《实验校》八上数学第十二讲—中点或中线辅助线方法

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人教版八年级上册第十二章全等三角形经典题型辅助线作法

全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。

BD 平分∠ABC 。

求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D . 求证：2BD CD =证明：延长DC 到E ，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例4.】如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =。

证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDABE =DE∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ）在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

初中数学作辅助线的方法

初中数学作辅助线的方法在数学中，辅助线是指在解题过程中，为了更加清晰地理解和解答问题，而额外添加的辅助线条。

辅助线能够帮助我们识别几何形状的性质、简化题目、发现问题的特点，进而解决问题。

下面将介绍一些初中数学中常用的辅助线的方法。

1.直线的辅助线：1.1利用等角性质：当一道题目中出现两条或多条直线之间存在相等角度的关系时，可以通过画一条平行于其中一条直线的辅助线，从而使问题更加清晰。

例如，当一道题目中有两条平行线上辅助线之间的交角等于已知夹角时，我们可以通过画一条与两条线垂直的辅助线，从而找到问题的解决方法。

1.2利用中点性质：当一道题目中出现一个直线段上存在中点的情况时，可以通过连接这个中点和其它的点，并利用中点将辅助线分成两等分的方式，简化问题。

例如，当一道题目中需要证明一个线段平分另一个线段时，可以通过在两个线段的中点之间画一条辅助线，从而将问题转化为证明两个等腰三角形。

2.圆的辅助线：2.1利用相切性质：当一道题目中出现一个圆和另一个圆间存在相切的情况时，可以通过在两个圆的相切点处引出切线，并连接相切点和圆心的辅助线来简化问题。

例如，当一道题目中有两个圆相切于一个点，需要求证两个圆的半径之比时，可以通过连接两个圆心之间的辅助线，并利用切线及其垂直性质来求解。

2.2利用内接性质：当一道题目中出现一个圆内接于一个图形的情况时，可以通过在圆和图形的交点处引出辅助线，并利用内接四边形的特点来简化问题。

例如，当一道题目中有一个圆内切于一个正方形，需要证明半径与正方形边长之比时，可以通过连接正方形的对角线并利用内接四边形的性质来证明。

3.三角形的辅助线：3.1利用中位线性质：当一道题目中有一个三角形的中位线时，可以通过连接三角形的中位线两端点与对应边上其他点的辅助线，来简化问题。

例如，当一道题目中需要证明两个三角形形状相似时，可以通过连接两个三角形的中位线，然后利用垂直性质来证明。

3.2利用高线性质：当一道题目中有一个三角形的高线时，可以通过连接三角形的高线两端点与对应边上其他点的辅助线，来简化问题。

人教版八年级上册第十二章全等三角形经典题型辅助线作法

BD 平分∠ABC 。

求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

求证：2AC AE =。

八年级上-常见全等辅助线

常见全等辅助线知识集结知识元倍长中线型知识讲解倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类：倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线.其中后两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型的本质都是构造“8字型”全等，主要分成三类处理方法：（1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长BD至E，使得DE=BD，连结AE.2.倍长过中点的任意线段型——这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长FD至E，使得DE=DF，连结AE.3.平行线构造“8字型”——中点不是三角形的边的中点，具体模型如下：已知：点E为DF的中点作法：过点D作DM//AF，交AC于点M.另外，平行线构造“8字型”的模型还可以有以下两种类型：例题精讲倍长中线型例1.已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是．例2.'如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．'例3.'【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．'倍长过中点的任意线段型知识讲解当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线段，构造“8字型”全等.例题精讲倍长过中点的任意线段型例1.'如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．'例2.'如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．'平行线构造“8字型”知识讲解当题目中出现中点，但此中点不是三角形的某条边的中点，只是与三角形某条边有交点时，则可以考虑利用作平行线的方法构造“8字型”的全等.例题精讲平行线构造“8字型”例1.'如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．'例2.'如图，AC∥BD，E为CD的中点，AE⊥BE（1）求证：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；（2）线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明．'例3.'阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．'截长法添加辅助线知识讲解在已知条件中、证明的结论中出现某三条线段，甚至是四条线段的关系时（或者猜想某三条线段的关系时），优先考虑的就是方法就是截长、补短法.截长和补短是两种方法：截长是把长线段截成两条短线段；补短是把两条短线段之一补成一条长线段，两种方法有时候可以通用，但是由于证明方法和已知条件的局限性，有时候会需要学生辨别一下具体使用截长还是补短，所以分析已知条件非常重要.举例说明：1.当三线关系出现在已知条件中，如：已知AC=AB+BD，则（1）截长法具体操作：在线段AC上截取AM=AB条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AM=AB和CM=BD”【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法具体操作：延长AB至N，使得AN=AC条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AN=AC和BN=BD”【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.2.当三线关系出现在待证明的结论中，如：证明AC=AB+BD，则（1）截长法具体操作：在线段AC上截取AM=AB条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“CM=BD”，而多出了一个已知条件“AM=AB”【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法具体操作：延长AB至N，使得AN=AC条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“BN=BD”，而多出了一个已知条件“AN=AC”【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.例题精讲截长法添加辅助线例1.'如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD．'例2.'如图，△ABC中，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点O，说明AE+CD=AC的理由．'例3.'如图1，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点P为△ABC三条平分线的交点，连PA，PB，PC．（1）求证：BC=AB+AP；（2）如图2，若将“∠ABC=45°”变为“∠ABC=60°”，其余条件不变，求证：AC=AB+BP．'补短法添加辅助线知识讲解当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其补短法是将某一条短线段补成长线段，再分别证明线段相等.例题精讲补短法添加辅助线例1.'如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．'例2.'（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．'当堂练习填空题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是．解答题练习1.'如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．'练习2.'如图：在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，CE=BD，DG=GE．求证：AB=AC．'如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF．'练习4.'如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．'练习5.'如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．'练习6.'如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．'练习7.'如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．'练习8.'如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．'练习9.'如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．'练习10.'ABCD是正方形，P为BC上任意一点，∠PAD的平分线交CD于Q，求证：DQ=AP-BP．'练习11.'如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD．'练习12.'已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．'。

