5-1定积分的概念及性质

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5-1定积分的概念和性质

积分和式
被
被
积
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
[a, b] 积分区间
注：
（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b
a f ( x)dx

b
a
f
(t
)dt
b
a f (u)du
（2）定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时，
1) x dx
2
2)
4 x 2 dx
1
0
返回
定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a

b
b
时， a
fLeabharlann (x)dx
0；
b
a
（2）当a b时， a
f ( x)dx b
f ( x)dx.
说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．
b
b
b
性质1 a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx .
λ max{x1 , Δx2 ,Δxn } 趋近于零 (λ 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A

lim
0
i 1
f
(xi )xi
返回
定积分的定义
定义设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
b

5(1)-定积分的概念与性质

第五章定积分
definite integral
定积分和不定积分是积分学的两个主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 ---一种认识问题、分析问题、解决问题的思想方法.
1
第一节定积分的概念与性质
definite integral
定积分问题举例定积分的定义定积分的意义函数的可积性定积分的性质
(2) 取近似 si v( i ) ti (i 1,2, n)
n
某时刻的速度
(3) 求和 s v( i ) ti
i 1
(4) 取极限 max{ t1,t2, ,tn}, 令 0
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
7
定积分的概念与性质
二、定积分的定义
定义设函数f (x)在[a,b]上有界,
8
定积分的概念与性质
如果不论对 [a,b]怎样的分法,
也不论在小区间[ xi1 , xi ]上点 i 怎样的取法,
只要当 0时,和S总趋于确定的极限I,
称极限I为函数 f ( x ) 在区间[a,b]上的定积分.
积分上限
积分和
b
n
a
f ( x)dx
I
lim 0 i1
f (i )xi
积分下限被积被
(1) 任意 a x0 x1 x2 xn1 xn b xi xi xi1 ,(i 1,2, , n),
(2) 任取 i xi , f (i )xi (i 1,2, , n)
n
(3) 并作和 S f (i )xi i 1
(4) 记 max{ x1, x2 , , xn },

第五章不定积分与定积分习题解答

Φ′( x) = xe − x ，令 Φ′( x) = 0 ，得驻点 x = 0
x < 0 时， Φ′( x) < 0 ； x > 0 时， Φ′( x) > 0
x = 0 取极小值， Φ (0) = 0 .
2. 求下列极限：
∫ (1) lim
x →0
x 0
cos t 2 dt x
；
∫ (2) lim
2 0
0
π
∫
π
0
sin n x dx = 2 ∫ 2 sin n x dx
0
π
4．计算下列定积分：
(1) ∫
解
4
1
1 dx ； 1+ x x = t ，则 x = t 2
2 2t 2 1 3 dx = ∫ dt = 2 ⎡ t − ln (1 + t ) ⎤ = 2 − 2 ln ⎣ ⎦ 1 1 1 1+ t 2 1+ x 3 dx 4
1 dx ； x 1 1 1 1 1 解 ∫ 2 sin dx = − ∫ sin d = cos + C x x x x x dx (8) ∫ x − x ； e +e (7)
∫x
1
2
sin
解
e x dx dx x = ∫ e x + e− x ∫ e2 x + 1 = arctan e + C dx (9) ∫ ； (2 − x) 1 − x
1
2
当 1 < x < 2 时， 0 < ln x < ln 2 < 1 ，
ln x > ( ln x )
2
∫
2
1

高数第五单元定积分

第五单元定积分5-1 定积分概念，性质和微积分基本公式[教学基本要求]高等数学 1．理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质和积分中值定理.2．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理.3．掌握牛顿-莱布尼兹公式.微积分 1.了解定积分的概念和几何性质；了解定积分的基本性质和积分中值定理. 2.了解变上限定积分；会求变上限定积分的导数； 3.熟练运用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分.[知识要点]1. 定积分的意义中要点可概括为以下五点：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上有意义；（2）把区间[,]a b 任意分割成n 个小区间；（3）作乘积()i i f x ξ⋅∆,i ξ1[,]i i x x -∈且取和1()nn iii S f x ξ==∆∑；（4）求和式nS ，当0λ→时的极限，这个极限不仅存在且与区间[,]a b 的分法和点i ξ的取法无关；（5）这个极限值就称为函数()f x 在[,]a b 上的定积分。

由此可以看出，第一点是条件；第二、三、四是作法，第五点是结论。

再概括就是：“分割取近似，求和取极限”。

提示注意：①定义中所说的极限存在是指对于区间的任意分法，i ξ的任意取法，只要当0λ→时，则积分和∑=∆ni i i x f 1)(ξ都趋于一个共同的数值。

因此有:② 定积分⎰badx x f )(是一个数，这个数仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即⎰ba dx x f )(=⎰b adt t f )(=⎰b adu u f )(. ③a b =时，⎰b adx x f )(=⎰aadx x f )(=0. ④ 当a b >时，⎰badx x f )(()abf x dx =-⎰如果函数()f x 在区间[,]a b 上可积，称()f x 在[,]a b 上的定积分存在。

