中国矿业大学周圣武概率论与数理统计5第五章-大数定律与中心极限定理PPT课件

可知，当 n时，有
1 n
ni1
Xi
P E(X1)a
因此我们可取 n 次测量值 x1,x2, ,xn的算术平均值
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请注意 :
Xn依概率收敛于a，意味着对任意给定的0，
当n充分大时，事件Xna的概率很大，接近于 1； 并不排除事件Xna的发生，而只是说他发生的
可能性很小 . 依概率收敛比中 高的 等普 数通 学意义下
弱些，它具有定 某性 种 . 不确
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命题 （切比雪夫Chebyshev不等式）
设随机变量X 的数学期望 E (X )和 方 差 D （ X ） 2
n
其部分和 X i 在什么条件下以正态分布为极限 i1
分布。
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第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
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定义1 设随机变量序列 X1,X2, ,Xn，如果存
在常数 a ，使得对于任意 0 有:
ln i m P{X |na|}1
则称 X n 依概率收敛于a ，记为 Xn Pa.
存在，则对任意 0, 不等式
P{|XE(X)|}D(X 2 )
或 P{|XE(X)|}1D (X 2)成立，
则称此式为切比雪夫不等式。
证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为 f ( x )
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则 P {|XE (X)|} f(x)dx |xE (X)|
|xE(X)|[xE 2(X)]2 f(x)dx
又由于各次试验相互独立，所以
X1,X2, ,Xn独立同分布, 则由辛钦大数定律可得
lim P{n| Ap|}1
n n
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例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？
解 在相同的条件下测量n 次，其结果为
X1,X2, ,Xn，它们可看成是相互独立、相同分布的
随机变量，并且有数学期望为a . 于是由辛钦大数定律
第五章 大数定律与中心极限定理
一、大数定律 二、中心极限定理
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本章是关于随机变量序列的极限理论。
目的是从理论上对第一章中提出的“频率的 稳定性”给出严格的数学证明。
大数定律：对于随机变量序列 X1,X2, ,Xn
描述其平均值 1 n
n i1
X i 在什么条件下以什么形
式呈现出稳定性。
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中心极限定理：对于随机变量序列 X1,X2, ,Xn
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D( 1
n
n i 1
Xi)
n12 i n1D(Xi)n12 i n1
2
2 n
由切比雪夫不等式得：
1
1n P{|nk1Xk
|}12 n2
所以
limP{|1 n
n n
i1
Xi |}1
注：当n充分大时，
1 n
n
i1
X
i
差不多不再是随机的了，
其取值接近于其数学期望的概率接近于1.
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定理2（辛钦定律）
设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布，
且具有相同的数学期望 E (X i),i 1 ,2 ,
则
limP{|1 n
n n
i1
Xi |}1
辛钦
辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要 独立同分布就可以了。
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定理3（伯努利大数定律）
设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数， P是事件A发生的概率，则对任给的ε> 0，有
lim P{n| Ap|}1 或
n n 即 nA P p .
n
lim P{n| Ap|}0
n n
证明 引入随机变量
Xi
1, 0，
第 第ii次 次试试验验中中AA发不生发，生，i1， 2，
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显然 n A X 1 X 2 X n 且 E （ X ） i p ， D （ X k ） p （ 1 p ） ， k 1 , 2 ,n
求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?
解 设X 为同时开的灯数。X~b(104,0.7)
由二项分布 E ( X ) n p 7 0 0 0 D ( X ) n p q 2 1 0 0
7200
P { 6 8 0 0X7 2 0 0 }
Ck 104
0.7k0.310k
k6800
[x
E(X )]2
2
1
12
[xE(X)]2f(x)dx
D (X 2
)
注：Chebyshev不等式对随机变量在以 E ( X ) 为中心
的一个ε邻域外取值的概率给出了一个上界
D (X 2
)
.
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P{|XE(X)|}1D X 2)
可见D(X) 越小，事件 {X | |}的概率越接近1。
X 的值密集在其数学期望附近的概率越大。
由切比雪夫不等式
P{XEX2100}
1
D( X ) (2100)2
1( 700 )2 1 2100
1 9
8 9
即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。
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大数定律的客观背景
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
大量的随机现象中平均结果的稳定性
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几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1 , X2 , … 是一列相互独立的随机变量序列，
它们都有相同的数学期望 E (X i)和 方 差 D （ X ） i 2
则
1
n
n i1
Xi
P
.
即对任意的ε> 0，
1n
limP{|
n n
i1
Xi |}1
证明
E(1 n
n i 1
Xi)
1n ni1
E(Xi)1nin1
用切比雪夫不等式
P { 6 8 0 0X7 2 0 0 }
P { 6 8 0 0 7 0 0 0 X 7 0 0 0 7 2 0 0 7 0 0 0 }
P {X7000200}1
2100 2002
0.95
200
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例2 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式
估计每毫升白细胞数在 5200～9400 之间的概率 .
解 设每毫升白细胞数为X
依题意，EX =7300,DX =7002 所求为
P { 5 2 0 0X 9 4 0 0 }
P { 5 2 0 0 7 3 0 0 X 7 3 0 0 9 4 0 0 7 3 0 0 }
P { 2 1 0 0 X E X 2 1 0 0 } P {XE X2100}
例如：对未知分布X，取 3, 2,
P { X | | 2} 1 2 /22 3 0.75 4
P {|X|3}12 /32 8 0.89 9
若 X~N(,2),
P {|X|2}2(2)10.95.44 P {X ||3}2(3)10.99.74 9
例1 一电网有1万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为0.7.