5-1定积分的概念及性质

n
S f (i )xi
i1
.
分法越细，越接近精确值
x b
4 取极限
令分法无限变细
n
记
S=
lim
i1
f (i .). x. i.
b
f (x)dx
a
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v v (t) C [ T 1 ,T 2 ],且 v(t)0,求在运动时间内物体所经过的路程 s.
怎样的分法，也 不 论 在 小 区 间 [ x i 1 ,x i] 上
点 i怎 样 的 取 法 ， 只 要 当 0 时 ， 和 S总 趋 于
确 定 的 极 限 I， 我 们 称 这 个 极 限 I 为 函 数 f ( x )
在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 ， 记为
积分上限 b
播放
曲边梯形如图所示， 在区 [a,b间 ]内插入若
个分a点 x0 ， x1x2 xn1xnb,
把区间[a,b]分成n y
个小区间[xi1, xi ]， 长度为xi xi xi1;
在每个小[区 xi1,间 xi]
上任取一 i，点 o a x 1
b xi1 i x i xn1
x
以 [xi1,xi]为底 f(i， )为高的小矩形面
因 为 f(x )在 区 间 [ 0 ,1 ]上 连 续 ， 且 f(x ) 0 所 以 lf n ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 有 意 义 且 可 积 ,
limn lnfi 1 ni1 n n
01lnf(x)dx
故 lim n f1f2 fn n n n n
1
e0lnf
(x)dx
.
三、定积分的性质
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
解决步骤:
1)分割(大化小).
在 [T 1,T 2]中任n意 1个 插 分 ,将入 它分点 成 n 个小段 [ti 1 ,ti](i 1 ,2 , ,n ),在每个小段上物体经 过的路程为 si(i1,2, ,n)
Si f(i)xi
3 求和(积零为整)
n
S f (i )xi
i1
.
分法越细，越接近精确值
x b
4 取极限
令分法无限变细
.. .
◇ 曲边梯形的面积
元素法
y oa
f (i)
S
x x i i i 1 .
y=f (x)
1分割(化整为零)
2 以直代曲
(以常代变)
Si f(i)xi
3 求和(积零为整)
将 [a , b] 分成 n 等份: xbna,
x i a i x ( i 0 ,1 , ,n )
记 f( x i) y i( i 0 ,1 , ,n ) o a x i 1x i
bx
1.
b a
f
(x)dx
y 0 x y 1 x y n 1 x
b n a (y 0 y 1 y n 1 ) (左矩形公式)
A if(i) xi
曲边梯形面积的近似值为
n
Af(i )xi
i1
当分割无限加 ,即细小区间的最大长度
max{x1,x2,xn}
趋近于零 ( 0)时，
n
曲边梯形面积为
Alim
0i1
f(i)xi
解决步骤小结 :
1) 分割(大化小)：在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b
eln n l i m nf n 1 f n 2 f n n
极限运算与对数运算换序得
en l i m ln nf n 1 f n 2 f n n
lim1 n lnf i e e nni1 n
n
lim lnf
ni1
ni n1
指 数 上 可 理 解 为 ： ln f(x )在 [0 ,1 ]区 间 上 的 一 个 积 分 和 ． 分 割 是 将 [0 ,1 ] n 等 分 分 点 为 x i n i， （ i 1 ,2 , ,n ）
定理2 设 函 数 f( x ) 在 区 间 [ a ,b ]上 有 界 ， 且 只 有 有 限 个 间 断 点 ， 则 f(x)在 区 间 [ a , b ] 上 可 积 .
3、定积分的几何意义
f(x)0, abf(x)dxA 曲边梯形的面积 f(x)0, abf(x)dxA曲边梯形的面积的负值
为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森 公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.
例 4 设函数 f ( x)在区间[0,1]上连续，且取正值.
1
e . 试证 lin m f 1 f 2 f n n n n n
lnf(x)dx
0
证明 利用对数的性质得
ln i m n fn 1fn 2 fn n
f
(u)du
（ 2 ） 定 义 中 区 间 的 分 法 和 i的 取 法 是 任 意 的 .
（ 3 ） 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 存 在 时 ，
称 f(x )在 区 间 [ a ,b ] 上 可 积 .
2. 可积的充分条件:
定理1 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 连 续 时 ， 称 f( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 可 积 .
y f(x )(f(x ) 0 ) 及 x轴，以及两直线 xa,xb
所围成 , 求其面积 A .
h a
a
b
h
y f (x)
A?