2．可积函数类：下列函数均可积：①()f x 在[,]a b 上连续；②()f x 在[,]a b 上单调有界；③()f x 在[,]a b 上有界且至多有有限个第一类间断点3. 定积分的几何意义：在[,]a b 上，若()0f x ≥，则()baf x dx ⎰在几何上表示由曲线()y f x =，两条直线,x a x b ==与x 轴所围成的曲边梯形的面积.一般情形下⎰badx x f )(的几何意义为：这是介于x 轴，函数()f x 的图形及两条直线x a =，x b =之间各部分面积的代数和（规定对x 轴下方图形的面积赋予负号）.4. 定积分的性质以下均设()f x ，()g x 在[,]a b 上可积① (线性性质)定积分对被积函数具有线性质性，即⎰±badx x g x f )]()([=⎰badx x f )(±⎰badx x f )(，⎰b adx x kf )(=⎰badx x f k )(（k 为常数）②(定积分对积分区间的可加性)设a b c <<，如果将区间[,]a b 分为[,]a c ， [,]c b 则：⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(③如果()f x ()g x ≤（[,]x a b ∀∈）则⎰badx x f )(⎰≤badx x g )(特别地注意：当()0f x ≥，（[,]x ab ∀∈），则⎰≥bax f 0)(；若()f x 在[,]a b 上可积，则|()|f x 在[,]a b 上也可积,且⎰badx x f )(⎰≤badx x f )(④(积分估计)，设,M m 分别是函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰⑤若()f x 与()g x 在[,]a b 上仅在有限个点处的值不相等，则有⎰badx x f )( =⎰badx x g )(.⑥（积分第一中值定理）设()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少有一个数ξ，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立.提示注意：通常称dx x f a b ba⎰-)(1为函数()f x 在[,]a b 上的平均值.5. 变上限定积分定积分⎰xadt t f )(是上限变量x 的函数，记作()()xax f t dt Φ=⎰，称为变上限定积分.注：①如果()f x 在[,]a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上连续.②如果()f x 在[,]a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，且有[])()(/x f x x =Φ.③如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ可微，则()()[()]()x a d f t dt f x x dxϕϕϕ'=⎰. ④如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ，)(x ψ均可微，则[]()//()()()()[()]()x x d f t dt f x x f x x dx ψϕψψϕϕ=-⎰ ①②两式合起来就是通常所说的原函数存在定理,它揭示了“连续函数必有原函数”这一基本结论.6．牛顿——莱布尼兹公式若函数()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=，则)()()()(a F b F x F dx x f ba ba-==⎰，通常把这一公式又叫做微积分基本公式。