(完整word版)八年级数学上几何证明中的辅助线添加方法

八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法数学组田茂松八年级数学的几何题, 有部分题需要做出辅助线才能完成。

有的时候, 做不出恰当的辅助线,或者做不出辅助线, 就没有办法完成该题的解答。

为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手, 现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。

常见辅助线的作法有以下几种:1.遇到等腰三角形, 可作底边上的高, 利用“三线合一”的性质解题, 思维模式是全等变换中的“对折”。

2.遇到三角形的中线, 倍长中线, 使延长线段与原中线长相等, 构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3.遇到角平分线, 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”, 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4.过图形上某一点作特定的平分线, 构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5.截长法与补短法, 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长, 是之与特定线段相等, 再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法, 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时, 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来, 利用三角形面积的知识解答。

常见辅助线的作法举例:例. 如图1, ， . 求证: .分析：图为四边形, 我们只学了三角形的有关知识, 必须把它转化为三角形来解决。

证明: 连接（或）∵//AB CD , //AD BC （已知） ∴∠1＝∠2, ∠3＝∠4 （两直线平行, 内错角相等）在ABC ∆与CDA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已证CA AC ∴ABC ∆≌CDA ∆（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等）例. 如图2,在中, , , , 的延长于 .求证: .分析: 要证 , 想到要构造线段 , 同时与的平分线垂直, 想到要将其延长。

初中数学—中点辅助线做法(自编)

中考数学专题之中点辅助线做法在河南省中考中，与中点辅助线做法相关的题目考察是较多.经常出在填空题，四边形证明和类比探究。

且分值占比较重，是初中阶段必须攻克的问题之一。

中考中，对于中点辅助线做法考察常有四种：①倍长中线（类倍长）②三线合一③斜边中线④中位线对于不同题目，需要根据题干特点选择适合的辅助线做法。

有中线，做倍长，这是在全等三角形中常遇到的；等腰三角形中经常遇到三线合一的性质；直角三角形中如果出现斜边中点，常连接斜边中线，从而产生等腰三角形和一半特征；多中点问题构造中位线，一般在四边形和类比探究证明中出现，需要结合逆相似或轨迹解决问题。

在九年级学习圆的知识之后，看到弦的中点，考虑的是垂径定理，其实可算作等腰三角形三线合一的性质，所以不再单独介绍。

接下来，我们来逐个说明这四种辅助线做法。

1.倍长中线—利用中点构造全等2.特殊三角形的中点（三线合一与斜边中线）3.多中点类型（中位线）文档讲解视频已在本小店上传，请及时查看。

E DCBAEDC BADCB ADCBAEDC B AGFEDCBA典型例题1.如图，在△ABC 中，AB=9，AC =6，D 为边BC 的中点，求AD 的取值范围.2.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．3.如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF =2AD .DCBAF EDCBA FEDCBA4.如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.5.如图，在直角梯形ABCD 中，E 为AB 边的中点，若AD =2，BC =4，∠DEC =90°，则CD 的长为_______.6.已知△ABC ，AB =AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE =CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG =GF ．EDCB AED CBAE F GCBA7.如图，在ABC ∆中，AD 是高线，CE 是中线，CD CE = DF CE ⊥于点F ，求证：F 是CE 的中点.8.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE AB ⊥于点E ，F 为AD 的中点，若54AEF ∠=︒，则B ∠为多少度？9.如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，若AB =10，BC =15，MN =3，则ABC ∆的周长为多少？FEDCBAFE DCBA NMCBA10.已知ABC ∆中，2B C ∠=∠，M 是BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求证：12DM AB =11.如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB =5，CD =3，则EF 多长？12.如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ，BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H ，点G ，求证：AHE BGE ∠=∠.CBFE D CB AGH FEDCB A13.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且AC =BD ，求证：OM =ON .14.如图，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且BD =CE ，M ，N 分别是BE ，CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP =AQ .NMF EDCBANMQ PED C BA15.如图以ABC ∆的AB ，AC 边为斜边向外做Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，其中ADB ∠和AEC ∠为直角，并且满足ABD ACE ∠=∠，点M 是BC 的中点，连接DM ，ME .求证：DM ME =.【河南中考】16．如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．MEDCBA。

