统计物理基础知识培训
统计物理 ppt课件
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21
波的非相干叠加
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22
波的相干叠加
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23
微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标，这生动 地说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运 动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或 量子数来描述的。
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于 粒子的自由度数。
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7
统计物理的基本概念
基本出发点：微观性质和质点力学 基本原理：大量微观粒子系统的状态演化由 概率大小决定 基本假定：等概率假设 基本方法：概率统计分析
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8
热力学:是一门唯象理论,它由四个经验规律 出发,演绎得到的各种宏观的热力学规律. 统计物理学:从微观性质出发,基于最基本的 假定,应用统计分析的方法得到各种宏观性质.
当一个物质系统的任何具有作用量纲的物 理量具有与普朗克常数相比拟的数值时，这个 物质系统就是量子系统。反之，如果物质系统 的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数 来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力 学来研究。
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例一、自旋（Uhlenbeck-Goudsmit)
电子、质子、中子等粒子具有内禀的角动量， 称为自旋角动量 S ，其平方的数值等于 S 2 S(S 1) 2， S 称为自旋量子数，可以是整数或半整数。电子的自旋 量子数为 ½ 。
小球数按空间 位置 x 分布曲线
x Δx
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6
统计规律
在一定的宏观条件下 大量偶然事件在整体上表 现出确定的规律
统计规律必然伴随着涨落
统计物理学习讲义(一)
统计物理学习讲义(一)统计物理学习讲义是一门非常重要但也比较难以掌握的课程，要求学生有一定的数学和物理基础，掌握一定的抽象思维能力以及数学推导能力。
下面我将从以下几个方面介绍学习这门课程的必要性、适合学习的人群、学习方法和学习要点等。
一、学习统计物理的必要性统计物理在现代物理中扮演着至关重要的角色，涉及到大量的实际物理问题，如材料的热力学性质，量子现象的统计描述等等。
通过学习这门课程，可以帮助我们更深刻地理解具体的物理概念，同时还能对其进行更加深入的研究。
二、适合学习的人群由于统计物理涉及到一定的数学和物理基础，适合的人群主要包括大二以上的相关专业学生，如物理、材料科学、化学、生命科学等。
此外，由于统计物理需要较强的抽象思维能力和逻辑推导能力，也适合那些具有这些天赋和特长的人群。
三、学习方法在学习这门课程时，需要注重培养抽象思维、数学推导和实验分析方面的能力。
这就需要我们养成不断思考、解决问题的习惯，同时还要注意将所学的理论和数学方法与实际问题相结合，以便更好地理解物理概念。
四、学习要点在学习统计物理时，需要注意以下几个方面：1.掌握基本的概率论和统计学原理，包括概率分布、期望、方差等等。
2.熟练运用热力学基本关系式，如膨胀系数、定压热容等，掌握理解热力学基础原理。
3.熟悉和掌握几种基本的统计学模型，如理想气体、磁性体、晶体等模型，以及在实际应用中的求解方法。
4.学习材料的热力学性质、量子现象的统计描述等实际问题的应用研究。
总的来说，统计物理学习讲义是一门非常重要的课程，不仅具有理论上的意义，在实际问题的研究中也具有很高的应用价值。
通过仔细学习、认真思考，我们可以更好地理解物理概念，掌握数学推导方法，为今后的研究打下坚实的基础。
