初等数论试题 - 360文档中心

初等数论练习题及答案

初等数论练习题一一、填空题1、τ（2420）=27；ϕ（2420)=_880_2、设a ，n 是大于1的整数，若a n —1是质数,则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4,-3，—2,-1，0,1，2,3,4}。

4、同余方程9x+12≡0（mod 37）的解是x ≡11(mod 37）。

5、不定方程18x —23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_.78、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 =—1。

9、若p 是素数,则同余方程xp - 1≡1(mod p ）的解数为二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 （mod 105）。

解:因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20≡0 （mod 3）的解为x ≡1 (mod 3），同余方程3x 2+11x -38 ≡0 （mod 5）的解为x ≡0，3 (mod 5),同余方程3x 2+11x -20≡0 （mod 7）的解为x ≡2，6 (mod 7），故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡b 1 （mod 3),x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1,b 2 = 0，3,b 3 = 2,6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13,55，58，100 (mod 105）。

2、判断同余方程x 2≡42（mod 107）是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：故同余方程x 2≡42(mod 107）有解。

3、求(127156+34）28除以111的最小非负余数.解：易知1271≡50（mod 111)。

《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)

《初等数论》试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+；Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+；Ｄ．[][]1x x x <<+．２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３；Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５；Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ．3C ． 2D ． 1 14．模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15．若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ．323ind =C ．350ind =D ．3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22．多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24．设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26．勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27．若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28．在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29．设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。

自考初等数论试题及答案

自考初等数论试题及答案初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求563429,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?]=[1768,391] ------------(4分) = 173911768?=104?391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）化简得4873=+y x ； -------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论试卷,最全面的答案,包括截图

初等数论考试试卷一、单项选择题：（1分/题X 20题=20分）1 •设x为实数，lx ]为x的整数部分，则（A ）A.[xl X ：：: lx ； E. [x I ::: x Ixl • 1 ;C. lx I x lx A：；1 ;D. lx I ::: X ：：: Ix.l • 1 .2.下列命题中不正确的是（B ）A.整数a i,a2,||（,a n的公因数中最大的称为最大公因数；C.整数a与它的绝对值有相同的倍数D.整数a与它的绝对值有相同的约数3 .设二元一次不定方程ax・by=c （其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有一整数解x o,y°,d二a,b，则此方程的一切解可表为（C ）a bA.x =x°t, y 二y°t,t =0, _1,_2」H;d da bB.x = X o t, y 二y o t,t = 0, —1, _2」H;d db ac. x =X o t, y =y°t,t =0, _1,_2,川；d db aD. x =x°t, y 二y o t,t =0, 一1,_2,|"；d d4. 下列各组数中不构成勾股数的是（D ）A. 5, 12, 13;B. 7, 24, 25;C.3, 4, 5;D. 8, 16, 175. 下列推导中不正确的是（D ）A.® 三b modm ,a2 三d modm = y a?三b b2modm ;B.Q= b mod m ,a2 = b2 modm = Qa? = bb 2mod m ;c. Q= b mod m = 时2 = ba 2modm ;2 2C. 一5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.a1= b1 modm = Q=b modm .6 .模10的一个简化剩余系是（D ）A. 0,1,2,川,9;B. 1,2,3川1,10;7. a三b modm的充分必要条件是(A )A. ma —b;B. a —b m;C.m a +b;D. a +b m.&设f x =x42x38x 9，同余式f x三0 mod5的所有解为(C )A. x =1 或-1;B. x =1 或4;C. x 三1 或-1 mod5 ;D.无解.9、设f(x)= a n X n JlUII a1x • a°其中a i是奇数,若x = x0mod p 为f(x) = 0 mod p 的一个解, 则:(?)A. 了.三/.: mod p 厂定为f (x)三0(mod p勺,1的一个解B. '三I mod p「，：：1,一定为f (x)三0 mod p ：的一个解D. 若x三x° mod p -为f (x)三0 mod p -的一个解，则有x ：三x° mod p10.设f (x)二a n x n|川|) ax a0,其中a i为奇数,a n丞Omodp,n p,则同余式f (x) =0 mod p 的解数：( )A.有时大于p但不大于n; B .不超过pC.等于p D .等于n11.若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的:( D )A. 3 B . 11 C . 13 D . 2312.若雅可比符号->1，则(C )Im丿2A. 同余式x三a modm 一定有解,B. 当a,m =1时,同余式x2=a mod p有解；C. 当m = p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解；D. 当a二p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解.13.若同余式x2三a mod2‘，〉-3, 2, a =1有解,则解数等于(A )C. 一5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.18. 若x 对模m 的指数是ab , a >0, ab >0,则a 对模m 的指数是（B ） A. a B . b C . ab D.无法确定19. f a , g a 均为可乘函数，则（A ）A. f a g a 为可乘函数；B .f ag （a ）C. f a g a 为可乘函数； D . f a - g a 为可乘函数 20. 设丄［a 为茂陛乌斯函数，则有（B ）不成立A 二 J 1 =1B .空-1 =1C .二■-2 = -1D .二=9 =0二. 填空题：（每小题1分，共10分） 21. 3在45!中的最高次n = ________ 21 ___ ; 22.多元一次不定方程：a 1x 1a 2x 2 •丨II a n x^ N ,其中a 1 , a 2，…，a n , N 均为整数，n _ 2 ,有整数解的充分必要条件是 _ （ a 1 , a 2 ,…，a n ,） I N_a23.有理数一，0cavb ,（a,b ）=1，能表成纯循环小数的充分必要条件是_ （10, b ） =1__；b-_24.设x 三冷 mod m 为一次同余式ax 三b modm , a = 0 mod m 的一个解，则它的所有解A . 414. A . 15. A . B . 3 C 模12的所有可能的指数为：（ 1, 2, 4 B . 1, 2, 4, 6, 若模m 的原根存在，下列数中， 2 B .3 C16. 对于模5，下列式子成立的是 .2 A )12 C . 1, 2, m 不可能等于：(D .12B )3, D 4, 6,12 D •无法确定 )A. in d 32 =2 ind 3^=3C.in d 35 =0ind 310 二 ind 32 ind 3517. A. 下列函数中不是可乘函数的是：茂陛鸟斯（mobius ）函数w （a ）; B. 欧拉函数■- a ；C. 不超过x 的质数的个数二x ；25. ____________________________ 威尔生（wilson ）定理： _______________ （P —1）! +1 三0（modp ）, p 为素数 _____________ ；26.勒让德符号'^03 |=1;訂013丿27. 若a, p [=1，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是 a 2三1 mod p （欧拉判别条件； 28. 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是 _讥営m __；29. 设。