中点常用的辅助线做法

认真体会，融会贯通，灵活运用
练习：
四边形ABCD的对角线AC=BD，M、N 分别是AD、BC的中点，MN与AC、BD 交于F、G，AC、BD交于E，求证：
EF=EG C
D E N
M
F
G
A
P
B
EF= 2 BE
B
AD = BE
E D FC
三、已知中线，常倍长中线
例3. 如图，△ABC中，AD是BC边
上的中线，E是AD上的一点，BE的 A 延长线交AC于F，且AF＝EF。
求证：BE＝AC
F E
AC = BH BE = BH AC = BE
B
C
D
H
四、条件中含有等腰三角形底边上的
中点时，常作出底边的中线，利用三
例1. 已知：如图，△ABC中，
BD和CE是高，M为BC的中点，
P为DE的中点。
求证：PM⊥DE。
E
1 ME=MD= 2 BC
PM⊥DE
B
A
P
D
M
C
二、已知三角形一边的中点，构造三角形中位线
例2. 已知：如图，△ABC中，AD
A
是高，BE是中线，且∠EBC＝30°。求证：AΒιβλιοθήκη ＝BEEF= 1 AD 21
中点常用的辅助线作法
初中数学
泰安市岱岳区徂徕一中梁孝斌
常用方法有四种：
一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜边上的中线
二、已知三角形一边的中点，构造三角形中位线三、已知中线，常倍长中线
四、条件中含有等腰三角形底边上的中点时，常作出底边的中线，利用三线合一
一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜边上的中线