第五章定积分学习指导书.docx

第五章定积分本章的教学与考试基本要求1.理解定积分的概念、性质、儿何意义；2.理解积分上限函数及其性质，微积分基本定理;3.会川定积分的换元法与分部积分法求定积分；4.会求积分区间为无穷区间的广义积分；5.会用微元法求有关的血积和体积.5・1定积分的概念与性质一、主要内容回顾表5. 1定积分的概念二、本节基本题型及例题题型I 用定积分的定义，求f In xdx的值.解将区间［1,可分成〃段1= X() <Xj <x2 <・・・<:x n^ <x n=ei其中Xj =e n (i= 0,1,2,•••,«)■I在每一个小区间［Vl,x,.］取右端点£=坷=宀(心0丄2,・・訂)作积分和式然后取极限得f In xdx = lim V'/(§)些=lim V' \ne n (e n - e n )1=1 /=!n ・丄 =lim[V'—(e n - “TOO 铝 /?n ・i界・ i H // [ H n->oo 厶^ Y\ 厶— f] 厶・ fi f=l H /=1 H /=! He- hm — / e n n->8 n 台 i=i故 - 2< te x2~x dx<e 2 -2= e-({-e) lim ---------- —ZITOO丄 n(\-e n ) 乂 lim ------ — n->oo L n(] -e n )=lim xT ()(U ) =lim ----- XT () — 故]In xdx = 1. 题型II 估计下列各积分的值：(1) px 2+l)Jx ； (2) ^e xl ~x dx .解 ⑴设 f(x) = x 2 +1 则 /r (x) = 2x>0 XG [1,4]故/⑴在［1,4］上单调增加，其最大为最小值分别为M *(4) = 17, m = /(!) = 2 于是，由估值不等式得2x (4-1)<£(X 2 + l)dx 5 17x(4 — 1)\x2~x dx = -^e x2-x dx0SM2时 ‘ 得=e- lim — •n->oo n即 6<+ l)dx<51 •即一2, < ^e x2~x dx<-le~^ .题型III 比较下列各对积分的大小⑵ f A dx 与 f ln( 1 + x)dx .*) 1 + 兀 J o解(1)当 0 vxvl 时，X 2 >x 3 则f x 1 dx > f x 3dx .(2) 令 f (x) = (1 + x) ln( 1 + x) - x ,则广(x) = In 1 -(■ x) > 0 ( x > 0 )故当天>0时 /U)>/(0) = 0即—<ln(14-x) 1 + x从而 f V dx < f ln( 1 + x)dx .由 1 + x *)三、习题选解1.利用定积分定义计算：(1 ) ^xdx (/>0)；(2) ^kdx (k 是常数);(3 ) e x dx ・解(1 )因为被积函数f(x) = x 在［0,/］上连续，故函数可积，将筹份，每个小区间的长度为g 丄,分点码=厶(心1,2,・・・/)将《•取在小区间的右端点，即& =和于是和式n n/乙心尹•—2 — = —2n —所以 fxdx = limy /(g )Ax = lim ~=—.1) z 台皿 2n 2 (2)因为被积函数/(x) = k 在［o,切上连续，故函数可积.将［a.h ］ n 等份.每个小区间的长度为4匸=山，分点再二山"=1,2,…/)将取在小区间的右端点.即£=坷；于是和式工/(G 心产工釦也/=1 1=1n所以 Ckd x= lim V'/C^)-^ = lim k(b - a) = k(b - a). 乂 i 久一>()厶千 n->co(3 )因为被积函数f(x) = e x 在［0,1］上连续，可知函数可积，将［0,1］〃等份，每个小区间的长度为纸=丄，分点召二丄(21,2,•••/)将§収在小区间的右端点，即§=看；于是和式 n n=£戶企=£声•“=立” •-;=1 1=1 /=1 1=1 n1 12 n1 — — — =—・(e n + e n H ---- e n ) n丄丄 11 亦.［1一(湎)”］1 訂・(1一0)= - ----------- = -- ------- •n 丄〃丄 l-e n l-e fl 所以 f e x dx = lim ，/(£ )Ax- = lim — • —一- • (1 一 w). 』) 久一>()一' H->00 fl 丄曰 1_列令丄=f ,则n -> oo 时/ t 0 n则上式 f e x dx = lim 1 • (1 一 e) A) /T O 1 - e l=(1 一 a) • lim —-——= (l-e)- lim — t —>()w ' — ] t —o —e "=(1 — e)(—1) = e — \ .2 .利用定积分的儿何意义说明卜-列等式：(1 ) J xdx = * ；(2)( \Jk 2 - x 2dx = ~ k 2 ；(3 )「sin xdx = 0 . 解(1)由直线y = x,x = l, x 轴所围成的面积为图屮阴影部分, 而该部分的大小为丄，2故有* (xd 兀=*•(2 )由曲线y = J/_r = o,), = o 所围成的而积为图中阴影部分,£/(§)•© = £「3i=\i=\ 心)济gi.—) /=1而该部分的大小为尹故有^yjk 2-x 2dx = ^k 2.（3 ）由曲线y = sinx 与兀轴所围成的面积为图中阴影部分,其中I 、II 两部分的大小相等,符号相反故为零.vrsin xdx = 0 •7 3.根据定积分的性质，说明卜•列侮组积分哪一个的值人:(2 ) |2 xdx 与 fsinxdx ；(4 ) ( xdx 与(11X1 + x)dx .)令 fM = x 2,g(x) = x 39h(x) = /(x)- g(x) = x 2-X 3 =x 2(\-x).因为 05x51,故力（《¥）»（）•即 /(x) n g(x),有 x 2dx > •2 )令 f (x) = x,g(x) = sin xji(x) = f(x) - g(x) = x-sinx .则h\x ） = l-cosx>0 •故力⑴单调上升・又 /?(()) =(),所以 h{x) > 0.即 fW>g(x).则有 2 xdx > 2 sin xdx ・3 )令 f(x) = e\g(x) = xji(x) = f(x)一g(x) = e x -x.则g) = e x -l>0,故h(x)单调上升.