初等数论期末试题及答案

初等数论期末试题及答案1. 选择题1.1 以下哪个数是质数？A. 10B. 17C. 26D. 35答案：B. 171.2 下列哪个数不是完全平方数？A. 16B. 25C. 36D. 49答案：C. 361.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？A. n^2B. n^3C. n+1D. n-1答案：A. n^22. 填空题2.1 求下列数的最大公约数：a) 24和36b) 45和75答案：a) 12b) 152.2 求下列数的最小公倍数：a) 6和9b) 12和18答案：a) 18b) 363. 计算题3.1 求1到100之间所有奇数的和。

解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。

根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 25003.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。

解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。

根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 16834. 证明题4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。

证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。

我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。

对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。

所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。

而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。

初等数论练习题

初等数论练习题初等数论练习题信阳职业技术学院2010年12月初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=___________； ?(2420)=___________。

2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=___________。

3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。

4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是__________。

5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。

6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_______。

7、18100被172除的余数是___________。

8、??10365 =___________。

9、若p 是素数，则同余方程x p 11(mod p )的解数为。

二、计算题 1、解同余方程：3x 211x200 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

三、证明题1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明：（1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a≡0 (mod p)；（2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。

2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n2a ≡1(mod 2n+2)。

3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。

证明：k p 1C - （-1 ）k(mod p )。

4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。

初等数论练习题二一、填空题1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。

2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是__________。

3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=_________。

4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________。

初等数论试卷

初等数论试卷初等数论试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( )Ａ．[][]1x x x ≤<+；Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+；Ｄ．[][]1x x x <<+．２．下列命题中不正确的是( )Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d=+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３；Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５；Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡６．模１０的一个简化剩余系是( )Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( )Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4;Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．2312．若雅可比符号1a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 114．模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定15．若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 1216．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+17．下列函数中不是可乘函数的是: ( )A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( )A ．aB ．bC ．abD ．无法确定19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( )A ．()()f a g a 为可乘函数；B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ=二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________；22．多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数a b，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24．设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson ）定理：________________________________________；26．勒让德符号5031013⎛⎫ ⎪⎝⎭=________________________________________； 27．若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；28．在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；29．设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________；30． ()48ϕ=_________________________________。