统计物理学基础
统计物理学基础统计物理学是物理学中的一个重要分支，它研究的是宏观物质系统中涉及大量微观粒子的行为规律。
在统计物理学中，我们利用统计学原理和概率论方法，对微观粒子的统计行为进行建模和研究，从而揭示了宏观物质的特性和性质。
本文将介绍统计物理学的基础概念及其在物理学研究中的应用。
一、热力学基础热力学是统计物理学的基础，通过研究系统的热力学性质和宏观态函数，我们可以了解到系统的宏观行为。
热力学中有一些基本概念值得我们关注。
1. 熵熵是描述系统混乱程度的物理量，也是热力学中的基本概念。
对于一个封闭系统，其熵通常会趋向于增加，即系统趋向于更加混乱的状态。
熵的概念在统计物理学中得到了解释，我们可以通过统计粒子的微观状态来计算系统的熵。
2. 温度温度是衡量物体热平衡状态的物理量，也是热力学中的重要参数。
在统计物理学中，温度与粒子的平均动能有关，我们可以通过统计粒子的能级分布来确定系统的温度。
3. 热力学势热力学势是描述系统内能与外界能量交换的物理量，常见的热力学势包括内能、自由能、焓和吉布斯函数。
这些热力学势在统计物理学中起到了至关重要的作用，它们可以与微观粒子的分布函数相联系，进一步揭示系统的性质。
二、统计力学基础统计物理学的另一个重要组成部分是统计力学，它是从微观粒子的角度来研究宏观物质行为的一种方法。
统计力学利用概率论和统计学的方法，建立微观粒子的统计模型，得到宏观物质的宏观性质。
1. 统计分布统计分布是由微观粒子的分布函数得到的，其中最常用的统计分布包括玻尔兹曼分布、费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布。
这些分布函数可以描述粒子的能级分布和粒子间的相互作用，从而揭示了系统的宏观性质。
2. 统计系综统计系综是统计物理学中用来描述系统的概率分布的数学方法。
常见的统计系综包括微正则系综、正则系综和巨正则系综。
通过分析不同的统计系综，我们可以得到系统的平衡状态和宏观性质。
三、应用领域统计物理学在物理学的研究中具有广泛的应用，尤其在凝聚态物理学和热力学领域。
统计物理初步知识点
统计物理初步知识点统计物理是一门研究大量微观粒子行为对宏观系统性质的影响的学科。
它基于统计学原理，通过对粒子的统计分布和概率进行分析，研究宏观系统的性质。
1.宏观系统和微观粒子的关系宏观系统是由大量微观粒子组成的。
微观粒子可以是原子、分子或更小的粒子。
统计物理的目标是通过研究微观粒子的行为，了解宏观系统的性质。
2.统计物理的基本假设统计物理建立在一些基本假设上。
其中之一是“等概率假设”，即在一个孤立系统中，所有的微观状态出现的概率是相等的。
这个假设为统计物理的研究提供了基础。
3.统计物理中的基本概念为了描述宏观系统，统计物理引入了一些基本概念，如粒子的分布函数和状态密度。
分布函数描述了粒子在空间中的分布情况，而状态密度则描述了系统在不同能量状态下的情况。
4.统计物理的热力学性质统计物理的研究重点之一是研究热力学性质，如温度、压力和熵。
通过统计物理的方法，我们可以推导出宏观系统中这些热力学性质与微观粒子的关系。
5.统计物理的量子性质统计物理也涉及到量子力学的应用。
在微观粒子尺度上，量子效应变得显著，我们不能再忽略粒子之间的量子行为。
统计物理提供了处理量子系统的方法和理论。
6.统计物理在不同领域的应用统计物理在许多领域都有广泛的应用，例如凝聚态物理、高能物理和生物物理等。
它为我们理解材料的性质、核反应的过程以及生物分子的结构提供了重要的工具。
7.统计物理的未来发展随着科学技术的不断进步，统计物理仍然是一个活跃的领域，我们可以预见它在未来会有更多的发展。
在人工智能和大数据分析的背景下，统计物理的方法将会得到更广泛的应用。
总结起来，统计物理是一门研究微观粒子行为对宏观系统性质影响的学科。
通过基本假设和概念，我们可以了解宏观系统的热力学性质，并且可以处理量子系统。
统计物理在许多领域都有应用，并且有着广阔的发展前景。
通过进一步研究和应用统计物理的方法，我们可以更深入地了解自然界中的各种现象。
统计物理讲义