完整)初中数学几何辅助线技巧

完整)初中数学几何辅助线技巧
几何常见辅助线口诀
三角形
在三角形中，可以使用角平分线来构造垂线，也可以将图形对折以后进行对称，从而得到更多的关系。

同时，角平分线还可以和平行线一起使用，来构造等腰三角形。

另外，在线段问题中，垂直平分线常常被用来将线段连接起来，而线段和差的问题可以通过延长或缩短线段来解决。

四边形
在处理平行四边形时，可以使用对称中心和等分点来进行计算。

对于梯形问题，可以将其转换为三角形或平行四边形，然后利用已有的知识来解决。

如果出现腰中点，可以连接中位线来解决问题。

如果以上方法都无法奏效，可以尝试使用全等来解决问题。

在证明相似时，可以使用比例和平行线的关系来辅助证明。

圆形
在圆形问题中，可以利用半径和弦长来计算弦心距。

如果出现切线，可以使用勾股定理来计算其长度。

要想证明一条线段是切线，需要利用半径垂线进行辨别。

在处理弧的问题时，需要记住垂径定理和圆周角的性质。

如果要作出内接或外接圆，需要将各边的中垂线或角平分线连起来。

如果遇到相交圆，需要注意作出公共弦。

最后，如果要证明等角关系，可以使用角平分线来构造辅助线。

由角平分线想到的辅助线
在使用角平分线时，可以通过截取构造全等来解决问题。

也可以在角分线上的点向两边作垂线，来构造全等三角形。

同时，三线合一也可以用来构造等腰三角形。

最后，在处理角平分线和平行线问题时，可以使用线段的加减和移动来解决问题。

人教版八年级上册第十二章全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全

全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．图四图三图二图一QPONMPONM BAAB MNOP PONM BA典型例题精讲【例1】如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋．求证：180BAP BCP ∠∠=︒＋．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =．在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BPPE PD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =．∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=︒．在△P AE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P AE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠．∵180BAP EAP ∠+∠=︒，∴180BAP BCP ∠+∠=︒．【答案】见解析．【例2】如图，已知：90A ∠=︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ，求证：CP 平分∠DCB ．【解析】因为已知PD 平分∠ADC ，所以我们过P 点作PE ⊥CD ，垂足为E ，则PA PE =，由P 是AB的中点，得PB PE =，即CP 平分∠DCB ．【答案】作PE ⊥CD ，垂足为E ，∴90PEC A ∠=∠=︒，∵PD 平分∠ADC ，∴PA PE =，又∵90B PEC ∠=∠=︒，∴PB PE =， ∴点P 在∠DCB 的平分线上， ∴CP 平分∠DCB ．【例3】已知：90AOB ∠=︒，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是__________．（2）请你证明（1）得出的结论．PDCBA A BCDPE【解析】（1）PC PD =．（2）过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴90CFP DEP ∠=∠=︒，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE PF =，∵190FPD ∠+∠=︒，且90AOB ∠=︒，∴90FPE ∠=︒， ∴290FPD ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在△CFP 和△DEP 中12CPF DEPPF PE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CFP ≌△DEP ，∴PC PD =．【答案】见解析．【例4】如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC 中，60B ∠=︒，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）FE FD =．（2）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴FG FH FK ==，在四边形BGFH 中，36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，60B ∠=︒， ∴()118060602FAC FCA ∠+∠=︒-︒=︒．在△AFC 中， ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴120EFD AFC ∠=∠=︒，∴EFG DFH ∠=∠，在△EFG 和△DFH 中，EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFG ≌△DFH ，∴FE FD = 【答案】见解析．【例5】已知120MAN ∠=︒，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得12AD AB AC ==，从而，证得结论；（2）过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ，证得△CED ≌△CFB后即可得到AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+，从而证得结论．【答案】（1）关系是：AD AB AC +=．证明：∵AC 平分∠MAN ，120MAN ∠=︒ ∴60CAD CAB ∠=∠=︒ 又90ADC ABC ∠=∠=︒， ∴30ACD ACB ∠=∠=︒ 则12AD AB AC ==（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴AD AB AC +=；（2）仍成立．证明：过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN∴CE CF =（角平分线上点到角两边距离相等） ∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ADC CDE ∠+∠=︒ ∴CDE ABC ∠=∠ 又90CED CFB ∠=∠=︒， ∴△CED ≌△CFB （AAS ） ∵ED FB =，∴AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+ 由（1）知AE AF AC +=， ∴AD AB AC +=．【例6】如图，在△ABC 中，2C B ∠=∠，AD 平分∠BAC ，求证：AB AC CD -=．【解析】在AB 上截取点E ，使得AE AC =．∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴AED C ∠=∠，ED CD =． ∵2C B ∠=∠，∴=2AED B ∠∠．∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴BE DE =． ∴CD BE AB AE AB AC ==-=-．【答案】见解析．【例7】如图，△ABC 中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒．又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒ABCDE DCBAAB CD∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+【答案】见解析．【例8】已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】在BC 上截取一点F 使得BF BE =，易证BOE BOF ∆∆≌，在根据120BOC ∠=︒推出60BOE COF ∠=∠=︒，再证明OCF OCD ∆∆≌即可．【答案】BC BE CD =+．【例9】如图：已知AD 为△ABC 的中线，且12∠=∠，34∠=∠，求证：BE CF EF +>．【解析】在DA 上截取DN DB =，连接NE ，NF ，则DN DC =，在△DBE 和△DNE 中：E DCB AOED CBAFOED CBA∵12DN DB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBE ≌△DNE （SAS ），∴BE NE = 同理可得：CF NF =在△EFN 中，EN FN EF +>（三角形两边之和大于第三边） ∴BE CF EF +>．【答案】见解析．【例10】已知：在四边形ABCD 中，BC BA >，180A C ∠+∠=︒，且60C ∠=︒，BD 平分∠ABC ，求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BE BA =，∵BD 平分∠ABC ，∴ABD EBD ∠=∠，在△BAD 和△BED 中， BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△BED ，∴AD DE =，A BED ∠=∠． ∵180BED DEC ∠+∠=︒，180A C ∠+∠=︒． ∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =．∴DC AD =．∵60∠=︒，∴△CDE是等边三角形，C∴DE CD CE=+=+．==，∴BC BE CE AB CD【答案】见解析．【例11】观察、猜想、探究：在△ABC中，2∠=∠．ACB B（1）如图①，当90=+；C∠=︒，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB AC CD （2）如图②，当90∠≠︒，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量C关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【解析】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE AC=，A CB B∠=∠，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等∠=∠，由2AED ACB边得到BE DE=+，等量代换即可得证；=，由AB AE EB（2）AB CD AC=+，理由为：在AB上截取AG AC=，如图2所示，由角平分线定义得到=，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）一对角相等，再由AD AD即可得证；（3）AB CD AC=，如图3所示，同（2）即可得证．=-，理由为：在AF上截取AG AC【答案】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE DC=，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD =，DE DC =， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC AE =，ACB AED ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠，又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠， ∴BE DE DC ==，则AB BE AE CD AC =+=+；（2）AB CD AC =+，理由为：在AB 上截取AG AC =，如图2所示， ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG ACGAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ），∴CD CG =，AGD ACB ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AGD B ∠=∠，又∵AGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BE DG DC ==，则AB BG AG CD AC =+=+；（3）AB CD AC =-，理由为：在AF 上截取AG AC =，如图3所示， ∵AD 为∠F AC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ADC （SAS ）， ∴CD GD =，AGD ACD ∠=∠，即ACB FGD ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FGD B ∠=∠，又∵FGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BG DG DC ==，则AB BG AG CD AC =-=-．【例12】如图所示，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F ．求证：()12BE AC AB =-．【解析】延长BE 交AC 于点F ．则AD 为∠BAC 的对称轴，∵BE ⊥AD 于F ，∴点B 和点F 关于AD 对称， ∴12BE EF BF ==，AB AF =，ABF AFB ∠=∠． ∵3ABF FBC ABC C ∠∠=∠=∠＋，ABF AFB FBC C ∠=∠=∠∠＋， ∴3FBC C FBC C ∠∠∠=∠＋＋， ∴FBC C ∠=∠，∴FB FC =，∴()()111222BE FC AC AF AC AB ==-=-，∴()12BE AC AB =-．【答案】见解析．【例13】如图，已知：△ABC 中AD 垂直于∠C 的平分线于D ，DE ∥BC 交AB 于E ．求证：EA EB =．【解析】由AD 垂直于∠C 的平分线于D ，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD 交BC 与点F ，得D 是AF 的中点，又因为DE ∥BC ，由三角形中位线定理得EA EB =．【答案】延长AD 交BC 与点F ，∵CD 平分∠ACF ，∴12∠=∠，又AD ⊥CD ， ∴ΔADC ≌ΔFDC ，∴AD FD =，又∵DE ∥BC ，∴EA EB =．【例14】已知：如图，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE ⊥AE ．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ，∵BE ⊥AE ，∴90AEB AEM ∠=∠=︒ 在△ABE 中，∵13180AEB ∠+∠+∠=︒， ∴3901∠=︒-∠ 同理，4902∠=︒-∠∵12∠=∠，∴34∠=∠，∴AB AM =∵BE ⊥AE ，∴2BM BE =， ∴AC AB AC AM CM -=-=， ∵∠4是△BCM 的外角，∴45C ∠=∠+∠ ∵3ABC C ∠=∠，∴3545ABC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴34525C C ∠=∠+∠=∠+∠，∴5C ∠=∠ ∴CM BM =，∴2AC AB BM BE -==【答案】见解析．【例15】如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．【答案】见解析．EDCBAFEDCBA课后复习【作业1】如图所示，在△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：点P 在∠A 的平分线上．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =．同理可证PF PG =．所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上，【答案】见解析．【作业2】已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC ⊥AC ．PCBAPABCD【解析】在AB 上取中点E ，连接DE ，则12AE BE AB ==． ∵DA DB =，∴DE ⊥AB ，90AED ∠=︒．又∵2AB AC =，∴AE AC =．∵BAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）． ∴90AED ACD ∠=∠=︒，即DC ⊥AC ．【答案】见解析．【作业3】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【解析】如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠．又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒， ∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =．又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．【答案】见解析．EDCBAABCD【作业4】如图，已知在△ABC 中，AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，过顶点B 作BF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ，连接FC 并延长交AE 于M ．求证：AM ME =．【解析】延长AC ，交BF 的延长线于点N ．∵AD 平分∠BAC ，BF ⊥AD ，∴△AFB ≌△AFN ，∴BF NF =． ∵AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，∴EA ⊥F A ． ∵BF ⊥AF ，∴BF ∥AE ．∴::BF ME CF CM =，::FN AM CF CM =． ∵BF NF =，∴AM ME =．【答案】见解析．ECMF EDCBAN MFEDCBA。