《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)

《初等数论》试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+；Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+；Ｄ．[][]1x x x <<+．２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３；Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５；Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ．3C ． 2D ． 1 14．模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15．若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ．323ind =C ．350ind =D ．3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22．多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24．设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26．勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27．若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28．在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29．设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。

初等数论试卷,最全面的答案,包括截图

初等数论考试试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A )Ａ．[][]1x x x ≤<+；Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+；Ｄ．[][]1x x x <<+．2．下列命题中不正确的是( B )Ａ．整数12,,,n a a a L 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a L 的公倍数中最小的称为最小公倍数【有最小的吗】Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=-=+=±±L Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=+=-=±±L Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d=+=-=±±L Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d=-=-=±±L 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13；Ｂ．7，24，25；Ｃ．3，4，5；Ｄ．8，16，175．下列推导中不正确的是( D )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡6．模10的一个简化剩余系是( D )Ａ．0,1,2,,9;L Ｂ．1,2,3,,10;LＣ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.7．()mod a b m ≡的充分必要条件是( A ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +8．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( C ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4;Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．9、设f(x)=10n n a x a x a +++K K 其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( ? )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/K K 设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（） A ．有时大于p 但不大于n; B ．不超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( D )A ．3B ．11C ．13D ．2312．若雅可比符号1a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 ( C ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( A )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 114．模12的所有可能的指数为：( A )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定15．若模m 的原根存在，下列数中，m 不可能等于：( D )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 1216．对于模5，下列式子成立的是 ( B )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+17．下列函数中不是可乘函数的是： ( C )A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则a χ对模m 的指数是( B )A ．aB ．bC ．abD ．无法确定19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( A )A ．()()f a g a 为可乘函数；B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( B )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ=二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ _____21____；22．多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=L ，其中1a ，2a ，…，n a ，N均为整数，2≥n ，有整数解的充分必要条件是_（1a ，2a ，…，n a ，）︱N_；23．有理数a b，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_（10，b ）=1__；24．设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为； 25．威尔生（wilson ）定理：____()1p -！+1()0mod ,p p ≡为素数______；26．勒让德符号5031013⎛⎫ ⎪⎝⎭=___1___；27．若)(,1a p =，则a 是模p 欧拉判别条件)；28．在模m 的简化剩余系中，原根的个数是___()()m φφ__；29．设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_g 与g+a p 中的奇数_；30． ()48ϕ=___16___。

(完整版)初等数论练习题答案

初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

7、18100被172除的余数是_256。

8、 =-1。

⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。

二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。

解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解：故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

初等数论习题

《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m pmn pq，则m pmq np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >，则n1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为a2 p（a > 0是整数，p为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12n4 2n3 11n2 10n，nZ。

2. 设3a2 b2，证明：3a且3b。

3. 设n，k是正整数，证明：nk与nk + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2不可能成立。

5. 设a是自然数，问a4 3a2 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x，yZ，172x 3y，证明：179x 5y。

5. 设a，b，cN，c无平方因子，a2b2c，证明：ab。

6. 设n是正整数，求的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a，b是正整数，证明：(a b)[a, b] = a[b, a b]。

4. 求正整数a，b，使得a b = 120，(a, b) = 24，[a, b] = 144。

5. 设a，b，c是正整数，证明：。

6. 设k是正奇数，证明：1 2 91k 2k 9k。

第 5 节1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。

2. 用辗转相除法求整数x，y，使得1387x 162y = (1387, 162)。

3. 计算：(27090, 21672, 11352)。

4. 使用引理1中的记号，证明：(Fn + 1, Fn) = 1。

初等数论测试(带答案)