平衡态统计物理李定平2017北京大学物理学院参考书:1.王竹溪, 统计物理学导论2. Greiner, Neise, Stocker, Thermodynamics and Statistical Mechanics3. Landau, Lifshitz, Statistical Physics, Part 14. K. Huang, Statistical mechanics. New York: Wiley,(1987)5. M. Plischke and B. Bergersen, Equilibrium Statistical Physics6. A History of Thermodynamics, Ingo Müller, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2007)7.Statistical physics of particles, Kardar, Cambridge University Press (2007)科普读物：Short History of Heat,J.B.Fenn边缘奇迹：相变和临界现象,于渌，郝柏林，陈晓松课程内容见文件，可下载统计物理和现代物理研究凝聚态物理是当今物理的一个最主要的方向。
其生命力是在不断发现的新物态，新材料，及其相关的新的物理现象。
历史上，是新的观测到的物理现象推动了物理学的发展。
如果一个物理学分支，没有新实验发现，这个学科就得不到任何发展。
没有纯理论的物理学科（如果理论完全脱离实验论证）。
研究凝聚态物理的主要工具之一是统计物理，用来研究大量粒子在相关外界条件下（比如一定温度，外场），系统所处在的状态（比如超导，固态，液态，量子液态，拓扑绝缘，拓扑超导状态等等），和相关物理特性（其导电性能，热传导等等）.大学的统计物理课程是量子统计物理（或称为量子多体理论）的先修课程。
学好这门课程将为你们进入相关研究生课程打好扎实的基础。
大学物理：统计物理学基础
二、大量分子热运动服从统计规律
每一个分子的运动 具有不可预测性， 或者说偶然性 大数分子的运动总体， 表现出确定的规律性
统计假设
1、分子数密度处处相等（均匀分布） 2、分子沿各个方向运动的概率相同 * 任一时刻向各方向运动的分子数相同
* 分子速度在各个方向分量的各种平均值相等
vx v y vz
宏观量是大量粒子运动的集体表现， 决定于微观量的统计平均值。
统计规律
掷骰子
大量偶然事件整体所遵从的规律
掷大量次数，每点出现次数约1/6，呈现规律性。 抛硬币 抛大量次数，正反数约各1/2，呈现规律性。
数学处理
假设系统某物理量 f 有N个微观状态，{ fi , i=1,2,…N }，某一微观量取值 fi 的次数为Ni次， 则 f 的统计平均值为
v v f (v )dv
0
v
8kT
8RT RT 1.60 M M
2. 方均根速率(root-mean-square speed )
v v f (v )dv
2 2
3kT 3RT RT v 1.73 m
2
3. 最概然速率（最可几速率) (Most Probable Speed)
T2 v
v p1
v p2
解：
2kT vp M
(1) T1 < T2
(2) 绿：氧 紫：氢
例 处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于 金属中自由电子( “电子气”模型 )。设导体中自由 电子数为 N ,电子速率最大值为费米速率 vF ，且已 知电子速率在 v — v + d v 区间概率为：
f lim
N f
i
i i
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• 在很小的能量间隔中，粒
子的数目为n(l)。 • 统计物理学的目的就是
找出n(l) ！以此为出发点
，可以解决各种问题
n(l) N (l,l 1) N
统计物理解决问题举例
• 一个三能级系统，0, 20, 30中，每个能级有6个坐位 ，共有6个完全相同的粒子，总能量为120,每个坐位 只能放一个，粒子如何分布？
个子空间。
px2i
p
2 yi
pz2i
2m
(二)线性谐振子
• 基本运动方程：
px2 Ax2
2m
px2
2m
2
x2
/ m 2
1
• 这样的运动可以用椭园表示： • 含义：一个方向可以确定一个子空间。
§6.2 粒子运动的量子描述
• 在微观世界，粒子的运动要用量子的方法描述 ，什么是量子的方法？
• “ 波” • 波有什么好处？不能确定粒子的确切位置，也
态密度
• 动量从p~p+dp范围内的量子态数：
dn
1 h3
(Vdpx dp y dp y
)
V h3
4p 2 dp
• 换算成能量密度：
dn
V h3
4p 2 dp
V h3
2pdp 2
2
2V
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