又 /?(())= (),所以 h(x ) > 0.即 /(x) > g (x).故有(e x dx > ( xdx •(4 )令 /(x) = x,g(x) = ln 1(4-x)；/?(x) = /(x)-g(x) = x-ln 1(+ x), 则h\x) = I -一= —>0,故7?(x)单调上升，1 + x 1 + x乂 /z(0) = 0,所以 h(x) > 0.即 fM>g(x)・故有 f xdx > (ln( 1 + x)dx •4.估计下列各积分的值n(2 ) p (1 + sin 2 x)dx ；4 故有 J (x 2 + V)dx ；(3) 俗.解（1 ）因为/（x ） = X 2 +1在［1,2］上连续,所以/（兀）在该区间上有最大值和最小值,且max f (x) = 5, min /(x) = 2 ,所以有 2-(2-l)< |2(X 2+1)J A <5-(2-1), 即 2< j 2(x 2 + l)t/x<5 ・(2) 因为/(x) = l + sin 2x 在f,◎上连续，所以/⑴在该区间上有最大值和最小值, 23且 max f (兀)=2, min f(x)=— >2工所以有 -•(---)< P(l + sin 2x)Jx<2-(---), 2 2 4 卍 2 442 〃(l + sin~xWx< —.2兀2+3(3 )因为f(x)= 一在10,1] ±连续，所以/(尤)在该区间上有最大值和最小值,L + 2 3 4 H. max/(x) = —,min/(x)=—, 2 3所以有 ^-(1-0)< ^^^/x<|-(l-0)5.2微积分学的基本公式一、主要内容回顾表5.2微积分学的基本公式7T 4积分上限函数及其导数(原函数存在定理)(1)/co在⑷刃上连续,则积分上限函数<D(X)= r在［&,刃上可导,且①'(X)= 4「/⑴力=fM(a <x<b).ax J"(2)若.f⑴在S，刃上连续,0(%)在［0,0］上可导,且a <(p(x) < b(x G ［a, 0］)则①(兀)=『)")/在［a,0］上可导,且①'(X)= f［(p(x)］ • (p\x) •(3)若/(x)在［d,方］上连续,0(兀),02(兀)在［a,0］上可导，且a<(p{ (x) <b,a<(p2 (x)<b .则①(x)=『⑴/⑴加在［Q,0］上可导，且①'(兀)=・/102(兀)1 •亦⑴-f\(P\⑴］•分⑴•牛顿一莱布尼兹公式若几兀)在［a,b］上连续，且F\x) = f{x),则少h1 f(x)dx = F(x) =F(b) — F(a).山a二、基本题型及例题题型I计算题1.求下列函数的导数sin uducos uduy解(1)空=・i fi=小x<iY_dx Jo X2丄<nrcos udu =cos(lnr)sin udu = 2r -sinr2dy cos(ln t)由参数方程求导法则，得—=#=— = C('s(ln ° dx dx 2z-sinr 2 2r 2sinr 2dt题型III 求卜•列定积分(1 ) ( e^dx ； 2.求由 P e l dt + 3宀o 所确定的隐函数用的导数贽解J e'dt + J cos tdt = 0两边对x 求导 —(+ —『cosM = 0, dy k dx dx J ) e y - — 4- cos x = 0 , dx 故©… dx 一' COSX • 题型II 求卜•列极限: [cos/2J/ (1) lim -------------- x->() X (2) —r/j/ lim —— XTO sin 2x 解（I ）方法一由屮值定理［cosz 2t/r = xcos^2,其中§在0为xZ 间当XT0时歹TO, 则lim 邑辻=lim 竺空=lim 曲=1 . x->0 x XT O x §T 0 I 方法二由洛必达法则，得 lim Wl = lim £2^ = 1. X->() X A->() I （2）由洛必达法则及无穷小的替代法，得 x- [e t2dt x- [e t2dt lim — = lim —— XTO x z sin 2x XTO 2X J =lim x->0上 J lim 6x 2 XTO -2xe x 1 12x ~6 (2 ) sin Ixdx •二川 dx = y^e~x dx + f e x dx =托/r ___ _________________ 托(2 ) - sin 2xdx = [^^(sinx-cosx)2Jx = f^|sinx-cosx| Jx /rn=((cosx-sinx)dx + p (sinx-cosx)^x亠4= [sinx + cosx]p + [—cosx — sinx]岸 =2 2 -2. 0 7厂三. 习题选解1 •求下列函数的导数: (1) y = [ cos tdt ； (3) y = I arctan tdt ； Jinxy f = ( I cos tdt\ = cosx •>/ =—arctan(ln x)・ X•Inx 4 ~(^2) - In x 2=4x 3 lnx 4 -2xlnx 2 = 16x 3 In x -4xln x[cos”血所确定的函数y 对x 的导数.2 .求由参数表达式x = f sin udu, y =狞一力力一力-cos udu\rsin uducost =cot r. sin/cos tdt) = 0(4) y = \ntdt.x 2arctan tdt = -(ln%y ・ arctan(ln x)y f - e y + cos x = 04 •计算下列定积分:(1)— dx = \nx e . X1 71 71=—.—=o a 3 3ddx = f (3x 4+3广 + _J_Xv = f*(3 兀 2 + _J_』)F + 1 x 2+l 』) x 2 + l-y• COSX •(7)(9)(3)1 +dx :x 2 + 17122sin 2^/x ； ) 2(4)(6)(8)(10)[ix 12 ) -2x + l)df V7(l + x/^)dx =((仮 + x)dx =丄+1兀2 -+ 1UX 2+ — 2 81 2 16、二 x27 + — x8 亠=451. 