,其中
563
是素数.
（8 分）
四、证明题(第 1 小题 10 分，第 2 小题 11 分，第 3 小题 11 分，共 32 分)
n n2 n3 17、证明对于任意整数 n ,数 3 2 6 是整数.
18、证明相邻两个整数的立方之差不能被 5 整除. 19、证明形如 4n 1 的整数不能写成两个平方数的和.
A ac bc(mod m) B a b C ac T bc(mod m) D a b
5、如果( ),则不定方程 ax by c 有解.
A (a, b) c B c (a, b) C a c D (a, b) a
6、整数 5874192 能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
证明设 n 是正数,并且 n 1(mod 4) ,
----------（3 分）
如果
n x2 y2 , 则因为对于模 4, x, y 只与 0,1,2,-1 等同余, 所以 x2 , y 2 只能与 0,1 同余,
所以
x2 y 2 0,1,2(mod 4) ,
而这与 n 1(mod 4) 的假设不符,
C 7 不整除（12，15） D 7 不整除[12，15]
12、同余式
（）.
A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解
二、填空题 1、有理数，
，能写成循环小数的条件是（）.
2、同余式
有解，而且解的个数为( ).
3、不大于 545 而为 13 的倍数的正整数的个数为( ).
4、设是一正整数，Euler 函数
429 67
27 67
(1)
27 1. 67 1 22
67 27
67 27