初中数学做辅助线方法

初中数学做辅助线方法在初中数学中，使用辅助线是一种常见的解题方法，它可以帮助我们更好地理解问题和解题思路。

以下是一些常见的辅助线方法以及它们的应用。

1. 分割线法：当我们需要求一个几何图形的面积或长度时，有时可以使用一条或多条辅助线将图形分割成几个简单的几何图形，然后再计算每个简单图形的面积或长度，最后相加得到所求解。

2. 割线法：当我们需要找到一个几何图形内部的一些特殊点时，可以通过引入一条辅助线，将该点和图形的某些已知点连接起来，然后利用几何性质来得出所求点的位置。

3. 三角形连接线法：在三角形的题目中，如果我们需要求解三角形的面积、周长或者证明某些三角形特性时，可以引入一条或多条辅助线，将三角形分割成一些已知的几何图形，然后再进行计算或证明。

4. 外接圆法：当我们需要证明一个几何图形的性质时，有时可以通过引入一个外接圆，将几何图形与圆相切或相交，利用圆的性质来进行推导和证明。

5. 成比例辅助线法：在一些比例相关的问题中，可以通过引入成比例的辅助线来简化计算或证明的过程。

6. 平行线法：当我们需要证明两条线段平行或两个角相等时，可以通过引入一条或多条辅助线，建立起平行关系或等角关系，再利用几何性质进行证明。

除了以上的常见方法，还有许多其他的辅助线方法可以用来解决初中数学中的问题。

在使用辅助线方法时，我们需要注意以下几点：1. 想清楚目的：在引入辅助线之前，我们需要明确引入辅助线的目的是什么，是为了简化计算、证明一个定理，还是找到问题的关键点。

2. 利用已知条件：在选择引入辅助线的位置时，我们要利用已知的条件和题目中给出的信息，选择合适的辅助线，这样可以更好地利用已知条件进行计算或证明。

3. 注意合理性：在引入辅助线时，需要注意辅助线与已知条件的联系，辅助线的引入应该是自然合理的，避免引入没有必要的辅助线，以免使问题复杂化。

4. 利用几何性质：在引入辅助线后，我们需要灵活运用几何性质，结合已知条件和辅助线的位置，进行计算或证明。

数学辅助线常用做法(八年级学生适用)

规律1.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律2. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 =∠4，求证：BE ＋CF ＞EF规律3. 在三角形中有中线时，常等倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD规律4. 当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用截长补智短法： ①a＞b ②a±b = c ③a±b = c±d截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PCMABC D E F12345 12E DC B AP12NCBAA B21PH G FE D B C A H GFE D B C A H GFE D BC AE F D C B A 练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD 2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.求证：BC = AB ＋CD规律5.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图Rt △ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 90o，过A 作任一条直线AN ，作BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E ，求证：DE = BD －CE规律6.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB = CD练习：已知，如图，AB = DC ，AD = BC ，DE = BF ，求证：BE = DF规律7.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

