2018年四川省成都市嘉祥外国语学校自主招生数学试卷(直升卷)

2018年四川省成都市嘉祥外国语学校自主招生数学试卷（直升卷）一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）﹣的倒数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（3分）下列计算结果正确的是（）A．（﹣a3）2＝a9B．a2•a3＝a6C．﹣22＝﹣2D．＝13．（3分）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则a的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．1或者﹣14．（3分）烟台市通过扩消费、促投资、稳外需的协同发力，激发了区域发展活力，实现了经济平稳较快发展．2013年全市生产总值（GDP）达5613亿元．该数据用科学记数法表示为（）A．5.613×1011元B．5.613×1012元C．56.13×1010元D．0.5613×1012元5．（3分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．三棱柱6．（3分）下列命题中，真命题是（）A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．两条对角线相互垂直且平分的四边形是正方形C．等边三角形即使轴对称图形又是中心对称图形D．在一个角是60°的等腰三角形是等边三角形7．（3分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan ∠ACB的值为（）A．B．C．D．38．（3分）甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△DEF的面积为1，则△BCF的面积为（）A．1B．2C．3D．410．（3分）如图，等边△ABC中，边长AB＝3，点D在线段BC上，点E在射线AC上，点D沿BC方向从B点以每秒1个单位的速度向终点C运动，点E沿AC方向从A点以每秒2个单位的速度运动，当D 点停止时E点也停止运动，设运动时间为t秒，若D、E、C三点围成的图形的面积用y来表示，则y与t的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共16分）11．（4分）分解因式：12m2﹣3＝．12．（4分）若A（1，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）是双曲线上的点，则y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）13．（4分）有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是．14．（4分）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，AB＝5，AC＝4，则BD＝．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：2﹣2﹣（π﹣2011）0+cos45°﹣（2）解不等式组：，并写出该不等式组的最小整数解．16．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．17．（8分）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB＝1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE＝32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC＝20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）18．（8分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为8，AB⊥x轴于点B，sin∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支经过AO的中点C，交AB于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）求四边形OCDB的面积．20．（10分）如图，BC为半⊙O的直径，D是弧CA的中点，连接OD，交AC于点F．（1）若∠DCH＝∠ABD，求证：CH为⊙O的切线；（2）求证：CA•BC＝2BD•CD；（3）连接OE，若AE＝3，CD＝，求AB及OE的长．一、填空题（每小题6分，共30分）21．（6分）已知x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣6＝0的一个根，则2a﹣3b+6的值是．22．（6分）有六张正面分别标有数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使（a+3）a+1＝1成立的概率是．23．（6分）对于平面直角坐标系中的任意两点P（x1，y1），P2（x2，y2），称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P1，P2两点的直角距离，记作d（P1，P2）．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝kx+b上的动点，称d （P0，Q）的最小值为P0到直线y＝kx+b的直角距离．令P（2，﹣3），O为坐标原点，Q是直线y＝x+5，则：（1）d（O，P）＝；（2）d（P，Q）＝．24．（6分）已知n是正整数，P n（x n，y n）是反比例函数y＝图象上的一列点，其中x1＝1，x2＝2，…，x n＝n，记T1＝x1y2，T2＝x2y3，…，T n＝x n y n+1；若T1＝1，则T1•T2•…•T n＝．25．（6分）如图，Rt△ABC中AB＝6，AC＝10，△ABC的内切圆交AC于点D，点P从D出发，沿射线DC每次前进一个单位，点Q从D出发沿DA和射线AB每次前进a个单位，a为正整数且1≤a≤8，当t次前进后△APQ与△ABC相似，所有满足条件的t为．五、解答题（共2小题，满分20分）26．