100个著名初等数论问题

100个著名初等数学问题数学园地第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3;黑牛数多于棕牛数,多出之数相当于花牛数的1/4+1/5;花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白牛数的1/6+1/7. 在母牛中,白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的?第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.问这4块砝码碎片各重多少?第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了;a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了;a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了;求出从a到c"9个数量之间的关系?第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中,被除数被除数除尽:* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号(*)标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了,那些不见了的是些什么数字呢?第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生,她们经常每天三人一行地散步,问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步,并恰好每周一次?第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters求n个元素的排列,要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形(平面凸多边形)剖分成三角形?第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐,其座次是两个妇人之间坐一个男人,而没有一个男人和自己的妻子并坐,问有多少种坐法?第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion当n是任意正整数时,求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.第12题欧拉数The Euler Number求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值.第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series不用对数表,计算一个给定数的对数.第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series在n个数1,2,3,…,n的一个排列c1,c2,…,cn中,如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间,则称c1,c2,…,cn为1,2,3,…,n的一个屈折排列. 试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series已知三条边,不用查表求三角形的各角.第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线,把长度为l(小于d)的一根针任意投掷在台面上,问针触及两平行线之一的概率如何?第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数,只能用一种两数平方和的形式来表示.第20题费马方程The Fermat Equation求方程x2-dy2=1的整数解,其中d为非二次正整数.第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数.第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law(欧拉-勒让德-高斯定理)奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式(p/q)·(q/p)=(-1)[(p-1)/2]·[(q-1)/2].第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法.第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem系数A不等于零,指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.第27题欧拉直线Euler's Straight Line在所有三角形中,外接圆的圆心,各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上,而且三点的分隔为:各高线的交点(垂心)至各中线的交点(重心)的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem在一个已知三角形内画三个圆,每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.第31题蒙日问题Monge's Problem画一个圆,使其与三已知圆正交.第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.画一个与三个已知圆相切的圆.第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem.证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图,如果在平面内给出一个定圆,只用直尺便可作出.第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.第36题三等分一个角Trisection of an Angle把一个角分成三个相等的角.第37题正十七边形The Regular Heptadecagon画一正十七边形.第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the NumberPi设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv,便依次得到多边形周长的阿基米德数列:a0,b0,a1,b1,a2,b2,…其中av+1是av、bv的调和中项,bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项,利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.(注:一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形)第40题测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem在一个已知圆内,作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置,作椭圆.第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,在规定的平行四边形内作一内切椭圆,它与该平行四边形切于一边界点.第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线,作抛物线.第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.过四个已知点作抛物线.第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.已知直角(等轴)双曲线上四点,作出这条双曲线.第47题范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动,第三个顶点的轨迹是什么?第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时,这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么?第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem.确定内切于一个已知(凸)四边形的所有椭圆的中心的轨迹.第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角(等边)双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope从角的顶点,在角的一条边上连续n次截取任意线段e,在另一条边上连续n次截取线段f,并将线段的端点注以数字,从顶点开始,分别为0,1,2,…,n和n,n-1,…,2,1, 0.求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.第52题星形线The Astroid直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动,求这条直线的包络.第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid确定一个三角形的华莱士(Wallace)线的包络.第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral一个已知四边形的所有外接椭圆中,哪一个与圆的偏差最小?第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections确定一个圆锥曲线的曲率.第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola确定包含在抛物线内的面积.第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola确定双曲线被截得的部分所含的面积.第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola确定抛物线弧的长度.第59题笛沙格同调定理(同调三角形定理)Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles)如果两个三角形的对应顶点连线通过一点,则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上. 反之,如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上,则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction由三对对应元素所给定的重迭射影形,作出它的二重元素.第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem求证内接于圆锥曲线的六边形中,三双对边的交点在一直线上.第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem求证外切于圆锥曲线的六线形中,三条对顶线通过一点.第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.*一个完全四点形(四线形)实际上含有四点(线)1,2,3,4和它们的六条连线交点23, 14,31,24,12,34;其中23与14、31与24、12与34称为对边(对顶点).第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements求作一个圆锥曲线,它的五个元素——点和切线——是已知的.第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交,求作它们的交点.第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线,作出从该点列到该曲线的切线.第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planesn个平面最多可将整个空间分割成多少份?第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem以六条棱表示四面体的体积.第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.第71题五种正则体The Five Regular Solids将一个球面分成全等的球面正多边形.第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点,可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry正轴测法的高斯基本定理:如果在一个三面角的正投影中,把映象平面作为复平面,三面角顶点的投影作为零点,边的各端点的投影作为平面的复数,那么这些数的平方和等于零.第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.第76题麦卡托投影The Mercator Projection画一个保形地理地图,其坐标方格是由直角方格组成的.第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome确定地球表面两点间斜驶线的经度.第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea利用天文经线推算法确定船在海上的位置.第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem根据已知两星球的高度以确定时间及位置.第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔,确定观察瞬间,观察点的纬度及星球的高度. 第81题刻卜勒方程The Kepler Equation根据行星的平均近点角,计算偏心及真近点角.第82题星落Star Setting对给定地点和日期,计算一已知星落的时间和方位角.第83题日晷问题The Problem of the Sundial制作一个日晷.第84题日影曲线The Shadow Curve当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时,确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线.第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知,确定日食的开始和结束,以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets行星什么时候从顺向转为逆向运动(或反过来,从逆向转为顺向运动)?第88题兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem借助焦半径及连接弧端点的弦,来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number如果x为正变数,x取何值时,x的x次方根为最大?第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem在已知锐角三角形中,作周长最小的内接三角形.第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli试求一点,使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行?第93题蜂巢(雷阿乌姆尔问题)The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱,使所得的这一个立体有预定的容积,而其表面积为最小.第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?(即在什么部位,可见角为最大?)第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus在什么位置金星有最大亮度?第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit慧星在地球的轨道内最多能停留多少天?第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight在已知纬度的地方,一年之中的哪一天晨昏蒙影最短?第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem在所有能外接(内切)于一个已知三角形的椭圆中,哪一个椭圆有最小(最大)的面积?第99题斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem在所有等周的(即有相等周长的)平面图形中,圆有最大的面积.反之:在有相等面积的所有平面图形中,圆有最小的周长. 第100题斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem在表面积相等的所有立体中,球具有最大体积.在体积相等的所有立体中,球具有最小的表面.。

初等数论试题库

初等数论试题库初等数论练习一、单项选择题1. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）。

A. 奇数 B. 偶数 C. 奇数或偶数 D. 由n奇偶性而定32. 1998除以9后的余数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 03. 模10的绝对值最小的完全剩余系是（）。

A. 0，1，2，3，…8，9 B. 1，2，3，…9，10 C. -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 D. 11，12，13，…19，204. 1500的标准分解式是（）。