初中几何辅助线口诀和秘籍

初中几何辅助线口诀和秘籍初中几何学是数学学科中的一门重要课程，学习几何学除了需要掌握基本的概念和定理外，还需要学会灵活运用辅助线。

辅助线是指在几何图形中，为了解决问题而临时引入的辅助线段或辅助点。

正确使用辅助线可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。

下面，我将为大家介绍一些初中几何中常用的辅助线口诀和秘籍。

一、辅助线口诀1. 平分线辅助口诀：平分线的作用是将线段、角等等平均分成两份。

当我们遇到需要将线段或角平分的问题时，可以使用平分线来解决。

平分线的特点是与所要平分的线段或角相交于一点，并将其平分为两份。

2. 垂直平分线辅助口诀：垂直平分线的作用是将线段平分，并且垂直于所要平分的线段。

当我们需要将线段垂直平分时，可以使用垂直平分线来解决。

垂直平分线的特点是与所要平分的线段相交于中点，并且与该线段垂直。

3. 高线辅助口诀：高线的作用是求解三角形的高。

当我们需要求解三角形的高时，可以使用高线来解决。

高线的特点是从一个顶点引垂线到对边，该垂线即为三角形的高。

4. 中位线辅助口诀：中位线的作用是将三角形的两个顶点与对边的中点连线。

当我们需要求解三角形的中位线时，可以使用中位线来解决。

中位线的特点是连接三角形的两个顶点与对边中点，将三角形分成两个相等的小三角形。

5. 角平分线辅助口诀：角平分线的作用是将角平分为两个相等的角。

当我们需要将角平分时，可以使用角平分线来解决。

角平分线的特点是从角的顶点引一条线段与角的两边相交于一点，并将角平分为两个相等的角。

二、辅助线秘籍1. 利用垂直平分线求解线段的长度：当我们需要求解一个线段的长度时，可以通过引入垂直平分线的方式来解决。

首先，我们将该线段的两个端点与垂直平分线的两个交点相连，然后利用勾股定理求解。

2. 利用高线求解三角形的面积：当我们需要求解一个三角形的面积时，可以通过引入高线的方式来解决。

首先，我们从一个顶点引垂线到对边，然后利用面积公式S=底×高/2求解。

初中数学辅助线添加技巧：中点

初中数学辅助线添加技巧：中点方法总结很多几何题会给出“点×是线段××的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该想到什么呢？“中点”有哪些作用呢？1．已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形，如下图．DEOC BADOCBA（2）三角形中位线定理．2．已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线．3．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．4．有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点．当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加．典例精析例1．在△ABC 中，11,15AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？DCBA解：延长AD 到点E ，使得DE =AD ，连接CE ．EDCBA,,AD ED ADB EDC BD CD =∠=∠=，∴△ABD ≌△ECD ∴CE =BA ．在△ACE 中，AC CE AE AC CE -<<+，即15111511AE -<<+ ∴426AE << ∵12AD AE =∴213AD <<例2．如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．F EDCBA证明：证法一：如图，延长AD 到点G ，使DG =AD ，连接BG ．GF EDCBA∵,,.DB DC BDG CDA AD GD =∠=∠= ∴△ADC ≌△GDB 又∵AF EF =， ∴EAF AEF ∠=∠， ∵AEF BED ∠=∠ ∴G BED ∠=∠， ∴BE BG =， ∴BE AC =，证法二：如图，延长ED 到点G ，使得DG =DE ，连接CG ．GF EDCBA∵点D 是BC 中点， ∴BD CD = ∵BDE CDG ∠=∠∴△BDE ≌△CDG ∴,G BED BE CG ∠=∠= ∵AF EF =∴FAE AEF BEG ∠=∠=∠ ∴G DAC ∠=∠，即G EAF ∠=∠ ∴AC GC = ∴.AC BE = 举一反三1．如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？F EDCBA2．如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．GF EDCBA例3．在Rt △ABC 中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？FEDCBA答：以线段BE 、EF 、FC 为边能构成一个直角三角形．证明：如图，延长FD 到点G ，使得GD =FD ，连接EG 、BG ．GFEDCBA∵,,CD BD CDF BDC FD GD =∠=∠= ∴△CDF ≌△BDG∴,CF BG FCD GBD =∠=∠ ∴ACBG ．∵90BAC ∠=︒ ∴90EBG ∠=︒ ∵,GD FD ED DF =⊥ ∴EF EG =∵在Rt △EBG 中，222BE BG EG +=，∴故以线段BE 、EF 、FC 为边能构成一个直角三角形．举一反三1．已知AM 为△ABC 的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．F EDCBA2．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+． EFDCBA点拨：例1——例3是利用倍长中线或倍长类中线的方法，将想要求证的线段或角，用全等化到另一个图形中，从而得到所求．例4．如右下图，在△ABC 中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM ⊥EF 于M ．求证：FM =EM ．M E FDCBA证明：如图，连接DF 、DE ．M E FDCBA∵BE 、CF 分别为边AC 、AB 上的高， ∴90BEC BFC ∠=∠=︒．在Rt △BFC 和Rt △BEC 中， ∵D 是BC 边中点， ∴11,22DE BC DF BC ==，∴DE DF =．又∵DM ⊥EF ，∴DM 是EF 的垂直平分线． ∴.EM FM =例5．如图所示，已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且90ABD ACE ︒∠=∠=，连接DE ，设M 为DE 的中点．求证：MB MC =．E证明：延长BM 交CE 于点N ，E∵90ABD ACE ∠=∠=︒， ∴DBCE ，∴.MDB MEN ∠=∠∵,MD ME BMD NME =∠=∠， ∴△MBD ≌△MNE ．∴MB MN =，即M 是BN 的中点． ∵90BCN ∠=︒， ∴MC MB =．点拨：例4、例5是利用直角三角形斜边中线的性质来证明线段相等，特别是例5隐藏中点的发现．例6．（1）已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是BC 和AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：BME CNE ∠=∠．（2）已知，如图四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论．（3）已知，△ABC 中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，EF 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=︒，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明．(3)(2)(1)ABCDGO F E ABC DNM FE NM EF DCBA证明：（1）连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ，H NM E F DCBA∵AB CD =，E 、F 分别是BC ，AD 的中点， ∴1,2HE DC HE NC =．