（8分）2016年国家提出供给侧制度改革，某电商预测一种皮鞋能畅销市场，就用13200元购进了一批这种皮鞋，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种皮鞋，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批皮鞋是多少双？（2）若两批皮鞋按相同的标价销售，最后剩下50双按八折优惠卖出，如果两批皮鞋全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每双皮鞋的标价至少是多少元？27．（12分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP 的距离．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．选：B．2．选：C．3．选：C．4．选：A．5．选D．6．选：D．7．选：B．8．选：B．9．选：D．10．选：C．二、填空题（每小题4分，共16分）11．答案为：3（2m+1）（2m﹣1）．12．答案为＜．13．填2．14．BD＝．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：2﹣2﹣（π﹣2011）0+cos45°﹣（2）解不等式组：，并写出该不等式组的最小整数解．【解答】解：（1）原式＝﹣1+×+＝﹣1+1+2+＝+；（2）解不等式①得：x≥0，解不等式②得：x＜1，所以不等式组的解集为：0≤x＜1，不等式组的最小整数解为0．16．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．【解答】解：原式＝（+）×＝×＝，当x＝＝﹣﹣1时，原式＝＝．17．（8分）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB＝1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE＝32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC＝20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【解答】解：由题意得AC＝20米，AB＝1.5米，∵∠DBE＝32°，∴DE＝BE tan32°≈20×0.62＝12.4米，∴CD＝DE+CE＝DE+AB＝12.4+1.5≈13.9（米）．答：旗杆CD的高度约13.9米．18．（8分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了20名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；故答案为：20；（2）∵C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；如图：（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，男A1男A2…（7分）女A男D男A1男D男A2男D女A男D女D男A1女D男A2女D女A女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：＝．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为8，AB⊥x轴于点B，sin∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支经过AO的中点C，交AB于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）求四边形OCDB的面积．【解答】解：（1）∵A点的坐标为（8，y），∴OB＝8，∵AB⊥x轴于点B，sin∠OAB＝，∴＝，∴OA＝10，由勾股定理得：AB＝＝6，∵点C是OA的中点，且在第一象限内，∴C（4，3），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴k＝12，∴反比例函数解析式为：y＝；（2）作CE⊥x轴于点E．则E的坐标是（4，0）．OE＝BE＝4，CE＝3．在y＝中，令x＝8，解得y＝，则BD＝．则S四边形OCDB＝S△OCE+S梯形CEBD＝OE•CE+（CE+BD）•BE＝×3×4+（3+）×4＝6+9＝15．20．（10分）如图，BC为半⊙O的直径，D是弧CA的中点，连接OD，交AC于点F．（1）若∠DCH＝∠ABD，求证：CH为⊙O的切线；（2）求证：CA•BC＝2BD•CD；（3）连接OE，若AE＝3，CD＝，求AB及OE的长．【解答】（1）证明：∵BC为半⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵D是弧CA的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠DBO，∵∠DCH＝∠ABD，∴∠DBC＝∠DCH，而∠DBC+∠BCD＝90°，∴∠DCH+∠BCD＝90°，即∠BCH＝90°，∴OC⊥CH，∴CH为⊙O的切线；（2）证明：∵D是弧CA的中点，∴＝，OD⊥AC，∴∠DCA＝∠DBC，AF＝CF，∴Rt△CDF∽Rt△BCD，∴＝，而CF＝AC，∴AC•BC＝BD•CD，即CA•BC＝2BD•CD；（3）解：设CF＝x，则AF＝x，EF＝x﹣3，∵∠DCF＝∠ECD，∴Rt△CDF∽Rt△CED，∴CD：CE＝CF：CD，∴CE•CF＝CD2，即（2x﹣3）•x＝（2）2，整理得2x2﹣3x﹣20＝0，解得x1＝4，x2＝﹣（舍去），∴CF＝4，EF＝1，在Rt△DCF中，DF＝＝2，设圆的半径为r，则OF＝r﹣2，OC＝r，在Rt△OCF中，（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，∴OF＝5﹣2＝3，∴AB＝2OF＝6，连结OE，如图，在Rt△OEF中，OE＝＝＝．一、填空题（每小题6分，共30分）21．（6分）已知x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣6＝0的一个根，则2a﹣3b+6的值是9．【解答】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣6＝0的一个根，∴4a﹣6b﹣6＝0，∴4a﹣6b＝6，∴2a﹣3b＝3∴2a﹣3b+6＝3+6＝9．故答案是：9．22．（6分）有六张正面分别标有数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使（a+3）a+1＝1成立的概率是．