A. 2×2×5×5×5×3B. 3×532×223C. 2×3×5 D. 2×2×3×5×5×5 5. 有一批同样砖块，宽30cm，长45cm，至少需要这样的砖多少块，才能铺成一个正方形地面？（）A. 4B. 6C. 9D. 246. 边长为自然数，面积为30的长方形有多少个？（） A. 2 B. 3C. 4D. 无数 7. 一堆排球，3个3个数余2个，4个4个数余3个，问这堆排球至少有多少个?（）A. 23B. 35C. 24D. 118. 下列不定方程中是三元二次不定方程的有（）。

A. xyz=9 B.5x+6y+7z=5C. xy+5z=8D. 2x+3y=69. 若ac?bc(mod m)，则下列正确的是( )A. a?b(mod m)B. m|(a-b)cC. m|cD. m|(a+b)c10. 若a、b两数的和与积均为偶数，则a，b的奇偶性为( ) A. a奇b偶 B. a偶b奇C. 均为偶数D. 均为奇数11. 已知五位数能被11整除，则A是( ) 123A5A. 0B. 7C. 9D. 1812. 下列算式肯定错误的是( )A. 4569×91=415779B. 4569×92=420348C. 2376×156=370646D. 4569×29=13250113. 下列数中能表示成20和12的倍数之和的是( ) A. 2 B. 6C. 10D. 3614. 已知甲数除以11的余数是4，乙数除以11的余数是7，则甲、乙两数之和除以11的余数是( )A. 4B. 7C. 0D. 615. 下列答案中正确的是( )A. 〔x〕+〔y〕?〔x+y〕B. 〔x+y〕=〔x〕+〔y〕C. 〔x〕+〔y〕＜〔x+y〕D. 〔x〕+〔y〕＞〔x+y〕16.m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( ) 1 D.m+n=0 A.m－n=3B.m+2n=5 217.若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( ) C.2m+n=A.c|aB.c|b22 C.c|a－b D.c|a－b 18.相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是( )A.奇数奇数B.奇数偶数C.偶数奇数D.偶数偶数 19.m为奇数时，模m的绝对最小完全剩余系是( )A.1,2,3,…,m－1,mB.－m,－(m－1),…,－2,－1m,1mm1,m C.,1,,...,－1,0,1,... D.,,...,－1,0,1, (2222)20.下列不属于二元二次不定方程的是( )22 A.xy=5 B.x+y=161y22 C.2x4x，,+y=8 D. 3421.11与-10以下列( )数为模时同余?A.2B.7C.10D.522.已知(a,b,c)=1,则一定有( )A.(a,b)=1B.(b,c)=1C.(a,c)=1D.((a,b),c)=123.所有不超过152的自然数中，5的倍数有( )个。