生一^rdx = arctan 粤l + F1 2 071 71 712色-x 2 32 / ] dx=arcsinx )VT771(x 3 + arctan x) = 1+-.0 4)X 2 +1(6).1 ^dx =-arctan- tT+x a a2t = ln3 - lne = ln3-l • e-l5•设k 为正整数，试证下列各题:(10) J sinxsin xdx - sin xdx = -cosx ： +cosxj = -(-1 -1) + [1 - (-1)] = 4.+ x) (1) [ cos kxdx =0 ； (2)£ sin kxdx = 0 ；L 2(3) cos kxdx = 7i:丄兀(4 ) 「sin 2 kxdx = TI •丄;T卩I证⑴ £costo/x=i d(sinkx)=丄 sinkx 7 kn=0.(2) sin kxdx =——d(coskx)=——cosd丄〃宀k7F=0.M M 1r(3) £ cos 2kxdx = ] —(1 + cos 2kx)dx =—+ 0 = 7T .-n(4) sin 2 kxdx =—(1 - cos 2kx)dx = A6•设k 及/为止整数，且k*试证下列各题:%cos 也・sin/x6庄pzr(2) cos/cx-cos/xJx = 0；丄兀(3) f singsin/xdx = 0.丄"TT证(1) fcos h; • sin Ixdx = —「[sin 伙+/)x-sin 伙一1 cos 伙 + l)x cos 伙一l)x = --[V k+l n]=0. -7TI y1俨cos kx-cos Ixdx = — [cos(£+ /)x + cos 仗一/)x]dr 7 2 J 一穴I 「sin 伙 +/)x sin 伙-/)x.=—1 ------------ 1 ------------ 1 2 k+l k-l =0.7 席.・Ifsinkx ・sin/xdx =—— 龙 2丄 [cos 伙 + /)% - cos 伙一 l)x]clx1 sin 伙 + l)x sin 伙一 l)x/r1 =0.-nP(l-2coszW = 2 - V3 + (Z ——sin 27) & 止) 2 n5.3定积分的换元法一、主要内容回顾表5. 4定积分的换元法换元法设函数f(x)在［a b ］上连续，函数x =(p(t)满足(1) (p(a) = a , 0(0) = b ；(2) 卩⑴在［a,0］(或［0,⑵)上具有连续导数,Ra<(p(t)<b.则 ^f(x)dx= £］0(/)df •题型I 计算题xdx1(5 一(2) 求/=』)\-yJx(3)求/=［—，求「2 In 2 /7yrr(4) 已知 f= 求yje x -1 6解⑴令E"则V (5J )m=_抄当 x = -l 时/ = 3,当 X = injr = l.(一抽=訂(5一®T-y(2)令“站，则如2sig 泌，当*0时20,当“扌时心彳.则心彳 cosr )1 -sinr・ 2sinzcosrt/r = 2 6 sin tdt + 2 j ^sin 2 tdt 7T= -2cos/(f +二.基本题型及例题⑶令心，则g-討当归时日，当“3时冷⑷令 \le x -1 = f ，即 x = ln(Z 2 + 1),则1 2?,小・— ---- dt = 2 arctan t i/ 八 + [ —=¥ - 2aictan \Je a -1.~1=F 得arctanV7^=7贝 lja =ln2.题型H 证明题nn(1)证明 Psin w, xcos m xdx = 2~m Rcos w xdx ；(2)证明£ f(x 2)dx = 2^(p(x 2)dx .其中0(u)为连续函数/rn证⑴左边订莎“『2加=2廿s 『2如令2*彳"即“彳三则左边=2"nn/ cos'" t •(—丄w = 2" F cos'" tdt =右边.2(2)因为£/U 2WX =£ (p(x 2 )dx 4- £(p{x 1)dx ],0(兀2 )dx = [ ((p(-xf ]d(-x) = [ 0(/ )dx£ /(x 2 )dx = 2』(p(x 2 )dx.三.习题选解1.计算下列定积分 (1) sin(x + —；3 3dx2(11+ 2x)27T(3) psin • cos 3 &d& ；/r\~cosu 2du ；6d(t + -) 5 _______2 = = -[In(/ + — + J/? + 5/ + 1 )1z 5. 212 (T -7=ln(| + V7)-ln(y + |) = ln 上許-则/ =-5 dt Vr + 5r +1=-f(6) J yj x(x - 2)\dx ；小 ---- ⑻［~^2-y 2dy ；d dx f¥(H 1 J -2(11 + 2x)2 ~ J 2 (J ］ + 2x)27Tj^cos ii 2du =641 + cos 2u f;----- 加61 7t-arctan eo 4J J|x(x_2)|dx = J yjx(x - T)dx + J yjx(2 - x)dx .2 sin & • cos3 = - f cos 3 &d(cos 0) = -—cos 4 07Tn71 73 ?_T(15) 71J ： cos t • cos2tdt ；一2(12) J x 2yja 2 -x 2dx : (14)；』)2 + sinx(16)『，(以+ 1)3心力；(17)”百后加(⑻［占(20) f Vl + cos 2xdx •71Lysin x + -ty/(x + —) = -co (x + *)=0.132~912 11 + 2 兀兀］ 13 —du + — 3 cos 2udu E ? 2上=arctan e x ⑼(11) (13)(19)A /COSX - cos3xdx解(1) sin x +3j = [ Jx(x-2)dx = J J (兀2 _2% + l)_ldx = [ J(x_ 1)2 _ Id (兀-1).令x — l = /，贝I 」当x = 3时/ = 2,当x = 2时/ = 1../)= J \lt 2 -\dt =_] _i n / +乂 | Jx(2 - x)dx = J \l2x-x 2 d x = J Jl-(x-l)? dx. 令 x -l = r,则当 x = 2 时 ul,当 x = l 时 z = 0. 厶=[yll-t 2dt = —[rVl+ arcsin/] 故 J J 卜(兀—2)|dx = /)+ 厶=>/3 — — ln(2 4- y[?)) + —.(7) f* 1 dx = f —|] dx.%1_(务令金"则⑴屁，当E 时2拿当“。