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 以直代曲：在第i 个窄曲边梯形上任取 i[xi1,xi]
(常代变)
y
作以[xi1, xi]为底 , f (i )
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 Ai , 得
oa x1
xi1 x i bx i
A i f(i) x i ( x i x i x i 1 ,) i 1 ,2, ,n)
求和(近似和) , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、定积分的定义
1. 定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a ,b ]中 任 意 插 入
若干个分点a x x x x x b
012
n 1 n
把 区 间 [ a , b ] 分 成 n 个 小 区 间 ， 各 小 区 间 的 长 度 依 次 为
1、基本内容
对定积分的补充规定:
（ 1 ） 当 a b 时 ， a bf(x )d x 0 ；
积分和
n
af(x )d x I l i0i m 1f(i) x i
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
注意：
（ 1 ） 积 分 值 仅 与 被 积 函 数 及 积 分 区 间 有 关 ，
而 与 积 分 变 量 的 字 母 无 关 .
b
a
f
(x)dx
b
a
f
(t)dtab
3) 求和(近似和)：.
n
n
A Ai f (i)xi
i1
i1
4) 取极限. 令 ma{xxi},则曲边梯形面积 1in
n
y
A l im0i1Ai
n
limf 0i1
(i)xi
o a x1 xi1 x i bx i
◇ 曲边梯形的面积 f (i)
y
o
a x1 x2
x i i x i1
元素法
2.
b a
f
(x)dx
y 1 x y 2 x y n x
b n a (y 1 y 2 y n ) (右矩形公式)
y
b
3. a f (x)dx
n 1 i1
12[yi1yi]x
o a xi1x i
bx
b n a 1 2 (y 0 y n ) (y 1 y n 1 )(梯形公式)
解 将 [0 ,1 ]n 等 分 ， 分 点 为 x i n i， (io 1 ,2 , ni,n )1 x
小 区 间 [x i 1 ,x i]的 长 度 x i n 1 ， (i 1 ,2 , ,n )
取 i x i， ( i 1 ,2 , ,n )
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
i1
1
limx(21x 1) x
lim
x
2x 1
1 ln2,
1
limn(2n 1)ln2,
x
n
2 1
n1
1
dx 1x
lim
0 i1
i
xi
limn(2n 1)ln2. n
例3. 用定积分表示下列极限:
(1)
lim1 n
nni1
1i n
(2)nl i m 1p2p n p 1 np
解:
(1)
x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ， 在 各 小 区 间 上 任 取
一 点 i （ i x i） ， 作 乘 积 f ( i ) x i( i 1 , 2 , )
n
并 作 和 Sf(i)xi，
i1
记maxx{1,x2,,xn}，如 果 不 论 对 [a,b]
第五章 定积分
不定积分 积分学
定积分
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
教学目的与要求：
• 理解定积分的概念 • 了解定积分的几何意义
• 重点： 定积分的概念
一、定积分问题举例
矩形面积 ah 梯形面积 h(a b)
2
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线
y=f (x)
1 分割(化整为零)
2 以直代曲
(以常代变)
Si f(i)xi
3 求和(积零为整)
n
S f (i )xi
i1
.
分法越细，越接近精确值
x
x n1 b
.
.
◇ 曲边梯形的面积 f (i)
y
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
1 分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
小 区 间 的 长 度 x i q i q i 1 q i 1 ( q 1 ) ,
取 i q i 1 ， （ i 1 , 2 , , n ）
n
i1
f (i )xi
i
n 1
1
i
x
i
in1q1i1qi1(q1)
n
1
(q 1) n(q1) 取qn 2 即q2n
i1
n
1
f (i )xi n(2n 1),
2)以直代曲(常代变).
任i取 [ti 1,ti],以v(i)代替变,速得
siv(i)ti (i1,2, ,n)
3)求和(近似和).
n
s v(i)ti
i1
4) 取极限 .
n
sl im0 i1v(i)ti
(maxti) 1in
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“分割(大化小) , 以直代曲(常代变) ,
A1 Βιβλιοθήκη Baidu2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2 A 3 A 4
各部分面积的代数和
几何意义：
它是介x于轴、函数 f(x)的图形及两条 直线xa, xb之间的各部分面数 积和 的． 代 在x轴上方的面积取在 正x号轴；下方的面 积取负号．
例1 利用定义计算定积分
1 x2dx. 0
y y x2
n
i2
3
n ( n 1) 2
n
n
i1
i 2
1 6
n(n 1 )2 (n 1 )
i 1
21
例2
利用定义计算定积分
1
dx x
.
解 在 [ 1 , 2 ] 中 插 入 分 点 q , q 2 , , q n 1 ,
典 型 小 区 间 为 [ q i 1 , q i ] ， （ i 1 , 2 , , n ）
lim1 n
nni1
1ni nl im in1
1i 1 nn
xi
1
0 1xdx
0
i
i1 i
1x
nn
(2)
nl i m 1p2p n p 1 npnl imin1
i n
p 1
n
xi
1x p dx 0
i
说明: 设 f(x ) C [a ,b ],则bf(x)d x存在 ,根据定积 a
分定义可得如下近似计算方法: y
i1
i1
i 1
n
i1
i n
2
1 n
1
n3
n
i2
i 1
n 13n(n1)62 (n1)
161n12n1, 0 n
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i2xi
y
y x2
lim 11121 n6 n n
1 3
.
o
i 1x
n
[注] 利用 (n 1 )3 n 3 3 n 2 3 n 1 ,得
( n 1 ) 3 n 3 3 n 2 3 n 1
n 3 ( n 1 ) 3 3 ( n 1 ) 2 3 ( n 1 ) 1
2 3 1 3 3 1 2 3 1 1
两端分别相加, 得
(n1)3 13 (1 222 n2) 3 (1 2 n )n
即
n33n23n3