100个著名初等数论问题

100个著名初等数学问题数学园地第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3;黑牛数多于棕牛数,多出之数相当于花牛数的1/4+1/5;花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白牛数的1/6+1/7. 在母牛中,白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的?第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.问这4块砝码碎片各重多少?第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了;a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了;a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了;求出从a到c"9个数量之间的关系?第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中,被除数被除数除尽:* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号(*)标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了,那些不见了的是些什么数字呢?第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生,她们经常每天三人一行地散步,问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步,并恰好每周一次?第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters求n个元素的排列,要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形(平面凸多边形)剖分成三角形?第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐,其座次是两个妇人之间坐一个男人,而没有一个男人和自己的妻子并坐,问有多少种坐法?第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion当n是任意正整数时,求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.第12题欧拉数The Euler Number求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值.第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series不用对数表,计算一个给定数的对数.第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series在n个数1,2,3,…,n的一个排列c1,c2,…,cn中,如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间,则称c1,c2,…,cn为1,2,3,…,n的一个屈折排列. 试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series已知三条边,不用查表求三角形的各角.第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线,把长度为l(小于d)的一根针任意投掷在台面上,问针触及两平行线之一的概率如何?第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数,只能用一种两数平方和的形式来表示.第20题费马方程The Fermat Equation求方程x2-dy2=1的整数解,其中d为非二次正整数.第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数.第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law(欧拉-勒让德-高斯定理)奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式(p/q)·(q/p)=(-1)[(p-1)/2]·[(q-1)/2].第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法.第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem系数A不等于零,指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.第27题欧拉直线Euler's Straight Line在所有三角形中,外接圆的圆心,各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上,而且三点的分隔为:各高线的交点(垂心)至各中线的交点(重心)的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem在一个已知三角形内画三个圆,每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.第31题蒙日问题Monge's Problem画一个圆,使其与三已知圆正交.第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.画一个与三个已知圆相切的圆.第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem.证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图,如果在平面内给出一个定圆,只用直尺便可作出.第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.第36题三等分一个角Trisection of an Angle把一个角分成三个相等的角.第37题正十七边形The Regular Heptadecagon画一正十七边形.第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the NumberPi设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv,便依次得到多边形周长的阿基米德数列:a0,b0,a1,b1,a2,b2,…其中av+1是av、bv的调和中项,bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项,利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.(注:一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形)第40题测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem在一个已知圆内,作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置,作椭圆.第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,在规定的平行四边形内作一内切椭圆,它与该平行四边形切于一边界点.第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线,作抛物线.第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.过四个已知点作抛物线.第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.已知直角(等轴)双曲线上四点,作出这条双曲线.第47题范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动,第三个顶点的轨迹是什么?第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时,这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么?第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem.确定内切于一个已知(凸)四边形的所有椭圆的中心的轨迹.第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角(等边)双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope从角的顶点,在角的一条边上连续n次截取任意线段e,在另一条边上连续n次截取线段f,并将线段的端点注以数字,从顶点开始,分别为0,1,2,…,n和n,n-1,…,2,1, 0.求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.第52题星形线The Astroid直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动,求这条直线的包络.第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid确定一个三角形的华莱士(Wallace)线的包络.第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral一个已知四边形的所有外接椭圆中,哪一个与圆的偏差最小?第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections确定一个圆锥曲线的曲率.第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola确定包含在抛物线内的面积.第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola确定双曲线被截得的部分所含的面积.第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola确定抛物线弧的长度.第59题笛沙格同调定理(同调三角形定理)Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles)如果两个三角形的对应顶点连线通过一点,则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上. 反之,如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上,则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction由三对对应元素所给定的重迭射影形,作出它的二重元素.第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem求证内接于圆锥曲线的六边形中,三双对边的交点在一直线上.第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem求证外切于圆锥曲线的六线形中,三条对顶线通过一点.第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.*一个完全四点形(四线形)实际上含有四点(线)1,2,3,4和它们的六条连线交点23, 14,31,24,12,34;其中23与14、31与24、12与34称为对边(对顶点).第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements求作一个圆锥曲线,它的五个元素——点和切线——是已知的.第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交,求作它们的交点.第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线,作出从该点列到该曲线的切线.第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planesn个平面最多可将整个空间分割成多少份?第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem以六条棱表示四面体的体积.第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.第71题五种正则体The Five Regular Solids将一个球面分成全等的球面正多边形.第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点,可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry正轴测法的高斯基本定理:如果在一个三面角的正投影中,把映象平面作为复平面,三面角顶点的投影作为零点,边的各端点的投影作为平面的复数,那么这些数的平方和等于零.第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.第76题麦卡托投影The Mercator Projection画一个保形地理地图,其坐标方格是由直角方格组成的.第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome确定地球表面两点间斜驶线的经度.第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea利用天文经线推算法确定船在海上的位置.第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem根据已知两星球的高度以确定时间及位置.第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔,确定观察瞬间,观察点的纬度及星球的高度. 第81题刻卜勒方程The Kepler Equation根据行星的平均近点角,计算偏心及真近点角.第82题星落Star Setting对给定地点和日期,计算一已知星落的时间和方位角.第83题日晷问题The Problem of the Sundial制作一个日晷.第84题日影曲线The Shadow Curve当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时,确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线.第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知,确定日食的开始和结束,以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets行星什么时候从顺向转为逆向运动(或反过来,从逆向转为顺向运动)?第88题兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem借助焦半径及连接弧端点的弦,来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number如果x为正变数,x取何值时,x的x次方根为最大?第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem在已知锐角三角形中,作周长最小的内接三角形.第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli试求一点,使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行?第93题蜂巢(雷阿乌姆尔问题)The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱,使所得的这一个立体有预定的容积,而其表面积为最小.第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?(即在什么部位,可见角为最大?)第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus在什么位置金星有最大亮度?第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit慧星在地球的轨道内最多能停留多少天?第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight在已知纬度的地方,一年之中的哪一天晨昏蒙影最短?第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem在所有能外接(内切)于一个已知三角形的椭圆中,哪一个椭圆有最小(最大)的面积?第99题斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem在所有等周的(即有相等周长的)平面图形中,圆有最大的面积.反之:在有相等面积的所有平面图形中,圆有最小的周长. 第100题斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem在表面积相等的所有立体中,球具有最大体积.在体积相等的所有立体中,球具有最小的表面.。

