统计物理基础知识培训

热力学统计物理 第‹#› 页 2020年9月13日星期日
以 nx ny nz
为直角坐标构成三维量子数数空间（简称数空
间）。 在数空间中，以
nx , ny , nz 0, 1, 2,
分割空间交成的每一“点”，数组 nx , ny , nz
代表粒子的一个许可状态。 即粒子的一个许可态对应于数空间中一个“点”。 在此数空间中边长为1的小立方体（单位体积）数目 与“点”数是相等的，平均地讲，每单位体积包含一 个整数点。因此，数空间中一单位体积对应于粒子的 一个许可态。
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•四、分布和微观态数
全同近独立系统（孤立系统）N、E、V确定
分布 al
必须满足
与分布 al
al N l
lal E l
对应的微观状态数
玻耳兹曼系统 玻色系统 费米系统
M .B
N! al !
l
al l
l
B.E
l
l al 1! al !l 1!
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求能量曲面
内的量子态数，只要求出数空间中能量曲面
内的体积就行了。 数空间中能量为
能的量等曲能面面是半内R径的为nx量2 子ny2 态nz数2 12 为 2mhL22
1
2
的球面
3
4 3
R3
4 3
2mL2 h2
2
4V 3h3
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2玻色统计 粒子自旋量子数为整数，不可分辨，每 一单粒子量子态中的粒子数不受限制， 系统的微观状态由确定每一个 单粒子态中的粒子数确定。
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3费米统计 粒子自旋量子数为半奇整数，不可分辨 ，每一单粒子量子态中的粒子数 不能超过1。系统的微观状态由给定每一 单粒子态中的粒子数确定。
pal
al
l
al al
对每个分布求和。
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粒子按能级的平均分布
l
上的平均粒子数
l
l
al
l
al pal
al
al al
al
l
al
al al
al
al
al
玻耳兹曼分布
al
玻耳兹曼分布 玻色分布
al le l
确定系统的微观状态归结为确定每 一个单粒子态中的粒子数。
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•三、玻耳兹曼统计（经典统计）、玻色统计和费米 统计
1玻耳兹曼统计 全同粒子可以区分，处在各单粒子态中的粒子数没有 限制。整个系统的微观状态由确定每一个粒子的状态 来确定。 不同单粒子态中的一对粒子互换时，导致系统新的微 观状态。
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结
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一、粒子运动状态的经典描述和量子描述
r 1经典描述：粒子自由度为
广义坐标 q1, q2, , qr
广义动量 p1, p2, , pr
构成2r 维相空间（ 空间）。
2量子描述 量子态，一组量子数表征。
al
l
e l
1
费米分布
al
l
e l
1
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• 量子态密度 自由粒子，质心平移运动的能量是准连续的， 引入量子态密度（称态密度）概念。 量子态密度：与粒子运动空间的维度性 粒子的能谱 和粒子的自旋有关。 计算方法： 量子力学方法
V L3
采用周期性边界条件求解自由粒子的薛定谔 方程，得动量的3个
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• 二、系统微观状态的经典描述和量子描述 N个近独立全同粒子组成的系统。 1、 经典粒子可以分辨
空间的N个代表点。
2、量子描述 可分辨的全同粒子组成的量子系统。 确定系统的微观状态归结为确定每一个粒子的状态。
由不可分辨的全同粒子组成的量子系统
等能面 内的量子态数为
1
h3
dxdydzdpx dp y dpz
px2 py2 pz2 2m
4V
h3
0
2m
p2dp
4V
h3
2m
3
2
D
2V
h3
2m
3 2
1 2
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简便方法：
空间体积元
dxdydzdpx dp y dpz
内的态数=
dxdydzdpx dp y dpz h3
hr
的一个相体积元（相格）。
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粒子能量在 d
内的量子态数= 空间中能量为 和 d
两个等能面间的相体积 / hr
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能谱关系为
1 2m
px2 py2 pz2
的三维自由粒子，
l
al
l
M .B
al ! N !
al
l
1
经典极限条件或非简并性条件。
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• 最概然分布和分布函数 玻耳兹曼等概率原理：对于处在平衡态的孤立
系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相 等的。
最概然分布：宏观上出现的概率最大的分布。
al 出现的概率：
F.D
l
l ! al ! l al !
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排列：
Ank
n
n! k
!
k
n
若 n1 个元素相同，
n2个元素相同， ……
则全排列
n!
组合：
Байду номын сангаас
Cnk
n
n!
k !k
!
n1!n2 ! nm !
玻色系统和费米系统 al 1
（对所有能级）
l
B.E F .D
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分量的可能值为
px
2
L
nx
h L
nx , nx
0, 1, 2
py
2
L
ny
h L
ny , ny
0, 1, 2
pz
2
L
nz
h L
nz , nz
0, 1, 2
三维自由粒子能量的可能值为
1 2m
px2 py2 pz2
2 2
mL2
2
nx2 ny2 nz2
2m
3
2
能量间隔 d 内的量子态数
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D
d
d
d
2V
h3
3
2m2
1
2d
D
2V
h3
31
2m2 2
是态密度。
热力学统计物理
半经典近似法：
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r 半经典近似指出：自由度为
的粒子，每一可能的状态对应于
空间中大小为