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质

第五章定积分
第一节定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0

‫ ׬‬
±

‫ ׬‬
→0

性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即

‫)( ׬‬
总有下式成立：

‫ )( ׬ = )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
例如，若 < < ，则

‫ ׬‬

=

‫ ׬‬
+

‫ ׬‬

，
故 ‫ )( ׬ = )( ׬‬− ‫)( ׬‬
= ‫ )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得

‫ ׬‬

≤ ‫ ׬ ≤ )( ׬‬,

又‫ = ׬‬− ,

故( − ) ≤ ‫ ( ≤ )( ׬‬− ).
性质6(积分中值定理)
∈

[, ]，使‫)( ׬‬
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点

—定积分的概念与性质-2022年学习资料

推广性质1知：有限个函数的代数和的定积分等于各-函数的定积分的代数和，即-[fx±f2x士工±fxdx-= d±f.xdr主r±f.xdr-性质2-被积函数的常数因子可以提到积分号外.-[kfxdx =k["fxd -k是常数-性质3如果积分区间[a,b]被分点c分成区间a,c]和[c,b],-则-心fxdr=ifxdr ifxdx-前页-后页-结束
根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可-以用定积分概念来描述：-曲线fxfx≥0、x轴及两条直线x=a x=b所围-成的曲边梯形面积A等于函数fx在区间α，b]上的定积-分，即-A=广f-前贡-后页-结末
质点在变力Fs作用下作直线运动，由起始位置-a移动到b,变力对质点所做之功等于函数Fs在[α，b]-上的定分，即-W ="Fsds-如果函数fx在区间[,b]上的定积分存在，则-称函数fx在区间a,b]上可积. 可以证明：若函数fx在区间[α，b]上连续，或只有有-限个第一类间断点，则fx在区间[α，b]上可积.-前 -后页-结束
定积分的几何意义：（P2ss-如果在a,b]上fx≥0，则fxdr在几何上表-示由曲线y=fx,直线x=a x=b及y-x轴所围成的曲边梯形的面积.-如果在a,b]上fx≤0，此时-由曲线y=x,直线x=,x=b及 x轴所围成的曲边梯形位于x轴的-下方，则定积分2fxdx在几何-上表示上述曲边梯形的面积4的相反数.-前贡后页-结束
将闭区间[a,b]分成n个小区间：-[so,S1],[S1,S2]L,$-1S,],L,[Sm-1Sn]区间的长度-△s,=S:-S;-1i=1,2,L,n-2取近似-在每一个小区间s,-1s]上任取一点乡，把 5做为-质点在小区间上受力的近似值，于是，力F在小区间s,-1,s,]-上对质点所做的功的近似值为-△W: F5△s;i=1,2,L,n-前贡-后页-结末

第五章积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

5_1 定积分的概念与性质

b
c
b
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
则有
c b
a b c,
a
c
b
c
a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx

a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx
f ( x ) dx f ( x ) dx
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小
a f ( x) dx f ( )(b a)
证: 设 f ( x) 在[a, b] 上的最小值与最大值分别为 m, M , 则由性质6 可得
b
根据闭区间上连续函数介值定理,在[a , b] 上至少存在一使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理x)
f ( )
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x
a b
在区间
即
a f ( x) d x lim0 i f ( i ) xi 1
b
n
o a x1
i xi 1 xi b x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
y
yx
2
则
i2 f (i )xi i2 xi 3 n
o
i n
1x
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1