• 态密度：单位能量范围内的量子态数：
D( )
4V
h3
(2m)3/2 1/2
§6.3 系统微观运动状态的描述
状态组成一个集合。
• 用“空间”换“时间”。
统计物理学基础3
p nkT
kT 2d 2 p
在标准状态下，多数气体平均自由程 ~10-8m，只有氢气约 为10-7m。一般d~10-10m，故 d。可求得平均碰撞次数 ~109/秒。
P
1.013×105 1.33×102 1.33
6×10-8 5×10-5 5×10-3
1.33×10-2 1.33×10-4
2、 宏观规律
实验表明粘滞力的大小df 与该处 流速梯度及ds的大小成正比。
v+dv v
粘滞系数
dv df ds dx x0
A
B
x
3、微观本质
dx 气体内部的粘滞现象是由于气体内大量分子无规则运动输运定 向动量的结果。
1 v 3
三、热传导现象
1、基本概念：
V2
0.5 50
例、求氢在标准状态下一秒内分子的平均碰撞次数。（ 已知分子直径d = 210-10m)
解：
v
8RT
8 8.31 273 3 1 1.70 10 m s 3 2 10
5
P 1.013 10 25 3 n 2.69 10 个m 23 kT 1.38 10 273
2、平均碰撞次数
假设只有一个分子以平均相 对速率 u 运动，其余分子 看成不动。分子A的运动轨迹 为一折线，以A的中心运动轨 迹为轴线，以分子有效直径d 为半径，作一曲折圆柱体。 凡中心在此圆柱体内的分子 都会与A相碰。
ALeabharlann d圆柱体的截面积为 d2 ， 叫做分子的碰撞截面。
在t内，A所走过的路程 为 ut ，相应圆柱体的 体积为 d 2 ut ，设气体 分子数密度为n。则 中心在此圆柱体内的分子 总数，亦即在t时间 内与A相碰的分子数为
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2
统计物理学是研究物质热运动的微观理论，它从 “宏观物质系统是由大量微观粒子组成的”这一基本 事实出发。认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动 的集体表现，根据微观粒子的行为来解释物质的宏观 性质，认为宏观量是微观量的统计平均值。 •优点：它可以把热力学的几个基本定律归结于一个 基本的统计原理，阐明了热力学定律的统计意义； •缺点：由于对物质微观结构所做的往往只是简化的 模型假设，因而所得到的理论结果往往只是近似的。
量子态1 量子态2 量子态3
1
AA
2
AA
3
AA
4
A
A
5
A
A
6
A
A
21
对于费米系统可以有3个不同的微观状态
量子态1 量子态2 量子态3
1
A
A
2
A
A
3
A
A
22
在确定N、E、V的宏观状态下，系统可能的微 观状态是大量的。为了研究系统的宏观性质，没必 要也不可能追究微观状态的复杂变化，只要知道一 个宏观状态对应的微观状态数以及各个微观状态出 现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均 值获得相应的宏观性质。
Ni !
Ni
个粒子的交换，
i
所以，对于玻尔兹曼系统 WM .B. 分布相应的微观状态数为：
N! Ni !
i
g Ni i
l
30
§13-5 最概然分布
我们得到了与一个分布相对应的系统的微观状态 数。对于一个孤立系统的约束条件N、E、 V不变的条 件下，不同的分布，系统的微观状态数是不同的。可 能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。
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一 n 维气体，粒子的能量动量关系为 ps
（ 为一常数，
s 为一正整数），
试证明：粒子的量子态密度
D
n s
1
热力学统计物理 第‹#› 页 2021年3月5日星期五
证： n维自由粒子
p2 p12 p22 pn2
1
即 p p12 p22 s pn2 2
ps p12 p22 pn2 2
热力学统计物理 第‹#› 页 2021年3月5日星期五
第六章 小结
热力学统计物理 第‹#› 页 2021年3月5日星期五
一、粒子运动状态的经典描述和量子描述
r 1经典描述：粒子自由度为
广义坐标 q1, q2, , qr
广义动量 p1, p2, , pr
构成2r 维相空间（ 空间）。
2量子描述 量子态，一组量子数表征。
1
dxn Cn Rn
n
2
n 2
!
