()0,1P 在直线l 上，且直线l 的倾斜角为6π， 则直线l 的参数方程为2112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）， 因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以有22211145022t t t ⎫⎛⎫-+=⇒--=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得11t =，2t =，根据参数的几何意义有11PA t =，21PB t ==有12t t +=，1210t t ⋅=，1212121111105PA PB t t t t t t +=⋅+=+==.23．（1）证明：()()()21213f x x x x x =++-≥+--=．（2）()21,2,3,21,21,1,x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩所以22,21,x x x ≤-⎧⎨--≥⎩或221,3,x x -<<⎧⎨≥⎩或21,21,x x x ≥⎧⎨+≥⎩解得1x ≤≤+{|1x x ≤≤．。