《实验校》八上数学第十二讲—中点或中线辅助线方法

第十二讲辅助线方法四

辅助线方法（四）已知中点或中线：(1)中线倍长（若已知两线平行间的线段中点或中线，延长中线与平行线相交，也视作中线倍长）；(2)向中线作垂线（过线段两端点向过中点的直线作垂线）；(3)向中线作平行线；(4)若已知等腰三角形底边的中点，连接中点和顶点．

1．在△ABC中，AB=2cm，AC =4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是．

2．已知，如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE=AC，且BF=5，CF=3，那么AF的长度为．

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB =40°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有个．

4．如图，在△ABC中，过点A作线段AD∥BC，连接BD，且满足AD+BD=BC，取AC的中点E，连接BE，DE．求证：BE⊥DE．

5．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第四象限中，∠ABC=90°，点C 关于AB的对称点为E，点C关于x轴的对称点为F，连接EF交y轴于点P，求证：PE=PF．

6．如图，在△ABD中，∠DAB=90°，AB=AD，过D，B两点分别作过4点直线的垂线，垂足分别为E，C 两点，M为BD中点，连接ME，MC，请探究△EMC的形状．

7．已知，如图，∠ABC=90°，AB∥CD，点E为BC上一点，且AB=CD=BE，AE，DC的延长线交于点F，连BD，若G是EF的中点，求∠BDG的度数．

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D为AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E 不与点A，C重合）且保持∠EDF=90°，连接EF，在此运动变化过程中，求S△CEF的最大值．

9．已知等腰直角三角形ABC中，AC=BC，CO=BO，AB与y轴相交于点E，点D是x轴上B点右侧一动点，作CN⊥AD交AD于N，交AB于M，AD与y轴交于点G，连接GM并延长交x轴于点F，求证：CF=BD．

10．已知∠BAE与∠BCD互为补角，AB=AE，CB=CD，连接ED，P为ED的中点．

(1)如图1，若A，B，C三点在同一条直线上．

①求证：∠EBD =90°．

②求证：AP∥BD．

(2)如图2，若A，B，C三点不在同一条直线上，求证：AP⊥CP．

11．已知，如图，A(0，3)，B(4，0)，点C，D的坐标分别为C(0，－4)，D（3，－4），E，F分别为OC，OB中点，连接EF交AD于点G，求证：AG=GD．

12．如图，正方形ABCD，A是BE的中点，连接DE，M是线段BC上任意一点，N是AM的中点，点Q 在DE上，∠CNQ=90°，求∠NQC．

13．如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B，C分别为x轴负半轴，x轴正半轴上的点，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，连DE．

(1)如图1，求证：DF=EF；

(2)如图2，若BG=CG，DG=EG，P为CE的中点，请探究PG与BD的关系，

14．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，有一等腰直角三角形ADE绕A点旋转，如图，且AD=DE，连接BE，取BE的中点P，请探究PD和PC的关系．

15．已知点A 与点C 为x 轴上关于y 轴对称的两点，点B 为y 轴负半轴上一点．

(1)如图1，点E 在BA 的延长线上，连接EC 交y 轴于点D ，若BE =8，EC =6，CB =4，求△ADE 的周长；

(2)如图2，点G 为第四象限内一点，BG =BA ，连接GC 并延长交y 轴于F ，请探究∠ABG 与∠FCA 之间的数量关系；

(3)如图3，A （－3，0），B （0，－4），点E (－6，4)在射线BA 上，以BC 为边向下构造等边△BCM ，以EC 为边向上构造等腰△CNE ，其中CN =EN ，∠CNE = 120°，连接AN ，MN ，求证：

21 MN AN ．