n e x dx 热力学统x计物n理1 第‹#› 页
2021n年3月50日星期五
0
用分部积分可以证明 n n 1n 1
当 n 为正整数时 n n 1!
或 n 1 n! 如 1 0!1 2 1!1
当 m 为整数时
m
1 2
m
1 2
!
m
1 2
说明： ⑴
⑵
g是与粒子自旋有关的简并因子。
B1
g
1 hn
Cn
1 c
n
n
⑶
B2
g
1 hn
n
Cn 2m2
n 2
热力学统计物理 第‹#› 页 2021年3月5日星期五
例②某种粒子，可以分辨，许可能级为 0,, 2,3,
统计物理与热力学课程陈培锋第五讲
l l l l
al l e
l
l ln l ln al
N! lal al ln al 1 al ln l N ln N al ln al al 极限条件
气体 He H2 Ne Ar 1pn下沸点/K 4.2 20.3 27.2 87.4
eα
7.5 140 9300 4.7×105
• n愈小,T愈大,m愈大,愈满足经典条件 • 气体分子极低温度下形成玻色爱因斯坦凝聚 • 金属中自由电子、光子不满足
32
ln Z1 31 3 U 用力
• 一般来说,粒子的能量εl是外参量y的函数 • 定义与外参量y共轭的外界施加在处于能级εl 粒子上的广义力为 l y W pdV 2 2 • 外界施加在系统上的广义力 2 2 2 En ,n ,n n n n x y z 23 2mV l l Y al l e
享
l
l
6、
S k ln
MB
• 玻尔兹曼关系 • 某个宏观状态对应的微观状态数越多,熵越 大,越混乱 • 求出Z现在μ空间l处Δμl体积的概率
al N
N l al l e Z1
• 粒子出现在μ空间l处 单位体积的概率为
一、经典热力学量统计表达式
由MB统计分布
al l e
l
• 导出一般的经典热力学量统计表达 • 从中看出热力学量的微观含义 • 适用于一般气体和定域子系统 牛牛文档分 享1、内能的统计表达式
• 内能是系统中粒子无规运动总能量的统计平均值 已知然态
• 从非最概然宏观分布变成最概然宏观分布 的途径,无法从等概率原理和最概然分布原 理得到
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hr
的一个相体积元（相格）。
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粒子能量在 d
内的量子态数= 空间中能量为 和 d
两个等能面间的相体积 / hr
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能谱关系为
1 2m
px2 py2 pz2
的三维自由粒子，
确定系统的微观状态归结为确定每 一个单粒子态中的粒子数。
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•三、玻耳兹曼统计（经典统计）、玻色统计和费米 统计
1玻耳兹曼统计 全同粒子可以区分，处在各单粒子态中的粒子数没有 限制。整个系统的微观状态由确定每一个粒子的状态 来确定。 不同单粒子态中的一对粒子互换时，导致系统新的微 观状态。
等能面 内的量子态数为
1
h3
dxdydzdpx dp y dpz
px2 py2 pz2 2m
4V
h3
0
2m
p2dp
4V
h3
2m
3
2
D
2V
h3
2m
3 2
1 2
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简便方法：
空间体积元
dxdydzdpx dp y dpz
内的态数=
dxdydzdpx dp y dpz h3
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结
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一、粒子运动状态的经典描述和量子描述
r 1经典描述：粒子自由度为
广义坐标 q1, q2, , qr
广义动量 p1, p2, , pr
构成2r 维相空间（ 空间）。
2量子描述 量子态，一组量子数表征。
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• 二、系统微观状态的经典描述和量子描述 N个近独立全同粒子组成的系统。 1、 经典粒子可以分辨
空间的N个代表点。
2、量子描述 可分辨的全同粒子组成的量子系统。 确定系统的微观状态归结为确定每一个粒子的状态。
由不可分辨的全同粒子组成的量子系统
l
al
l
M .B
al ! N !