∴HE HF =，∴HFE HEF ∠=∠．∵,HF MB HE NC ，∴,BME HFE CNE FEH ∠=∠∠=∠． ∴BME CNE ∠=∠．（2）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH 、EH ）．（3）△AGD 是直角三角形证明：连接BD ，取BD 的中点H ，连接FH 、EH ．321H ABCDGFE∵F 是AD 的中点， ∴1,2HFAB HF AB =． ∴13∠=∠．同理，1,2HECD HE CD =．∴2EFC ∠=∠． ∵AB CD =， ∴HF HE =． ∴12∠=∠． ∵60EFC ∠=︒，∴360EFC AFG ∠=∠=∠=︒． △AGF 是等边三角形． ∴AF FG =， ∴GF FD =，∴30FGD FDG ∠=∠=︒．∴90AGD ∠=︒，即△AGD 是直角三角形．点拨：例6是利用三角形中位线的性质，将相等的线段缩小一半放在了新的图形中，减半的线段仍相等．例7．如图，已知△ABC 中，AB =AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到点D ，使BD =AB ．求证：CE =2CE ．ABCDE解法一：如图所示，延长CE 到F ，使EF CE =．解法一ABCDFE容易证明EBF EAC ∆∆≌，从而BF AC =，而AC AB BD ==，故BF BD =．注意到CBD BAC ACB BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠， CBF ABC FBA ABC CAB ∠=∠+∠=∠+∠，故CBF CBD ∠=∠，而BC 公用，故CBF CBD △≌△，因此2CD CF CE ==．解法二：延长CE 到点F ，使得EF =CE ，连接AF ．解法二ABCDFE容易证明△EAF ≌△EBC ，从而AF =BC ，而AC AB BD ==．注意到，FAB ABC ACB ∠=∠=∠CBD BAC ACB BAC FAB FAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故△FAC ≌△CBD ，因此2CD CF CE ==．解法三：延长BC 到点F ，使CF =CB ，如解法三图．解法三AB CDFE由题意可知AC AB BD ==．注意到FAB ABC ACB ∠=∠=∠，CBD BAC ACB BAC CBA FCA ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故△FAC ≌△DCB ，因此CD =AF ,又C 、E 分别为AB 、BF 的中点，故CE 为△ABF 的中位线，因此CD =AF =2CE ．解法四：如图所示，取CD 的中点F ，连接BF ．C解法四AB DFE因为F 是CD 的中点，B 是AD 的中点，故BF 是DAC △的中位线，从而1122BF AC AB BE ===，由BF ∥AC 可得FBC ACB ABC EBC ∠=∠=∠=∠，CB CB =，故BCE BCF △≌△，从而EC =FC ，2CD CE =．解法五：延长AC 到F ，使得CF =AC ．连接BF 、DF ．C解法五AB DFE∵AF =2AC =2AB =AD ．易得△ABF ≌△ACD ． ∴BF =CD ． ∵E 是AB 中点，∴CE 是△ABF 的中位线． ∴CD =BF =2CE ．解法六：证明：取AC 的中点F ，连接BF ，C解法六AB DFE∵AB =AC ，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点， ∴AE =AF ，∵∠A =∠A ，AB =AC ， ∴△ABF ≌△ACE （SAS ）， ∴BF =CE ，∵BD =AB ，AF =CF ， ∴DC =2BF ， ∴DC =2CE ．点拨：这是一道多解题，思路很宽，利用中点作中线、倍长中线、中位线等辅助线是常用的解题方法．例8．（1）△ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，AE 、BF 交于点M ，连接 DE 、DF ．若DE =kDF ，则k 的值为．（2）△ABC 中，CB CA =，点D 是AB 边的中点，点M 在△ABC 内部，且MAC MBC ∠=∠．过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，连接DE 、DF ，求证：DE DF =．（3）若将（2）中的条件“CB CA =”变为“CB CA ≠”，其它条件不变，试探究DE 、DF 之间的数量关系，并证明你的结论．(3)(2)(1)ABCDE F M A BCDE FMMFEDCBA解：（1）1；（2）证明：∵CB CA =， ∴CBA CBA ∠=∠ ∵MAC MBC ∠=∠∴CBA MAC CBA MBC ∠-∠=∠-∠ 即MAB MBA ∠=∠ ∴MA MB =∵,,ME BC MF AC ⊥⊥垂足分别为E 、F ， ∴90AFM BFM ∠=∠=︒．∵,,AFM BEM MAF MBE MA MB ∠=∠∠=∠=， ∴△AFM ≌△BEM ． ∴AF BE =∵点D 是AB 边的中点， ∴BD AD =∵,,BD AD DBE DAF BE AF =∠=∠=， ∴△BDE ≌△ADF ． ∴DE DF =．（3）证明：分别取AM 、BM 的中点G 、H ，连接DG 、FG 、DH 、EH ，HGA BCD EF M∵点D 、G 、H 分别是AB 、AM 、BM 的中点， ∴,DGBM DHAM ，且11,22DG BM DH AM ==．∴四边形DHMG 是平行四边形． ∴DHM DGM ∠=∠，∵,,ME BC MF AC ⊥⊥垂足分别为E 、F ， ∴90AFM BEM ∠=∠=︒． ∴11,22FG AM AG EH BM BH ====． ∴,,,FG DH DG EH GAF GFA HBE HEB ==∠=∠∠=∠． ∴2,2FGM FAM EHM EBM ∠=∠∠=∠． ∵FAM EBM ∠=∠ ∴FGM EHM ∠=∠．∴DGM FGM DHM EHM ∠+∠=∠+∠即DGF DHE ∠=∠． ∵,,EH DG EHD DGF HD GF =∠=∠=， ∴△EHD ≌△DGF ． ∴DE DF =．跟踪训练1．在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，D 为AC 边上中点，过点D 作DE DF ⊥，交BC 于点F ．若AE =4，FC =3，求EF 长．ABCDEF2．在正方形ABCD 中，F 是AB 中点，连接CF ，作DE CF ⊥交BC 于点E ，交CF 于点M ，求证：AM AD =．ABCDEFM3．如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．ABCDEM4．等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD =，AC 与BD 交于点O ，60AOB ∠=︒，P 、Q 、R 分别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ∆是正三角形．QP R OABCD5．在△ABC 中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点，求证：2AB DE =．BC6．如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，点M 为BC 中点．（1）求证：AM EG ⊥,（2）求证：2EG AM =．GAFMEDCB7．在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ．判断△MNQ 的形状．QGNAFMEDCB8．如图，在五边形ABCDE 中，90,,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠点F 为CD 的中点，求证：BF EF =．AB CDE F中考前瞻如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 的中点，过点C 作AB 的垂线交AB 于点E ，若3EMD MEA ∠=∠．求证：2BC AB =．A BCDE M。