5-1 定积分的概念与性质

a x0 x1 x2
n
x n 1 x n b .
n
T1 t0 t1 t 2
T1
t n1 t n T2
T2 v(t )
2) 取近似. Ai f ( i )x i
2) 取近似. si v( i )t i
3) 求和. A A i f ( i )xi
b
(2) 定积分是一个数! 区间分法被积函数与 ξi的取法无关有关， (3) 定积分仅与积分区间积分变量记法 b b b a f ( x) d x f (t ) d t f (u ) d u
a
a
（三）可积条件
定理1 设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.
4) 取极限. A lim f ( i )x i
0
i 1 n
i 1
4) 取极限.
不同点：背景不同
相同点：方法相同数学形式相同
lim f ( i )x i
0
i 1
n
（二）定义
设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上有界，在 [a , b] 中任意插入若干个分点 a x0 x1 x2 xn b , 把区间[a , b] 分成 n 个小区间
y
(1) xdx
0 5
o
y
(2)
a a
5
x
a 2 x 2 dx
a
o
a x
二、定积分的性质
约定
当a b时,
当a b时,
b
a b
f ( x )dx 0 f ( x )dx f ( x )dx
b

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第五章定积分【圣才出品】

5.2　课后习题详解习题5-1　定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。

5-1 定积分的概念与性质

性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点
使 a f ( x )dx f ( )(b a ) .
b
，
(a b)
积分中值公式
证
m(b a ) a f ( x )dx M (b a )
a f ( x )dx a g( x )dx .
b b
b
于是
性质5的推论：（ 2）
a f ( x )dx a
b
b
b
f ( x )dx . (a b)
证
f ( x) f ( x) f ( x) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx,
A?
o
a b x
x b 所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示，在区间 [a,b]内插入若干
个分点， a x0 x1 x 2 xn1 xn b,
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x ) 确定的极限在区间[a , b] 上的定积分，记为
积分上限
积分和
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1

习题5-1 定积分的概念与性质

习题5-1定积分的概念与性质1．用定积分的几何意义画图说明下列等式：（1）12014x dx π-=⎰；如左图，21y x =-表示的图形是上半圆，定积分的几何意义是上半单位圆与x 轴及0x =，1x =围成的图形的面积，即14圆的面积。

所以，12014x dx π-=⎰（2）20sin 2sin xdx xdx ππ=⎰⎰.如左图，左边的定积分的几何意义是sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的图形的面积，由于sin (0)y x x π=≤≤的图形关于2x π=对称，所以，面积等于对称轴左边部分图形面积的两倍。

所以20sin 2sin xdx xdx ππ=⎰⎰，（3）cos 0xdx π=⎰如左图，左边的定积分的几何意义是cos (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的图形，一部分位于x轴的上方（这部分加上正号），另一部分位于x 轴的下方（这部分加上负号）。

由于两部分面积正好相等，所以，代数和为0。

即cos 0xdx π=⎰2．不算出积分值，比较下列各组积分的大小，并说明理由.（1）⎰=121dx x I ，；在[0,1]上，232(1)0x x x x -=-≥23x x ∴≥1210I x dx ∴=≥⎰⎰=132dxx I （2）⎰=11dx e I x ，⎰+=12)1(dx x I .设()1(01)xf x e x x =--≤≤，则()1xf x e '=-在(0,1)内，()0f x '>，()f x ∴在[0,1]上单调递增。

()(0)0f x f ∴≥=，即1x e x ≥+110x I e dx ∴=≥⎰⎰+=12)1(dxx I 3．证明不等式（1）⎰---≤≤-02412222e dx ee xx 设2211()()(02)24f x x x x x =-=--≤≤，易知，11()24f =-是()f x 的最小值，(2)2f =是()f x 的最大值。

高等数学-第5章 5.1 定积分的概念与性质

第5章定积分及其应用定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用.§5.1 定积分的概念与性质一、引例 1. 曲边梯形的面积在中学，我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。

但在实际应用中，有时需要求以曲线为边的图形的面积（图5.1），这种图形可以分割为若干个一条边为曲线，而其余边为直线的图形（图5.2）。

现考虑求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥以及直线0===y b x a x 、、所围成图形（图 5.3）的面积，这种图形称为曲边梯形，曲线()y f x =叫做曲边梯形的曲边。

怎样计算曲边梯形的面积呢？不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率（切线的斜率、瞬时速度）的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），得到某点变化率的近似值，再取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）。

简言之，就图5.3图5.1图5.2是先求近似值，再取极限由近似值过渡到精确值。

我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积，先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，当把曲边梯形无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.为了便于表述，按下面四个步骤求曲边梯形的面积A ：（1）分割用1n +个分点01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= ，把区间],[b a 分成n 个小区间011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,,,,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=- ，经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，第i 个小曲边梯形的面积记为(1,2,,)i A i n ∆= ，则所求曲边梯形的面积可表示为121nn i i A A A A A ==∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑。