al
l
1
经典极限条件或非简并性条件。
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• 最概然分布和分布函数 玻耳兹曼等概率原理：对于处在平衡态的孤立
系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相 等的。
最概然分布：宏观上出现的概率最大的分布。
al 出现的概率：
al
l
e l
1
费米分布
al
l
e l
1
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• 量子态密度 自由粒子，质心平移运动的能量是准连续的， 引入量子态密度（称态密度）概念。 量子态密度：与粒子运动空间的维度性 粒子的能谱 和粒子的自旋有关。 计算方法： 量子力学方法
V L3
采用周期性边界条件求解自由粒子的薛定谔 方程，得动量的3个
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分量的可能值为
px
2
L
nx
h L
nx , nx
0, 1, 2
py
2
L
ny
h L
ny , ny
0, 1, 2
pz
2
L
nz
h L
nz , nz
0, 1, 2
三维自由粒子能量的可能值为
1 2m
px2 py2 pz2
2 2
mL2
2
nx2 ny2 nz2
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2玻色统计 粒子自旋量子数为整数，不可分辨，每 一单粒子量子态中的粒子数不受限制， 系统的微观状态由确定每一个 单粒子态中的粒子数确定。
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3费米统计 粒子自旋量子数为半奇整数，不可分辨 ，每一单粒子量子态中的粒子数 不能超过1。系统的微观状态由给定每一 单粒子态中的粒子数确定。
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以 nx ny nz
为直角坐标构成三维量子数数空间（简称数空
间）。 在数空间中，以
nx , ny , nz 0, 1, 2,
分割空间交成的每一“点”，数组 nx , ny , nz
代表粒子的一个许可状态。 即粒子的一个许可态对应于数空间中一个“点”。 在此数空间中边长为1的小立方体（单位体积）数目 与“点”数是相等的，平均地讲，每单位体积包含一 个整数点。因此，数空间中一单位体积对应于粒子的 一个许可态。
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求能量曲面
内的量子态数，只要求出数空间中能量曲面
内的体积就行了。 数空间中能量为
能的量等曲能面面是半内R径的为nx量2 子ny2 态nz数2 12 为 2mhL22
1
2
的球面
3
4 3
R3
4 3
2mL2 h2
2
4V 3h3
pal
al
l
al al
对每个分布求和。
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粒子按能级的平均分布
l
上的平均粒子数
l
l
al
l
al pal
al
al al
al
l
al
al al
al
al
al
玻耳兹曼分布
al
玻耳兹曼分布 玻色分布
al le l
F.D
l
l ! al ! l al !
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排列：
Ank
n
n! k
!
k
n
若 n1 个元素相同，
n2个元素相同， ……
则全排列
n!
组合：
Cnk
n
n!
k !k
!
n1!n2 ! nm !
玻色系统和费米系统 al 1
（对所有能级）
l
B.E F .D
2m
3
2
能量间隔 d 内的量子态数
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D
d
d
d
2V
h3
3
2m2
1
2d
D
2V
h3
31
2m2 2
是态密度。
热力学统计物理
半经典近似法：
第‹#› 页
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r 半经典近似指出：自由度为
的粒子，每一可能的状态对应于
空间中大小为
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•四、分布和微观态数
全同近独立系统（孤立系统）N、E、V确定
分布 al
必须满足
与分布 al
al N l
lal E l
对应的微观状态数
பைடு நூலகம்
玻耳兹曼系统 玻色系统 费米系统
M .B
N! al !
l
al l
l
B.E
l
l al 1! al !l 1!