初中辅助线(方法)

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。
分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。
证明：（截长法）
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
∵BE⊥CF （已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）
在△BEF与△BEC中，
∵
∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE= CF （全等三角形对应边相等）
∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

人教版八年级数学上册第十二章中考压轴题中的辅助线之中点模型探究课件(共19张PPT)

倍长类中线法
A A
A
D
E
D
B B C C B D
C
中位线定理
直角三角形斜边中线定理
等腰三角形三线合一定理
例1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB 到D，使BD=AB，连接CD．求证：CD=2CE
思路分析：本题的已知条件中出现了中线、中点等，我们应该想到什么呢？方法1.1：倍长中线法1，
中点模型探究
所属：初中数学初中数学中考专题复习怎样添加辅助线适用：八、九年级版本：初中教材所有版本
中点模型探究
初中几何辅助线系列专题
中考考情分析：在全国各地历年的中考压轴题中，与中点有关的内容，几乎是每年都必考的，而且多以计算题和证明题的形式出现，由于常常要作辅助线，难度也比较大，同学们普遍感觉到不知从何处下手。
拓展：
问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为_____．
拓展:问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．A NhomakorabeaC
E
M
D
B
练习3.已知,如图AB=AC,AD=AE,∠ BAC=∠ DAE=90° ,M是BE中点,求证： AM⊥DC
小结：当已知三角形的中点（线）时可以考虑：
1.倍长中线法或者类中线法（与中点有关的线段）构造全等三角形 2.利用三角形的中位线定理构造中位线 3.直角三角形中，可以考虑斜边的中线定理构造斜边的中线 4.等腰三角形中，可以考虑三线合一定理构造底边上的中线 5.其他类：如直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。

八年级上册数学典中点

八年级上册数学典中点在八年级数学学习中，中点是一个重要的概念。

中点通常指的是线段的中心点，它在几何图形中具有重要的意义。

在本文中，我们将详细介绍中点的定义、性质和应用。

一、中点的定义中点是指线段的中心点，即将线段分成两个相等部分的点。

具体来说，给定一个线段AB，如果存在一个点M，使得AM=MB，那么点M就是线段AB的中点。

二、中点的性质中点具有以下性质：1. 中点将线段分成相等的两部分。

即线段的两个端点到中点的距离相等，即AM=MB。

2. 中点在线段上。

中点M必须位于线段AB上，无论是在线段的内部还是边界上。

3. 中点唯一。

对于一个给定的线段AB，只有一个中点M，使得AM=MB。

三、中点的求法及相关定理1. 求线段中点的方法要求线段的中点，可以采用如下公式：中点M的坐标 = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别为线段的两个端点坐标。

2. 中点分割定理中点分割定理是指，当一条线段被一个点分成两部分时，该点就是这条线段的中点，当且仅当这个点把线段分成的两个线段相等。

四、中点的应用中点不仅仅是一个几何概念，还有着广泛的应用。

以下是一些常见的中点的应用场景：1. 制作折线图在制作折线图的过程中，我们需要确定每个数据点的位置。

如果我们已知两个数据点的坐标，可以通过求取这两个数据点连线的中点，来确定折线图上其他数据点的位置。

2. 计算线段长度在数学问题中，我们常常需要计算线段的长度。

如果已知线段的两个端点，并且知道其中一个端点到线段中点的距离，可以通过距离乘以2的方式得到线段的长度。

3. 解决几何问题在解决一些几何问题时，中点的概念也经常被用到。

例如，在研究平行线性质时，中点的位置和相对关系可以提供重要的线索。

总结：中点是八年级上学期数学中一个重要的概念。

我们详细介绍了中点的定义、性质、求法及相关定理，并举例说明了中点在实际问题中的应用。

通过对中点的学习与理解，可以帮助我们更好地掌握数学知识，应用于实际生活和解决问题中。

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