【解答】解：∵标有数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0的卡片中，当a＝﹣1，a＝﹣2时（a+3）a+1＝1成立，∴使（a+3）a+1＝1成立的概率是：＝．故答案为：．23．（6分）对于平面直角坐标系中的任意两点P（x1，y1），P2（x2，y2），称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P1，P2两点的直角距离，记作d（P1，P2）．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝kx+b上的动点，称d （P0，Q）的最小值为P0到直线y＝kx+b的直角距离．令P（2，﹣3），O为坐标原点，Q是直线y＝x+5，则：（1）d（O，P）＝5；（2）d（P，Q）＝10．【解答】解：（1）∵P（2，﹣3），O为坐标原点，∴d（O，P）＝|0﹣2|+|0﹣（﹣3）|＝5．故答案为：5；（2）设Q点坐标为（x，x+5），d（P，Q）＝|x﹣2|+|x+5+3|＝|x﹣2|+|x+8|，当x＞2时，|x﹣2|+|x+8|＝x﹣2+x+8＝2x+6＞10，当﹣8≤x≤2时，|x﹣2|+|x+8|＝2﹣x+x+8＝10，当x＜﹣8时，|x﹣2|+|x+8|＝2﹣x﹣x﹣8＝﹣2x﹣6＞10，所以d（P，Q）＝10．故答案为10．24．（6分）已知n是正整数，P n（x n，y n）是反比例函数y＝图象上的一列点，其中x1＝1，x2＝2，…，x n＝n，记T1＝x1y2，T2＝x2y3，…，T n＝x n y n+1；若T1＝1，则T1•T2•…•T n＝．【解答】解：T1•T2•…•T n＝x1y2•x2y3…x n y n+1＝x1••x2••x3•…x n•＝x1•，又因为x1＝1，所以原式＝，又因为T1＝1，所以x1y2＝1，又因为x1＝1，所以y2＝1，即＝1，又x2＝2，k＝2，T1＝1时，于是T1•T2•…•T n＝，∵x n＝n+1，∴原式＝．故答案为：．25．（6分）如图，Rt△ABC中AB＝6，AC＝10，△ABC的内切圆交AC于点D，点P从D出发，沿射线DC每次前进一个单位，点Q从D出发沿DA和射线AB每次前进a个单位，a为正整数且1≤a≤8，当t次前进后△APQ与△ABC相似，所有满足条件的t为1、2、8、16、32．【解答】解：如图1，连接OD、OE、OF，，∵Rt△ABC中AB＝6，AC＝10，∴BC＝，∴（AB+BC+AC）×OD÷2＝AB×BC÷2，∴OD＝6×8÷（6+8+10）＝48÷24＝2，设AD＝x，则CD＝CE＝10﹣x，BE＝BF＝8﹣（10﹣x）＝x﹣2，AF＝AD＝6﹣（x﹣2）＝8﹣x，∴x＝8﹣x，解得x＝4，∴当t次前进后，点P前进的距离是t，点Q前进的距离是at，（1）当∠APQ＝90°时，∵△APQ与△ABC相似，∴，∴，∴＝，整理，可得t＝，∵a为正整数且1≤a≤8，∴a＝2时，t＝32；a＝3时，t＝8；a＝7时，t＝2．（2）当∠AQP＝90°时，∵△APQ与△ABC相似，∴，∴＝，整理，可得t＝，∵a为正整数且1≤a≤8，∴a＝1时，t＝16；a＝7时，t＝1．综上，可得所有满足条件的t为1、2、8、16、32．故答案为：1、2、8、16、32．五、解答题（共2小题，满分20分）26．（8分）2016年国家提出供给侧制度改革，某电商预测一种皮鞋能畅销市场，就用13200元购进了一批这种皮鞋，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种皮鞋，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批皮鞋是多少双？（2）若两批皮鞋按相同的标价销售，最后剩下50双按八折优惠卖出，如果两批皮鞋全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每双皮鞋的标价至少是多少元？【解答】解：（1）设该商家购进的第一批皮鞋是x双，则第二批购进的皮鞋是2x双，根据题意，得+10＝，解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批皮鞋是120双；（2）两批皮鞋一共购进3x＝3×120＝360（双）．设每双皮鞋的标价是y元，根据题意，得（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150，答：每双皮鞋的标价至少是150元．27．（12分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD、BE之间的数量关系为AD＝BE．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【解答】解：问题发现（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED ∵点A、D、E在同一条直线上，∴∠ADC＝120°∵∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，DC＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC＝∠CEB＝120°∴∠ABE＝∠CEB﹣∠CED＝60°②∵△ACD≌△BCE∴AD＝BE故答案为：60°，AD＝BE（2）拓展研究：猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．解决问题：（3）∵点P满足PD＝2，∴点P在以D为圆心，2为半径的圆上，∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴如图，点P是两圆的交点，若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，∵CD＝2＝BC，∠BCD＝90°∴BD＝4，∵∠BPD＝90°∴BP＝＝2∵∠BPD＝90°＝∠BAD∴点A，点B，点D，点P四点共圆∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP∴∠HAP＝∠APH＝45°∴AH＝HP在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，∴8＝AH2+（2﹣AH）2，∴AH＝+1（不合题意），或AH＝﹣1若点P在CD的右侧，同理可得AH＝+1综上所述：点A到BP的距离为：+1或﹣1。