初等数论练习题标准答案

初等数论练习题一一、填空题1、d(24２0）=12; ϕ(24２0)＝_880_２、设ａ,n 是大于1的整数，若ａn －１是质数,则a=_2．3、模9的绝对最小完全剩余系是_{－4,-3,－2，-1,０,1,2,3,４}.4、同余方程９x+1２≡0（m ｏｄ３7）的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-2３y ＝１00的通解是x ＝９0０+２3t,ｙ＝7０0+18ｔ t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(ｍ)_。

7、１81００被1７2除的余数是_256。

8、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 ＝－１。

9、若p 是素数，则同余方程ｘ p - 1 ≡1(mo ｄｐ)的解数为 p －1 。

二、计算题1、解同余方程：3ｘ2+１1x -20 ≡ ０ (ｍod 105)。

解:因1０５ = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+１1x -20 ≡ ０（m ｏd 3)的解为x ≡ 1 （mo ｄ３), 同余方程３x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0,3 (mod 5），同余方程3x 2+１1x -20 ≡ 0 (mo ｄ 7)的解为x ≡ 2,６ (ｍod 7）, 故原同余方程有4解。

作同余方程组:x ≡ b 1 (mod 3),x ≡ b 2 （mod 5),ｘ ≡ ｂ３ (mo ｄ 7）,其中b 1 ＝ 1,b 2 = 0，3，b 3 = 2,６,由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，5５,58,100 （mod 1０5）。

2、判断同余方程ｘ２≡4２(mod 107）是否有解?11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：故同余方程x 2≡４2(mod 107)有解。

初等数论试卷

初等数论试卷初等数论试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( )Ａ．[][]1x x x ≤<+；Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+；Ｄ．[][]1x x x <<+．２．下列命题中不正确的是( )Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d=+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３；Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５；Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡６．模１０的一个简化剩余系是( )Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( )Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4;Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．2312．若雅可比符号1a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 114．模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定15．若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 1216．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+17．下列函数中不是可乘函数的是: ( )A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( )A ．aB ．bC ．abD ．无法确定19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( )A ．()()f a g a 为可乘函数；B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ=二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________；22．多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数a b，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24．设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson ）定理：________________________________________；26．勒让德符号5031013⎛⎫ ⎪⎝⎭=________________________________________； 27．若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；28．在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；29．设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________；30． ()48ϕ=_________________________________。

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) = 173911768⨯=104⨯391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）化简得4873=+y x ； -------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论试题及答案大学

初等数论试题及答案大学一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 11D. 15答案：C2. 100以内最大的素数是：A. 97B. 98C. 99D. 100答案：A3. 一个数的最小素因子是3，那么这个数至少是：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B4. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 28C. 496D. 8128答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个数的因数个数是______，那么这个数一定是合数。

答案：32. 如果一个数的各位数字之和是3的倍数，那么这个数本身也是3的倍数，这个性质称为______。

答案：3的倍数规则3. 欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，那么φ(10)等于______。

答案：44. 哥德巴赫猜想是指任何一个大于2的偶数都可以表示为两个______之和。

答案：素数三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：如果p是一个素数，那么2^(p-1) - 1是p的倍数。

证明：设p是一个素数，根据费马小定理，对于任意整数a，若p不能整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

特别地，当a=2时，有2^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

这意味着2^(p-1) - 1是p的倍数。

2. 计算：求1到100之间所有素数的和。

答案：2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 +97 = 1060四、综合题（每题10分，共20分）1. 已知a和b是两个不同的素数，证明：a + b至少有4个不同的素因子。

证明：设a和b是两个不同的素数，那么a和b至少有2个不同的素因子。

如果a + b是素数，那么a + b至少有3个不同的素因子。