5-1-定积分的概念与性质

把区间a,b 分割成 n 个小区间[xi1, xi ]（i=1，2，，n）（称为 a,b 的一个分割），并分别记小区间的长度为
xi xi xi1（i=1，2，，n）.相应地把曲边梯形分割成 n 个窄曲边梯形.
第二步：近似.即“以直代曲”，在小区间[xi1, xi ] 上任取一点i ，以 f (i ) 为高，以xi 为底的小矩形面积f (i ) xi 作为窄曲边梯形面积xi 的近似值，从而在[xi1, xi ] 上以直线 y f (i )代替曲线 y f (x) ，有
Ai f (i ) xi ，i=1，2，…，n.
第三步：作和.把所有小矩形面积相加，得整个曲边梯
形面积 A 的近似值，即
n
n
A= Ai f (i )xi .
i1
i1
第四步：逼近.显然，随着区间 a, b 内的分点不断增
加，第三步所得近似值的精确度将不断提高，并不断逼近
曲边梯形面积的精确值.记最大的小区间长度为，即
第一节定积分的概念与性质
一、定积分问题实例分析
y
1．曲边梯形的面积
设 y f (x)在区间a,b上非负
且连续，由曲线 y f (x)及直线
x a 、 x b和 y 0所围成的平面
f (n ) f (1) f (i )
图形（如图 5-1）称为曲边梯形，
其中曲线弧称为曲边，x 轴上对应 O x0 x1 xi1i xi n xn x
W =力×距离=F (b a) .
如果 F 不是常量，而是与质点所处的位置 x 有关的函数 F f (x)，这是变力作功问题，上面公式就不能使用.
问题的困难在于质点在不同位置上，所受到的力大小不同，类似于曲边梯形的面积的作法，采取以下步骤：

5-1定积分的概念与性质 (2)

转化为
b
实际问题所求量U
求U= f ( x)dx (积分模型) a
问题：1)若 y (x)表示非均匀细直棒的质量密度, 则
b
( x)dx表示什么？
a
n
表示非均匀细直棒的质量
lim 0
( i ) xi
i 1
n
oa
b
x
lim
0
f ( i ) xi

1 6
lim
n
n (n
1)(2n n3

1)

1 6
lim(1
n
1 )(2 n

1) n

1 3
返回
例2. 用定积分表示下列极限:
1 n
i
(1) lim
1
n n i1
n
1p 2p np
(2) lim
n
n p1
解: (1) lim 1 n
i
f
(i )xi
返回
设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线 y f ( x) 0 所围成，求面积A, 其中f(x)在[a,b]上连续。
解：1. 分割在[a,b]中任意插入n-1个分点 y = f (x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b y
把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi] (i=1~n)
n x
xn1b xn
2. 近似 i [xi1 , xi ], (i 1 ~ n) 则Ai f ( i )xi n
3. 求和 A f ( i )xi i 1
4. 取极限当分割无限加细,即小区间的最大长度

第5章定积分习题 5- (1)

第五章
第一节
定积分
定积分的概念及性质
习题 5-1
1.
利用定积分的定义计算由曲线 y = x 2 + 1 和直线 x = 1 、 x = 3 及 x 轴所围成
的图形的面积. 解所求的面积为
S = ∫ ( x 2 + 1)dx = lim ∑ f (ξi )Δxi
1
3
n
λ →0
i =1
= lim ∑ (ξi2 + 1)
∫0
1 x
e dx = lim ∑ f (ξi )Δxi = lim ∑ eξi Δxi
λ →0
i =1
n
n
λ →0
i =1
= lim ∑ e n ⋅
n →∞ i =1
n
i
1 n
1 2
i 1 （其中 ξi = , Δxi = ） n n
n
n 1 = lim ∑ (e n + e n + L + e n ) n →∞ i =1 n
c2 c1
a
c2
矛盾, 于是 f (ξ ) > 0 不成立, 得证. (2)
b
因为在 [ a, b] 上, f ( x) ≥ 0 , 所以 ∫ f ( x)dx ≥ 0 , 亦即或者 ∫ f ( x)dx > 0, 或
b b a a b a
者 ∫ f ( x)dx = 0 . 若 ∫ f ( x)dx = 0 , 则由(1) 的证明知 f ( x) ≡ 0, 但这与条件 f ( x) ≠ 0
5
反证法. 设 ∃ξ ∈ [a, b] 使 f (ξ ) > 0 , 因为 f ( x) 在 [ a, b] 连续, 所以由极限的局部保号性定理 , 必有含有 ξ 的区间 [c1 , c2 ] 存在 , 使得 [c1 , c2 ] 上 f ( x) > 0 , 从而 ∫ f ( x)dx > 0 .

5-1定积分的概念及性质

5-1定积分的概念和性质

5(1)-定积分的概念与性质

第五章 不定积分与定积分习题解答

高数 第五单元 定积分

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第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质

5_1 定积分的概念与性质

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5-1 定积分的概念与性质

习题5-1 定积分的概念与性质

高等数学-第5章 5.1 定积分的概念与性质

5-1-定积分的概念与性质

5-1定积分的概念与性质 (2)

第5章 定积分 习题 5- (1)

第五章不定积分与定积分习题解答

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第5章定积分习题 5- (1)